기출문제 다잡기

평가원의 수준

[다항함수의 미분법]

5A ACADEMY

SOOHAN

	수학 영역

[2023학년도 수능 8번]

점 [eqn: (0,```4)]에서 곡선 [eqn: y=x^{3}-x+2]에 그은 접선의
[eqn: x]절편은?

④

① [eqn: -{1} over {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: -{3} over {2}]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -{5} over {2}]

▷ 곡선 밖의 점에서 그은 접선.

[2023학년도 수능 19번]

방정식 [eqn: 2 x^{3}-6 x^{2}+k=0]의 서로 다른 양의 실근의 개수가
[eqn: 2]가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 구하여라.

[eqn: 7]

▷ 함수의 그래프와 방정식의 근.

[2023학년도 수능 22번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 전체의
집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: f(4)]의 값을 구하여라.

[eqn: 13]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)=f(1)+(x-1) f`'(g(x))]

이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: {5} over {2}]이다.

(다) [eqn: f(0)=-3], [eqn: f(g(1))=6]

▷ 적당히 어려운 30번. [eqn: { f(x)-f(1)} over {x-1 } =f`'(g(x))]로 정리.

두 점 사이의 기울기가 어떻게 움직이나 보자.

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	수학 영역

[2023학년도 9월 22번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: x=3]에서 극댓값 [eqn: 8]을 갖는
삼차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= {cases{f(x)&```(x GEQ t)#-f(x)+2f(t)&```(x<t)}}]

라 할 때, 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수를
[eqn: h(t)]라 하자. [eqn: h(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값이
두 개일 때, [eqn: f(8)]의 값을 구하여라.

[eqn: 58]

▷ 가장 쉬운 22번. 이건 좀 심했다.

[2023학년도 6월 8번]

실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을
만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(5)]의 최솟값은?

③

(가) [eqn: f(1) `=` 3]

(나) [eqn: 1 <x <5]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f`'(x) ge5]이다.

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

▷ 최소가 되려면.

[2023학년도 6월 9번]

두 함수

[eqn: f(x)=x^3 -x +6],   [eqn: g(x)=x^2 +a]

가 있다. [eqn: x ge 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: f(x) ge g(x)]

가 성립할 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 넘겨서 그래프.

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	수학 영역

[2022학년도 수능 19번]

함수 [eqn: f(x)= x^3 +ax^2 - (a^2 -8a )x +3]이 실수 전체의
집합에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값을 구하여라.

[eqn: 6]

▷ [eqn: f`'(x)=0]의 [eqn: D le 0]이다.

[2022학년도 수능 10번]

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y= f(x)] 위의
점 [eqn: (0,```0)]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=xf(x)] 위의
점 [eqn: ( 1,```2)]에서의 접선이 일치할 때, [eqn: f`'(2)]의 값은?

⑤

① [eqn: -18]	② [eqn: -17]	③ [eqn: -16]

④ [eqn: -15]	⑤ [eqn: -14]

▷ 두 곡선과 모두 접하는 직선 풀 때

[eqn: f` prime (a)=g prime (b)= {g(b)-f(a)} over {b-a}]

편하다.

[2022학년도 9월 19번]

함수 [eqn: f(x) = x^3 - 6 x^2 + 5x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 4]까지
변할 때의 평균 변화율과 [eqn: f`'(a)]의 값이 같게 되도록 하는
[eqn: 0 < a <4]인 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 11]

▷ 시시.

[2022학년도 수능 22번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1over2]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에
대하여 방정식 [eqn: f`'(x) =0]이 닫힌구간 [eqn: [ t ,```t+2 ]]에서 갖는
실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]는 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: f(5)]의 값을 구하여라.

(가) 모든 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: lim _{ t` rarrow ` a + } { g(t) } + lim _{t ` rarrow ` a - } { g(t) } le 2]이다.

(나) [eqn: g(f(1)) = g(f(4))=2], [eqn: g(f(0))=1]

[eqn: 9]

▷ 어려운 문젠데.. 답이 딱 보이는 느낌이 좀 있다.

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	수학 영역

[2022학년도 9월 20번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} x ^{3} - {9} over {2} x ^{2} +10x]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) +x RIGHT | =6x+k]

의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 모든 정수
[eqn: k]의 값의 합을 구하여라.

[eqn: 21]

▷ 풀이만 보면 간단하지만 삽질하기 좋은 문항.

[eqn: f(x)=0], [eqn: f`'(x)=0], [eqn: f(x)+x=0], [eqn: 2f(x)-5x=k]

다 풀고 싶다구.

[2022학년도 9월 22번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[eqn: g(x)=f(x-3) TIMES lim _{h rarrow 0+} {{|f(x+h)|-|f(x-h)|} over {h}}]

가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하여라.

[eqn: 108]

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 방정식 [eqn: g(x)=0]은 서로 다른 네 실근

[eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: alpha_3], [eqn: alpha_4]를 갖고 [eqn: alpha_1 + alpha_2 + alpha_3 + alpha_4 =7]이다.

▷ 대칭미분계수 내고 지랄이여.

인수로 덮고 하는 부분이나 비율관계에 익숙한 학생들이

있어서 22번 중에서는 정답률은 좀 높은 편

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	수학 영역

[2022학년도 6월 14번]

두 양수 [eqn: p], [eqn: q]와 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x-12]에 대하여
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: p+q]의 값은?

③

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: xg(x)= LEFT | xf(x-p)+qx RIGHT |]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은

실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 낮선 상황의 좋은 문항. 등식

[eqn: xg(x)= LEFT | xf(x-p)+qx RIGHT |]

가 신선했다. 비약 없이 정확하게 풀었는지 확인해보자.

답이 딱 눈에 띄는 것이 흠.

[2022학년도 6월 22번]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(1)=4], [eqn: f`'(1) = 1], [eqn: f`'(0)>1]일 때, [eqn: f(0)= q over p]이다. [eqn: p+q]의
값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 2]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x-f(x))=0]의 서로 다른 실근의

개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: 61]

▷ 합성함수를 포함한 방정식은 22번 1순위로 봐야할 듯.

수학2에서 고난도 뽑으려니 어쩔 수 없었다.

앞으로 많이 연습하게 될 것이다.

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	수학 영역

[2021학년도 수능(나형) 17번]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

[eqn: lim _{x->0} {{f(x)+g(x)} over {x} =3}],   [eqn: lim _{x->0} {{f(x)+3} over {xg(x)} =2}]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]에 대하여
[eqn: h` prime (0)]의 값은?

①

① [eqn: 27]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 39]

▷ 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: lim_x->a { f(x)-b} over {x-a }=c]이면

① [eqn: f(a)=b]이고 [eqn: f`'(a)=c]

② [eqn: f(x)=(x-a)(cdots+c)+b]

이 문항은 ①이 유리하다.

[2021학년도 수능(나형) 30번]

함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이고,
함수 [eqn: g(x)]는 일차함수이다. 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)= {cases{LEFT | f(x)-g(x) RIGHT |&```(x<1)#f(x)+g(x)&```(x GEQ 1)}}]

이라 하자. 함수 [eqn: h(x)]가 실수 전체의 집합에서
미분가능하고, [eqn: h(0)=0], [eqn: h(2)=5]일 때, [eqn: h(4)]의 값을
구하여라.

[eqn: 39]

▷ [eqn: h(1-)=h(1+)], [eqn: h'(1-)=h'(1+)]

[eqn: RARROW] 케이스별로 가능한지 조사.

깔끔하다. 30번치고는 좀 쉽나?

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	수학 영역

[수능 예시문항 9번]

원점을 지나고 곡선 [eqn: y=it-x ^{3} -x ^{2} +x]에 접하는
모든 직선의 기울기의 합은?

②

① [eqn: 2]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {11} over {4}]	⑤ [eqn: 3]

▷ 두 가지 풀이.

① [eqn: x=t]에서의 접선이 [eqn: (0,```0)]을 지난다.

② [eqn: it -x ^{3} -x ^{2} +x=mx]가 중근을 갖는다.

[수능 예시문항 19번]

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +kx+10]이 [eqn: x=1]에서
극값을 가질 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 7]

▷ 일반적인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: x=a]에서 극값 [eqn: RARROW] [eqn: f`'(a)=0]

인 것은 아니다.

이 문항에서는 [eqn: f(x)]가             라서.

[수능 예시문항 11번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1], [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =it-2]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =9]는 서로 다른 세 실근을 갖고,
이 세 실근은 크기 순서대로 등비수열을 이룬다.

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 세 실근을 [eqn: a], [eqn: ar], [eqn: ar^2]이라 하면

[eqn: f(x)-9=]

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	수학 영역

[2021학년도 수능 예시문항 22번]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3px ^{2} +q]

가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: 25] 이하의 두 자연수
[eqn: p], [eqn: q]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p,```q RIGHT )]의 개수를 구하여라.

[eqn: 14]

(가) 함수 [eqn: |`f LEFT ( x RIGHT ) `|]가 [eqn: x=a]에서 극대 또는 극소가

되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 5]이다.

(나) 닫힌 구간 [eqn: [-1,```1]]에서 함수 [eqn: |`f LEFT ( x RIGHT ) `|]의 최댓값과

닫힌 구간 [eqn: [-2,~2]]에서 함수 [eqn: |`f LEFT ( x RIGHT ) `|]의 최댓값은

같다.

▷ 워후! 개빡치네. 새시대 킬러문항.

구질구질한 조사를 한 참 해야 한다.

삼차함수 [eqn: 2:1] 쓰면 득을 좀 볼 수 있다.

[2021학년도 9월(나형) 18번]

최고차항의 계수가 [eqn: a]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수
[eqn: x]에 대하여

[eqn: left|` f`'(x)` right| leq 4x^2 +5]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 대칭축이
직선 [eqn: x=1]일 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

②

① [eqn: 3 OVER2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 OVER 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 OVER 2]

▷ 부등식을

[eqn: -4x ^{2} -5 LEQ f` prime (x) LEQ 4x ^{2} +5]

로 줬으면 정답률이 올라갔으려나?

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[2021학년도 9월(나형) 30번]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= |`f(x)f(a-x)`|]가 실수 전체의
집합에서 미분가능할 때, [eqn: g(4a) over {f(0)timesf(4a)}]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(1)=f(3)=0]

(나) 집합 [eqn: left{x`|`x ge1이고```f`'(x)=0 right]의

원소의 개수는 [eqn: 1]이다.

[eqn: 105]

▷ 개인적으로 놀란 것이, 대칭시킨 함수 [eqn: f(a-x)]를

냈다는 점과 [eqn: f(x)f(a-x)]가 [eqn: 6]차함수라는 점.

둘 다 전례가 (거의) 없었거든.

난이도는 30번 치고 쉬운 듯.

절댓값으로 꺾는 것은 너무 많이 했다.

[2021학년도 6월(나형) 10번]

함수 [eqn: f(x)=it- { 1} over { 3}x^3 +2x^2 +mx+1]이 [eqn: x=3]에서
극대일 때, 상수 [eqn: m]의 값은?

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

▷ 일단 [eqn: f`'(3)=0]이다.

[2021학년도 6월(나형) 19번]

방정식 [eqn: 2x ^{3} +6x ^{2} +a=0]이 [eqn: -2 LEQ x LEQ 2]에서 서로 다른
두 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

▷ 보통

[eqn: 2x ^{3} +6x ^{2} =-a]

해서 많이 풀겠지? [eqn: f(x)=2x^3 +6x^2] 그려서.

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	수학 영역

[2021학년도 6월(나형) 24번]

곡선 [eqn: y=x^3 -6x^2 +6] 위의 점 [eqn: (1,```1)]에서의 접선이
점 [eqn: (0,```a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

▷ 접선의 방정식 : [eqn: y=f`'(a)(x-a)+f(a)]

[2021학년도 6월(나형) 26번]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +5x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: a]까지
변할 때의 평균변화율이 [eqn: f`'(2)]의 값과 같게 되도록
하는 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 3]

▷ 평균변화율 : [eqn: { f(b)-f(a)} over { b-a}]

[2021학년도 6월(나형) 30번]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고, 삼차함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 이차항의 계수가 [eqn: 0]이다. 함수

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( x LEQ 0 RIGHT )#g LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( x>0 RIGHT )}}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: h' LEFT ( -3 RIGHT ) +h' LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 38]

(가) 방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( 0 RIGHT )]의 모든 실근의 합은 [eqn: 1]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ -2,```3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의

최댓값과 최솟값의 차는 [eqn: 3+4 sqrt {3}]이다.

▷ 변곡점 없이 풀기 짜증날 것 같다.

변곡점 때리면 나머지는 하나하나 따라 나온다.

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	수학 영역

[2020학년도 수능(나형) 12번]

함수 [eqn: f(x)= it -x^{4}+8a^{2}x^{2}-1]이 [eqn: x=b]와 [eqn: x=2-2b]에서
극대일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: a> 0], [eqn: b> 1]인
상수이다.)

①

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

▷ 두 극댓값 사이에는 극솟값이 있다.

[2020학년도 수능(나형) 27번]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: {rmP}], [eqn: {rmQ}]의 시각
[eqn: t][eqn: (t ge0)]에서의 위치 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]가

[eqn: x_{1}=t^{3}- 2 t^{2}+3 t],   [eqn: x _{2} =t ^{2} +12t]

이다. 두 점 [eqn: {rmP}], [eqn: {rmQ}]의 속도가 같아지는 순간
두 점 [eqn: {rmP}], [eqn: {rmQ}] 사이의 거리를 구하여라.

[eqn: 27]

▷ 기본 문항. 용어 확실하게.

[2020학년도 수능(나형) 20번]

함수

[eqn: f(x)=cases{ - x &``` (x le 0)# x - 1 & ```(0 < x le 2)# 2x - 3 & ```(x>2)}]

와 상수가 아닌 다항식 [eqn: p(x)]에 대하여 보기에서 옳은
것만을 있는 대로 고른 것은?

②

<보 기>

ㄱ. 함수 [eqn: p(x)f(x)]가 실수 전체의 집합에서

연속이면 [eqn: p(0)=0]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: p(x)f(x)]가 실수 전체의 집합에서

미분가능하면 [eqn: p(2)=0]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: p(x) LEFT {f(x) RIGHT }^{2}]이 실수 전체의 집합에서

미분가능하면 [eqn: p(x)]는 [eqn: x^{2}(x-2)^{2}]으로

나누어떨어진다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 무례하게 답이 ⑤가 아닌 합답형을 냈다.

오답률은 당연히 폭-발.

인수를 곱해서 연속/미분가능을 만드는 유형.

개념을 확실하게 잡아놓도록 하자.

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	수학 영역

[2020학년도 수능(나형) 30번]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]가
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(0)=0], [eqn: f`prime (1)=1]일 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하여라.

(가) 방정식 [eqn: f(x)- x=0]의 서로 다른 실근의

개수는 [eqn: 2]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)+x=0]의 서로 다른 실근의

개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: 51]

▷ 킬러 중에서는 비교적 쉬운 문항.

그래도 30번이라고 샥샥 풀리지는 않는다.

가능한 개형을 생각해보고,

인수를 이용하여 다항식을 구성하자.

[2020학년도 9월(나형) 17번]

함수 [eqn: f(x) = x^{3 }- 3ax^{2 }+ 3(a^{2 }- 1)x]의 극댓값이 [eqn: 4]이고
[eqn: f(- 2)>0]일 때, [eqn: f(- 1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 도함수가 인수분해 되지 않으면 빡치겠지.

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	수학 영역

[2020학년도 9월(나형) 27번]

곡선 [eqn: y = x^{3 }- 3x^{2 }+ 2x - 3]과 직선 [eqn: y = 2x + k]가
서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는
모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱을 구하여라.

[eqn: 21]

▷ [eqn: f(x)=k]로 정리하는 것이 보통.

[2020학년도 6월(나형) 24번]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: \P]의 시각 [eqn: t`(t>0)]에서의 위치
[eqn: x]가

[eqn: x = t^{3 }- 5t^{2 }+ 6t]

이다. [eqn: t = 3]에서 점 [eqn: \P]의 가속도를 구하여라.

[eqn: 8]

▷ 속도는 위치의 변화율.

가속도는 속도의 변화율.

[2020학년도 9월(나형) 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
네 개의 수 [eqn: f(- 1)], [eqn: f(0)], [eqn: f(1)], [eqn: f(2)]가 이 순서대로
등차수열을 이루고, 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점
[eqn: (- 1,``` f(- 1))]에서의 접선과 점 [eqn: (2,``` f(2))]에서의 접선이
점 [eqn: (k,``` 0)]에서 만난다. [eqn: f(2k)= 20]일 때, [eqn: f(4k)]의 값을
구하여라. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[eqn: 42]

▷ 막 풀면 복잡해서 쉽지 않다.

차함수에 착안해서 [eqn: k=]   을 바로 띄우면 좋은데.

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	수학 영역

[2020학년도 6월(나형) 18번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
함수 [eqn: g(x)]는

[eqn: g(x)= {cases{{1} over {2}&```(x<0)#f(x)&```(x GEQ 0)}}]

이다. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고
[eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: {1}over{2}]보다 작을 때, 보기에서 옳은 것만을
있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: g(0) + g ′(0) = {1}over{2}]

ㄴ. [eqn: g(1) < {3}over{2}]

ㄷ. 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: g(2) = {5}over{2}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 개형을 잡으면 기역, 디귿은 간단하다.

니은이 좀 특이한데, 적당히 변수 설정해서..

[2020학년도 6월(나형) 26번]

두 함수

[eqn: f(x) = x^{3 }+ 3x^{2 }- k],   [eqn: g(x) = 2x^{2 }+ 3x - 10]

에 대하여 부등식

[eqn: f(x) ≥ 3g(x)]

가 닫힌 구간 [eqn: [- 1 ,``` 4]]에서 항상 성립하도록 하는
실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

[eqn: 3]

▷ 함수 한쪽으로 몰고 [eqn: h(x) ge k]로?

				46

	수학 영역

[2020학년도 6월(나형) 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(2) = 3]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에
대하여 함수

[eqn: g(x)= cases{ { ax-9} over {x-1 } &```(x <1) #f(x) &```(x ge 1) }]

이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: (g circ g)(- 1)]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

함수 [eqn: y = g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y = t]가 서로 다른

두 점에서만 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: t]의 값의

집합은 [eqn: left {t `|` t = it - 1 ```또는``` t ge 3 right]이다.

[eqn: 19]

▷ 개빡친다. 어렵고 복잡. 풀지마.

[2019학년도 수능(나형) 9번]

함수 [eqn: f(x)= x^3 -3x +a]의 극댓값이 [eqn: 7]일 때,
상수 [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 자주 보이는 문항. 틀리면 킬러문항.

[2019학년도 수능(나형) 27번]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: (t ge0)]에서의
위치 [eqn: x]가

[eqn: x =- { 1} over { 3} t^3 + 3t^2 + k]([eqn: k]는 상수)

이다. 점 [eqn: rmP]의 가속도가 [eqn: 0]일 때, 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 40]이다.
[eqn: k]의 값을 구하여라.

[eqn: 22]

▷ 기본 문항.

				46

	수학 영역

[2019학년도 수능(나형) 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의
계수가 [eqn: -1]인 이차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: x >0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x)``le``kx `-2 ``le``f(x)]

를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값을 각각
[eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha - beta = a+b sqrt2]이다. [eqn: a^2 +b^2]의 값을
구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.)

(가) 곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 점 [eqn: (0,```0)]에서의 접선과

곡선 [eqn: y= g(x)] 위의 점 [eqn: (2,```0)]에서의 접선은

모두 [eqn: x]축이다.

(나) 점 [eqn: (2,```0)]에서 곡선 [eqn: y= f(x)]에 그은 접선의

개수는 [eqn: 2]이다.

(다) 방정식 [eqn: f(x)= g(x)]는 오직 하나의 실근을

가진다.

[eqn: 5]

▷ 가능한 개형을 꼼꼼하게 확인하자.

상황을 잘 정리하면 접선 문항이 남는다.

[2019학년도 9월(나형) 14번]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: \P]의 시각 [eqn: t(t ge 0 )]에서의
위치 [eqn: x]가

[eqn: x= t^3 - 5t^2 + a t + 5]

이다. 점 [eqn: \P]가 움직이는 방향이 바뀌지 않도록 하는
자연수 [eqn: a]의 최솟값은?

①

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

▷ 움직이는 방향이 바뀐다.

[eqn: LRARROW] 속도의 쁠마가 바뀐다.

[2019학년도 9월(나형) 15번]

방정식 [eqn: x^3 - 3 x^2 - 9 x - k = 0]의 서로 다른 실근의
개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 최댓값은?

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▷ 알아서.

				46

	수학 영역

[2019학년도 9월(나형) 28번]

시각 [eqn: t=0]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를
움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t ( t ge 0 )]에서의 속도가 각각

[eqn: v_1 (t) = 3t^2 + t],   [eqn: v_2 (t) = 2t^2 + 3 t]

이다. 출발한 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도가 같아지는 순간 두 점
[eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: 9 a]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

▷ 벌써 지겹네.

[2019학년도 6월(나형) 16번]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: \P]의 시각 [eqn: t(t GEQ 0)]에서의
위치 [eqn: x]가

[eqn: x=t ^{3} +at ^{2} +bt] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)

이다. 시각 [eqn: t=1]에서의 점 [eqn: \P]가 운동 방향을 바꾸고,
시각 [eqn: t=2]에서 점 [eqn: \P]의 가속도는 [eqn: 0]이다. [eqn: a+b]의 값은?

①

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

▷ 움직이는 방향이 바뀐다.

[eqn: LRARROW] 속도의 쁠마가 바뀐다.

[eqn: RARROW] (연속이므로) 속도가 [eqn: 0]이다.

[2019학년도 9월(나형) 30번]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
방정식

[eqn: ( f circ f) (x) = x]

의 모든 실근이 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: a], [eqn: 2], [eqn: b]이다.

[eqn: f`'(1)<0], [eqn: f`'(2) <0], [eqn: f`'(0)-f`'(1)=6]

일 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 1< a< 2< b])

[eqn: 40]

▷ 방정식 [eqn: f(f(x))=x]에 대한 사전지식이 없으면

매우 어렵다. 이런 식으로 안 냈으면 하는데..

대충 삼차함수의 대칭성에 착안하여 찍-어서

맞추거나.. 방정식 [eqn: f(f(x))=x]에 대해 공부해.

				46

	수학 영역

[2019학년도 6월(나형) 17번]

함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +b]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 4f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { f`' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} +x ^{2} +4]

를 만족시킨다. [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

①

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

▷ 걍 넣고.

[2019학년도 6월(나형) 21번]

상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x) = x^3 + ax^2 + b x]가
다음 조건을 만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: f(-1)> -1]

(나) [eqn: f(1) - f(-1) > 8]

③

<보 기>

ㄱ. 방정식 [eqn: f `' (x) = 0]은 서로 다른 두 실근을

갖는다.

ㄴ. [eqn: -1 < x < 1]일 때, [eqn: f`'(x) ge 0]이다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x) - f `'(k) x = 0]의 서로 다른 실근의

개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 개수는

[eqn: 4]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 문항이 전반적으로 삽질성이다.

디귿은 기하적으로 해석할 수 있다.

				46

	수학 영역

[2019학년도 6월(나형) 30번]

사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족한다.

[eqn: 128 times f left( 5 over 2 right)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: 5] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_k=1 ^n f(k) = f(n) f(n+1)]이다.

(나) [eqn: n=3], [eqn: 4]일 때, 함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이

[eqn: n]에서 [eqn: n+2]까지 변할 때의 평균변화율은

양수가 아니다.

[eqn: 65]

▷ 가원이가 열심히 만든 것 같네.

그런데 너무너무 귀찮다. 하나하나 따져야 함.

[2018학년도 수능(나형) 20번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을
만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 것을 고른 것은?

(가) [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =16]

(나) 어떤 양수 [eqn: k]에 대하여 두 열린 구간

[eqn: LEFT ( -inf,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```k RIGHT )]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) <0]이다.

③

<보 기>

ㄱ. 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]은 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0,```2 RIGHT )]에서

한 개의 실근을 갖는다.

ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이면, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ- {1} over {3}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 개형이 뻔하게 보이죵?

디귿은 미정계수 설정해서 삽질.

				46

	수학 영역

[2018학년도 수능(나형) 21번]

그림과 같이 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,```4 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의
그래프는 점 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,```4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,```3 RIGHT )]을
이 순서대로 선분으로 연결한 것과 같다.

다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X= LEFT { a,```b RIGHT }]의 개수는?
(단, [eqn: 0LEQ a<b LEQ 4])

②

[eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]가 존재하고
[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( a RIGHT )], [eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =f LEFT ( b RIGHT )]를 만족시킨다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

▷ 얘는 함수&집합 단원의 문항이라 수능 범위가

아니지만, 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x)]는 생각해보는

것이 좋을 것 같아서 놔뒀다.

그런데 [eqn: f(f(x))=f(x)]를 이해하고 있더라도

집합의 경우의 수? 부분도 만만치 않다.

결국 정답 맞추기가 쉽지 않다. 대충 풀자.

[2018학년도 수능(나형) 29번]

두 실수 [eqn: a]와 [eqn: k]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{0&```LEFT ( x LEQ a RIGHT )# LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2x+1 RIGHT ) &```LEFT ( x>a RIGHT )}}],
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{0&```LEFT ( x LEQ k RIGHT )#12 LEFT ( x-k RIGHT ) &```LEFT ( x>k RIGHT )}}]

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: k]의 최솟값이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: a+p+q`]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서

미분가능하다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQg LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: 32]

▷ 무시무시해 보이지만 잘 읽고 나면 별 것 아니다.

기울기 [eqn: 12]인             .

				46

	수학 영역

[2018학년도 9월(나형) 20번]

삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와
직선 [eqn: y=-x+t]의 교점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 보기에서
옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

<보 기>

ㄱ. [eqn: f(x)=x ^{3}]이면 함수 [eqn: g(t)]는 상수함수이다.

ㄴ. 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여, [eqn: g(1)=2]이면

[eqn: g(t)=3]인 [eqn: t]가 존재한다.

ㄷ. 함수 [eqn: g(t)]가 상수함수이면, 삼차함수 [eqn: f(x)]의

극값은 존재하지 않는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 삼차함수의 개형과 차함수의 이해.

[eqn: f(x)-g(x)]의 도함수가 [eqn: f`'(x)-g'(x)]라는 점?

[2018학년도 9월(나형) 29번]

두 삼차함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)g(x)=(x-1) ^{2} (x-2) ^{2} (x-3) ^{2}]

을 만족시킨다. [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이고, [eqn: g(x)]가
[eqn: x=2]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: f`'(0)= {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 10]

▷ 인수들을 잘 나누어 보자.

				46

	수학 영역

[2018학년도 6월(나형) 16번]

함수

[eqn: f(x) = cases { x^2 +a x + b &``` (x le -2 ) #2x &``` (x> -2)]

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a +b]의 값은?
(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 연속과 좌우미분계수.

[2018학년도 6월(나형) 17번]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: \P]의 시각 [eqn: t(t>0)]에서의
위치 [eqn: x]가

[eqn: x= t^3 - 12 t + k]([eqn: k]는 상수)

이다. 점 [eqn: \P`]의 운동 방향이 원점에서 바뀔 때, [eqn: k`]의 값은?

④

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

▷ 운동방향이 바뀐다.

[eqn: LRARROW] 속도의       가 바뀐다.

[2018학년도 6월(나형) 20번]

함수

[eqn: f(x) = {{1} over{3}}x^{3}-kx^{2}+1 ~left(k>0인```상수 right)]

의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서의 접선 [eqn: l], [eqn: m]의
기울기가 모두 [eqn: 3k^{2}]이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하고 [eqn: x]축에
평행한 두 직선과 접선 [eqn: l], [eqn: m]으로 둘러싸인 도형의 넓이가
[eqn: 24]일 때, [eqn: k]의 값은?

③

① [eqn: {1}over{2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3}over{2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5}over{2}]

▷ 삼차함수의 성질을 때려박은 문항.

스킬로도 풀어보고 그냥도 풀어보고.

그냥 풀려니까 은근히 어렵다.

				46

	수학 영역

[2018학년도 6월(나형) 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의
계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g(beta + 1)-f(beta+1)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(alpha)=g(alpha)]이고 [eqn: f`'(alpha)=g`'(alpha)=`-16]인

실수 [eqn: alpha]가 존재한다.

(나) [eqn: f`'(beta)=g`'(beta)=16]인 실수 [eqn: beta]가 존재한다.

[eqn: 243]

▷ 묘하게 어려울 수 있는 문항.

삼차함수의 이차항을 파는 문항이 잘 없어서.

뭔가 [eqn: f(x)-g(x)]로 가야할 것 같은데..

[eqn: f`'(alpha)-g'(alpha)=0]과 [eqn: f` prime ( beta )-g` prime ( beta )=0] 이상을

받았다. 어떻게 쓸 것인지가 핵심.

[2017학년도 수능(나형) 30번]

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +6x+k]의
역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 방정식

[eqn: 4f`'(x)+12x-18=(f`' circ g)(x)]

가 닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 실근을 갖기 위한 [eqn: k]의 최솟값을
[eqn: m], 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: m^2 +M^2]의 값을 구하여라.

[eqn: 65]

▷ 여러모로 난해하다. 특히 함수방정식의 요소가

들어오면 요즘 학생들은 무조건 어렵지.

[eqn: f`'(x)]는 아는 함수다. [eqn: g(x)]는 증가함수인데,

일단 [eqn: t]로 치환하면, [eqn: t=]       또는 [eqn: t=]      .

이 [eqn: g(x)=]      라는 식이 어색해서 어렵다.

나머지는 사잇값 정리. 여기도 익숙하진 않지.

				46

	수학 영역

[2017학년도 9월(나형) 20번]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: x= it -2]에서 극댓값을 갖는다.

(나) [eqn: f`' LEFT ( -3 RIGHT ) =f`' LEFT ( 3 RIGHT )]

⑤

<보 기>

ㄱ. 도함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 최솟값을 갖는다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=f(2)]는 서로 다른 두 실근을

갖는다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( -1,```f(-1) RIGHT )]에서의

접선은 점 [eqn: LEFT ( 2,```f(2) RIGHT )]를 지난다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 변곡점에 대한 대칭성과 삼차함수의 길이비.

너무 노골적이군.

[2017학년도 9월(나형) 21번]

다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 음수인
모든 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(1)]의 최댓값은?

②

(가) 방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근은 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3] 뿐이다.

(나) 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)]와 [eqn: LEFT | x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) RIGHT |] 중

크지 않은 값을 [eqn: g(x)]라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]는

실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

▷ 우선 [eqn: y=f(x)]의 가능한 개형을 하나하나 살피자.

위로 삐져나올지가 신경 쓰이긴 하는데,

엄밀하게 따지기가 쉽지 않다.

일단 답을 찍고, 대충 덮어두는 것을 추천.

				46

	수학 영역

[2017학년도 9월(나형) 25번]

함수

[eqn: f(x)= {cases{ax ^{2} +1&```left(x<1 right)#x ^{4} +a&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

이 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

▷ 하나 더 놔둬봤다.

[2017학년도 6월(나형) 28번]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} -a ^{2} x+2]가
닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -a,```a RIGHT ]]에서 최댓값 [eqn: M], 최솟값 [eqn: {14} over {27}]를 갖는다.
[eqn: a+M]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

▷ 도함수가 인수분해가 안 되면 어렵겠다.

나형인데 되겠지.

[2017학년도 6월(나형) 21번]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`prime(x)]의 그래프가 그림과
같을 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: f(0)<0]이면 [eqn: LEFT | f(0) RIGHT | < LEFT | f(2) RIGHT |]이다.

ㄴ. [eqn: f(0)f(2) GEQ 0]이면 함수 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT |]가 [eqn: x=a]에서

극소인 [eqn: a]의 값의 개수는 [eqn: 2]이다.

ㄷ. [eqn: f(0)+f(2)=0]이면 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =f(0)]의

서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 차분하게 따져보면 될 듯.

				46

	수학 영역

[2017학년도 6월(나형) 29번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x+1&``` LEFT ( x<1 RIGHT )#-2x+4&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

이고, 좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rmA} LEFT ( -1,```-1 RIGHT )], [eqn: {rmB} LEFT ( 1,```2 RIGHT )]가 있다.
실수 [eqn: x]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( x,```f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]에서 점 [eqn: rmA]까지의 거리의
제곱과 점 [eqn: rmB]까지의 거리의 제곱 중 크지 않은 값을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라
하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 모든 [eqn: a]의
값의 합이 [eqn: p]일 때, [eqn: 80p]의 값을 구하여라.

[eqn: 186]

▷ 선분 [eqn: rmAB]의 수직이등분선을 생각하자.

점 [eqn: rmA]에서의 거리와 점 [eqn: rmB]에서의 거리가

서로 같은 점들의 모임.

[2016학년도 수능(A형) 21번]

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에
대하여 [eqn: {f`prime(0) }over f(0)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.
[eqn: Mm]의 값은?

⑤

(가) 함수 [eqn: |f(x) |]는 [eqn: x=-1]에서만

미분가능하지 않다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 닫힌구간 [eqn: [3,```5]]에서

적어도 하나의 실근을 갖는다.

① [eqn: 1over15]	② [eqn: 1over10]	③ [eqn: 2over15]
④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 1over5]

▷ 절댓값으로 접어 올리는 미분가능성 유형은

이제 너무 익숙해서.

				46

	수학 영역

[2016학년도 수능(A형) 28번]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (2,```g(2))]에서의 접선의 방정식이
[eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는
상수이다.)

(가) [eqn: g(x) =x^3 f(x) -7]

(나) [eqn: lim_x->2 {{f(x) -g(x)} over x-2 }=2]

[eqn: 97]

▷ 약간 독특한 미분계수식의 변형.

평소에 로피탈 쓰니? 난 추천하는 편.

[2016학년도 9월(A형) 13번]

도함수 [eqn: { f `'(x)]가 [eqn: { f `'(x) = x^2 -1 }]인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
함수 [eqn: g(x) =f (x) - k x]가 [eqn: x =-3]에서 극값을 가질 때,
상수 [eqn: k]의 값은?

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

▷ [eqn: g'(-3)=0]이다.

차함수의 극값에 대해서 고민해보면 좋다.

				46

	수학 영역

[2016학년도 9월(A형) 21번]

실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x =t]가 두 함수

[eqn: y = x^4 - 4 x^3 +10 x - 30],   [eqn: y = 2x+2]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 할 때,
점 [eqn: rm A]와 점 [eqn: rm B] 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 하자.

[eqn: lim from { h ->0+ } { f(t+h) - f(t) } over h times lim from { h ->0- } { f(t+h) - f(t) } over h Le0]

을 만족시키는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 합은?

④

① [eqn: -7]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

▷ ① 거리는 [빼서 절댓값].

② [eqn: (좌미분계수)times(우미분계수) le 0]

②가 아마 처음 보는 표현일 것이다.

극값일 때/뾰족점일 때 등을 잘 따져보자.

[2016학년도 6월(A형) 11번]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +8x]에 대하여

[eqn: lim _{h-> 0} {{f(1+2h)-f(1)} over {h}}]

의 값은?

⑤

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

▷ 간단한 미분계수식의 변형.

[2016학년도 6월(A형) 17번]

두 함수

[eqn: f(x)=3x ^{3} -x ^{2} -3x],   [eqn: g(x)=x ^{3} -4x ^{2} +9x+a]

에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]가 서로 다른 두 개의 양의
실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의
개수는?

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 함수 [eqn: f(x)-g(x)]의 그래프를 그리자.

[eqn: g(x)] 넘길 때 우변에 [eqn: a] 하나 남겨두면 편하죵.

				46

	수학 영역

[2016학년도 6월(A형) 13번]

함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=(x-3) ^{2}]

이다. 함수 [eqn: g(x)]의 도함수가 [eqn: f(x)]이고 곡선 [eqn: y=g(x)]
위의 점 [eqn: (2,```g(2) )]에서의 접선의 [eqn: y]절편이 [eqn: -5]일 때,
이 접선의 [eqn: x]절편은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ [eqn: g(x)=int f(x)dx]니까 적분 문항인데..

[eqn: g(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d]라 두면 미분 문항?

[2016학년도 6월(A형) 21번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 다음
조건을 만족시키는 삼차함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: a _{n}]이라
하자.

[eqn: a _{n}]이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은?

(가) [eqn: f(n)=0]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x+n)f(x) GEQ 0]이다.

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 사차함수 [eqn: (x+n)f(x)]의 개형을 그려보자.

				46

	수학 영역

[2016학년도 6월(A형) 27번]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -9x+3]이 열린 구간 [eqn: (-a,```a)]에서
감소할 때, 양수 [eqn: a]의 최댓값을 구하여라.

[eqn: 3]

▷ 닫힌 구간으로 내도 답 똑같으니까 그만 물어봐.

[2015학년도 수능(A형) 14번]

함수 [eqn: {f(x)=x(x+1)(x-4)}]에 대하여 직선 [eqn: y=5x+k]와
함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때,
양수 [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 11 over2]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 13 over2]	⑤ [eqn: 7]

▷ 접한다.

[2015학년도 수능(A형) 21번]

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f(2)]의 최솟값은?

⑤

(가) [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1]이다.

(나) [eqn: f(0) =f`'(0)]

(다) [eqn: x ge-1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x) ge f`'(x)]이다.

① [eqn: 28]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 48]

▷ 숨겨놓은 것을 읽기가 살짝 어렵다.

[삼차함수] [eqn: f(x)-f`'(x)]의 개형을 생각하자.

				46

	수학 영역

[2015학년도 수능(A형) 29번]

두 다항함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x)=(x^3 +2) f(x)]

를 만족시킨다. [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 24]를 가질 때,
[eqn: f(1)-f`'(1)]의 값을 구하여라.

[eqn: 16]

▷ [eqn: g'(1)=0], [eqn: g(1)=24]이다.

[2015학년도 9월(A형) 17번]

함수 [eqn: f(x) =][eqn: x^3 -3x^2 +a]의 모든 극값의 곱이 [eqn: -4]일 때,
상수 [eqn: a`]의 값은?

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▷ 극대 하나와 극소 하나.

[2015학년도 9월(A형) 21번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

①

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-3]

(나) 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: 6x-6 LEQ f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2x ^{3} -2]

이다.

① [eqn: 36`]	② [eqn: 38``]	③ [eqn: 40``]

④ [eqn: 42``]	⑤ [eqn: 44``]

▷ 두 함수 [eqn: y=6x-6]과 [eqn: y=2x^ 3 -2]의 그래프를

생각하자. 두 그래프 모두 점 [eqn: (1,```0)]을 지난당.

다음에도 쉽지 않은 부분이 있다. 파이팅.

				46

	수학 영역

[2015학년도 9월(A형) 27번]

곡선 [eqn: y= 1 over 3 x ^3 + 11 over 3 ( x> 0)] 위를 움직이는 점 [eqn: \P]와 직선
[eqn: x- y - 10 =0] 사이의 거리를 최소가 되게 하는 곡선 위의
점 [eqn: \P]의 좌표를 [eqn: (a,``` b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

[eqn: 5]

▷ 기울기 [eqn: 1]인 접선.

[2015학년도 6월(A형) 14번]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치
[eqn: x]가 [eqn: x = - t^2 + 4 t]이다. [eqn: t = a]에서 점 [eqn: rm P]의 속도가 [eqn: 0]일 때,
상수 [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 위치를 미분하면 속도.

[2014학년도 수능(A형) 21번]

좌표평면에서 삼차함수 [eqn: f(x) = x^3 +ax^2 +bx]와 실수 [eqn: t]에
대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,```f(t) RIGHT )]에서 접선이 [eqn: y]축과
만나는 점을 [eqn: \P]라 할 때, 원점에서 [eqn: \P]까지의 거리를 [eqn: g(t)]라
하자. 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(3)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

(가) [eqn: f(1)=2]

(나) 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서

미분가능하다.

④

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

▷ 거리는? 빼서 절댓값.

절댓값 빠트려서 헤맨 경우도 있을 듯.

				46

	수학 영역

[2014학년도 9월(A형) 21번]

사차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]가

[eqn: f`'(x)=(x+1)left(x^2 +ax+b right)]

이다. 함수 [eqn: y=f(x)]가 구간 [eqn: left(-inf,```0 right)]에서 감소하고
구간 [eqn: left(2,```inf right)]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍
[eqn: (a,```b)]에 대하여, [eqn: a^2 +b^2]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라
하자. [eqn: M+m]의 값은?

③

① [eqn: 21 over 4]	② [eqn: 43 over 8]	③ [eqn: 11 over 2]

④ [eqn: 45 over 8]	⑤ [eqn: 23 over 4]

▷ 구간 [eqn: left(-inf,```0 right)]에서 [eqn: f`'(x) le0]이다.

[eqn: x=-1]일 때 관찰하고, 나머지 한 근의 범위는?

[[eqn: a^2 +b^2]의 최댓값] 부분이

부등식의 영역 삘이 있긴 하다.

[2014학년도 9월(A형) 27번]

곡선 [eqn: y=x^3 +2x+7] 위의 점 [eqn: rmP(-1,```4)]에서의 접선이
점 [eqn: rmP]가 아닌 점 [eqn: (a,```b)]에서 곡선과 만난다. [eqn: a+b]의 값을
구하여라.

[eqn: 21]

▷ 삼차함수의 길이비 각인데.

이 정도는 공부해 두자고.

그냥도 풀어보고!

[2014학년도 6월(A형) 6번]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -x]에 대하여 [eqn: lim_h->0 { f(1+3h)-f(1)} over 2h]의
값은?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7 over2]	⑤ [eqn: 4]

▷ [eqn: 3h=STAR]에 맞춰야지.

				46

	수학 영역

[2014학년도 6월(A형) 17번]

곡선 [eqn: y=x^3 -3x^2 +x+1] 위의 서로 다른 두 점
[eqn: rmA], [eqn: rmB]에서의 접선이 서로 평행하다. 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표가
[eqn: 3]일 때, 점 [eqn: rmB]에서의 접선의 [eqn: y]절편의 값은?

②

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

▷ 변곡점에 대한 대칭성 각인데..

그냥 풀어도 간단하지만.

[2014학년도 6월(A형) 21번]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{a LEFT ( 3x-x ^{3} RIGHT )&```LEFT ( x<0 RIGHT )#x ^{3} -ax&```LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

의 극댓값이 [eqn: 5]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단 [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

▷ [eqn: y=f(x)]의 개형을

[eqn: a>0]일 때와 [eqn: a<0]일 때로 나눠

각각 잡아보자.

[2014학년도 6월(A형) 26번]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의
점 [eqn: (2,```1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]이다.
[eqn: g(x)=x^3 f(x)]일 때, [eqn: g`'(2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 28]

▷ 곱의 미분법.

[2013학년도 수능(나형) 15번]

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +9x+3]의 그래프 위의
점 [eqn: (1,```f(1))]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=2x+b]이다.
[eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 접선의 방정식.

				46

	수학 영역

[2013학년도 수능(나형) 18번]

함수 [eqn: f(x)= {cases{x ^{3} +ax&```(x<1)#bx ^{2} +x+1&```(x geq1)}}]이 [eqn: x=1]에서
미분가능할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

③

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

▷ 이제 그만.

[2013학년도 수능(나형) 24번]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +9x+2]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}]의
값을 구하여라.

[eqn: 12]

▷ [eqn: x=1+h]로 치환해봐!

[2013학년도 9월(나형) 19번]

닫힌 구간 [eqn: [0,```2]]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=ax(x-2) ^{2}left(a> { 1} over {2 } right)]

에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]의 교점 중 원점 [eqn: rmO]가
아닌 점을 [eqn: rmA]라 하자. 점 [eqn: rm P]가 원점으로부터 점 [eqn: rmA]까지 곡선
[eqn: y=f(x)] 위를 움직일 때, 삼각형 [eqn: rm OAP]의 넓이가 최대가
되는 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {1} over {2}]이다. 상수 [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: 5 over4]	② [eqn: {4} over 3]	③ [eqn: 17} over 12]

④ [eqn: {3} over 2]	⑤ [eqn: {19} over 12]

▷ 평행한 접선이 생길 때라는 것을 읽어내야 한다.

				46

	수학 영역

[2013학년도 9월(나형) 21번]

좌표평면에서 두 함수

[eqn: f(x)=6x^3 -x],  [eqn: g(x)= LEFT | `x-a` RIGHT |]

의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는
모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

④

① [eqn: - {11 } over {18}]	② [eqn: - {5 } over {9}]	③ [eqn: - { 1 over 2}]

④ [eqn: -{4} over {9}]	⑤ [eqn: -{7} over {18}]

▷ [eqn: y=f(x)]를 그려놓고 [eqn: y=g(x)]를 옮겨 보자.

[eqn: f`'(0)=-1]인 것 체크하고..

[2013학년도 6월(나형) 10번]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]일 때의
위치는 각각 [eqn: f(t)=2t^2 -2t], [eqn: g(t)=t^2 -8t]이다. 두 점 [eqn: rmP]와
[eqn: rmQ]가 서로 반대방향으로 움직이는 시각 [eqn: t]의 범위는?

①

① [eqn: 1 over 2 <t <4]	② [eqn: 1<t<5]	③ [eqn: 2<t<5]
④ [eqn: 3 over 2 <t<6]	⑤ [eqn: 2<t<8]

▷ 반대 방향으로 움직인다.

[eqn: LRARROW] 속도의 부호가 반대이다.

[2013학년도 6월(나형) 13번]

닫힌 구간 [eqn: left[1,```4right]]에서 함수 [eqn: f(x)= x^3 - 3x^2 +a]의
최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M+m=20]일 때,
상수 [eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 간단.

				46

	수학 영역

[2013학년도 6월(나형) 17번]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -5x] 위의 점 [eqn: rmA(1,```-4)]에서의 접선이
점 [eqn: rmA]가 아닌 점 [eqn: rmB]에서 곡선과 만난다. 선분 [eqn: rmAB]의
길이는?

④

① [eqn: root30]	② [eqn: root35]	③ [eqn: 2 root10]

④ [eqn: 3 root5]	⑤ [eqn: 5 root2]

▷ 대충 풀어.

[2013학년도 6월(나형) 27번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->1 {f(x)-5} over x-1 =9]를 만족시킨다.
[eqn: g(x)=x f(x)]라 할 때, [eqn: g'(1)]의 값을 구하여라.

[eqn: 14]

▷ [eqn: f(x)]가 연속일 때, [eqn: lim_x->1 {f(x)-5} over x-1 =9]는

①          이고 ②          이다.

[2012학년도 수능(나형) 21번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에
대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: |`f(x)`|=2]의
서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

④

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

▷ [eqn: 1: sqrt { 3}] 길이비를 알면 편하긴 하지요.

그냥 푸는 것은 당연히 해보도록.

[2012학년도 9월(나형) 15번]

점 [eqn: (0,```-4)]에서 곡선 [eqn: y=x^3 -2]에 그은 접선이 [eqn: x]축과
만나는 점의 좌표를 [eqn: (a,```0)]이라 할 때, [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: 7 over 6]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 5 over 3]	⑤ [eqn: 11 over 6]

▷ 곡선 밖의 점 [eqn: (a,```b)]에서 접선 긋는 법.

① 접점 [eqn: (t,```f(t))]를 설정한다.

② 접선 [eqn: y=f`'(t)(x-t)+f(t)]가 점 [eqn: (a,```b)]를

지나므로 [eqn: b=f` prime (t)(a-t)+f(t)]이다.

※ [eqn: {f(t)-b} over {t-a} =f`'(t)]도 좋다. 마찬가지지만.

				46

	수학 영역

[2012학년도 9월(나형) 18번]

함수 [eqn: f(x)= 1 over 3 x^3 -ax^2 +3ax]의 역함수가
존재하도록 하는 상수 [eqn: a]의 최댓값은?

①

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▷ 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]에

대하여 다음 명제들은 모두 서로 동치이다.

① 일대일 함수이다.

: [eqn: f(x)=f(y)]이면 [eqn: x=y]이다.

: [eqn: f(x)]는 역함수를 가진다.

② 증가함수이다.

: [eqn: x<y]이면 [eqn: f(x)<f(y)]이다.

③ [eqn: f`'(x)=0]의 판별식이 [eqn: 0] 이하이다.

[2012학년도 9월(나형) 26번]

함수 [eqn: f(x)=left(x^3 +5 right)left(x^2 -1 right)]에 대하여 [eqn: f`'(1)]의 값을
구하여라.

[eqn: 12]

▷ 오차함수를 내다니.

[2012학년도 6월(나형) 11번]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->1 {f(x)-2} over {x^2 -1} =3]일 때,
[eqn: {f`'(1)} over {f(1)}]의 값은?

①

① [eqn: 3]	② [eqn: 7 over 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 5]

▷ [eqn: lim _{STAR->a} {f(STAR)-f(a)} over {STAR-a}] 꼴의 해석.

[2012학년도 6월(나형) 15번]

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +2ax]가 구간 [eqn: left(-inf ,```inf)]에서
증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M]이라 하고,
최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은?

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▷ 방정식 [eqn: f`'(x)=0]의 근이             이다.

따라서 판별식이       이다. 등호 조심.

				46

	수학 영역

[2012학년도 6월(나형) 19번]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수의 그래프와 이차함수
[eqn: g(x)]의 도함수의 그래프가 그림과 같다. 함수 [eqn: h(x)]를
[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 하자. [eqn: f(0)=g(0)]일 때,
옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

③

<보 기>

ㄱ. [eqn: 0<x<2]에서 [eqn: h(x)]는 감소한다.

ㄴ. [eqn: h(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 방정식 [eqn: h(x)=0]은 서로 다른 세 실근을

갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 차함수의 그래프.

함수 [eqn: h(x)]의 도함수는 [eqn: f`'(x)-g'(x)]이다.

[2012학년도 6월(나형) 21번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의
두 대각선의 교점의 좌표는 [eqn: (0,```1)]이고, 한 변의 길이가
[eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점은 곡선 [eqn: y=x^2]
위에 있다. 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의
최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에
평행하다.)

①

① [eqn: 4 over 27]	② [eqn: 1 over 6]	③ [eqn: 5 over 27]

④ [eqn: 11 over 54]	⑤ [eqn: 2 over 9]

▷ 좀 귀찮고, 실수하기 좋은 문항.

정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점을

[eqn: (a,```a ^{2} )]라 두고 점 [eqn: rmE]의 좌표를 나타내보자.

				46

	수학 영역

[2014학년도 6월 16번]

실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^3] 위의 점 [eqn: (t,```t ^{3} )]과 직선
[eqn: y=x+6] 사이의 거리를 [eqn: g(t)]라 하자. 보기에서 옳은
것만을 있는 대로 고른 것은?

③

<보 기>

ㄱ. 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: 0]이 아닌 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=2]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 함수 [eqn: g(t)]를 구해도 좋고,

문제 상황에서 적당히 추적해도 좋다.

[2013학년도 6월 16번]

양의 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: x = 1]에서 미분가능하다. [eqn: 1]보다 큰 모든 실수 [eqn: a]에 대하여
점 [eqn: (1,```f(1))]과 점 [eqn: (a,```f(a))] 사이의 거리가 [eqn: a ^{2} -1]일 때,
[eqn: f` prime (1)]의 값은?

⑤

① [eqn: 1``]	② [eqn: root 5 over 2``]	③ [eqn: root 6 over 2``]

④ [eqn: root 2``]	⑤ [eqn: root 3``]

▷ 조건에서 [[eqn: a]에 대한 항등식]을 뽑을 수 있다.

미분해도 좋고, 미분계수식에 맞춰 변형해도 좋다.

				46

	수학 영역

[2012학년도 수능 19번]

실수 [eqn: m]에 대하여 점 [eqn: (0,```2)]를 지나고 기울기가 [eqn: m]인
직선이 곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +1]과 만나는 점의 개수를
[eqn: f(m)]이라 하자. 함수 [eqn: f(m)]이 구간 [eqn: (- INF ,```a)]에서
연속이 되게 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

④

① [eqn: -3``]	② [eqn: - 3 over 4``]	③ [eqn: 3 over 2``]

④ [eqn: 15 over 4``]	⑤ [eqn: 6``]

▷ 대충 풀고 마는 학생들이 있던데,

변곡접선 그어놓고 꼼꼼하게 따져보자.

[2012학년도 9월 21번]

삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x]로 나눈 몫을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]라
할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x=0]이 서로 다른 세 실근
[eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]를 갖는다.

(나) [eqn: x=3]일 때 극값 [eqn: 7]을 갖는다.

(다) [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =5]

③

<보 기>

ㄱ. [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]는 방정식 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) -x=0]의 근이다.

ㄴ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x]

ㄷ. [eqn: g`' LEFT ( 3 RIGHT ) =1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 나눗셈의 검산식을 쓸 수 있어야 한다.

니은에서 수준 높은 해석이 필요하다.

그래프가 세 점      ,      ,      을

지나는 [이차이하 다항식]을 찾아야 한다.

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	수학 영역

[2011학년도 수능 18번]

함수 [eqn: f(x)=(x-1)^2 (x-4)+a]의 극솟값이 [eqn: 10]일 때,
상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 14]

▷ [eqn: 2:1] 정도는 쓰시죠?

[2011학년도 9월 21번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} - LEFT ( a+2 RIGHT ) x ^{2} +ax]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]
위의 점 [eqn: LEFT ( t,```f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자.
함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0,```5 RIGHT )]에서 증가할 때, [eqn: a]의 최솟값을
구하여라.

[eqn: 13`]

▷ 쉽네.

[2011학년도 수능 24번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: f(0)=3], [eqn: f` prime (3)<0]인
사차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 [eqn: `t]에 대하여 집합 [eqn: S]를

[eqn: S= left{ `a `| `함수```|f(x)-t|가```x=a에서```미분가능하지```않다.right]

라 하고, 집합 [eqn: S]의 원소의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수
[eqn: g(t)]가 [eqn: t=3]과 [eqn: t=19]에서만 불연속일 때, [eqn: f(-2)]의 값을
구하여라.

[eqn: 147]

▷ 당시에 매우 어려웠겠지? 여기저기서 비슷한

표현을 봐서 난이도를 온전하게 느끼기 어렵다.

사차함수 가능한 개형을 몇 개 그려놓고,

접어 올렸을 때 미분불가능한 점의 개수가

어떻게 변하는 지를 따져봐야 한다.

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	수학 영역

[2011학년도 9월 16번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{4} +4 LEFT ( a-1 RIGHT ) x ^{3} +6ax ^{2}][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]과 실수 [eqn: t]에
대하여, [eqn: x le t]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 [eqn: a]의
최댓값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ [eqn: f(x)]의 가능한 개형 두 세가지 그려놓고

그 위에 [eqn: g(t)]를 덧그려 보세요.

[2011학년도 6월 12번]

서로 다른 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 사차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의
근일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) =0]이면 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x- alpha RIGHT ) ^{2}]으로

나누어 떨어진다.

ㄴ. [eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) f` prime LEFT ( beta RIGHT ) =0]이면 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 허근을

갖지 않는다.

ㄷ. [eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) f` prime LEFT ( beta RIGHT ) >0]이면 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 서로

다른 네 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 엄밀하게 풀 필요 없다. 사차함수의 개형으로

가능한 것들을 조사해서 판단하면 충분.

디귿을 엄밀하게 풀면 멋있긴 하다.

[eqn: f(x)=(x-alpha)(x-beta)P(x)]에서..?

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	수학 영역

[2011학년도 6월 15번]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT )] ([eqn: 0< alpha < beta])와 두 실수
[eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( a RIGHT ) + LEFT ( b-a RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )]

라고 하자. [eqn: a<0], [eqn: alpha <b< beta]일 때, 옳은 것만을 보기에서
있는 대로 고른 것은?

④

<보 기>

ㄱ. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( a RIGHT )]는 실근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: g LEFT ( b RIGHT ) >f LEFT ( a RIGHT )]

ㄷ. [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) >f LEFT ( b RIGHT )]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 니은은 [eqn: f(a)+(b-a)f`'(b)>f(a)],

디귿은 [eqn: f(a)+(b-a)f` prime (a)>f(b)]이다.

여기서 기울기 모양을 잡아봐.

[접선의 함숫값]으로 푸는 것도 가능한데,

나는 더 헷갈리더라구.

[2011학년도 6월 16번]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = cases{`f LEFT ( x RIGHT )&`````` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )#`g LEFT ( x RIGHT )&`````` LEFT ( x<0 RIGHT )}]

라고 하자. [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때,
옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT )]

ㄴ. [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =g` prime LEFT ( 0 RIGHT )]이면 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서

미분가능하다.

ㄷ. [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) g` prime LEFT ( 0 RIGHT ) <0]이면 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서

극값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 기역, 니은 꼼꼼하게 살피고..

디귿은 그래프에서 나타나는 의미로 접근.

[2011학년도 6월 18번]

함수 [eqn: f(x)=2x^4 -3x+1]에 대하여
[eqn: lim_n->inf n left{f left(1+ { 3} over {n }right)-f left(1- { 2} over { n}right)right}]의 값을 구하여라.

[eqn: 25]

▷ [eqn: {3} over {n}]을 [eqn: h]로 치환하자.

[eqn: n]과 [eqn: h]는 서로 비슷하게 생겼으니 조심.

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	수학 영역

[2011학년도 6월 23번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이 아닌 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음
조건을 만족시킬 때, [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 19]

(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x ^{2} RIGHT )} over {x ^{3} f LEFT ( x RIGHT )}} =4]

(나) [eqn: lim _{x` -> `0} {{f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =4]

▷ [다항식은 차수가 중요]를 강조할 때

꺼내는 문항. [eqn: f(x)=ax ^{n} +cdots]라 두고 시작해봐.

[2010학년도 수능 17번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: -1 le x <1]일 때, [eqn: g(x) =f(x)]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+2)=g(x)]이다.

③

<보 기>

ㄱ. [eqn: f(-1)=f(1)]이고 [eqn: f` prime (-1)=f` prime (1)]이면, [eqn: g(x)]는

실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

ㄴ. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면,

[eqn: f` prime (0)f` prime (1)<0]이다.

ㄷ. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고

[eqn: f` prime (1)>0]이면, 구간 [eqn: (-inf,````-1)]에 [eqn: f`'(c) =0]인

[eqn: c]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 개형에서 대충 판단하는 것으로 충분.

				46

	수학 영역

[2010학년도 9월 24번]

다음 조건을 만족시키는 모든 사차함수 [eqn: y=f(x)]의
그래프가 항상 지나는 점들의 [eqn: y]좌표의 합을 구하여라.

[eqn: 13]

(가) [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1]이다.

(나) 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (2,```f(2))]에서

직선 [eqn: y=2]에 접한다.

(다) [eqn: f` prime (0)=0]

▷ [eqn: f(x)=x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]라 두고 삽질.

미정계수 하나 남거등?

[eqn: f(x)=a(cdots)+(cdots)]로 정리해 봐.

[2010학년도 6월 6번]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고,
[eqn: f`'(2)=-3], [eqn: f`'(4)=6]일 때, [eqn: lim_x->-2 { f(x^2 )-f(4)} over {f(x)-f(-2) }]의
값은?

①

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 12]

▷ 쉬워용.

[2010학년도 6월 14번]

[eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는 모든 다항함수 [eqn: f(x)]에
대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. 함수 [eqn: |f(x)|]은 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(|x|)]은 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)-x^2 |x|]은 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

▷ [eqn: |f(x)|]나 [eqn: f(|x|)]는 그릴 수 있지?

디귿은 [eqn: f(x)]와 [eqn: -x ^{2} |x|]의 합으로 보면..

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	수학 영역

[2010학년도 6월 20번]

좌표평면 위에 점 [eqn: rmA(0,```2)]가 있다. [eqn: 0<t<2]일 때,
원점 [eqn: rmO]와 직선 [eqn: y=2] 위의 점 [eqn: {rmP}(t,```2)]를 잇는 선분 [eqn: rmOP]의
수직이등분선과 [eqn: y]축의 교점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABP]의
넓이를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: f(t)]의 최댓값은 [eqn: { b} over {a } sqrt { 3}]이다. [eqn: a+b]의
값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 11]

▷ 대충.

[2010학년도 6월 24번]

사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: {f` prime (5)} over {f` prime (3)}]의
값을 구하여라.

[eqn: 12]

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: |f(x)-f(1)|]은 오직 [eqn: x=a(a>2)]에서만

미분가능하지 않다.

▷ 처음 나왔을 때는 진짜 어려웠을 것 같아. 그지?

(나)에서 [eqn: f`'(1)=0]을 보는 것이 풀이의 실마리.

다음은 사차함수 개형별로 따져봐야지.

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	수학 영역

[2009학년도 수능 11번]

다항함수 [eqn: f(x)]와 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]이

[eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x) } over {x ^{m}} =1],   [eqn: lim _{x -> INF } {} {f` prime (x)} over {x ^{m-1}} =a]
[eqn: lim from { x ->0 }{f(x)} over x^n =b],   [eqn: lim _{x -> 0} {} {f` prime (x)} over {x ^{n-1}} =9]

를 모두 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로
고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: m ge n]

ㄴ. [eqn: ab ge9]

ㄷ. [eqn: f(x)]가 삼차함수이면 [eqn: am=bn]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ [eqn: x->0]일 때는 [최저차항]에 대한 정보를 준다.

모르고 들어가면 헷갈릴껄.

[2009학년도 6월 4번]

다항함수 [eqn: g(x)]에 대하여 극한값 [eqn: lim from {x->1} {{g(x)-2x} over {x-1}}]가
존재한다. 다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)+x-1=(x-1)g(x)]를
만족시킬 때,  [eqn: lim from {x->1}} {{f(x)g(x)} over {x ^2 -1}}]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ [4번]치고 개어렵네.

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	수학 영역

[2009학년도 6월 7번]

삼차함수 [eqn: f(x) = x(x-1)(ax+1)]의 그래프 위의
점 [eqn: \P(1,```0)]을 접점으로 하는 접선을 [eqn: l]이라 하자. 직선 [eqn: l]에
수직이고 점 [eqn: \P]를 지나는 직선이 곡선 [eqn: y= f(x)]와 서로
다른 세 점에서 만나도록 하는 [eqn: a]의 값의 범위는?

③

① [eqn: -1<a< - {1} over 3] 또는 [eqn: 0<a<1]

② [eqn: - {1} over 3 < a <0] 또는 [eqn: 0 <a <1]

③ [eqn: -1 <a <0] 또는 [eqn: 0 <a <{1} over 3]

④ [eqn: -1 < a < 0] 또는 [eqn: {1} over 3 <a < 1]

⑤ [eqn: -2 <a < - {1} over 3] 또는 [eqn: {1} over 3 <a <2]

▷ 그래프에서 다루려면 어렵다. 수식으로 풀자.

[eqn: f(x)=m(x)]에서 인수 뜯어내고 판별식으로.

[2009학년도 6월 23번]

모든 계수가 정수인 삼차함수 [eqn: y=f(x)]는
다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 극댓값은 [eqn: m]이다. [eqn: m^2]의 값을
구하여라.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]이다.

(나) [eqn: f(1)=5]

(다) [eqn: 1<f `prime (1)<7]

[eqn: 32]

▷ [정수조건]은 한 번씩 보인다. 자주는 아니지만.

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