[삼각함수]

B18 | 호도법과 일반각

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 부채꼴의 호의

개념1

길이를 각으로 읽는 방법을 호도법이라 한다.

단위로 [eqn: rmrad]를 쓴다. [eqn: 180 DEG = pi (rmrad)]이다.

※ 이후 단위가 없는 각은 라디안을 의미한다. 즉, [eqn: theta=theta(rad)]이다.

다음 각을 [eqn: 60]분법은 호도법으로, 호도법은 [eqn: 60]분법으로 고쳐라.

예제1

(1) [eqn: 60DEG]	(2) [eqn: 90DEG]	(3) [eqn: 360DEG]

(4) [eqn: {pi } over {4}]	(5) [eqn: {2} over {3} pi]	(6) [eqn: {pi} over {6}]

원점에서 시작하는 점 [eqn: rmP]를 지나는 반직선을 동경 [eqn: vec{rmOP]이라 하고,

개념2

[eqn: x]축의 양의 방향 [eqn: vec{rmOX]에서 동경까지 반시계방향으로 잰 각을

동경이 나타내는 각이라 한다.

동경 [eqn: rm vecOP]가 나타내는 각 중 하나를 [eqn: alpha]라고

개념3

할 때, [eqn: theta =2n pi + alpha ````` LEFT ( 단,```n`은```정수 RIGHT )]로 표시되는

각 [eqn: theta]를 동경 [eqn: rm vecOP]가 나타내는 일반각이라고 한다.

※ 여러 개의 각이 하나의 동경을 나타낼 수 있다.

다음의 각을 나타내는 동경은 몇 사분면에 존재하는지 말하여라.

예제2

(1) [eqn: 75DEG]	(2) [eqn: 210 DEG]	(3) [eqn: -{ pi} over {4 }]

(4) [eqn: - {2} over {3} pi]	(5) [eqn: {20} over {3} pi]	(6) [eqn: - {7} over {4} pi]

동경 [eqn: rm vecOP]가 다음 점을 지날 때, 동경이 나타내는 각을 구하여라.

예제3

(1) [eqn: (1,```sqrt3`)]	(2) [eqn: (-1,``` sqrt {3} `)]	(3) [eqn: (1,```-1)]

(4) [eqn: (3,```- sqrt {3} `)]	(5) [eqn: (-4,```4)]	(6) [eqn: (0,```10)]

B18E1 | 일반각의 연산

✔ 동경을 나타내는 각은 일반각을 생각해야 한다.

eg1) [eqn: theta]가 제[eqn: 1]사분면의 각일 때, [eqn: {theta } over {2}]가 나타내는 동경이 존재하는 영역은?

eg2) [eqn: theta]가 제[eqn: 4]사분면의 각일 때, [eqn: {theta } over {3}]가 나타내는 동경이 존재하는 영역은?

두 각 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여

개념1

① 두 동경이 일치할 조건 : [eqn: alpha - beta =2n pi`````(n은```정수)]

② 두 동경이 원점 대칭일 조건 : [eqn: alpha - beta =(2n+1)pi`````(n은```정수)]

③ 두 동경이 [eqn: x]축에 대하여 대칭일 조건 : [eqn: alpha + beta =2n pi `````(n은```정수)]

④ 두 동경이 [eqn: y]축에 대하여 대칭일 조건 : [eqn: alpha + beta =(2n+1) pi `````(n은```정수)]

⑤ 두 동경이 [eqn: y=x]에 대하여 대칭일 조건 : [eqn: alpha + beta =left(2n+ { 1} over {2 } right) pi `````(n은```정수)]

다음을 만족시키는 각 [eqn: theta]의 크기를 구하여라.

예제1

(1) 각 [eqn: theta]와 [eqn: 5 theta]를 나타내는 두 동경이 일치한다.

(2) 각 [eqn: theta]와 각 [eqn: 7 theta]를 나타내는 두 동경이 원점 대칭이다.

(3) 각 [eqn: theta]와 각 [eqn: 3 theta]를 나타내는 두 동경이 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

B19 | 부채꼴

반지름의 길이가 [eqn: r], 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴의

개념1

① 호의 길이는 [eqn: l=r`theta]이다.

② 넓이는 [eqn: S= {1} over {2} rl= {1} over {2} r ^{2} theta]이다.

호의 길이가 [eqn: 4 pi]이고 중심각의 크기가 [eqn: {1} over {3} pi]인

예제1

부채꼴의 반지름의 길이와 넓이를 각각 구하여라.

둘레의 길이가 [eqn: 16]인 부채꼴의 넓이가 최대일 때의 중심각의 크기와

예제2

반지름의 길이, 호의 길이, 부채꼴의 넓이를 각각 구하여라.

	[eqn: 0DEG]	[eqn: 30DEG]	[eqn: 45DEG]	[eqn: 60DEG]	[eqn: 90DEG]
[eqn: sintheta]	[eqn: 0]	[eqn: { 1} over {2 }]	[eqn: { sqrt { 2} } over {2 }]	[eqn: { sqrt { 3} } over {2 }]	[eqn: 1]
[eqn: costheta]	[eqn: 1]	[eqn: { sqrt { 3} } over {2 }]	[eqn: { sqrt { 2} } over {2 }]	[eqn: { 1} over { 2}]	[eqn: 0]
[eqn: tantheta]	[eqn: 0]	[eqn: { sqrt { 3} } } over { 3}]	[eqn: 1]	[eqn: sqrt { 3}]	정의X

B20 | 삼각함수의 정의

점 [eqn: {rmP}(x,```y)]에 대하여 동경 [eqn: rmvecOP]가 나타내는 각이 [eqn: theta]일 때,

개념1

① [eqn: sintheta= { y} over { r}],  ② [eqn: cos theta = {x} over {r}],  ③ [eqn: tan theta = {y} over {x}]와 같이 정의한다.

※ ④ [eqn: csc theta = {1} over {sin theta }],  ⑤ [eqn: sec theta = {1} over {cos theta }],  ⑥ [eqn: cot theta = {1} over {tan theta }]도 상식으로.

※ 삼각비와 삼각함수의 차이 : 삼각함수는 모든 각에서 정의됨.

원점과 점 [eqn: rmP(-4,```3)]에 대하여 동경 [eqn: rmvecOP]가 나타내는 각을

예제1

[eqn: theta]라고 할 때, [eqn: sintheta], [eqn: costheta], [eqn: tantheta]의 값을 각각 구하여라.

다음을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: cos120 DEG]	(2) [eqn: cos(-30DEG)]	(3) [eqn: tan { 5} over { 6}pi]

(4) [eqn: sin {4} over {3} pi]	(5) [eqn: LEFT . tan left(- {pi } over {4} RIGHT )]	(6) [eqn: sin { pi} over { 2}]

※ 특수각의 삼각비

	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: sintheta]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: costheta]	[eqn: +]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: +]
[eqn: tantheta]	[eqn: +]	[eqn: -]	[eqn: +]	[eqn: -]

B20E1 | 삼각함수의 부호

동경이 몇사분면에 있는지에 따른 삼각함수의 부호는,

개념1

[eqn: sinthetacos`theta>0]와 [eqn: costhetatantheta<0]가 되는 [eqn: theta]는 제 몇 사분면의 각인지 말하여라.

예제1

[eqn: theta]가 제[eqn: 2]사분면의 각일 때, [eqn: costheta+|costheta|+sintheta+ sqrt { sin^2 theta}]를 간단히 하여라.

예제2

B21 | 삼각함수 사이의 관계

임의의 실수 [eqn: theta]에 대하여 다음이 성립한다.

개념1

① [eqn: sin ^{2} theta+cos ^{2} theta=1]

② [eqn: {sintheta} over {costheta} =tantheta]

[eqn: sintheta= {1} over {2}]이고 [eqn: theta]가 제[eqn: 2]사분면의 각일 때, [eqn: costheta], [eqn: tantheta]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: tan LEFT ( {n pi } over {2} ± theta RIGHT ) = {cases{BOX{±} `tan it theta ```(n이```짝수)#BOX{±} rm {1} over {tan theta } ```(n이```홀수)}} it][eqn: {cases{#####}}]

[eqn: theta]가 제[eqn: 3]사분면의 각이고 [eqn: sintheta=- {12} over {13}]일 때, [eqn: tan theta + {1} over {cos theta }]의 값을 구하여라.

예제2

다음을 간단히 하여라.

예제3

(1) [eqn: {cos theta } over { 1+ sin theta} + {sin theta } over {cos theta }]	(2) [eqn: { sin theta } over { 1+ cos theta } - { 1- cos theta } over {sin theta }]

(3) [eqn: {sin ^{3} theta } over {cos theta -cos ^{3} theta }]	(4) [eqn: {cos ^{2} theta-sin ^{2} theta} over {1+2sintheta`costheta} + {tantheta-1} over {tantheta+1}]

[eqn: sin theta +cos theta = {7} over {5}]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.

예제4

(1) [eqn: sin theta cos theta]	(2) [eqn: tan theta + {1} over {tan theta }]

(3) [eqn: sin ^{3} theta +cos ^{3} theta]	(4) [eqn: sintheta-costheta]

(5) [eqn: sintheta]	(6) [eqn: tantheta]

B22 | 여각 변환

[eqn: { n pi}over 2 +- theta]의 삼각함수 꼴은 아래와 같이 처리할 수 있다.

개념1

[eqn: sin LEFT ( {n pi } over {2} ± theta RIGHT ) = {cases{BOX{±} rm `sin it theta ```(n이```짝수)#BOX{±} rm `cos it theta ```(n이```홀수)}} it]

①   [eqn: cos LEFT ( {n pi } over {2} ± theta RIGHT ) = {cases{BOX{±} rm `cos it theta ```(n이```짝수)#BOX{±} rm `sin it theta ```(n이```홀수)}} it]

② [eqn: theta]를 예각으로 가정하고, 원 삼각함수의 부호를 따라 부호를 정해준다.

※ 여각 변환 표다. 몇 개 골라서 확인해보자.

B23 | 삼각함수의 그래프

[eqn: y=sinx]의 그래프

개념1

① 주기는 [eqn: 2 pi]이다.

② 치역은 [eqn: LEFT { `y`|`-1 LEQ y LEQ 1 RIGHT }]이다.

③ 그래프는 원점 대칭이다.

[eqn: y=cosx]의 그래프

개념2

① 주기는 [eqn: 2 pi]이다.

② 치역은 [eqn: LEFT { `y`|`-1 LEQ y LEQ 1 RIGHT }]이다.

③ 그래프는 [eqn: y]축 대칭이다.

[eqn: 2n pi +- theta]의 삼각함수	[eqn: pi +- theta]의 삼각함수	[eqn: pi over 2 +- theta]의 삼각함수
① [eqn: sin (2 n pi + theta ) = sin theta]	⑦ [eqn: sin ( pi + theta ) = -sin theta]	⑬ [eqn: sin left ( pi over 2 + theta right ) = cos theta]
② [eqn: sin(2n pi- theta )=-sin theta]	⑧ [eqn: sin ( pi - theta ) = sin theta]	⑭ [eqn: sin left ( pi over 2 - theta right ) = cos theta]
③ [eqn: cos (2 n pi + theta ) = cos theta]	⑨ [eqn: cos ( pi + theta ) = -cos theta]	⑮ [eqn: cos left( pi over 2 + theta right) = -sin theta]
④ [eqn: cos(2n pi - theta )=cos theta]	⑩ [eqn: cos ( pi - theta ) = -cos theta]	⑯ [eqn: cos left( pi over 2 - theta right) = sin theta]
⑤ [eqn: tan (2 n pi + theta ) = tan theta]	⑪ [eqn: tan (pi + theta ) = tan theta]	⑰ [eqn: tan left (pi over 2 + theta right) = - 1 over { tan theta}]
⑥ [eqn: tan (2n pi- theta ) =- tan theta]	⑫ [eqn: tan (pi - theta ) = -tan theta]	⑱ [eqn: tan left (pi over 2 - theta right) = 1 over { tan theta}]

[eqn: y=tanx]의 그래프

개념3

① 주기는 [eqn: pi]이다.

② 치역은 실수 전체의 집합이다,

③ 점근선은 [eqn: x= { pi} over { 2} +n pi]이다.

④ 그래프는 원점 대칭이다.

B23E1 | 삼각함수 그래프의 변형

삼각함수 [eqn: y= a sin(bx+ c )+d]의 그래프

개념1

① [eqn: y]축 방향으로 [eqn: a]배 확대 ( [eqn: RARROW] 최대 [eqn: |a|], 최소 [eqn: -|a|] )

② [eqn: x]축 방향으로 [eqn: b]배 축소 ( [eqn: RARROW] 주기 [eqn: {2pi} over { |b|}] )

③ [eqn: (p,```d)] 평행이동 ( [eqn: RARROW] 최대 [eqn: |a|+d], 최소 [eqn: -|a|+d] )

함수 [eqn: y=3sin4x+5]의 그래프의 최대/최소/주기를 구하여라.

예제1

함수 [eqn: y=a sin bx+ c]([eqn: a> 0], [eqn: b>0])의 최댓값이 [eqn: 4], 최솟값이 [eqn: -2]이고,

예제2

주기가 [eqn: 4 over 3 pi]일 때, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하여라.

함수 [eqn: y=a`cosbx+c]의 그래프가

예제3

오른쪽 그림과 같을 때, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을

구하여라. (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

함수 [eqn: y=a sin(bx-c)]의 그래프가

예제4

오른쪽 그림과 같을 때, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을

구하여라. (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: 0<c< { pi} over {2 }])

B23E2 | 함수의 주기성

함수 [eqn: f(x)]가 정의역에 속하는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

개념1

[eqn: f(x)=f(x+p)]를 만족시키는 [eqn: 0]이 아닌 상수 [eqn: p]가 존재할 때,

[eqn: f(x)]를 주기함수라 하고 이러한 [eqn: p] 중에서 최소인 양수를 주기라 한다.

※ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+2)]이면 함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: 2]인가? (ㄴㄴ)

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: 0le x le2]에서 [eqn: f(x)=|x-1|]이고 임의의 [eqn: x]에 대하여

예제1

[eqn: f(x+2)=f(x)]를 만족시킬 때, [eqn: y=f(x)]의 그래프를 그려라.

B24 | 삼각방정식/삼각부등식

✔ 그래프를 그려두고 그래프 상에서 잘 찾는다.

[eqn: 0le x le2pi]일 때, 다음 방정식/부등식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: sinx= {1} over {2}]	(2) [eqn: cosx=- {1} over {2}]

(3) [eqn: tanx= sqrt {3}]	(4) [eqn: sinx < - {1} over {2}]

(5) [eqn: cosx le- {1} over {sqrt {2}}]	(6) [eqn: 2cosx- sqrt {2} >0]

[eqn: 0le x le2pi]일 때, 다음 방정식을 풀어라.

예제2

(1) [eqn: tanx=2sinx]	(2) [eqn: sinx= sqrt { 3}{rmcos}x]

(3) [eqn: 2 cos^2 x + sin x = 1]	(4) [eqn: 3-2cos ^{2} x-3sinx=0]

[eqn: 0le x le2pi]에서 [eqn: sin2x= {1} over {3}]의 모든 근의 합을 구하여라.

예제3

B25 | 삼각함수의 치환

✔ [eqn: sintheta]나 [eqn: costheta]를 치환하면 그 치환한 값의 범위는 [eqn: -1] 이상 [eqn: 1] 이하이다.

✔ [eqn: sin ^{2} theta+cos ^{2} theta=1]을 이용하여 [eqn: sin ^{2} theta]나 [eqn: cos ^{2} theta]값을 반대쪽으로 바꿔줄 수 있다.

[eqn: y=2sin ^{2} x-2cosx+1]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

예제1

함수 [eqn: y= {-sinx+2} over {sinx+3}]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

예제2

B26 | 사인법칙

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 할 때,

개념1

[eqn: {a} over {sin{A}} = {b} over {sin{B}} = {c} over {sin{C}} =2R]이 성립한다.

외접원에서 원주각으로 지름을 지나게 옮긴다.

증명1

수선 내리고 그 길이를 양쪽에서 본다.

증명2

B27 | 코사인법칙

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc cos{A}]이 성립하고,

개념1

이를 코사인법칙 혹은 제[eqn: 2]코사인법칙이라 한다.

수선을 내려서 피타고라스 두 번 때린다.

증명

※ 상황별로 어떤 공식을 꺼내야 할지를 생각해보면,

① 사인법칙은 [eqn: rmASA]가 주어진 삼각형의 나머지 두 변을 결정해준다.

② 사인법칙은 외접원의 반지름의 길이를 결정해준다.

③ 코사인법칙은 [eqn: rmSAS]가 주어진 삼각형의 나머지 한 변을 결정해준다.

④ 코사인법칙은 [eqn: rm SSS]가 주어진 삼각형의 세 각을 결정해준다.

다음 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: a]의 값을 구하여라.

예제1

(1)                      (2)                        (3)

B28 | 삼각형의 넓이

삼각형 [eqn: rmABC]의 두 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b]이고 두 변의 끼인 각이 [eqn: theta]이면

개념1

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: S= {1} over {2} ab sin theta]이다.

[eqn: b=4], [eqn: c=2root3], [eqn: rm angleA=60 DEG]인 [eqn: triangle \ABC]의 넓이를 구하여라.

예제1

[eqn: a=5], [eqn: b=8], [eqn: rm angleC=135 DEG]인 [eqn: triangle \ABC]의 넓이를 구하여라.

예제2