[지수와 로그]

B01 | 거듭제곱근

‘제곱근 [eqn: 3]’과 ‘[eqn: 3]의 제곱근’에 대하여 설명하여라.

탐구

[eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 : [eqn: n]번 거듭제곱하면 [eqn: a]가 되는 수 [eqn: RARROW] [eqn: x ^{n} =a]의 근

개념1

[eqn: root {n} of {a}] : [eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 [eqn: a]와 부호가 같은 것

개념2

eg1) [eqn: 16]의 네제곱근은 [eqn: 2], [eqn: -2], [eqn: 2i], [eqn: -2i]의 네 개다.   cf) [eqn: root {4} of {16}=2]

eg2) [eqn: -8]의 세제곱근은 [eqn: -2], [eqn: 1+ sqrt { 3}i], [eqn: 1- sqrt { 3}i]의 세 개다.   cf) [eqn: root {3} of {-8} =-2]

✔ [eqn: n]이 홀수이고 [eqn: a]가 양수일 때, [eqn: root {n} of {-a} =- root {n} of {a}]이다.

✔ [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: root {n} of {a ^{n}} =a], [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: root {n} of {a ^{n}} =|a|]이다.

B02 | 거듭제곱근의 개수

[eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수는 아래 표와 같다.

개념1

	[eqn: a>0]	[eqn: a=0]	[eqn: a<0]
[eqn: n]이 짝수	[eqn: 2]개	[eqn: 1]개	[eqn: 0]개
[eqn: n]이 홀수	[eqn: 1]개	[eqn: 1]개	[eqn: 1]개

✔ 복소수 범위에서 [eqn: n]제곱근은 항상 [eqn: n]개 [eqn: RARROW] 시험에 안 나옴요.

[eqn: 3]의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: m], [eqn: -5]의 세제곱근 중

예제1

실수인 것의 개수를 [eqn: n]이라 할 때, [eqn: m+n]의 값을 구하여라.

[eqn: P(n,```a)]를 [eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수라 하자.

예제2

[eqn: P(3,```100)+P(4,```100)+P(5,```-4)+P(6,```-20)]의 값을 구하여라.

함수 [eqn: f(n)]을 [eqn: x ^{n} =5-n]의 실근의 개수라 할 때,

예제3

[eqn: f(3)+f(6)+f(9)]의 값을 구하여라.

B03 | 거듭제곱근의 연산

✔ 뭐 여러 가지 성질 있는데, 그냥 지수 확장해서 다루면 된다.

[eqn: RARROW] 지수 단원을 뗀 후에 다시 와서 증명해보도록 하자.

[eqn: a ^{{1} over {n}} = root {n} of {a}][eqn: 1over root {5} of {3 ^{2}}][eqn: {1} over {sqrt {3 ^{-1}}}]

B04 | 지수의 확장

[eqn: a^-n = { 1} over {a^n }] ([eqn: a!=0]일 때 정의한다.)

개념1

([eqn: a>0]일 때 정의한다.)

개념2

※ 유리수 지수를 양수 밑에만 정의하는 이유를 확인하여라.

다음을 간단히 하여라.

예제1

(1) [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{-1}]	(2)

(3)	(4) [eqn: sqrt { {2 ^{2}} over {2 ^{3}}}]

B05 | 지수의 연산

지수법칙이 여전히 잘 성립한다.

개념1

① [eqn: a ^{p} a ^{q} =a ^{p+q}]     ② [eqn: (a ^{p} ) ^{q} =a ^{pq}]     ③ [eqn: (ab) ^{p} =a ^{p} b ^{p}]

다음을 간단히 하여라.

예제1

(1) [eqn: sqrt {root {4} of {root {3} of {a}}}]	(2) [eqn: sqrt {a sqrt {a}}]

(3) [eqn: {root {3} of {a root {4} of {a}}}]	(4) [eqn: root {3} of {a} ÷ root {4} of {a ^{2}}]

[eqn: 7^{ y over2} = 16][eqn: LEFT ( root {3} of {3 ^{5}} RIGHT ) ` ^{{1} over {2}}][eqn: left( { 1} over {32 }right)^{a- { 1} over {2 }b}]

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 3^a = 2]일 때, [eqn: 27^a + 4cdot9^-a]의 값을 구하여라.

예제2

실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: 8^x = 2^y =a]이고 [eqn: 1over x - 1over y =2]일 때,

예제3

양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 2^x =7],        인 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: xy]의 값을 구하여라.

예제4

[eqn: 5^x =10], [eqn: 80^y =10], [eqn: a^z = 10]을 만족시키는 세 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여,

예제5

[eqn: 1overx + 1over y - 1 over z =2]일 때 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

✔ 소수의 유리수승이 유리수가 되려면 지수가 정수여야 한다.

[eqn: 2 LEQ n LEQ 100]인 자연수 [eqn: n]에 대하여        이

예제6

어떤 자연수의 [eqn: n]제곱근이 되도록 하는 [eqn: n]의 개수를 구하여라.

[eqn: 100] 이하의 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두수 [eqn: root{3} of {{3^b+1}over2^a}]과 [eqn: root{5} of {3^b over 2^a+1]이

예제7

모두 유리수가 되도록 하는 순서쌍 [eqn: (a,``` b)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 10]보다 작은 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여          이

예제8

자연수가 되도록 하는 순서쌍 [eqn: (a,```b)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 2 ^{{1} over {2}}][eqn: 3 ^{{1} over {3}}][eqn: x ^{{1} over {2}} +x ^{- {1} over {2}} =5][eqn: x ^{{3} over {2}} +x ^{- {3} over {2}}]

B05E1 | 크기 비교

✔ 지수를 잘 통일해본다. (통분하거나 공통인수 묶기)

✔ [eqn: a], [eqn: b], [eqn: p]가 양수이면 [eqn: a ^{p} >b ^{p} ```` LRARROW ````a>b] ([eqn: y=x ^{p}]는 증가함수이다.)

다음의 수들의 크기를 비교하여라.

예제1

(1)    과

(2) [eqn: 2^33]과 [eqn: 3^22]

(3) [eqn: A= sqrt {5}], [eqn: B= root {3} of {11}], [eqn: C= root {3} of {sqrt {120}}]

B05E2 | 역수 표현

[eqn: 1]이 아닌 양수 [eqn: x]에 대하여             일 때,

예제1

의 값을 구하여라.

[eqn: x+x ^{-1} =3]일 때, [eqn: x ^{2} -x ^{-2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: x>1])

예제2

[eqn: 3^x-1 + 3^-x =4]일 때, [eqn: 3^3x over27 + 1 over 3^3x]의 값을 구하여라.

예제3

B06 | 로그의 정의

[eqn: a^x =b```LRARROW```x=log_a b]

개념1

※ [eqn: log _{a} b]에서 [eqn: a]를 로그의 밑, [eqn: b]를 로그의 진수라 한다.

eg1) [eqn: 2^x =8] [eqn: RARROW] [eqn: x=log _{2} 8=3]

eg2) [eqn: 2 ^{x} =12] [eqn: RARROW] [eqn: x=log _{2} 12=3.xx]

eg3) [eqn: 2^x =16] [eqn: RARROW] [eqn: x=log _{2} 16=4]

B06E1 | 로그가 정의되는 조건

※ [eqn: a ^{x} =b]에서 [eqn: a<0]이면 함수가 거지가 된다.

[eqn: a=1]이면 [eqn: x]값은 부정, [eqn: b=1]이다.

[eqn: RARROW] 로그의 밑은 [eqn: 1]이 아닌 양수일 때만을 취급한다.

[eqn: RARROW] 따라서 [eqn: b>0]

[eqn: log _{a} b]가 정의되려면,

개념1

① [eqn: a>0],     ② [eqn: a!=1],     ③ [eqn: b>0]

[eqn: log _{a-2} (x ^{2} +ax+2a)]의 값이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

예제1

정의되도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하여라.

B07 | 로그의 연산

로그에 대하여 다음이 성립한다.

개념1

① [eqn: log_a 1=0],   [eqn: log_a a=1]

② [eqn: log _{a} b ^{n} =n`log _{a} b],   [eqn: log _{a ^{n}} b= {1} over {n} `log _{a} b]

③ [eqn: log _{a} b+log _{a} c=log _{a} bc],   [eqn: log _{a} b-log _{a} c=log _{a} {b} over {c}]

④ [eqn: log _{a} b= {log _{c} b} over {log _{c} a}],   [eqn: log _{a} b= {1} over {log _{b} a}]

⑤ [eqn: a^{log_b c}=c^{log_b a}],   [eqn: a ^{k log _{b} c} =c ^{k log _{b} a}]

예의상 증명 한 번씩은 해 봐 주세요.

증명

다음을 간단히 하여라.

예제1

(1) [eqn: log _{5} 5 sqrt {5}]	(2) [eqn: log _{9} {1} over {sqrt {3}}]

(3) [eqn: log _{2} 12-log _{4} {9} over {2}]	(4) [eqn: log _{10} {1} over {4} -log _{10} 9-2log _{10} {5} over {3}]

(5) [eqn: log _{2} 9`cdot`log _{3} sqrt {2}]	(6) [eqn: 2log _{3} 2 sqrt {3} - {1} over {log _{2} 3} - {2} over {log _{sqrt {6}} 3}]

(7) [eqn: ( sqrt {2} ) ^{log _{2} 25}]	(8) [eqn: 2 ^{8log _{4} sqrt {5}}]

다음 물음에 답하여라.

예제2

(1) [eqn: 2 ^{x} =3], [eqn: 3 ^{y}=4]를 만족시키는 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: xy]의 값을 구하여라.

(2) [eqn: k^4 =5], [eqn: 16=5 ^{l}]일 때, [eqn: k^l]의 값을 구하여라.

(3) [eqn: 2^x = 3^y = 6^z]일 때, [eqn: { (x+y)z } over xy]의 값을 구하여라.

[eqn: x=b ^{{1} over {a}}]

B07E1 | 로그의 밑 변환

[eqn: a ^{x} =b] [eqn: RARROW] [eqn: x=log _{a} b]

개념1

※ [eqn: x ^{a} =b] [eqn: RARROW]

eg1) [eqn: 1]시간에 [eqn: 3]배가 된다. 몇 시간만에 [eqn: 30]배가 되는가?

eg2) [eqn: 5]년에 [eqn: 10]배가 된다. [eqn: 1]년에는 몇 배가 되는가?

eg3) [eqn: 10]년간 절반이 된다. 몇 년만에 [eqn: 20%]가 되는가?

✔ 계산이 잘 안 되면 일단 밑을 통일해본다.

[eqn: log _{4} 3+log _{2} 5+1]을 간단히 하여라.

예제1

[eqn: log _{2} 3=a], [eqn: log _{3} 7=b]일 때, [eqn: log _{14} 21]을 [eqn: a], [eqn: b]로 나타내어라.

예제2

B08 | 로그가 포함된 식

✔ 잘 집어넣고 정리한다.

어떤 컵에 물을 부은 지 [eqn: x]분 후 이 컵 속의 물의 온도를 [eqn: y centigrade]라 하면

예제1

[eqn: y=a cdotb^-x] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)

인 관계가 성립한다고 한다. 이 컵 속의 물의 온도가 [eqn: 5]분 후, [eqn: 10]분 후에

각각 [eqn: 50 CENTIGRADE], [eqn: 40 centigrade]라고 할 때, [eqn: 15]분 후의 물의 온도를 구하여라.

지진의 규모 [eqn: R]과 지진이 일어날 때 방출되는 에너지 [eqn: E] 사이에는

예제2

[eqn: R=0.67 log (0.37E`)+1.46]

의 관계가 있다고 한다. 지진의 규모가 [eqn: 6.15]일 때 방출되는 에너지를 [eqn: E_1],

지진의 규모가 [eqn: 5.48]일 때 방출되는 에너지를 [eqn: E_2]라 할 때, [eqn: E_1 over E_2]의 값을 구하여라.

B08E1 | 기하급수적 증감

✔ 기하급수적 : 일정한 간격에 일정한 비율로

[eqn: RARROW] 시간마다 [eqn: r]배로 증가하면 [eqn: t]시간 동안 [eqn: r^t]배로 증가하게 된다.

정부에서는 담배 가격을 인상하려고 한다. 매년 바로 이전 연도 보다

예제1

[eqn: 15%]씩 올리기로 한다면, 현재 가격의 세 배 이상이 되는 것은 지금부터

몇 년 후인지 구하여라. (단, [eqn: log _{10} 1.15=0.0607], [eqn: log _10 3 = 0.4771])

가입자가 1년 동안 무사고 운전을 하였을 때 보험료를 전년도의 [eqn: 10%]만큼

예제2

인하해준다. 올해 가입한 가입자가 첫 해 보험료의 절반 이하를 내기 위해서는

몇 년을 무사고로 운전해야 하는지 구하여라. (단, [eqn: log2 = 0.30,~log3=0.48])

우라늄 [eqn: rm U ^{237}]은 일정한 비율로 붕괴되어, [eqn: 7]일 후에는 절반이 된다고 한다.

예제3

며칠 후에 처음 양의 [eqn: {1} over {10}] 이하가 되는지 구하여라. (단, [eqn: log2=0.3010])

B09 | 상용로그의 뜻

밑이 [eqn: 10]인 로그 [eqn: log _{10} A]를 상용로그라 하고

개념1

밑을 생략하여 [eqn: logA]으로 나타낸다.

[eqn: logA]가 정수 [eqn: n]과 [eqn: 0 lealpha<1]인 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: n+alpha]이면

개념2

[eqn: n]을 [eqn: logA]의 정수부분(지표), [eqn: alpha]를 [eqn: logA]의 소수부분(가수)라 한다.

다음의 정수부분과 소수부분을 구하여라. (단, [eqn: log2=0.30], [eqn: log3=0.48])

예제1

(1) [eqn: log12]	(2) [eqn: log200]

(3) [eqn: log {1} over {4}]	(4) [eqn: log0.06]

[eqn: logA ^{2} =2n+2 alpha = {cases{(2n)+(2 alpha )&``` LEFT ( 0 LEQ alpha < {1} over {2} RIGHT )#&#(2n+1)+(2 alpha -1)&``` LEFT ( {1} over {2} LEQ alpha <1 RIGHT )}}]

[eqn: A=a`times10 ^{n}]([eqn: 1 lea<10], [eqn: n]은 정수)일 때,

개념3

[eqn: logA]의 정수부분은 [eqn: n], 소수부분은 [eqn: loga]이다.

다음 상용로그의 정수부분과 소수부분을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: log2340]	(2) [eqn: log12000]

(3) [eqn: log0.0543]	(4) [eqn: log { 1} over {25 }]

[eqn: log 20]의 정수부분을 [eqn: x], 소수부분을 [eqn: y]라 할 때, [eqn: 10^x + 10^y]의 값을 구하여라.

예제3

B09E1 | 정수부분과 소수부분1

✔ [eqn: logx]의 정수부분이 [eqn: n], 소수부분이 [eqn: alpha]일 때,  [eqn: logf(x)]의

정수부분과 소수부분을 [eqn: n]과 [eqn: alpha]를 이용하여 나타낼 수 있어야 한다.

① [eqn: logA=n+alpha]일 때,

[eqn: [logA]=2], [eqn: logA]의 소수부분과 [eqn: logA^2]의 소수부분의 합이 [eqn: 1]이다.

예제1

조건을 만족시키는 모든 [eqn: A]의 값의 곱을 구하여라.

[eqn: logA ^{3} =3n+3 alpha = {cases{(3n)+(3 alpha )&``` LEFT ( 0 LEQ alpha < {1} over {3} RIGHT )#(3n+1)+(3 alpha -1)&``` LEFT ( {1} over {3} LEQ alpha < {2} over {3} RIGHT )#(3n+2)+(3 alpha -2)&``` LEFT ( {2} over {3} LEQ alpha <1 RIGHT )}}][eqn: log {1} over {A}=-n-alpha= cases{ (-n)+(-alpha)&```(alpha=0) # & #(-n-1)+(1-alpha)& ```(0<alpha<1)}][eqn: log2A= {cases{n+( alpha +log2)&```(0le alpha <log5)#&#(n+1)+( alpha -log5)&```(log5le alpha <1)}}][eqn: log sqrt {A} = {1} over {2} n+ {1} over {2} alpha = {cases{{1} over {2} n+ {1} over {2} alpha&```(n은```짝수)#&#{1} over {2} (n-1)+ {1} over {2} (alpha+1)&```(n은```홀수)}}]

② [eqn: logA=n+alpha]일 때,

[eqn: [logx]:[logx ^{2} ]:[logx ^{3} ]=1:3:5]를 만족시키는 [eqn: x]의 범위를 구하여라.

예제2

③ [eqn: logA=n+alpha]일 때,

[eqn: logx]의 정수부분이 [eqn: 1]이고 [eqn: logx^2]과 [eqn: log { 1} over {x }]의 소수부분이 같다.

예제3

조건을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 곱을 구하여라.

④ [eqn: logA=n+alpha]일 때,

[eqn: f(x)=[logx]]라 할 때, [eqn: f(n)=1], [eqn: f(n ^{2} )-f(2n)=2]를 만족시키는

예제4

자연수 [eqn: n]의 개수를 구하여라. (단, [eqn: sqrt {10} =3.16]으로 계산한다.)

⑤ [eqn: logA=n+alpha]일 때,

[eqn: f(x)=logx-[logx]]라 하자. [eqn: 10 leA<10000]인 자연수 [eqn: A] 중

예제5

[eqn: f(A)<f( sqrt {A} )]를 만족시키는 것의 개수를 구하여라.

B09E2 | 정수부분과 소수부분2

정수부분은 정수 ! 소수부분은 [eqn: 0lealpha<1]이다.

개념1

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 3x ^{2} -7x+k=0]의 두 근이 [eqn: logA]의

예제1

정수부분과 소수부분이다. [eqn: k]의 값을 구하여라.

[eqn: [logx]=3(logx-[logx])]를 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 곱을 구하여라.

예제2

[eqn: logx]의 정수부분을 [eqn: n], 소수부분을 [eqn: alpha]라 할 때,

예제3

[eqn: (n+alpha) ^{2} +alpha ^{2} =8]을 만족시키는 [eqn: x]값을 모두 구하여라.

더하거나 빼서 정수일 때 좀 간단하게 풀 수 있다.

개념2

[eqn: [logA]=2], [eqn: logA]의 소수부분과 [eqn: logA^2]의 소수부분의 합이 [eqn: 1]이다.

예제4

조건을 만족시키는 모든 [eqn: A]의 값의 곱을 구하여라.

[eqn: logx]의 정수부분이 [eqn: 1]이고 [eqn: logx^2]과 [eqn: log { 1} over {x }]의 소수부분이 같다.

예제5

조건을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 곱을 구하여라.

B10 | 상용로그의 정수부분

[eqn: logx]의 정수부분이 [eqn: n]이면

개념1

① [eqn: n ge0]일 때 : [eqn: x]는 [eqn: n+1]자리의 수이다.

② [eqn: n<0]일 때 : [eqn: x]는 소수점 이하 [eqn: n]번째 자리부터 [eqn: 0]이 아닌 숫자가 등장한다.

다음의 정수부분을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: log438]	(2) [eqn: log10100]

(3) [eqn: log0.0612]	(4) [eqn: log0.00725]

B11 | 상용로그의 소수부분

[eqn: logx]의 소수부분과 [eqn: logy]의 소수부분이 같으면

개념1

[eqn: x]와 [eqn: y]의 숫자 배열이 같다. (정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A times10^n =B]이다.)

※ [eqn: A=a`times10 ^{n}]([eqn: 1 lea<10], [eqn: n]은 정수) 표현에서 이해하면 좋다.

[eqn: log8.16=0.9117]일 때, 다음의 값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: log81600]	(2) [eqn: log816]

(3) [eqn: log0.816]	(4) [eqn: log0.00816]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: logx]의 정수부분과 소수부분을 각각

예제2

[eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: f(A)=f(2550)], [eqn: g(A)=g(0.423)]을 만족시키는

[eqn: A]의 값을 구하여라.

[eqn: log x]의 소수부분을 [eqn: f(x)]라 할 때, 집합

예제3

[eqn: A= LEFT{ n`` left | ``f(n) LEQ f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ,```n은```100```이하의```자연수 RIGHT }]

의 원소의 개수를 구하여라.

B11E1 | 최고자릿수

✔ [eqn: log2], [eqn: log3]이 주어지면 [eqn: log4], [eqn: log5], [eqn: log6], [eqn: log8], [eqn: log9]를 구할 수 있고

이를 이용하여 ([eqn: 7]근처에만 안 걸리면) 어떤 수의 최고자리의 수를 구할 수 있다.

[eqn: logA=5.65]일 때, [eqn: A]의 최고자리의 수를 구하여라.

예제1

(단, [eqn: log2=0.3]으로 계산한다.)

[eqn: 3 ^{100}]의 자릿수, 최고자리의 수, 일의 자릿수를 각각 구하여라.

예제2

(단, [eqn: log2=0.3010], [eqn: log3=0.4771]로 계산한다.)

[eqn: {cases{#####}}]

[지수함수와 로그함수]

B12 | 지수함수의 그래프

다음 함수의 그래프를 그려라.

탐구

[eqn: y=2 ^{x}],   [eqn: y=3 ^{x}],   [eqn: y=left( {1} over {2} right) ^{x}],   [eqn: y=(-2) ^{x}]

[eqn: y=a ^{x}]의 그래프

개념1

① [eqn: (0,```1)]을 지난다.

② [eqn: x]축을 점근선으로 가진다.

③ 정의역은 실수전체, 치역은 [eqn: left{``y``|``y>0right}]이다.

④    [eqn: a>1]이면 증가함수이다. ([eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f(x _{1} )<f(x _{2} )]이다.)

[eqn: a=1]이면 상수함수이다.

[eqn: 0<a<1]이면 감소함수이다.

※ [eqn: a<0]이면 함수가 안 되므로 버린다.

⑤ [eqn: a]가 [eqn: 1]에서 멀어지면 [eqn: y=a ^{x}]의 그래프가 [eqn: y=1]에서 멀어진다.

B12E1 | 지수함수의 평행/대칭이동

[eqn: y]축 방향으로의 평행이동은 점근선이 움직인다,

개념1

eg) [eqn: 2^x +2],   [eqn: 2^x -1]

[eqn: x]축 방향으로의 평행이동은 [eqn: y]축 방향으로 ‘몇배’

개념2

eg) [eqn: 2^x+1],   [eqn: 3cdot2^x]

[eqn: y=2^x]와 [eqn: y=left( { 1} over {2 }right)^x]는 서로 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

개념3

cf) [eqn: y=2^x]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동 시키면 [eqn: y=-2^x]이다.

✔ 절댓값이 포함된 그래프도 몇 개 그려보자.

(1) [eqn: y=| `2^x -1`|]

(2) [eqn: y=2^|x|]

(3) [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{|x|}]

✔ 문제를 풀다 보면 가끔 나오는 그래프니까 그려보자.

(1) [eqn: y=2^x +2^-x]

(2) [eqn: y=2 ^{x} -2 ^{-x}]

B13 | 지수방정식/지수부등식

[eqn: a]가 [eqn: 1]이 아닌 양수이면 [eqn: a ^{x} =a ^{y}] [eqn: LRARROW] [eqn: x=y]

개념1

cf) [eqn: x^2 =y^2] [eqn: RARROW] [eqn: x=y] (X)

cf) [eqn: x ^{3} =y ^{3}] [eqn: RARROW] [eqn: x=y] (O)

※ 일반적으로 [eqn: a ^{x} =a ^{y}] [eqn: LRARROW] [eqn: x=y]로 풀다 털릴 수도 있다.

✔ 밑을 통일해서 푼다. (통일이 잘 안 되면 로그가 필요하다.)

다음 방정식의 해를 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 2 ^{x} =8]	(2) [eqn: left( {1} over {2} right) ^{x-7} =2 sqrt { 2}]

(3) [eqn: 9^x^2 -3^3x-1 =0]	(4) [eqn: 2^x+1 =3]

(5) [eqn: 2 cdot3^x =5^x]	(6) [eqn: x ^{x ^{2} -8} =x ^{2x+7}] (단, [eqn: x>0])

[eqn: a ^{x} <a ^{y}]일 때,

개념2

① [eqn: a>1]이면 [eqn: x<y]

② [eqn: 0<a<1]이면 [eqn: x>y]

다음 부등식의 해를 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 3 ^{x} <9 ^{x+2}]	(2) [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x ^{2}} < LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}]

(3) [eqn: 125 ^{x} ge(0.2) ^{4-x ^{2}}]	(4) [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} <3]

B14 | 지수함수의 치환

✔ [eqn: 2 ^{x} =t]로 치환하면,

(1) [eqn: 4 ^{x} =]	(2) [eqn: 2 ^{2x} =]	(3) [eqn: 2 ^{x+2} =]

(4) [eqn: 2 ^{x-3} =]	(5) [eqn: left( {1} over {2} right) ^{x} =]	(6) [eqn: x=]

✔ [eqn: 3 ^{x} =t]로 치환하면,

(1) [eqn: 9 ^{x} =]	(2) [eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} =]	(3) [eqn: 3 ^{x-2} =]

(4) [eqn: 3 ^{2-x} =]	(5) [eqn: LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{-1-x} =]	(6) [eqn: 3 ^{x ^{2}} =]

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) 방정식 [eqn: 4 ^{x} =2 ^{x} +2]의 해를 구하여라.

(2) 방정식 [eqn: 9 ^{x} +3 ^{x+1} -18=0]의 해를 구하여라.

(3) 방정식 [eqn: 9 ^{x} -2cdot3 ^{x+2} +9=0]의 두 근의 합을 구하여라.

(4) 부등식 [eqn: 4 ^{x} -6cdot2 ^{x} +8<0]의 해를 구하여라.

[eqn: y=log _{{1} over {2}} x]

다음 물음에 답하여라.

예제2

(1) [eqn: -2le x le2]에서 [eqn: y=2 ^{2x} -2 ^{x+1}]의 최솟값과 최댓값을 구하여라.

(2) [eqn: 4 ^{x} -2 ^{x+a} +b]는 [eqn: x=1]에서 최솟값 [eqn: 3]을 갖는다. [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

(3) [eqn: 4 ^{x} +a cdot 2^x+1 -a+6=0]이 두 실근을 갖는다. [eqn: a]값의 범위를 구하여라.

(4) [eqn: 4^x -k cdot 2^x+1 +3k=0]이 두 양의 실근을 가진다. [eqn: k]값의 범위를 구하여라.

(5) [eqn: 4^x +2^x+1 +k-5>0]이 모든 [eqn: x]에 대하여 성립한다. [eqn: k]값의 범위를 구하여라.

B15 | 로그함수의 그래프

다음 함수의 그래프를 그려라.

탐구

[eqn: y=log _{2} x],   [eqn: y=log _{3} x],

[eqn: y=log _{a} x]의 그래프는 [eqn: a>1]이면 증가함수, [eqn: 0<a<1]이면 감소함수이다.

개념1

※ [eqn: a=1]일 때의 그래프는 [eqn: x=1]이 된다. (함수가 아님)

✔ [eqn: a]가 [eqn: 1]에서 멀어지면 [eqn: y=log _{a} x]의 그래프는 [eqn: x=1]에서 멀어진다.

그림은 [eqn: 1]이 아닌 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

예제1

세 함수 [eqn: y=log _{a} x], [eqn: y=log _{b} x], [eqn: y=c^x]의 그래프이다.

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 크기 순서대로 나열하여라.

B15E1 | 로그함수의 평행/대칭이동

✔ 그리면서 공부해보자.

(1) [eqn: y=log _{2} (x-2)]	(2) [eqn: y=log _{2} 4x]

(3) [eqn: y=log _{2} (4x+6)]	(4) [eqn: y=-log _{2} x]

(5) [eqn: y=log _{2} (-x)]	(6) [eqn: y=log _{2} {4} over {x-1}]

(7) [eqn: y=|log _{2} x|]	(8) [eqn: y=log _{2} |x|]

(9) [eqn: y= {1} over {2} {rm log} _{2} x ^{2}]

B15E2 | 지수함수와 로그함수

[eqn: y=a^x] [eqn: lrarrow] [eqn: y=log_a x] : 서로 역함수이다.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: log_a a^x][eqn: =a^{log_a x} =x]

[eqn: RARROW] [eqn: y=log _{a} x]와 [eqn: y= a^x]는 서로 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

[eqn: 2log _{{1} over {2}} (x-4) gelog _{{1} over {2}} (-x+6)]

[eqn: y=2 ^{x-3} -4]와 그 역함수로 둘러싸인 도형 내의 [eqn: y=x]를 만족시키며

예제1

[eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 정수인 점의 개수를 구하여라.

B16 | 로그방정식/로그부등식

✔ 가능하면 밑을 통일한다.

✔ 부등식에서 밑이 [eqn: 0<a<1]이면 부등호 방향 뒤집어 주는 것 조심

✔ 진수조건 조심 !!

다음 방정식/부등식의 해를 구하여라.

예제1

(1) [eqn: logx=2]	(2) [eqn: logx ^{2} =4]

(3) [eqn: log _{2} x+log _{2} (x-2)=3]	(4) [eqn: log(x+2)<log5]

(5) [eqn: log _{2} (3-x)>1+log _{2} x]	(6)

(7) [eqn: log _{3} x<log _{3} {1} over {x+2}]	(8) [eqn: left( {1} over {2} right) ^{x} <3]

B16E1 | 그래프 위의 점

점 [eqn: (a,```b)]가 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점이다. [eqn: LRARROW] [eqn: b=f(a)]

개념1

오른쪽 그림에서 [eqn: f(x)=logx]이다.

예제1

[eqn: f(15)]를 [eqn: p]와 [eqn: q]를 이용하여 나타내어라.

원점을 지나는 직선 [eqn: l]과 [eqn: y=log _{k} x]가

예제2

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나고 [eqn: rm bar{OA} `: bar{AB} `=1:3]이다.

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 구하여라. (단, [eqn: k>1])

그림과 같이 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y=3 ^{x}]와 직선 [eqn: y=mx]의

예제3

교점이고 [eqn: rmA']과 [eqn: rmB']은 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린

수선의 발이다. 사다리꼴 [eqn: rmAA' B' B]의 넓이가

삼각형 [eqn: rmOA' A] 넓이의 [eqn: 8]배일 때, [eqn: m]의 값을 구하여라.

B16E2 | 그래프와 부등식

[eqn: 0<a<1]일 때, [eqn: 0<log _{a} b<1]이다. [eqn: b]의 범위를 구하여라.

예제1

[eqn: a ^{x} <a ^{y}]일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: a>0]이고 [eqn: a!=1]이다.)

예제2

ㄱ. [eqn: x<y]	ㄴ. [eqn: log _{a} x<log _{a} y] (단, [eqn: x], [eqn: y]가 양수)

ㄷ. [eqn: x<y]이면 [eqn: a>1]	ㄹ. [eqn: 1<a ^{x}]이면 [eqn: x<y]

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b}]일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?

예제3

ㄱ. [eqn: b<a]	ㄴ. [eqn: 0<a]이면 [eqn: b<a]

ㄷ. [eqn: a<b]이면 [eqn: a<0]	ㄹ. [eqn: 0<a]이면 [eqn: 3b<2a]

✔ 점 [eqn: {rmP}(a,```b)]에 대하여 다음 식의 의미를 말하여라.

(1) [eqn: { b} over {a }]	(2) [eqn: { b-3} over {a-2 }]	(3) [eqn: { a} over {b-1 }]	(4) [eqn: sqrt { a^2 +b^2}]

(5) [eqn: a^2 +b^2]	(6) [eqn: ab]	(7) [eqn: a+b]	(8) [eqn: 3a+b]

두 함수 [eqn: y=log_2 x], [eqn: y=log_3 x]의 그래프가 직선 [eqn: x+y=10]과 만나는 점을

예제4

각각 [eqn: {rmP}(x _{1} ,```y _{1} )], [eqn: {rmQ}(x _{2} ,```y _{2} )]라 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?

ㄱ. [eqn: {y_1} over {x_1 }> { y_2} over {x_2 }]	ㄴ. [eqn: x_1 y_1 <x_2 y_2]

ㄷ. [eqn: x _{2} -x _{1} =-y _{2} +y _{1}]	ㄹ. [eqn: x_1 ^{```2} +y_1 ^{```2 }=x_2 ^{```2} +y_2 ^{```2}]

B17 | 로그함수의 치환

✔ [eqn: log _{2} x=t]로 치환하면, (단, [eqn: x>0])

(1) [eqn: log _{2} x ^{2} =]	(2) [eqn: log _{2} 2x=]	(3) [eqn: log _{2} {x ^{2}} over {4} =]

(4) [eqn: log_x 2 =]	(5) [eqn: x^2 =]	(6) [eqn: log _{2} (x+4)=]

다음 방정식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: (log_2 x)^2 =log_2 x]	(2) [eqn: (log _{3} 3x) ^{2} -log _{3} 27x=0]

(3) [eqn: x ^{logx-1} =100]	(4) [eqn: x ^{log _{3} x} =27x ^{2}]

다음을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: (log _{2} x) ^{2} -log _{2} x ^{2} -1]의 최솟값

(2) [eqn: left(log _{3} {x} over {27} right)(log _{3} 3x)]의 최솟값

(3) [eqn: log _{2} 8x+log _{x} 2]의 최솟값 (단, [eqn: x>1])

(4) [eqn: x^{-log_3 x+4]의 최댓값