[등차수열과 등비수열]

B29 | 수열의 일반항

수열의 용어

개념1

① 수열 : 수들의 나열

② 항 : 수열을 이루는 수들

③ 일반항 : [eqn: n]번째 항

※ 수열은 ‘자연수에서 실수로 가는 함수’이다.

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``:``a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3`} ,``` CDOTS ,```a _{n} ,``` CDOTS]

Note

다음 수열의 일반항을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: cdots]	(2) [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 9], [eqn: 16], [eqn: cdots]

(3) [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: cdots]	(4) [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 0], [eqn: 4], [eqn: 0], [eqn: 6], [eqn: cdots]

(5) [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 6], [eqn: cdots]	(6) [eqn: 9], [eqn: 99], [eqn: 999], [eqn: 9999], [eqn: cdots]

(7) [eqn: 7], [eqn: 77], [eqn: 777], [eqn: 7777], [eqn: cdots]	(8) [eqn: 12], [eqn: 1212], [eqn: 121212], [eqn: 12121212], [eqn: cdots]

B29E1 | 일반항의 연산

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``:``1,```3,```5,```7,```9,``` CDOTS ,```2n-1,``` CDOTS]에 대하여,

예제1

다음 수열을 나열하고 일반항을 구하여라.

(1) [eqn: left{a _{2n} right}]	(2) [eqn: left{a _{n+1} right}]

(3) [eqn: LEFT { 3a _{n} RIGHT }]	(4) [eqn: left{a _{n} ^{2} right}]

(5) [eqn: left{a _{n+1} -a _{n} right}]	(6) [eqn: LEFT { a _{1} +a _{2} +cdots+a _{n} RIGHT }]

B30 | 등차수열의 일반항

수열 [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 8], [eqn: 11], [eqn: cdots]의 일반항을 구하여라.

탐구

첫째항이 [eqn: a _{1}], 공차가 [eqn: d]인 등차수열의 일반항은 [eqn: a _{n} =a _{1} +(n-1)d]이다.

개념1

✔ [eqn: n]에 대한 일차식 [eqn: an+b]꼴 (공차 [eqn: a])

✔ 등차수열은 정보 두 개에 의해 결정된다.

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{2} =4], [eqn: a _{6} =24]일 때, [eqn: a _{12}]의 값을 구하여라.

예제1

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{4} =11], [eqn: a _{2} :a _{5} =1:5]일 때,

예제2

[eqn: a _{k} =63]이다. 자연수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

B30E1 | 등차중항

등차수열에 대한 다음의 사실들을 확인하여라.

개념1

① 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. [eqn: RARROW] [eqn: 2b=a+c]

② 수열 [eqn: left{a _{n} right]이 등차수열일 때,

[eqn: RARROW] [eqn: a_2 +a_4 =2a_3]

[eqn: RARROW] [eqn: a_4 +a_7 +a_10 =3a_7]

[eqn: RARROW] [eqn: a _{4} +a _{6} +a _{8} +a _{10} =4a _{7}]

[eqn: RARROW] [eqn: a _{4} +a _{5} +a _{9} +a _{10} =4a _{7}]

③ 세 수가 등차수열을 이룬다. [eqn: RARROW] [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d]

④ 네 수가 등차수열을 이룬다. [eqn: RARROW] [eqn: a-3d], [eqn: a-d], [eqn: a+d], [eqn: a+3d]

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 이 순서대로 등차수열을 이루며 그 합은 [eqn: 9]이고,

예제1

제곱의 합은 [eqn: 59]이다. [eqn: b ^{2} -ac]의 값을 구하여라.

B31 | 등차수열의 합

다음을 구하여라.

탐구

(1) [eqn: 2+5+8+11+14]

(2) [eqn: 2+4+6+8+10+12]

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: S _{n} =a_1 +a_2 +cdots+a_n]이면, [eqn: S _{n} = {a _{1} +a _{n}} over {2} cdotn]

개념1

✔ 등차수열의 합은 [eqn: (항들의```평균)times(항의```개수)]이다.

eg) [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} = {a _{1} +a _{5}} over {2} CDOT 5=5a _{3} = {a _{2} +a _{4}} over {2} CDOT 5= {a _{1} +a _{3} +a _{5}} over {3} cdot5]

✔ 등차수열의 합 [eqn: LRARROW] [eqn: an ^{2} +bn] (공차 [eqn: 2a], 첫째항 [eqn: a+b])

eg) [eqn: S _{n} =2n ^{2} +3n]이면, ① 등차임, ② 공차 [eqn: 4], ③ 첫째항 [eqn: 5], ④ 일반항 [eqn: 4n+1]

[eqn: a_1 >0]인 등차수열 [eqn: left{ a_n right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n]일 때,

예제1

[eqn: S_10 = S_ 20]이 성립한다. [eqn: S_n]이 최대가 되는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.

수열 [eqn: left{ a_n right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

예제2

[eqn: | ` a_ 7 ` | = | `a_10 `|], [eqn: S_n = - n^2 + an]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

B32 | 합과 일반항

[eqn: a _{n} = {cases{S _{n} -S _{n-1}&(n ge 2)#S _{1}&(n=1)}}]

개념1

✔ [eqn: S _{n}]을 알면 [eqn: a _{n}]을 알 수 있다.

다음을 만족시키는 수열의 일반항을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: S _{n} =n ^{2} +n]

(2) [eqn: S _{n} =n ^{2} +2n+3]

(3) [eqn: S _{n} =2a _{n} -4]

(4) [eqn: sum _{k=1} ^{n} ka _{k} =n ^{2} -n]

(5) [eqn: (a _{1} ) ^{2} +(a _{2} ) ^{2} +cdots+(a _{n} ) ^{2} =2 ^{n} -1]

B33 | 등비수열의 일반항

수열 [eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: 12], [eqn: 24], [eqn: cdots]의 일반항을 구하여라.

탐구

첫째항이 [eqn: a_1], 공비가 [eqn: r]인 등비수열의 일반항은 [eqn: a_n =a_1 cdotr^n-1]이다.

개념1

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a_2 =-32], [eqn: a_5 =4]일 때, [eqn: a_7]의 값을 구하여라.

예제1

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a_1 +a_2 =12], [eqn: a_3 +a_4 =48]일 때,

예제2

[eqn: a_1]의 값을 구하여라. (단, [eqn: r>0])

✔ [eqn: a_n =a cdotb^n]일 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: ab], 공비가 [eqn: r]인 등비수열이다.

eg) [eqn: left{x(x+1)^n right}] [eqn: RARROW] 첫째항과 공비?

B33E1 | 등비중항

등비수열에 대한 다음의 사실들을 확인하여라.

개념1

① 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 순서대로 등비수열 [eqn: RARROW] [eqn: b^2 =ac]

[eqn: RARROW] [eqn: b= sqrt {ac}] 또는 [eqn: b=- sqrt { ac}]

[eqn: RARROW] 두 점 [eqn: (1,```a)]와 [eqn: (3,```c)]를 모두 지나는 직선과 지수함수 [eqn: RARROW] 산술평균과 기하평균

② 세 수가 등비수열을 이룬다. [eqn: RARROW] [eqn: {a} over {r}], [eqn: a], [eqn: ar]

방정식 [eqn: 3x ^{3} +8x ^{2} -7x-k=0]의 서로 다른 세 실근이 등비수열을 이룰 때,

예제1

상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

B34 | 등비수열의 합

첫째항이 [eqn: a _{1}], 공비가 [eqn: r]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]의

개념1

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하면 [eqn: S _{n} = {a _{1} (r ^{n} -1)} over {r-1} = {a _{1} (1-r ^{n} )} over {1-r}]

[eqn: S-rS]에서

증명

✔ [eqn: (r ^{n} -1)=(r-1)(r ^{n-1} +r ^{n-2} +cdots+r+1)]임을 확인해보자.

eg) [eqn: S _{3} =a _{1} +a _{1} r+a _{2} r ^{2}]

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 1+2+4+ CDOTS +1024]	(2) [eqn: 2+4+8+ CDOTS +1024]

(3) [eqn: 2+1+ {1} over {2} + {1} over {4} + CDOTS + {1} over {128}]	(4) [eqn: 1- {1} over {2} + {1} over {4} - {1} over {8} + CDOTS - {1} over {128}]

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{2} +cdots+a _{n} =S _{n}]이라 할 때,

예제2

[eqn: S _{10} =4], [eqn: S _{20} =32]이다. [eqn: S _{30}]의 값을 구하여라.

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{2} +cdots+a _{n} =S _{n}]이라 할 때,

예제3

[eqn: S _{n} =20], [eqn: S _{2n} =60]이다. [eqn: S_3n]의 값을 구하여라.

B34E1 | 원리합계

원리합계를 푸는 요령들

개념1

① 이자 붙이는 방법 : ‘이자 [eqn: 10%]면 [eqn: 1.1]배’, ‘이자 [eqn: 5%]면 [eqn: 1.05]배’ [eqn: RARROW] [eqn: r]로 놓는다.

② 이자는 기간에 붙는다. [eqn: RARROW] 월초/월말 고민할 필요 없음.

③ 시간의 흐름에 따른 돈의 가치 변화 : 뒤로 가면 [eqn: r]배, 앞으로 가면 [eqn: {1} over {r}]배

중학교 [eqn: 1]학년 때부터 연이율 [eqn: 8%]의 복리로 매년 초에 [eqn: 100000]원씩

예제1

적립한다. 고등학교를 졸업할 때의 적립총액은 얼마인지 구하여라.

([eqn: 1.08 ^6 image 1.59]로 계산한다.)

이달 초에 가격이 [eqn: 120]만원인 TV를 할부로 구입하고 이달 말부터

예제2

일정한 금액을 [eqn: 12]회로 나누어 갚는다면 매달 얼마씩 갚아야 하는지 구하여라.

(월이율 [eqn: 1%] 복리, [eqn: 1.01^12 = 1.1])

올해부터 매년 초에 [eqn: 1000]만원씩 [eqn: 10]년간 지급되는 연금이 있다.

예제3

이 연금을 현재 시점에 한 번에 모두 받는다면 얼마를 받아야 하는지 구하여라.

(단, 연이율 [eqn: 15%], [eqn: 1.15^10 =4])

[eqn: 200]만원인 노트북을 구입하는데 [eqn: 100]만원은 구입시 현금으로 지불하고

예제4

나머지 [eqn: 100]만원은 할부로 지급하기로 하였다. 구입한 후 [eqn: 1]개월 후부터

매달 일정한 금액씩 [eqn: 12]회에 나누어 갚는다면 매달 얼마씩 갚아야 하는지

구하여라. (단, 월이율 [eqn: 1%], [eqn: 1.01 ^{12} =`1.1])

정부가 통일 비용을 마련하기 위해 예산의 일부를 [eqn: 2001]년부터

예제5

매년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일 적립한다고 하자. 적립할 금액은 경제성장률을 감안하여

매년 전년도보다 [eqn: 6%]씩 증액한다. [eqn: 2001]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일부터 [eqn: 10]조원을 적립하기

시작한다면 [eqn: 2010]년 [eqn: 12]월 [eqn: 31]일까지 적립된 금액은 몇 조원인지 구하여라.

(단, 연이율 [eqn: 6%], [eqn: 1]년마다의 복리로 계산하고, [eqn: (1.06) ^{10}][eqn: =1.8])

[수열의 합]

B35 | 시그마의 뜻과 성질

[eqn: sum_k=1 ^n a_k =a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_n]

Note

다음을 [eqn: sum]를 이용하여 나타내어라.

예제1

(1) [eqn: 1+3+5+cdots+19]	(2) [eqn: 3+3^2 +3^3 +cdots+3^10]

(3) [eqn: 1+3+3^2 +cdots+3^10]	(4) [eqn: 1 CDOT 10+2 CDOT 9+3 CDOT 8+ CDOTS +10 CDOT 1]

(5) [eqn: 1+3+5+cdots+(2 n-1)]	(6) [eqn: 1+3+5+cdots+(2n+1)]

(7) [eqn: 1+3+3^2 +cdots+3^n+1]

[eqn: sum _{k=1} ^{100} left[ {100} over {3 ^{k}} right]]의 값을 구하여라.

예제2

시그마의 성질

개념1

① [eqn: sum_k=1 ^n (a_k +b_k )=sum_k=1 ^n a_k +sum_k=1 ^n b_k]

② [eqn: sum _{k=1} ^{n} ca _{k} =c sum _{k=1} ^{n} a _{k}]

③ [eqn: sum _{k=m} ^{n} a _{k} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{m-1} a _{k}]

개 당연한데 뭔 증명이야.

증명

✔ [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = sum _{l=1} ^{n} a _{l} =sum _{m=1} ^{n} a _{m}]

✔ [eqn: sum _{k=m} ^{n} a _{k} = sum _{k=1} ^{n-m+1} a _{k+m-1}]

※ [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} b_k]나 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k}}]는 어떻게 처리할 수 없다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} b _{k} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} times sum _{k=1} ^{n} b _{k}] 하지 마세요. 속 터집니다..

두 수열 [eqn: left{a_ n right], [eqn: left{b_n right]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =15], [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =20]일 때,

예제1

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +2b _{k} )]의 값을 구하여라.

수열 [eqn: left{a_ n right]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =20], [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{```2} =30]일 때,

예제2

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} -2) ^{2}]의 값을 구하여라.

B35E1 | 계차수열

수열 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 7], [eqn: 13], [eqn: 21], [eqn: 31], [eqn: cdots]의 일반항을 구하여라.

탐구

[eqn: left{a _{n} right}]의 계차수열이 [eqn: left{b _{n} right}]이다. [eqn: RARROW] [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } =left{a _{n+1} -a _{n} right}]

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} b _{k}]

다음 수열의 일반항을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 7], [eqn: 13], [eqn: 21], [eqn: 31], [eqn: cdots]

(2) [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 7], [eqn: 15], [eqn: 31], [eqn: 63], [eqn: cdots]

B36 | 시그마의 풀이1 (다항식)

다음이 성립한다.

개념1

① [eqn: sum _{k=1} ^{n} k= {n(n+1)} over {2}]

② [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} = {n(n+1)(2n+1)} over {6}]

③ [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{3} =left{ {n(n+1)} over {2} right} ^{2}]

✔ [eqn: sum _{k=1} ^{n} c=nc]

[eqn: (k+1)^3 -k^3 =3k^2 +3k+1]에 축차대입해보자.

증명

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: sum _{k=1} ^{10} (k ^{2} +2k+3)]	(2) [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2k ^{2} -4)]

(3) [eqn: sum _{k=1} ^{6} (k+4) ^{2}]	(4) [eqn: sum _{k=1} ^{n-1} k]

(5) [eqn: sum _{k=1} ^{2n} k ^{2}]	(6) [eqn: sum _{k=1} ^{n} left( sum _{l=1} ^{k} l`right)]

B37 | 시그마의 풀이2 (망원급수)

부분분수 변형 : [eqn: {1} over {AB} = {1} over {B-A} left( {1} over {A} - {1} over {B} right)]

개념1

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+1)}]	(2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {(2k-1)(2k+1)}]

(3) [eqn: sum _{k=1} ^{100} {1} over {k(k+2)}]	(4) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+1)(k+2)}]

(5) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {k+1} + sqrt {k}}]

[eqn: {1} over {2} CDOT {1} over {0!} + {1} over {3} cdot {1} over {1!} + {1} over {4} cdot {1} over {2!} +cdots+ {1} over {n+1} cdot {1} over {(n-1)!}]을 간단히 하여라.

예제2

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 수열 [eqn: left{ { 1} over { a_n }right]은 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

예제2

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} a _{k+1}]의 값을 구하여라.

B38 | 시그마의 풀이3 (등비급수/멱급수)

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: sum _{k=1} ^{9} 3 ^{k+1}]	(2) [eqn: sum _{k=1} ^{n+1} 2 ^{k-1}]

(3) [eqn: sum _{k=1} ^{n} (2 ^{k} -1)]	(4) [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2 ^{k-1} -k)]

멱급수 : [eqn: S-rS]를 구한다.

개념1

다음을 계산하여라.

예제1

(1) [eqn: 1cdot1+2cdot2+3cdot2 ^{2} +cdots+10cdot2 ^{9}]

(2) [eqn: 1cdot1+3cdot3+5cdot3 ^{2} +cdots+19cdot3 ^{9}]

B39 | 군수열

✔ 군수열 문제는 다음에 신경 쓰면서 알아서 푼다.

① ‘[eqn: k]군 [eqn: l]항’을 ‘[eqn: n]항’으로 변환하는 방법

② 각 군의 항수들을 합하면 어떻게 되는지 ([eqn: n]군까지 총 몇 항인지?)

③ 각 군의 첫째항들이 어떤 수열을 이루는지

수열 [eqn: 1over1], [eqn: 1over2], [eqn: 2over1], [eqn: 1over3], [eqn: 2over2], [eqn: 3over1], [eqn: 1over4], [eqn: cdots]에 대하여 다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) [eqn: 12]군의 [eqn: 7]항은 무엇인가?

(2) [eqn: { 4} over {5 }]는 몇 군의 몇 항인가?

(3) [eqn: { 6} over {5 }]는 몇 번째 항인가?

(4) 제[eqn: 30]항은 무엇인가?

수를 [eqn: (1)], [eqn: (3,```5)], [eqn: (7,```9,```11)], [eqn: (13,```15,```17,```19)]와 같이 나열할 때,

예제2

(1) [eqn: n]번째 괄호의 첫 번째 수를 구하여라.

(2) [eqn: 11]번째 괄호 안의 모든 숫자의 합을 구하여라.

수열 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: 1], [eqn: cdots]의

예제3

첫째항부터 제[eqn: 120]항까지의 합을 구하여라.

[수학적 귀납법]

B40 | 점화식과 수열의 귀납적 정의

점화식 : 수열의 이웃한 항 사이의 관계식

개념1

✔ [eqn: a_n-1] : [eqn: a_n]의 바로 전 항,   [eqn: a_n+1] : [eqn: a_n]의 바로 다음 항

eg1) 등차수열 : [eqn: a_n+1 -a_n =d]

eg2) [eqn: a_n^{```2} =a_n-1 a_n+1] [eqn: RARROW] 등비수열?

eg3) [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 8], [eqn: 13], [eqn: 21], [eqn: cdots] : 피보나치 수열 : [eqn: a_n+1 =a_n +a_n-1]

수열의 귀납적 정의 :

개념2

항들의 일부와 점화식을 이용하여 수열을 정의하는 방법.

eg1) [eqn: cases{ a_1 =2# a_n+1 =a_n +n }]일 때 [eqn: left{a _{n} right}]을 나열하여라.

eg2) [eqn: {cases{a _{1} =1,```a _{2} =2#a _{n+1} =a _{n} +a _{n-1}}}]일 때 [eqn: left{a _{n} right}]을 나열하여라.

B41 | 점화식의 풀이1 (계차/계비)

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +f(n)] 꼴 점화식 : 축차대입으로 푼다.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: a _{n} =a _{1} +sum _{k=1} ^{n-1} f(k)]

[eqn: a _{n+1} =f(n)a _{n}] 꼴 점화식 : 축차대입으로 푼다.

개념2

[eqn: RARROW] [eqn: a _{n} =f(1)f(2) CDOTS f(n-1)cdota _{1}]

다음과 같이 정의된 수열의 일반항을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: a _{1} =0],   [eqn: a _{n+1} -a _{n} =2n+3]

(2) [eqn: a _{1} =1],   [eqn: a _{n+1} =a _{n} +2 ^{n}]

(3) [eqn: a _{1} = {1} over {2}],   [eqn: a _{n} = {n-1} over {n+1} a _{n-1} ```(단,```n ge2)]

B42 | 점화식의 풀이2 (일차 이항점화식)

[eqn: {a _{n+1} =p a _{n} +q] 꼴 점화식 : [eqn: a _{n+1} - alpha =p(a _{n} - alpha )] 꼴로 만든다.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: a_n =p^n-1 (a_1 -alpha)+alpha]

다음과 같이 정의된 수열의 일반항을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: a _{1} =8],   [eqn: a_n+1 =3a_n -4]

(2) [eqn: a _{1} =9],   [eqn: a _{n+1} =2a _{n} +5]

[eqn: a _{1} =1], [eqn: pa_n+1 = qa_n + 1]일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?

예제2

ㄱ. [eqn: p=q]일 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]은 등차수열이다.

ㄴ. [eqn: p ne q]일 때, 수열 [eqn: left{a_n - 1over p-q right}]은 등비수열이다.

ㄷ. [eqn: -1< q over p < 1]일 때, 수열 [eqn: left{a_n right]은 수렴한다.

B43 | 점화식의 풀이3 (기타)

※ 점화식의 풀이가 교육과정 안에 있는가? [eqn: RARROW] No

기본적인 점화식은 다룰 줄 알아야 하는가? [eqn: RARROW] Yes

기타 점화식은 어떻게 할까? [eqn: RARROW] 일단 한 번 해보고 넘어가.

기타 점화식의 풀이

개념1

① [eqn: S_n] 들어간 점화식 : [eqn: a_n =S_n -S_n-1]을 이용한다.

② [eqn: {a _{n+1} =p`a _{n} +q ^{n}] 꼴의 점화식 : 양 변을 [eqn: p^n+1] 또는 [eqn: q ^{n+1}]으로 나눈다.

③ [eqn: {pa _{n+2} +qa _{n+1} +ra _{n} =0```(단,```p+q+r=0)}] 꼴 : [eqn: a _{n+2} -a _{n+1} =k(a _{n+1} -a _{n} )]꼴로,

④ 기타 치환각이 잡히는 꼴

다음과 같이 정의된 수열의 일반항을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: a _{1} =1],   [eqn: 2S _{n} =a _{n+1} -1]

(2) [eqn: a _{1} =1],   [eqn: S _{n} =(n+2)a _{n}}}]

(3) [eqn: a _{1} =1],   [eqn: a _{n+1} =3a _{n} +2 ^{n}]

(4) [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =3],   [eqn: a_n+2 =3a_n+1 -2a_n]

(5) [eqn: a_1 =2],   [eqn: na_n+1 = (n+1)a_n +1]

(6) [eqn: a _{1} =1],   [eqn: a _{n+1} = {a _{n}} over {3a _{n} +1}]

(7) [eqn: a _{1} =1],   [eqn: a _{n} `a _{n+1} =a _{n} -3`a _{n+1}]

(8) [eqn: a _{1} =3],   [eqn: a _{n+1} =3a _{n} ^{```2}]

B44 | 수학적 귀납법

수학적 귀납법 : 다음을 이용하여 [eqn: p(n)]을 증명할 수 있다.

개념1

ⅰ) [eqn: p(1)]

ⅱ) [eqn: p(k)]가 참이면 [eqn: p(k+1)]이 참이다.

다음을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.

예제1

(1) [eqn: 1+2+3+cdots+n= { n(n+1)} over { 2}]

(2) [eqn: (1+a)^n ge1+an] (단, [eqn: a>0])

(3) [eqn: cases{ a_1 =1 # a_n+1 =2a_n +1 }]일 때 [eqn: a_n =2^n -1]이다.