기출문제 다잡기

평가원의 수준

[적분법]

5A ACADEMY

SOOHAN

	수학 영역

[2023학년도 수능 미적분 24번]

[eqn: lim _{n rarrow inf} {1} over {n} sum_{k=1}^{n} sqrt{1+{3 k} over {n}}]의 값은?

③

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: {13} over {9}]	③ [eqn: {14} over {9}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {16} over {9}]

▷ 급수를 정적분으로 바꾸는 문제 잘 나온다.

공부 끝까지 잘 했는지 체크하기 좋은 문제.

[2023학년도 수능 미적분 26번]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=sqrt{ {sec} ^{2} x+ {tan} x} LEFT (0 LEQ x LEQ {pi} over {3} RIGHT )]와
[eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x={pi} over {3}]로 둘러싸인 부분을 밑면으로
하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인
평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때,
이 입체도형의 부피는?

④

① [eqn: {sqrt{3}} over {2}+{ {ln} 2} over {2}]	② [eqn: {sqrt{3}} over {2}+ {ln} 2]	③ [eqn: sqrt{3}+{ {ln} 2} over {2}]

④ [eqn: sqrt{3}+ {ln} 2]	⑤ [eqn: sqrt{3}+2 {ln} 2]

▷ 단면의 넓이를 적분. 적분도 약간 난이도 줄 수 있고.

[2023학년도 수능 미적분 29번]

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a e^{2 x}+b e^{x}+c]가
다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
[eqn: int_{0}^{14} g(x) d x=p+q {ln} 2]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이고, [eqn: {ln} 2]는 무리수이다.)

(가) [eqn: lim _{x rarrow-inf} {f(x)+6} over {e^{x}}=1]

(나) [eqn: f( {ln} 2)=0]

[eqn: 26]

▷ 역함수 적분인지 영의 정리인지 그거.

몇 번 다뤄봤다면 딱히 어렵지 않았을 듯.

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	수학 영역

[2023학년도 9월 미적분 26번]

그림과 같이 양수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y= sqrt { kx over{2x^2 +1}]와
[eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분을
밑면으로 하고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이
모두 정사각형인 입체도형의 부피가 [eqn: 2ln3]일 때,
[eqn: k]의 값은?

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 부피.

[2023학년도 9월 미적분 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 구간
[eqn: (0,``` INF )]에서 [eqn: g(x){ge}0]인 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: int _{4} ^{5} {g(x)dx} ={q}over{p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: x{le}-3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x){ge}f(-3)]이다.

(나) [eqn: x>-3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: g(x+3) LEFT { f(x)-f(0) RIGHT } ^{2} =f`'(x)]이다.

[eqn: 283]

▷ 사실 적분보다는 함수 추론에 가까운 문항.

조건들을 조합하면 [eqn: f(x)]의 도함수를 잡을 수 있다.

나머지는 미적분의 하우 투 적분 요소가 살짝.

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	수학 영역

[2022학년도 수능 미적분 26번]

[eqn: lim _{ n` rarrow ` inf } sum _{ k=1} ^{ n} {k^2 + 2kn } over {k^3 + 3k^2 n + n^3 }]의 값은?

③

① [eqn: ln5]	② [eqn: ln5 over2]	③ [eqn: ln5 over3]

④ [eqn: ln5 over4]	⑤ [eqn: ln5 over5]

▷ [eqn: { 1} over {n }] 하나 뽑아내고 나머지는 [eqn: { k} over { n}]의 함수로.

[2022학년도 9월 미적분 26번]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= root {{3x+1} over {x^2}}][eqn: (x>0)]과 [eqn: x]축 및
두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고
[eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인
입체도형의 부피는?

②

① [eqn: 3ln2]	② [eqn: 1 over2 + 3ln2]	③ [eqn: 1+3ln2]

④ [eqn: 1 over2 +4ln2]	⑤ [eqn: 1+4ln2]

▷ 자주 나옴.

[2022학년도 수능 미적분 27번]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(t>0)]에서의
위치가 곡선 [eqn: y= x^2]과 직선 [eqn: y= t^2 x - lnt over8]가 만나는
서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=e]까지
점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는?

①

① [eqn: e^4 over2 - 3over8]	② [eqn: e^4 over2 - 5over16]	③ [eqn: e^4 over2 - 1over4]

④ [eqn: e^4 over2 - 3over16]	⑤ [eqn: e^4 over2 - 1over8]

▷ 곡선의 길이. 완전제곱식 나오겠지 뭐.

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	수학 영역

[2022학년도 수능 미적분 30번]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한
함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{ 1} ^{8 } { xf`'(x) dx } = q overp]일 때, [eqn: p +q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: f(1) = 1], [eqn: int _{ 1} ^{2 } { f(x) dx } = 5 over4]

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: x ge 1]인

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(2x ) = 2f(x)]이다.

[eqn: 143]

▷ (나) 식에 적분 걸면 대충 보임.

연산 베이스 문항이지만 그래프 개형 살살 그려가며 추적.

[2022학년도 9월 미적분 28번]

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의
길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: C]와 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 2,```0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 0,```-2 RIGHT )]가 있다.
원 [eqn: C] 위에 있고 [eqn: x]좌표가 음수인 점 [eqn: rmP]에 대하여
[eqn: anglermPAB=ittheta]라 하자. 점 [eqn: rmQ LEFT ( it0,```2cos theta RIGHT )]에서 직선 [eqn: rmBP]에 내린
수선의 발을 [eqn: rmR]라 하고, 두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmR] 사이의 거리를
[eqn: f LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {f LEFT ( theta RIGHT ) d theta}]의 값은?

①

① [eqn: {2 sqrt {3} -3} over {2}]	② [eqn: sqrt {3} -1]	③ [eqn: {3 sqrt {3} -3} over {2}]

④ [eqn: {2 sqrt {3} -1} over {2}]	⑤ [eqn: {4 sqrt {3} -3} over {2}]

▷ 도형문항인데 [eqn: rmQ]를 해석적으로 주니,

식으로 풀려다 말린 학생 있을 듯.

그게 나야. 두비두밥.

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	수학 영역

[2021학년도 수능 8번]

곡선 [eqn: y=e^2x]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=ln { 1} over { 2}], [eqn: x=ln2]로
둘러싸인 부분의 넓이는?

②

① [eqn: { 5} over { 3}]	② [eqn: { 15} over { 8}]	③ [eqn: { 15} over { 7}]

④ [eqn: { 5} over { 2}]	⑤ [eqn: 3]

▷ 그냥.

[2021학년도 수능 11번]

[eqn: lim _{ n->inf } {1 overn } sum _{ k=1} ^{n } root{ {3n} over3n+k}]의 값은?

①

① [eqn: 4root3 -6]	② [eqn: root3 -1]	③ [eqn: 5root3 - 8]

④ [eqn: 2root3 -3]	⑤ [eqn: 3root3 -5]

▷ 급수를 정적분으로. [eqn: {1} over {n}] 하나를 뽑아내면

나머지는 [eqn: {k} over {n}]의 함수로 나타나야 한다.

[2021학년도 수능 15번]

[eqn: x>0]에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: f` prime (x)=2- {3} over {x ^{2}}],    [eqn: f(1)=5]

이다. [eqn: x<0]에서 미분가능한 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: g(-3)]의 값은?

②

(가) [eqn: x<0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g`'(x)=f`'(-x)]이다.

(나) [eqn: f(2)+g(-2)=9]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ [eqn: g`'(x)=f`'(-x)]에서 [eqn: g(x)=-f(x)]로 털리는 애들

없을까? 적분하려면 [eqn: g(x)=-f(x)+C]가 맞다.

애초에 딱딱하게 식으로 다루는 것을 추천하고

싶지 않지만. 그래프를 그린다든가 해서.

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	수학 영역

[2021학년도 수능 20번]

함수 [eqn: f(x)= pi `sin`2 pi x]에 대하여 정의역이 실수
전체의 집합이고 치역이 집합 [eqn: LEFT { 0,```1 RIGHT }]인 함수 [eqn: g(x)]와
자연수 [eqn: n]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: n]의 값은?

⑤

함수 [eqn: h(x)=f LEFT ( nx RIGHT ) g(x)]는 실수 전체의 집합에서

연속이고

[eqn: int _{-1} ^{1} {h LEFT ( x RIGHT ) dx} =2], [eqn: int _{-1} ^{1} {xh(x)dx} =`- {1} over {32}]

이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

▷ 21번 나왔어야 하는 문항. 킬러급.

최대 찍으려면 경계를 따라서 적분해야 한다.

[수능 예시문항 미적분 23번]

[eqn: int _{- {pi} over {2}} ^{pi} {`sinx`dx}]의 값은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▷ 알오?

[수능 예시문항 미적분 27번]

곡선 [eqn: y=x ln LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )]과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인
부분의 넓이는?

①

① [eqn: ln2- {1} over {2}]	② [eqn: ln2- {1} over {4}]	③ [eqn: ln2- {1} over {6}]

④ [eqn: ln2- {1} over {8}]	⑤ [eqn: ln2- {1} over {10}]

▷ 치환각.

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	수학 영역

[수능 예시문항 미적분 29번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +x-1]과 양수 [eqn: t]에 대하여 함수

[eqn: F`` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {LEFT { t-f LEFT ( s RIGHT ) RIGHT } `ds}]

가 [eqn: x=alpha]에서 최댓값을 가질 때, 실수 [eqn: alpha]의 값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라
하자. 미분가능한 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{f LEFT ( 1 RIGHT )} ^{f LEFT ( 5 RIGHT )} {{g LEFT ( t RIGHT )} over {1+e ^{g LEFT ( t RIGHT )}}} dt]의
값을 구하여라.

[eqn: 12]

▷ [역함수를 이용한 치환적분].

묘하게 안 풀리는 학생이 있을 것이다. 정상이다.

평소의 치환적분과 치환 방향이 반대이기 때문.

평가원 이상에서는 처음으로 출제되었다.

풀이는.. 음.. 유튜브 찾아봐.

[2021학년도 9월 18번]

함수

[eqn: f(x)= {cases{0&`````(x LEQ 0)#LEFT { ln LEFT ( 1+x ^{4} RIGHT ) RIGHT } ^{10}&`````(x>0)}}]

에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {f(t)f(1-t)dt}]

라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

②

<보 기>

ㄱ. [eqn: x LEQ 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)=0]이다.

ㄴ. [eqn: g(1)=2g LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]

ㄷ. [eqn: g(a) GEQ 1]인 실수 [eqn: a]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 여러모로 특이한 문항.

뭔가 좀 논술같기도 하고..

대충 [eqn: g(x)=f(x)f(1-x)]와 [eqn: g(x)]의 개형을

잡아보자. ㄷ은 ㄴ없이 푸는 것이 좋다. ㄴ으로

풀면 오류인데, 평가원 애들도 착각한 듯.

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	수학 영역

[2021학년도 9월 20번]

함수 [eqn: f(x)=sin(pirootx )]에 대하여 함수

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {} tf(x-t)dt```(x GEQ 0)]

이 [eqn: x=a]에서 극대인 모든 [eqn: a]를 작은 수부터 크기순으로
나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: k^2 < a_6 < (k+1)^2]인
자연수 [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: 11]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 23]

▷ 우선 [eqn: g(x)]의 형태가 익숙해야 한다.

[2014학년도 6월 27번]에서 봤다.

이후 적분값의 크기비교가 필요한데,

대충 커지는 것이 당연해 보여서..

근데 알고 보니까 적분이 계산 되더라구?

일종의 [역함수를 이용한 치환]이라 못 봤다구.

[2021학년도 9월 25번]

[eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} {2} over {n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ^{4} =a]일 때, [eqn: 5a]의 값을 구하여라.

[eqn: 242]

▷ 오답률 폭발! 50%쯤 됐었나.

[2020학년도 수능 7번]

[eqn: int_e ^{e^2}{lnx -1}over{x^2}dx]의 값은?

⑤

① [eqn: {e+2}over e^2]	② [eqn: {e+1}over{e^2}]	③ [eqn: 1over e]

④ [eqn: {e-1}over{e^2}]	⑤ [eqn: {e-2}over{e^2}]

▷ 하우 투 적분은 누구나 움찔할 수 있다.

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	수학 영역

[2020학년도 수능 11번]

그림과 같이 양수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y=root{ {e ^{x}} over {e ^{x} +1} }]과
[eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x=k]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고
[eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인
입체도형의 부피가 [eqn: ln7]일 때, [eqn: k]의 값은?

②

① [eqn: ln11]	② [eqn: ln13]	③ [eqn: ln15]

④ [eqn: ln17]	⑤ [eqn: ln19]

▷ ① 축 설정.

② 축에 수직으로 자른 단면의 넓이.

[2020학년도 수능 21번]

실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: y=e^x] 위의 점 [eqn: (t,```e^t )]에서의 접선의
방정식을 [eqn: y=f(x)]라 할 때, 함수 [eqn: y=left| f(x)+k-lnx right|]가
양의 실수 전체에서 미분가능하도록 하는 실수 [eqn: k]의
최솟값을 [eqn: g(t)]라 하자. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b(a<b)]에 대하여
[eqn: int _{a} ^{b} {} g(t)dt=m]이라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는
대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: m<0]이 되도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b][eqn: (a<b)]가

존재한다.

ㄴ. 실수 [eqn: c]에 대하여 [eqn: g(c)=0]이면 [eqn: g(-c)=0]이다.

ㄷ. [eqn: a= alpha], [eqn: b=beta(alpha<beta)]일 때 [eqn: m]의 값이 최소이면
[eqn: {1+g prime (beta)} over {1+g prime(alpha)} < -e^2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 매우 좋다. 요즘 평가원이 이 정도 퀄리티의

문항을 생산하다니! 니은의 함수 [eqn: g(t)]의 특성이

재미있고, 전체적인 보기의 밸런스나 배치도 좋다.

앞부분에서 쓸데없이 귀찮게 한 것이 옥의 티.

문항으로서는 아름답지만 [21번]에 합답형을

출제했다는 것에서 낙제점. 어차피 답은      .

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	수학 영역

[2020학년도 9월 14번]

그림과 같이 양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=2root{x}e ^{kx ^{2}}]의
그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x={1over{root{2k}}}], [eqn: x={1over{root{k}}]로 둘러싸인
부분을 밑면으로 하고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이
모두 정삼각형인 입체도형의 부피가 [eqn: root{3}(e ^{2} -e)]일 때,
[eqn: k]의 값은?

③

① [eqn: {1over12]	② [eqn: {1over6}]	③ [eqn: {1over4}]

④ [eqn: {1over3}]	⑤ [eqn: {1over2}]

▷ 시시한 부피 문항.

[2020학년도 9월 17번]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 도함수가
연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{-1} ^{1} {x ^{3} f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -1]이다.

(나) [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} g prime LEFT ( x RIGHT ) dx} =120]

②

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

▷ 웰메이드. 여러 가지 방법으로 다룰 수 있다.

꽤 난이도가 있다고 생각했는데, 모재수학원의

정답률이 90% 정도로 매우 높더라.

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	수학 영역

[2020학년도 9월 30번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든
실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f` prime (x ^{2} +x+1)= pi f(1)sin` pi x+f(3)x+5x ^{2}]

을 만족시킬 때, [eqn: f(7)]의 값을 구하여라.

[eqn: {93}]

▷ 희대의 쓰레기 30번. 이런 문항을 버젓이

출제하다니, 역시 평가원. 대단한 멘탈.

대입 순서, 대칭성 등 몇 가지 관찰 포인트가

있긴 하지만, 어떻게 봐도 쓰레기는 쓰레기.

[2019학년도 수능 21번]과 같이 만들어진 느낌.

은 당시 강력하게 예상되던 주제였다.

계산이 아주 심한 것은 아니지만 짜증난다.

[2020학년도 6월 10번]

[eqn: int _{1} ^{e} {} x ^{3} {lnx}dx]의 값은?

②

① [eqn: {3e ^{4}} over {16}]	② [eqn: {3e ^{4} +1} over {1}]	③ [eqn: {3e ^{4} +2} over {16}]

④ [eqn: {3e ^{4} +3} over {16}]	⑤ [eqn: {3e ^{4} +4} over {16}]

▷ 뭘 해볼까.

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	수학 영역

[2020학년도 6월 20번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]

(나) [eqn: ln`f LEFT ( x RIGHT ) +2 int _{0} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} =0]

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소한다.

ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: F LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: F LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]라 할 때,
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT { F LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 일단 [eqn: int _{0} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt}]의 미분.

모르면 수2 복습 필요한 상태일걸.

기역, 니은은 함수의 개형(+부호) 파악.

디귿이           이다. 게다가 강조.

쉬운 문항은 아닌데 답이      라서.

[2020학년도 6월 30번]

상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a sin^3 x+b sinx]가

[eqn: f left( { pi} over { 4}right)=3 sqrt { 2}],   [eqn: f left( { pi} over { 3}right)=5 sqrt { 3}]

을 만족시킨다. 실수 [eqn: t]([eqn: 1<t<14])에 대하여 함수
[eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표
중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때,
[eqn: n]번째 수를 [eqn: x_n]이라 하고

[eqn: c_n =int_{3 sqrt { 2}}^{5 sqrt { 3}} { t} over {f`'(x_n ) } dt]

라 하자. [eqn: sum_n=1 ^101 c_n =p+q sqrt { 2}]일 때, [eqn: q-p]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[eqn: 12]

▷ 10점 만점에 0.5점.

일단 [eqn: int { t} over {f`'(x_n ) }dt]라는 표현이 다소 무리가 있고,

[역함수를 이용한 치환적분]이 애매하게 들어왔다.

무의미한 시그마도 참 촌스럽다.

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	수학 영역

[2019학년도 수능 16번]

[eqn: x>0]에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 양수 [eqn: x]에
대하여

[eqn: 2f(x)+ { 1} over { x^2} f left( { 1} over {x } right)= { 1} over {x }+ { 1} over {x^2 }]

을 만족시킬 때, [eqn: int_ {{ 1} over {2 }}^2 f(x)dx]의 값은?

②

① [eqn: { ln2} over {3 }+ { 1} over {2 }]	② [eqn: {2ln2} over {3} + {1} over {2}]	③ [eqn: {ln2} over {3} +1]

④ [eqn: {2ln2} over {3} +1]	⑤ [eqn: {2ln2} over {3} + {3} over {2}]

▷ [정적분과 구간]의 대표문항.

[eqn: x]가 [eqn: 1/2]에서 [eqn: 2]까지 변할 때,

[eqn: 1/x]은 [eqn: 2]에서 [eqn: 1/2]까지 변한다.

[2019학년도 수능 21번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(-1)]의 값은?

④

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 2left{f(x)right}^2 f`'(x)=left{f(2x+1) right}^2 f`'(2x+1)]이다.

(나) [eqn: f left(- { 1} over { 8} right)=1], [eqn: f(6)=2]

① [eqn: {root {3} of {3}} over {6}]	② [eqn: {root {3} of {3}} over {3}]	③ [eqn: {root {3} of {3}} over {2}]

④ [eqn: {2 root {3} of {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {5 root {3} of {3}} over {6}]

▷ 본격적인 [항등식의 양변적분] 문항.

유치하고, 지엽적이고, 의미 없고, 재미 없고..

일단 양변 적분각은 딱 보이지? 적분상수 조심.

그 다음이 핵심이다. [eqn: x]를 [eqn: 2x+1]로 대응시키는

함수를 이용하여 [eqn: -{ 1} over {8 }]과 [eqn: 6]을 연결해야 한다.

				42

	수학 영역

[2018학년도 수능 12번]

곡선 [eqn: y=e ^{2x}]과 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=-2x+a]로 둘러싸인
영역을 [eqn: A], 곡선 [eqn: y=e ^{2x}]과 두 직선 [eqn: y=-2x+a], [eqn: x=1]로
둘러싸인 영역을 [eqn: B`]라 하자. [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B`]의 넓이가
같을 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: 1<a<e ^{2}])

①

① [eqn: {e ^{2} +1} over {2}]	② [eqn: {2e ^{2} +1} over {4}]	③ [eqn: {e ^{2}} over {2}]

④ [eqn: {2e ^{2} -1} over {4}]	⑤ [eqn: {e ^{2} -1} over {2}]

▷ 교점 구하려고 하면 안 돼.

[2018학년도 수능 15번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} { {1} over {1+e ^{-t}} dt}]

일 때, [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( a RIGHT ) =ln5]를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: ln11]	② [eqn: ln13]	③ [eqn: ln15]

④ [eqn: ln17]	⑤ [eqn: ln19]

▷ 가끔 말리는 학생들 있던데..

일단 적분해서 [eqn: f(x)]를 구해.

				42

	수학 영역

[2019학년도 수능 25번]

[eqn: int_{0}^{pi}{x{rmcos}(pi-x)dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

▷ 여각변환. [eqn: cos(pi-x)=]

[대칭성을 이용한 치환]이라고, 형태가 [eqn: pi-x]를

치환하고 싶게 생겼다. 이 문제에서는 무의미.

[2019학년도 6월 12번]

[eqn: x=0]에서 [eqn: x= ln 2]까지의 곡선 [eqn: y = 1 over 8 e^2x + 1 over 2 e^-2x]의
길이는?

⑤

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 9 over 16]	③ [eqn: 5 over 8]

④ [eqn: 11 over 16]	⑤ [eqn: 3 over 4]

▷ 곡선의 길이 공식 알지?

이 문제 계산 짜증나는 것도 알고?

[2019학년도 6월 11번]

[eqn: int_1 ^root2 x^3 root { x^2 -1 } dx]의 값은?

②

① [eqn: 7 over 15]	② [eqn: 8 over 15]	③ [eqn: 3 over 5]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 11 over 15]

▷ 치환각 보이니.

[2019학년도 9월 9번]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y =2^x - 1], [eqn: y = left| sin pi over 2 x right|]가 원점 [eqn: rm O]와
점 [eqn: (1,```1)]에서 만난다. 두 곡선 [eqn: y =2^x - 1], [eqn: y = left| sin pi over 2 x right|]로
둘러싸인 부분의 넓이는?

②

① [eqn: - 1 over pi + 1 over ln2 - 1]	② [eqn: 2 over pi - 1 over ln2 + 1]

③ [eqn: 2 over pi + 1 over {2 ln2} - 1]	④ [eqn: 1 over pi - 1 over {2 ln2} + 1]

⑤ [eqn: 1 over pi + 1 over ln2 - 1]

▷ 그림 안 그려주면 어렵겠다.

				42

	수학 영역

[2019학년도 9월 21번]

[eqn: 0]이 아닌 세 정수 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]이

[eqn: |`l`|+|`m`|+|`n`|le10]

을 만족시킨다. [eqn: 0le x le { 3} over {2 }pi]에서 정의된 연속함수
[eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=0], [eqn: f left({ 3} over {2 }pi right)=1]이고

[eqn: f` prime (x)= {cases{l`cosx&``` LEFT ( 0<x< {pi } over {2} RIGHT )#m`cosx&``` LEFT ( {pi } over {2} <x<pi RIGHT )#n`cosx&``` LEFT ( pi <x< {3} over {2} pi RIGHT )}}]

를 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{{3} over {2} pi } {} f(x)dx]의 값이 최대가 되도록
하는 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: l+2m+3n]의 값은?

⑤

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

▷ 매우 어렵다. 안 풀려도 스트레스 받지 말고.

덮어 뒀다가 여름 지나서 풀어도 좋다.

[2016학년도 6월 30번]과 여러모로 닮아 있다.

소재가 작위적인 느낌이 있지만 나름 신선하고,

전체적으로 깔끔한 문항. 주어지는 합격목걸이.

[2019학년도 6월 15번]

함수 [eqn: f(x) = a cos left( pi x^2 right )]에 대하여

[eqn: lim_x->0 left{ { x^2 +1 } over x int_1 ^x+1 f(t) dt right} = 3]

일 때, [eqn: f(a)`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 3]

▷ [eqn: lim _{x -> 0} {} LEFT { (x ^{2} +1) TIMES {F(x+1)-F(1)} over {x} RIGHT }]으로 줬다면

훨씬 쉬웠겠지? [eqn: 0]이 어디에 있는지 신경 썼다면.

				42

	수학 영역

[2019학년도 6월 30번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서의 접선의 [eqn: y]절편을
[eqn: g(t)]라 하자. 모든 실수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: (1+t^2 )left{g(t+1)-g(t)right}=2t]

이고, [eqn: int_0 ^1 f(x)dx=- { ln10} over { 4}], [eqn: f(1)=4+ { ln17} over {8 }]일 때,
[eqn: 2left{f(4)+f(-4)right}}-int_-4 ^4 f(x)dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 16]

▷ [2015학년도 9월 30번]에서 따온 듯한 문항,

억지로 끼워 맞춘 듯한 숫자들, 욕이 절로

나오는 계산량, 쓰레기 같은 표현. 총체적 난국.

[2018학년도 수능 30번]

실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{1- LEFT | x-t RIGHT |&``` LEFT ( LEFT | x-t RIGHT | LEQ 1 RIGHT )#0&``` LEFT ( LEFT | x-t RIGHT | >1 RIGHT )}}]

이라 할 때, 어떤 홀수 [eqn: k]에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{k} ^{k+8} {f LEFT ( x RIGHT ) cos LEFT ( pi x RIGHT ) dx}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: k-pi ^{2} sum _{i=1} ^{m} g LEFT ( alpha _{i} RIGHT )]의 값을 구하여라.

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=alpha]에서 극소이고 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) <0]인
모든 [eqn: alpha]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

[eqn: alpha _{1}], [eqn: alpha _{2}], [eqn: cdots], [eqn: alpha _{m}]([eqn: m]은 자연수)

라 할 때, [eqn: sum _{i=1} ^{m} alpha _{i} =45]이다.

[eqn: 21]

▷ 매우 어렵다. 수능 역사에서 가장 어려운 문제라

생각되는데? 분석하려면 두, 세시간 잡아도 좋다.

상황 이해도 어렵고, 호흡도 길고, 계산도 복잡.

				42

	수학 영역

[2018학년도 9월 18번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(0)=0]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0]이다.
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rm A(it t,```f(t))(t>0)]에서 [eqn: x]축에
내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmA]를 지나고
점 [eqn: rmA]에서의 접선과 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는
점을 [eqn: rmC]라 하자. 모든 양수 [eqn: t]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC]의
넓이가 [eqn: {1} over {2} (e ^{3t} -2e ^{2t} +e ^{t} )]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와
[eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

①

① [eqn: e-2``]	② [eqn: e``]	③ [eqn: e+2``]

④ [eqn: e+4``]	⑤ [eqn: e+6``]

▷ 잘 모르고 지나가는 경우가 많은데,

[항등식의 양변 적분]의 시초격.

대충 봐도                가 나온다. 여기서

양변 적분하고 적분상수 처리해야 옳은 풀이.

[2018학년도 9월 21번]

수열 [eqn: left{a_n right}]이

[eqn: a _{1} =-1], [eqn: a_n =2- { 1} over { 2^n-2 }(n ge2)]

이다. 구간 [eqn: [-1,```2)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 모든
자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f(x)=sin(2^n pix)] ([eqn: a _{n} LEQ x LEQ a _{n+1}])

이다. [eqn: -1<alpha<0]인 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: int_alpha ^t f(x)dx=0]을
만족시키는 [eqn: t(0<t<2)]의 값의 개수가 [eqn: 103]일 때,
[eqn: log_2 (1-cos(2pi alpha))]의 값은?

②

① [eqn: -48]	② [eqn: -50]	③ [eqn: -52]

④ [eqn: -54]	⑤ [eqn: -56]

▷ [2016학년도 9월 21번]을 완성한 문항.

소재는 좋은데 표현이나 계산이 좀 질척거린다.

어렵긴 하지만 언제든 반복될 가능성이 있는

중요한 주제이므로 차분하게 다뤄보자.

				42

	수학 영역

[2018학년도 6월 12번]

양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: int from 1 to x f(t) dt = x sup 2 - a root x] [eqn: (x > 0 )]

을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 3]

▷ 대입하고 양변 미분. 알죵?

[2018학년도 6월 30번]

실수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f(x)=ln(x ^{4} +1)-c```(c>0인```상수)]에
대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=int_a ^x f(t)dt]

라 하자. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 서로
다른 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값을 작은
수부터 크기순으로 나열하면 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: cdots], [eqn: alpha_m]([eqn: m]은 자연수)이다. [eqn: a=alpha_1]일 때, 함수 [eqn: g(x)]와 상수 [eqn: k]는 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: mk timese^c]의 값을 구하여라.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

(나) [eqn: int_{alpha_1 }^{alpha_m }g(x)dx=k alpha_m int_0 ^1 |f(x)|dx]

[eqn: 16]

▷ 일단 중요한 주제, [정적분으로 정의된 함수],

그 중에서도 [[eqn: x]축의 위치 결정]이 강조되어 있다.

(나)는 대칭성으로 처리하는 것이 보통.

유식하게 보이고 싶을 때 [테셀레이션]이라 한다.

특이한 접근으로, [eqn: 1 timesg(x)]에서 부분적분 거는

것도 가능하다. 정적분의 연산 문제로 착각해서..?

				42

	수학 영역

[2017학년도 수능 20번]

함수 [eqn: f(x)=e^-x int_0 ^x sin(t^2 )dt]에 대하여 보기에서
옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: f( sqrt { pi})>0]

ㄴ. [eqn: f`'(a)>0]을 만족시키는 [eqn: a]가 열린 구간

[eqn: (0,``` sqrt { pi })]에 적어도 하나 존재한다.

ㄷ. [eqn: f`'(b)=0]을 만족시키는 [eqn: b]가 열린 구간

[eqn: (0,``` sqrt { pi })]에 적어도 하나 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 사잇값인지 평균값인지 해야겠지?

디귿의 정해는 구간      에서 함수      에

대한           이다. 선지들 사이의 연계성.

양수를 순방향 적분하면 양수겠지?

교과서에는 없는데, 기역 풀 때 필요하다.

[2017학년도 수능 21번]

닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 증가하는 연속함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: int _{0} ^{1} f(x)dx=2], [eqn: int _{0} ^{1} |f(x)|dx=2 sqrt {2}]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: F(x)]가

[eqn: F(x)=int _{0} ^{x} |f(t)|dt] [eqn: (0le x le1 )]

일 때, [eqn: int_0 ^1 f(x)F(x)dx]의 값은?

④

① [eqn: 4- sqrt { 2}]	② [eqn: 2+ sqrt { 2}]	③ [eqn: 5- sqrt { 2}]

④ [eqn: 1+ 2sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2+ 2sqrt { 2}]

▷ 이때 평가원이 좋았다. 대충 [eqn: f(x)F(x)]가

적분가능하다는 것은 요즘 더더욱 중요한 소재.

[eqn: f(x)=0]의 근을 [eqn: alpha]라 하자.

[eqn: x le alpha]일 때는 [eqn: F`'(x)=]

[eqn: x > alpha]일 때는 [eqn: F`'(x)=]

[eqn: f(x)F(x)]는 부분적분 걸어도 된다. 삽질이지만.

				42

	수학 영역

[2017학년도 9월 13번]

함수 [eqn: y=cos2x]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x= { pi} over {12 }]로
둘러싸인 영역의 넓이가 직선 [eqn: y=a]에 의하여 이등분될 때,
상수 [eqn: a]의 값은?

③

① [eqn: 1over2pi]	② [eqn: 1overpi]	③ [eqn: 3over2pi]

④ [eqn: 2overpi]	⑤ [eqn: 5over2pi]

▷ 군대각.

[2017학년도 9월 21번]

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수
[eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: f(1) = 1 overe]일 때, [eqn: f(2) - g(2)]의 값은?

(가) [eqn: LEFT ( {f(x)} over {x} RIGHT ) ' =x ^{2} e ^{-x ^{2}}]

(나) [eqn: g(x) = 4 over e^4 int_1 ^x e^t^2 f(t) dt `]

③

① [eqn: 16 over 3e^4]	② [eqn: 6 over e^4]	③ [eqn: 20 over 3e^4]

④ [eqn: 22 over 3e^4]	⑤ [eqn: 8 over e^4]

▷ [정적분의 연산]은 다양하게 말릴 수 있다.

[eqn: {xf `prime (x)-f(x)} over {x ^{2}}] 또는 [eqn: int x ^{2} e ^{-x ^{2}} dx]를 띄우는 것이

털리는 비결이다. 정답은 (나)의 피적분함수를

로 보고 부분적분을 치는 것.

의 미분이 주어졌고,      이 적분가능하다.

				42

	수학 영역

[2017학년도 6월 20번]

함수 [eqn: f(x)= {5} over {2} - {10x} over {x ^{2} +4}]와 함수 [eqn: g(x)= {4-|x-4|} over {2}]의
그래프가 그림과 같다.

[eqn: 0 le a le 8]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: int_0 ^a f(x)dx+int_a ^8 g(x)dx]의
최솟값은?

④

① [eqn: 14-5ln5]	② [eqn: 15-5ln10]	③ [eqn: 15-5ln5]

④ [eqn: 16-5ln10]	⑤ [eqn: 16-5ln5]

▷ 대충 봐도 [eqn: a=]     이 당기지?

[eqn: int_0 ^a f(x)dx+int_a ^8 g(x)dx]를 [eqn: h(a)]라 두고

도함수 [eqn: h'(a)]를 조사해보자.

[2017학년도 6월 30번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
상수 [eqn: a]([eqn: 0<a<2pi])와 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음
조건을 만족시킨다.

닫힌 구간 [eqn: left[0,`` { a} over {2 }right]]에서 두 실수 [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[eqn: f(x)=b cos(3x)+c cos (5x)]

일 때 [eqn: abc=- { q} over { p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: f(x)=f(-x)]

(나) [eqn: int_x ^x+a f(t)dt=sin left(x+ { pi} over {3 }right)]

[eqn: 83]

▷ 만만하게 보다가 털리는 문제. 맞게 풀어도

계산이 짜증나는데, 한 번 착각하면..

주어진 [eqn: f(x)]의 함수식은 구간 [eqn: LEFT [ - {a} over {2} ,`` {a} over {2} RIGHT ]]에서만

사용 가능하다. [eqn: f(x)]를 더 구하지 않으려면,

(나)의 [eqn: x]값은 [eqn: - {a} over {2}]만을 취할 수 있다.

				42

	수학 영역

[2016학년도 수능 11번]

함수

[eqn: f(x)= cases{ |5x(x+2)|&```(x<0) # |5x(x-2)|& ```(x ge0)}]

의 그래프가 그림과 같다. 닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 함수
[eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분을
[eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는?

④

① [eqn: { 65} over {6 }pi]	② [eqn: { 35} over { 3}pi]	③ [eqn: { 25} over { 2}pi]

④ [eqn: { 40} over {3 }pi]	⑤ [eqn: { 85} over { 6}pi]

▷ 회전체까지는 대충 해 두자. 도형을 [eqn: x]축에 수직인

단면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이는?

[2016학년도 수능 30번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: int_0 ^6 f(x)dx= { q} over { p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: x leb]일 때, [eqn: f(x)=a(x-b)^2 +c]이다.

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} { sqrt { 4-2f(t)} dt}]이다.

[eqn: 35]

▷ 유행하던 패턴. 깜짝 퀴즈 스타일이랄까.

깔끔하게 냈다. [eqn: x >b]인 부분이 비어 보이지?

				42

	수학 영역

[2016학년도 9월 21번]

함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)= cases{ |sinx|-sinx&`````left(- { 7} over { 2} pi le x<0 right)# sinx-|sinx|& `````left(0le x le { 7} over {2 }pi right) }]

라 하자. 닫힌구간 [eqn: left[- { 7} over {2 }pi,``` { 7} over {2 }piright]]에 속하는 모든 실수 [eqn: x]에
대하여 [eqn: int_a ^x f(t)dt ge0]이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을
[eqn: alpha], 최댓값을 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: beta-alpha]의 값은?
(단, [eqn: -{ 7} over { 2}pi le a le { 7} over {2 }pi])

①

① [eqn: piover2]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: {7} over {2} pi]	⑤ [eqn: {9} over {2} pi]

▷ [정적분으로 정의된 함수]의 [[eqn: x]축 결정].

[eqn: g(x)= int _{a} ^{x} {} f(t)dt]라 두고 [eqn: g'(x)=f(x)]를

이용해 [eqn: g(x)]의 그래프를 그리자.

근데 미친놈들이 [eqn: f(x)]를 잘 못 그리더라구.

[2016학년도 6월 30번]

정의역이 [eqn: LEFT { x`|`0 le x le 8RIGHT }]이고 다음 조건을 만족시키는
모든 연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int_0 ^8 f(x)dx]의 최댓값은
[eqn: p+ { q} over { ln2}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 자연수이고, [eqn: ln2]는 무리수이다.)

[eqn: 128]

(가) [eqn: f(0)=1]이고 [eqn: f(8)le 100]이다.

(나) [eqn: 0 le k le 7]인 각각의 정수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: f(k+t)=f(k)`````(0<t le 1)]
또는

[eqn: f(k+t)=2^t timesf(k)`````(0 <t le1)]

이다.

(다) 열린구간 [eqn: (0,```8)]에서 함수 [eqn: f(x)]가

미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2]이다.

▷ [별 쓰레기 같은 문제를 다 내네.]라는 생각이

들었던 문항. 망가지는 평가원의 서막이랄까.

조건을 해석해보면 [eqn: f(x)]로 두 가지 형태가

가능하다. 두 가지 경우의 적분값을 구해보는

것이 보통. 시험 때는.. 나도 틀렸어.

				42

	수학 영역

[2015학년도 수능 9번]

함수 [eqn: f(x)= { 1} over {x }]에 대하여 [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n f left(1+ { 2k} over {n }right) { 2} over {n }]의
값은?

②

① [eqn: ln2]	② [eqn: ln3]	③ [eqn: 2ln2]

④ [eqn: ln5]	⑤ [eqn: ln6]

▷ 은근히 많이 나왔단 말이야.

[eqn: 1+{ 2k} over { n}=x]로 바꿀 수 있으면 좋고. 아님 말고.

[2015학년도 수능 28번]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=int_0 ^x (a-t)e^t dt]의 최댓값이
[eqn: 32]이다. 곡선 [eqn: y=3e^x]과 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: y=3]으로 둘러싸인
부분의 넓이를 구하여라.

[eqn: 96]

▷ [eqn: a]의 값을 딱 구할 수는 없다. 답은 나온다.

어? [2020학년도 수능 30번]하고 비슷하네?

[2015학년도 9월 13번]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고
중심각의 크기가 [eqn: { pi} over 2{ }]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 자연수 [eqn: n]에
대하여 호 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2n]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을
차례로 [eqn: rmP_0 (=A)], [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: cdots], [eqn: {rmP}_2n-1], [eqn: {rmP}_2n (=rmB)]라 하자.
주어진 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_k]([eqn: 1 le k le n])을 삼각형
[eqn: {rmOP}_n-k {rmP}_n+k]의 넓이라 할 때, [eqn: lim_n->inf { 1} over {n }sum_k=1 ^n S_k]의 값은?

①

① [eqn: { 1} over { pi}]	② [eqn: { 13} over {12pi }]	③ [eqn: {7} over {6 pi }]

④ [eqn: {5} over {4pi }]	⑤ [eqn: {4} over {3 pi }]

▷ 두 칸씩 벌어져서 헷갈릴 수 있겠네.

				42

	수학 영역

[2015학년도 9월 30번]

양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수
[eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int_{ { 7} over {2 }}^ {{11 } over {2 }} { f(x)} over {x }dx= { q} over {p }]라 할 때, [eqn: { p+q}]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)>0]이다.

(나) 임의의 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 세 점 [eqn: (0,```0)],

[eqn: (t,```f(t))], [eqn: (t+1,```f(t+1))]을 꼭짓점으로 하는

삼각형의 넓이가 [eqn: { t+1 } over {t }]이다.

(다) [eqn: int_1 ^2 { f(x)} over {x }dx=2]

[eqn: 127]

▷ 중간에 턱 막히기 좋은 문항. (나)의 식에서

[구간을 [eqn: +1]씩 민다.]를 발견하면 털린다.

일단 푸는 방법을 하나 제시해줄게.

(나)의 식을 [eqn: t=1]부터 [eqn: t=x]까지 정적분 걸어라.

[2015학년도 6월 9번]

함수 [eqn: y=e^x]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x=1]로
둘러싸인 영역의 넓이가 직선 [eqn: y=ax]([eqn: 0<a<e])에 의하여
이등분될 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

③

① [eqn: e- { 1} over {3 }]	② [eqn: e- {1} over {2}]	③ [eqn: e-1]

④ [eqn: e- {4} over {3}]	⑤ [eqn: e- {3} over {2}]

▷ 구간 찢을 필요 없고.

[2014학년도 9월 14번]

그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점의 좌표가 [eqn: \O (0,```0)],
[eqn: \A left( it 2^n ,```0 right)], [eqn: {\B} left(2^n ,```2^n right)], [eqn: {\C} left(0, ```2^n right)]인 정사각형 [eqn: \OABC]와 그
내부는 두 곡선 [eqn: y=2^x], [eqn: y=log_2 x]에 의하여 세 부분으로
나뉜다. [eqn: n=3]일 때 이 세 부분 중 색칠된 부분의
넓이는?

②

① [eqn: 14 + 12 over {ln2}]	② [eqn: 16+ 14 over {ln2}]	③ [eqn: 18+ 16 over {ln2}]

④ [eqn: 20+ 18 over {ln2}]	⑤ [eqn: 22+ 20 over {ln2}]

▷ 두 부분이 같아 보이는데,

어느 쪽이 덜 귀찮을까.

				42

	수학 영역

[2014학년도 수능 21번]

연속함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고,
모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)= pi over2 int _{ 1} ^{x+1 } {f(t) dt}]

이다. [eqn: f(1)=1]일 때, [eqn: pi^2 int _{ 0} ^{ 1} { x f(x+1) dx}]의 값은?

①

① [eqn: 2 (pi -2)]	② [eqn: 2pi-3]	③ [eqn: 2 (pi -1)]

④ [eqn: 2pi -1]	⑤ [eqn: 2pi]

▷ 말리는 방향이지만 구하는 정적분에서

[eqn: x+1]을 치환하고 싶기도 하다. 풀리는 방향은,

[부분적분을 하고 싶다.]라는 생각에서부터.

[2014학년도 9월 30번]

두 연속함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

[eqn: g left(e^x right) = cases{f(x)&(0 le x<1) # g`left(e^x-1 right)+5 &(1 le x le 2)]

를 만족시키고, [eqn: int_1 ^e^2 g(x)dx=6e^2 +4]이다.
[eqn: int _{1} ^{e} {f(lnx)}dx =ae+b]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이다.)

[eqn: 17]

▷ 원래 정적분의 연산 문제는 어디서부터

건드려야 하는 지가 고민스럽다.

결과론적으로, [eqn: g(x)]로 돌리는 것이 좋다.

[eqn: g(e ^{x} )]에서 [eqn: e ^{x} =t]로 나타내는 것부터 시작해보자.

				42

	수학 영역

[2014학년도 6월 9번]

점 [eqn: rmA(1,```0)]을 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l]이 곡선
[eqn: y=2 sqrt { x}]와 만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]에서 내린 수선의 발을 [eqn: rmC],
직선 [eqn: l]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmbarAB :barAD =3:1]일
때, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하자. [eqn: x]축, 직선 [eqn: x=a], 곡선
[eqn: y=2 sqrt { x}]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜
생기는 회전체의 부피는?

①

① [eqn: 32pi]	② [eqn: 33pi]	③ [eqn: 34pi]

④ [eqn: 35pi]	⑤ [eqn: 36pi]

▷ 무의미하게 직선 [eqn: l]을 정의한 것은,

원래 세트형 문항이라서 그렇다.

회전체지만 간단한 문항이니 풀어두자.

[2014학년도 6월 27번]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {1+x}]에 대하여

[eqn: F(x)=int _{0} ^{x} tf(x-t)dt] ([eqn: x ge0])

일 때, [eqn: F`'(a)=ln10]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을
구하여라.

[eqn: 9]

▷ 일단 [eqn: x-t]를 치환하는 각.

변수, 상수 헷갈릴 수 있다. 치환 정확하게.

[eqn: f(x-t)= {1} over {1+x-t}]를 넣고 풀 수 있다.

어렵게 푸는 방법이다.

				42

	수학 영역

[2014학년도 6월 18번]

함수 [eqn: f(x)=e^x]이 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여
닫힌구간 [eqn: [1,```2]]를 [eqn: n]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을
차례로

[eqn: 1=x_0], [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots], [eqn: x_n-1], [eqn: x_n =2]

라 하자. 세 점 [eqn: (0,``0)], [eqn: (x_k ,``0)], [eqn: (x_k ,``f(x_k ))]를 꼭짓점으로
하는 삼각형의 넓이를 [eqn: A_k]([eqn: k=1,``2,``cdots,``n])이라 할 때,
[eqn: lim_n->inf { 1} over {n }sum_k=1 ^n A_k]의 값은?

③

① [eqn: { 1} over {2 }e^2 -e]	② [eqn: { 1} over {2 }(e^2 -e)]	③ [eqn: { 1} over {2 }e^2]

④ [eqn: e ^{2} -e]	⑤ [eqn: e ^{2} - {1} over {2} e]

▷ [eqn: A _{k}]를 [eqn: {k} over {n}]에 대한 함수로 나타내야겠네.

[2013학년도 수능 12번]

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) = e^x^2 + int_{0} ^{1}tf(t) dt]를
만족시킬 때, [eqn: int_{0} ^{1} xf(x)dx]의 값은?

④

① [eqn: e-2]	② [eqn: e-1 over 2]	③ [eqn: e over 2]

④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: e+1 over 2]

▷ [정적분과 항등식 타입Ⅰ]이다.

양 변 미분했다가 산으로 간다.

				42

	수학 영역

[2013학년도 9월 24번]

두 곡선 [eqn: y= {1} over {sqrt {x}}], [eqn: y= sqrt {{ln`x} over {x}}]와 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인
부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 [eqn: V`]이다.
[eqn: { 100V} over { pi }]의 값을 구하여라.

[eqn: 50``]

▷ 빼서 제곱하면 안 돼.

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} - LEFT { g(x) RIGHT } ^{2}!= left{f(x)-g(x)right}^2]

[2013학년도 6월 10번]

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int_0^x f(t) dt = e^x + ax + a]

를 만족시킬 때, [eqn: f (ln2)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

①

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: e``]

④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: 2e``]

▷ 대입하고 미분하고.

				42

	수학 영역

[2013학년도 6월 19번]

사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( m+ {k} over {n} RIGHT ) <0]

을 만족시키는 정수 [eqn: m]의 개수는?

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▷ 그냥 잘 바꾸면.

[2012학년도 수능 16번]

그림에서 두 곡선 [eqn: y = e^x], [eqn: y = xe^x]과 [eqn: y]축으로 둘러싸인
부분 [eqn: A]의 넓이를 [eqn: a], 두 곡선 [eqn: y = e^x], [eqn: y = xe^x]과 직선
[eqn: x = 2]로 둘러싸인 부분 [eqn: B]의 넓이를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: b - a]의
값은?

③

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: e - 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: e]

▷ [eqn: b+a]는 짜증날 것 같은데, [eqn: b-a]는 간단하네.

				42

	수학 영역

[2012학년도 수능 28번]

함수 [eqn: f(x)=3(x-1) ^{2} +5]에 대하여 함수 [eqn: F(x)]를

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {} f(t)dt]

라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: F(g(x))= {1} over {2} F(x)]를 만족시킨다. [eqn: g prime (2)=p]일 때, [eqn: 30p]의
값을 구하여라.

[eqn: 24]

▷ 미분하기 전 [eqn: g(2)]를 구하기 위한 조사.

미분하고 대입. 미분은 그냥 합성함수 미분법으로.

[2012학년도 9월 16번]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x`sinx````` LEFT ( 0 LEQ x LEQ {pi } over {2} RIGHT )]에 대하여
이 곡선과 [eqn: x]축, 직선 [eqn: x=k]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A],
이 곡선과 직선 [eqn: x=k], 직선 [eqn: y= {pi } over {2}]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라
하자. [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 같을　때, 상수 [eqn: k]의 값은?
(단, [eqn: 0 LEQ k LEQ {pi } over {2}])

③

① [eqn: {pi } over {4} - {1} over {pi }]	② [eqn: {pi } over {4}]	③ [eqn: {pi } over {2} - {2} over {pi }]

④ [eqn: {pi } over {4} + {1} over {pi }]	⑤ [eqn: {pi } over {2} - {1} over {pi]

▷ 오른쪽 아래 도형을 양쪽에 붙여도 좋고,

생각하기 싫으면 그냥 풀어도 좋고.

				42

	수학 영역

[2012학년도 9월 20번]

구간 [eqn: LEFT [ 0,``` {pi } over {2} RIGHT ]]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값은?

④

(가) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =1]

(나) [eqn: cos`x` int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sinx` int _{x} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

(단, [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}])

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

▷ 말리기 좋은 문제. (나)에 [eqn: x=0], [eqn: x= { pi} over {2 }]을

대입했다가 받는 내상이 심하다.

미분은 하긴 해야겠고, 대입도 하긴 해야겠지?

[2012학년도 6월 18번]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 곡선 [eqn: y=(lnx) ^{n} (x ge 1)]과
[eqn: x]축, [eqn: y]축 및 [eqn: y=1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하자.
보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: 1 le x lee]일 때, [eqn: (ln x )^n ge (ln x )^n+1]이다.

ㄴ. [eqn: S_n < S_n+1]

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)= (ln x )^n (x ge1)]의 역함수를

[eqn: g(x)]라 하면 [eqn: S_n = int _{ 0} ^{ 1} {g(x) }dx]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 대충. 옛날 문항들은 참 쉽다.

				42

	수학 영역

[2012학년도 6월 19번]

정의역이 [eqn: LEFT { `x`LEFT | `x>-1 RIGHT }]인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f`'(x)= 1 over {(1+x^3 )^2 }]이고, 함수 [eqn: g(x)= x^2]일 때,

[eqn: int _{ 0} ^{1 } {f(x) g'(x) dx } = 1 over6]

이다. [eqn: f(1)]의 값은?

④

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 2 over 9]	③ [eqn: 5 over 18]

④ [eqn: 1 over3]	⑤ [eqn: 7 over 18]

▷ [eqn: f`'(x)]와 [eqn: g(x)]를 가지고 있다.

[eqn: f(x)g'(x)]를 적분하려면?

[2011학년도 수능 28번]

실수 전제의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다.
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2x)=2f(x)f`'(x)]이고, [eqn: f(a)=0],
[eqn: int _{2a} ^{4a} {{f(x)} over {x}} dx=k(a>0,```0<k<1)]일 때, [eqn: int _{ a} ^{2a } {{left{f(x) right}^2 }over x^2 }dx]의
값을 [eqn: k]로 나타낸 것은?

④

① [eqn: k^2 over4]	② [eqn: k^2 over2]	③ [eqn: k^2]

④ [eqn: k]	⑤ [eqn: 2k]

▷ 어디서부터 시작하지? 일단 구간은 맞춰야겠고..

[eqn: left{f(x)right}^2]의 미분이 [eqn: 2f(x)f`'(x)]인 것에 착안.

				42

	수학 영역

[2011학년도 수능 29번]

실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 다음 조건을
만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx}]의
최솟값은?

③

(가) [eqn: f(0)=1], [eqn: f `prime (0)=1]

(나) [eqn: 0<a<b<2]이면 [eqn: f `prime (a) LEQ f` prime (b)]이다.

(다) 구간 [eqn: LEFT ( 0,```1 RIGHT )]에서 [eqn: f `'' LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x}]이다.

① [eqn: {1} over {2} `e-1]	② [eqn: {3} over {2} `e-1]	③ [eqn: {5} over {2} `e-1]

④ [eqn: {7} over {2} `e-2]	⑤ [eqn: {9} over {2} `e-2]

▷ 최대한 아래쪽으로 붙여야겠지?

엄밀하게 다룰 필요는 없다.

[2011학년도 9월 11번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 있다.
[eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]을
[eqn: n]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례대로

[eqn: 0=x _{0} ,```x _{1} ,```x _{2} ,``` CDOTS ,```x _{n-1} ,```x _{n} =1]

이라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른
것은?

②

<보 기>

ㄱ. [eqn: n=2m]([eqn: m]은 자연수)이면

[eqn: sum _{k=0} ^{m-1} {f LEFT ( x _{2k} RIGHT )} over {m} le sum _{k=0} ^{n-1} {f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {n}]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{n->inf} {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} LEFT { {f LEFT ( x _{k-1} RIGHT ) +f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {2} RIGHT } = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}]

ㄷ. [eqn: sum _{k=0} ^{n-1} {f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {n}le int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} le sum _{k=1} ^{n} {f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

▷ [[eqn: 2n]등분], [사다리꼴합], [왼쪽합]이다. 정리해두자.

				42

	수학 영역

[2011학년도 9월 28번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{2} {xf LEFT ( tx RIGHT ) dx} =4t ^{2}]을 만족시킬 때,
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ [eqn: tx]를 치환해야 한다. 개헷갈림.

[eqn: t]에 대한 항등식을 줘서 헷갈림 더블.

[2010학년도 수능 21번]

함수 [eqn: f(x) =x^2 +ax+b(a ge0 ,```b > 0)]가 있다. 그림과
같이 [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]을
[eqn: n]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로

[eqn: 0=x_0 ,```x_1 ,```x_2 ,```cdots ,```x_{n-1} ,```x_n =1]

이라 하자. 닫힌 구간 [eqn: [x_{k-1} ,```x_k ]]를 밑변으로 하고 높이가
[eqn: f(x_k )]인 직사각형의 넓이를 [eqn: A_k]라 하자. ([eqn: k=1,```2,```cdots ,```n])
양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이

[eqn: A_1 + A_ n = {7n^2 + 1} over n^3]

일 때, [eqn: lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n } {8k} over n A_k }]의 값을 구하여라.

[eqn: 14]

▷ (거의) 항등식 [eqn: A_1 + A_ n = {7n^2 + 1} over n^3]에서

함수 [eqn: f(x)]를 구할 수 있다.

				42

	수학 영역

[2010학년도 수능 29번]

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 두 함수
[eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]에 대하여 정적분

[eqn: int from 0 to 1 left{ f`'(x) g(1-x ) - g'(x) f(1-x) right} dx]

의 값을 [eqn: k]라 하자. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로
고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: int from 0 to 1 left{ f(x) g'(1-x ) - g(x) f`'(1-x) right} dx = -k]

ㄴ. [eqn: f(0) = f(1)]이고 [eqn: g(0) = g(1)]이면 [eqn: k = 0]이다.

ㄷ. [eqn: f(x) = ln (1+ x^4 )]이고 [eqn: g(x) = sin pi x]이면

[eqn: k = 0]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 여러 접근이 가능해서 시작이 망설여진다.

부분적분각이나 [eqn: 1-x] 치환 정도가 당기는데..

아무거나 해보고 아니면 반대 쪽 해야지 뭐.

[2010학년도 9월 21번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 양수
[eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{ 0} ^{x } {(x-t) left {f (t) right}^2 dt=6 } int _{ 0} ^{1 } {x^3 (x-t)^2 dt }]

를 만족시킨다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: x=1], [eqn: x]축, [eqn: y]축으로
둘러싸인 도형을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의
부피를 [eqn: a pi]라 할 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

▷ 좌변 미분 한 번에 할 수 있지? 수2 내용.

회전체의 부피 색이 짙어서 뺄까 싶긴 했다.

				42

	수학 영역

[2010학년도 9월 28번]

함수 [eqn: f(x)=INT _{ 0}^{ x} 1over{1+t^6}dt]에 대하여 상수 [eqn: a]가
[eqn: f(a)= 1over2]을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{a} {} {e ^{f(x)}} over {1+x ^{6}} dx]의 값은?

②

① [eqn: {sqrt e -1}over2]	② [eqn: sqrt e -1`]	③ [eqn: 1`]
④ [eqn: {sqrt e +1}over2]	⑤[eqn: sqrt e +1`]

▷ [eqn: f`'(x)=]     이다. 치환각 바로 잡히네.

[2010학년도 9월 29번]

함수 [eqn: f`(x)= sin x^2 over 2]에 대한 설명으로 옳은 것만을
보기에서 있는 대로 고른 것은?

④

<보 기>

ㄱ. [eqn: 0<x<1]일 때, [eqn: x^2 sin x^2 over2 < f`(x)<cos x^2 over2]이다.

ㄴ. 구간 [eqn: (0,```1)]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 위로

볼록하다.

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {} f(x)dx LEQ {1} over {2} `sin {1} over {2}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

▷ 니은은 디귿의 힌트.

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	수학 영역

[2009학년도 수능 27번]

닫힌구간 [eqn: [0,```1]]에서 정의된 연속함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: f`(0)=0],
[eqn: f`(1)=1]이며, 열린구간 [eqn: (0,```1)]에서 이계도함수를 갖고
[eqn: f` prime (x)>0], [eqn: f`''(x)>0]일 때, [eqn: int _0 ^1 {LEFT { f ^{-1} (x)-f`(x) RIGHT } dx}]의 값과
같은 것은?

②

① [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n left{ { k} over {n }-f left( { k} over {n }right)right} { 1} over { 2n}]	② [eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {2} over {n}]

③ [eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {n}]	④ [eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {2n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {n}]

⑤ [eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT { {2k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {n}]

▷ 함수, 역함수의 그래프와 직선 [eqn: y=x]의 관계.

[2009학년도 수능 29번]

함수 [eqn: f`(x)]를

[eqn: f`(x)= int _{a} ^{x} {} LEFT { 2+sin(t ^{2} ) RIGHT } dt]

라 하자. [eqn: f`''(a)=SQRT { 3}a]일 때, [eqn: (f^{-1} )'(0)]의 값은?
(단, [eqn: a`]는 [eqn: 0<a<SQRT { {pi}over {2}}]인 상수이다.)

④

① [eqn: {1}over {10}]	② [eqn: {1}over {5}]	③ [eqn: {3}over {10}]

④ [eqn: {2}over {5}]	⑤ [eqn: {1}over {2}]

▷ 깔끔한 문항. 그냥 차분하게.

역함수 미분하기 전에 대응값부터.

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	수학 영역

[2009학년도 9월 11번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

세 수 [eqn: A=f` prime (0)], [eqn: B=f(1)], [eqn: C=2 int_0 ^1 f(x)dx]의 대소 관계를
옳게 나타낸 것은?

(가) [eqn: f(0)=0]

(나) [eqn: 0<x<y<1]인 모든 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: 0<xf(y)<yf(x)]

④

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]	③ [eqn: B<A<C]

④ [eqn: B<C<A]	⑤ [eqn: C<A<B]

▷ (나)에서 기울기 모양을 잡아서 볼록성 확인.

준 식들을 [같은 차원]으로 가져가야겠는데..

[2009학년도 9월 28번]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y={xe^x^2} over {e^x^2 +1}]과 직선 [eqn: y={2} over {3} x]로
둘러싸인 두 부분의 넓이의 합은?

①

① [eqn: {5}over {3}` ln2 -ln3]	② [eqn: 2ln3 - {5}over {3}` ln2]	③ [eqn: {5}over {3}` ln2 +ln3]

④ [eqn: 2ln3 + {5}over {3}` ln2]	⑤ [eqn: {7}over {3}` ln2 -ln3]

▷ 적당한 개형. 대칭성(우기성)을 체크하면 조아.

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