			원포인트 개념주입 A 수열

원포인트개념주입

개념1	✔ [eqn: a_1], [eqn: a _{2}], [eqn: a_3], [eqn: a_4], [eqn: cdots], [eqn: a_n], [eqn: cdots] 와 같이 차례로 나열된 수의 열을 수열이라 하고 각 수를 수열의 항이라 한다. [eqn: n]번째 항 [eqn: a_n]을 이 수열의 일반항이라 한다.

수열

001. 다음 수열의 일반항을 구하여라. (1) [eqn: 2n] (2) [eqn: 10^n] (3) [eqn: (-1)^n+1] (4) [eqn: { n} over { n+1}] (5) [eqn: (-1)^n n] (6) [eqn: sqrt { n}] (1) [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: cdots] (2) [eqn: 10], [eqn: 100], [eqn: 1000], [eqn: 10000], [eqn: 100000], [eqn: cdots] (3) [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: cdots] (4) [eqn: { 1} over {2 }], [eqn: { 2} over {3 }], [eqn: { 3} over {4 }], [eqn: { 4} over {5 }], [eqn: { 5} over { 6}], [eqn: cdots] (5) [eqn: -1], [eqn: 2], [eqn: -3], [eqn: 4], [eqn: -5], [eqn: cdots] (6) [eqn: 1], [eqn: sqrt { 2}], [eqn: sqrt { 3}], [eqn: 2], [eqn: sqrt { 5}], [eqn: sqrt { 6}], [eqn: cdots]		002. 다음 일반항을 가지는 수열을 첫째항부터 제[eqn: 4]항까지 나열하여라. (1) [eqn: -1], [eqn: -2], [eqn: -3], [eqn: -4] (2) [eqn: 4], [eqn: 1], [eqn: -2], [eqn: -5] (3) [eqn: 0], [eqn: 3], [eqn: 8], [eqn: 15] (4) [eqn: 6], [eqn: 12], [eqn: 24], [eqn: 48] (5) [eqn: 0], [eqn: 5], [eqn: 8], [eqn: 17] (6) [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 1] (1) [eqn: a _{n} =-n] (2) [eqn: a _{n} =7-3n] (3) [eqn: a _{n} =n ^{2} -1] (4) [eqn: a_n =3cdot2^n] (5) [eqn: a _{n} =(-1) ^{n} +n ^{2}] (6) [eqn: a _{n} =left[ {n} over {3} right]]

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개념2	✏ 등차수열의 일반항 [eqn: a _{n}]은 첫째항 [eqn: a _{1}], 공차 [eqn: d]에 대하여 [eqn: a _{n} =a _{1} +(n-1)d]이다. ✏ 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 등차수열을 이루면 [eqn: 2b=a+c]이다.

003. 다음 수열의 일반항과 제[eqn: 20]항을 구하여라. (1) [eqn: 59] (2) [eqn: 84] (1) [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 8], [eqn: 11], [eqn: cdots] (2) [eqn: -11], [eqn: -6], [eqn: -1], [eqn: 4], [eqn: cdots] 004. 제[eqn: 3]항이 [eqn: 11], 제[eqn: 9]항이 [eqn: 29]인 등차수열의 [eqn: 20]번째 항은? ② ① [eqn: 60] ② [eqn: 62] ③ [eqn: 64] ④ [eqn: 66] ⑤ [eqn: 68] 005. 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_1 +a_2 =11], [eqn: a_3 +a_4 + a_5 = 54] 가 성립할 때, [eqn: a_10]의 값은? ⑤ ① [eqn: 36] ② [eqn: 39] ③ [eqn: 42] ④ [eqn: 45] ⑤ [eqn: 48]		006. 등차수열을 이루는 세 수의 합이 [eqn: 15]이고, 곱이 [eqn: 80]일 때, 세 수를 구하여라. [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 8] 007. 세 양수 [eqn: 2k-3], [eqn: k^2 -1], [eqn: 2k+1]이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 2]

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개념3	✏ 첫째항 [eqn: a _{1}], 공차 [eqn: d]인 등차수열의 제[eqn: 1]항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]은, [eqn: S _{n} = {a _{1} +a _{n}} over {2} n]이다.

008. 다음을 구하여라. (1) [eqn: -80] (2) [eqn: 210] (3) [eqn: 40] (4) [eqn: n^2] (1) 등차수열 [eqn: 15], [eqn: 13], [eqn: 11], [eqn: 9], [eqn: cdots]에서 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합 (2) 등차수열 [eqn: -11], [eqn: -7], [eqn: -3], [eqn: 1], [eqn: cdots], [eqn: 41]의 합 (3) 등차수열 [eqn: 7], [eqn: { 19} over {3 }], [eqn: { 17} over {3 }], [eqn: 5], [eqn: cdots], [eqn: 1]의 합 (4) 등차수열 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: cdots]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합		009. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{6} +a _{11} +a _{15} +a _{20} =32]일 때, [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +~ CDOTS ~+a _{25}]의 값을 구하여라. [eqn: {200}] 010. 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에서 [eqn: a_1 =6], [eqn: a_5 =-2]일 때, [eqn: LEFT | a _{1} RIGHT | + LEFT | a _{2} RIGHT | + LEFT | a _{3} RIGHT | + CDOTS + LEFT | a _{20} RIGHT |]의 값을 구하여라. [eqn: 284]

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개념4	✏ 등차수열의 합은 [eqn: (항들의```평균)times(항의```개수)]이다. ✔ 항들의 평균을 일반적으로 [eqn: {(첫```항)+(마지막```항)} over {2}]를 이용하여 구한다. eg1) [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} =10 LEFT ( {a _{1} +a _{10}} over {2} RIGHT )] eg2) [eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} +a _{8} +a _{10} =5a _{6}]

011. 모든 항이 양수인 등차수열 [eqn: a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,```...,```a _{21}]에서 홀수 번째 항들의 합을 [eqn: S], 짝수 번째 항들의 합을 [eqn: T]라 할 때, [eqn: S:T]는? ① ① [eqn: 11:10] ② [eqn: 10:11] ③ [eqn: 21:20] ④ [eqn: 20:21] ⑤ [eqn: 11:21] 012. 항의 개수가 [eqn: n]이고, 공차가 양수인 등차수열의 홀수 번째 항의 합이 [eqn: 72], 짝수 번째 항의 합이 [eqn: 60]일 때, [eqn: n]의 값을 구하여라. [eqn: 11]		013. 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{1} !=0], [eqn: SUM _{k=1} ^{21} a _{k} =0]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: a_1 a_21 <0] ㄴ. [eqn: a_2 +a_20 =0] ㄷ. [eqn: sum_k=1 ^11 a_2k-1 =0] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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개념5	✏ 등비수열의 일반항 [eqn: a _{n}]은 첫째항 [eqn: a _{1}], 공비 [eqn: r]에 대하여 [eqn: a _{n} =a _{1}r^n-1]이다.

014. 등비수열 [eqn: 2], [eqn: 2sqrt { 2}], [eqn: 4], [eqn: 4sqrt { 2}], [eqn: cdots]에 대하여 다음을 구하여라. (1) [eqn: 2] (2) [eqn: sqrt { 2}] (3) [eqn: 2(sqrt {2})^n-1] (4) [eqn: 32 sqrt { 2}] (1) 첫째항 (2) 공비 (3) 일반항 (4) 제[eqn: 10]항 015. 제[eqn: 3]항이 [eqn: 12], 제[eqn: 6]항이 [eqn: -96]인 등비수열의 일반항을 구하여라. [eqn: 3(-2)^n-1] 016. 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{7} =8], [eqn: {a _{6} a _{10}} over {a _{5}} =24]가 성립할 때, [eqn: a _{19}]의 값을 구하여라. [eqn: 216]		017. 서로 다른 세 실수 [eqn: 9], [eqn: a], [eqn: b]는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: a], [eqn: 9], [eqn: b]는 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a+b]의 값은? ① ① [eqn: - 45 over 2] ② [eqn: - 43 over 2] ③ [eqn: - 41 over 2] ④ [eqn: - 39 over 2] ⑤ [eqn: - 37 over 2] 018. [eqn: 2]와 [eqn: 162] 사이에 세 수 [eqn: b_1], [eqn: b_2], [eqn: b_3]를 넣었더니 [eqn: 2], [eqn: b_1], [eqn: b_2], [eqn: b_3], [eqn: 162]의 순서로 등비수열을 이루었다. [eqn: b_2]의 값은? ② ① [eqn: 12] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 24] ⑤ [eqn: 36]

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개념6	✏ 첫째항 [eqn: a _{1}], 공비 [eqn: r(!=1)]인 등비수열의 제[eqn: 1]항부터 제[eqn: n]항까지의 합은 [eqn: {a _{1} (1-r ^{n} )} over {1-r}]이다.

019. 등비수열 [eqn: 2], [eqn: { 2} over {3 }], [eqn: { 2} over { 9}], [eqn: { 2} over { 27}], [eqn: cdots]의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합을 구하여라. [eqn: 3-left( { 1} over { 3}right)^9]		020. 다항식 [eqn: x ^{9} +x ^{8} +x ^{7} + CDOTS +x+1]을 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는? ④ ① [eqn: 511] ② [eqn: 512] ③ [eqn: 513] ④ [eqn: 1023] ⑤ [eqn: 1025]

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개념7	✏ 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n]인 수열의 일반항 [eqn: a_n]은, [eqn: a_n =S_n -S_n-1][eqn: (단,```n ge2)]이다. ※ [eqn: a_1 !=S_1 -S_0]에 주의하자. [eqn: a_1 =S_1]이다.

021. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n = 3^n -3] 일 때, [eqn: a_1]과 [eqn: a_10]의 값을 각각 구하여라. [eqn: 0], [eqn: 3 ^{10} -3 ^{9}] 022. 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S _{n} =2n ^{2} +3n+2]인 수열의 일반항을 구하여라. [eqn: a _{n} = {cases{4n+1&(n >= 2)#7&(n=1)}}]		023. 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: log _{3} LEFT ( S _{n} +a RIGHT ) =n] 인 수열이 등비수열이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? ④ ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 024. 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_1 + 5 a_2 + 5^2 a_3 + `` cdots `` + 5^n-1 a_n `=` k cdot 3^n - 10] 을 만족시킨다. 수열 [eqn: left{ a_n right}]이 등비수열이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 10]

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개념8	✏ [eqn: sum_k=1 ^n a_k =a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_n]

025. 다음을 [eqn: sum] 기호 없이 표현하여라. (1) [eqn: 1^2 +2^2 +3^2 +cdots+15^2] (2) [eqn: 3+4+5+cdots+17] (3) [eqn: 1^1 +2^2 +3^3 +cdots+20^20] (4) [eqn: 2+4+6+cdots+2n] (5) [eqn: sqrt {2} + sqrt {3} + CDOTS + sqrt {n+1} + sqrt {n+2}] (6) [eqn: { 1} over { 2}+ { 2} over {3 }+ { 3} over { 4}+cdots+ { n-1} over { n}] (1) [eqn: sum_k=1 ^15 k^2] (2) [eqn: sum _{k=1} ^{15} (k+2)] (3) [eqn: sum _{k=1} ^{20} k ^{k}] (4) [eqn: sum_k=1 ^n 2k] (5) [eqn: sum _{k=1} ^{n+1} sqrt {k+1}] (6) [eqn: sum _{k=1} ^{n-1} {k} over {k+1}]		026. 다음을 [eqn: sum] 기호를 이용하여 표현하여라. (1) [eqn: sum_k=1 ^10 2k] (2) [eqn: sum _{k=1} ^{10} k ^{2}] (3) [eqn: sum _{k=1} ^{11} (3k-2)] (4) [eqn: sum _{k=1} ^{10} k(k+1)] (5) [eqn: sum _{k=1} ^{10} 3^k] (6) [eqn: sum _{k=1} ^{11} 3 ^{k-1}] (7) [eqn: sum _{k=1} ^{n+1} (2k-1)] (8) [eqn: sum _{k=1} ^{n+2} 2 ^{k-2}] (1) [eqn: 2+4+6+8+cdots+20] (2) [eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +10 ^{2}] (3) [eqn: 1+4+7+10+ CDOTS +31] (4) [eqn: 1 CDOT 2+2 CDOT 3+3 CDOT 4+4 CDOT 5+ CDOTS +10cdot11] (5) [eqn: 3+3^2 +cdots+3^10] (6) [eqn: 1+3+3^2 +cdots+3^10] (7) [eqn: 1+3+5+7+ CDOTS +(2n+1)] (8) [eqn: { 1} over {2 }+1+2+4+cdots+2^n]

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개념9	✏ [eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{k} +-b _{k} )= sum _{k=1} ^{n} a _{k} +- sum _{k=1} ^{n} a _{k}] ✏ [eqn: sum _{k=1} ^{n} ca _{k} =c sum _{k=1} ^{n} a _{k}] ✏ [eqn: sum _{k=1} ^{n} 1=n], [eqn: sum _{k=1} ^{n} k= {n(n+1)} over {2}], [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} = {n(n+1)(2n+1)} over {6}], [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{3} =left{ {n(n+1)} over {2} right} ^{2}]

027. 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =20], [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =10]일 때, 다음의 값을 구하여라. (1) [eqn: 30] (2) [eqn: 30] (3) [eqn: 80] (4) [eqn: 20] (1) [eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +b _{k} )] (2) [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} -b _{k} )] (3) [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} +4)] (4) [eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} -b _{k} +1)] 028. 다음을 구하여라. (1) [eqn: 55] (2) [eqn: 385] (3) [eqn: 1296] (4) [eqn: -110] (5) [eqn: 1330] (6) [eqn: 1222] (1) [eqn: 1+2+3+4+cdots+10] (2) [eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +cdots+10 ^{2}] (3) [eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} +cdots+8 ^{3}] (4) [eqn: 10+6+2+(-2)+cdots+(-30)] (5) [eqn: 1 ^{2} +3 ^{2} +5 ^{2} +7 ^{2} CDOTS +19 ^{2}] (6) [eqn: 1 CDOT 1+2 CDOT 3+3 CDOT 5+ CDOTS +12cdot23]		029. 다음의 값을 구하여라. (1) [eqn: { 100} over {101 }] (2) [eqn: { 10} over {21 }] (3) [eqn: 2] (4) [eqn: { 9+ sqrt { 99} } over {2 }] (1) [eqn: sum _{k=1} ^{100} {1} over {k(k+1)}] (2) [eqn: sum_k=1 ^10 1 over {4k^2 -1 }] (3)[eqn: sum_k=1 ^8 1 over { root k + root k+1 }] (4) [eqn: sum _{k=1} ^{99} {1} over {sqrt {k+1} + sqrt {k-1}}]

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개념10	✔ 이웃한 항 사이의 관계식을 점화식이라 한다.

030. 다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열의 제[eqn: 6]항을 구하여라. (1) [eqn: -61] (2) [eqn: -2] (3) [eqn: 13] (1) [eqn: cases { a_1 = 1 # a_{k + 1} = 2a_k - 3 }] (2) [eqn: {cases{a _{1} =3#a_n+1 =(-1)^n a_n +n}}] (3) [eqn: {cases{a _{1} =1,```a _{2} =2#a _{n+2} =a _{n+1} +a _{n}}}]		031. 수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }]이 [eqn: a _{n+1} +a _{n} =2n+3]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값을 구하여라. [eqn: 65] 032. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =4], [eqn: a_3 =10]이고, 수열 [eqn: LEFT { a _{n+1} -a _{n} RIGHT }]은 등비수열일 때, [eqn: a _{5}]의 값을 구하여라. [eqn: 46]

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개념11	✔ 등차수열과 등비수열의 점화식 ① [eqn: a_n+1 -a_n =d] [eqn: RARROW] 등차수열 ② [eqn: { a_n +a_n+2} over { 2}=a_n+1] [eqn: RARROW] 등차수열 ③ [eqn: a_n+1 =ra_n] [eqn: RARROW] 등비수열 ④ [eqn: a_n+1 ^2 =a_n a_n+2] [eqn: RARROW] 등비수열

033. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 -a_n =2]인 수열 [eqn: "{" a_n "}"]에 대하여 [eqn: { 2^a_2 } + 2^a_4 } over { 2^a_1 + 2^a_3]의 값은? ② ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10] 034. 수열 [eqn: "{"a_n "}"]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2a_n+1 = a_n + a_n+2] 를 만족시킨다. [eqn: a_1 =3], [eqn: a_5 =25]일 때, [eqn: a_33]의 값은? ⑤ ① [eqn: 175] ② [eqn: 176] ③ [eqn: 177] ④ [eqn: 178] ⑤ [eqn: 179]		035. [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =3]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n a_n+2 = {a_n+1}^{```2}] 을 만족시키는 수열 [eqn: "{"a_n "}"]에 대하여 [eqn: a_10]의 값은? ④ ① [eqn: 3^6] ② [eqn: 3^7] ③ [eqn: 3^8] ④ [eqn: 3^9] ⑤ [eqn: 3^10]

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개념12	✔ 기본 점화식의 풀이 ① [eqn: a_n+1 =a_n +f(n)] 꼴 ② [eqn: a_n+1 =f(n)a_n] 꼴 ③ [eqn: a_n+1 =pa_n +q] 꼴 ※ 교육과정이 아니지만, 이정도는 해 두자.

036. 다음과 같이 정의된 수열의 일반항을 구하여라. [eqn: { n^2 -n+2} over {2 }] [eqn: a_1 =1], 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 =a_n +n] 037. 다음과 같이 정의된 수열의 일반항을 구하여라. [eqn: n^2] [eqn: a_1 =1], [eqn: a _{n+1} =a _{n} +2n+1] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: cdots])		038. [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1} =2a _{n} +3`]과 같이 정의된 수열 [eqn: left{ a_n right}]에서 [eqn: a_10]의 값은? ⑤ ① [eqn: 529] ② [eqn: 515] ③ [eqn: 1021] ④ [eqn: 1027] ⑤ [eqn: 2045] 039. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a_1 = 1], [eqn: a_n+1 = 3 a_n -5 ( n ge1)]일 때, [eqn: a_100 - a_99]의 값은? ③ ① [eqn: -3^98 +1] ② [eqn: -3^99 +1] ③ [eqn: -3^99] ④ [eqn: -3^100] ⑤ [eqn: -3^100 +1]

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개념13	✔ 수학적 귀납법의 증명 구조를 이해한다. ① [eqn: p(k)]와 [eqn: p(k+1)]을 정확하게 쓴다. ② [eqn: p(1)]과 ‘[eqn: p(k)]이면 [eqn: p(k+1)]이다.’를 증명한다.

040. [eqn: 1+3+5+7+cdots + (2n-1)= n^2]임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라. (생략) 041. 모든 자연수 [eqn: n]과 양수 [eqn: h]에 대하여 부등식 [eqn: 1+nh le (1+h)^n] 이 성립함을 증명하여라. (생략)		042. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =3]이고 [eqn: n`a_n+1 -2n`a_n + n+2 over n+1 =0````(n ge 1)] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]이 [eqn: a_n =2^n + 1 over n] …… ([eqn: ast]) 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. ⅰ) [eqn: n=1]일 때, ([eqn: ast])의 [eqn: (좌변)=a _{1} =3], [eqn: (우변)=2 ^{1} + {1} over {1} =3]이므로 성립한다. ⅱ) [eqn: n=k``]일 때 ([eqn: ast])이 성립한다고 가정하면 [eqn: a _{k} =2 ^{k} + {1} over {k}] 이므로 [eqn: k`a_k+1 &=2k`a_k - k+2 over k+1 #&=``box{`````(가)`````}``- k+2 over k+1 #&= k`2^k+1 +``box{`````(나)`````}``] 이다. 따라서 [eqn: a _{k+1} =2 ^{k+1} + {1} over {k+1}]이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 [eqn: (ast )]이 성립한다. ⅰ), ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} =2 ^{n} + {1} over {n}] 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]이라 할 때, [eqn: f(3) times g(4)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 32] ② [eqn: 34] ③ [eqn: 36] ④ [eqn: 38] ⑤ [eqn: 40]