기출문제 다잡기

평가원의 수준

[수열]

5A ACADEMY

SOOHAN

	수학 영역

[2023학년도 수능 7번]

모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열
[eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]이

[eqn: sum_{k=1}^{15} {1} over {sqrt{a_{k}}+sqrt{a_{k+1}}}=2]

를 만족시킬 때, [eqn: a_{4}]의 값은?

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 첫째항과 공차가 같은 등차수열 : [eqn: a_n =]

유리화를 이용한 망원화.

[2023학년도 수능 18번]

두 수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }], [eqn: LEFT {b_{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum_{k=1}^{5} LEFT (3 a_{k}+5 RIGHT )=55],   [eqn: sum_{k=1}^{5} LEFT (a_{k}+b_{k} RIGHT )=32]

일 때, [eqn: sum_{k=1}^{5} b_{k}]의 값을 구하여라.

[eqn: 22]

▷ 시그마 문제 귀엽다.

[2023학년도 수능 15번]

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는
모든 수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_{9}]의 최댓값과 최솟값을
각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

⑤

(가) [eqn: a_{7}=40]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+2 = cases{ a_n+1 +a_n &`(a_n+1 이``3의``배수가``아닌``경우) # { 1} over {3 }a_n+1 &`(a_n+1 이``3의``배수인``경우) }]

이다.

① [eqn: 216]	② [eqn: 218]	③ [eqn: 220]

④ [eqn: 222]	⑤ [eqn: 224]

▷ 어디서부터 건드려야할지 고민되는 문항.

[eqn: 3]으로 나눈 나머지에 따른 분류로 가는 것이 보통일 듯.

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	수학 영역

[2023학년도 9월 7번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자.
[eqn: S _{n} = {1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( S _{k} -a _{k} RIGHT )]의 값은?

⑤

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {5}]	③ [eqn: {7} over {10}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {9} over {10}]

▷ [망원화]와 [[eqn: S_n]의 의미]?

[합과 일반항]으로 [eqn: a_n]을 구할 수 있는데 쓸데가 없네.

[2023학년도 9월 15번]

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: LEFT |a_m RIGHT |ge 5]를 만족시키는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: m]의 개수를
[eqn: p]라 할 때, [eqn: p+a_1]의 값은?

(가) 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_4k = r^k]이다.
(단, [eqn: r]는 [eqn: 0< LEFT |r RIGHT | <1]인 상수이다.)

(나) [eqn: a_1 <0]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+1 = cases{ a_n +3&``` LEFT ( LEFT |a_n RIGHT |<5 RIGHT ) #- 1 over 2 a_n & ``` LEFT ( LEFT |a_n RIGHT |ge5 RIGHT ) }]
이다.

③

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

▷ 점화식이 괴롭게 생긴 것에 비해서는 풀만하다.

[eqn: -1<r^k <1]이라 어느 점화식 쓸지가 딱딱 나와서.

제[eqn: 4]항 이후로는 다 결정되고 앞쪽에는 역추론.

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	수학 영역

[2023학년도 6월 12번]

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: a _{10}]의 값은?

③

(가) [eqn: a _{5} timesa _{7} <0]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT | a _{k+6} RIGHT | =6+ sum _{k=1} ^{6} LEFT | a _{2k} RIGHT |]

① [eqn: {21} over {2}]	② [eqn: 11]	③ [eqn: {23} over {2}]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: {25} over {2}]

▷ 등차수열의 구조 : [eqn: a_6] 외의 [eqn: a_n]은 부호를 알 수 있다.

(나)에서 절댓값이 포함된 방정식 풀면 된다.

[2023학년도 6월 15번]

자연수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다.

[eqn: a _{22} =0]이 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

[eqn: a _{1} =0]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} + {1} over {k+1} ~&LEFT ( a _{n} LEQ 0 RIGHT )#a _{n} - {1} over {k}&LEFT ( a _{n} >0 RIGHT )}}]

이다.

②

① [eqn: 12`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 16`]

④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 20`]

▷ 선택형이 아닌 15번급 점화식 문항.

나열하면서 규칙을 찾아볼 수 밖에.

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	수학 영역

[2022학년도 수능 18번]

수열 [eqn: left { a_n right }]에 대하여

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 10 } a_k - sum _{ k=1 } ^{ 7} a_k over2 =56],   [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10}2a_k - sum _{ k=1} ^{ 8}a_k = 100]

일 때, [eqn: a_8]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

▷ 이것도 문제 예쁘네.

[2022학년도 수능 21번]

수열 [eqn: left { a_n right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a_1 + a_3 + a_5 + a_7 +a_9]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: left | a_1 right | = 2]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: left | a_n+1 right | = 2 left | a_n right |]이다.

(다) [eqn: sum _{n=1 } ^{ 10 } a_n = -14]

[eqn: 678]

▷ 뭔가 카테고리에 넣기가 힘드네. IQ 테스트 같아.

[2022학년도 9월 18번]

두 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 } LEFT ( a_k +2b_k RIGHT ) =45],   [eqn: sum _{ k=1} ^{10 } LEFT ( a_k -b_k RIGHT ) =3]

일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} LEFT ( b_k - 1over2 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 9]

▷ 귀여운 시그마.

[2022학년도 9월 7번]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =-4]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum_k=1 ^n {a_k+1 -a_k } over {a_k a_k+1} = 1 overn]

을 만족시킨다. [eqn: a_13]의 값은?

④

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

▷ 망원화. 보이지?

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	수학 영역

[2022학년도 9월 13번]

첫째항이 [eqn: -45]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음
조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 [eqn: d]의 값의 합은?

②

(가) [eqn: LEFT | a _{m} RIGHT | = LEFT | a _{m+3} RIGHT |]인 자연수 [eqn: m]이 존재한다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} >-100]이다.

① [eqn: 44]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 60]

▷ 등차수열에 절댓값 씌운 상황 해석.

등차수열의 합의 최대/최소. 정수조건 귀찮아.

[2022학년도 9월 15번]

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: left| a_1 right| le 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = cases{ -2 a_n - 2 &``` left( -1 le a_n < - 1 over2 right) #2a_n&```left( - 1 over2 le a_n le 1 over2 right) #-2a_n +2 &```left( 1 over2 < a_n le 1 right)]

을 만족시킨다. [eqn: a_5 +a_6 = 0]이고 [eqn: sum_k=1 ^5 a_k > 0]이 되도록 하는
모든 [eqn: a_1]의 값의 합은?

①

① [eqn: 9 over2]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 11 over2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 13 over2]

▷ 문제 좋긴 한데 난이도가 좀 있다.

처음에 [eqn: a_5 =0], [eqn: a_6 =0]을 잡아내는 부분이 좀 어렵고,

[eqn: a_n+1 =f(a_n )]을 모르면 거꾸로 가는 것이 좀 괴롭다.

이항점화식 그래프 그려서 읽는 것도 연습하자.

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	수학 영역

[2022학년도 6월 9번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = cases{ { 1} over { a_n} &```(n이```홀수인```경우) # 8a_n& ```(n이```짝수인```경우)}]

이고, [eqn: a _{12} = {1} over {2}]일 때, [eqn: a _{1} +a _{4}]의 값은?

⑤

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {17} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

▷ 언뜻 보고 점화식 선택형인줄 알았네.

점화식은 어렵게 출제 될 수 있다.

[2022학년도 6월 13번]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가
구간 [eqn: (0,```1]]에서

[eqn: f(x)= cases{ 3&```(0<x<1) #1 &```(x=1) }]

이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+1)=f(x)]를 만족시킨다.
[eqn: sum_k=1 ^20 { k timesf( sqrt { k }) } over {3 }]의 값은?

⑤

① [eqn: 150]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 170]

④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 190]

▷ 이거 수열 문항 맞나?

[2021학년도 수능 16번]

상수 [eqn: k LEFT ( k>1 RIGHT )]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다.

점 [eqn: rm P _{itn}]을 지나고, [eqn: x]축에 평행한 직선과 점 [eqn: rm P _{itn+1}]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 만나는 점을 [eqn: rmQ _{itn}]이라 하고
삼각형 [eqn: rm P _{itn} Q _{itn} P _{itn+1}]의 넓이를 [eqn: A _{n}]이라
하자. 다음은 [eqn: a _{1} =1], [eqn: {A _{3}} over {A _{1}} =16]일 때,
[eqn: A _{n}]을 구하는 과정이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)와 (다)에 알맞은 식을
각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: p+ {g LEFT ( 4 RIGHT )} over {f LEFT ( 2 RIGHT )}]의 값은?

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} <a _{n+1}]이고 곡선

[eqn: y=2 ^{x}] 위의 두 점 [eqn: rm P _{itn} LEFT ( it a _{n} ,```2 ^{a _{n}} RIGHT )], [eqn: rm P _{itn+1} LEFT ( it a _{n+1} ,```2 ^{a _{n+1}} RIGHT )]을

지나는 직선의 기울기는 [eqn: k TIMES2 ^{a _{n}}]이다.

두 점 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rmP _{itn+1}]을 지나는 직선의 기울기가

[eqn: k TIMES2 ^{a _{n}}]이므로

[eqn: 2 ^{a _{n+1} -a _{n}} =k LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT ) +1]

이다. 즉, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+1} -a _{n}]은

방정식 [eqn: 2 ^{x} =kx+1]의 해이다.

[eqn: k>1]이므로 방정식 [eqn: 2 ^{x} =kx+1]은 오직 하나의

양의 실근 [eqn: d]를 갖는다. 따라서 모든 자연수 [eqn: n]에

대하여 [eqn: a _{n+1} -a _{n} =d]이고, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 공차가

[eqn: d]인 등차수열이다.

점 [eqn: rmQ _{itn}]의 좌표가 [eqn: LEFT ( a _{n+1} ,~2 ^{a _{n}} RIGHT )]이므로

[eqn: A _{n} = {1} over {2} LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT ) LEFT ( 2 ^{a _{n+1}} -2 ^{a _{n}} RIGHT )]

이다. [eqn: {A _{3}} over {A _{1}} =16]이므로 [eqn: d]의 값은 [eqn: {BOX{````` ( 가 ) `````}}]이고,

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항은

[eqn: a _{n} =][eqn: {BOX{````` ( 나 ) `````}}]

이다. 따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: A _{n} = {BOX{`````(다)`````}}]이다.

⑤

① [eqn: 118]	② [eqn: 121]	③ [eqn: 124]

④ [eqn: 127]	⑤ [eqn: 130]

▷ 특이한 수열 빈 칸. [eqn: d]를 [얼마]라고 쓸 수 없어서 어렵다.

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	수학 영역

[2021학년도 수능 21번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: 0<a_1 <1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a_8 - a_15 = 63]일 때, [eqn: { a_8 } over { a_1 }]의 값은?

(가) [eqn: a_2n = a_2 times a_n +1]

(나) [eqn: a_2n+1 = a_2 times a_n -2]

②

① [eqn: 91]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 93]

④ [eqn: 94]	⑤ [eqn: 95]

▷ 오답률은 높을 텐데, 설명할 것은 딱히 없다.

각자 알아서 삽질하는 문항.

[eqn: a_1 =a], [eqn: a_2 =b]라 놓으라는 것?

[2021학년도 수능 25번]

첫째항이 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} =55]일 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{5} k(a _{k} -3)]의 값을 구하여라.

[eqn: 160]

▷ 쉽군.

[2021학년도 수능 나형 12번]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } left(a_k - a_k+1 right) =` -n^2 +n]

을 만족시킨다. [eqn: a_11]의 값은?

②

① [eqn: 88]	② [eqn: 91]	③ [eqn: 94]

④ [eqn: 97]	⑤ [eqn: 100]

▷ 귀엽군.

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	수학 영역

[수능 예시문항 13번]

수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라
하자. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {S _{k}} over {k!} = {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !}]

이 성립할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k}}]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)],
[eqn: h(k)]라 할 때, [eqn: f ( 5) timesg ( 3 ) times h ( 6 )]의 값은?

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} =S _{1} = {1} over {2}]이므로 [eqn: {1} over {a _{1}} =2]이다.

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a _{2} =S _{2} -S _{1} =it- {7} over {6}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{2} {1} over {a _{k}} = {8} over {7}]이다.

[eqn: n`ge`3]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {S _{n}} over {n!} = sum _{k=1} ^{n} {S _{k}} over {k!} - sum _{k=1} ^{n-1} {S _{k}} over {k!} =it- {box{`````(가)`````}} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !}]

즉, [eqn: S _{n} =it- {box{`````(가)`````}} over {n+1}]이므로

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} =it- LEFT (` box{`````LEFT ( 나 RIGHT )`````}` RIGHT )]

이다. 한편 [eqn: sum _{k=3} ^{n} k LEFT ( k+1 RIGHT ) =it-8+ sum _{k=1} ^{n} k LEFT ( k+1 RIGHT )]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k}} = {8} over {7} - sum _{k=3} ^{n} k LEFT ( k+1 RIGHT )]
[eqn: = {64} over {7} - {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} - sum _{k=1} ^{n} box{````` LEFT ( 다 RIGHT )`````}]
[eqn: =it- {1} over {3} n ^{3} -n ^{2} - {2} over {3} n+ {64} over {7}]

이다.

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

▷ 일반항 구하는 느낌이네.

[eqn: S_n -S_n-1 =a_n (n ge2)]

는 항상 중요하다.

[수능 예시문항 15번]

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k}]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때,
[eqn: M-m]의 값은?

③

(가) [eqn: a _{5} =5]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} =cases{a _{n} -6&``` LEFT ( a _{n} ge0 RIGHT ) #`-2a _{n} +3& ```LEFT ( a _{n} <0 RIGHT ) }]
이다.

① [eqn: 64]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 80]

▷ 다음 항은 하나로 결정되지만

이전 항으로 갈 때는 선택형이다.

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	수학 영역

[수능 예시문항 20번]

공차가 정수인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여

[eqn: a _{3} +a _{5} =0],   [eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT ( |`a _{k} `|+a _{k} RIGHT ) =30]

일 때, [eqn: a _{9}]의 값을 구하여라.

[eqn: 25]

▷ [eqn: a _{3} +a _{5} =0] [eqn: RARROW] [eqn: a_4 =]

[eqn: a_1 =-3d]하면 되겠지?

[2021학년도 9월 10번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =12]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} +a _{n} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1} TIMES n]

을 만족시킨다. [eqn: a _{k} >a _{1}]인 자연수 [eqn: k]의 최솟값은?

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▷ [eqn: a _{n+2} +a _{n+1} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES (n+1)]이다.

[eqn: a _{n+2} -a _{n}=]

홀짝 나눠서 일반항도 써봐.

[2021학년도 9월 27번]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라
하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: S _{n+3} -S _{n} =13 TIMES 3 ^{n-1}]

일 때, [eqn: a _{4}]의 값을 구하여라.

[eqn: 9]

▷ 등비수열이고 뭐고,

[eqn: S _{n+3} -S _{n} =]

등비수열의 일반항은 대충 [eqn: a timesb^n]면 깔끔.

[2021학년도 9월 나형 11번]

[eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: LEFT ( n ^{2} +6n+5 RIGHT ) x ^{2} - LEFT ( n+5 RIGHT ) x-1=0]의 두 근의 합을
[eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{k}}]의 값은?

①

① [eqn: 65]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 85]

▷ 부분분수 찢는가 했더니 뒤집어놨네.

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	수학 영역

[2021학년도 9월 16번]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm P _{itn}]과  곡선 [eqn: y= sqrt {3x}] 위의 점 [eqn: {rmQ} _{n}]이 있다.

다음은 점 [eqn: rmP _{1}]의 좌표가 [eqn: (1,```0)]일 때, 삼각형 [eqn: {rmOP}_n+1 {rmQ}_n]의
넓이 [eqn: A _{n}]을 구하는 과정이다. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을
[eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(8)]의 값은?

[eqn: BULLET]선분 [eqn: rm OP _{itn}]과 선분 [eqn: {rmP } _{n}][eqn: {rmQ} _{n}]이 서로 수직이다.

[eqn: BULLET]선분 [eqn: rm OQ _{itn}]과 선분 [eqn: {rmQ} _{n}][eqn: {rm P} _{n+1}]이 서로 수직이다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rm P _{itn}]의 좌표를

[eqn: (a _{n} ,```0)]이라 하자.

[eqn: {bar{rm OP _{itn+1} it}} =][eqn: {bar{rm OP _{itn} it}} +][eqn: {bar{{rm P} _{n} {rmP} _{n+1} it}}]이므로

[eqn: a _{n+1} =][eqn: a _{n} +][eqn: {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}]

이다. 삼각형 [eqn: rm O][eqn: rm P _{itn}][eqn: rm Q _{itn}]과 삼각형 [eqn: rm Q _{itn}][eqn: rm P _{itn}][eqn: rm P _{itn+1}]이

닮음이므로

[eqn: {bar{rm OP _{itn} it}} : {bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}} = {bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}} : {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}]

이고, 점 [eqn: rm Q _{itn}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a _{n} ,``` sqrt {3a _{n}} RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}][eqn: =][eqn: BOX{`````(가)`````}]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmO][eqn: rm P _{itn+1}][eqn: rm Q _{itn}]의 넓이 [eqn: A _{n}]은

[eqn: A _{n}][eqn: = {1} over {2} TIMES][eqn: BOX{`````(나)`````} `][eqn: TIMES sqrt {9n-6}]

이다.

⑤

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

▷ 특이한 수열 빈칸2.

뭔가 했는데, 신기하게          이 나오네.

[2021학년도 9월 나형 21번]

수열 [eqn: left{a _{n} right}]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+2} = {cases{2a _{n} +a _{n+1}&```(a _{n} LEQ a _{n+1} )#a _{n} +a _{n+1}&```(a _{n} >a _{n+1} )}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{3} =2], [eqn: a _{6} =19]가 되도록 하는
모든 [eqn: a _{1}]의 값의 합은?

②

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

▷ 점화식 선택형. 사고를 유형화 시키기 어렵다.

계산해보고 버려야 되는 경우가 나와서 귀찮.

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	수학 영역

[2021학년도 6월 15번]

수열 [eqn: left{ a_n right]의 일반항은

[eqn: a_n = left(2^2n - 1) times 2 ^ n(n-1) +(n-1) times 2^-n]

이다. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum_k=1 ^n a_k = 2^n(n+1) - (n+1)times 2^-n cdots (*)]

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라
할 때, [eqn: g(7) over f(3)]의 값은?

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (좌변)=3], [eqn: (우변)=3]이므로
[eqn: (*)]이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, [eqn: (*)]이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum_k=1 ^m a_k = 2^m(m+1) - (m+1)times 2^-m]
이다. [eqn: n= m+1]일 때,

[eqn: sum_k=1 ^m+1 a_k][eqn: = 2^m(m+1) - (m+1)times 2^-m]
[eqn: + LEFT ( 2 ^{2m+2} -1 RIGHT ) TIMES BOX{`````(가)`````} +m TIMES 2 ^{-m-1}]
[eqn: = box{`````(가)`````} `times box{`````(나)`````}` - m+2 over2 times 2 ^-m]
[eqn: = 2^{(m+1)(m+2)} - (m+2) times 2^-(m+1)]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 [eqn: (*)]이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum_k=1 ^n a_k = 2^n(n+1) - (n+1)times 2^-n]

이다.

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

▷ 이때만 해도 다시 향후 빈칸은

다시 귀납법 나오나보다 했지.

[2021학년도 6월 21번]

수열 [eqn: left{`a_n right}]의 일반항은

[eqn: a_n =log_2root{{2 left(n+1 right)}over{n+2}}]

이다. [eqn: sum_{k=1}^m{a_k]의 값이 [eqn: 100] 이하의 자연수가 되도록 하는
모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합은?

④

① [eqn: 150]	② [eqn: 154]	③ [eqn: 158]

④ [eqn: 162]	⑤ [eqn: 166]

▷ 쓰레기. 당시 21번이니 킬러 자리였는데..

수열 문제 아니고 지수로그 문제인가.

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	수학 영역

[2021학년도 6월 24번]

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a_1 =9], [eqn: a_2 =3]이고, 모든 자연수
[eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+2 = a_n+1 - a_n]을 만족시킨다. [eqn: LEFT | a_k RIGHT | =3]을
만족시키는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하여라.

[eqn: 33]

▷ 점화식은 뭐다? 열심히 몇 개 넣어본다.

[2021학년도 6월 나형 28번]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {4k-3} over {a _{k}} =2n ^{2} +7n]

을 만족시킨다. [eqn: a _{5} TIMES a _{7} TIMES a _{9} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 58]

▷ [eqn: sum _{k=1} ^{n} {4k-3} over {a _{k}}]가 보이는데 어떻게 할까요?

[2021학년도 6월 26번]

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의
합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_k = -16], [eqn: S_k+2 = -12]를 만족시키는
자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_2k]의 값을 구하여라.

[eqn: 7]

▷ 말리기 좋은 문항.

[eqn: S _{k+2} -S _{k} =a _{k+2} +a _{k+1}]

은 기본이고. 이후에 숫자를 잘 [찍으면] 좋다.

식으로 풀려면 약간 고생. 그래도 해보자.

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	수학 영역

[2021학년도 6월 나형 14번]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: cases{ a_3n-1 =2a_n +1# a_3n =-a_n +2#a_3n+1 =a_n +1 }]

을 만족시킨다. [eqn: a_11 +a_12 +a_13]의 값은?

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ [eqn: a_11], [eqn: a_12], [eqn: a_13]이 어디서부터 나오는지.

[2020학년도 수능 나형 15번]

첫째항이 [eqn: 50]이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=m}^{m +4} {`}S_{k}]의 값이 최대가
되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 값은?

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

▷ 등차수열의 합은 상수항이 없는 이차식.

[2020학년도 수능 나형 21번]

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: a_{20}=1]일 때, [eqn: sum _{n=1}^{63} a_{n}]의 값은?

(가) [eqn: a_{2n}=a_{n}- 1]

(나) [eqn: a_{2n +1}=2 a_{n}+1]

④

① [eqn: 704]	② [eqn: 712]	③ [eqn: 720]

④ [eqn: 728]	⑤ [eqn: 736]

▷ 시그마 계산의 발상이 쉽지 않다.

[eqn: a_n]이 만들어지는 방법을 추적해보자.

[eqn: a_1]은 [eqn: a_2]와 [eqn: a_3]를 만들고,

[eqn: a_2]와 [eqn: a_3]는 [eqn: a_4], [eqn: a_5], [eqn: a_6], [eqn: a_7]을 만든다.

군수열 문항으로 출제범위 위반인 것 같은뎅.

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	수학 영역

[2020학년도 수능 나형 23번]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: {a_{16}}over{a_{14}}+{a_{8}}over{a_{7}}=12]

일 때, [eqn: {a_{3}}over{a_{1}}+{a_{6}}over{a_{3}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 36]

▷ 공비만을 구할 수 있다.

등비수열의 항들의 비는 공비로 나타난다.

[2020학년도 수능 나형 25번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식 [eqn: 2x ^{2} -3x+1]을 [eqn: x - n]으로
나누었을 때의 나머지를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{7} (a _{n} -n ^{2} +n)]의
값을 구하여라.

[eqn: 91]

▷ 고1수학도 대충은 봐야 한다는 예시.

[2020학년도 9월 나형 7번]

등차수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a_{1 }= a_{3 }+ 8],   [eqn: 2a_{4 }- 3a_{6 }= 3]

일 때, [eqn: a_{k} < 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은?

②

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

▷ 표준문항. 등차수열과 두 개의 식.

[2020학년도 9월 나형 12번]

[eqn: sum _{k = 1}^{9} {`}(k+ 1)^{2 }- sum _{k = 1}^{10} {`}(k- 1)^{2 }]의 값은?

⑤

① [eqn: 91]	② [eqn: 93]	③ [eqn: 95]

④ [eqn: 97]	⑤ [eqn: 99]

▷ 다 풀어서 써놓고 째려봐도 좋고,

[eqn: sum _{k=1} ^{9} `(k+1) ^{2} = sum _{k=2} ^{10} `k ^{2}]

과 같이 인덱스 옮기는 작업도 해봐.

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	수학 영역

[2020학년도 9월 나형 24번]

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n + 1 }+ a_{n }= 3n- 1]

을 만족시킨다. [eqn: a_{3 }= 4]일 때, [eqn: a_{1 }+ a_{5 }]의 값을 구하여라.

[eqn: 8]

▷ 나열이 기본.

[2020학년도 9월 나형 26번]

[eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x^{2 }- (2n- 1)x + n(n- 1) = 0]

의 두 근을 [eqn: alpha_{n }], [eqn: beta_{n }]이라 하자. [eqn: sum _{n = 1}^{81} {}{1}over{ sqrt alpha_{n }+ sqrt beta_{n }}]의 값을
구하여라.

[eqn: 9]

▷ 인수분해 됩니다.

[2020학년도 6월 나형 9번]

수열 [eqn: left {a_{n} right }]은 [eqn: a_{1 }= 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n + 1 }+ (- 1)^{n } times a_{n }= 2^{n}]

을 만족시킨다. [eqn: a_{5 }]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

▷ 나열이죠 뭐.

[2020학년도 6월 나형 13번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x^{2 }- nx + 4(n- 4) = 0]

이 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta][eqn: (alpha < beta)]를 갖고,
세 수 [eqn: 1], [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때,
[eqn: n]의 값은?

③

① [eqn: 5]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 17]

▷ 자연수.

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	수학 영역

[2020학년도 6월 나형 24번]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left {a_{n} right }]에 대하여

[eqn: a_{1 }= 2],   [eqn: {a_{5 }}over{a_{3}}= 9]

일 때, [eqn: sum _{k = 1}^{4}a_{k}]의 값을 구하여라.

[eqn: 80]

▷ 등비수열은 저런 식을 자주 줘.

공비 알려주려고.

[2019학년도 수능 나형 5번]

첫째항이 [eqn: 4]인 등차수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]에 대하여

[eqn: a_10 - a_7 = 6]

일 때, [eqn: a_4]의 값은?

①

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

▷ 혹시 [eqn: (a_1 +9d)-(a_1 +6d)]로 풀었니..?

항 사이를 세 번 뛴 것이 [eqn: 6]이므로 공차는 [eqn: 2]다.

이런 식의 간격 개념은 익혀 둬.

[2020학년도 6월 나형 28번]

첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 정수인 등비수열 [eqn: left {a_{n} right }]과
자연수 [eqn: m]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_{m }]의 값을
구하여라.

[eqn: 162]

(가) [eqn: 4 < a_{2 }+ a_{3 }≤ 12]

(나) [eqn: sum _{k = 1}^{m}a_{k }= 122]

▷ 아무래도 [eqn: r=2]가 눈에 들어오는 것이 함정.

[eqn: 244=243+1]이 빡 보이는 것이 재미요소.

유치한 문항.

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	수학 영역

[2019학년도 수능 나형 13번]

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]은 [eqn: a_1 =2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{{a _{n}} over {2-3a _{n}}&```(n이```홀수인```경우)#1+a _{n}&```(n이```짝수인```경우)}}]

를 만족시킨다. [eqn: sum _{n=1} ^{40} a _{n}]의 값은?

①

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

▷ 몇 개 구해보면 돌겠지 뭐.

[2019학년도 수능 나형 24번]

첫째항이 [eqn: 7]인 등비수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

[eqn: { S_9 - S_5 } over {S_6 - S_2 }=3]

일 때, [eqn: a_7]의 값을 구하여라.

[eqn: 63]

▷ 합 공식을 써도 풀리겠지만,

저 식이 그냥 공비 준 식이야.

[2019학년도 수능 나형 29번]

첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열
[eqn: LEFT {a_n RIGHT }]과 첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인
등비수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_7 +b_7]의
값을 구하여라.

[eqn: 117]

(가) [eqn: sum _{ n=1} ^{ 5}(a_n +b_n ) = 27]

(나) [eqn: sum _{ n=1} ^{ 5}(a_n +|b_n |) =67]

(다) [eqn: sum _{ n=1} ^{ 5}(|a_n |+|b_n |)=81]

▷ 보자마자 귀찮다는 생각에 사로잡히는 문항.

(나)에서 (가)를 빼고, 정수조건 째려보자.

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	수학 영역

[2019학년도 9월 나형 11번]

수열 [eqn: left{ it a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n a_n+1 = 2n]

이고 [eqn: a_3 = 1]일 때, [eqn: a_2 + a_5]의 값은?

②

① [eqn: 13 over 3]	② [eqn: 16 over 3]	③ [eqn: 19 over3]

④ [eqn: 22 over 3]	⑤ [eqn: 25 over 3]

▷ 나열.

[2019학년도 9월 나형 13번]

등차수열 [eqn: left{ it a_n right}]에 대하여

[eqn: a_1 = - 15],   [eqn: | a_3 | - a_ 4 = 0]

일 때, [eqn: a_7]의 값은?

①

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

▷ 등차수열에서 [eqn: a_3 =a_4]일 수 있나?

[2019학년도 9월 나형 26번]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{ it a_n right}]의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

[eqn: S_4 - S_ 3 = 2],   [eqn: S_6 - S_5 = 50]

일 때, [eqn: a_5]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

▷ 정말 참신한 표현이군!

[2019학년도 6월 나형 7번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =3],   [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{```2} =7]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} ^{```2} -a _{k} RIGHT )]의 값은?

④

① [eqn: 8`]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 10`]

④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 12`]

▷ 아주 쉽군요.

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	수학 영역

[2019학년도 9월 나형 29번]

좌표평면에서 그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 선분이
수직으로 만나도록 연결된 경로가 있다. 이 경로를
따라 원점에서 멀어지도록 움직이는 점 [eqn: \P]의 위치를
나타내는 점 [eqn: rm A_ { it n]을 다음과 같은 규칙으로 정한다.

예를 들어, 점 [eqn: rm A_2]와 [eqn: rm A_6]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( {4} over {25} ,```0 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 1,``` {11} over {25} RIGHT )]이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: rm A_ { it n] 중 직선 [eqn: y = x]
위에 있는 점을 원점에서 가까운 순서대로 나열할 때,
두 번째 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하자. [eqn: a]의 값을 구하여라.

(ⅰ) [eqn: rm A_ { it 0]은 원점이다.

(ⅱ) [eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: rm A_ { it n]은 점 [eqn: rm A_ { it n-1]에서

점 [eqn: \P]가 경로를 따라 [eqn: 2n-1 over 25]만큼

이동한 위치에 있는 점이다.

[eqn: 8]

▷ 최근 수열 문항 중에서는 비교적 어렵나?

[eqn: 2n-1 over 25] 들을 더한 것이       가 되어야 한다.

계차수열로 분류해야 하는 것 같은데..

이 경우는 평가원이 아니라 교과 내용

잘라낸 애들을 욕하는 것이 맞는 듯.

[2019학년도 6월 나형 15번]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: a _{3} =4 LEFT ( a _{2} -a _{1} RIGHT )],   [eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k} =15]

일 때, [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5}]의 값은?

③

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

▷ 혹시 이런거 보여?

[eqn: (a_1 +a_3 +a_5 ) timesr =a_2 +a_4 +a_5]

안 보이면 말고.

[2019학년도 6월 나형 24번]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: a_5 = 5],   [eqn: a_15 = 25]

일 때, [eqn: a_20]의 값을 구하여라.

[eqn: 35]

▷ 간격 개념으로 다루기 좋게 내주지?

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	수학 영역

[2018학년도 수능 나형 13번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} -1&``` LEFT ( a _{n} 이```짝수인```경우 RIGHT )#a _{n} +n&```LEFT ( a _{n} 이```홀수인```경우 RIGHT )}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{7}]의 값은?

②

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

▷ 틀리면 킬러문항.

[2018학년도 수능 나형 14번]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: a _{5} +a _{13} =3a _{9}],   [eqn: sum _{k=1} ^{18} a _{k} = {9} over {2}]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{13}]의 값은?

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

▷ 간격, 그리고 중항개념도 잡아두면 좋다.

[eqn: a _{5} +a _{13} =]   이므로 [eqn: a _{9} =0]

[eqn: sum _{k=1} ^{18} a _{k} =18timesa _{9.5}]이므로 공차는

[eqn: a _{13} =a _{9} +4d]이므로.

[2018학년도 수능 나형 27번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} +1 RIGHT ) ^{2} =28],   [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} LEFT ( a _{k} +1 RIGHT ) =16]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} ` LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하여라.

[eqn: 14]

▷ 27번..? 정말 나형은..

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	수학 영역

[2018학년도 9월 나형 11번]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: left{b_{n}right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n}+b_{n}=10]을 만족시킨다. [eqn: sum_{k=1}^{10}left(a_{k}+2b_{k}right)=160]일 때,
[eqn: sum_{k=1}^{10}b_{k}]의 값은?

①

① [eqn: 60]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 100]

▷ 귀엽군.

[2018학년도 6월 나형 15번]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 이차방정식
[eqn: x ^{2} -14x+24=0]의 두 근이 [eqn: a_3], [eqn: a_8]이다. [eqn: sum _{k=3} ^{8} a _{n}]의 값은?

②

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

▷ 평가원 노력했네. 참신하다고 해둘까?

[2018학년도 9월 나형 19번]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: left{b_{n}right}]은 [eqn: a_{1}=a_{2}=1], [eqn: b_{1}=k]이고, 모든
자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n+2}=left(a_{n+1}right)^{2}-left(a_{n}right)^{2],   [eqn: b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+n]

을 만족시킨다. [eqn: b_{20}=14]일 때, [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

▷ [eqn: 19]개의 등식을 더하고 빼고를 번갈아가면서

연산해주면 되긴 하는데, 실수하기도 좋다.

그냥 [eqn: b_20]까지 나열해.

평가원이 뭔 생각을 했을까? 생각을 안 했겠지?

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	수학 영역

[2018학년도 6월 나형 26번]

첫째항이 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: {a _{3}} over {a _{2}} - {a _{6}} over {a _{4}} = {1} over {4}]

일 때, [eqn: a _{5} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 19]

▷ 이런 문제 내고도 돈 받나?

[2017학년도 수능 나형 5번]

세 수 [eqn: {9} over {4}], [eqn: a], [eqn: 4]가 이순서대로 등비수열을 이룰 때,
양수 [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: {8} over {3}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {10} over {3}]

④ [eqn: {11} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

▷ 등비중항yo.

[2018학년도 6월 나형 29번]

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은

[eqn: b _{1} =a _{1}]

이고, [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b _{n} = {cases{b _{n-1} +a _{n}&```(n이```3의```배수가```아닌```경우)#b _{n-1} -a _{n}&```(n이```3의```배수인```경우)}}]

이다. [eqn: b _{10} =a _{10}]일 때, [eqn: {b _{8}} over {b _{10}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 13]

▷ 비교적 까칠한 문항.

조건에서 [eqn: a _{1} +2d=0]을 얻을 수 있다.

이후 [eqn: b _{8}], [eqn: b _{10}]이 [eqn: d]의 몇 배인지로 처리.

평가원이나 점화식 뺀 새키,

둘 중 하나 이상을 돌로 치자.

				52

	수학 영역

[2017학년도 수능 나형 15번]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: a _{2}]의 값은?

①

(가) [eqn: a _{6} +a _{8} =0]

(나) [eqn: LEFT | a _{6} RIGHT | = LEFT | a _{7} RIGHT | +3]

① [eqn: -15]	② [eqn: -13]	③ [eqn: -11]

④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -7]

▷ 중항과 간격. 절댓값 모야.

[2017학년도 수능 나형 21번]

좌표평면에서 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-x+10&``` LEFT ( x<10 RIGHT )#LEFT ( x-10 RIGHT ) ^{2}&``` LEFT ( x GEQ 10 RIGHT )}}]

과 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( n,```f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT )]을 중심으로 하고
반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원 [eqn: O _{n}]이 있다. [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점 중에서 원 [eqn: O _{n}]의 내부에 있고 함수
[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 아랫부분에 있는 모든 점의 개수를
[eqn: A _{n}], 원 [eqn: O _{n}]의 내부에 있고 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의
윗부분에 있는 모든 점의 개수를 [eqn: B _{n}]이라 하자.
[eqn: sum _{n=1} ^{20} LEFT ( A _{n} -B _{n} RIGHT )]의 값은?

④

① [eqn: 19]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

▷ 소위 말하는 격자점 문항이다.

출제될 것 같지는 않지만 하나 풀어보자.

평가원 미친놈들아 소리가 절로 나온다.

사실 이 문항은 막상 셀 것은 별로 없긴 해.

그럼에도 불구하고 풀 때마다 두 번씩은 틀림.

				52

	수학 영역

[2017학년도 수능 나형 25번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x+2]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{15} f LEFT ( 2k RIGHT )]의 값을
구하여라.

[eqn: 150]

▷ 주관식이니까 많이 틀렸겠지?

[2017학년도 9월 나형 9번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: sum _{k=1} ^{7} a _{k} = sum _{k=1} ^{6} LEFT ( a _{k} +1 RIGHT )]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{7}]의 값은?

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 나열해.

[2017학년도 9월 나형 14번]

첫째항이 [eqn: 4]이고 공차가 [eqn: 1]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{12} {1} over {sqrt {a _{k+1}} + sqrt {a _{k}}}]

의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 평가원/수능에서 은근히 귀한 망원화 문제.

				52

	수학 영역

[2017학년도 9월 나형 17번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= {3} over {x}][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( n,``` {3} over {n} RIGHT )]
과 두 점 [eqn: LEFT ( n-1,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( n+1,```0 RIGHT )]을 세 꼭짓점으로 하는
삼각형의 넓이를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {9} over {a _{n} a _{n+1}}]의 값은?

④

① [eqn: 410]	② [eqn: 420]	③ [eqn: 430]

④ [eqn: 440]	⑤ [eqn: 450]

▷ 귀하다니까 바로 하나 더 나오네.

[2017학년도 6월 나형 20번]

첫째항이 [eqn: a]인 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = cases { a_n + (-1)^n times 2 &```(n이```3의```배수가```아닌```경우) #a_n + 1 &```(n이```3의```배수인```경우)]

를 만족시킨다. [eqn: a_15 = 43]일 때, [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: 35]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 39]

▷ 많이 써봐.

				52

	수학 영역

[2016학년도 수능 17번]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 = a_2 =1]이고,
[eqn: S_n = sum_k=1^n {a_k }]라 할 때,

[eqn: a_n+1 = {S_n^{```2}}overS_n-1 + (2n-1)S_n ```(n ge2)]

를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라
할 때, [eqn: f(10)+g(6)]의 값은?

[eqn: a_n+1 = S_n+1 -S_n]이므로 주어진 식으로부터

[eqn: S_n+1 ={S_n^{```2}}overS_n-1 + 2n S_n ```(n ge2)]

이다. 양변을 [eqn: S_n]으로 나누면

[eqn: S_n+1 over S_n = S_n over S_n-1 +2n]

이다. [eqn: b_n = S_n+1 over S_n]이라 하면 [eqn: b_1 =2]이고

[eqn: b_n = b_n-1 +2n``` (n ge 2)]

이다. 수열 [eqn: left{ b_n right}]의 일반항을 구하면

[eqn: b_n = box{`````(가)`````}`times (n+1)```(n ge 1)]

이므로

[eqn: S_n = box{`````(가)`````}`times left{(n-1)!right}^2 ```(n ge 1)]

이다. 따라서 [eqn: a_1 = 1]이고, [eqn: n ge 2]일 때

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: = BOX{`````(나) `````} ` TIMES LEFT { (n-2)! RIGHT } ^{2}]

이다.

④

① [eqn: 110]	② [eqn: 125]	③ [eqn: 140]
④ [eqn: 155]	⑤ [eqn: 170]

▷ 앞으로 이런 빈 칸 문항들이 반복해서 나온다.

점화식 풀이가 교육과정이 아니므로 다루지

않아도 된다는 것도 맞는 말. 그런데 그냥 해 둬.

이 문항에는 세 가지 중요한 요소가 있다.

① 치환, ② 계차수열의 점화식, ③ 합의 수열

계차수열의 점화식은 이제 범위가 아니지만.

[2016학년도 9월 16번]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a _{1} =10]이고

[eqn: LEFT ( a _{n+1} RIGHT ) ^{n+1} = {a _{1} + LEFT ( a _{2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a _{3} RIGHT ) ^{3} + CDOTS + LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{n}} over {n}] ([eqn: n Ge 1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정의
일부이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: f(5) TIMES g(6)]의 값은?

[eqn: b_n = left( a_n right)^n]이라 하면 [eqn: b_1 =10]이고 주어진 식으로부터

[eqn: b_n+1 = { b_1 + b_2 +` cdots + b_n } over n] ([eqn: n Ge 1])

이다. [eqn: S_n = Sum from {k=1} to n b_k]라 하면

[eqn: S_n+1 = box {````` (가)`````} `times S_n]

이다.

[eqn: S_1 =10],

[eqn: S_n = S_1 times S_2 over S_1 times S_3 over S_2 times cdots times S_n over S_n-1] ([eqn: n Ge 2])

를 이용하여 [eqn: S_n]을 구하면

[eqn: S_n = box{ ````` (나)````` }] ([eqn: n Ge 1])

이다.

[eqn: VDOTS]

①

① [eqn: 72]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 88]

▷ 계비 수열..?

축차대입법은 익혀두자.

어.. 일단.. 논술에는 나올걸?

				52

	수학 영역

[2016학년도 6월 17번]

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]라 할 때,

[eqn: a _{n+1} = LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT ) (S _{n} +1)] ([eqn: n GEQ 1]) [eqn: cdots] (＊)

이 성립한다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라
할 때, [eqn: f(12)-g(5)]의 값은?

식 (*)의 양변에 [eqn: S _{n}]을 더하여 정리하면

[eqn: S _{n+1} +1=2 ^{n} (S _{n} +1)]

이다. [eqn: b _{n} =log _{2} (S _{n} +1)]이라 하면 [eqn: b _{1} =1]이고

[eqn: b _{n+1} =box{`````(가)`````}`+b _{n}]

이다. 수열 [eqn: left{b _{n} right}]의 일반항을 구하면

[eqn: b _{n} = {n ^{2} -n+2} over {2}] ([eqn: n ge1])

이므로

[eqn: S_n =2^{ { n^2 -n+2} over {2 } }-1] ([eqn: n ge1])

이다. 그러므로 [eqn: a_1 =1]이고, [eqn: n ge2]일 때

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: =2 ^{{n ^{2} -n+2} over {2}} -2 ^{`BOX{`````(나)`````}}]

[eqn: =2 ^{`{BOX{`````(나)`````}}} TIMES (2 ^{n-1} -1)]

이다.

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ ① 합의 수열

② 치환

③ 계차수열의 점화식

[2015학년도 수능 17번]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =1]이고, [eqn: S_n = sum_k=1^n a_k]라 할 때,

[eqn: a_n+1 = (n+1)S_n +n!] ([eqn: n ge1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때,
[eqn: f(7) +g(6)]의 값은?

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 = S_n+1 - S_n]이므로

주어진 식에 의하여

[eqn: S_n+1 = (n+2) S_n +n!] ([eqn: n ge1])

이다. 양변을 [eqn: (n+2)!]로 나누면

[eqn: S_n+1 over{(n+2)!} = S_n over{(n+1)!} + 1 over{(n+1)(n+2)}]

이다. [eqn: b_n = S_n over{(n+1)!}]이라 하면 [eqn: b_1 = 1 over2]이고

[eqn: b_n+1 = b_n + 1 over{(n+1)(n+2)}]

이다. 수열 [eqn: left{b_n right}]의 일반항을 구하면

[eqn: b_n = { box{`````(가)`````}} over {n+1 }]

이므로

[eqn: S_n ={box{`````(가)`````}`timesn!]

이다. 그러므로

[eqn: a_n = box{`````(나)`````}`times(n-1)!] ([eqn: n ge1])

이다.

③

① [eqn: 44]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 32]

▷ 비슷비슷하지?

				52

	수학 영역

[2015학년도 수능 21번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 가장 작은
자연수 [eqn: m]을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^10 a_n]의 값은?

①

(가) 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (2^n , ```0)]이다.

(나) 두 점 [eqn: rm B(1, ```0)]과 [eqn: {rmC } (2^m , ```m)]을 지나는 직선

위의 점 중 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2^n]인 점을 [eqn: rmD]라 할 때,

삼각형 [eqn: rm ABD]의 넓이는 [eqn: m over2]보다 작거나 같다.

① [eqn: 109]	② [eqn: 111]	③ [eqn: 113]

④ [eqn: 115]	⑤ [eqn: 117]

▷ 조건을 식으로 쓰면 [eqn: (2^n -1)^2 le 2^m -1]이다.

여기서.. 몇 개 직접 구하다 보면 대충..?

제대로 풀이 써보려니까 쉽지 않네.

[2015학년도 9월 12번]

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: {S} _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]라 할 때,

[eqn: {{S} _{n+1}} over n+1 = sum _{ k=1} ^{n } {S}_k] [eqn: (n GEQ1)] [eqn: cdots] (*)

이 성립한다. 다음은 일반항 [eqn: a_n``]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때,
[eqn: f(4) timesg(20)]의 값은?

주어진 식 (*)에 의하여

[eqn: {{S} _{n}} over {n} = sum _{k=1} ^{n-1} {S}_k] [eqn: (n GEQ2)] [eqn: cdots] ㉠

이다. (*)에서 ㉠을 빼서 정리하면

[eqn: {{S} _{n+1}} over {{S} _{n}} = {{BOX{`````(가)`````}}} over {n}] [eqn: (n GEQ2)]

이다. ㉠으로부터 [eqn: S _{2} =2]이고,

[eqn: S _{n} = {S _{n}} over {S _{n-1}} TIMES {S _{n-1}} over {S _{n-2}} TIMES CDOTS TIMES {S _{3}} over {S _{2}} TIMES S _{2}] [eqn: (n GEQ 3)]

이므로

[eqn: {S}_n = n! times box{`````(나)`````}] [eqn: (n GEQ 3)]

이다. 그러므로 [eqn: a_n]은

[eqn: a _{n} = {cases{1&```(n=1,```2)#{n ^{2} -n+1} over {2} TIMES (n-1)!&```(n GEQ3)}}]

이다.

②

① [eqn: 225``]	② [eqn: 250``]	③ [eqn: 275``]

④ [eqn: 300``]	⑤ [eqn: 325``]

▷ ① 합의 수열

② 계비수열의 점화식

③ 다시 합의 수열

				52

	수학 영역

[2015학년도 6월 8번]

수열 [eqn: \{ it a_n \}]은 [eqn: a_1 = 15]이고,

[eqn: sum_k=1 ^n ( a_k+1 - a_k ) = 2 n + 1] [eqn: (n GEQ1)]

을 만족시킨다. [eqn: a_10]의 값은?

④

① [eqn: 28]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 36]

▷ 창조성 20.

[2015학년도 6월 13번]

수열 [eqn: \{ it a_n \}]에 대하여

[eqn: sum_k=1 ^n a_k = n^2 - n] [eqn: (n GEQ1)]

일 때, [eqn: sum_ k=1 ^10 k a_4k+1]의 값은?

④

① [eqn: 2960]	② [eqn: 3000]	③ [eqn: 3040]
④ [eqn: 3080]	⑤ [eqn: 3120]

▷ [eqn: S_n -S_n-1] 해도 좋지만,

상수항이 없는 이차식은 따로 기억.

[2014학년도 수능 11번]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =10]이고

[eqn: LEFT ( a _{n+1} RIGHT ) ^{n} =10 LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{n+1}] [eqn: (n GEQ1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때,
[eqn: {g LEFT ( 10 RIGHT )} over {f LEFT ( 4 RIGHT )}]의 값은?

주어진 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n loga _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) log a _{n} +1]

이다. 양변을 [eqn: n LEFT ( n+1 RIGHT )]로 나누면
[eqn: {loga _{n+1}} over {n+1} = {loga _{n}} over {n} + BOX{`````(가)`````}]
이다. [eqn: b _{n} = {loga _{n}} over {n}]이라 하면 [eqn: b _{1} =1]이고

[eqn: b _{n+1} =b _{n} + BOX{````` (가)`````}]
이다. 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 일반항을 구하면

[eqn: b _{n} =``box{`````(나)`````}]

이므로

[eqn: loga _{n} =n TIMES BOX{````` (나)`````}]

이다. 그러므로 [eqn: a _{n} =10 ^{n TIMESBOX{````` (나)`````} }]이다.

①

① [eqn: 38]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 46]

▷ 로그 / 꼴 맞춰서 치환

				52

	수학 영역

[2014학년도 9월 24번]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_2 =-2], [eqn: a_5 =7]일 때, [eqn: sum from k=1 to 10 a_2k]의 값을
구하여라.

[eqn: 250]

▷ 시그마 [eqn: a_2k]라서 넣어 봤다.

[2014학년도 6월 4번]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]이

[eqn: a_1 +a_2 =12],   [eqn: {a_3 +a_7 } over {a_1 +a_5} =4]

를 만족시킬 때, [eqn: a_4]의 값은?

③

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

▷ 나눠 주죠?

[2014학년도 6월 13번]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =2]이고,

[eqn: n^2 a_n+1 = left(n^2 -1 right)a_n +n(n+1)2^n ```(n ge1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때,
[eqn: f(5)+g(10)]의 값은?

주어진 식에 의하여
[eqn: a_n+1 = {(n+1)(n-1)} over n^2 a_n + n+1 over n 2^n]
이다. [eqn: b_n = n-1 over n a_n]이라 하면
[eqn: b_n+1 = b_n +box{`````(가)`````}```(n ge1)]
이고, [eqn: b_1 =0]이므로
[eqn: b_n = box{`````(나)`````}```(n ge1)]
이다. 그러므로
[eqn: a_n = cases{2 &```(n=1) # n over n-1 times left(box{`````(나)`````}right)&```(n ge2)]
이다.

⑤

① [eqn: 1014]	② [eqn: 1024]	③ [eqn: 1034]
④ [eqn: 1044]	⑤ [eqn: 1054]

▷ 꼴 맞춰서 치환인데,

풀이 첫 줄을 이상하게 줬네.

				52

	수학 영역

[2013학년도 수능 17번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =4]이고,

[eqn: a _{n+1} =n cdot 2 ^{n} + sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} ```(n geq1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: f(4)+g(7)]의 값은?

주어진 식에 의하여

[eqn: a _{n} =(n-1)cdot2 ^{n-1} + sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {k} ```(n geq2)]

이다. 따라서 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} -a _{n} = BOX{`````(가)`````} `+ {a _{n}} over {n}]

이므로

[eqn: a _{n+1} = {(n+1)a _{n}} over {n} + BOX{`````(가)`````}]

이다. [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n}]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =b _{n} + {BOX{`````(가)`````}} over {n+1} ```(n geq2)]

이고 [eqn: b _{2} =3]이므로 [eqn: b _{n} = BOX{`````(나)`````} ```(n geq2)]이다.

그러므로 [eqn: a _{n} = {cases{4&```(n=1)#n TIMES LEFT { BOX{`````(나)`````} RIGHT }&```(n`geq2)}}]이다.

④

① [eqn: 90]	② [eqn: 95]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 105]	⑤ [eqn: 110]

▷ ① 합의 수열

② 꼴 맞춰서 치환

③ 계차수열의 점화식

[2013학년도 수능 27번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P _{itn}]을
다음 규칙에 따라 정한다.

예를 들어, 점 [eqn: rmP _{4}]의 좌표는 [eqn: (1,```-2)]이다. 점 [eqn: rmP _{25}]의
좌표가 [eqn: (a,```b)]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

(가) 세 점 [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: rmP_3]의 좌표는

각각 [eqn: (-1,```0)], [eqn: (1,```0)], [eqn: (-1,```2)]이다.

(나) 선분 [eqn: rmP _{itn} P _{itn+1}]의 중점과 선분 [eqn: rmP _{itn+2} P _{itn+3}]의

중점은 같다.

[eqn: 23]

▷ 나열하면서 규칙을 찾아보자.

[eqn: x]좌표는 [eqn: x]좌표대로, [eqn: y]좌표는 [eqn: y]좌표대로.

				52

	수학 영역

[2013학년도 9월 17번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =- { 4} over { 9}]이고,

[eqn: 2 ^{n} a _{n+1} -2 ^{n+1} a _{n} =n``` LEFT ( n GEQ1 RIGHT )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_{ n]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: {f(10)} TIMES g(5)]의 값은?

주어진 식 [eqn: 2 ^{n} a _{n+1} -2 ^{n+1} a _{n} =n]의 양변을

[eqn: 2 ^{2n+1}]으로 나누면
[eqn: {a _{n+1}} over {2 ^{n+1}} - {a _{n}} over {2 ^{n}} = {n } over {2^2n+1 }] ([eqn: n GEQ1])

이므로 [eqn: n GEQ 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: {a _{n}} over {2 ^{n}} = {a _{1}} over {2} `+ sum _{k=1} ^{n-1} ` {k} over {2 ^{2k+1}}] [eqn: cdots] (*)
이다. 한편
[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} {k} over {2 ^{2k+1}} = {2} over {3} LEFT ( sum _{k=1} ^{n-1} {k} over {2 ^{2k}} - {1} over {4} sum _{k=1} ^{n-1} {k} over {2 ^{2k}} RIGHT )]
[eqn: = {2} over {3} LEFT { LEFT ( {1} over {4} + {2} over {4 ^{2}} + CDOTS + {n-1} over {4 ^{n-1}} RIGHT ) - LEFT ( {1} over {4 ^{2}} + {2} over {4 ^{3}} + CDOTS + {n-1} over {4 ^{n}} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {2} over {3} LEFT ( sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {4 ^{k}} -{box{`````(가)`````} over {4 ^{n}} RIGHT )]
이므로 (*)에 의하여
[eqn: a _{n} `=`{BOX{`````(나)`````}}` + {2 ^{n+1}} over {3} LEFT ( sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {4 ^{k}} - {BOX{`````(가)`````}} over {4 ^{n}} RIGHT )]
[eqn: = -{3n+1} over {9 CDOT 2 ^{n-1} }] ([eqn: n GEQ2])
이다.

①

① [eqn: -64]	② [eqn: -56]	③ [eqn: -48]

④ [eqn: -40]	⑤ [eqn: -32]

▷ 꼴 맞추기와 등호비교..?

멱급수인데, 그냥 시키는 그대로.

[2013학년도 6월 11번]

첫째항이 [eqn: 2]이고, 각 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right}]의
첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.
[eqn: sum from k=1 to 10 {a_k+1} over {S_k S_k+1} = 1 over 3]일 때, [eqn: S_11]의 값은?

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 부분분수 분리. 귀여운 망원화.

				52

	수학 영역

[2013학년도 6월 15번]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =2]이고, [eqn: S_n = sum from k=1 to n a_k]라 할 때,

[eqn: a_n+1 `= S_n over a_n] ([eqn: n GEQ1])

을 만족시킨다. 다음은 [eqn: S_n]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때,
[eqn: f(6)+g(7)]의 값은?

주어진 식으로부터 [eqn: a_2 = S_1 over a_1 =1]이다.
[eqn: n ge3]일 때,
[eqn: a_n = S_n-1 over a_n-1 = {S_n-2 +a_n-1} over a_n-1 = {a_n-2 a_n-1 +a_n-1} over a_n-1]
이므로 [eqn: a_n = a_n-2 +1]이다.
따라서 일반항 [eqn: a_n]을 구하면, 자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: n=2k-1]일 때, [eqn: a_2k-1 =k+1]
[eqn: n=2k]일 때, [eqn: a_2k = box{`````(가)`````}]
이다. 한편, [eqn: S_n = a_n a_n+1]이므로
[eqn: S_n = cases{(k+1) times box{`````(가)`````}&```(n=2k-1) #box{`````(나)`````} &```(n=2k)]
이다.

③

① [eqn: 65]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 69]

④ [eqn: 71]	⑤ [eqn: 73]

▷ 대충 나열해서 찾음 될 듯?

[2013학년도 6월 28번]

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_1 =2]이고, [eqn: n ge1]일 때, [eqn: a_n+1]은

[eqn: {1} over {n+2} < {a _{n}} over {k} < {1} over {n}]

을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수이다. [eqn: a_10]의 값을
구하여라.

[eqn: 513]

▷ [eqn: k]의 개수를 구하고 있다.

[eqn: na _{n} <k<(n+2)a _{n}]

에서. 점화식이지만 이 정도는 권장.

				52

	수학 영역

[2012학년도 수능 17번]

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: S_n = sum from k=1 to n a_k]라 할 때,

[eqn: nS_n+1 =(n+2)S_n +(n+1)^3] [eqn: (n ge 1)]

이 성립한다. 다음은 수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)],
[eqn: h(n)]이라 할 때, [eqn: {f(3)} over {g(3)h(6)}]의 값은?

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_n+1 =S_n +a_n+1]이므로
[eqn: na_n+1 = 2S_n + (n+1)^3] [eqn: cdots] ㉠
이다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: (n-1)a_n =2S_n-1 +n^3] [eqn: cdots] ㉡
이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터
[eqn: na_n+1 = (n+1)a_n +box{`````(가)`````}]
를 얻는다. 양변을 [eqn: n(n+1)]로 나누면
[eqn: a_n+1 over n+1 = a_n over n + {box{`````(가)`````}} over {n(n+1)}]
이다. [eqn: b_n = a_n over n]이라 하면,
[eqn: b_n+1 = b_n +3 +`box{`````(나)`````}```(n ge 2)]
이므로 [eqn: b_n = b_2 +`box{`````(다)`````}```(n ge 3)]이다.
[eqn: VDOTS]

②

① [eqn: 30]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 54]

▷ ① 합의 수열

② 꼴 맞춰서 치환

③ 계차수열의 점화식

[2012학년도 수능 25번]

세 수 [eqn: a], [eqn: a+b], [eqn: 2a-b]는 이 순서대로 등차수열을
이루고, 세 수 [eqn: 1], [eqn: a-1], [eqn: 3b+1]은 이 순서대로 공비가
양수인 등비수열을 이룬다. [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

▷ 등차중항/등비중항이 깔끔하지.

				52

	수학 영역

[2012학년도 9월 19번]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =1]이고,

[eqn: a_n+1 = {3a_n -1} over {4a_n -1} ```(n ge1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정의
일부이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라
할 때, [eqn: f(14) times g(5)]의 값은?

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: 4a_n+1 -1 = 4 times {3a_n -1} over {4a_n -1} -1 =2- 1 over {4a_n -1}]

이다. 수열 [eqn: left{b_n right}]을
[eqn: b_1 =1], [eqn: b_n+1 =left(4a_n -1 right)`b_n ```(n ge1)] [eqn: cdots] (*)

이라 하면,
[eqn: VDOTS]
[eqn: b_n+2 -b_n+1 =b_n+1 -b_n]이다.

즉, [eqn: left{b_n right}]은 등차수열이므로 (*)에 의하여
[eqn: b_n =box{`````(가)`````}]이고, [eqn: a_n =box{`````(나)`````}]이다.

①

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

▷ 어떻게 풀고 있는지 알 필요가 없다.

눈치껏 답만 뽑으면 된다고 생각하자.

드물게 보이는 빈 칸 문항의 특이한 스타일.

[2012학년도 6월 10번]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =1]이고

[eqn: a_n+1 =sum from k=1 to n 2^n-k a_k ```(n ge1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라
할 때, [eqn: p+q+r]의 값은?

주어진 식으로부터 [eqn: a_2 =box{`````(가)`````}]이다.
자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+2 = sum from k=1 to n+1 2^n+1-k a_k]

[eqn: =sum from k=1 to n 2^n+1-k a_k +a_n+1]

[eqn: =box{`````(나)`````}`sum from k=1 to n 2^n-k a_k +a_n+1]

[eqn: =box{`````(다)`````}`a_n+1]
이다.
따라서 [eqn: a_1 =1]이고, [eqn: n ge2]일 때
[eqn: a_n =left(`box{`````(다)`````} `right)^n-2]이다.

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▷ ① 합의 수열

② 계비수열의 점화식

				52

	수학 영역

[2012학년도 6월 17번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmA}_n]을 다음 규칙에
따라 정한다.

위의 규칙에 따라 정해진 점 [eqn: {rmA} _{k}]의 좌표가 [eqn: (7,```-2)]이고
점 [eqn: {rmA} _{l}]의 좌표가 [eqn: (9,```-7)]일 때, [eqn: k+l]의 값은?

(가) 점 [eqn: rmA_1]의 좌표는 [eqn: (1,```1)]이다.

(나) [eqn: n]이 짝수이면 점 [eqn: {rmA}_n]은 점 [eqn: {rmA}_n-1]을 [eqn: x]축의

방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼

평행이동한 점이다.

(다) [eqn: n]이 [eqn: 3] 이상의 홀수이면 점 [eqn: {rmA} _{n}]은 점 [eqn: {rmA} _{n-1}]을
[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로

[eqn: -2]만큼 평행이동한 점이다.

①

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

▷ 귀찮아.

[2011학년도 수능 15번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고,

[eqn: a _{n+1} =n+1+ {LEFT ( n-1 RIGHT ) !} over {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n}} ```(n GEQ 1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정의
일부이다.

위의 (가) 에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], (나)에 알맞은 식을
[eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 13 RIGHT ) timesg LEFT ( 7 RIGHT )]의 값은?

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{1} a _{2} CDOTS a _{n} a _{n+1} =a _{1} a _{2} CDOTS a _{n} TIMES LEFT ( n+1 RIGHT ) + LEFT ( n-1 RIGHT ) !]

이다. [eqn: b _{n} = {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n}} over {n!}]이라 하면, [eqn: b _{1} =1]이고

[eqn: b _{n+1} =b _{n} + BOX{`````(가)`````}]

이다. 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 일반항을 구하면

[eqn: b _{n} = BOX{````` ( 나 ) `````}`]이므로 [eqn: {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n}} over {n!} = BOX{`````( 나 ) `````}`]이다.

[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: a _{1} =1]이고, [eqn: a _{n} = {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n-1 RIGHT )} over {2n-3} ``` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이다.

⑤

① [eqn: {1} over {70}]	② [eqn: {1} over {77}]	③ [eqn: {1} over {84}]

④ [eqn: {1} over {91}]	⑤ [eqn: {1} over {98}]

▷ ① 꼴 맞춰서 치환

② 계차수열의 점화식

				52

	수학 영역

[2011학년도 9월 18번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고,

[eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( 2k+1 RIGHT ) a _{k}] [eqn: LEFT ( n ge2 RIGHT )]

를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정의
일부이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], (나)에 알맞은 식을
[eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT ) timesg LEFT ( 9 RIGHT )]의 값은?

주어진 식으로부터 [eqn: a _{2} =7]이다.

자연수 [eqn: n][eqn: LEFT ( n ge3 RIGHT )]에 대하여

[eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( 2k+1 RIGHT ) a _{k}]

[eqn: =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-2} LEFT ( 2k+1 RIGHT ) a _{k} + LEFT ( 2n-1 RIGHT ) a _{n-1}]

[eqn: =n ^{2} +a _{n-1} - BOX{`````(가)`````} `+ LEFT ( 2n-1 RIGHT ) a _{n-1}]

이므로, [eqn: a _{n} +1=2n LEFT ( a _{n-1} +1 RIGHT )]이 성립한다. 따라서

[eqn: a _{n} +1=n times LEFT ( n-1 RIGHT ) times cdots times3times BOX{`````(나)`````}` times LEFT ( a _{2} +1 RIGHT )]

[eqn: =4timesn!times BOX{`````(나)`````}]
이다.

①

① [eqn: 2 ^{13}]	② [eqn: 2 ^{14}]	③ [eqn: 2 ^{15}]

④ [eqn: 2 ^{16}]	⑤ [eqn: 2 ^{17}]

▷ 등호 비교와 계비수열?

[2011학년도 9월 23번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =2]이고,

[eqn: a _{n+1} =a _{n} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} {2n+1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}] [eqn: LEFT ( n ge1 RIGHT )]

을 만족시킨다. [eqn: a _{20} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 39]

▷ [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} {2n+1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}] 더하면 살살 없어진다.

				52

	수학 영역

[2010학년도 9월 14번]

두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{ b_n right}]이 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: b_2k-1 =LEFT ( 1over2 RIGHT ) ^{a_1 +a_3 +cdots+a_2k-1 }],
[eqn: b_2k =2 ^{a_2 +a_4 +cdots+a_2k }]

을 만족시킨다. 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 등차수열이고,

[eqn: b_1 timesb_2 timesb_3 timescdotstimes b_10 =8]

일 때, 수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공차는?

③

① [eqn: 1over15`]	② [eqn: 2over15`]	③ [eqn: 1over5`]

④ [eqn: 4over15`]	⑤ [eqn: 1over3`]

▷ 넉넉하게 나열해보자.

[2011학년도 6월 13번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} = alpha]([eqn: alpha != 0])이고, 모든 [eqn: n]([eqn: n GEQ 2])에 대하여
[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) a _{n} + sum _{m=1} ^{n-1} ma _{m} =0]을 만족시킨다. 다음은

[eqn: a _{n} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n-1}} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) !} alpha] ([eqn: n GEQ 1])

임을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식의 곱을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]라 할 때,
[eqn: f LEFT ( 10 RIGHT )]의 값은?

(1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} = alpha = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{1-1}} over {LEFT ( 1-1 RIGHT ) !} alpha]이다.

(2) ⅰ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: a _{2} +a _{1} =0]이므로

[eqn: a _{2} =`-a _{1} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2-1}} over {LEFT ( 2-1 RIGHT ) !} alpha]이다.

따라서 주어진 식이 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k]([eqn: k GEQ 2])일 때 성립한다고 가정하고,

[eqn: n=k+1]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: 0=ka _{k+1} + sum _{m=1} ^{k} ma _{m}]

[eqn: =ka _{k+1} + sum _{m=1} ^{k-1} ma _{m} +ka _{k}]

[eqn: =ka _{k+1} + LEFT ( ` BOX{`````(가)`````} ` RIGHT ) TIMES a _{k} +ka _{k}]이므로

[eqn: a _{k+1} = BOX{`````(나)`````} TIMES a _{k} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k}} over {k!} alpha]이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n-1}} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) !} alpha]이다.

⑤

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {3} over {10}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {7} over {10}]	⑤ [eqn: {9} over {10}]

▷ 점화식으로 넘어가기 전의 빈 칸 문항은

귀납법에서 출제되었다. 점화식에 비해

등호 전후를 살피는 것이 주효하다.

				52

	수학 영역

[2010학년도 9월 22번]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 제[eqn: n]항 [eqn: a_n]을 [eqn: n over 3^k]이 자연수가 되게
하는 음이 아닌 정수 [eqn: k]의 최댓값이라 하자.
예를 들어 [eqn: a_1 =0]이고 [eqn: a_6 =1]이다. [eqn: a_m =3]일 때,
[eqn: a_m +a_2m +a_3m +cdots+a_9m]의 값을 구하여라.

[eqn: 31]

▷ [eqn: a_n]은 자연수 [eqn: n]을 소인수분해했을 때

이다.

[2010학년도 수능 22번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rm A _{itn}]이 [eqn: x]축 위의 점일 때,
점 [eqn: rm A _{itn+1}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

점 [eqn: rm A _{itn}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_n]이라 하자. [eqn: x _{5} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 점 [eqn: rm A _{1}]의 좌표는 [eqn: (2,```0)]이다.

(나) (1) 점 [eqn: {rm A}_n]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이

곡선 [eqn: y= {1} over {x} (x>0)]과 만나는 점을 [eqn: rm P _{itn}]이라

한다.

(2) 점 [eqn: {rm P}_n]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여

대칭이동 한 점을 [eqn: {rm Q}_n]이라 한다.
(3) 점 [eqn: {rm Q}_n]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이

[eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm R}_n]이라 한다.

(4) 점 [eqn: rm R it rm _{n}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼

평행이동한 점을 [eqn: {rm A}_n+1]이라 한다.

[eqn: 21]

▷ [eqn: x_n+1]을 [eqn: x_n]에 대한 식으로 나타내 보자.

				52

	수학 영역

[2010학년도 6월 8번]

수열 [eqn: left {a_n right}]에서 [eqn: a_n =(-1)^{{n(n+1)over2}}]일 때, [eqn: sum from n=1 to 2010 na_n]의
값은?

①

① [eqn: -2011]	② [eqn: -2010]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2010]	⑤ [eqn: 2011]

▷ [eqn: na _{n}]을 몇 개 나열해서 더해보면

각이 보일 것이다.

[2010학년도 6월 22번]

함수 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: f(3)=f(15)]를 만족하고, 그 그래프는
그림과 같다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)= sum_k=1 ^n a_k]인
수열 [eqn: left{ a_n right }]이 있다. [eqn: m]이 [eqn: 15]보다 작은 자연수일 때,
[eqn: a_m + a_m+1 + cdots + a_15 <0]을 만족시키는 [eqn: m]의 최솟값을
구하여라.

[eqn: 5]

▷ [eqn: a_n =f(n)-f(n-1)]에서 시작해도 좋고

그냥 [eqn: a_m + a_m+1 + cdots + a_15 =]         이기도 해.

				52

	수학 영역

[2009학년도 수능 23번]

자연수 [eqn: n(n GEQ 2)]으로 나누었을 때, 몫과 나머지가
같아지는 자연수를 모두 더한 값을 [eqn: a_n]이라 하자.
예를 들어 [eqn: 4]로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는
자연수는 [eqn: 5], [eqn: 10], [eqn: 15]이므로 [eqn: a_4 = 5+10+15=30]이다.
[eqn: a_n >500]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을
구하여라.

[eqn: 11`]

▷ 몫과 나머지를 [eqn: q]라 하면

[eqn: n q+q]

이고 [eqn: q]는 [eqn: 0] 이상 [eqn: n] 미만의 정수이다.

그런데 그냥 몇 개 구하다 보면 감 올거야.

[2009학년도 9월 22번]

수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 제[eqn: n]항 [eqn: a_n]을 자연수 [eqn: k]의 양의 제곱근
[eqn: SQRT k]를 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하여 [eqn: n]이 되는
[eqn: k]의 개수라 하자. [eqn: SUM from { { i}=1} to 10 a_i]의 값을 구하여라.

[eqn: 110]

▷ 해석이든 발상이든

요즘 문항보다는 확연히 어렵지?

[eqn: 10]과 [eqn: 11]의 경계선만 조사해도 좋고,

[eqn: a_n]을 직접 구하는 것도 도전해보자.

				52

	수학 영역

[2009학년도 6월 12번]

자연수 [eqn: n]과 [eqn: 0 le p<r le n+1], [eqn: 0le q <s le n]을
만족시키는 네 정수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]에 대하여 좌표평면에서
네 점 [eqn: \A it (p,``` q)],  [eqn: \B( it r,``` q)], [eqn: \C it(r,``` s)], [eqn: \D( it p,```s)]를 꼭짓점으로
하고 넓이가 [eqn: k^2]인 정사각형의 수를 [eqn: a_k]라고 하자.
다음은 [eqn: SUM from { { k}=1 } to n a_k]의 값을 구하는 과정이다.
(단, [eqn: k]는 [eqn: n] 이하의 자연수이다.)

(가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?

그림과 같이 넓이가 [eqn: k^2]인 정사각형 [eqn: \ABCD]를

만들 때, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표가 주어지면

[eqn: x]좌표의 차가 [eqn: r-p=k]인 변 [eqn: \AB]를 택하는

경우의 수는 [eqn: box{`````(가)`````]이다. 또 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]의

[eqn: x]좌표가 주어지면 [eqn: y]좌표의 차가 [eqn: s-q=k]인

변 [eqn: \AD]를 택하는 경우의 수는 [eqn: box{`````(나)`````]이다. 따라서

[eqn: a_k = (n+1)(n+2) - (2n+3)k + k^2]

이다. 그러므로

[eqn: sum from {k=1 } to {n} a_k = sum from {k=1 } to {n} left { (n+1)(n+2) - (2n+3)k + k^2 right }]

[eqn: =box{`````(다)`````]

④

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: n-k+1]	[eqn: n-k+2]	[eqn: {n(n+1)(n+2)} over 6]
②	[eqn: n-k+2]	[eqn: n-k+1]	[eqn: {n(n+1)(n+2)} over 6]
③	[eqn: n-k+1]	[eqn: n-k+2]	[eqn: {n(n+1)(n+2)} over {3}]
④	[eqn: n-k+2]	[eqn: n-k+1]	[eqn: {n(n+1)(n+2)} over3]
⑤	[eqn: n-k+1]	[eqn: n-k+2]	[eqn: {n(n+1)(n+2)} over2]

▷ 변수가 많아서 헷갈리네. 차분하게.

[2009학년도 6월 15번]

그림과 같이 나무에 [eqn: 55]개의 전구가 맨 위 첫 번째
줄에는 [eqn: 1]개, 두 번째 줄에는 [eqn: 2]개, 세 번째 줄에는 [eqn: 3]개,
[eqn: cdots], 열 번째 줄에는 [eqn: 10]개가 설치되어 있다. 전원을
넣으면 이 전구들은 다음 규칙에 따라 작동한다.

전원을 넣고 [eqn: n]초가 되는 순간 켜지는 모든 전구의
개수를 [eqn: a_n]이라고 하자. 예를 들어 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =2],
[eqn: a_4 =6], [eqn: a_11 =25]이다. [eqn: sum from {n=1} to {14} a _n]의 값은?

(가) [eqn: n]이 [eqn: 10] 이하의 자연수일 때, [eqn: n]번째 줄에

있는 전구는 [eqn: n]초가 되는 순간 처음 켜진다.

(나) 모든 전구는 처음 켜진 후 [eqn: 1]초 간격으로

꺼짐과 켜짐을 반복한다.

⑤

① [eqn: 215]	② [eqn: 220]	③ [eqn: 225]

④ [eqn: 230]	⑤ [eqn: 235]

▷ 아주 귀찮다.

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	수학 영역

[2009학년도 6월 16번]

공차가 [eqn: d_1], [eqn: d_2]인 두 등차수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: S_n], [eqn: T_n]이라 하자.

[eqn: S_n T_n = n^2 (n^2 -1 )]

일 때, 보기에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

<보 기>

ㄱ. [eqn: a_n =n]이면 [eqn: b_n = 4n-4]이다.

ㄴ. [eqn: d_1 d_2 =4]

ㄷ. [eqn: a_1 ne 0]이면 [eqn: a_n =n]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ [등차수열의 합은 이차식이다.]를 강조할 때

쓰는 필수 문항. 꼼꼼하게 공부하자.

[2008학년도 수능 11번]

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: (1 ^{2} +1) CDOT 1!+(2 ^{2} +1) CDOT 2!+ CDOTS +(n ^{2} +1) CDOT n ! =n CDOT (n+1)!]

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은
것은?

(1) [eqn: n=1]일 때,[eqn: (좌변) =2], [eqn: (우변) =2]이므로

주어진 등식은 성립한다.

(2) [eqn: n=k`]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: (1^2 + 1 ) cdot 1! + (2^2 + 1 ) cdot 2! + CDOTS][eqn: +(k ^{2} +1) CDOT k!]

[eqn: =k CDOT (k+1)!]

이다. [eqn: n=k+1]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: (1^2 + 1 ) cdot 1! + (2^2 + 1 ) cdot 2! + CDOTS]

[eqn: + ( k^2 + 1 ) cdot k! +left{ (k+1)^2 +1 right} cdot (k+1)!]

[eqn: = BOX{`````(가)`````}` + LEFT { (k+1) ^{2} +1 RIGHT } CDOT (k+1)!]

[eqn: = LEFT ( BOX{`````(나)`````} RIGHT ) CDOT (k+1)!][eqn: =(k+1) CDOT BOX{`````(다)`````}]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식은

성립한다.

②

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: k cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 2k +1]	[eqn: (k+1)!]
②	[eqn: k cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 3k +2]	[eqn: (k+2)!]
③	[eqn: k cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 3k +2]	[eqn: (k+1)!]
④	[eqn: (k+1) cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 3k +2]	[eqn: (k+2)!]
⑤	[eqn: (k+1) cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 2k +1]	[eqn: (k+1)!]

▷ 등호 전후 비교.

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	수학 영역

[2008학년도 수능 14번]

다음과 같이 정사각형을 가로 방향으로 [eqn: 3]등분하여
[도형1]을 만들고, 세로 방향으로 [eqn: 3]등분하여 [도형2]를
만든다.

[도형1]과 [도형2]를 번갈아 가며 계속 붙여 아래와 같은
도형을 만든다. 그림과 같이 첫 번째 붙여진 [도형1]의
왼쪽 맨 위 꼭짓점을 [eqn: \A]라 하고, [도형1]의 개수와
[도형2]의 개수를 합하여 [eqn: n]개 붙여 만든 도형의 오른쪽
맨 아래 꼭짓점을 [eqn: {\B}_n]이라 하자.

꼭짓점 [eqn: \A]에서 꼭짓점 [eqn: {\B}_n]까지 선을 따라 최단거리로 가는
경로의 수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: a_3 +a_7]의 값은?

[도형1]

[도형2]

④

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

▷ [eqn: a_n+1]을 [eqn: a_n]을 포함한 식으로 나타내보자.

[2008학년도 9월 16번]

거리가 [eqn: 3]인 두 점  [eqn: rmO], [eqn: rmO']이 있다. 점 [eqn: rmO]를 중심으로
반지름의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: n]인 [eqn: n]개의 원과 점 [eqn: rmO']을
중심으로 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: n]인 [eqn: n]개의 원이
있다. 이 [eqn: 2n]개 원의 모든 교점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.
예를 들어, 그림에서와 같이 [eqn: a _3 =14], [eqn: a _4 =26]이다. [eqn: a_ 20]의
값은?

②

① [eqn: 214]	② [eqn: 218]	③ [eqn: 222]

④ [eqn: 226]	⑤ [eqn: 230]

▷ 세다가 틀리기 딱 좋다.

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	수학 영역

[2007학년도 수능 16번]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A_n]을 [eqn: 4]개의
점 [eqn: (n^2 ,```n^2 )], [eqn: (4n^2 ,```n^2 )], [eqn: (4n^2 ,```4n^2 )], [eqn: (n^2 ,```4n^2 )]을
꼭짓점으로 하는 정사각형이라 하자.

정사각형 [eqn: A _{n}]과 함수 [eqn: y=k sqrt {x}]의 그래프가 만나도록
하는 자연수 [eqn: k]의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, 보기에서
옳은 것을 모두 고른 것은?

④

<보 기>

ㄱ. [eqn: a_5 =15]

ㄴ. [eqn: a_n+2 -a_n =7]

ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =200]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ [eqn: k]가 가장 작을 때는 점       을 지날 때이고

[eqn: k]가 가장 클 때는 점       을 지날 때이다.

[2007학년도 수능 22번]

첫째항이 [eqn: 0]이고 공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에
대하여 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{n+1} b _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]를 만족시킬 때,
[eqn: b_27]의 값을 구하여라.

[eqn: 13]

▷ [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_n =]      이고.

[eqn: b_n]은 딱 나온다.

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	수학 영역

[2007학년도 9월 11번]

수열 [eqn: LEFT { a _n RIGHT }]이 [eqn: a_1 =0], [eqn: a_n + a_n+1 = n]을 만족시킨다. 다음은
두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: SUM from { k=n-m+1} to {n+m} a_k]의 값을 구하는
과정이다. (단, [eqn: m <n]이다.)

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[eqn: SUM from { k=n-m+1 } to {n+m} a_k]

[eqn: =a _n-m+1 +a _n-m+2 + CDOTS +a_ n+m-1 + a_n+m]

[eqn: =(n-m+1)+(n-m+3)+ CDOTS +(n+m-3) +(box{`````(가)`````})]

[eqn: ={ (box{`````(나)`````})left{(n-m+1)+(box{`````(가)`````})right}} over { 2}]

[eqn: =box{`````(다)`````]

①

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: n+m-1]	[eqn: m]	[eqn: mn]
②	[eqn: n+m-1]	[eqn: m]	[eqn: n^2]
③	[eqn: n+m-1]	[eqn: n]	[eqn: n^2]
④	[eqn: n+m]	[eqn: m-1]	[eqn: mn]
⑤	[eqn: n+m]	[eqn: n-1]	[eqn: n^2]

▷ 변수 두 개가 설치니까 헷갈리죠?

[2007학년도 9월 16번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: {\P}_n]을 다음 규칙에 따라 정한다.

점 [eqn: {\P}_n]의 좌표가 [eqn: (10,```2^10 )]일 때, [eqn: n]의 값은?

(가) 점 [eqn: rmP_1]의 좌표는 [eqn: (1,```1 )]이다.

(나) 점 [eqn: {\P}_n]의 좌표가 [eqn: (a,```b)]일 때,

[eqn: b<2^a]이면 점 [eqn: {\P}_n+1]의 좌표는 [eqn: (a,```b+1 )]이고

[eqn: b=2^a]이면 점 [eqn: {\P}_n+1]의 좌표는 [eqn: (a+1,```1)]이다.

③

① [eqn: 2^10 -2]	② [eqn: 2^10 +2]	③ [eqn: 2^11 -2]

④ [eqn: 2^11]	⑤ [eqn: 2^11 +2]

▷ 어렵지는 않지만, 실수 나오기 좋아 보임.

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	수학 영역

[2007학년도 6월 14번]

다음은 어느 회사의 연봉에 관한 규정이다.

이 회사에 입사한 사람이 [eqn: 28]년 동안 근무하여 받는
연봉의 총합은? (단, [eqn: 1.08^18 =4]로 계산한다.)

(가) 입사 첫째 해 연봉은 [eqn: a]원이고,

입사 [eqn: 19]년째 해까지의 연봉은 해마다

직전 연봉에서 [eqn: 8%]씩 인상된다.

(나) 입사 [eqn: 20]년째 해부터의 연봉은

입사 [eqn: 19]년째 해 연봉의 [eqn: {2}over {3}]로 한다.

④

① [eqn: { 101}over {2 }a]	② [eqn: { 111} over {2 }a]	③ [eqn: { 121} over {2 }a]

④ [eqn: { 131} over {2 }a]	⑤ [eqn: { 141}over {2 }a]

▷ 뭔 회사 연봉규정이..

[eqn: 19]년만 다니고 싶게 만드네.

문제는.. 답 내기가 매우 귀찮다.

[2006학년도 9월 6번]

등차수열 [eqn: left{ x_n right}]과 이차함수 [eqn: f(x)= ax^2 +bx+c]에 대하여 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. 수열 [eqn: left{ f`'(x_n )right}]은 등차수열이다.

ㄴ. 수열 [eqn: left{ f(x_n+1 ) -f(x_n )right}]은 등차수열이다.

ㄷ. [eqn: f(0)=3], [eqn: f(2)=5], [eqn: f(4)=9]이면 [eqn: f(6)=15]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 그렇네요.

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	수학 영역

[2006학년도 9월 24번]

한 변의 길이가 [eqn: 70 rm cm]인 정육면체 모양의 상자에
한 변의 길이가 [eqn: 10 rm cm]인 정육면체 모양의 나무 블록을
다음 규칙에 따라 빈틈없이 가득 채우려고 한다.

[eqn: k]번째에 상자를 가득 채웠다고 할 때, [eqn: k]의 값을
구하여라. (단, 상자의 두께는 무시한다.)

[eqn: n]번째에 넣는 나무 블록의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때,

(가) [eqn: a_1 = 10]

(나) [eqn: a_n+1 = left[ a_n over 2 right] +3],   [eqn: n=1,```2,```3, ```cdots]

(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

(다) 상자를 가득 채우면 나무 블록 넣기를

멈춘다.

[eqn: 56]

▷ [eqn: a_n]은 몇 개 쓰다보면 각이 잡힌다.

실수하기 좋은 듯.

[2006학년도 6월 14번]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 모양의 검은 타일과
흰 타일이 있다.

이와 같은 과정을 계속하여 전체 타일의 개수가 [eqn: 400]개가
되었을 때, 검은 타일의 개수와 흰 타일의 개수 사이의
관계를 옳게 나타낸 것은?

(가) [그림1]과 같이 검은 타일 [eqn: 3]개와 흰 타일

[eqn: 1]개를 붙여 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형이

되도록 한다.

(나) [그림2]와 같이 [그림1]의 정사각형의

바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 [eqn: 4]인

정사각형이 되도록 한다. 이때 [그림1]에 있는

흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의

둘레에는 흰 타일을 붙인다.

(다) [그림3]과 같이 [그림2]의 정사각형의

바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 [eqn: 6]인

정사각형이 되도록 한다. 이때 [그림2]에 있는

흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의

둘레에는 흰 타일을 붙인다.

⑤

[그림1]	[그림2]	[그림3]	[그림4]

① 검은 타일과 흰 타일의 개수가 같다.

② 검은 타일의 개수가 흰 타일의 개수보다 [eqn: 18]개 많다.

③ 검은 타일의 개수가 흰 타일의 개수보다 [eqn: 20]개 많다.

④ 흰 타일의 개수가 검은 타일의 개수보다 [eqn: 18]개 많다.

⑤ 흰 타일의 개수가 검은 타일의 개수보다 [eqn: 20]개 많다.

▷ 흰 타일, 검은 타일 각각을 조사하는 것보다

타일 수의 차이를 조사하는 것이 좋다.

홀짝도 들어와서 또 귀찮군. 차분하게 풀어봐.

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	수학 영역

[2005학년도 9월 14번]

일반항이 [eqn: a_n =2^1-n]인 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]에 대하여
첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때,
보기에서 옳은 것을 모두 고르면?

③

<보 기>

ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { loga _{n} RIGHT }]은 등차수열이다.

ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { S _{n} +a _{n} RIGHT }]은 등비수열이다.

ㄷ. [eqn: S_n = {1} over {2} a_n+1 + 2]가 성립한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 일반항을 [eqn: n]에 대하여 정리했을 때,

[eqn: an+b]이면 등차수열, [eqn: ab^n]이면 등비수열이다.

[2005학년도 6월 7번]

등차수열 [eqn: a _{n}]에서 [eqn: a_1 =6], [eqn: a_10 =-12]일 때,
[eqn: |`a_1 `|+|`a_2 `|+|`a_3 `|+cdots+|`a_20` |]의 값은?

②

① [eqn: 280]	② [eqn: 284]	③ [eqn: 288]

④ [eqn: 292]	⑤ [eqn: 296]

▷ 부호 바뀔 때를 찢어줘야겠지?

[2005학년도 6월 20번]

수열 [eqn: a _{n}]에서 [eqn: a_{2n-1} = 2^n]이고 [eqn: a_{2n} = 5^n]일 때,
[eqn: sum _{n=1 } ^{10 } loga _{n}]의 값을 구하여라.

[eqn: 15]

▷ [eqn: a _{n} = {cases{...&```(n이```홀수)#...&```(n이```짝수)}}]과 [eqn: {cases{a _{2n-1} =...#a _{2n} =...}}]이

같이 뜨면 헷갈리기 좋다. 나만 그런건 아니겠지?

그냥 넉넉하게 나열해서 해결.

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	수학 영역

[2005학년도 6월 23번]

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: \A(2, ```0)]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인
직선이 세 함수

[eqn: y=8^x],   [eqn: y=a^x],   [eqn: y=log_2 x]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 하자.
[eqn: bar \AP], [eqn: bar \AQ], [eqn: bar \AR]가 차례로 등비수열을 이룰 때,
[eqn: a^4]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 2<a<8])

[eqn: 64]

▷ 쉽다.

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