기출문제 다잡기

평가원의 수준

[경우의 수]

5A ACADEMY

SOOHAN

	수학 영역

[2023학년도 수능 확통 30번]

집합 [eqn: X= LEFT { x`|`x는```10```이하의```자연수 right}]에 대하여 다음
조건을 만족시키는 함수 [eqn: f: X rarrow X]의 개수를 구하여라.

[eqn: 100]

(가) [eqn: 9] 이하의 모든 자연수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x) LEQ f(x+1)]이다.

(나) [eqn: 1 LEQ x LEQ 5]일 때 [eqn: f(x) LEQ x]이고,

[eqn: 6 LEQ x LEQ 10]일 때 [eqn: f(x) GEQ x]이다.

(다) [eqn: f(6)=f(5)+6]

▷ 어렵다. 대칭성을 발견하면 반만 세면 되는데..

대칭성 발견하기도 쉽지 않고, 반 세기도 어렵다.

[2023학년도 9월 확통 30번]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]와 함수 [eqn: f:X -> X]에 대하여
함수 [eqn: f]의 치역을 [eqn: A], 합성함수 [eqn: f circ f]의 치역을 [eqn: B]라 할 때,
다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하여라.

[eqn: 260]

(가) [eqn: n LEFT ( A RIGHT )le 3]

(나) [eqn: n LEFT ( A RIGHT )=n LEFT ( B RIGHT )]

(다) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ne x]이다.

▷ [eqn: n(A)]의 값에 따라 분류.

합성함수 뜬 것 치고는 무난.

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	수학 영역

[2023학년도 6월 확통 23번]

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 모두 일렬로 나열하는
경우의 수는?

②

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

▷ 같은 것이 있는 순열.

[2023학년도 6월 확통 26번]

다항식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{4} LEFT ( x ^{3} +1 RIGHT ) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{5}]의 계수가
[eqn: 12]일 때, [eqn: x ^{6}]의 계수는? (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 알지?

[2023학년도 6월 확통 27번]

네 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: X], [eqn: Y] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 6]개를
택해 일렬로 나열하려고 한다. 다음 조건이 성립하도록
나열하는 경우의 수는?

③

(가) 양 끝 모두에 대문자가 나온다.

(나) [eqn: a]는 한 번만 나온다.

① [eqn: 384]	② [eqn: 408]	③ [eqn: 432]

④ [eqn: 456]	⑤ [eqn: 480]

▷ 양 끝 문자 선택, [eqn: a] 배치, 나머지 선택 순서로.

경우의 수는 항상 말리는 방법이 있다. 조심.

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	수학 영역

[2023학년도 6월 확통 29번]

집합 [eqn: X = left{1,```2,```3,```4,```5right}]에 대하여 다음 조건을
만족시키는 함수 [eqn: f :X ->X]의 개수를 구하여라.

[eqn: 115]

(가) [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =4]

(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) leq f LEFT ( 3 RIGHT ) leq f LEFT ( 5 RIGHT )]

▷ 원래 경우의 수에서 합성함수 나오면 긴장 타야 되는데,

이 문항은 비교적 깔끔하게 떨어진다.

[2022학년도 수능 확통 25번]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]의 모든
순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d,```e)]의 개수는?

①

(가) [eqn: a+b+c+d+e = 12]

(나) [eqn: left | a^2 -b^2 right|=5]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

▷ 깔끔한 고전 중복조합.

자연수 조건에서 [eqn: a+b=5]이다.

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	수학 영역

[2022학년도 수능 확통 28번]

두 집합 [eqn: X= left { 1,```2,```3,```4,```5 right }], [eqn: Y= left { 1,```2,```3,```4right }]에 대하여
다음 조건을 만족시키는 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f]의 개수는?

①

(가) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x) ge sqrtx]이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다.

① [eqn: 128]	② [eqn: 138]	③ [eqn: 148]

④ [eqn: 158]	⑤ [eqn: 168]

▷ 근본 없는 문항. 좀 어렵다.

[치역과 공역이 같은 함수의 개수] 공부하고 도전.

[2022학년도 9월 확통 28번]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을
만족시키는 함수 [eqn: f:X -> X]의 개수는?

④

(가) [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) + f LEFT ( 4 RIGHT )]는 [eqn: 5]의 배수이다.

(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )< f LEFT ( 3 RIGHT )]이고 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) < f LEFT ( 3 RIGHT )]이다.

(다) [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )< f LEFT ( 5 RIGHT )]이고 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )< f LEFT ( 6 RIGHT )]이다.

① [eqn: 384]	② [eqn: 394]	③ [eqn: 404]

④ [eqn: 414]	⑤ [eqn: 424]

▷ [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]의 값에 따라 분류.

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	수학 영역

[2022학년도 9월 확통 30번]

네 명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]에게 같은 종류의
사인펜 [eqn: 14]개를 다음 규칙에 따라 남김없이
나누어 주는 경우의 수를 구하여라.

[eqn: 218]

(가) 각 학생은 [eqn: 1]개 이상의 사인펜을 받는다.

(나) 각 학생이 받는 사인펜의 개수는 [eqn: 9] 이하이다.

(다) 적어도 한 학생은 짝수 개의 사인펜을 받는다.

▷ 부정방정식과 중복조합, 짝/홀 순서쌍의 개수, 포함배제.

[2022학년도 6월 확통 26번]

빨간색 카드 [eqn: 4]장, 파란색 카드 [eqn: 2]장, 노란색 카드 [eqn: 1]장이
있다. 이 [eqn: 7]장의 카드를 세 명의 학생에게 남김없이
나누어 줄 때, [eqn: 3]가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는
학생이 있도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색
카드끼리는 서로 구별하지 않고, 카드를 받지 못하는
학생이 있을 수 있다.)

③

① [eqn: 78] □	② [eqn: 84]□□	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 96]□	⑤ [eqn: 102]

▷ 나눠주기인데, 장수가 많지 않으니 하나하나 조사하는 식으로.

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	수학 영역

[2022학년도 6월 확통 28번]

한 개의 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가
[eqn: 3] 이하이면 나온 눈의 수를 점수로 얻고, 나온 눈의 수가
[eqn: 4] 이상이면 [eqn: 0]점을 얻는다. 이 주사위를 네 번 던져 나온
눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 할 때, 얻은 네 점수의
합이 [eqn: 4]가 되는 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수는?

⑤

① [eqn: 187]□	② [eqn: 190]	③ [eqn: 193]

④ [eqn: 196]	⑤ [eqn: 199]

▷ 좀 귀찮은 케이스 분류.

[2022학년도 6월 확통 29번]

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의
의자가 있다. 이 [eqn: 6]개의 의자를 일정한 간격을 두고
원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 [eqn: 2]개의 의자에 적혀
있는 수의 곱이 [eqn: 12]가 되지 않도록 배열하는 경우의
수를 구하여라. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은
것으로 본다.)

[eqn: 48]

▷ 조건이 걸린 원순열. 고정하기, 자리 정하기 익숙해야 한다.

포함배제로 다루는 것이 가능하다.

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	수학 영역

[2021학년도 수능 26번]

세 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 6]명의 학생이 있다.
이 [eqn: 6]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에
다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를
구하여라. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로
본다.)

[eqn: 36]

(가) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 이웃한다.

(나) [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]는 이웃하지 않는다.

▷ 조건이 걸린 원순열 : 하나 고정

이웃/이웃하지 않는 : 자리 선택 후 배열

[2021학년도 수능 29번]

네 명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]에게 검은색 모자 [eqn: 6]개와
흰색 모자 [eqn: 6]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어
주는 경우의 수를 구하여라. (단 같은 색 모자끼리는
서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 201]

(가) 각 학생은 [eqn: 1]개 이상의 모자를 받는다.

(나) 학생 [eqn: rmA]가 받는 검은색 모자의 개수는

[eqn: 4] 이상이다.

(다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는

학생은 [eqn: rmA]를 포함하여 [eqn: 2]명뿐이다.

▷ 조건 하나 걸고 나눠주기.

2021학년도에 반복 출제되었다.

무엇을 기준으로 분할하여 셀 지에 따라

간단할 수도 있고, 복잡할 수도 있다.

어떻게 풀더라도 답만 나오면 되기에,

기준 정하는 요령에 너무 집착하지 말자.

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	수학 영역

[2021학년도 수능(나형) 13번]

집합 [eqn: X= left{ 1,```2,```3,```4 right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
함수 [eqn: f:X -> X]의 개수는?

⑤

[eqn: f(2) le f(3) le f(4)]

① [eqn: 64]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 80]

▷ 여기서 중복조합 못 띄우면 대단한 새끼.

[2021학년도 수능(나형) 15번]

세 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 6]명의 학생이 있다.
이 [eqn: 6]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에
다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

③

(가) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 이웃한다.

(나) [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]는 이웃하지 않는다.

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

▷ 2021학년도 문항에

[원순열에서 이웃하네마네]

가 많더라구.

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	수학 영역

[수능 예시문항 확통 24번]

[eqn: LEFT ( x ^{5} + {1} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는?

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

▷ 못풀면 대박이죠?

[수능 예시문항 확통 27번]

집합 [eqn: X=left{1,```2,```3,```4right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
모든 함수 [eqn: f:X->X]의 개수는?

⑤

(가) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) `ge`3f LEFT ( 4 RIGHT )]

(나) [eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3]일 때 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) !=f LEFT ( 4 RIGHT )]이다.

① [eqn: 41]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 49]

④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 57]

▷ 뭘 기준으로 나눠야 할까? 당연히.

[수능 예시문항 확통 29번]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의
모든 순서쌍 [eqn: ( a,```b,```c,```d )]의 개수를 구하여라.

[eqn: 332]

(가) [eqn: a+b+c+d=12]

(나) [eqn: a!=2]이고 [eqn: a+b+c!=10]이다.

▷ 집합의 포함관계를 생각해야 한다.

[eqn: a=2]나 [eqn: a+b+c=10]

가 세기 쉽겠지? 여사건에 합사건 어쩌고.

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	수학 영역

[2021학년도 9월 9번]

다섯 명이 둘러앉을 수 있는 원 모양의 탁자와 두 학생
[eqn: rm A], [eqn: rm B]를 포함한 [eqn: 8]명의 학생이 있다. 이 [eqn: 8]명의 학생 중에서
[eqn: RMA], [eqn: RMB]를 포함하여 [eqn: 5]명을 선택하고 이 [eqn: 5]명의 학생 모두를
일정한 간격으로 탁자에 둘러앉게 할 때, [eqn: RMA]와 [eqn: RMB]가
이웃하게 되는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는
것은 같은 것으로 본다.)

④

① [eqn: 180]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 220]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 260]

▷ 또 나오네.

[2021학년도 9월 29번]

흰 공 [eqn: 4]개와 검은 공 [eqn: 6]개를 세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에
남김없이 나누어 넣을 때, 각 상자에 공이 [eqn: 2]개 이상씩
들어가도록 나누어 넣는 경우의 수를 구하여라.
(단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 168]

▷ 흰 공을 먼저 넣자. 적으니까.

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	수학 영역

[2021학년도 6월 4번]

[eqn: 6]개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]를 모두 일렬로 나열하는
경우의 수는?

③

① [eqn: 52]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 68]

▷ 4번치고 어렵다.

[2021학년도 6월 8번]

[eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명, [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명, [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 3]명이
있다. 이 [eqn: 7]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의
탁자에 모두 둘러 앉을 때, [eqn: 1]학년 학생끼리 이웃하고
[eqn: 2]학년 학생끼리 이웃하게 되는 경우의 수는? (단,
회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

①

① [eqn: 96]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 104]

④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 112]

▷ 이제 그만.

[2021학년도 6월 29번]

검은색 볼펜 [eqn: 1]자루, 파란색 볼펜 [eqn: 4]자루, 빨간색 볼펜
[eqn: 4]자루가 있다. 이 [eqn: 9]자루의 볼펜 중에서 [eqn: 5]자루를 선택하여
[eqn: 2]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를
구하여라. (단, 같은 색 볼펜끼리는 서로 구별하지 않고,
볼펜을 [eqn: 1]자루도 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

[eqn: 114]

▷ [eqn: 5]자루를 선택하는 방법에 따라 나누면

케이스가 꽤 나온다. 즐거워하며 풀어보자.

[eqn: rmA]가 [eqn: a]개의 파란 볼펜과 [eqn: b]개의 빨간 볼펜을,

[eqn: rmB]가 [eqn: c]개의 파란 볼펜과 [eqn: d]개의 빨간 볼펜을

받는다고 놓으면 예쁘게 풀린다.

첫 번째 풀이처럼, 그냥 나열해 버릇 하자.

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	수학 영역

[2021학년도 6월(나형) 27번]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의
모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,```b,```c,```d RIGHT )]의 개수를 구하여라.

[eqn: 74]

(가) [eqn: a+b+c+d=6]

(나) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 적어도 하나는 [eqn: 0]이다.

▷ 부정방정식 기본이라.

[2020학년도 수능 16번]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의
모든 순서쌍 [eqn: ( a,```b,```c,```d )]의 개수는?

③

(가) [eqn: a+b+c-d=9]

(나) [eqn: d LEQ 4]이고 [eqn: c GEQ d]이다.

① [eqn: 265]	② [eqn: 270]	③ [eqn: 275]

④ [eqn: 280]	⑤ [eqn: 285]

▷ 중복조합 표준보다는 살짝 어려운 듯.

[eqn: d=0] 부터 [eqn: d=4]까지 조사하는 것이 보통

[eqn: a+b+(c-d)]로 보면 우아하다. 우아한데 헷갈림.

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	수학 영역

[2020학년도 수능 28번]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6] 중에서 중복을 허락하여
다섯 개를 다음 조건을 만족시키도록 선택한 후,
일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 다섯 자리의
자연수의 개수를 구하여라.

[eqn: 450]

(가) 각각의 홀수는 선택하지 않거나

한 번만 선택한다.

(나) 각각의 짝수는 선택하지 않거나

두 번만 선택한다.

▷ 재미없고 귀찮다. 문장이 어설픈 것은 덤.

짝수를 전부 몇 개 쓰는 지에 따라서 분류.

[2020학년도 9월 4번]

다음 조건을 만족시키는 두 자리의 자연수의 개수는?

②

(가) [eqn: 2]의 배수이다.

(나) 십의 자리의 수는 [eqn: 6]의 약수이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

▷ 역대 4번 중 가장 어려운 문항.

[2020학년도 9월 7번]

다항식 [eqn: {LEFT ( 2+x RIGHT ) ^{4}} LEFT ( 1+3x RIGHT ) ^{3}]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는?

②

① [eqn: 174]	② [eqn: 176]	③ [eqn: 178]

④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 182]

▷ 알죵?

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	수학 영역

[2020학년도 9월 28번]

연필 [eqn: 7]자루와 볼펜 [eqn: 4]자루를 다음 조건을 만족시키도록
여학생 [eqn: 3]명과 남학생 [eqn: 2]명에게 남김없이 나누어 주는
경우의 수를 구하여라. (단, 연필끼리는 서로 구별하지
않고, 볼펜끼리도 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: {49}]

(가) 여학생이 각각 받는 연필의 개수는 서로 같고,

남학생이 각각 받는 볼펜의 개수도 서로 같다.

(나) 여학생은 연필을 [eqn: 1]자루 이상 받고,

볼펜을 받지 못하는 여학생이 있을 수 있다.

(다) 남학생은 볼펜을 [eqn: 1]자루 이상 받고,

연필을 받지 못하는 남학생이 있을 수 있다.

▷ 같은 공을 다른 상자에 넣는다. [eqn: RARROW]

몇 개씩 미리 주고 생각하는 것이 편하겠군.

[2020학년도 6월 1번]

[eqn: {} _{9} rm C _{7}]의 값은?

③

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

▷ 틀리면 인생문제.

[2020학년도 6월 7번]

같은 종류의 비어 있는 상자 [eqn: 3]개가 있다. 같은 종류의
장난감 [eqn: 12]개를 남김없이 이 [eqn: 3]개의 상자에 빈 상자가
없도록 나누어 넣으려고 한다. 각 상자에 넣은 장난감의
개수가 모두 다르게 되도록 나누어 넣는 경우의 수는?

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

▷ 자연수의 분할이다. 그래도 요령껏 풀어봐.

자연수 [eqn: 3]개 더해서 [eqn: 12] 만들면 되겠지?

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	수학 영역

[2020학년도 6월 19번]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}],
[eqn: x _{3}], [eqn: x _{4}]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} ,~x _{4} RIGHT ) `]의 개수는?

①

(가) [eqn: n=1,```2,```3]일 때, [eqn: x _{n+1} -x _{n} GEQ 2]이다.

(나) [eqn: x _{4} LEQ 12]

① [eqn: 210]	② [eqn: 220]	③ [eqn: 230]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 250]

▷ 어려웠다. 많이 안 다루던 유형이라. 내 경우에도

평소에 강의하는 내용이지만 풀 때는 삽질했다.

관련 내용을 공부하는 것도 좋지만, 나열하여

노가다 뛰는 연습이 더 중요하다. 수능특강 연계.

[2020학년도 6월 25번]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을
만족시키는 함수 [eqn: f:X -> X]의 개수를 구하여라.

[eqn: 60]

(가) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 4]이다.

(나) [eqn: f(a)=a]인 [eqn: X]의 원소 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 3]이다.

▷ 많이 틀렸던 문제.

한 번에 맞출 수 있도록 신중하게 풀어보자.

주관식 확통문제는 정답확인 찬스 줘야 돼.

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	수학 영역

[2019학년도 수능 12번]

네 명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]에게 같은 종류의 초콜릿 [eqn: 8]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?

②

(가) 각 학생은 적어도 [eqn: 1]개의 초콜릿을 받는다.

(나) 학생 [eqn: rmA]는 학생 [eqn: rmB]보다 더 많은 초콜릿을

받는다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

▷          문제로 돌릴 수 있어야 한다.

케이스 분류는 어렵지 않지?

[2019학년도 수능 17번]

다음은 집합 [eqn: X= LEFT { 1 ,``` 2 ,```3 ,``` 4 ,```5 ,```6 RIGHT }]과 함수 [eqn: f : X -> X]에 대하여 합성함수 [eqn: f CIRC f]의 치역의 원소의 개수가 [eqn: 5]인
함수 [eqn: f]의 개수를 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때,
[eqn: p+q+r]의 값은?

함수 [eqn: f]와 함수 [eqn: f CIRC f]의 치역을 각각 [eqn: A]와 [eqn: B]라 하자. [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =6]이면 함수 [eqn: f]는 일대일 대응이고,

함수 [eqn: f circf]도 일대일 대응이므로 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =6]이다.

또한 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) leq 4]이면 [eqn: B subset A]이므로 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) leq 4]이다.

그러므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5], 즉 [eqn: B=A]인 경우만 생각하면

된다.

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]인 [eqn: X]의 부분집합 [eqn: A]를 선택하는

경우의 수는 [eqn: BOX{````` (가) ````` }]이다.

(ⅱ) (ⅰ)에서 선택한 집합 [eqn: A]에 대하여, [eqn: X]의

원소 중 [eqn: A]에 속하지 않는 원소를 [eqn: k]라 하자.
[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]이므로 집합 [eqn: A]에서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]를 선택하는

경우의 수는 [eqn: BOX{````` (나) `````}]이다.

(ⅲ) (ⅰ)에서 선택한 [eqn: A= LEFT { a _{1} ,``` a _{2} ,``` a _{3} ,```a _{4} ,```a _{5} RIGHT }]와

(ⅱ)에서 선택한 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]에 대하여, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) IN A]이며

[eqn: A=B]이므로
[eqn: A= LEFT { f LEFT ( a _{1} RIGHT ) ,``` f LEFT ( a _{2} RIGHT ) ,```f LEFT ( a _{3} RIGHT ) ,```f LEFT ( a _{4} RIGHT ) ,```f LEFT ( a _{5} RIGHT ) RIGHT }] [eqn: cdots] [eqn: LEFT ( AST RIGHT )]

이다. [eqn: LEFT ( AST RIGHT )]을 만족시키는 경우의 수는 집합

[eqn: A]에서 집합 [eqn: A]로의 일대일 대응의 개수와

같으므로 [eqn: BOX{````` (다) `````}]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수

[eqn: f]의 개수는 [eqn: BOX{````` (가) `````} `TIMES ` BOX{````` (나) `````} ` TIMES` BOX{````` (다) `````}]이다.

①

① [eqn: 131]	② [eqn: 136]	③ [eqn: 141]

④ [eqn: 146]	⑤ [eqn: 151]

▷ 문장 거지같은데 부끄럽지도 않은가봐.

이때 합성함수로 만든 문항들이 좀 보였다.

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	수학 영역

[2019학년도 9월 8번]

다항식 [eqn: (x+2) ^{19}]의 전개식에서 [eqn: x^k]의 계수가 [eqn: x^k+1]의
계수보다 크게 되는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은?

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

▷ 적당히 몇 개 구해보면서 찍으면 되겠지?

공식으로 만드는 것도 가능하지만.

[2019학년도 9월 18번]

다음은 집합 [eqn: X=left{1,```2,```3,```4,```5right}]에 대하여 함수
[eqn: f:X->X]의 치역 [eqn: A]가 [eqn: n(A)=4]이고, 집합 [eqn: A]의 모든
원소의 합이 홀수인 함수 [eqn: f]의 개수를 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때,
[eqn: a+b+c]의 값은?

(ⅰ) 공역 [eqn: X]의 원소 중 짝수인 원소가 [eqn: 2]개이므로

집합 [eqn: A]의 네 원소 중 세 원소는 홀수이고

한 원소는 짝수이다.

따라서 집합 [eqn: X]의 원소 중에서 집합 [eqn: A]의

네 원소를 택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이다.

(ⅱ) 정의역 [eqn: X]를 [eqn: 4]개의 부분집합으로 분할할 때,

[eqn: 4]개의 부분집합의 원소의 개수는 각각

[eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1]이 되어야 한다.

따라서 집합 [eqn: X]를 네 개의 부분집합으로

분할하는 경우의 수는 [eqn: box{`````(가)`````}]이다.

(ⅲ) (ⅰ)과 (ⅱ)의 각 경우에 대하여 집합 [eqn: X]를

분할한 [eqn: 4]개의 부분집합을 집합 [eqn: A]의 네 원소에

하나씩 대응시키는 경우의 수는 [eqn: BOX{`````(나)`````}]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: BOX{`````(다)`````}]이다.

⑤

① [eqn: 498]	② [eqn: 502]	③ [eqn: 506]

④ [eqn: 510]	⑤ [eqn: 514]

▷ [정의역을 분할하고], [함숫값에 분배]하는 접근이

교과서에서 은근히 강조되더라구.

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	수학 영역

[2019학년도 6월 20번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2a+2b+c+d=2n]을 만족시키는
음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의
개수를 [eqn: a_n]이라 하자. 다음은 [eqn: sum_n=1 ^8 a_n]의 값을 구하는
과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: r]이라 할 때, [eqn: f(6)+g(5)+r]의 값은?

음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]가 [eqn: 2a+2b+c+d=2n]을
만족시키려면 음이 아닌 정수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: c+d=2k]이어야 한다.

[eqn: c+d=2k]인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 [eqn: k_1], [eqn: k_2]에
대하여 [eqn: c=2k_1], [eqn: d=2k_2]인 경우이거나 (2) 음이 아닌
정수 [eqn: k_3], [eqn: k_4]에 대하여 [eqn: c=2k_3 +1], [eqn: d=2k_4 +1]인
경우이다.

(1) [eqn: c=2k_1], [eqn: d=2k_2]인 경우 :

[eqn: 2a+2b+c+d=2n]을 만족시키는 음이 아닌 정수

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수는

[eqn: box{`````(가)`````}]이다.

(2) [eqn: c=2k_3 +1], [eqn: d=2k_4 +1]인 경우 :

[eqn: 2a+2b+c+d=2n]을 만족시키는 음이 아닌 정수

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수는

[eqn: BOX{`````(나)`````}]이다.

(1), (2)에 의하여 [eqn: 2a+2b+c+d=2n]을 만족시키는
음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍
[eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n} =box{`````(가)`````}+box{`````(나)`````}]

이다. 자연수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{m} box{`````(나)`````}= _{m+3} {rmC} _{4}]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n} =box{`````(다)`````}]

이다.

③

① [eqn: 893]	② [eqn: 918]	③ [eqn: 943]

④ [eqn: 968]	⑤ [eqn: 993]

▷ 거지같이 써놔서 읽기가 어렵다.

부정방정식의 짝홀조건 다룰 수 있지?

[2019학년도 6월 27번]

세 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해
일렬로 나열할 때, 문자 [eqn: a]가 두 번 이상 나오는 경우의
수를 구하여라.

[eqn: 33]

▷ 학생들이 털리는 비결이 있는 문항이다.

[eqn: ` _{3} {rmH} _{2}]로 두 개 더 뽑고.. (망함)

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	수학 영역

[2018학년도 수능 18번]

서로 다른 공 [eqn: 4]개를 남김없이 서로 다른 상자 [eqn: 4]개에
나누어 넣으려고 할 때, 넣은 공의 개수가 [eqn: 1]인 상자가
있도록 넣는 경우의 수는? (단, 공을 하나도 넣지 않은
상자가 있을 수 있다.)

②

① [eqn: 220]	② [eqn: 216]	③ [eqn: 212]

④ [eqn: 208]	⑤ [eqn: 204]

▷ 다른 공, 다른 상자, 빈상자 가능은 기본적으로

이다. 개수가 [eqn: 1]인 상자 존재는 어떻게?

[2018학년도 9월 20번]

다음은 [eqn: n]명의 사람이 각자 세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 중
[eqn: 2]개의 상자를 선택하여 각 상자에 공을 하나씩 넣을 때,
세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수를
구하는 과정이다. (단, [eqn: n]은 [eqn: 6]의 배수인 자연수이고 공은
구별하지 않는다.)

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)],
[eqn: h(n)]이라 할 때, [eqn: { f(30)} over {g(30) } +h(30)]의 값은?

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는
‘(ⅰ) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우’에서
‘(ⅱ) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는
경우’와 ‘(ⅲ) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의
공이 들어가는 경우’를 제외하면 된다.

(ⅰ)의 경우 :

[eqn: n]명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두
상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: n]명의 사람이 각자
공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와
같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 [eqn: n]개의
상자를 선택하는 경우의 수인 [eqn: box{`````(가)`````}]이다.

(ⅱ)의 경우 :

각 상자에 [eqn: 2n over3]개의 공이 들어가는 경우뿐이므로
경우의 수는 [eqn: 1]이다.

(ⅲ)의 경우 :

두 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 같은 개수의 공이 들어가면
상자 [eqn: rmC]에는 최대 [eqn: n]개의 공을 넣을 수 있으므로
두 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 각각 [eqn: n over2]개보다 작은 개수의 공이
들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 같은
개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: box{`````(나)`````}]이다.

그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이
들어가는 경우의 수는 [eqn: `_3 {rmC}_2 times(`box{`````(나)`````}`-1)]이다.

따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는
경우의 수는 [eqn: box{`````(다)`````}]이다.

①

① [eqn: 481]	② [eqn: 491]	③ [eqn: 501]

④ [eqn: 511]	⑤ [eqn: 521]

▷ 풀고 있는 문항 자체가 쉽지 않다.

[eqn: n=12] 정도에서 혼자 한 번 풀어보면 좋으려나.

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	수학 영역

[2018학년도 6월 13번]

이틀 동안 진행하는 어느 축제에 모두 다섯 개의 팀이
참가하여 공연한다. 매일 두 팀 이상이 공연하도록 다섯
팀의 공연 날짜와 공연 순서를 정하는 경우의 수는?
(단, 공연은 한 팀씩 하고, 축제 기간 중 각 팀은 [eqn: 1]회만
공연한다.)

③

① [eqn: 180]	② [eqn: 210]	③ [eqn: 240]

④ [eqn: 270]	⑤ [eqn: 300]

▷ [참가했는데 공연은 못했다]는 팀은 없나?

[eqn: larrow] 내가 처음 풀 때 했던 생각.

[2018학년도 6월 19번]

다음은 [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: (x+a^2 )^n]과 [eqn: (x^2 -2a)(x+a)^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수가 같게 되는 두 자연수 [eqn: a]와
[eqn: n(n ge4)]의 값을 구하는 과정의 일부이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 하고,
(다)에 알맞은 수를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: f(k)+g(k)]의 값은?

[eqn: (x+a^2 )^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: a^2 n]이다.

[eqn: (x^2 -2a)(x+a)^n =x^2 (x+a)^n -2a(x+a)^n]에서

[eqn: x^2 (x+a)^n]을 전개하면 [eqn: x^n-1]의 계수는
[eqn: box{`````(가)`````}`timesa^3]이고, [eqn: 2a(x+a)^n]을 전개하면 [eqn: x^n-1]의
계수는 [eqn: 2a^2 n]이다. 따라서 [eqn: (x^2 -2a)(x+a)^n]의
전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수는
[eqn: box{`````(가)`````}`timesa^3 -2a^2 n]

이다. 그러므로

[eqn: a^2 n={box{`````(가)`````}`a^3 -2a^2 n]

이고, 이 식을 정리하여 [eqn: a]를 [eqn: n]에 관한 식으로
나타내면

[eqn: a= { 18} over {box{`````(나)`````} }]

이다. 여기서 [eqn: a]는 자연수이고 [eqn: n]은 [eqn: 4] 이상의
자연수이므로

[eqn: n=`box{`````(다)`````]

이다.

①

① [eqn: 10]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 34]

▷ 전개식의 계수, 자연수 조건.

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	수학 영역

[2018학년도 6월 27번]

집합 [eqn: LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]의 부분집합 중 원소의 개수가
[eqn: 2]인 부분집합을 두 개 선택할 때, 선택한 두 집합이
서로 같지 않은 경우의 수를 구하여라.

[eqn: 45]

▷ 은근히 틀린 애들이 많았던 문항.

그냥      인데 이상한 부연설명이 있어서.

[2017학년도 수능 5번]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 중복을 허락하여 네 개를
택해 일렬로 나열하여 만든 네 자리의 자연수가 [eqn: 5]의
배수인 경우의 수는?

③

① [eqn: 115]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 125]

④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 135]

▷ 중복순열로 이해하려면 개헷갈린다. 도전해봐.

다른 공(위치), 다른 상자(숫자), 빈상자 가능.

[2017학년도 수능 22번]

[eqn: {} _{4}rm H _{2}]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

▷ 진짜 어렵게 내려면 중복순열을 내야지.

중복순열은 아직 출제된 역사가 없다.

[2017학년도 9월 15번]

각 자리의 수가 [eqn: 0`]이 아닌 네 자리의 자연수 중
각 자리의 수의 합이 [eqn: 7`]인 모든 자연수의 개수는?

④

① [eqn: 11`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 17`]

④ [eqn: 20`]	⑤ [eqn: 23`]

▷ 중복조합이다.

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	수학 영역

[2017학년도 수능 27번]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의
모든 순서쌍 [eqn: ( a,```b,```c )]의 개수를 구하여라.

[eqn: 32]

(가) [eqn: a+b+c=7]

(나) [eqn: 2 ^{a} TIMES 4 ^{b}]은 [eqn: 8]의 배수이다.

▷ 이상하게 많이 틀렸던 문항.

[eqn: a+2b]가         이다.

여사건이 몇 가지 없어서 좀 허무하다.

[이게 다야?]라는 느낌 때문에 더 틀린 듯.

[2017학년도 9월 19번]

서로 다른 과일 [eqn: 5`]개를 [eqn: 3`]그릇 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]에 남김없이
담으려고 할 때, 그릇 [eqn: rmA`]에는 과일 [eqn: 2`]개만 담는 경우의
수는? (단, 과일을 하나도 담지 않은 그릇이 있을 수
있다.)

⑤

① [eqn: 60`]	② [eqn: 65`]	③ [eqn: 70`]

④ [eqn: 75`]	⑤ [eqn: 80`]

▷ 중복순열이다.

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	수학 영역

[2017학년도 6월 27번]

사과, 감, 배, 귤 네 종류의 과일 중에서 [eqn: 8]개를
선택하려고 한다. 사과는 [eqn: 1]개 이하를 선택하고,
감, 배, 귤은 각각 [eqn: 1]개 이상을 선택하는 경우의 수를
구하여라. (단, 각 종류의 과일은 [eqn: 8]개 이상씩 있다.)

[eqn: 36]

▷ 중복조합은 어려워.

부정방정식으로 돌리자.

[2016학년도 수능 14번]

세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[eqn: 1 le |`a`| le |`b`| le |`c`| le5]

를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수는?

③

① [eqn: 360]	② [eqn: 320]	③ [eqn: 280]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 200]

▷ [eqn: (감소하지```않는```함수의```개수) TIMES (````````````````)]

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	수학 영역

[2016학년도 9월 27번]

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 32]

(가) [eqn: a+b+c+d=20]

(나) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 [eqn: d]의 배수이다.

▷ [eqn: a=kd], [eqn: b=ld], [eqn: c=md]라 둘 수 있다.

[2016학년도 6월 9번]

서로 다른 종류의 연필 [eqn: 5]자루를 [eqn: 4]명의 학생
[eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?
(단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

①

① [eqn: 1024]	② [eqn: 1034]	③ [eqn: 1044]

④ [eqn: 1054]	⑤ [eqn: 1064]

▷         이다.

모두가 한 자루 이상 받아야 한다면?

				41

	수학 영역

[2016학년도 9월 27번]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: u]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z,```u)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 68]

(가) [eqn: x+y+z+u=6]

(나) [eqn: x!=u]

▷ 여사건이 편하겠죵?

[2015학년도 수능 26번]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든
순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 220]

(가) [eqn: a timesb timesc]는 홀수이다.

(나) [eqn: a leb lec le20]

▷ 감소하지 않는 함수의 개수 문항.

홀수조건은 자연스럽게 처리된다.

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	수학 영역

[2015학년도 9월 26번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: abc=2^n]을 만족시키는 [eqn: 1]보다 큰
자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수가 [eqn: 28]일 때,
[eqn: n]의 값을 구하여라.

[eqn: 9]

▷ [eqn: a=2 ^{k}], [eqn: b=2 ^{l}], [eqn: c=2 ^{m}] 놓고 하면 되겠지?

[2015학년도 6월 20번]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의
모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수는?

⑤

(가) [eqn: a+b+c=6]

(나) 좌표평면에서 세 점 [eqn: (1,```a)], [eqn: (2,```b)], [eqn: (3,```c)]가

한 직선 위에 있지 않다.

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

▷ (나)조건이 꽤나 귀찮다. 꼼꼼하게 따져보자.

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	수학 영역

[2014학년도 수능 9번]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택할 때,
숫자 [eqn: 4]가 한 개 이하가 되는 경우의 수는?

④

① [eqn: 45]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 39]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 33]

▷ 부정방정식으로 고고.

[2014학년도 9월 8번]

방정식 [eqn: x+y+z=4]를 만족시키는 [eqn: -1] 이상의 정수
[eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z)]의 개수는?

③

① [eqn: 21]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 56]

▷ 조건 처리 할 수 있지?

[2014학년도 6월 5번]

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]장의
카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로
나열할 때, [eqn: 2]가 적혀 있는 카드는 [eqn: 4]가 적혀 있는 카드보다
왼쪽에 나열하고 홀수가 적혀 있는 카드는 작은 수부터
크기 순서로 왼쪽부터 나열하는 경우의 수는?

②

① [eqn: 56]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 68]	⑤ [eqn: 72]

▷ [순서가 정해진 순열]이군요.

[2014학년도 6월 10번]

고구마피자, 새우피자, 불고기피자 중에서 [eqn: m]개를
주문하는 경우의 수가 [eqn: 36]일 때, 고구마피자, 새우피자,
불고기피자를 적어도 하나씩 포함하여 [eqn: m]개를 주문하는
경우의 수는?

②

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

▷ 중요한 힌트 : [eqn: 8times9=72]이다.

피자 먹고 싶다.

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	수학 영역

[2013학년도 수능 5번]

그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다.
이 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmC]지점을 지나지
않고, [eqn: rmD]지점도 지나지 않으면서 [eqn: rmB]지점까지 최단거리로
가는 경우의 수는?

②

① [eqn: 26]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 18]

▷ 고개를 [eqn: 45DEG] 꺾어서 보세요.

[2013학년도 9월 5번]

그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다.
이 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmB]지점까지
최단거리로 가는 경우의 수는?

④

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

▷ 저 점이 중요해 보이는데.

[2012학년도 수능 22번]

자연수 [eqn: r]에 대하여 [eqn: rm ` _{3} H _{it r rm} = _{7} C _{2}]일 때,
[eqn: `_5 rm H_{it r}]의 값을 구하여라.

[eqn: 126``]

▷ 어려운데?

				41

	수학 영역

[2012학년도 9월 6번]

그림과 같이 최대 [eqn: 6]개의 용기를 넣을 수 있는 원형의
실험기구가 있다. 서로 다른 [eqn: 6]개의 용기 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]를 이 실험 기구에 모두 넣을 때, [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 이웃하게
되는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은
것으로 본다.)

②

① [eqn: 36]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 84]

▷ [하나를 고정시키는] 풀이를 추천하는 이유.

직순열 [eqn: 2times5!]을 나눠서 풀 수 있겠니?

[2012학년도 6월 15번]

그림과 같이 서로 접하고 크기가 같은 원 [eqn: 3]개와 이
세 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정삼각형이 있다. 원의
내부 또는 정삼각형의 내부에 만들어지는 [eqn: 7]개의 영역에
서로 다른 [eqn: 7]가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 한
영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나올 수
있는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은
것으로 본다.)

②

① [eqn: 1260``]	② [eqn: 1680``]	③ [eqn: 2520``]

④ [eqn: 3760``]	⑤ [eqn: 5040``]

▷ 두 가지 방법으로 다뤄보자.

① 속에서부터 칠하면 [eqn: 7 TIMES (```````````` TIMES ````````````) TIMES (````````````)].

② 돌리는 것 없으면 [eqn: 7!]이다. 뭘로 나눠?

				41

	수학 영역

[2011학년도 수능 6번]

어느 행사장에는 현수막을 [eqn: 1]개씩 설치할 수 있는 장소가
[eqn: 5]곳이 있다. 현수막은 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 세 종류가 있고, [eqn: rmA]는 [eqn: 1]개,
[eqn: rmB]는 [eqn: 4]개, [eqn: rmC]는 [eqn: 2]개가 있다. 다음 조건을 만족시키도록
현수막 [eqn: 5]개를 택하여 [eqn: 5]곳에 설치할 때, 그 결과로 나타날
수 있는 경우의 수는? (단, 같은 종류의 현수막끼리는
구분하지 않는다.)

①

(가) [eqn: rmA]는 반드시 설치한다.

(나) [eqn: rmB]는 [eqn: 2]곳 이상 설치한다.

① [eqn: 55]	② [eqn: 65]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 85]	⑤ [eqn: 95]

▷ 이거 꽤 중요한 말인데,

[구성(선택)하고 배열해라.]

[[eqn: ` _{5} {rmC} _{1}]로 [eqn: rmA] 설치하고..]까지는 가능한데,

다음에 [[eqn: ` _{4} rm C it _{2}]로 [eqn: rmB] 두 개 놓고..]하면 망한다.

배열되는 것 [eqn: 5]개를 고르는 행위를 따로,

나열은 이후에 따로 생각하라고.

[2011학년도 9월 7번]

그림과 같이 경계가 구분된 [eqn: 6]개 지역의 인구조사를
조사원 [eqn: 5]명이 담당하려고 한다. [eqn: 5]명 중에서 [eqn: 1]명은 서로
이웃한 [eqn: 2]개 지역을, 나머지 [eqn: 4]명은 남은 [eqn: 4]개 지역을 각각
[eqn: 1]개씩 담당한다. 이 조사원 [eqn: 5]명의 담당지역을 정하는
경우의 수는? (단, 경계가 일부라도 닿은 두 지역은
서로 이웃한 지역으로 본다.)

⑤

① [eqn: 720]	② [eqn: 840]	③ [eqn: 960]

④ [eqn: 1080]	⑤ [eqn: 1200]

▷ 적당히.

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	수학 영역

[2011학년도 9월 29번]

집합 [eqn: LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }]에서 집합 [eqn: LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }]로의 함수 중에서
다음 조건을 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는?

①

(가) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 2]이다.

(나) 합성함수 [eqn: f circf]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 36]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 60]

▷ 요즘 스타일이네. 쉽다.

[2011학년도 6월 17번]

좌표평면 위에 [eqn: 9]개의 점 [eqn: ( i,```j )] ([eqn: i=0,```4,```8,```j=0,```4,```8])이
있다. 이 [eqn: 9]개의 점 중 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형
중에서 내부에 세 점 [eqn: ( 1,```1 )], [eqn: ( 3,```1 )], [eqn: ( 1,```3 )]을 꼭짓점으로
하는 삼각형을 포함하는 사각형의 개수는?

②

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

▷ 사각형이 주어진 삼각형을 포함하려면,

반드시 가져줘야 하는 점이 있다.

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	수학 영역

[2011학년도 6월 30번]

어느 상담 교사는 월요일, 화요일, 수요일 [eqn: 3]일 동안 학생
[eqn: 9]명과 상담하기 위하여 상담 계획표를 작성하려고 한다.

[상담 계획표]
요일	월요일	화요일	수요일
학생 수(명)	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]

상담 교사는 각 학생과 한 번만 상담하고, 요일별로 적어도
한 명의 학생과 상담한다. 상담 계획표에 학생 수만을
기록할 때, 작성할 수 있는 상담 계획표의 가짓수를
구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 자연수이다.)

[eqn: 28]

▷ 중복조합의 역사가 유구하군.

[2010학년도 수능 6번]

어느 회사원이 처리해야 할 업무는 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 포함하여
모두 [eqn: 6]가지이다. 이 중에서 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 포함한 [eqn: 4]가지 업무를
오늘 처리하려고 하는데, [eqn: rmA]를 [eqn: rmB]보다 먼저 처리해야 한다.
오늘 처리할 업무를 택하고, 택한 업무의 처리 순서를
정하는 경우의 수는 ?

③

① [eqn: 60]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 78]	⑤ [eqn: 84]

▷ 오늘만 사네.

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	수학 영역

[2010학년도 수능 27번]

같은 종류의 사탕 [eqn: 5]개를 [eqn: 3]명의 아이에게 [eqn: 1]개 이상씩
나누어 주고, 같은 종류의 초콜릿 [eqn: 5]개를 [eqn: 1]개의 사탕을
받은 아이에게만 [eqn: 1]개 이상씩 나누어 주려고 한다. 사탕과
초콜릿을 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?

⑤

① [eqn: 27]	② [eqn: 24]□□	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 18]□□	⑤ [eqn: 15]

▷ 문장이 헷갈리게 써 있고, 풀어보면 [이게 다야?]라는 느낌.

낙제점.

[2010학년도 9월 26번]

다음 대화에서 [eqn: w+x+y+z=19]를 만족시키는 자연수
[eqn: w], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 옳게 말한 사람만을 있는 대로 고른 것은?

③

아름 : 네 자연수 [eqn: w], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에는 [eqn: 4] 이하인

수가 항상 있어.

다운 : 네 자연수 [eqn: w], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에는 [eqn: 5] 이상인

수가 항상 있지.

강산 : [eqn: w=5]이면 세 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에 두 수는

항상 [eqn: 5]보다 커야 해.

① 다운	② 강산	③ 아름, 다운

④ 아름, 강산	⑤ 아름, 다운, 강산

▷ 옛날 문항 구경해 보라고.

선택 확통인데, 비둘기집이 있었나?

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	수학 영역

[2010학년도 9월 10번]

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 9]장의 카드가 있다. 다음은 이 카드 중에서 동시에 [eqn: 3]장을 선택할 때,
카드에 적힌 어느 두 수도 연속하지 않는 경우의 수를
구하는 과정이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

두 자연수 [eqn: m], [eqn: n][eqn: (2le m le n)]에 대하여 [eqn: 1]부터
[eqn: n]까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: n]장의 카드에서
동시에 [eqn: m]장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두
수도 연속하지 않는 경우의 수를 [eqn: N(n,```m)]이라
하자. [eqn: 9]장의 카드에서 [eqn: 3]장의 카드를 선택할 때,
[eqn: 9]가 적힌 카드가 선택되는 경우와 선택되지 않는
경우로 나누면 [eqn: N(9,```3)]에 대하여 다음 관계식을
얻을 수 있다.

[eqn: N(9,```3)=N({box{````(가)````},```2)+N(8,```3)]

[eqn: N(8,```3)]에 [eqn: 8]이 적힌 카드가 선택되는 경우와
선택되지 않는 경우로 나누어 적용하면

[eqn: N(9,```3)=N({box{````(가)````},```2)+N(6,```2)+N(7,```3)]

이다. 이와 같은 방법을 계속 적용하면

[eqn: N(9,```3)=sum_k=3 ^7 N(k,```2)]

이다. 여기서

[eqn: N(k,```2)=box{````(나)````}-(k-1)]

이므로

[eqn: N(9,```3)=box{````(다)````]

이다.

①

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 7]	[eqn: `_k {rmC}_2]	[eqn: 35]
②	[eqn: 8]	[eqn: ` _{k+1} rm C it _{2}]	[eqn: 48]
③	[eqn: 7]	[eqn: `_k {rmC}_2]	[eqn: 48]
④	[eqn: 8]	[eqn: `_k {rmC}_2]	[eqn: 48]
⑤	[eqn: 7]	[eqn: ` _{k+1} rm C it _{2}]	[eqn: 35]

▷ 점화식 찾아내는 것이 썩 쉽지는 않다.

[2010학년도 9월 27번]

남자 [eqn: 5]명과 여자 [eqn: 3]명이 출연하는 방송 프로그램이 있다.
이 프로그램에서 남자와 여자를 같은 수로 선택하여
게임을 시키려고 할 때, 선택할 수 있는 경우의 수는?
(단, 한 명도 선택하지 않는 경우는 없다.)

⑤

① [eqn: 47]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 51]

④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 55]

▷ 무슨 게임을 하기에

참가자 수가 정해져 있지 않지?

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	수학 영역

[2010학년도 6월 15번]

다음은 [eqn: n]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때 [eqn: sum from k=1 to n k(`_n{rmC}_k )^2]의
값을 구하는 과정이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

두 다항식의 곱
[eqn: (a_0 +a_1 x+cdots+a_n-1 x^n-1 )(b_0 +b_1 x+cdots+b_n x^n )]
에서 [eqn: x^n-1]의 계수는
[eqn: a_0 b_n-1 +a_1 b_n-2 +cdots+a_n-1 b_0][eqn: CDOTS CDOTS (＊)]
이다. 등식
[eqn: (1+x)^2n-1`=(1+x)^n-1`(1+x)^n]
의 좌변에서 [eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: box{`````(가)`````]이고, [eqn: (＊)]을
이용하여 우변에서 [eqn: x^n-1]의 계수를 구하면
[eqn: sum from k=1 to n (`_n-1 {rmC}_k-1 times{box{`````(나)`````})]
이다.
따라서 [eqn: BOX{`````(가)`````} `=][eqn: sum from k=1 to n (`_n-1 {rmC}_k-1 times{box{`````(나)`````})]이다.
한편 [eqn: 1le k le n]일 때, [eqn: k times _n{rmC}_k =n times _n-1{rmC}_k-1]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{n} `k(` _{n} `{rmC} _{k} `) ^{2}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} `(n TIMES ` _{n-1} ` rm C it rm _{k-1} ` TIMES BOX{`````(나)`````} )]
[eqn: =n times sum from k=1 to n (_n-1 {rmC}_k-1 times BOX{`````(나)`````} )]
[eqn: \=BOX{`````(다)`````}]

이다.

③

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: `_2n{rmC}_n]	[eqn: `_n {rmC}_n-k+1]	[eqn: n over2 times`_2n {rmC}_n+1]
②	[eqn: ` _{2n-1} rm C it rm _{n-1}]	[eqn: `_n {rmC}_n-k+1]	[eqn: {n} over {2} TIMES ` _{2n} rm C it rm _{n}]
③	[eqn: ` _{2n-1} rm C it rm _{n-1}]	[eqn: `_n {rmC}_n-k]	[eqn: {n} over {2} TIMES ` _{2n} rm C it rm _{n}]
④	[eqn: `_2n{rmC}_n]	[eqn: `_n {rmC}_n-k+1]	[eqn: n times`_2n {rmC}_n+1]
⑤	[eqn: ` _{2n-1} rm C it rm _{n-1}]	[eqn: `_n {rmC}_n-k]	[eqn: n over2 times`_2n {rmC}_n+1]

▷ 이항계수의 성질 정리 해두자.

(이론상) 언제든 나올 수 있다.

[2010학년도 6월 27번]

두 문자 [eqn: a], [eqn: b]를 중복을 허락하여 만든 [eqn: 6]자리 문자열
중에서 다음 조건을 만족시키는 문자열의 개수는?

⑤

(가) 첫 문자는 [eqn: a]이다.

(나) [eqn: a]끼리는 이웃하지 않는다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 8]

▷ 수형도 조아.

[eqn: a]의 개수로 분류해도 좋다. [선택하고 배열].

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	수학 영역

[2010학년도 6월 25번]

좌표평면 위의 점들의 집합 [eqn: S= LEFT { (x,```y)`|`x와```y는```정수 RIGHT }]가
있다. 집합 [eqn: S]에 속하는 한 점에서 [eqn: S]에 속하는 다른 점으로
이동하는 ‘점프’는 다음 규칙을 만족시킨다.

점 [eqn: rmA(-2,```0)]에서 점 [eqn: rmB(2,```0)]까지 [eqn: 4]번만 ‘점프’하여
이동하는 경우의 수를 구하여라. (단, 이동하는
과정에서 지나는 점이 다르면 다른 경우이다.)

점 [eqn: rmP]에서 한 번의 ‘점프’로 점 [eqn: rmQ]로 이동할 때,

선분 [eqn: rmPQ]의 길이는 [eqn: 1] 또는 [eqn: root2]이다.

[eqn: 19]

▷ 매 번 오른쪽으로 한 칸은 가야 한다.

최단경로 문제 풀 때처럼 풀면 되겠네.

[2010학년도 6월 27번]

[eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수에서 서로 다른 [eqn: 3]개를 선택하는
방법 중, [eqn: 17]을 포함하도록 선택하는 방법의 수를 [eqn: a]라 하고,
[eqn: 17]을 포함하지 않도록 선택하는 방법의 수를 [eqn: b]라고 할 때,
[eqn: { b} over {a }]의 값은?

③

① [eqn: 94over3]	② [eqn: 95over3]	③ [eqn: 97over3]

④ [eqn: 98over3]	⑤ [eqn: 100over3]

▷ 식 [eqn: `_n {rmC}_k +_n {rmC}_k+1 =_n+1 {rmC}_k+1]를 고찰해볼 기회.

				41

	수학 영역

[2009학년도 수능 15번]

어떤 사회봉사센터에서는 다음과 같은 [eqn: 4]가지
봉사활동 프로그램을 매일 운영하고 있다.

프로그램	[eqn: \A]	[eqn: \B]	[eqn: \C]	[eqn: \D]
봉사활동 시간	[eqn: 1]시간	[eqn: 2]시간	[eqn: 3]시간	[eqn: 4]시간

철수는 이 사회봉사센터에서 [eqn: 5]일간 매일 하나씩의
프로그램에 참여하여 다섯 번의 봉사활동 시간 합계가
[eqn: 8]시간이 되도록 아래와 같은 봉사활동 계획서를
작성하려고 한다. 작성할 수 있는 봉사활동 계획서의
가짓수는?

⑤

봉사활동 계획서
			성명 :
	참여일	참여 프로그램	봉사활동 시간
	[eqn: 2009.`1.`5]
	[eqn: 2009.`1.`6]
	[eqn: 2009.`1.`7]
	[eqn: 2009.`1.`8]
	[eqn: 2009.`1.`9]
	봉사활동 시간 합계		[eqn: 8]시간

① [eqn: 47]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 41]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 35]

▷ 구성하고 배열.

[2009학년도 수능 29번]

여섯 개의 문자 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \E], [eqn: \F]를 모두 사용하여
만든 [eqn: 6]자리 문자열 중에서 다음 조건을 모두 만족시키는
문자열의 개수는?

(예를 들어 [eqn: \CDFBAE]는 조건을 만족시키지만 [eqn: \CDFABE]는 조건을 만족시키지 않는다.)

②

(가) [eqn: \A]의 바로 다음 자리에 [eqn: \B]가 올 수 없다.

(나) [eqn: \B]의 바로 다음 자리에 [eqn: \C]가 올 수 없다.

(다) [eqn: \C]의 바로 다음 자리에 [eqn: \A]가 올 수 없다.

① [eqn: 380]	② [eqn: 432]	③ [eqn: 484]

④ [eqn: 536]	⑤ [eqn: 598]

▷ 요즘 나오면 좀 이상할 것 같긴 하네.

포함배제 같은 느낌으루다가.

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	수학 영역

[2009학년도 9월 23번]

할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된
가족이 있다. 이 가족 [eqn: 6]명이 그림과 같은 [eqn: 6]개의 좌석에
모두 앉을 때, 할아버지, 할머니가 같은 열에 이웃하여
앉고, 아버지, 어머니도 같은 열에 이웃하여 앉는 경우의
수를 구하여라.

[eqn: 64]

▷ 어르신들 먼저 앉히자.

아들, 딸은 남는 자리에.

[2009학년도 6월 26번]

[eqn: 1]보다 큰 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여

[eqn: LEFT [ log_2 x RIGHT ] + LEFT [ log_2 y RIGHT ] + LEFT [ log _2 z RIGHT ] =4]

를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z)]의 개수는?
(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

①

① [eqn: 48]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 72]

▷ 중복조합인 줄 알았다가, 케이스가 거의 없네.

[eqn: [log_2 x ]=2]일 때 가능한 [eqn: x]의 개수는?

[2009학년도 6월 28번]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]를 모두 사용하여 만든 다섯 자리 문자열
중에서 다음 세 조건을 만족시키는 문자열의 개수는?

②

(가) 첫째 자리에는 [eqn: b]가 올 수 없다.

(나) 셋째 자리에는 [eqn: a]도 올 수 없고

[eqn: b]도 올 수 없다.

(다) 다섯째 자리에는 [eqn: b]도 올 수 없고

[eqn: c]도 올 수 없다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

▷      가 어디 오는지로 분류.

[걸리는 것이 많은 것]이 기준으로 좋다.

나머지는 포함배제처럼 가는 것이 좋은데.

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	수학 영역

[2009학년도 6월 25번]

그림과 같은 모양의 종이에 서로 다른 [eqn: 3]가지 색을
사용하여 색칠하려고 한다. 이웃한 사다리꼴에는 서로
다른 색을 칠하고, 맨 위의 사다리꼴과 맨 아래의
사다리꼴에 서로 다른 색을 칠한다. [eqn: 5]개의 사다리꼴에
색을 칠하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: 30]

▷ 테크니컬한 접근을 시도했다가 망하고

수형도를 그리게 되는 것이 보통이다.

[2009학년도 6월 30번]

[eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 사람이 하루에 한 번씩 탁구 경기를 하기로
하였다. 첫 경기부터 [eqn: \A]가 이긴 횟수가 [eqn: \B]가 이긴 횟수보다
항상 많거나 같도록 유지되면서 경기가 진행될 때, 처음
[eqn: 7]일 동안 경기를 치른 결과, [eqn: \A]가 네 번 이기고 [eqn: \B]가
세 번 이기는 경우의 수를 구하여라.

[eqn: 14]

▷ 수형도 그리다가 빡치고 자연스럽게

최단거리 문제로 돌리면 된다.

카탈란 아냐? 꼭 알아야 하는 것은 아니지만.

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