기출문제 다잡기

평가원의 수준

[평면벡터]

5A ACADEMY

SOOHAN

	수학 영역

[2023학년도 수능 기하 26번]

좌표평면에서 세 벡터

[eqn: veca =(2,```4)],   [eqn: vecb =(2,```8)],   [eqn: vecc =(1,```0)]

에 대하여 두 벡터 [eqn: vecp], [eqn: vecq]가

[eqn: (vecp -veca )cdot (vecp -vecb )=0],   [eqn: vecq = { 1} over {2 }veca +t vecc] ([eqn: t]는 실수)

를 만족시킬 때, [eqn: |vecp -vecq |]의 최솟값은?

②

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

▷ 무난한 자취문항.

[2023학년도 수능 기하 29번]

평면 [eqn: alpha] 위에 [eqn: rmbarAB =barCD =barAD =2], [eqn: rmangleABC= angleBCD = { pi} over {3 }]인
사다리꼴 [eqn: rmABCD]가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 [eqn: alpha]
위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmvecCP cdot vecDQ]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

(가) [eqn: rmvecAC =2 (vecAD + vecBP )]

(나) [eqn: rmvecAC cdot vecPQ =6]

(다) [eqn: 2 timesanglermBQA =anglePBQ< { pi} over { 2}]

▷ 연습하기 좋은 자취 문항.

계산이 좀 귀찮더라구.

				21

	수학 영역

[2023학년도 9월 기하 26번]

좌표평면 위의 점 [eqn: rmA(3,```0)]에 대하여

[eqn: rm left( vec OP - vec OA right) cdot left( vec OP - vec OA right) =5]

를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형과 직선
[eqn: y= 1 over 2 x +k]가 오직 한 점에서 만날 때, 양수 [eqn: k]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

① [eqn: 3 over 5]	② [eqn: 4 over 5]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 6 over 5]	⑤ [eqn: 7 over 5]

▷ 자취. 준 식에서 바로 보이면 좋고,

안 보이면 [eqn: {rmP}(x,```y)] 놓고 풀어야지 뭐.

[2023학년도 9월 기하 30번]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A(-2,``` it 2)], [eqn: rm B(2,```2)]가 있다.

[eqn: left( left| rm vec AX right| -2 right) left( left| rm vec BX right| -2 right) =0],   [eqn: left| rm vec OX right| ge 2]

를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 도형 위를 움직이는
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: rm vec OY = vec OP + vec OQ]를 만족시키는 점 [eqn: rmY]의 집합이 나타내는
도형의 길이가 [eqn: q over p root3 pi]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: vec u = (1,```0)]에 대하여 [eqn: left( rm vec OP cdot it vec u right) left( rm vec OQ cdot it vec u right) ge 0]이다.

(나) [eqn: left| rm vec PQ right| =2]

[eqn: 17]

▷ 자취와 최대최소. 30번치고는 무난해 보임.

				21

	수학 영역

[2023학년도 6월 기하 23번]

서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]에 대하여 두 벡터

[eqn: {vec{a}} +2 {vec{b}}],   [eqn: 3 {vec{a}} +k {vec{b}}]

가 서로 평행하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은?
(단, [eqn: {vec{a}} != {vec{0}}], [eqn: {vec{b}} != {vec{0}}])

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▷ 평행 [eqn: LRARROW] 실수배

[2023학년도 6월 기하 25번]

좌표평면에서 두 직선

[eqn: x-3 over 4 = y-5 over3],   [eqn: x-1 = 2-y over3]

가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos theta`]의 값은?

②

① [eqn: root11over11]	② [eqn: root10 over10]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: root2 over4]	⑤ [eqn: root7 over7`]

▷ 방향벡터와 이루는 각인데,

그냥 [eqn: y=] 정리해서 풀어도 그만.

[2023학년도 6월 기하 27번]

[eqn: bar{rmAD}=2], [eqn: bar{rmAB}=bar{rmCD}= sqrt {2}], [eqn: angle{rmABC}=angle{rmBCD}=45DEG]인
사다리꼴 [eqn: rmABCD]가 있다. 두 대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]의
교점을 [eqn: rmE],점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을
[eqn: rmH], 선분 [eqn: rmAH]와 선분 [eqn: rmBD]의 교점을 [eqn: rmF]라 할 때,
[eqn: {vec{rmAF}} cdot {vec{rmCE}}]의 값은?

④

① [eqn: - {1} over {9}]	② [eqn: - {2} over {9}]	③ [eqn: - {1} over {3}]

④ [eqn: - {4} over {9}]	⑤ [eqn: - {5} over {9}]

▷ 대충 풀면 됨.

				21

	수학 영역

[2023학년도 6월 기하 30번]

좌표평면에서 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]의
변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있고, 점 [eqn: rmC]를 중심으로 하고
반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]가 있다.
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]와 실수 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: rmX]가 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: rm left| vecCX right|]의 값이 최소가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을 [eqn: alpha],
[eqn: rm left| vecCX right|]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을 [eqn: beta]라 하자.

[eqn: alpha^2 + beta^2]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: rmvecCX = 1 over 2 vecCP + vecCQ]

(나) [eqn: rmvecXA + vecXC +2 vecXD = itk ` rm vecCD]

[eqn: 8]

▷ 자취와 최대최소인데, 뭔가 시시하게 마무리.

그림을 칼같이 그려줘야 덜 헷갈린다.

[2022학년도 수능 기하 29번]

좌표평면에서 [eqn: rmbarOA = sqrt2], [eqn: rm barOB = 2sqrt2]이고
[eqn: rm cos ( angle AOB) = 1over4]인 평행사변형 [eqn: rmOACB]에 대하여
점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmA]를 지나는 원 위를 움직이는
점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rm left | 3 vecOP - vecOX right|]의 최댓값과 최솟값을 각각
[eqn: M], [eqn: m]이라 하자. [eqn: M times m = a sqrt6 +b]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을
구하여라. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

(가) [eqn: rm vecOP = it s rm vec OA + it t vec {rm OB} ```( 0 le s le 1 ,``` 0 le t le 1 )]

(나) [eqn: rm vecOP cdot vecOB `+` vecBP cdot vecBC =2]

[eqn: 100]

▷ 계산 루트에 따라서 꽤 고생스러울 수 있다.

30번 자리에 있어야 하는 문항. 좀 심했어.

				21

	수학 영역

[2022학년도 9월 기하 25번]

좌표평면에서 세 벡터

[eqn: {vec{a}} =(3,```0)],   [eqn: {vec{b}} =(1,```2)],   [eqn: {vec{c}} =(4,```2)]

에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{p}], [eqn: vec{q}]가

[eqn: vec{p} cdot vec{a} = vec{a} cdot vec{b}],   [eqn: | vec{q} - vec{c}| = 1]

을 만족시킬 때, [eqn: |vec{p} - vec{q}|]의 최솟값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 좌표에 넣으면 끝이지만, 어떤 의미에서는

벡터의 자취와 최대최소에 가깝군요.

[2022학년도 9월 기하 30번]

좌표평면에서 세 점 [eqn: rm A(-3,```1)], [eqn: rmB(0,```2)], [eqn: rmC(1,```0)]에
대하여 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가

[eqn: left | rm vec AP right| =1],  [eqn: left| rm vec BQ right| = 2],  [eqn: rm vec AP cdot vec OC ge root2 over 2]

를 만족시킬 때, [eqn: rm vec AP cdot vec AQ]의 값이 최소가 되도록 하는
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 각각 [eqn: rmP_0], [eqn: rmQ_0]이라 하자. 선분 [eqn: rmAP_0]위의
점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rm vec BX cdot vec BQ_0 ge1]일 때, [eqn: left | rm vec {Q_0 X} right| ^2]의 최댓값은
[eqn: { q} over { p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이고,
[eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 45]

▷ 자취와 최대최소. 전형적이라면 적형적인데, 복잡하게 가네.

				21

	수학 영역

[2022학년도 6월 기하 30번]

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,```0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 0,```2 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( -2,```0 RIGHT )],
[eqn: rm D LEFT ( 0,```-2 RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD]의 네 변
위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

점 [eqn: rmR LEFT ( 4,```4 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{rmRP}} cdot {vec{rm RQ}}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을
[eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는
원점이다.)

(가) [eqn: LEFT ( {vec{rmPQ}} cdot {vec{rmAB}} RIGHT ) LEFT ( {vec{rmPQ}} cdot {vec{rmAD}} RIGHT ) =0]

(나) [eqn: {vec{rm OA}} cdot {vec{rm OP}} GEQ it-2]이고 [eqn: {vec{rmOB}} cdot {vec{rmOP}} GEQ 0]이다.

(다) [eqn: {vec{rmOA}}cdot {vec{rmOQ}} GEQ it-2]이고 [eqn: {vec{rmOB}}cdot {vec{rmOQ}} LEQ 0]이다.

[eqn: 48]

▷ 자취와 최대최소.

1. [eqn: {rm vec{AB}cdot vecOP }=k]의 자취, [eqn: {rm vec{AB}cdot vecOP }]의 최대/최소

2. [eqn: rm vec{PA} CDOT vec{PB} it =k]의 자취, [eqn: rm vec{PA} CDOT vec{PB} it]의 최대/최소

[수능 예시문항 기하 24번]

좌표평면에서 점 [eqn: rmA LEFT ( 4,```6 RIGHT )]과 원 [eqn: C] 위의 임의의 점 [eqn: rmP]에
대하여

[eqn: |` {vec{rm OP it}} `| ^{2} - {vec{rm OA it}}cdot {vec{rm OP it}} =3]

일 때, 원 [eqn: C]의 반지름의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ [eqn: |` vec{rm OP it} `| ^{2} - vec{rm OA it} CDOT vec{rm OP it} = vec{rmAP} CDOT vec{rmOP}]가 우아하다.

[eqn: {rmP}(x,```y)]라 두고 푸는 것은 촌스러워.

[2020학년도 수능 1번]

두 벡터 [eqn: vec{a} = LEFT ( 3,```1 RIGHT )], [eqn: vec{b} = LEFT ( -2,```4 RIGHT )]에 대하여
벡터 [eqn: {vec{a}} + {1} over {2} {vec{b}}]의 모든 성분의 합은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 빈출 킬러문항.

				21

	수학 영역

[수능 예시문항 기하 28번]

좌표평면에서 반원의 호 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4``` LEFT ( x ge0 RIGHT )] 위의
한 점 [eqn: {rmP} LEFT ( a,```b RIGHT )]에 대하여

[eqn: vec{rmOP}cdot vec{rmOQ}=2]

를 만족시키는 반원의 호 [eqn: LEFT ( x+5 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =16``` LEFT ( y ge0 RIGHT )] 위의
점 [eqn: rmQ]가 하나뿐일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

⑤

① [eqn: {12} over {5}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {13} over {5}]

④ [eqn: {27} over {10}]	⑤ [eqn: {14} over {5}]

▷ 일단 내적의 기하적 해석에다가..

점 [eqn: rmP]에 따라 점 [eqn: rmQ]가 움직이는데,

하나뿐이라는 게 뭔가.. 이중자취랄까.

[2020학년도 수능 19번]

한 원 위에 있는 서로 다른 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: left|rm vec AD right|^2]의 값은?

⑤

(가) [eqn: rm LEFT | vec{AB} RIGHT | =8], [eqn: rm vec AC cdot vec BC = 0]

(나) [eqn: rm vec AD = 1 over 2 vec AB - 2 vecBC]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

▷ ① 지름 발견, ② 필요한 각 확인.

				21

	수학 영역

[2020학년도 9월 19번]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A(1,```0)], [eqn: rmB(0,```1)]이 있다. 중심각의
크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]의 호 [eqn: rmAB] 위를 움직이는 점 [eqn: rm X]와
함수 [eqn: y=(x-2) ^{2} +1```(2 LEQ x LEQ 3)]의 그래프 위를 움직이는
점 [eqn: rmY]에 대하여

[eqn: {vec{rmOP}} = {vec{rmOY}} - {vec{rmOX}}]

를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 영역을 [eqn: R`]라 하자.
점 [eqn: rmO]로부터 영역 [eqn: R`]에 있는 점까지의 거리의 최댓값을 [eqn: M],
최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M ^{`2} +m ^{2}]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

①

① [eqn: 16-2 sqrt {5}]	② [eqn: 16- sqrt {5}]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 16+ sqrt {5}]	⑤ [eqn: 16+2 sqrt {5}]

▷ 이때쯤 대두된 합벡터 종점의 영역 문항.

① [2019학년도 수능 29번],

② [2020학년도 6월 29번],

③ [2020학년도 9월 19번]

의 출제 순서대로 풀자. 이 문제의 특징은,

합벡터로 돌리는 것이 해석하기 좋다는 것.

[2020학년도 6월 18번]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA(3,```0)], [eqn: rmB(0,```3)]과 직선 [eqn: x=1]
위의 점 [eqn: {rmP}(1,```a)]가 있다. 점 [eqn: rmQ]가 중심각의 크기가 [eqn: piover2]인
부채꼴 [eqn: rmOAB]의 호 [eqn: rmAB] 위를 움직일 때 [eqn: |rmvecOP +vecOQ |]의
최댓값을 [eqn: f(a)]라 하자. [eqn: f(a)=5]가 되도록 하는
모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

① [eqn: -5 sqrt { 3}]	② [eqn: -4 sqrt { 3}]	③ [eqn: -3 sqrt { 3}]

④ [eqn: -2 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: -sqrt { 3}]

▷ 얘도 합벡터 종점의 영역과 비슷한 맛.

차분하게 따져보면 전혀 다른 유형이다.

[점 [eqn: rmP]는 고정, 점 [eqn: rmQ]가 움직일 때]인데,

(특히 시험 때는) 판단하기가 쉽지는 않았다.

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 막 움직이다가 패-닉.

				21

	수학 영역

[2020학년도 6월 22번]

벡터 [eqn: {vec{a}} =(2,```1)]에 대하여 벡터 [eqn: 10 {vec{a}}]의
모든 성분의 합을 구하여라.

[eqn: 30]

▷ [eqn: 10]배나 하다니. 쉽지 않네.

[2020학년도 6월 26번]

좌표평면에서 [eqn: rm LEFT | {vec{OP}} RIGHT | =10]을 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는
도형 위의 점 [eqn: rmA][eqn: (a,```b)]에서의 접선을 [eqn: l], 원점을 지나고
방향벡터가 [eqn: (1,```1)]인 직선을 [eqn: m]이라 하고, 두 직선
[eqn: l], [eqn: m]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: rm theta]라 하자. [eqn: rmcos theta = {sqrt {2}} over {10}]일 때,
두 수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: a>b>0]이다.)

[eqn: 48]

▷ 은근히 많이 틀리던데. 차분하게 풀어봐.

대부분은 내적보다 삼각함수 덧셈정리로

다루지 않으려나 싶은데. 양 쪽 다 해봐.

[2020학년도 6월 29번]

좌표평면에서 곡선 [eqn: C:y= sqrt {8-x ^{2}}]([eqn: 2 le x le 2 sqrt { 2}]) 위의
점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbarOQ =2], [eqn: rmanglePOQ= { pi} over { 4}]를 만족시키고
직선 [eqn: rmOP]의 아랫부분에 있는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가
곡선 [eqn: C] 위를 움직일 때, 선분 [eqn: rmOP] 위를 움직이는 점 [eqn: rmX]와
선분 [eqn: rmOQ] 위를 움직이는 점 [eqn: rmY]에 대하여

[eqn: rmvecOZ =vecOP +vecOX +vecOY]

를 만족시키는 점 [eqn: rmZ]가 나타내는 영역을 [eqn: D]라 하자.
영역 [eqn: D]에 속하는 점 중에서 [eqn: y]축과의 거리가 최소인
점을 [eqn: rmR]라 할 때, 영역 [eqn: D]에 속하는 점 [eqn: rmZ]에 대하여
[eqn: rmvecOR cdot vecOZ]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: a+b sqrt { 2}]이다.
[eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이고,
[eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

[eqn: 24]

▷ [2019학년도 수능 29번]이 잘 못 만들어진

것이 아니라는 항변. 태생부터 망한 유형인데

그냥 버리지. [2019학년도 6월 29번] 좋았는데.

그나마 완성도는 [2019학년도 수능 29번]에

비해서 높다. 영역 그리기가 비교적 까다롭고,

내적의 최대최소가 나름 중요하니.

				21

	수학 영역

[2019학년도 수능 29번]

좌표평면에서 넓이가 [eqn: 9]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA] 위를 움직이는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 할 때,

[eqn: rmvecAX = { 1} over {4 }( vecAP +vecAR )+ { 1} over {2 } vecAQ]

를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 영역의 넓이가 [eqn: q overp]이다.
[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 53]

▷ 충격과 공포였던 수능 [29번].

당연히 고난도 공도벡 문항 자리에 평면 벡터,

그것도 진부한 (수능에서는 새로운) 유형이라니.

난 이때 평가원이 맛이 갔다는 것을 확신했다.

[eqn: rm {1} over {4} ( vec{AP} + vec{AR} )] 먼저 하고 [eqn: rm {1} over {2} vec{AQ}]를 더하자.

[2019학년도 9월 16번]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(6,```0)], [eqn: rmB(8,```6)]에 대하여 점 [eqn: rmP]가

[eqn: rm | vec{PA} +vec PB |= sqrt { 10}]

을 만족시킨다. [eqn: rmvecOB cdot vecOP]의 값이 최대가 되도록 하는
점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmQ]라 하고, 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때,
[eqn: rmvecOA cdot vecMQ]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

① [eqn: {6 sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: {9 sqrt {10}} over {5}]	③ [eqn: {12 sqrt {10}} over {5}]

④ [eqn: 3sqrt { 10}]	⑤ [eqn: {18 sqrt {10}} over {5}]

▷ 중점 분해, 자취, 내적의 최대최소.

웰메이드 문항. [16번] 치고 조금 어렵다.

				21

	수학 영역

[2019학년도 6월 29번]

좌표평면 위에 [eqn: rmbarAB =5]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로
하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 두 원을 각각 [eqn: O_1], [eqn: O_2]라 하자.
원 [eqn: O_1] 위의 점 [eqn: rmC]와 원 [eqn: O_2] 위의 점 [eqn: rmD]가 다음 조건을
만족시킨다.

선분 [eqn: rmCD]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여
[eqn: rmvecPA cdot vecPB]의 최댓값이 [eqn: a+b sqrt { 74}]이다. [eqn: a+b]의 값을
구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.)

(가) [eqn: cos(rmangleCAB)= { 3} over {5 }]

(나) [eqn: rmvecAB cdot vecCD =30]이고 [eqn: rm| vecCD |<9]이다.

[eqn: 31]

▷ 이상한 영역 문항들이 나오기 전,

가장 중요하다고 생각되던 유형.

[벡터의 자취와 최대최소]

대표적인 문항이고, 잘 만들어져 있다.

계산이 조금 복잡하다는 것이 단점.

[2018학년도 수능 25번]

좌표평면 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,```1 RIGHT )]을 지나고 벡터 [eqn: vec{n} = LEFT ( 1,```2 RIGHT )]에
수직인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점의 좌표를 각각
[eqn: LEFT ( a,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```b RIGHT )]라 하자. [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

[eqn: 9]

▷ 법선벡터를 이용한 직선의 표현.

교과서에 있다구!

[2018학년도 9월 19번]

좌표평면에서 원점 [eqn: rmO]가 중심이고 반지름의 길이가
[eqn: 1]인 원 위의 세 점 [eqn: rmA_1], [eqn: rmA_2], [eqn: rmA_3]에 대하여

[eqn: | rmvecOX | le 1] 이고 [eqn: {rmvecOX} cdot vec{{rmOA}_k} ge0] ([eqn: k=1,```2,```3])

을 만족시키는 모든 점 [eqn: rmX]의 집합이 나타내는 도형을 [eqn: D]라
하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: rmvecOA_1 = vecOA_2 = vecOA_3]이면 [eqn: D]의 넓이는 [eqn: piover2]이다.

ㄴ. [eqn: rmvecOA_2 =-vecOA_1]이고 [eqn: rmvecOA_3 =vecOA_1]이면 [eqn: D]는

길이가 [eqn: 2]인 선분이다.

ㄷ. [eqn: rmvecOA_1 cdot vecOA_2 =0]인 경우에, [eqn: D]의 넓이가 [eqn: piover4]이면

점 [eqn: rmA_3]은 [eqn: D]에 포함되어 있다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 내적과 자취. 중요한 유형이다.

문항의 설정이 조금 유치하지만.

				21

	수학 영역

[2018학년도 6월 11번]

두 벡터 [eqn: vec{a} =(3,```1)], [eqn: vec{b} =(4,```-2)]가 있다. 벡터 [eqn: vec v]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec a]와 [eqn: vec v + vec b]가 서로 평행할 때, [eqn: LEFT | vec v RIGHT | sup 2]의 최솟값은?

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 평행하다. [eqn: LRARROW]       .

[2018학년도 6월 25번]

좌표평면 위의 점 [eqn: (6,```3)]을 지나고 벡터 [eqn: vec{u} =(2,```3)]에
평행한 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], [eqn: y]축과 만나는
점을 [eqn: rm B]라 할 때, [eqn: {bar { rm AB } } sup 2]의 값을 구하여라.

[eqn: 52]

▷ 방향벡터를 이용한 직선의 표현.

[2018학년도 6월 29번]

좌표평면에서 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원
위의 한 점을 [eqn: rmA], 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원
위의 한 점을 [eqn: rmB]라 할 때, 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: rmvecPA cdot vecPB]의 최솟값은 [eqn: m]이고 이때 [eqn: |{rmvecOP}|=k]이다.
[eqn: m+k^2]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: rmvecOB cdot vecOP =3 vecOA cdot vecOP]

(나) [eqn: rm|vecPA |^2 + |vecPB |^2 =20]

[eqn: 7]

▷ 가장 먼저 판단해야 하는 것은

점 [eqn: rmP]가                에 놓인다는 것.

[eqn: rm|vecPA -vecPB |^2]에 착안하면 개꿀인데, 운이다.

선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmM]을 이용하는 풀이를

꼭 해보도록 하자. 중요한 해석방법.

				21

	수학 영역

[2017학년도 9월 8번]

두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: |`veca `|=1], [eqn: |`vecb`|=3]이고, 두 벡터
[eqn: 6 vec a + vec b]와 [eqn: vec a - vec b]가 서로 수직일 때, [eqn: vec a cdot vec b]의 값은?

②

① [eqn: - 3 over 10]	② [eqn: - 3 over 5]	③ [eqn: - 9 over 10]

④ [eqn: - 6 over 5]	⑤ [eqn: - 3 over 2]

▷ ① 수직 [eqn: LRARROW] 내적값이    .

② 교환/분배 등 내적의 연산.

[2017학년도 6월 1번]

벡터 [eqn: veca =(3,```-1)]에 대하여 벡터 [eqn: 5 veca]의
모든 성분의 합은?

⑤

① [eqn: -10]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 10]

▷ 왜 남겨놨지?

[2017학년도 9월 16번]

직사각형 [eqn: rm ABCD]의 내부의 점 [eqn: rm P]가

[eqn: vec{rm PA it} + vec{rm PB it} + vec{rm PC it} + vec{rm PD it} = vec{rm CA it}]

를 만족시킨다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른
것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: vec{rmPB}+vec{rmPD}=2vec{rmCP}]

ㄴ. [eqn: vec{rmAP}={3} over{4} vec{rmAC}]

ㄷ. 삼각형 [eqn: rmADP]의 넓이가 [eqn: 3]이면 직사각형

[eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 8]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 이런 문항은 풀이의 방향을 잡는 요령이

필요하다. [시점을 고정]하는 관점이 개중요.

모든 벡터의 시점을 [eqn: rmA]가 되도록 나타내보자.

ㄱ/ㄴ/ㄷ을 따라가면서 푸는 것도 가능하다.

				21

	수학 영역

[2017학년도 6월 12번]

좌표평면에서 두 직선

[eqn: { x+1} over {4 }= { y-1} over { 3}],   [eqn: { x+2} over {-1 } = { y+1} over { 3}]

이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값은?

⑤

① [eqn: { sqrt { 6} } over { 10}]	② [eqn: {sqrt {7}} over {10}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {5}]

④ [eqn: {3} over {10}]	⑤ [eqn: {sqrt {10}} over {10}]

▷ 방향벡터를 이용한 직선의 표현인데,

대충 [eqn: y=(...)]으로 정리해서 풀면 된다.

[2017학년도 6월 23번]

두 벡터 [eqn: veca =(4,```1)], [eqn: vecb =(-2,```k)]에 대하여
[eqn: veca cdot vecb =0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

[eqn: 8]

▷ 군대각.

[2017학년도 6월 28번]

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rmbarAE =barDB =2]인 두 점 [eqn: rmD],
[eqn: rmE]가 있다. 두 선분 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB]를 각각 지름으로 하는 두
반원의 호 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB]가 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하고, 선분 [eqn: rmAB]
위에 [eqn: rmbar{O_1 A}=bar{O_2 B}=1]인 두 점을 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2]라 하자. 호 [eqn: rmAC]
위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 호 [eqn: rmDC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에
대하여 [eqn: rm|vec{O_1 P}+vec{O_2 Q} |]의 최솟값이 [eqn: 1over2]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의
길이는 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단,
[eqn: 1 <rmbar{O_1 O_2 }<2]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 19]

▷ 적당히 옮겨서 더하면 좋다.

두 벡터가 이루는 각이 필요한데,

보통 내적보다는 코사인법칙이 편하지.

				21

	수학 영역

[2016학년도 9월 6번]

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(4,```2)], [eqn: rmB(0,```2)],
[eqn: rmC(2,```0)]에 대하여 [eqn: rmvecOA cdot vecBC]의 값은?

⑤

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

▷ 군대각.

[2015학년도 9월 5번]

서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여
[eqn: |veca |=2]이고 [eqn: veca cdot vecb =2]일 때, 두 벡터 [eqn: veca]와 [eqn: veca -t vecb]가
서로 수직이 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 분배하고..

[2014학년도 9월 11번]

한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형 [eqn: \ABC]에서 변 [eqn: \AB]를 [eqn: 2:1]로
내분하는 점을 [eqn: \D]라 하고, 변 [eqn: \AC]를 [eqn: 3:1]과 [eqn: 1:3]으로
내분하는 점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: rm {left|`vec{BF`}+vec{DE`}`right|}^2]의 값은?

③

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

▷ 두 벡터 [eqn: rmvecBF]와 [eqn: rmvecDE]를 분석하는 것은 괴롭다.

추천하는 풀이는

① [eqn: rmvecBA], [eqn: rmvecBC]로 나타낸다든가,

② 좌표에 올린다든가.

				21

	수학 영역

[2013학년도 수능 26번]

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: rmABC]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서
변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAH]
위를 움직일 때, [eqn: rm|vecPA cdot vecPB |]의 최댓값은 [eqn: { q} over { p}]이다. [eqn: p+q]의
값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 7]

▷ 수직 분해. [eqn: rmvecPB =]         로 보면 좋을 각.

좌표에 올려도 좋다. 좌표는 항상 옳다.

[2012학년도 수능 8번]

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm bar AB = 2], [eqn: rmangle B = 90Deg], [eqn: rm angle C = 30Deg]이다.
점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm vec PB + vec PC = vec 0]를 만족시킬 때, [eqn: rm left|vec PA right|^2]의 값은?

③

① [eqn: 5``]	② [eqn: 6``]	③ [eqn: 7``]

④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 9``]

▷ 차분하게 그리면 된다.

[2012학년도 9월 2번]

두 벡터 [eqn: vec{a} = LEFT ( x+1,```2 RIGHT )], [eqn: vec{b} = LEFT ( 1,```-x RIGHT )]가
서로 수직일 때, [eqn: x]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 내적값이 [eqn: 0]이다.

				21

	수학 영역

[2011학년도 수능 22번]

그림과 같이 평면 위에 정삼각형 [eqn: rmABC]와 선분 [eqn: rmAC]를
지름으로 하는 원 [eqn: O]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]를
[eqn: rmANGLE DAB= {pi } over {15}]가 되도록 정한다. 점 [eqn: rmX]가 원 [eqn: O] 위를 움직일
때, 두 벡터 [eqn: rmvecAD], [eqn: rmvecCX]의 내적 [eqn: rmvecAD cdot vecCX]의 값이 최소가
되도록 하는 점 [eqn: rmX]를 점 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: ANGLE{rmACP}= {q} over {p} pi]일 때,
[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인
자연수이다.)

[eqn: 17]

▷ 내적의 최대최소 시그니처 문항.

양쪽을 이용해서 다뤄보자.

① 원의 중심을 이용한 분해.

② 내적의 기하적 의미

[2011학년도 9월 14번]

평면에서 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =1]이고 [eqn: rmbarBC =sqrt3]인 직사각형
[eqn: rmABCD]와 정삼각형 [eqn: rmEAD]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAE] 위를
움직일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: rmLEFT | vecCB`-vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: 1]이다.

ㄴ. [eqn: rmvecCA cdot vecCP]의 값은 일정하다.

ㄷ. [eqn: rmLEFT | vecDA`+vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: {7} over {2}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ ㄱ. [eqn: rm vec{CB} - vec{CP} =]      .

ㄴ. 두 선분 [eqn: rmAC], [eqn: rmAE]가 이루는 각 조사.

ㄷ. 시점과 종점을 맞춰서 적당히 옮기기.

좌표에 올리면 모든 고민 해결!

				21

	수학 영역

[2010학년도 수능 14번]

평면에 놓은 그림과 같은 오각형 [eqn: rmABCDE]가 [eqn: rmbar{AB } = bar {BC }],
[eqn: rmbar{AE} = bar{DE}], [eqn: rmANGLE B= ANGLE E=90DEG]를 만족시킬 때, 옳은 것만을
보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. 선분 [eqn: rmBE]의 중점 [eqn: rmM]에 대하여

[eqn: rmvec AB + vec AE]와 [eqn: rmvecAM]은 서로 평행하다.

ㄴ. [eqn: rmvec{AB} cdot vec{AE}][eqn: rm= - vec BC cdot vec ED]

ㄷ. [eqn: rm| vec BC + vec ED | = | vec BE |]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 디귿은 제곱해서 니은을 끼얹으면 가장 예쁘다.

대충 그려서 판단하는 것도 가능하다.

[2009학년도 9월 7번]

평면 위의 두 점 [eqn: \O_1], [eqn: \O_2] 사이의 거리가 [eqn: 1]일 때,
[eqn: \O_1], [eqn: \O_2]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인
두 원의 교점을 [eqn: \A], [eqn: \B]라 하자. 호 [eqn: \AO_2 \B] 위의 점 [eqn: \P]와
호 [eqn: \AO_1 \B] 위의 점 [eqn: \Q]에 대하여 두 벡터 [eqn: rm vec {O_1 P}], [eqn: rm vec {O_2 Q}]의
내적 [eqn: rm vec {O_1 P} cdot vec {O_2 Q}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때,
[eqn: M+m]의 값은?

②

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1}over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1}over {4}]	⑤ [eqn: 1]

▷ 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]의 크기가 정해져 있을 때,

벡터 [eqn: veca +vecb]의 크기는 이루는 각의 크기에 의해

결정된다. [eqn: |veca +vecb |^2] 전개해보면 간명하게 이해된다.

				21

	수학 영역

[2007학년도 수능 20번]

타원 [eqn: { x^2} over {4 } + y^2 =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자.
이 타원 위의 점 [eqn: rm P]가 [eqn: rmLEFT |`vecOP + vecOF `RIGHT | = 1]을 만족시킬 때,
선분 [eqn: \PF]의 길이는 [eqn: k]이다. [eqn: 5k]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: \O]는 원점이다.)

[eqn: 15]

▷ 묘하게 어려울 수 있는 문제.

벡터를 적당히 옮겨서 더해보자.

[2005학년도 9월 3번]

크기가 [eqn: 1]인 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 [eqn: | vec{a} - vec{b} |=1]을 만족할 때,
[eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각 [eqn: theta]의 크기는? (단, [eqn: 0 le theta le pi])

③

① [eqn: {pi} over {6}]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: {pi} over {3}]

④ [eqn: {pi} over {2}]	⑤ [eqn: pi]

▷ 제곱yo.

[2006학년도 수능 4번]

좌표평면 위에 원점 [eqn: rm O]를 시점으로 하는 서로 다른
임의의 두 벡터 [eqn: vec{rm OP}], [eqn: vec{rm OQ}]가 있다. 두 벡터의 종점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]를
[eqn: x]축 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동 시킨
점을 각각 [eqn: rm P prime], [eqn: rm Q prime]이라 할 때, 다음 중 항상 옳은 것을 모두
고른 것은?

③

<보 기>

ㄱ. [eqn: |` vec{rm OP it} - vec{rm OP prime it} `|= sqrt {10}]

ㄴ. [eqn: |` vec{rm OP it} - vec{rm OQ it} `|=|` vec{rm OP prime it} - vec{rm OQ prime it} `|]

ㄷ. [eqn: vec{rm OP} CDOT vec{rm OQ} = vec{rm OP prime } CDOT vec{rm OQ prime }]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 대충 푸러.

				21