기출문제 다잡기

평가원의 수준

[미분법]

5A ACADEMY

SOOHAN

	수학 영역

[2023학년도 수능 미적분 28번]

그림과 같이 중심이 [eqn: rm{O}it]이고 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm{AB}it]를
지름으로 하는 반원 위에 [eqn: ANGLE rm{AOC}it={pi} over {2}]인 점 [eqn: rm{C}it]가 있다.
호 [eqn: rm{BC}it] 위에 점 [eqn: rm{P}it]와 호 [eqn: rm{CA}it] 위에 점 [eqn: rm{Q}it]를 [eqn: bar{rm{PB}it}=bar{rm{QC}it}]가
되도록 잡고, 선분 [eqn: rm{AP}it] 위에 점 [eqn: rm{R}it]를 [eqn: ANGLE rm{CQR}it={pi} over {2}]가
되도록 잡는다. 선분 [eqn: rm{AP}it]와 선분 [eqn: rm{CO}it]의 교점을 [eqn: rm{S}it]라 하자.
[eqn: ANGLE rm{PAB}it=theta]일 때, 삼각형 [eqn: rm{POB}it]의 넓이를 [eqn: f(theta)],
사각형 [eqn: rm{CQRS}it]의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta rarrow 0+} {3 f(theta)-2 g(theta)} over {theta^{2}}]의
값은? (단, [eqn: 0<theta<{pi} over {4}])

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 가장 중요한 것은 저 직각        표시.

나머지는 적당한 보조선을 찾을 수 있을 듯.

근사 쳤다가 망하게 냈다는 것이 또 하나 포인트.

[2023학년도 수능 미적분 30번]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 함수
[eqn: g(x)=e^{ {sin} pi x}-1]에 대하여 실수 전체의 집합에서
정의된 합성함수 [eqn: h(x)=g(f(x))]가 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: f(3)={1} over {2}], [eqn: f`'(3)=0]일 때, [eqn: f(2)={q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: 0]을 갖는다.

(나) 열린구간 [eqn: (0,```3)]에서 방정식 [eqn: h(x)=1]의

서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 7]이다.

[eqn: 31]

▷ 합성함수의 그래프 다뤄봤으면 별 문제 없었을 듯.

극점 딱딱 주고 해서 쉬운 편. (30번 치고)

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	수학 영역

[2023학년도 9월 미적분 28번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가
[eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여
[eqn: rm{bar{PA}} = {bar{PC}} = {bar{PD}}]가 되도록 호 [eqn: rmPB] 위에 점 [eqn: rmC]와 선분 [eqn: rmOA]
위에 점 [eqn: rmD]를 잡는다. 점 [eqn: rmD]를 지나고 선분 [eqn: rmOP]와
평행한 직선이 선분 [eqn: rmPA]와 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자.
[eqn: rmANGLE POA=theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmCDP]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )],
삼각형 [eqn: rmEDA]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자.
[eqn: lim _{theta->0+} {{g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}}]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {4}])

④

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

▷ 닮음 중심으로 냈네. 자주 하던 짓은 아닌데.

[2023학년도 9월 미적분 29번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +x]가 있다. 양수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( t,```0 RIGHT )]과
점 [eqn: LEFT ( x,```f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )] 사이의 거리가 [eqn: x=s]에서 최소일 때,
실수 [eqn: f LEFT ( s RIGHT )]의 값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 역함수를
[eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: h`' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 3]

▷ 기본은 [음함수로 나타난 함수의 기울기]인데,

[eqn: 2]단계 변수에 합성함수와 역함수까지 좀 복잡하게

출제되었다. 함수를 도식화시켜 이해할 것.

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	수학 영역

[2023학년도 6월 미적분 24번]

곡선 [eqn: x ^{2} -y lnx+x=e] 위의 점 [eqn: LEFT ( e,```e ^{2} RIGHT )]에서의 접선의
기울기는?

①

① [eqn: e+1]	② [eqn: e+2]	③ [eqn: e+3]

④ [eqn: 2e+1]	⑤ [eqn: 2e+2]

▷ 음함수의 미분법.

[2023학년도 6월 미적분 25번]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +2x+3]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
[eqn: g'(3)]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

▷ 역함수의 미분법.

[2023학년도 6월 미적분 28번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1 over 2]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
함수 [eqn: g(x)]가

[eqn: g(x) =][eqn: cases{ln |f(x)|&```(f(x) ne 0)#1&```(f(x)=0)}]

이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 [eqn: g(x)`]의 극솟값은?

⑤

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x ne 1]인 모든 실수 [eqn: x]에서

연속이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x= 2]에서 극대이고,

함수 [eqn: |g(x)|]는 [eqn: x= 2]에서 극소이다.

(다) 방정식 [eqn: g(x) = 0]은 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 3]이다.

① [eqn: ln 13 over 27]	② [eqn: ln 16 over 27]	③ [eqn: ln 19 over 27]

④ [eqn: ln 22 over 27]	⑤ [eqn: ln 25 over 27]

▷ 간단한 함성함수의 그래프?

[eqn: y=f(x)]의 그래프 개형에서부터

[eqn: y=g(x)]의 그래프를 뽑아볼 것.

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	수학 영역

[2023학년도 6월 미적분 29번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가
[eqn: pi over2]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에서 선분
[eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, [eqn: rm angle OAP]를
이등분하는 직선과 세 선분 [eqn: rmHP], [eqn: rmOP], [eqn: rmOB]의 교점을
각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 하자. [eqn: rmangle APH = theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmAQH]의
넓이를 [eqn: f(theta)], 삼각형 [eqn: rmPSR]의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 하자.
[eqn: lim_{theta ->0+} {theta^3 timesg(theta)} over f(theta) =k]일 때, [eqn: 100k]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: 0<theta< pi over4])

[eqn: 50]

▷ 각을 이상한데 주니까 헷갈리잖아. 일단 [eqn: rmanglePOB]부터.

삼각형 [eqn: rmPSR]의 세 변이 다 떠다니는 느낌이라 골치 아프다.

일단 보이는 풀이는 삼각형 [eqn: rmOPS]의 넓이에     배 하는 것.

[2023학년도 6월 미적분 30번]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)= {x ^{2} -ax} over {e ^{x}}]

이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[eqn: f(x)=f`'(t)(x-t)+f(t)]

의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자.
[eqn: g(5)+ lim _{t rarrow 5} {g(t)=5}]일 때, [eqn: lim _{t rarrow k-} {g(t)!= lim _{t rarrow k+} {g(t)}}]를
만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: {q} over {p}]이다.
[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인
자연수이다.)

[eqn: 16]

▷ 유치한 30번. 학생이 만든 문제인줄.

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	수학 영역

[2022학년도 수능 미적분 24번]

실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f left ( x^3 + x right ) = e^x]을 만족시킬 때,
[eqn: f`'(2)]의 값은?

④

① [eqn: e]	② [eqn: e over 2]	③ [eqn: e over 3]

④ [eqn: e over 4]	⑤ [eqn: e over 5]

▷ 합성함수의 미분법. 도식화시켜서 해보자.

[2022학년도 수능 미적분 28번]

함수 [eqn: f(x) = 6pi (x-1)^2]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = 3f(x) +4cos f(x)]라 하자. [eqn: 0 < x <2]에서 함수
[eqn: g(x)]가 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는?

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 합성함수의 증감.

따로 공부를 좀 안해뒀으면 어려웠을 듯.

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	수학 영역

[2022학년도 수능 미적분 29번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는
반원이 있다. 호 [eqn: rm AB] 위에 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 [eqn: rm angle PAB= theta],
[eqn: rm angle QBA= 2 theta]가 되도록 잡고, 두 선 분 [eqn: rmAP], [eqn: rmBQ]의 교점을
[eqn: rmR]라 하자. 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmS], 선분 [eqn: rmBR] 위의 점 [eqn: rmT],
선분 [eqn: rmAR] 위의 점 [eqn: rmU]를 선분 [eqn: rm UT]가 선분 [eqn: rmAB]에 평행하고
삼각형 [eqn: rmSTU]가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 [eqn: rmAR],
[eqn: rmQR]와 호 [eqn: rmAQ]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f( theta )], 삼각형
[eqn: rmSTU]의 넓이를 [eqn: g(theta )]라 할 때, [eqn: lim _{ theta rarrow 0+ } { g(theta ) } over {theta times f(theta )} = q over p sqrt3]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0< theta < pi over6]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는
서로소인 자연수이다.)

[eqn: 11]

▷ 변의 길이 설정. 또는 사인 법칙.

직각삼각형 찾기는 없어지나보다.

난이도는 좀 있는 듯.

[2022학년도 9월 미적분 24번]

[eqn: 2cos alpha=3sin alpha]이고 [eqn: tan LEFT ( alpha+ beta RIGHT ) =1]일 때, [eqn: tan beta]의 값은?

②

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

▷ 삼각함수의 덧셈정리.

[2022학년도 9월 미적분 25번]

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선

[eqn: x=e ^{t} -4e ^{-t}],   [eqn: y=t+1]

에서 [eqn: t=ln2]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

▷ 매개변수 미분법.

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	수학 영역

[2022학년도 9월 미적분 29번]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= LEFT { f(x)+2 RIGHT } e ^{f(x)}]이
다음 조건을 만족시킨다.

방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,
[eqn: LEFT ( alpha-beta RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

(가) [eqn: f(a)=6]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a]에서

최댓값을 갖는다.

(나) [eqn: g(x)]는 [eqn: x=b], [eqn: x=b+6]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: 24]

▷ 간격만 물어본 문항. 어째 여러번 당해 본 것 같은디.

[2022학년도 9월 미적분 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 9]인 삼차함수 [eqn: f left ( x right )]가 다음 조건을
만족시킨다.

함수 [eqn: g left ( x right )]는 [eqn: 0 le x < 1]일 때 [eqn: g left ( x right ) = f left ( x right )]이고 모든 실수
[eqn: x]에 대하여 [eqn: g left ( x +1 right ) = g left ( x right )]이다. [eqn: g left ( x right )]가 실수 전체의
집합에서 연속일 때, [eqn: int_0 ^5 x g left ( x right ) dx = q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: lim_x->0 { sin left ( pi times f left ( x right ) right )} over x = 0]

(나) [eqn: f left ( x right )]의 극댓값과 극솟값의 곱은 [eqn: 5]이다.

[eqn: 115]

▷ 열심히 만들긴 했는데, 일차원적이지 않남?

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	수학 영역

[2022학년도 6월 미적분 25번]

원점에서 곡선 [eqn: y=e ^{|x|}]에 그은 두 접선이 이루는
예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tantheta]의 값은?

④

① [eqn: {e} over {e ^{2} +1}]	② [eqn: {e} over {e ^{2} -1}]	③ [eqn: {2e} over {e ^{2} +1}]

④ [eqn: {2e} over {e ^{2} -1}]	⑤ [eqn: 1]

▷ 덧셈정리 정확하게.

[2022학년도 6월 미적분 27번]

두 함수

[eqn: f(x)=e ^{x}],   [eqn: g(x)=k`sinx]

에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 서로 다른 양의 실근의
개수가 [eqn: 3]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

④

① [eqn: sqrt {2} e ^{{3pi} over {2}}]	② [eqn: sqrt {2} e ^{{7pi} over {4}}]	③ [eqn: sqrt {2} e ^{2pi}]

④ [eqn: sqrt {2} e ^{{9pi} over {4}}]	⑤ [eqn: sqrt {2} e ^{{5pi} over {2}}]

▷ 여러가지로 풀어보자.

① [접한다.]를 이용하여.

② [eqn: {e ^{x}} over {sinx} =k]에서 [eqn: y= {e ^{x}} over {sinx}]를 그려서.

③ 사실 [eqn: {sinx} over {e ^{x}} = {1} over {k}]이 끊어지지 않아서 좋다.

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	수학 영역

[2022학년도 6월 미적분 28번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는
반원의 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmP]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을
[eqn: rmO]라 할 때, 점 [eqn: rmB]를 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 수직인 직선이
직선 [eqn: rmOP]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하고, [eqn: ANGLE rmOQB]의 이등분선이
직선 [eqn: rmAP]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. [eqn: ANGLE rm OAP= theta]일 때,
삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이를 [eqn: f( theta )], 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: g( theta )]라
하자. [eqn: lim _{theta `->` 0+} {`{g( theta )} over {theta ^{4} TIMES f( theta )}}]의 값은? [eqn: pile{ it#it }right(]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {4}][eqn: pile{ it#it} right)]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

▷ 삼각형 [eqn: rmPQS]에서 보면, 저 의미없는 이등분선은 뭘까?

삼각형 [eqn: rmPQR]에서 사인법칙 써보라는 것 같기도 하고.

[2022학년도 6월 미적분 29번]

[eqn: t> 2e]인 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = t (ln x)^2 - x^2]이
[eqn: x= k]에서 극대일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: g(t)]라 하면 [eqn: g(t)]는
미분가능한 함수이다. [eqn: g(alpha) = e^2]인 실수 [eqn: alpha]에 대하여
[eqn: alpha times left{ g'(alpha) right}^2 = q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 17]

▷ 예상되던 유형이라 크게 어렵지 않았을 듯.

				72

	수학 영역

[2022학년도 6월 미적분 30번]

[eqn: t> 1over2 rmln2]인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선
[eqn: y= ln (1+e^2x -e^-2t )]과 직선 [eqn: y=x+t]가 만나는
서로 다른 두 점 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 할 때,
[eqn: f`'(ln2)= q overp root2]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 11]

▷ [양함수로 나타나지 않는 함수의 기울기]를

한 시험지에 왜 2개 냈지 했더니, 인수분해가 되네.

양쪽으로 풀어보자.

[2021학년도 수능 7번]

함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x^2 -2x-7 RIGHT )e^x]의 극댓값과 극솟값을
각각 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: a TIMESb]의 값은?

①

① [eqn: -32]	② [eqn: -30]	③ [eqn: -28]

④ [eqn: -26]	⑤ [eqn: -24]

▷ [eqn: (이차)(지수)]는 많이 다뤄봤니?

[2021학년도 수능 24번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB}=2], [eqn: rm angle B = pi over2]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]에서
중심이 [eqn: rm A], 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 두 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC]와
만나는 점을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rm E]라 하자. 호 [eqn: rm DE]의 삼등분점 중
점 [eqn: rm D]에 가까운 점을 [eqn: rm F]라 하고, 직선 [eqn: rm AF]가 선분 [eqn: rm BC]와
만나는 점을 [eqn: rm G]라 하자. [eqn: rm angle BAG = theta]라 할 때, 삼각형
[eqn: rm ABG]의 내부와 부채꼴 [eqn: rm ADF]의 외부의 공통부분의 넓이를
[eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 부채꼴 [eqn: rm AFE]의 넓이를 [eqn: g left( theta right)]라 하자. [eqn: 40 times lim_{theta `->`0+}{f left(theta right)}over{g left( theta right)}]의
값을 구하여라. [eqn: pile{ it# it}right(]단, [eqn: 0 < theta< pi over6 pile{ it# it} right)]

[eqn: 60]

▷ 열심히 준비했는데, 시시하게 나와 버렸다.

				72

	수학 영역

[2021학년도 수능 28번]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]([eqn: a<b)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)=(x-a)(x-b) ^{2}]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)=x ^{3} +x+1]의 역함수 [eqn: g ^{-1} (x)]에
대하여 합성함수 [eqn: h(x)=(f CIRC g ^{-1} )(x)]가 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: f(8)]의 값을 구하여라.

[eqn: 72]

(가) 함수 [eqn: (x-1) LEFT | h(x) RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서

미분가능하다.

(나) [eqn: h'(3)=2]

▷ 2021학년도 수능에서 한 시험지에 합성함수

관련을 두 문항 출제했다. 얘는 합성함수를 많이

다뤄보지 않았어도 어영부영 풀 것 같지만.

[속함수의 [eqn: y]값이 겉함수의 [eqn: x]값]인데,

이건 아무리 정리해도 헷갈리지.

[2021학년도 수능 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 실수
전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( sin ^{2} `pi{x} RIGHT )]가 다음
조건을 만족시킨다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =a+b sqrt {2}]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

(가) [eqn: 0<x<1]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극대가 되는 [eqn: x]의

개수가 [eqn: 3]이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {1} over {2}]이고 최솟값은 [eqn: 0]이다.

[eqn: 29]

▷ [eqn: y=sin ^{2} pi x]의 [eqn: y]값을 삼차함수에 넣어보자.

극대점 [eqn: 3]개에, 극댓값이 모두 동일하게 뽑으면.

두 가지 케이스가 나오는데, 판별하기가 좀 짜증.

극대극소 차이 공식 [eqn: {|a|} over {2} (beta-alpha) ^{3}] 때리면 편하다.

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	수학 영역

[수능 예시문항 미적분 25번]

매개변수 [eqn: t]로 나타낸 곡선

[eqn: x=e ^{t} +2t],   [eqn: y=e ^{-t} +3t]

에 대하여 [eqn: t=0]에 대응하는 점에서의 접선이
점 [eqn: LEFT ( 10,```a RIGHT )]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 매개변수 미분법. 미적분 출제범위다.

[2021학년도 9월 7번]

매개변수 [eqn: t(t>0)]으로 나타내어진 함수 [eqn: x=lnt+t],
[eqn: y=-t^3 +3t]에 대하여 [eqn: dy over dx]가 [eqn: t=a]에서 최댓값을
가질 때, [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 1 over 4]

④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 1 over 2]

▷ [eqn: dy over dx]를 [eqn: t]에 대한 함수로 나타내면.

[수능 예시문항 미적분 28번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는
반원의 호 위에 점 [eqn: rmP]가 있고, 선분 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmQ]가 있다.
[eqn: angle{rmPAB}=theta]이고 [eqn: angle{rmAPQ}= {theta} over {3}]일 때, 삼각형 [eqn: rmPAQ]의 넓이를
[eqn: S LEFT ( theta RIGHT )], 선분 [eqn: rmPB]의 길이를 [eqn: l LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta->0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {l LEFT ( theta RIGHT )}}]의
값은? (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {4}])

③

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

▷ 사인법칙 각이죠?

확실히 2021학년도 도형 문항들은 이전 것들과

달랐다. 사인코사인법칙이 들어와서 그렇겠지.

				72

	수학 영역

[수능 예시문항 미적분 30번]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b LEFT ( b<1 RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-x ^{2} +ax&```LEFT ( x LEQ 0 RIGHT )# {ln LEFT ( x+b RIGHT )} over {x} &```LEFT ( x>0 RIGHT )}}]

이라 하자. 양수 [eqn: m]에 대하여 직선 [eqn: y=m`x]와 함수
[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를
[eqn: g LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( m RIGHT )]은 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: ab ^{2} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는
서로소인 자연수이고, [eqn: lim _{x->inf} {f LEFT ( x RIGHT ) =0}]이다.)

[eqn: lim _{m->alpha-} {g LEFT ( m RIGHT ) - lim _{m->alpha+} {g LEFT ( m RIGHT ) =1}}]을 만족시키는 양수 [eqn: alpha]가

오직 하나 존재하고, 이 [eqn: alpha]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( b,```f LEFT ( b RIGHT ) RIGHT )]는

직선 [eqn: y= alpha `x]와 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 교점이다.

[eqn: 5]

▷ 30번 치고는 살짝 쉬운 듯?

앞으로 이정도로 나올 것인지..

[2021학년도 9월 15번]

열린구간 [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} ,``` {pi } over {2} RIGHT )]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=ln LEFT ( {secx+tanx} over {a} RIGHT )]

의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자, [eqn: lim _{x rarrow -2} {{g(x)} over {x+2} =b}]일 때,
두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a>0])

③

① [eqn: {e ^{2}} over {4}]	② [eqn: {e ^{2}} over {2}]	③ [eqn: e ^{2}]

④ [eqn: 2e ^{2}]	⑤ [eqn: 4e ^{2}]

▷ 흐흥.

[eqn: int _{} ^{} {} secxdx= int _{} ^{} {} {secx tanx+sec ^{2} x} over {secx+tanx} dx]

를 냈는데, [eqn: a] 걸어서 다른 문제인 척 했네.

				72

	수학 영역

[2021학년도 9월 28번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는
반원이 있다. 선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm O]라 할 때, 호 [eqn: rm AB] 위에
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 교점을 [eqn: rm angle POA =theta], [eqn: rmangle QOB = it 2 theta]가 되도록
잡는다. 두 선분 [eqn: rmPB], [eqn: rmOQ]의 교점을 [eqn: rm R]라 하고, 점 [eqn: rm R]에서
선분 [eqn: rm PQ]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. 삼각형 [eqn: rm POR]의
넓이를 [eqn: f(theta)], 두 선분 [eqn: rmRQ], [eqn: rmRB]와 호 [eqn: rm QB]로 둘러싸인
부분의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 할 때,  [eqn: lim_theta->0+ {f(theta)+g(theta)}over {bar {rm RH}} = q over p]이다.
[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0<theta< pi over3]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는
서로소인 자연수이다.)

[eqn: 23]

▷ [eqn: rmbarRH] 하나 넣어놓으니 꽤 복잡해 보이네.

[eqn: rmbarRH]는 [eqn: rmbarPR]이나 [eqn: rmbarQR]에서부터 얻는다.

사인법칙을 때리기 좋은 문항이다.

[2021학년도 9월 30번]

다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의
최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.

[eqn: LEFT | M{times}m ^{3} RIGHT | = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: -e ^{-x+1} LEQ ax+b LEQ e ^{x-2}]

이 성립한다.

[eqn: 43]

▷ 깔끔하게 잘 만든 킬러문항.

그런데 표절 시비가 있더라구?

[eqn: y=ax+b]는 두 곡선 [eqn: y=-e ^{-x+1}]와 [eqn: y= e ^{x-2}]

사이의 직선. [eqn: ab]를 최대화/최소화 시키는 방법은?

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	수학 영역

[2021학년도 6월 10번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수
[eqn: x]에 대하여

[eqn: LEFT ( e^2x -1 RIGHT )^2 f LEFT ( x RIGHT )= a-4 cos pi over 2 x]

를 만족시킬 때, [eqn: a times f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: pi ^2 over 6]	② [eqn: pi ^2 over 5]	③ [eqn: pi ^2 over 4]

④ [eqn: pi^2 over 3]	⑤ [eqn: pi^2 over 2]

▷ 깔끔. 먼저, [eqn: x!=0]일 때 나눌 수 있다.

[2021학년도 6월 11번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x RIGHT )} over { LEFT ( e^x + 1 RIGHT )^2 }]라 하자. [eqn: f` ' LEFT ( 0 RIGHT ) - f LEFT ( 0 RIGHT )= 2]일 때,
[eqn: g ' LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?

③

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 3 over 8]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 5 over 8]	⑤ [eqn: 3 over 4]

▷ 요령에 따라 계산을 좀 줄일 수 있다.

뭐, 답만 나오면 되지만.

[2021학년도 6월 16번]

양수 [eqn: t]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: k]의
값을 [eqn: f(t)]라 하자.

함수 [eqn: f(t)]에 대하여 [eqn: lim_t->0+ f(t)]의 값은?

직선 [eqn: x=k]와 두 곡선 [eqn: y=e^{x over2}], [eqn: y= e^ { x over 2 +3t]이 만나는

점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하고, 점 [eqn: rmQ]를 지나고 [eqn: y]축에

수직인 직선이 곡선 [eqn: y=e^{x over2}]과 만나는 점을 [eqn: rmR]라

할 때, [eqn: rm bar PQ = bar QR]이다.

③

① [eqn: ln2]	② [eqn: ln3]	③ [eqn: ln4]

④ [eqn: ln5]	⑤ [eqn: ln6]

▷ 잘 읽고 시키는대로.

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	수학 영역

[2021학년도 6월 28번]

그림과 같이 [eqn: bar{rmAB}=1], [eqn: bar{rmBC}=2]인 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC]에
대하여 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM], 점 [eqn: rmM]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린
수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 중심이 [eqn: rmM]이고 반지름의 길이가
[eqn: bar{rmMH}]인 원이 선분 [eqn: rmAM]과 만나는 점을 [eqn: rmD], 선분 [eqn: rmHC]가
선분 [eqn: rmDM]과 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. [eqn: angle rm ABC=theta]라 할 때,
삼각형 [eqn: rmCDE]의 넓이를 [eqn: f(theta)], 삼각형 [eqn: rmMEH]의 넓이를
[eqn: g(theta)]라 하자. [eqn: lim_{theta->0+}{{f(theta)-g(theta)}over{theta^{3}}=a]일 때, [eqn: 80a]의 값을
구하여라. (단, [eqn: 0<theta<{pi}over{2}`])

[eqn: 15]

▷ 겹치는 부분 처리는

[2020학년도 6월 28번]

에서. 나머지는 전통적인 문항.

[2021학년도 6월 30번]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: 0 le x <3]일 때 [eqn: f(x)=left|x-1right|+left|x-2 right|]이고, 모든 실수
[eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+3)=f(x)]를 만족시킨다. 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= lim _{h -> 0+} {LEFT | {f(2 ^{x+h} )-f(2 ^{x} )} over {h} RIGHT | }]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값 중에서 열린구간 [eqn: (-5,```5)]에 속하는 모든 값을 작은 수부터
크기순으로 나열한 것을 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a_n]([eqn: n]은 자연수)라
할 때, [eqn: n+sum_{k=1}^{n}{{g(a_{k})}over{ln2}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 331]

▷ 아.. 그냥 쓰레기 같다.

가치를 부여하자면.. 좀 어렵긴 하다.

절댓값 처리가 사실 간단하지 않은데..

문제가 예쁘지 않아 화가 나서 설명 못하겠다.

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	수학 영역

[2020학년도 수능 2번]

[eqn: lim _{x->0} {} {6x} over {e ^{4x} -e ^{2x}}]의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 분모는 두 가지 방법으로 처리 가능하다.

① [eqn: e^2x]로 묶어서

② [eqn: (e^4x -1)-(e^2x -1)]로 변형해서

[2020학년도 수능 4번]

곡선 [eqn: x^2 -3xy +y^2 =x] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```0 RIGHT )]에서의 접선의
기울기는?

④

① [eqn: 1over12]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over4]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 5over12]

▷ 음함수의 미분법. 못 풀면 군대.

[2020학년도 수능 8번]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각
[eqn: t LEFT ( 0<t< {pi} over {2} RIGHT )]에서의 위치 [eqn: LEFT ( x,```y RIGHT )]가
[eqn: x=t+sint cost], [eqn: y=tant]이다. [eqn: 0<t< {pi } over {2}]에서
점 [eqn: rmP]의 속력의 최솟값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: root3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2root2]	⑤ [eqn: 2root3]

▷ 평면 위를 움직이는 점의 속력은

교과서에 있더라구.

[2020학년도 수능 10번]

곡선 [eqn: y=ax ^{2} -2sin2x]가 변곡점을 갖도록 하는 정수
[eqn: a]의 개수는?

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

▷ 틀리는 애들이 간혹 나올 것 같은데..

변곡점의 정확한 정의를 확인하자.

				72

	수학 영역

[2020학년도 수능 24번]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=sinx] 위의 점
[eqn: rmP][eqn: (t,```sint)(0<t< pi )]를 중심으로 하고 [eqn: x]축에 접하는 원을
[eqn: C]라 하자. 원 [eqn: C]가 [eqn: x]축에 접하는 점을 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmOP]와
만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. [eqn: lim _{t-> 0+} {rm {{bar{OQ}}} over {{bar{OR}}}} =][eqn: a+b sqrt {2}]일 때, [eqn: a+b]의
값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이다.)

[eqn: 2]

▷ [2020학년도 수능]에는 [도형과 극한]이 없었다.

원에 대한 상식 : [eqn: rmbarOR]을 구하기 위해서는

[2020학년도 수능 26번]

함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) e ^{-x}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가
미분가능하고

[eqn: g LEFT ( {x+8} over {10} RIGHT )=f`^-1 (x)],   [eqn: g(1)=0]

을 만족시킬 때, [eqn: LEFT | g prime (1) RIGHT |]의 값을 구하여라.

[eqn: 5]

▷ 합성함수를 도식화 시킨 그림에서도 풀어보자.

				72

	수학 영역

[2020학년도 수능 30번]

양의 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=t ^{3} ln LEFT ( x-t RIGHT )]가
곡선 [eqn: y=2e ^{x-a}]과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수
[eqn: a`]의 값을 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. [eqn: LEFT { f`' LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) RIGHT } ^{2}]의 값을 구하여라.

[eqn: 64]

▷ 괜찮았다.      가      가 된다는 것이

수능에서는 생소한 개념.

처음에 다룰 때 [2020학년도 6월 21번]의

잔영이 드리워져 심하게 삽질했는데, 비슷한

짓을 한 학생이 있을 듯. 선입견은 위험하다.

최근의 [30번] 중에서는 쉬웠다.

앞으로는 이 정도가 될 것인지?

[2020학년도 9월 8번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {ln`x} over {x ^{2}}]에 대하여 [eqn: lim _{h rarrow 0} {{f LEFT ( e+h RIGHT ) -f LEFT ( e-2h RIGHT )} over {h}}]의
값은?

⑤

① [eqn: - {2} over {e}]	② [eqn: - {3} over {e ^{2}}]	③ [eqn: - {1} over {e}]

④ [eqn: - {2} over {e ^{2}}]	⑤ [eqn: - {3} over {e ^{3}}]

▷ 미분계수식의 변형. 군대.

[2020학년도 9월 9번]

[eqn: pi over2 < theta < pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos theta= it- 3 over5]일 때,
[eqn: csc LEFT ( pi + theta RIGHT )]의 값은?

③

① [eqn: - 5 over2]	② [eqn: - {5} over {3}]	③ [eqn: - 5 over4]

④ [eqn: 5 over4]	⑤ [eqn: 5 over3]

▷ 여각변환. 군대.

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	수학 영역

[2020학년도 9월 11번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )= LEFT ( x^2 -3 RIGHT )e^{-x}]의 극댓값과 극솟값을 각각
[eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: a timesb]의 값은?

④

① [eqn: -12e^2]	② [eqn: -12e]	③ [eqn: -{ 12} over { e}]

④ [eqn: -{ 12} over { e^2}]	⑤ [eqn: -{ 12} over { e^3}]

▷ [eqn: (다항함수)times(지수함수)]다.

미분하기 전에 개형을 잡아보자.

[2020학년도 9월 13번]

양수 [eqn: k]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=ke ^{x} +1], [eqn: y=x ^{2} -3x+4]가
점 [eqn: rmP]에서 만나고, 점 [eqn: rmP]에서 두 곡선에 접하는 두 직선이
서로 수직일 때, [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: {1over{e}}]	② [eqn: {1over{e ^{2} }}]	③ [eqn: {2over{e ^{2} }}]

④ [eqn: {2over{e ^{3} }}]	⑤ [eqn: {3over{e ^{3} }}]

▷ 군대.

[2020학년도 9월 20번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가
[eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에서 선분
[eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 점 [eqn: rmP]에서 호 [eqn: rmAB]에 접하는
직선과 직선 [eqn: rmOA]의 교점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmQ]를 중심으로
하고 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rmQA}}]인 원과 선분 [eqn: rmPQ]의 교점을 [eqn: rmR]라
하자. [eqn: ANGLE rm POA= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmOHP]의 넓이를 [eqn: f( theta )],
부채꼴 [eqn: rmQRA]의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta ->0+} {{sqrt {g( theta )}} over {theta TIMES f( theta )}}]의
값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )]

④

① [eqn: {sqrt {pi }} over {5}]	② [eqn: {sqrt {pi }} over {4}]	③ [eqn: {sqrt {pi }} over {3}]

④ [eqn: {sqrt {pi }} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {pi }]

▷ 깔끔한 문항. 직각삼각형의 발견.

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	수학 영역

[2020학년도 9월 24번]

정의역이 [eqn: LEFT { x` LEFT | ` - {pi } over {4} <x< {pi } over {4} RIGHT }]인 함수 [eqn: f(x)=tan2x]의
역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: 100timesg'(1)]의 값을 구하여라.

[eqn: {25}]

▷ 역함수의 미분법. 군대.

[2020학년도 9월 26번]

함수 [eqn: f(x)=3sinkx+4x ^{3}]의 그래프가 오직 하나의
변곡점을 가지도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

[eqn: {2}]

▷ 변곡이 되려면 이계도함수가 [eqn: +]에서 [eqn: -]로,

또는 [eqn: -]에서 [eqn: +]로 바뀌어야 한다. 꼼꼼하게.

[2020학년도 6월 9번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2 ^{x}} over {ln2}]과 실수 전체의 집합에서 미분가능한
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

④

(가) [eqn: lim _{h-> 0} {} {g LEFT ( 2+4h RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {h} =8]

(나) 함수 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: x=2]에서의 미분계수는

[eqn: 10]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: log _{2} 3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: log _{2} 5]	⑤ [eqn: log _{2} 6]

▷ 지수함수의 미분법, 미분계수식의 변형,

합성함수의 미분법의 컴비네이션. 9번.

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	수학 영역

[2020학년도 6월 12번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin LEFT ( x+alpha RIGHT ) +2cos LEFT ( x+alpha RIGHT )]에 대하여
[eqn: f` prime LEFT ( {pi} over {4} RIGHT ) =0]일 때, [eqn: tanalpha]의 값은? (단, [eqn: alpha]는 상수이다.)

④

① [eqn: - {5} over {6}]	② [eqn: - {2} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: - {1} over {3}]	⑤ [eqn: - {1} over {6}]

▷ 펼치고 미분할까, 미분하고 펼칠까.

[2020학년도 6월 15번]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t(t >0)]에서의
위치 [eqn: (x,```y)]가

[eqn: x = 2 root{t +1}],   [eqn: y = t - ln (t +1)]

이다. 점 [eqn: rm P`]의 속력의 최솟값은?

⑤

① [eqn: root 3 over 8`]	② [eqn: root 6 over 8`]	③ [eqn: root3 over 4`]

④ [eqn: root6 over 4`]	⑤ [eqn: root3 over 2`]

▷ 그냥 계산.

[2020학년도 6월 16번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x RIGHT ) `cos`x} over {e ^{x}}]

라 하자. [eqn: g`' LEFT ( pi RIGHT ) =e ^{pi } g LEFT ( pi RIGHT )]일 때, [eqn: {f`' LEFT ( pi RIGHT )} over {f LEFT ( pi RIGHT )}]의 값은?
(단, [eqn: f LEFT ( pi RIGHT ) != 0])

④

① [eqn: e ^{-2 pi }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: e ^{- pi } +1]

④ [eqn: e ^{pi } +1]	⑤ [eqn: e ^{2 pi }]

▷ 접근에 따라 귀찮아질 수도 있겠네.

결국 별 것 아니지만.

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	수학 영역

[2020학년도 6월 21번]

함수 [eqn: f(x)= { lnx} over {x }]와 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 기울기가 [eqn: t]인
직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접할 때 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: g(t)]라
하자. 원점에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 기울기가 [eqn: a]일
때, 미분가능한 함수 [eqn: g(t)]에 대하여 [eqn: a times g'(a)]의 값은?

②

① [eqn: -{ sqrt { e} } over {3 }]	② [eqn: - {sqrt {e}} over {4}]	③ [eqn: - {sqrt {e}} over {5}]

④ [eqn: - {sqrt {e}} over {6}]	⑤ [eqn: - {sqrt {e}} over {7}]

▷ 요즘 중요한 소재인 [음함수의 기울기].

[2018학년도 수능 21번]에서 다뤘어야 한다.

매개변수 미분법이나 음함수 미분법으로도

다룰 수 있지만 변수 설정이 헷갈릴 수 있다.

[eqn: g(t)]를 포함한 항등식을 세우고 합성함수의

미분법을 이용하여 미분하는 것을 추천.

[2020학년도 6월 28번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는
반원의 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmP]가 있다. 중심이 [eqn: rmA]이고 반지름의
길이가 [eqn: rm{barAP}]인 원과 선분 [eqn: rmAB]의 교점을 [eqn: rmQ]라 하자. 호 [eqn: rmPB]
위에 점 [eqn: rmR]를 호 [eqn: rmPR]와 호 [eqn: rmRB]의 길이의 비가 [eqn: 3`:7]이 되도록
잡는다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO]라 할 때, 선분 [eqn: rmOR]와 호
[eqn: rmPQ]의 교점을 [eqn: rmT], 점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmAP]에 내린 수선의 발을
[eqn: rmH]라 하자. 세 선분 [eqn: rmPH], [eqn: rmHO], [eqn: rmOT]와 호 [eqn: rmTP]로 둘러싸인
부분의 넓이를 [eqn: S _{1}], 두 선분 [eqn: rmRT], [eqn: rmQB]와 두 호 [eqn: rmTQ], [eqn: rmBR]로
둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자. [eqn: rm ANGLE PAB=theta]라 할 때,
[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {{S _{1} -S _{2}} over {rm {bar{OH}} it} = it a}]이다. [eqn: 50a]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {4}])

[eqn: 40]

▷ 겹쳐진 부분을 째려보자.

수능에서는 생경한 발상.

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	수학 영역

[2019학년도 수능 2번]

[eqn: lim _{ x -> 0} { { x^2 +5x} over { ln LEFT ( 1+3x RIGHT ) } }]의 값은?

③

① [eqn: { 7} over { 3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: { 5} over { 3}]

④ [eqn: { 4} over { 3}]	⑤ [eqn: 1]

▷ 로그함수의 극한. 군대.

[2019학년도 수능 9번]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {1+e ^{-x}}]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g '(f(-1))]의 값을 구하면?

⑤

① [eqn: {1} over {(1+e) ^{2}}]	② [eqn: {e} over {1+e}]	③ [eqn: LEFT ( {1+e} over {e} RIGHT ) ^{2}]

④ [eqn: {e ^{2}} over {1+e}]	⑤ [eqn: {(1+e) ^{2}} over {e}]

▷ 역함수의 미분법으로 다루자.

역함수를 직접 구하는 것도 가능하다. 삽질이지만.

[2019학년도 수능 18번]

그림과 같이 [eqn: rmbarAB =1], [eqn: rmangleB = { pi} over { 2}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서
[eqn: rmangleC]를 이등분하는 직선과 선분 [eqn: rmAB]의 교점을 [eqn: rmD], 중심이
[eqn: rmA]이고 반지름의 길이가 [eqn: rmbarAD]인 원과 선분 [eqn: rmAC]의 교점을
[eqn: rmE]라 하자. [eqn: rmangleA =theta]일 때, 부채꼴 [eqn: rmADE]의 넓이를 [eqn: S(theta)],
삼각형 [eqn: rmBCE]의 넓이를 [eqn: T(theta)]라 하자. [eqn: lim_theta->0+ { left{S(theta)right}^2} over T(theta){ }]의 값은?

②

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over4]

▷ 은근히 어렵다. 극한 구할 때도 살짝 함정.

[eqn: lim _{theta->0} {sintheta+1-costheta} over {theta}]를 구해야 되거등?

직각삼각형 [eqn: rmABC]와 직각삼각형 [eqn: rmCBD]를

보는 것보다 이등분선의 정리가 더 편하다.

근사 치면 답 찍기 편하다. ㅜㅜ

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	수학 영역

[2019학년도 수능 20번]

점 [eqn: left(- {pi} over {2} ,```0right)]에서 곡선 [eqn: y=sinx(x>0)]에 접선을 그어 접점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: tan a_n =a_n + { pi} over {2 }]

ㄴ. [eqn: tana_n+2 -tana_n >2pi]

ㄷ. [eqn: a_n+1 +a_n+2 >a_n +a_n+3]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 뒤지게 어렵다. 평가원 미친놈들아.

디귿 풀다가 적당히 찍는 것이 보통.

선지도 별로. 니은은 디귿의 걸림돌.

유형 자체는 중요하다고 할 수 있다.

[2019학년도 수능 24번]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t ge 0 RIGHT )]에서의
위치 [eqn: LEFT ( x ,```y RIGHT )]가

[eqn: x=1-cos 4t],   [eqn: y= 1over4 rm sin it4t]

이다. 점 [eqn: rm P]의 속력이 최대일 때, 점 [eqn: rm P]의 가속도의
크기를 구하여라.

[eqn: 4]

▷ 가속도도 출제 범위예요.

[미적분]이 [기하]보다 앞서는 과목이다.

벡터는 모르지만 크기는 정의해 놨네.

교육과정 미친놈들아.

				72

	수학 영역

[2019학년도 수능 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 6pi]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[eqn: g(x)= { 1} over {2+sin(f(x)) }]

이 [eqn: x=alpha]에서 극대 또는 극소이고, [eqn: alphage0]인 모든 [eqn: alpha]를 작은
수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2]. [eqn: alpha_3], [eqn: alpha_4], [eqn: alpha_5], [eqn: cdots]라
할 때, [eqn: g(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g' left(- { 1} over { 2}right)=a pi]라 할 때, [eqn: a^2]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: 0<f(0)< { pi} over 2{ }])

(가) [eqn: alpha_1 =0]이고 [eqn: g(alpha_1 )= { 2} over { 5}]이다.

(나) [eqn: { 1} over {g(alpha_5 ) }= { 1} over { g(alpha_2 )} + { 1} over {2 }]

[eqn: 27]

▷ 호흡이 길고 어렵기는 하지만, 매우 아름답다.

그에게 주어지는 합격 목걸이.

[합성함수의 그래프]를 다룬 문항으로는

[2019학년도 9월 30번]에 이어 두 번째.

힘들면 아껴뒀다가 천천히 푸는 것을 권장.

[2019학년도 9월 2번]

[eqn: lim_x->0 { e^x -1 } over { x( x^2 + 2 )}]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 1 over 4]	⑤ [eqn: 1 over 5]

▷ 지수함수의 극한. [eqn: 0]의 위치. 쉽다.

[2019학년도 9월 6번]

[eqn: x GEQ {1} over {e}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=3x lnx]의 그래프가
점 [eqn: (e, ``` 3e)]를 지난다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고
할 때, [eqn: lim_h->0 { g( 3e + h ) - g ( 3e - h ) } over h]의 값은?

①

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 5 over 6]	⑤ [eqn: 1]

▷ 역함수의 미분법. 미분계수식의 변형. 쉽다.

				72

	수학 영역

[2019학년도 9월 11번]

곡선 [eqn: e^y ln x = 2 y + 1] 위의 점 [eqn: (e, ``` 0)]에서의
접선의 방정식을 [eqn: y = a x+ b]라 할 때, [eqn: a b]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: -2 e]	② [eqn: - e]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: - 2 over e]	⑤ [eqn: - 1 over e]

▷ 음함수의 미분법.

[2019학년도 9월 26번]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x) = sin x]에 대하여
합성함수 [eqn: y = ( g circ f ) (x)]의 그래프 위의 점
[eqn: (1 , ``` ( g circ f ) (1) )]에서의 접선이 원점을 지난다.

[eqn: lim_x->1 { f(x) - pi over 6 } over { x-1 } = k `]

일 때, 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 30k^2]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

▷ 미분계수식. 합성함수의 미분법.

[2019학년도 9월 19번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 중심이 원점 [eqn: rmO]이고 점 [eqn: {rmP}(2^n ,```0)]을
지나는 원 [eqn: C]가 있다. 원 [eqn: C] 위에 점 [eqn: rmQ]를 호 [eqn: rmPQ]의 길이가
[eqn: pi]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: rmQ]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을
[eqn: rmH]라 할 때, [eqn: lim_n->inf ( rmbarOQ timesbarHP )]의 값은?

①

① [eqn: { pi^2} over { 2}]	② [eqn: {3} over {4} pi ^{2}]	③ [eqn: pi^2]

④ [eqn: {5} over {4} pi ^{2}]	⑤ [eqn: {3} over {2} pi ^{2}]

▷ 직각이 아래에 있으면 쉽죵.

[eqn: {pi} over {2 ^{n}}]을 [eqn: theta]로 치환하면 조아요.

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	수학 영역

[2019학년도 9월 20번]

열린 구간 [eqn: (0,```2pi)]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=cosx+2x sinx]

가 [eqn: x=alpha]와 [eqn: x=beta]에서 극값을 가진다. 보기에서
옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: alpha<beta)]

③

<보 기>

ㄱ. [eqn: tan(alpha+pi)=-2alpha]

ㄴ. [eqn: g(x)=tanx]라 할 때, [eqn: g'(alpha+pi)<g'(beta)]이다.

ㄷ. [eqn: { 2(beta-alpha)} over {alpha+pi-beta } <sec^2 alpha]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 표현이 좀 유치하지만 나름 괜찮은 문제.

니은을 [eqn: sec^2 (alpha+pi)<sec^2 beta]로 주지 않고

돌아가는 표현을 쓴 이유는? 기울기에 주목하라고.

평가원의 사랑을 느낄 수 있는 부분.

[2019학년도 9월 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1over2]이고 최솟값이 [eqn: 0]인
사차함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x)=2x ^{4} e ^{-x}]에 대하여
합성함수 [eqn: h(x)=(f circg)(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f`'(5)]의 값을 구하여라. (단, [eqn: lim_x->inf`g(x)=0])

(가) 방정식 [eqn: h(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 4]이다.

(나) 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서 극소이다.

(다) 방정식 [eqn: h(x)=8]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 6]이다.

[eqn: 30]

▷ [합성함수의 그래프]의 수능 역사상 첫 문항.

킬러를 대비한다면 반드시 다뤄줘야 한다.

(가), (나), (다)는 차례로 쓸 수 있게 배치해준 듯.

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	수학 영역

[2019학년도 6월 3번]

[eqn: lim _{x-> 0} {{ln(1+ sqrt {3} x)} over {x}}]의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt {5}]

▷ [eqn: sqrt { 3}] 곱해두면 어려워지나?

[2019학년도 6월 16번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가
[eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에서
선분 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 호 [eqn: rm BP] 위에
점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rmanglePOH=anglePHQ]가 되도록 잡는다.
[eqn: rmanglePOH=theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmOHQ]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자.
[eqn: lim_theta->0+ { S(theta)} over {theta }]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< { pi} over {6 }])

①

① [eqn: { 1+ sqrt { 2} } over {2 }]	② [eqn: {2+ sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {3+ sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {4+ sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {5+ sqrt {2}} over {2}]

▷      을 못 보면 개말릴 수 있다.

밑변을 [eqn: rmbarOH]로 보면 간다. 산으로.

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	수학 영역

[2018학년도 6월 18번]

좌표평면에서 점 [eqn: rmP]는 시각 [eqn: t=0]일 때 [eqn: (0,```-1)]에서
출발하여 시각 [eqn: t]에서의 속도가

[eqn: (2t,```2 pi sin2 pi t)]

이고, 점 [eqn: rmQ]는 시각 [eqn: t=0]일 때 출발하여 시각 [eqn: t]에서의
위치가

[eqn: {rmQ}(4sin2pit,```|cos2pit|)]

이다. 출발한 후 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 만나는 횟수는?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 생각보다 못 풀어서 당황했던 문제.

속도를 성분별로 각각 적분하면 위치다.

두 점이 만나려면      과      이 같아야지.

[2019학년도 6월 21번]

열린 구간 [eqn: left(- { pi} over {2 },``` { 3pi} over {2 }right)]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)= cases{ 2 sin^3 x &```left(- { pi} over { 2}<x< { pi} over {4 }right) # cosx& ```left( { pi} over { 4}le x < { 3pi} over {2 } right)}]

가 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
모든 실수 [eqn: k]의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자.

함수 [eqn: g(t)]에 대하여 합성함수 [eqn: (h circg)(t)]가 실수 전체의
집합에서 연속이 되도록 하는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인
사차함수 [eqn: h(x)]가 있다. [eqn: g left( { sqrt { 2} } over {2 }right)=a], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =b], [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) =c]라
할 때, [eqn: h(a+5)-h(b+3)+c]의 값은?

(가) [eqn: -{ pi} over {2 }<k< { 3pi} over { 2}]

(나) 함수 [eqn: sqrt { |f(x)-t|}]는 [eqn: x=k]에서

미분가능하지 않다.

④

① [eqn: 96]	② [eqn: 97]	③ [eqn: 98]

④ [eqn: 99]	⑤ [eqn: 100]

▷ 쓰레기 중에서도 탑티어 쓰레기.

유치하고, 귀찮게 구는 정도가 시바..

유일하게 배울만한 내용은 [eqn: sqrt { |sin^3 x|}]가

미분가능하냐는 것이다.

				72

	수학 영역

[2019학년도 6월 25번]

함수 [eqn: f(x) = 3e^5x + x + sin x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
곡선 [eqn: y = g(x)]는 점 [eqn: (3,```0)]을 지난다. [eqn: lim_x->3 { x-3 } over { g(x) - g(3) }]의
값을 구하여라.

[eqn: 17]

▷ 역함수의 미분법. 미분계수식의 변형.

[2019학년도 6월 26번]

좌표평면에서 점 [eqn: (2,``` a)]가 곡선 [eqn: y = 2 over { x^2 + b } (b>0 )]의
변곡점일 때, [eqn: b over a]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는
상수이다.)

[eqn: 96`]

▷ 미분하기가 좀 귀찮어.

[2018학년도 수능 9번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x RIGHT )} over {e ^{x-2}}]

라 하자. [eqn: lim _{x -> 2} {` {f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x-2}} =5]일 때, [eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 몫의 미분법. 미분계수식의 변형.

[2018학년도 수능 11번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가
있다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 역함수이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =3]이다.
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =xg LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: h`' LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {5} over {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

▷ 역함수의 미분법. 곱의 미분법.

				72

	수학 영역

[2018학년도 수능 14번]

그림과 같이 [eqn: rmbar{AB}=5], [eqn: rmbar{AC}=2 sqrt {5}]인 삼각형 [eqn: rmABC]의
꼭짓점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라 하자.
선분 [eqn: rmAD]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점 [eqn: rmE]에 대하여 [eqn: rmbar{EC}= sqrt {5}]이다.
[eqn: rmangleABD=alpha], [eqn: rmangleDCE=beta`]라 할 때, [eqn: cos` LEFT ( alpha-beta` RIGHT )]의 값은?

⑤

① [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {4}]	③ [eqn: {3 sqrt {5}} over {10}]

④ [eqn: {7 sqrt {5}} over {20}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

▷ 덧셈정리. 가끔 말리는 애들 있던데.

[2018학년도 수능 17번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 마름모 [eqn: rmABCD]가 있다.
점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAB]의 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE],
점 [eqn: rmE]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmF], 선분 [eqn: rmEF]와
선분 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: rmG]라 하자. [eqn: rm ANGLE DAB= theta]일 때,
삼각형 [eqn: rmCFG]의 넓이를 [eqn: S`` LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} { {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{5}}}]의 값은?
(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}])

③

① [eqn: {1} over {24}]	② [eqn: {1} over {20}]	③ [eqn: {1} over {16}]

④ [eqn: {1} over {12}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

▷ 직각 도꼬?

				72

	수학 영역

[2018학년도 수능 21번]

양수 [eqn: t`]에 대하여 구간 [eqn: [1,``` INF )]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{lnx&```LEFT ( 1 LEQ x<e RIGHT )#-t+lnx&```LEFT ( x GEQ e RIGHT )}}]

일 때, 다음 조건을 만족시키는 일차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )] 중에서
직선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 기울기의 최솟값을 [eqn: h` LEFT ( t RIGHT )]라 하자.

미분가능한 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 양수 [eqn: a]가 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {e+2}]을 만족시킨다. [eqn: h' LEFT ( {1} over {2e} RIGHT ) TIMES h' LEFT ( a RIGHT )]의 값은?

[eqn: 1] 이상의 모든 실수 [eqn: x]에 대하여	[eqn: LEFT ( x-e RIGHT ) LEFT { g` LEFT ( x RIGHT ) -f` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } GEQ0]이다.

④

① [eqn: {1} over {LEFT ( e+1 RIGHT ) ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e LEFT ( e+1 RIGHT )}]	③ [eqn: {1} over {e ^{2}}]

④ [eqn: {1} over {LEFT ( e-1 RIGHT ) LEFT ( e+1 RIGHT )}]	⑤ [eqn: {1} over {e LEFT ( e-1 RIGHT )}]

▷ 상황을 잘 읽기도 어렵고 계산도 많네.

케이스 분류도 필요. 푸는 재미가 있긴 한데.

[eqn: h'(a)]를 구할 때 [eqn: h(t)]를 양함수로 구할 수 없다.

이 문항은 [2020학년도 6월 21번]을 품고 있다.

[2018학년도 9월 2번]

[eqn: lim _{x -> 0} {{sin7x} over {4x}}]의 값은?

⑤

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {7} over {4}]

▷ 삼각함수의 극한. 군대.

[2018학년도 9월 6번]

[eqn: 0 LEQ x LEQ pi]일 때, 방정식

[eqn: 1+ sqrt {2} `sin 2x=0``]

의 모든 해의 합은?

③

① [eqn: pi]	② [eqn: {5pi} over {4}]	③ [eqn: {3pi} over {2}]

④ [eqn: {7pi} over {4}]	⑤ [eqn: 2pi]

▷ 대칭성. [eqn: 2x] 있어서 이쪽으로 가져왔는데, 수학1 문항인가?

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	수학 영역

[2018학년도 9월 15번]

곡선 [eqn: y=1-x ^{2} (0<x<1)] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: y]축에 내린
수선의 발을 [eqn: rm H]라 하고, 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm A(0,```1)]에 대하여
[eqn: ANGLE rm APH= it theta _{1}], [eqn: ANGLE rm HPO= it theta _{2}]라 하자. [eqn: tantheta _{1} = {1} over {2}]일 때,
[eqn: tan( theta _{1} + theta _{2} )]의 값은?

④

① [eqn: 2``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: 6``]

④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 10``]

▷ [eqn: {rmP}(a,```1-a^2 )]라 두고, [eqn: tantheta _{1} = {1} over {2}]에서.

[2018학년도 9월 30번]

함수 [eqn: f(x)=ln(e^x +1)+2 e^x]에 대하여 이차함수
[eqn: g(x)]와 실수 [eqn: k]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g' left(k- { 1} over {2 }right)]의 값을 구하여라. (단, [eqn: { 5} over {2 }<e<3]이다.)

함수 [eqn: h(x)=|g(x)-f(x-k)|]는 [eqn: x=k]에서 최솟값
[eqn: g(k)]를 갖고, 닫힌 구간 [eqn: [k-1,```k+1]]에서 최댓값
[eqn: 2e+ ln left( { 1+e} over { sqrt { 2} }right)]를 갖는다.

[eqn: 6]

▷ 많이 어렵다. 절댓값과 최솟값이 뭔가 묘함을

느끼는 것이 풀이의 첫걸음.

풀이의 가닥을 잡아도 계산량이 넘모 많다.

				72

	수학 영역

[2018학년도 6월 16번]

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)= {cases{x ^{2} +k&```(x LEQ 2)#ln(x-2)&```(x>2)}}]

이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y= x+t]와 함수 [eqn: y= f(x)]의
그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가
[eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값이 한 개일 때, [eqn: k]의 값은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: - 9 over 4]	③ [eqn: - 5 over 2]

④ [eqn: - 11 over 4]	⑤ [eqn: -3]

▷ 딱 [준킬러]라고 부를 만한 문제.

그래프에서 [eqn: k]값을 옮겨가며 조사해보자.

[2018학년도 6월 20번]

양수 [eqn: a]와 실수 [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=ae^3x +be^x]이
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은?

③

(가) [eqn: x_1 <ln { 2} over {3 }<x_2]를 만족시키는 모든 실수

[eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: f`''(x_1 )f`''(x_2 )<0]이다.

(나) 구간 [eqn: [k,```inf)]에서 함수 [eqn: f(x)]의 역함수가

존재하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값을 [eqn: m]이라

할 때, [eqn: f(2m)=- {80} over {9 }]이다.

① [eqn: -15]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -3]

▷ 딱 [준킬러]라고 부를 만한 문제2. 계산이 좀 들어온다.

(가)는 대충 변곡점 주고 있는 것을 느끼겠지?

(나)는 증가하는 구간에 대한 서술이다.

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	수학 영역

[2018학년도 6월 21번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: F(x)=ln|f(x)|]

라 하고, 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: g(x)]에 대하여

[eqn: G(x)=ln|g(x)sinx|]

라 하자.

[eqn: lim _{x -> 1} {} (x-1)F`` prime (x)=3],   [eqn: lim _{x -> 0} {} {F`` prime (x)} over {G`` prime (x)} = {1} over {4}]

일 때, [eqn: f(3)+g(3)]의 값은?

④

① [eqn: 57]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 53]

④ [eqn: 51]	⑤ [eqn: 49]

▷ 생소한 유형. 이상한 풀이가 몇 가지 있긴 한데.

[eqn: f(1)=0]에서 [eqn: f(x)=(x-1)p(x)]라 두고,

얘를 다시 [eqn: lim _{x -> 1} {} (x-1)F`` prime (x)]에 대입 해보자.

미분가능성과는 무관한 문항이다.

절댓값은 로그 정의되라고 넣은 것.

[2018학년도 6월 26번]

그림과 같이 좌표평면에 점 [eqn: rmA(1,```0)]을 중심으로 하고
반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 있다. 원 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여
[eqn: LEFT . rm ANGLE AOQ= theta `` LEFT ( 0< theta < {pi } over {3} RIGHT ) RIGHT .]라 할 때, 선분 [eqn: rmOQ] 위에 [eqn: rm bar{PQ}=1]인 점 [eqn: rmP]를 정한다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표가 최대가 될 때
[eqn: costheta= { a+ sqrt { b} } over {8 }]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는
원점이고, [eqn: a]와 [eqn: b]는 자연수이다.)

[eqn: 34]

▷ 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: theta]에 대한 식으로 나타내야지.

여러 가지 방법으로 가능.

				72

	수학 영역

[2018학년도 6월 28번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가
[eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]에서 호 [eqn: rmAB]의 삼등분점 중 점 [eqn: rmA]에
가까운 점을 [eqn: rmC]라 하자. 변 [eqn: rmDE]가 선분 [eqn: rmOA] 위에 있고,
꼭짓점 [eqn: rmG], [eqn: rmF]가 각각 선분 [eqn: rmOC], 호 [eqn: rmAC] 위에 있는 정사각형
[eqn: rmDEFG]의 넓이를 [eqn: f(theta)]라 하자. 점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmOB]에 내린
수선의 발을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmDP]와 선분 [eqn: rmOC]가 만나는 점을 [eqn: rmQ]라
할 때, 삼각형 [eqn: rmOQP]의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 하자.
[eqn: lim_theta->0+ { f(theta)} over {theta timesg(theta) } =k]일 때, [eqn: 60k]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: 0<theta< { pi} over { 2}]이고, [eqn: rmbarOD <barOE]이다.)

[eqn: 20]

▷ 정사각형의 한 변을 구할 필요 없다.

보통은 구하게 되겠지만.

직각삼각형을 찾지 못하면 말릴 수 있다.

[2017학년도 수능 14번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가
[eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에서
선분 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 선분 [eqn: rmPH]와 선분 [eqn: rmAB]의
교점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmANGLE POH= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmAQH]의 넓이를
[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{4}}}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}])

①

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

▷ 군대.

				72

	수학 영역

[2017학년도 수능 15번]

곡선 [eqn: y=2e ^{-x}] 위의 점 [eqn: {rmP}(t,```2e ^{-t} )]([eqn: t>0])에서 [eqn: y]축에 내린
수선의 발을 [eqn: rmA]라 하고, 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는
점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAPB]의 넓이가 최대가 되도록 하는
[eqn: t]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: { e} over {2 }]	③ [eqn: sqrt { 2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: e]

▷ 군대.

[2017학년도 수능 30번]

[eqn: x>a]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가
[eqn: -1]인 사차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: beta-alpha=6 sqrt {3}]일 때, [eqn: M]의 최솟값을 구하여라.

(가) [eqn: x>a]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: (x-a)f(x)=g(x)]이다.

(나) 서로 다른 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 함수

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=alpha]와 [eqn: x=beta]에서 동일한 극댓값

[eqn: M]을 갖는다. (단, [eqn: M>0])

(다) 함수 [eqn: f(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의

개수는 함수 [eqn: g(x)]가 극대 또는 극소가 되는

[eqn: x]의 개수보다 많다.

[eqn: 216]

▷ 난해하다. [기울기 함수]를 읽는 것이 중요.

이 다음 해부터 모든 선생님이 강조하더라고.

이쯤부터 아무리 킬러라도 풀이과정이

[너무] 길어진다 싶었다. 40점쯤 주든가.

				72

	수학 영역

[2017학년도 9월 5번]

[eqn: cos( alpha + beta )= {5} over {7}], [eqn: cos alpha cos beta = 4 over 7]일 때, [eqn: sin alpha ` sin beta `]의
값은?

①

① [eqn: - 1 over 7]	② [eqn: - 2 over 7]	③ [eqn: - 3 over 7]

④ [eqn: - 4 over 7]	⑤ [eqn: - 5 over 7]

▷ 덧셈정리. [eqn: alpha], [eqn: beta]를 구하려고 하면 낭패.

[2017학년도 9월 9번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(2x+1)=(x^2 +1)^2]

을 만족시킬 때, [eqn: f`'(3)]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 합성함수의 미분법. 도식화 해봐.

[2017학년도 9월 20번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]가
있다. 변 [eqn: rm CD`] 위의 점 [eqn: rm E`]에 대하여 선분 [eqn: rm DE`]를 지름으로
하는 원과 직선 [eqn: rm BE`]가 만나는 점 중 [eqn: rm E`]가 아닌 점을
[eqn: rm F`]라 하자. [eqn: rm angle EBC =` theta`]라 할 때, 점 [eqn: rm E `]를 포함하지 않는
호 [eqn: rm DF`]를 이등분하는 점과 선분 [eqn: rm DF`]의 중점을 지름의
양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r ( theta ) `]라 하자.
[eqn: lim_ { theta -> pi over 4 - } { r(theta) } over { pi over 4 - theta }`]의 값은? (단, [eqn: 0 < theta < pi over 4 `)]

④

① [eqn: 1 over 7 ( 2 - root 2 )]	② [eqn: 1 over 6 ( 2 - root 2 )]	③ [eqn: 1 over 5 ( 2 - root 2 )]

④ [eqn: 1 over 4 ( 2 - root 2 )]	⑤ [eqn: 1 over 3 ( 2 - root 2 )]

▷ 직각 어딨니?

				72

	수학 영역

[2017학년도 9월 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 함수

[eqn: g(x)=|2sin(x+2|x|)+1|]

에 대하여 함수 [eqn: h(x)=f(g(x))]는 실수 전체의 집합에서
이계도함수 [eqn: h''(x)]를 갖고 [eqn: h''(x)]는 실수 전체의 집합에서
연속이다. [eqn: f`'(3)]의 값을 구하여라.

[eqn: 48]

▷ 수능적인 미분가능성이다. 구간별로 함수 구하고

도함수/이계도함수가 연속임을 이용.

그런데 짜증나게 4조각이라서..

참고 해보면 재미있는 부분이 있긴 하다.

[2017학년도 6월 7번]

[eqn: tan left(alpha+ pi over4 right) =2]일 때, [eqn: tan alpha]의 값은?

①

① [eqn: 1over3`]	② [eqn: 4over 9`]	③ [eqn: 5 over 9`]

④ [eqn: 2 over 3`]	⑤ [eqn: 7over 9`]

▷ 군.

[2017학년도 6월 15번]

두 함수 [eqn: f(x)=sin^2 x], [eqn: g(x)=e^x]에 대하여
[eqn: lim_{x-> { pi} over {4 }} { g(f(x))- sqrt { e} } over {x- { pi} over {4 } }]의 값은?

④

① [eqn: 1overe]	② [eqn: 1over sqrt { e}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt { e}]	⑤ [eqn: e]

▷ 대.

				72

	수학 영역

[2017학년도 6월 21번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든
실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: f(x)!=1]

(나) [eqn: f(x)+f(-x)=0]

(다) [eqn: f`'(x)=left{1+f(x)right}left{1+f(-x)right}]

①

<보 기>

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)!=-1]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 어떤 열린 구간에서 감소한다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]는 세 개의 변곡점을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 잘 만들었다. 합답형 문항의 교과서.

답이      가 아닌 것만 빼..고?

[eqn: f(x)]를 구하는 것도 가능하다. 큰 의미는 없지만.

[2017학년도 6월 29번]

양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는
함수 [eqn: f(t)]에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의
시각 [eqn: t(t ge 1)]에서의 위치 [eqn: (x,```y)]가

[eqn: cases{ x=2lnt # y=f(t) }]

이다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: (0,```f(1))]로부터 움직인 거리가 [eqn: s]가 될 때
시각 [eqn: t]는 [eqn: t= { s+ sqrt { s^2 +4} } over 2{ }]이고, [eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도는
[eqn: left(1,``` { 3} over { 4}right)]이다. 시각 [eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: left(- { 1} over {2 },```a right)]라
할 때, [eqn: 60a]의 값을 구하여라.

[eqn: 15]

▷ 여러 가지로 말리기 좋은 문제.

식 [eqn: t= { s+ sqrt { s^2 +4} } over 2{ }]를 [eqn: s]에 대하여 정리하자.

				72

	수학 영역

[2017학년도 6월 22번]

[eqn: lim_x->0 `{ sin 2 x } over { x cos x } `]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

▷ 군대.

[2016학년도 수능 7번]

곡선 [eqn: y=3e^x-1] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 원점 [eqn: rmO]를
지날 때, 선분 [eqn: rmOA]의 길이는?

⑤

① [eqn: sqrt { 6}]	② [eqn: sqrt { 7}]	③ [eqn: 2sqrt { 2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: sqrt { 10}]

▷ 군대 가세요.

[2016학년도 수능 15번]

좌표평면에서 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (1,```0)]이고, [eqn: 0 le theta < pi over2]인 [eqn: theta]에 대하여 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: (cos theta ,```sin theta )]이다. 사각형
[eqn: rm OACB]가 평행사변형이 되도록 하는 제[eqn: 1]사분면 위의
점 [eqn: rm C]에 대하여 사각형 [eqn: rm OACB]의 넓이를 [eqn: f(theta)], 선분 [eqn: rm OC]의
길이의 제곱을 [eqn: g(theta)]라 하자. [eqn: f(theta)+g(theta)]의 최댓값은?
(단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

①

① [eqn: 2+ sqrt { 5}]	② [eqn: 2+ sqrt { 6}]	③ [eqn: 2+ sqrt { 7}]

④ [eqn: 2+2 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 5]

▷ [삼각함수의 합성]이긴 하지만.

				72

	수학 영역

[2016학년도 수능 21번]

[eqn: 0<t<41]인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선

[eqn: y=x^3 +2x^2 -15x+5]

와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 세 점 중에서 [eqn: x]좌표가
가장 큰 점의 좌표를□[eqn: (f(t),```t)], [eqn: x]좌표가 가장 작은
점의 좌표를 [eqn: (g(t),```t)]라 하자.

[eqn: h(t)=t timesLEFT { f(t)-g(t) RIGHT }]

라 할 때, [eqn: h'(5)]의 값은?

④

① [eqn: { 79} over { 12}]	② [eqn: {85} over {12}]	③ [eqn: {91} over {12}]

④ [eqn: {97} over {12}]	⑤ [eqn: {103} over {12}]

▷ 처음 보고 답 띄우기는 만만치 않은 난이도.

[eqn: f`'(5)], [eqn: g'(5)]를 구해야 한다.

[eqn: P(x)=x ^{3} +2x ^{2} -15x+5]일 때

[eqn: P(f(t))=t], [eqn: P(g(t))=t]임을 이용하자.

[2016학년도 9월 28번]

그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 [eqn: 2sqrt { 3}]인
정삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 점 [eqn: rmB]를 포함하지 않는 호 [eqn: rmAC] 위의
점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: anglermPBC=theta]라 하고, 선분 [eqn: rmPC]를 한 변으로
하는 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자.
[eqn: lim _{theta -> 0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} =a pi]일 때, [eqn: 60a]의 값을 구하여라.

[eqn: 80]

▷ 사인법칙.

				72

	수학 영역

[2016학년도 9월 30번]

양수 [eqn: a]와 두 실수 [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수

[eqn: f(x)=(ax^2 +bx+c)e^x]

은 다음 조건을 만족시킨다.

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 최댓값을 [eqn: { k} over {e^3 }]라 할 때,
[eqn: 60k]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=- sqrt { 3}]과 [eqn: x= sqrt { 3}]에서 극값을

갖는다.

(나) [eqn: 0 le x _{1} <x _{2}]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여

[eqn: f(x_2 )-f(x_1 )+x_2 -x_1 ge0]이다.

[eqn: 15]

▷ (가)의 유치한 삽질이 이 당시 평가원 시그니처.

(나)는 엄밀하게 다루려 하지 말 것. 휴리스틱.

[기울기의 최솟값]에 대한 정보가 있으므로

[도함수]를 그려야 한다. [eqn: f`'(x)=g(x)]라 두자.

[2016학년도 6월 7번]

함수 [eqn: f(x)=a`sinx+ sqrt {11} `cosx]의 최댓값이 [eqn: 6]일 때,
양수 [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

▷ 합성인데, 미분해서도 해 볼래? 좀 복잡.

				72

	수학 영역

[2016학년도 6월 14번]

닫힌 구간 [eqn: [0,```4]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=2 sqrt {2} {rmsin} {pi } over {4} x]의
그래프가 그림과 같고, 직선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y=f(x)]의 그래프
위의 점 [eqn: rm A(1,```2)]를 지난다. 일차함수 [eqn: g(x)]가 닫힌 구간
[eqn: [0,```4]]에서 [eqn: f(x) le g(x)]를 만족시킬 때, [eqn: g(3)]의 값은?

③

① [eqn: pi]	② [eqn: pi+1]	③ [eqn: pi+2]

④ [eqn: pi +3]	⑤ [eqn: pi +4]

▷ [기울기의 강제]인데 그래프를 받아서

약하게 느껴진다. 본질적으로 어려운 소재인데

아무도 틀리지 않음.

[2016학년도 6월 21번]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 실수 전체의 집합에서
정의된 함수

[eqn: f(x)=e^x+1 left{x^2 +(n-2)x-n+3 right}+ax]

가 역함수를 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: g(n)]이라
하자. [eqn: 1 le g(n) le8]을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

④

① [eqn: 43]	② [eqn: 46] □□	③ [eqn: 49]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 55]□

▷ 도함수가 일정한 부호를 가져야 한다.

[eqn: f`'(x)]를 [eqn: h(x)]라 두고 [eqn: h(x)]의 그래프를 그려보자.

				72

	수학 영역

[2016학년도 6월 29번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는
반원 위에 점 [eqn: rmC]를 잡고 [eqn: anglermBAC=theta]라 하자. 호 [eqn: rmBC]와
두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이를
[eqn: f(theta)]라 할 때,

[eqn: lim_{theta->0+} {tan thetaover2 -f(theta)}over{theta^2} =alpha]

이다. [eqn: 100 alpha]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0<theta< pi over4])

[eqn: 25]

▷ 꽤 어렵다. 삼각형 내접원의 반지름을 넓이로만

풀었다면 접근이 안 된다. [새 부리] 알아?

식에서 [eqn: tan {theta} over {2} -f(theta)]를 한 번에 대입하면 좋다.

[2015학년도 수능 14번]

[eqn: a>3]인 상수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=a^x-1]과 [eqn: y=3^x]이
점 [eqn: rmP]에서 만난다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 할 때, 점 [eqn: rmP]에서
곡선 [eqn: y=3^x]에 접하는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 점
[eqn: rmP]에서 곡선 [eqn: y=a^x-1]에 접하는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을
[eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: {rmH}(k,```0)]에 대하여 [eqn: rmbarAH =2 barBH]일 때, [eqn: a]의
값은?

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 그냥 천천히 풀면 된다.

잠 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표 설정도 해 줬네.

				72

	수학 영역

[2015학년도 수능 20번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 외접하고
[eqn: angle rm CAB = angle rm BCA = theta]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다.
선분 [eqn: rm AB]의 연장선 위에 점 [eqn: rm A]가 아닌 점 [eqn: rmD]를
[eqn: rm angle DCB= theta]가 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: rm BCD]의 넓이를
[eqn: S(theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {} LEFT { theta TIMES S( theta ) RIGHT }]의 값은? (단, [eqn: 0 < theta < pi over4])

④

① [eqn: 2 over3]	② [eqn: 8 over9]	③ [eqn: 10 over9]

④ [eqn: 4 over3]	⑤ [eqn: 14 over9]

▷ 이등변삼각형, 내접원의 반지름.

각을 많이 줬으니 사인법칙.

[2015학년도 수능 30번]

함수 [eqn: f(x)=e^x+1 -1]과 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=100|f(x)|-sum_k=1 ^n |f(x^k )|]

이라 하자. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하여라.

[eqn: 39]

▷ 절댓값 안의 함수가 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]값을 기준으로

구간을 나누고, 구간별로 함수를 구하자.

시그마 때문에 상황 파악이 안 되다면

앞에서부터 몇 개 직접 써봐.

				72

	수학 영역

[2015학년도 9월 2번]

[eqn: lim _{x-> 0} {} (1+x) ^{{5} over {x}}]의 값은?

⑤

① [eqn: {1} over {e ^{5}}``]	② [eqn: {1} over {e ^{3}}``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: e ^{3}``]	⑤ [eqn: e ^{5}``]

▷ [eqn: e]의 정의. 자주 보이지는 않지.

[2015학년도 9월 8번]

[eqn: 0 LEQ x LEQ pi]일 때, 삼각방정식

[eqn: sinx=sin2x]

의 모든 해의 합은?

④

① [eqn: pi ``]	② [eqn: {7} over {6} pi``]	③ [eqn: 5 over4 pi``]

④ [eqn: 4 over 3 pi``]	⑤ [eqn: 3 over2 pi``]

▷ 이배각은 해 둬라.

[2015학년도 9월 20번]

[eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=x ^{n} e ^{-x}]

일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

<보 기>

ㄱ. [eqn: f`left( {n} over {2} right)=f`'left( {n} over {2} right)]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=n]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 점 [eqn: (0,```0)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 디귿 틀리면 안 돼.

미분하기 전에 개형부터 잡자.

[eqn: n]이 홀수일 때, 짝수일 때 나눠서.

				72

	수학 영역

[2015학년도 9월 28번]

그림과 같이 서로 평행한 두 직선 [eqn: l_1]과 [eqn: l_2] 사이의
거리가 [eqn: 1]이다. 직선 [eqn: l_1] 위의 점 [eqn: rmA]에 대하여 직선 [eqn: l_2]
위에 점 [eqn: rmB]를 선분 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: l_1]이 이루는 각의 크기가
[eqn: theta]가 되도록 잡고, 직선 [eqn: l_1] 위에 점 [eqn: rmC]를 [eqn: anglermABC=4theta]가
되도록 잡는다. 직선 [eqn: l_2] 위에 점 [eqn: rmD]를 [eqn: anglermBCD=2ittheta]이고
선분 [eqn: rmCD]가 선분 [eqn: rmAB]와 만나지 않도록 잡는다.
삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가[eqn: T_1], 삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이가 [eqn: T_2]라
할 때, [eqn: lim_{theta ->0+} T_1 overT_2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0<theta< pi over10`])

[eqn: 6]

▷ 동위각, 엇각 언제 배우지? 초딩 때 했나?

각부터 최대한 표시해보자.

[2015학년도 6월 21번]

양의 실수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면에서 [eqn: x], [eqn: y]에 대한
연립부등식

[eqn: {cases{x ^{2} +(y-1) ^{2} le 1&#y le tx&}}]

가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하자. 다음은 [eqn: f`'(2)]의
값을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: h _{1} (theta)], [eqn: h _{2} (theta)]라 하고
(다)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: a timesh_1 left( { pi} over {4 }right)times h_2 left( { pi} over { 4}right)]의
값은?

원 [eqn: C:x ^{2} +(y-1) ^{2} =1]의 중심을 [eqn: rmA], 원 [eqn: C]와 직선
[eqn: l:y=tx]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmO], [eqn: rmB]라 하자.
직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를
[eqn: theta]([eqn: 0<theta< {pi} over {2}])라 하면 [eqn: rmangleOAB=2theta]이다. 주어진
연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 하면
[eqn: g( theta )= theta - BOX{```````(가)```````}]

이다. [eqn: t=tantheta]이므로 [eqn: g(theta)=f(t)=f(tantheta)]이고,
합성함수의 미분법에 의하여

[eqn: g prime ( theta )=f` prime (t) TIMES box{```````(나)```````}]

이다.

[eqn: t=2]일 때, [eqn: tantheta=2]이므로 [eqn: f'(2)=box{```````(다)```````}]이다.

①

① [eqn: { 8} over { 25}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {12} over {25}]

④ [eqn: {14} over {25}]	⑤ [eqn: {16} over {25}]

▷ 여러 가지 미분법은 어떤 변수에 대한 식을

어떤 변수에 대하여 미분하는지를 헷갈려서

말릴 수 있다. 식의 의미를 꼼꼼하게 살피자.

				72

	수학 영역

[2015학년도 6월 26번]

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수
[eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=f(x)lnx ^{4}]

이라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (e,```-e)]에서의 접선과
곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (e,```-4e)]에서의 접선이 서로
수직일 때, [eqn: 100f`'(e)]의 값을 구하여라.

[eqn: 50]

▷ 군대각.

[2015학년도 6월 29번]

그림과 같이 사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서 변 [eqn: rmAD]와 변 [eqn: rmBC]가
평행하고 [eqn: rmANGLE B=2 theta], [eqn: rmANGLE C=3 theta], [eqn: rm{bar{BC}} =2sin theta], [eqn: rm{bar{AD}} =sin theta]이다.
사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 할 때,
[eqn: lim _{theta -> 0+} { {S( theta )} over {theta ^{3}}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 14]

▷ 보조선 힌트 :

점 [eqn: rmA]를 지나고 직선 [eqn: rmCD]와 평행한 직선.

				72

	수학 영역

[2014학년도 수능 12번]

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 함수

[eqn: g(x)= cases{ { 1} over {ln (x+1) }& ```(x!= 0)#`8&```(x=0) }]

에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 구간 [eqn: LEFT ( -1,``` INF RIGHT )]에서
연속일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

▷ 연속의 정의에서 엄밀하게 식을 뽑아 보자.

[2014학년도 수능 18번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=n]과 함수 [eqn: y=tanx]의
그래프가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 작은
수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a _{n}]이라
하자. [eqn: lim _{n->inf} {a _{n}} over {n}]의 값은?

④

① [eqn: piover4]	② [eqn: {pi } over {2}]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

▷ 대충 풀어봐. 어쨌든 답은 맞춰야 돼.

잘 풀려면 부등식 띄워서 샌드위치.

				72

	수학 영역

[2014학년도 수능 25번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmAB]를 한 변으로 하고,
[eqn: rmbarAC =barBC], [eqn: rm ANGLE ACB= theta]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.
선분 [eqn: rmAB]의 연장선 위에 [eqn: rmbarAC =barAD]인 점 [eqn: rmD]를 잡고,
[eqn: rmbarAC =barAP]이고 [eqn: rmanglePAB=2theta]인 점 [eqn: rmP]를 잡는다. 삼각형
[eqn: rmBDP]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때, [eqn: lim_theta->0+ (theta timesS(theta))]의 값을
구하여라. (단, [eqn: 0< theta< { pi} over {6 }])

[eqn: 16]

▷ 이등변삼각형이니까 수선들 내려보고.

[2014학년도 수능 30번]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=f(x)e ^{-x}]이
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g(-2) TIMES g(4)]의 값을 구하여라.

(가) 점 [eqn: LEFT ( 1,```g(1) RIGHT )]과 점 [eqn: LEFT ( 4,```g(4) RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=g(x)]의

변곡점이다.

(나) 점 [eqn: (0,```k)]에서 곡선 [eqn: y=g(x)]에 그은 접선의

개수가 [eqn: 3]인 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: -1<k<0]이다.

[eqn: 72]

▷ 당시에 어려웠지만 지금 보니 별 것 아닌 문항.

(가)가 아무 것도 아닌데 집중력을 빼앗는다.

(나)는 종종 보이는 소재지? 그냥 접점의 개수로

다뤄도 좋고 변곡접선으로 다뤄도 좋다.

				72

	수학 영역

[2014학년도 9월 8번]

[eqn: 0 le x le 2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin2x-sinx=4`cosx-2]의
모든 해의 합은?

③

① [eqn: pi]	② [eqn: 3 over 2 pi]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: 5 over 2 pi]	⑤ [eqn: 3 pi]

▷ 이배~각.

[2014학년도 9월 22번]

[eqn: lim_x->0 { ln(1+3x)+9x} over {2x }]의 값을 구하여라.

[eqn: 6]

▷ 두 부분으로 나눠서.

[2014학년도 9월 21번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]를 매개변수 [eqn: t]로
나타내면

[eqn: cases{x=e^t #y=left(2t^2 +nt+n right)e^t]

이고, [eqn: x ge e^{- n over 2 }]일 때 함수 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=a_n]에서
최솟값 [eqn: b_n]을 갖는다. [eqn: b_3 over a_3 + b_4 over a_4 + b_5 over a_5 + b_6 over a_6]의 값은?

②

① [eqn: 23 over 2]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 25 over 2]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 27 over 2]

▷ 와 귀찮다. [eqn: f`'(x)=0]의 근이 [eqn: x ge e^{- n over 2 }]를

만족시킬 때가 있고 그렇지 않을 때가 있다.

그 당시 나름 킬러 문항인데, 지금 보면 조금 애매한 느낌.

준킬러보다는 어렵지만 킬러라기엔 조금?

				72

	수학 영역

[2014학년도 9월 27번]

함수 [eqn: f(x)=ln(tanx)```left(0<x< pi over 2 right)]의 역함수 [eqn: g(x)]에
대하여 [eqn: lim_h->0 {4g(8h) -pi } over h]의 값을 구하여라.

[eqn: 16]

▷ 역함수의 미분법. 미분계수식의 변형.

[2014학년도 6월 23번]

[eqn: lim_x->0 { e^2x +10x-1} over { x}]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

▷ 두 부분으로 찢어서.

[2014학년도 9월 29번]

아래 그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 선분 [eqn: \AB]를 빗변으로
하고 [eqn: angle \BAC=theta```left(0<theta< pi over 6 right)]인 직각삼각형 [eqn: \ABC]에 대하여
점 [eqn: \D]를 [eqn: angle \ACD= 2 over 3 pi], [eqn: angle \CAD= 2 theta]가 되도록 잡는다.
삼각형 [eqn: \BCD]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때,

[eqn: lim _{theta -> 0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} =p]

이다. [eqn: 300p^2]의 값을 구하여라.
(단, 네 점 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D]는 한 평면 위에 있다.)

[eqn: 100]

▷ 각을 많이 줬네?

				72

	수학 영역

[2014학년도 6월 8번]

점 [eqn: rmA(1,```0)]을 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l]이
곡선 [eqn: y=2 sqrt { x}]와 만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]에서 내린 수선의
발을 [eqn: rmC], 직선 [eqn: l]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자.
점 [eqn: {rmB}(t,```2 sqrt { t})]에 대하여 삼각형 [eqn: rmBAC]의 넓이를 [eqn: f(t)]라
할 때, [eqn: f`'(9)]의 값은?

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: { 10} over {3 }]	③ [eqn: { 11} over {3 }]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: { 13} over {3 }]

▷ 그냥 풀면 된다.

[2014학년도 6월 11번]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]인 원 위에 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가
있다. [eqn: rmbar{AC}=4], [eqn: bar{rmBC}=3]이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 2]이다.
[eqn: rmANGLE AOB= theta]일 때, [eqn: sin theta]의 값은? (단, [eqn: 0<theta<pi])

⑤

① [eqn: {2root2} over 9]	② [eqn: {5 root2 } over 18]	③ [eqn: root2 over 3]

④ [eqn: {7root2} over 18]	⑤ [eqn: {4root2} over 9]

▷ [eqn: {1} over {2} ab sintheta]와 이배각.

				72

	수학 영역

[2014학년도 6월 21번]

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1]이고 중심이
각각 [eqn: rmO], [eqn: rmO']인 두 원 [eqn: O], [eqn: O`']이 외접하고 있다. 원 [eqn: O] 위의
점 [eqn: rmA]에서 원 [eqn: O`']에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라
하자. [eqn: rm ANGLE AOO prime =theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta->0+} {bar{rmPQ}} over {theta}]의 값은?
(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}])

③

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt { 6}]	③ [eqn: 2sqrt { 2}]

④ [eqn: sqrt { 10}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 3}]

▷ [eqn: rmbarPQ]보다 먼저 구해야 하는 것이 [eqn: rmbarAO']이다.

[2013학년도 수능 23번]

함수 [eqn: f(x)=2`cos LEFT ( x- {pi} over {3} RIGHT ) +2 sqrt {3} `sinx]의 최댓값은
[eqn: a]이다. [eqn: a ^{2}]의 값을 구하여라.

[eqn: 28]

▷ 펼치고 합성.

[2013학년도 수능 29번]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: bar{rmAB} =1]이고 [eqn: rm ANGLE A=theta], [eqn: rm ANGLE B=2theta]이다.
변 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmD]를 [eqn: rm ANGLE ACD=2 ANGLE BCD]가 되도록 잡는다.
[eqn: lim _{theta-> 0+} {{bar{rmCD}} over {theta}} =a]일 때, [eqn: 27a ^{2}]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {4}])

[eqn: 16]

▷ 각이 많네? [eqn: RARROW]

				72

	수학 영역

[2014학년도 6월 30번]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=x ^{2} +x] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의
[eqn: x]좌표를 각각 [eqn: s], [eqn: t]([eqn: 0<s<t])라 하자. 양수 [eqn: k]에 대하여
두 직선 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB]와 곡선 [eqn: y=x ^{2} +x]로 둘러싸인 부분의
넓이가 [eqn: k]가 되도록 하는 점 [eqn: (s,```t)]가 나타내는 곡선을 [eqn: C]라
하자. 곡선 [eqn: C] 위의 점 중에서 점 [eqn: (1,```0)]과의 거리가 최소인
점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {2} over {3}]일 때, [eqn: k= {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인
자연수이다.)

[eqn: 109]

▷ [점에서의 최단거리]는 거의 안 나오긴 하는데.

두 가지 방법으로 풀 수 있다.

① 법선이 점 [eqn: (1,```0)]을 지날 때

② 거리 나타내고 미분해서 (음함수 미분)

[2013학년도 수능 21번]

함수 [eqn: f(x)=kx ^{2} e ^{-x} (k>0)]과 실수 [eqn: t]에 대하여
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서 [eqn: x]축까지의 거리와
[eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수
[eqn: g(t)]가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 [eqn: k]의
최댓값은?

⑤

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {1} over {sqrt {e}}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: sqrt {e}]	⑤ [eqn: e]

▷ 함수 [eqn: f(x)]의 개형을 그리고 [eqn: y=|x|]와의

위치관계가 중요하다는 것을 눈치 채야 한다.

[eqn: g(t)]를 구간별 식으로 쓰는 것도 가능하지만,

대충 아마 [꺾이겠다.]를 이용해서 풀어도 충분.

				72

	수학 영역

[2013학년도 9월 19번]

그림과 같이 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고
반지름의 길이가 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4]인 세 반원을 각각
[eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}], [eqn: O _{3}]이라 하자. 세 점 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}]은 선분 [eqn: \OB]
위에서 동시에 출발하여 각각 세 반원 [eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}], [eqn: O _{3}] 위를
같은 속력으로 시계 반대 방향으로 움직이고 있다.
[eqn: ANGLE rm BOP _{ 3} = theta]라 하고 삼각형 [eqn: rm ABP _{ 1}]의 넓이를 [eqn: S_{ 1}], 삼각형
[eqn: rm ABP _{ 2}]의 넓이를 [eqn: S_{ 2}], 삼각형 [eqn: rm ABP _{ 3}]의 넓이를 [eqn: S_{ 3}]이라 하자.
[eqn: 3S_{ 3} = 2( S _{ 1} + S _{ 2} )]일 때, [eqn: cos ^{3} theta]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < { pi} over { 4}])

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

▷ 원 위의 점. 배각공식.

[2013학년도 9월 20번]

그림과 같이 점 [eqn: rmA(-2,``0)]과 원 [eqn: x^2 + y^2 = 4] 위의
점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmAP]가 원 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = 1]과 두 점에서
만날 때 두 점 중에서 점 [eqn: rmP]에 가까운 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: rmANGLE OAP= theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {rm {bar{PQ}} over {theta ^{2}}} it]의 값은?

④

① [eqn: { 5} over { 2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over { 2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: { 9} over {2 }]

▷ [eqn: {rmB}(1,```0)]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABQ]를 째려봐.

코사인법칙 각이지? 원의 중심 [eqn: rmB]에서

현 [eqn: rmAP]에 수선의 발 내려서 다뤄도 좋고.

				72

	수학 영역

[2013학년도 9월 21번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수를
[eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(1)]의 값은?

(가) [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고

[eqn: g`prime(x) LEQ { 1} over {3 }]이다.

(나) [eqn: lim _{ x->3} { f(x)-g(x)} over { (x-3)g(x)}= { 8} over { 9}]

①

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

▷ (나)의 [eqn: f(3)=g(3)]에서 [eqn: f(3)]을 알 수 있다.

엄밀하게는 쉽지 않다. 일단 분위기상 하자.

도함수 [eqn: f`'(x)]의 그래프를 그려보자. 최솟값이..?

[2013학년도 9월 22번]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한
함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x ^{3} )=2x ^{3} -x ^{2} +32x]

를 만족시킬 때, [eqn: f `prime(1)]의 값을 구하여라.

[eqn: 12``]

▷ 합성함수의 미분법.

				72

	수학 영역

[2013학년도 6월 8번]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x>-1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: ln(1+x) LEQ f(x) LEQ {1} over {2} LEFT ( e ^{2x} -1 RIGHT )]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{x -> 0} {} {f(3x)} over {x}]의 값은?

③

① [eqn: 1``]	② [eqn: e``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 2e``]

▷ 엄밀하게는 조임(샌드위치) 정리.

보통 [eqn: f(x)]를      나      로 보고 풀지?

[2013학년도 6월 21번]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x-1]과 실수 [eqn: m]에 대하여
함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= {cases{f(x)&(f(x) GEQ mx)#mx&(f(x)<mx)}}]

라 하자. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때,
[eqn: m]의 값은?

②

① [eqn: -14``]	② [eqn: -12``]	③ [eqn: -10``]

④ [eqn: -8``]	⑤ [eqn: -6``]

▷ 적당한 삼차함수와 적당한 직선을 그려놓고

고민해보자. 미분가능하려면?

참고로, 조건이 하나 남는다.

미지수 하나 더 잡아도 되는데 봐준겨.

				72

	수학 영역

[2013학년도 6월 26번]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수
[eqn: f(x)]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,```1)]에서의
접선의 기울기는 [eqn: 1]이다. 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라
할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (1,```a)]에서의 접선의
기울기는 [eqn: b]이다. [eqn: 10(a+b)]의 값을 구하여라.

[eqn: 15``]

▷ 합성함수/역함수의 미분법. 도식화짜응.

[2013학년도 6월 29번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는
반원 위에 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 [eqn: rm angle ABP = angle BAQ = theta LEFT ( 0 < theta < pi over 4 RIGHT )]가
되도록 잡는다. 두 선분 [eqn: rmAQ], [eqn: rmBP]와 호 [eqn: rm PQ]에 내접하는
원의 반지름의 길이를 [eqn: r(theta)]라 할 때,

[eqn: lim_{theta-> pi over 4 - } {r (theta)} over {pi over 4 - theta} = p root2 + q]

이다. [eqn: p^2 + q^2]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[eqn: 8``]

▷ 이등변삼각형, 원에 대한 전형적인 보조선들.

				72

	수학 영역

[2012학년도 수능 18번]

정의역이 [eqn: left{`x`|`0 le x le pi right}]인 함수 [eqn: f(x) = 2x cos x]에
대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: f` prime (a)=0]이면 [eqn: tan a = 1 over a]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = a]에서 극댓값을 가지는

[eqn: a]가 구간 [eqn: LEFT ( pi over 4 ,``` pi over 3 RIGHT )]에 있다.

ㄷ. 구간 [eqn: left[0,``` pi over 2 right]]에서 방정식 [eqn: f(x) = 1]의

서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형을 잡고 시작하자.

디귿은 [eqn: f(x)]의 최댓값의 크기에 대한 서술인데,

어... 니은이 힌트.

[2012학년도 수능 20번]

좌표평면에서 직선 [eqn: y = mx(0<m<root 3 )]가 [eqn: x]축과
이루는 예각의 크기를 [eqn: theta_1], 직선 [eqn: y= mx]가 직선 [eqn: y = root 3 x]와
이루는 예각의 크기를 [eqn: theta_2]라 하자. [eqn: 3 sin theta_1 + 4 sin theta_2]의 값이
최대가 되도록 하는 [eqn: m]의 값은?

①

① [eqn: root3 over 6``]	② [eqn: root 3 over 7``]	③ [eqn: root 3 over 8``]

④ [eqn: root 3 over 9``]	⑤ [eqn: root3 over 10``]

▷ [eqn: theta_1 +theta_2]는      이다. 삼각함수의 합성.

				72

	수학 영역

[2012학년도 수능 23번]

방정식 [eqn: 3 cos 2x + 17 cos x = 0]을 만족시키는
[eqn: x]에 대하여 [eqn: tan^2 x]의 값을 구하여라.

[eqn: 35``]

▷ 코사인 이배각은 개꿀.

[2012학년도 9월 5번]

좌표평면에서 두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=-2x]가 이루는
예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan theta]의 값은?

④

① [eqn: 2``]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

▷ 대충 풀고 절댓값 씌우면 예각 되나?

[2012학년도 수능 27번]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]이고 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를
지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의
발을 [eqn: rmQ], 점 [eqn: rmQ]에서 선분 [eqn: rmOP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR],
점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmAP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmS]라 하자.
[eqn: rmANGLE PAQ= theta LEFT ( 0< theta < {pi } over {4} RIGHT )]일 때, 삼각형 [eqn: rmAOS]의 넓이를 [eqn: f(theta)],
삼각형 [eqn: rmPRQ]의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 하자. [eqn: lim_theta->0+ {theta^2 f(theta)} over {g(theta)} = q over p]일
때, [eqn: p^2 +q^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p``]와 [eqn: q`]는 서로소인
자연수이다.)

[eqn: 65]

▷ 쉽당.

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	수학 영역

[2012학년도 9월 9번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{e ^{3x} -1} over {x LEFT ( e ^{x} +1 RIGHT )}&``` LEFT ( x != 0 RIGHT )#`a&``` LEFT ( x=0 RIGHT )}}]

이다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

▷ [eqn: lim_x->0 f(x)=f(0)] 정도 써 줘야지.

[2012학년도 9월 27번]

평면에 있는 사각형 [eqn: rmABCD]가

[eqn: rm bar{AB} = bar{AD} =1],   [eqn: rm bar{BC} = bar{CD} = bar{DB}]

를 만족시킨다. [eqn: rmANGLE DAB= theta]라 할 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의
넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: 60sin ^{2} theta]의 값을
구하여라.

[eqn: 15`]

▷ 이등변 반 갈라요.

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	수학 영역

[2012학년도 6월 2번]

[eqn: lim_x->0 (1+3x)^{ { 1} over { 6x}]의 값은?

③

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: 1overe]	③ [eqn: sqrt { e}]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e^2]

▷ [eqn: e]의 정의와 변형. 까먹으면 안 돼.

[2012학년도 6월 8번]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} -a lnx``(a>0)]의 극솟값이 [eqn: 0]일 때,
상수 [eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {2} over {e}]	③ [eqn: sqrt {e}]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

▷ 그냥 풀면 돼요.

[2012학년도 6월 21번]

양의 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수

[eqn: f(x)={1}over27 (x^4 -6x^3 +12x^2 +19x)]

에 대하여 [eqn: f`(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 보기에서
옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. 점 [eqn: (2,```2)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=x]의 실근 중 양수인 것은

[eqn: x=2] 하나뿐이다.

ㄷ. 함수 [eqn: |f(x)-g(x)|]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 니은에서 [eqn: f(x)=x]를 풀었지?

함수 [eqn: y=f(x)-x]의 그래프를 그려봐.

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	수학 영역

[2012학년도 6월 25번]

[eqn: tan2alpha = 5over12]일 때, [eqn: tan alpha =p]이다. [eqn: 60p]의 값을
구하여라. (단, [eqn: 0<alpha < piover4]이다.)

[eqn: 12]

▷ [eqn: tan(alpha+alpha)=]          .

[2012학년도 6월 26번]

함수 [eqn: f(x) = (x+1)^{3over2}]과 실수 전체의 집합에서
미분가능한 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]를
[eqn: h(x)= (g CIRCf)(x)]라 하자. [eqn: h prime (0) =15]일 때, [eqn: g prime (1)]의
값을 구하여라.

[eqn: 10]

▷ 쉽당.

[2012학년도 6월 27번]

중심이 [eqn: rmO]이고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지름의 양 끝으로 하며
반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C]가 있다. 그림과 같이 원 [eqn: C] 위의
점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmO]를 지나고 직선 [eqn: rmAP]와 평행한 직선이
선분 [eqn: rmPB]와 만나는 점을 [eqn: rmQ], 호 [eqn: rmPB]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라
하자. [eqn: rmanglePAB =theta left( 0<theta< { pi} over {2 }right)]라 하고, 점 [eqn: rmQ]와 점 [eqn: rmR]를
지름의 양 끝으로 하는 원의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때,
[eqn: lim_theta->0+ { S(theta)} over {theta^4 }= { q} over {p }pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: rmbarQR <1]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 17]

▷ 티피컬.

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	수학 영역

[2010학년도 수능 30번]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치
[eqn: (x,```y)]가

[eqn: cases {x = 4 (cos t + sin t ) # y = cos 2t}] ([eqn: 0 le x le2pi])

이다. 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 2pi]까지 움직인
거리(경과 거리)를 [eqn: a pi]라 할 때, [eqn: a^2]의 값을 구하여라.

[eqn: 64]

▷ 공식 외우지?

[2011학년도 9월 27번]

곡선 [eqn: y= LEFT ( ln {1} over {ax} RIGHT ) ^{2}]의 변곡점이 직선 [eqn: y=2x] 위에
있을 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: e]	② [eqn: {5} over {4} e]	③ [eqn: {3} over {2} e]

④ [eqn: {7} over {4} e]	⑤ [eqn: 2e]

▷ 헷갈리지? [eqn: -lnax]를 이상하게 써놔서.

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	수학 영역

[2011학년도 9월 29번]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 다음 표는 [eqn: x]의 값에 따른
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )], [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )]의 변화 중 일부를 나타낸 것이다.

[eqn: x]	[eqn: x<1]	[eqn: x=1]	[eqn: 1<x<3]	[eqn: x=3]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: 0]		[eqn: 1]
[eqn: f`''(x)]	[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]		[eqn: { pi} over {2 }]		[eqn: pi]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =sin LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]에 대하여 옳은 것만을 보기에서
있는 대로 고른 것은?

③

<보 기>

ㄱ. [eqn: g`' LEFT ( 3 RIGHT ) =-1]

ㄴ. [eqn: 1<a<b<3]이면 [eqn: -1< {g LEFT ( b RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} <0]이다.

ㄷ. 점 [eqn: rmP LEFT ( 1,```1 RIGHT )]은 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 평소에 증감표를 잘 안 써서..

[eqn: y=f`'(x)]와 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 그려보자.

[eqn: f(x)]의 개형이 잘 나오면 뒤쪽은 어렵지 않다.

[2010학년도 수능 27번]

곡선 [eqn: y = e^x] 위의 점 [eqn: (1,```e)]에서의 접선이 곡선
[eqn: y = 2 rootx-k]에 접할 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

②

① [eqn: 1 over e]	② [eqn: 1 over e^2]	③ [eqn: 1 over e^4]
④ [eqn: 1 over 1+e]	⑤ [eqn: 1 over{1+e^2]

▷ 접선의 정의로 풀어보자. [접점 설정].

판별식으로 처리하는 것도 가능하다.

[2010학년도 9월 27번]

함수 [eqn: f(x)=ln(e^x -1)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: {1} over {f` prime (a)} + {1} over {g prime (a)}]의 값은?

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▷ 역함수를 직접 구하는 것이 어렵지 않다.

역함수의 미분법을 쓰면 오히려 혼란스러움.

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	수학 영역

[2009학년도 수능 28번]

함수 [eqn: f`(x)=4 ln x+ln (10-x)]에 대하여 보기에서
옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

<보 기>

ㄱ. 함수 [eqn: f`(x)]의 최댓값은 [eqn: 13 ln2]이다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f`(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: y= e^"f`(x)"]의 그래프는 구간 [eqn: LEFT ( 4,```8 RIGHT )]에서

위로 볼록하다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 개형부터 잡아봐. [eqn: f(x)=ln left{x ^{4} (10-x) RIGHT }]인데,

[eqn: y=x^4 (10-x)]를 그리고 로그 씌우면?

[2009학년도 9월 27번]

좌표평면에서 곡선

[eqn: y=cos^n x```( 0＜x＜ {pi } over {2} ,```n=2,```3,```4,```cdots )]

의 변곡점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim_{n→ inf} {a_n}]의 값은?

③

① [eqn: {1} over {e^2}]	② [eqn: {1} over {e}]	③ [eqn: {1} over {SQRT { e}}]

④ [eqn: {1} over {2e}]	⑤ [eqn: {1} over {SQRT { 2e}}]

▷ 문제 귀엽네. 천천히 풀어.

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	수학 영역

[2009학년도 9월 30번]

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]이고 반지름의
길이가 [eqn: 1]인 부채꼴 [eqn: \AOB]와 선분 [eqn: \OA] 위를 움직이는 점
[eqn: \P]가 있다. 선분 [eqn: \OP]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: \OPQR]가
호 [eqn: \AB]와 서로 다른 두 점 [eqn: \S], [eqn: \T]에서 만날 때, 정사각형
[eqn: \OPQR]에서 점 [eqn: \Q]를 중심으로 하고 반지름이 [eqn: \QS]인 부채꼴
[eqn: \SQT]를 제외한 어두운 부분의 넓이를 [eqn: D`]라 하자.
[eqn: ∠ \SOT = theta]라 할 때, [eqn: D`]가 최대가 되도록 하는 [eqn: theta]에 대하여
[eqn: 10pi tan theta]의 값을 구하여라.

[eqn: 20]

▷ 옛날 문제들이 쉽긴 쉽구나.

[2009학년도 6월 19번]

자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {ax ^{n+b} +2x-1} over {x ^{n} +1} (x>0)]

이 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: a+10b]의 값을 구하여라.

[eqn: 21]

▷ 다루는 방법 알지?

[eqn: 0<x<1],   [eqn: x=1],   [eqn: 1<x]

로 범위 나눠서.

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