기출문제 다잡기

평가원의 수준

[수열의 극한]

5A ACADEMY

SOOHAN

	수학 영역

[2023학년도 수능 미적분 25번]

등비수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n rarrow inf} {a_{n}+1} over {3^{n}+2^{2 n-1}}=3]일 때,
[eqn: a_{2}]의 값은?

⑤

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

▷ 등비수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]을 결정할 수 있다.

[2023학년도 9월 미적분 25번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n->inf} {{a _{n} +2} over {2}} =6]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {{na _{n} +1} over {a _{n} +2n}}]의 값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 무한대로 가는 것은?

[2023학년도 수능 미적분 27번]

그림과 같이 중심이 [eqn: rm{O}it], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의
크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rm{OA}it_{1} rm{~B}it_{1}]이 있다. 호 [eqn: rm{A}it_{1} rm{~B}it_{1}] 위에 점
[eqn: rm{P}it_{1}], 선분 [eqn: rm{OA}it_{1}] 위에 점 [eqn: rm{C}it_{1}], 선분 [eqn: rm{OB}it_{1}]위에 점 [eqn: rm{D}it_{1}]을 사각형
[eqn: rm{OC}it_{1} rm{P}it_{1} rm{D}it_{1}]이 [eqn: bar{rm{OC}it_{1}}: bar{rm{OD}it_{1}}=3: 4]인 직사각형이 되도록 잡는다.
부채꼴 [eqn: rm{OA}it_{1} rm{~B}it_{1}]의 내부에 점 [eqn: rm{Q}it_{1}]을 [eqn: bar{rm P it rm _{1} rm Q it rm _{1} it} = bar{rm A it rm _{1} rm Q it rm _{1} it}],
[eqn: ANGLE rm P it rm _{1} rm Q it rm _{1} rm `A it rm _{1} = {pi } over {2}]가 되도록 잡고, 이등변삼각형 [eqn: rm{P}it_{1} rm{Q}it_{1} rm{~A}it_{1}]에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1}]에서 선분 [eqn: rm{OA}it_{1}] 위의 점 [eqn: rm{A}it_{2}]와 선분 [eqn: rm{OB}it_{1}] 위의
점 [eqn: rm{B}it_{2}]를 [eqn: bar{rm{OQ}it_{1}}=bar{rm{OA}it_{2}}=bar{rm{OB}it_{2}}]가 되도록 잡고, 중심이 [eqn: rm{O}it],
반지름의 길이가 [eqn: bar{rm{OQ}it_{1}}], 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴
[eqn: rm{OA}it_{2} rm{~B}it_{2}]를 그린다. 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로
네 점 [eqn: rmP_2], [eqn: rmC_2], [eqn: rmD_2], [eqn: rmQ_2]를 잡고, 이등변삼각형 [eqn: rm{P}it_{2} rm{Q}it_{2} rm{A}it_{2}]에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow inf} S_{n}]의 값은?

②

① [eqn: {9} over {40}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {11} over {40}]

④ [eqn: {3} over {10}]	⑤ [eqn: {13} over {40}]

▷ 좌표잡아도 좋고, 어떻게 보면 덧셈정리.

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	수학 영역

[2023학년도 9월 미적분 27번]

그림과 같이 [eqn: {bar{rmA _{1} B _{1}}} =4], [eqn: {bar{rmA _{1} D _{1}}} =1]인 직사각형
[eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에서 두 대각선의 교점을 [eqn: rmE _{1}]이라 하자.
[eqn: {bar{rmA _{2} D _{1}}} = {bar{rmD _{1} E _{1}}}], [eqn: ANGLE rmA _{2} D _{1} E _{1} = {pi} over {2}]이고 선분 [eqn: rmD _{1} C _{1}]과 선분
[eqn: rmA _{2} E _{1}]이 만나도록 점 [eqn: rmA _{2}]를 잡고, [eqn: {bar{rmB _{2} C _{1}}} = {bar{rmC _{1} E _{1}}}],
[eqn: ANGLE rmB _{2} C _{1} E _{1} = {pi} over {2}]이고 선분 [eqn: rmD _{1} C _{1}]과 선분 [eqn: rmB _{2} C _{1}]이 만나도록
점 [eqn: rmB _{2}]를 잡는다. 두 삼각형 [eqn: rm A _{2} D _{1} E _{1}], [eqn: rmB _{2} C _{1} E _{1}]을 그린 후
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 [eqn: {bar{rmA _{2} B _{2}}} : {bar{rmA _{2} D _{2}}} =4:1]이고 선분 [eqn: rmD _{2} C _{2}]가 두 선분
[eqn: rm A _{2} E _{1}], [eqn: rmB _{2} E _{1}]과 만나지 않도록 직사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를
그린다. 그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 세 점
[eqn: rmE _{2}], [eqn: rmA _{3}], [eqn: rmB _{3}]을 잡고 두 삼각형 [eqn: rmA _{3} D _{2} E _{2}], [eqn: rmB _{3} C _{2} E _{2}]를 그린
후  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{itn}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {68} over {5}]	② [eqn: {34} over {3}]	③ [eqn: {68} over {7}]

④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: {68} over {9}]

▷ 덧셈정리도 반복해서 내는군.

[2023학년도 6월 미적분 23번]

[eqn: lim _{n`->`inf} {` {1} over {sqrt {n ^{2} +3n} - sqrt {n ^{2} +n}}}]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

▷ 유리화

[2023학년도 6월 미적분 27번]

첫째항이 [eqn: 4]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 급수

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} - {3n+7} over {n+2} RIGHT )]

이 실수 [eqn: S]에 수렴할 때, [eqn: S]의 값은?

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

▷ 등차수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]을 결정할 수 있다.

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	수학 영역

[2023학년도 6월 미적분 26번]

그림과 같이 [eqn: {bar{rmA _{1} B _{1}}} =2], [eqn: {bar{rm B _{1} A _{2}}} =3]이고 [eqn: rm ANGLE A _{1} B _{1} A _{2} = {pi } over {3}]인
삼각형 [eqn: rm A _{1} A _{2} B _{1}]과 이 삼각형의 외접원 [eqn: O _{1}]이 있다. 점 [eqn: rmA _{2}]를
지나고 직선 [eqn: rmA _{1} B _{1}]에 평행한 직선이 원 [eqn: O _{1}]과 만나는 점
중 [eqn: rmA _{2}]가 아닌 점을 [eqn: rmB _{2}]라 하자. 두 선분 [eqn: rm A _{1} B _{2}], [eqn: rm B _{1} A _{2}]가
만나는 점을 [eqn: rmC _{1}]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm A _{1} A _{2} C _{1}], [eqn: rm B _{1} C _{1} B _{2}]로
만들어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라
하자. 그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rmB _{2}]를 지나고 직선 [eqn: rmB _{1} A _{2}]에 평행한
직선이 직선 [eqn: rm A _{1} A _{2}]와 만나는 점을 [eqn: rmA _{3}]이라 할 때, 삼각형
[eqn: rmA _{2} A _{3} B _{2}]의 외접원을 [eqn: O _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 [eqn: rmB _{3}], [eqn: rmC _{2}]를
잡아 원 [eqn: O _{2}]에  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때 [eqn: lim _{n->inf} {S _{n}}]의 값은?

②

① [eqn: {11 sqrt {3}} over {9}]	② [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {13 sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: {14 sqrt {3}} over {9}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]

▷ 원에 내접하는 사다리꼴.

[2022학년도 수능 미적분 25번]

등비수열 [eqn: left { a_n right }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{2n-1} -a _{2n} RIGHT ) =3],
[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } (a_n )^2 =6]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } a_n]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 등비급수.

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	수학 영역

[2022학년도 9월 미적분 27번]

그림과 같이 [eqn: bar{rmAB _{1} }}=1], [eqn: bar{rmB _{1} C _{1} }}=2]인 직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]이
있다. [eqn: ANGLE{rmAD _{1} C _{1}}]을 삼등분하는 두 직선이 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]과
만나는 점 중 점 [eqn: rmB _{1}]에 가까운 점을 [eqn: rmE _{1}], 점 [eqn: rmC _{1}]에 가까운
점을 [eqn: rmF _{1}]이라 하자. [eqn: bar{rmE _{1} F _{1} }}=bar{rmF _{1} G _{1} }}], [eqn: ANGLE{rmE _{1} F _{1} G _{1} }}= {pi} over {2}]이고
선분 [eqn: rmAD _{1}]과 선분 [eqn: rmF _{1} G _{1}]이 만나도록 점 [eqn: rmG _{1}]을 잡아
삼각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} G _{1}]을 그린다.
선분 [eqn: rmE _{1} D _{1}]과 선분 [eqn: rmF _{1} G _{1}]이 만나는 점을 [eqn: rmH _{1}]이라 할 때,
두 삼각형 [eqn: rmG _{1} E _{1} H _{1}], [eqn: rmH _{1} F _{1} D _{1}]로 만들어진  모양의
도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmAB _{1}] 위의 점 [eqn: rmB _{2}], 선분 [eqn: rmE _{1} G _{1}] 위의 점
[eqn: rmC _{2}], 선분 [eqn: rmAD _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]와 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: {bar{rm AB _{2} it}} :{bar{rm B _{2} C _{2} it}} =1:2]인 직사각형 [eqn: rmAB _{2} C _{2} D _{2}]를 그린다. 직사각형
[eqn: rmAB _{2} C _{2} D _{2}]에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {9}]	② [eqn: {5 sqrt {3}} over {18}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {7 sqrt {3}} over {18}]	⑤ [eqn: {4 sqrt {3}} over {9}]

▷ 귀찮은 문항. 답이 왜 간단하게 나오는지 모르겠네.

[2022학년도 6월 미적분 26번]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고
중심각의 크기가 [eqn: {5pi} over {12}]인 부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} O _{2}]가 있다. 호 [eqn: rmA _{1} O _{2}]
위에 점 [eqn: rmB _{1}]을 [eqn: rmANGLE A _{1} O _{1} B _{1} = {pi } over {4}]가 되도록 잡고, 부채꼴
[eqn: rmO _{1} A _{1} B _{1}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rmO _{2}]를 지나고 선분 [eqn: rmO _{1} A _{1}]에 평행한 직선이
직선 [eqn: rmO _{1} B _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rmA _{2}]라 하자. 중심이 [eqn: O _{2}]이고
중심각의 크기가 [eqn: {5pi} over {12}]인 부채꼴 [eqn: rmO _{2} A _{2} O _{3}]을 부채꼴
[eqn: rmO _{1} A _{1} B _{1}]과 겹치지 않도록 그린다. 호 [eqn: rmA _{2} O _{3}] 위에 점 [eqn: rmB _{2}]를
[eqn: rm ANGLE A _{2} O _{2} B _{2} = {pi} over {4}]가 되도록 잡고, 부채꼴 [eqn: rmO _{2} A _{2} B _{2}]에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->`inf} {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {3pi} over {16}]	② [eqn: {7pi} over {32}]	③ [eqn: {pi} over {4}]

④ [eqn: {9pi} over {32}]	⑤ [eqn: {5pi} over {16}]

▷ 등비급수와 도형에 삼각형분석이나 덧셈정리가

섞여 들어가고 있다. 전통으로 회귀하는 일은 없으려나.

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	수학 영역

[2021학년도 수능 14번]

그림과 같이 [eqn: bar{rmAB _{1} }=2], [eqn: bar{rmAD _{1} }=4]인 직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]이
있다. 선분 [eqn: rmAD _{1}]을 [eqn: 3:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE _{1}]이라 하고,
직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]의 내부에 점 [eqn: rmF _{1}]을 [eqn: bar{rmF _{1} E _{1} }=bar{rmF _{1} C _{1} }],
[eqn: ANGLE{rmE _{1} F _{1} C _{1} }= {pi} over {2}]가 되도록 잡고 삼각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} C _{1}]을 그린다.
사각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} C _{1} D _{1}]을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: rmAB _{1}] 위의 점 [eqn: rmB _{2}], 선분 [eqn: rmE _{1} F _{1}] 위의
점 [eqn: rmC _{2}], 선분 [eqn: rmAE _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]와 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: bar{rmAB _{2} }:bar{rmAD _{2} }=1:2]인 직사각형 [eqn: rmAB _{2} C _{2} D _{2}]에 삼각형 [eqn: rmE _{2} F _{2} C _{2}]를
그리고 사각형 [eqn: rmE _{2} F _{2} C _{2} D _{2}]를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라
하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에
색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의
값은?

③

① [eqn: {441} over {103}]	② [eqn: {441} over {109}]	③ [eqn: {441} over {115}]

④ [eqn: {441} over {121}]	⑤ [eqn: {441} over {127}]

▷ 여기다 덧셈정리를 냈어?

등비급수와 도형 문제는 전통적인 양식인

[직각삼각형 찾아서 피타고라스]

의 빈도가 꽤 줄어들었다.

[2021학년도 수능 18번]

실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x) = lim _{ n->inf} {{ left(a-2 right) x^2n+1} + 2x} over{3x^2n + 1} }]

라 하자. [eqn: left( f CIRC f right) (1) = 5over 4]가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의
합은?

③

① [eqn: 11 over2]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: {15} over {2}]

④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: {19} over {2}]

▷ 나눠서 함수 구하고 그래프 그리고 할 수 있지?

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	수학 영역

[수능 예시문항 미적분 24번]

정수 [eqn: k]에 대하여 수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 일반항을

[eqn: a _{n} = LEFT ( {|`k`|} over {3} -2 RIGHT ) ^{n}]

이라 하자. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 수렴하도록 하는 모든 정수
[eqn: k]의 개수는?

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

▷ [eqn: -1<r le 1]이면 수렴한다.

참고로 등비급수는             이면 수렴한다.

[수능 예시문항 미적분 26번]

그림과 같이 [eqn: bar{rmOA _{1} }= sqrt {3}], [eqn: bar{rmOC _{1} }=1]인 직사각형
[eqn: rmOA _{1} B _{1} C _{1}]이 있다. 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}] 위의 [eqn: bar{rmB _{1} D _{1} }=2bar{rmC _{1} D _{1} }]인
점 [eqn: rmD _{1}]에 대하여 중심이 [eqn: rmB _{1}]이고 반지름의 길이가
[eqn: bar{rmB _{1} D _{1} }]인 원과 선분 [eqn: rmOA _{1}]의 교점을 [eqn: rmE _{1}], 중심이 [eqn: rmC _{1}]이고
반지름의 길이가 [eqn: bar{rmC _{1} D _{1} }]인 원과 선분 [eqn: rmOC _{1}]의 교점을
[eqn: rmC _{2}]라 하자. 부채꼴 [eqn: rmB _{1} D _{1} E _{1}]의 내부와 부채꼴 [eqn: rmC _{1} C _{2} D _{1}]의
내부로 이루어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: rmOA _{1}] 위의 점 [eqn: rmA _{2}], 호 [eqn: rmD _{1} E _{1}] 위의 점
[eqn: rmB _{2}]와 점 [eqn: rmC _{2}], 점 [eqn: rmO]를 꼭짓점으로 하는 직사각형
[eqn: rmOA _{2} B _{2} C _{2}]를 그리고, 그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것 같은 방법으로
직사각형 [eqn: rmOA _{2} B _{2} C _{2}]에  모양의 도형을 그리고 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {S _{n}}]의 값은?

⑤

① [eqn: {5+2 sqrt {3}} over {12} pi]	② [eqn: {2+ sqrt {3}} over {6} pi]	③ [eqn: {3+2 sqrt {3}} over {12} pi]

④ [eqn: {1+ sqrt {3}} over {6} pi]	⑤ [eqn: {1+2 sqrt {3}} over {12} pi]

▷ 전통적인 양식인데, 조건을 좀 넘치게 줬다.

[어? 이게 왜 자동으로 나오지?]

하는 느낌으로 헷갈릴 수 있을 듯.

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	수학 영역

[2021학년도 9월 8번]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: lim_{n``->``inf} 3^n over {a_n + 2^n} =6]일 때,
[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}1 over a_n]의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 공비는 딱봐도    .

[2021학년도 6월 5번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {n} =10]일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } { {a _{n} +2a _{n} ^{```2} +3n ^{2}} over {a _{n} ^{```2} +n ^{2}}}]의 값은?

①

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

▷ 급수가 수렴하면             .

[2021학년도 6월 7번]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n-> INF } {} {2times LEFT ( {x} over {4} RIGHT ) ^{2n+1} -1} over {LEFT ( {x} over {4} RIGHT ) ^{2n} +3}]
에 대하여 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =it- {1} over {3}]을 만족시키는 정수 [eqn: k]의 개수는?

②

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

▷ [eqn: { x} over { 4} =-1]일 때와 [eqn: {x} over {4} =1]일 때를 기준으로.

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	수학 영역

[2021학년도 6월 20번]

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB _{1}}} =3], [eqn: rm {bar{AC _{1}}} =2]이고 [eqn: rm ANGLE B _{1} AC _{1} = {pi } over {3}]인
삼각형 [eqn: rm AB _{1} C _{1]이 있다. [eqn: rm ANGLE B _{1} AC _{1}]의 이등분선이 선분
[eqn: rm B _{1} C _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm D _{1}], 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D _{1}], [eqn: rm C _{1}]을 지나는 원이
선분 [eqn: rm AB _{1}]과 만나는 점 중 [eqn: rm A]가 아닌 점을 [eqn: rm B _{2}]라 할 때,
두 선분 [eqn: rm B _{1} B _{2}], [eqn: rm B _{1} D _{1}]과 호 [eqn: rm B _{2} D _{1}]로 둘러싸인 부분과 선분
[eqn: rm C _{1} D _{1}]과 호 [eqn: rm C _{1} D _{1}]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rm B _{2}]를 지나고 직선 [eqn: rm B _{1} C _{1}]에 평행한 직선이
두 선분 [eqn: rm AD _{1}], [eqn: rm AC _{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm D _{2}], [eqn: rm C _{2}]라 하자.
세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D _{2}], [eqn: rm C _{2}]를 지나는 원이 선분 [eqn: rm AB _{2}]와 만나는 점 중
[eqn: rm A]가 아닌 점을 [eqn: rm B _{3}]이라 할 때, 두 선분 [eqn: rm B _{2} B _{3}], [eqn: rm B _{2} D _{2}]와
호 [eqn: rm B _{3} D _{2}]로 둘러싸인 부분과 선분 [eqn: rm C _{2} D _{2}]와 호 [eqn: rm C _{2} D _{2}]로
둘러싸인 부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {S _{n}}]의 값은?

①

① [eqn: {27 sqrt {3}} over {46}]	② [eqn: {15 sqrt {3}} over {23}]	③ [eqn: {33 sqrt {3}} over {46}]

④ [eqn: {18 sqrt {3}} over {23}]	⑤ [eqn: {39 sqrt {3}} over {46}]

▷ 등비급수와 도형을 [직각삼각형 찾기]가 아니라

[삼각형 분석]으로 출제할 수 있다는 것을 보여준

기념비적인 문항. 익숙하지 않아서 어렵기도 하고.

한편, [원과 비례] 때리면 쉬워져서 좀??

[2020학년도 수능(나형) 18번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 5]인 정사각형 [eqn: rm ABCD it]에
중심이 [eqn: {rmA}]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmABD}]를
그린다. 선분 [eqn: {rmAD}]를 [eqn: 3 :2]로 내분하는 점을 [eqn: {rmA}_{1}], 점 [eqn: {rmA}_{1}]을
지나고 선분 [eqn: {rmAB}]에 평행한 직선이 호 [eqn: {rmBD}]와 만나는 점을
[eqn: {rmB}_{1}]이라 하자.
선분 [eqn: {rmA}_{1}{rmB}_{1}]을 한 변으로 하고 선분 [eqn: {rmDC}]와 만나도록
정사각형 [eqn: {rm A}_{1}{rmB}_{1}{rm C}_{1}{rmD}_{1}]을 그린 후, 중심이 [eqn: {rmD}_{1}]이고 중심각의
크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rm D}_{1}{rmA}_{1}{rm C}_{1}]을 그린다. 선분 [eqn: {rmDC}]가
호 [eqn: {rm A}_{1}{rm C}_{1}], 선분 [eqn: {rm B}_{1}{rm C}_{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: {rmE}_{1}], [eqn: {rmF`}_{1}]이라 하고,
두 선분 [eqn: {rmDA}_{1}], [eqn: {rmDE}_{1}]과 호 [eqn: {rmA}_{1}{rmE}_{1}]로 둘러싸인 부분과 두 선분
[eqn: {rmE}_{1}{rmF`}_{1}], [eqn: {rm F`}_{1}{rm C}_{1}]과 호 [eqn: {rm E}_{1}{rm C}_{1}]로 둘러싸인 부분인  모양의
도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1}]에서 정사각형 [eqn: {rm A}_{1}{rmB}_{1}{rm C}_{1}{rmD}_{1}]에 중심이 [eqn: {rmA}_{1}]이고
중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmA}_{1}{rmB}_{1}{rmD}_{1}]을 그린다. 선분
[eqn: {rmA}_{1}{rmD}_{1}]을 [eqn: 3 :2]로 내분하는 점을 [eqn: {rmA}_{2}], 점 [eqn: {rmA}_{2}]를 지나고 선분
[eqn: {rmA}_{1}{rmB}_{1}]에 평행한 직선이 호 [eqn: {rmB}_{1}{rmD}_{1}]과 만나는 점을 [eqn: {rmB}_{2}]라 하자.
선분 [eqn: {rmA}_{2}{rmB}_{2}]를 한 변으로 하고 선분 [eqn: {rm D}_{1}{rm C}_{1}]과 만나도록
정사각형 [eqn: {rm A}_{2}{rmB}_{2}{rm C}_{2}{rmD}_{2}]를 그린 후, 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은
방법으로 정사각형 [eqn: {rm A}_{2}{rmB}_{2}{rm C}_{2}{rmD}_{2}]에  모양의 도형을 그리고
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim_{n ->inf }S_{n}]의 값은?

⑤

① [eqn: {50}over{3} LEFT (3-sqrt{3}+ {pi}over{6} RIGHT )]	② [eqn: {100}over{9} LEFT (3-sqrt{3}+ {pi}over{3} RIGHT )]

③ [eqn: {50}over{3} LEFT (2-sqrt{3}+ {pi}over{3} RIGHT )]	④ [eqn: {100}over{9} LEFT (3-sqrt{3}+ {pi}over{6} RIGHT )]

⑤ [eqn: {100}over{9} LEFT (2-sqrt{3}+ {pi}over{3} RIGHT )]

▷ 중요 포인트 두 가지.

① 중심과 연결, 직각삼각형의 피타고라스.

② 특수각 직각삼각형 찾기.

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	수학 영역

[2020학년도 수능(나형) 3번]

[eqn: lim _{ n-> inf} { { sqrt { 9n^2 +4} } over { 5n-2} }]의 값은?

③

① [eqn: 1 over 5]	② [eqn: 2 over 5]	③ [eqn: 3 over 5]

④ [eqn: 4 over 5]	⑤ [eqn: 1]

▷ 유리화 한 번 해봐.

[2020학년도 9월(나형) 10번]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
부등식

[eqn: sqrt {9n ^{2} +4} < sqrt {na _{n}} <3n+2]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} { {a _{n}} over {n}}]의 값은?

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▷ 꼴 맞춰서 샌드위치.

[2020학년도 9월(나형) 18번]

그림과 같이 중심이 [eqn: {rmO}], 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고
중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmOAB}]가 있다. 선분 [eqn: {rmOA}]의
중점을 [eqn: {rmC }], 선분 [eqn: {rmOB}]의 중점을 [eqn: {rmD}]라 하자. 점 [eqn: {rmC }]를 지나고
선분 [eqn: {rmOB}]와 평행한 직선이 호 [eqn: {rmAB}]와 만나는 점을 [eqn: {rmE}], 점
[eqn: {rmD}]를 지나고 선분 [eqn: {rmOA}]와 평행한 직선이 호 [eqn: {rmAB}]와 만나는
점을 [eqn: {rmF }]라 하자.
선분 [eqn: {rmCE}]와 선분 [eqn: {rmDF}]가 만나는 점을 [eqn: {rmG}], 선분 [eqn: {rmOE}]와 선분 [eqn: {rmDG}]가 만나는 점을 [eqn: {rmH}], 선분 [eqn: {rmOF}]와 선분 [eqn: {rmCG}]가 만나는 점을 [eqn: {rmI }]라 하자. 사각형 [eqn: {rmOIGH}]를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1 }]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1 }]에 중심이 [eqn: {rmC }], 반지름의 길이가 [eqn: bar{{rmCI}}], 중심각의
크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmCJI}]와 중심이 [eqn: {rmD}], 반지름의 길이가
[eqn: bar{{rmDH}}], 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmDHK}]를 그린다.
두 부채꼴 [eqn: {rmCJI}], [eqn: {rmDHK}]에 그림 [eqn: R_{1 }]을 얻는 것과 같은
방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_{2 }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n }]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n }]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} `S _{n}]의 값은?

①

① [eqn: {2(3 - sqrt 3 )}over{5}]	② [eqn: {7(3 - sqrt 3 )}over{15}]	③ [eqn: {8(3 - sqrt 3 )}over{15}]

④ [eqn: {3(3 - sqrt 3 )}over{5}]	⑤ [eqn: {2(3 - sqrt 3 )}over{3}]

▷ 특수각 직각삼각형.

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	수학 영역

[2020학년도 6월(나형) 17번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: {rm A_{1}B_{1}C_{1}D_{1 }}]이
있다. 선분 [eqn: {rm C_{1}D_{1 }}]의 중점을 [eqn: {rmE_{1}}]이라 하고, 직선 [eqn: {rm A_{1}B_{1 }}] 위에
두 점 [eqn: {rm F_{1}}], [eqn: {rm G_{1}}]을 [eqn: bar{{rm E_{1}F_{1 }}}= bar{{rm E_{1}G_{1}}}], [eqn: bar{{rm E_{1}F_{1}}} : bar{{rm F_{1}G_{1}}}= 5 : 6]이 되도록
잡고 이등변삼각형 [eqn: {rm E_{1}F_{1}G_{1}}]을 그린다. 선분 [eqn: {rm D_{1}A_{1}}_{ }]과 선분
[eqn: {rm E_{1}F_{1}}]의 교점을 [eqn: {rm P_{1}}], 선분 [eqn: {rm B_{1}C_{1}}]과 선분 [eqn: {rm G_{1}E_{1}}]의 교점을
[eqn: {rm Q_{1}}]이라 할 때, 네 삼각형 [eqn: {rm E_{1}D_{1}P_{1}}], [eqn: {rm P_{1}F_{1}A_{1}}], [eqn: {rm Q_{1}B_{1}G_{1}}],
[eqn: {rm E_{1}Q_{1}C_{1}}]로 만들어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{1 }]이라 하자. 그림 [eqn: { R _{1}}]에 선분 [eqn: {rm F_{1}G_{1}}] 위의 두 점 [eqn: {rm A_{2 }}],
[eqn: {rm B_{2 }}]와 선분 [eqn: {rm G_{1}E_{1 }}] 위의 점 [eqn: {rm C_{2}}], 선분 [eqn: {rm E_{1}F_{1}}] 위의 점 [eqn: {rm D_{2}}]를
꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: {rm A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}}]를 그리고, 그림 [eqn: R _{1 }]을
얻는 것과 같은 방법으로 정사각형 [eqn: {rm A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}}]에
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2 }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n }]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n }]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> inf }S_{n }]의 값은?

②

① [eqn: {61}over{6}]	② [eqn: {125}over{12}]	③ [eqn: {32}over{3}]

④ [eqn: {131}over{12}]	⑤ [eqn: {67}over{6}]

▷ 변의 길이 설정 & 닮음.

정사각형 [eqn: {rm A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}}]의 한 변의 길이를

[eqn: a]라 두는 과정이 중요하다.

[2020학년도 6월(나형) 11번]

수열 [eqn: left {a_{n} right }]이 [eqn: sum_{n = 1}^{ inf }(2a_{n }- 3) = 2]를 만족시킨다.
[eqn: lim _{n `->` inf }a_{n }= r]일 때, [eqn: lim _{n -> inf }{r^{n+2} - 1}over{r^{n} + 1}]의 값은?

➂

➀ [eqn: {7}over{4}]	➁ [eqn: 2]	➂ [eqn: {9}over{4}]

➃ [eqn: {5}over{2}]	➄ [eqn: {11}over{4}]

▷ 수준 떨어지는 혼종.

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	수학 영역

[2019학년도 수능(나형) 16번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{OA _{1}} =4], [eqn: rmbar OB_1 =4sqrt3]인 직각삼각형
[eqn: rmOA_1 B_1]이 있다. 중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm {bar{OA _{1}}}]인
원이 선분 [eqn: rm OB _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm B _{2}]라 하자. 삼각형
[eqn: rmOA_1 B_1]의 내부와 부채꼴 [eqn: rm OA _{1} B _{2}]의 내부에서 공통된 부분을
제외한  모양의 도형에 칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 점 [eqn: rmB_2]를 지나고 선분 [eqn: rmA_1 B_1]에 평행한 직선이
선분 [eqn: rmOA_1]과 만나는 점을 [eqn: rmA_2], 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의
길이가 [eqn: rm bar OA_2]인 원이 선분 [eqn: rmOB_2]와 만나는 점을 [eqn: rmB_3]이라
하자. 삼각형 [eqn: rmOA_2 B_2]의 내부와 부채꼴 [eqn: rmOA_2 B_3]의 내부에서
공통된 부분을 제외한  모양의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { S_n}]의 값은?

④

① [eqn: { 3} over { 2} `pi`]	② [eqn: { 5} over { 3}pi]	③ [eqn: { 11} over { 6} pi]

④ [eqn: 2 pi]	⑤ [eqn: { 13} over { 6}`pi]

▷ 부채꼴의 넓이를 구하려면 중심각이 필요하다.

문과 문젠데 어차피 특수각 아니면 답 없겠죠?

[2019학년도 9월(나형) 19번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{ A_1 B_1 } = 3], [eqn: rm bar { B_1 C_1 } = 1]인 직사각형 [eqn: rm OA_1 B_1 C_1]이
있다. 중심이 [eqn: rm C_1]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm bar { B_1 C_1 }]인 원과 선분
[eqn: rm OC_1]의 교점을 [eqn: rmD_1], 중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm bar { OD_1 }]인
원과 선분 [eqn: rm A_1 B_1]의 교점을 [eqn: rm E_1]이라 하자. 직사각형
[eqn: rm OA_1 B_1 C_1]에 호 [eqn: rm B_1 D_1], 호 [eqn: rm D_1 E_1], 선분 [eqn: rm B_1 E_1]로 둘러싸인
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라
하자. 그림 [eqn: R_1]에 선분 [eqn: rm OA_1] 위의 점 [eqn: rm A_2]와 호 [eqn: rm D_1 E_1] 위의
점 [eqn: rmB_2], 선분 [eqn: rm OD_1] 위의 점 [eqn: rm C_2]와 점 [eqn: rm O]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: rm bar { A_2 B_2 } : bar { B_2 C_2 } = 3 : 1]인 직사각형 [eqn: rm O A_2 B_2 C_ 2]를 그리고, 그림
[eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm O A_2 B_2 C_ 2]에
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은?

②

① [eqn: 4 - { 2 root 3 } over 3 - 7 over 9 pi]	② [eqn: 5 - { 5 root 3 } over 6 - 35over 36 pi]

③ [eqn: 6 - root 3 - 7 over 6 pi]	④ [eqn: 7 - { 7 root 3 } over 6 - 49 over 36 pi]

⑤ [eqn: 8 - { 4 root 3 } over 3 - 14 over 9 pi]

▷ 전통 등비급수와 도형의 표준 문항이다.

중심과 연결, 직각삼각형의 피타고라스.

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	수학 영역

[2019학년도 9월 3번]

[eqn: lim_n->inf { 3 times 4^n + 2^n } over { 4^n + 3}]의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 분모분자를 [큰 것]으로 나눈다.

[2019학년도 6월(나형) 11번]

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {x} over {5} RIGHT ) ^{n}]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의
개수는?

⑤

① [eqn: 1`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 7`]	⑤ [eqn: 9`]

▷ 등비수열의 수렴 조건 :

등비급수의 수렴 조건 :

[2019학년도 6월(나형) 18번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{A _{1} B _{1}} =1], [eqn: rm bar{A _{1} D _{1}} =2]인 직사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]
이 있다. 선분 [eqn: rm A _{1} D _{1}] 위의 [eqn: rm bar{B _{1} C _{1}} = bar{B _{1} E _{1}}], [eqn: rm bar{C _{1} B _{1}} = bar{C _{1} F _{1}}]인
두 점 [eqn: rm E _1], [eqn: rmF _{1}]에 대하여 중심이 [eqn: rm { B _{1} }]인 부채꼴 [eqn: rm { B _{1} E _{1} C _{1} }]과
중심이 [eqn: rm { C _{1} }]인 부채꼴 [eqn: rm { C _{1} F _{1} B _{1} }]을 각각 직사각형 [eqn: rm { A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} }]
내부에 그리고, 선분 [eqn: rm { B _{1} E _{1} }]과 [eqn: rm { C _{1} F _{1} }]의 교점을 [eqn: rm { G _{1} }]이라 하자.
두 선분 [eqn: rm { G _{1} F _{1} }], [eqn: rm { G _{1} B _{1} }]과 호 [eqn: rm { F _{1} B _{1} }]로 둘러싸인 부분과 두
선분 [eqn: rm { G _{1} E _{1} }], [eqn: rm { G _{1} C _{1} }]과 호 [eqn: rm { E _{1} C _{1} }]로 둘러싸인 부분인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: { R _{1} }]이라 하자.
그림 [eqn: { R _{1} }]에서 선분 [eqn: rm { B _{1} G _{1} }] 위의 점 [eqn: rm { A _{2} }], 선분 [eqn: rm { C _{1} G _{1} }] 위의
점 [eqn: rm { D _{2} }]와 선분 [eqn: rm { B _{1} C _{1} }] 위의 두 점 [eqn: rm { B _{2} }], [eqn: rm { C _{2} }]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: rm { bar{A _{2} B _{2}} : bar{A _{2} D _{2}} =1:2 }]인 직사각형 [eqn: rm { A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} }]를 그리고,
그림 [eqn: { R _{1} }]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm { A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} }]
내부에  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: { R _{2} }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: { n]번째 얻은 그림 [eqn: { R _{n} }]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

②

① [eqn: {3 sqrt {3} pi -7} over {9} `]	② [eqn: {4 sqrt {3} pi -12} over {9} `]	③ [eqn: {3 sqrt {3} pi -5} over {9} `]

④ [eqn: {4 sqrt {3} pi -10} over {9} `]	⑤ [eqn: {4 sqrt {3} pi -8} over {9} `]

▷ 매번 하는 거

① 변의 길이 설정 & 닮음.

② 특수각 직각삼각형 찾기.

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	수학 영역

[2018학년도 수능(나형) 19번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1}]이
있다. 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]의 중점을 [eqn: rmD _{1}]이라 하고, 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}] 위의
[eqn: rmbar{C _{1} D _{1} }=bar{C _{1} B _{2} }]인 점 [eqn: rmB _{2}]에 대하여 중심이 [eqn: rmC _{1}]인 부채꼴
[eqn: rmC _{1} D _{1} B _{2}]를 그린다. 점 [eqn: rmB _{2}]에서 선분 [eqn: rmC _{1} D _{1}]에 내린 수선의
발을 [eqn: rmA _{2}], 선분 [eqn: rmC _{1} B _{2}]의 중점을 [eqn: rmC _{2}]라 하자. 두 선분 [eqn: rmB _{1} B _{2}],
[eqn: rmB _{1} D _{1}]과 호 [eqn: rmD _{1} B _{2}]로 둘러싸인 영역과 삼각형 [eqn: rmC _{1} A _{2} C _{2}]의
내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: rmA _{2} B _{2}]의 중점을 [eqn: rmD _{2}]라 하고, 선분 [eqn: rmB _{2} C _{2}]
위의 [eqn: rmbar{C _{2} D _{2} }=bar{C _{2} B _{3} }]인 점 [eqn: rmB _{3}]에 대하여 중심이 [eqn: rmC _{2}]인 부채꼴
[eqn: rmC _{2} D _{2} B _{3}]을 그린다. 점 [eqn: rmB _{3}]에서 선분 [eqn: rmC _{2} D _{2}]에 내린 수선의
발을 [eqn: rmA _{3}], 선분 [eqn: rmC _{2} B _{3}]의 중점을 [eqn: rmC _{3}]이라 하자. 두 선분 [eqn: rmB _{2} B _{3}],
[eqn: rmB _{2} D _{2}]와 호 [eqn: rmD _{2} B _{3}]으로 둘러싸인 영역과 삼각형 [eqn: rmC _{2} A _{3} C _{3}]의
내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

②

① [eqn: {11 sqrt {3} -4pi} over {56}]	② [eqn: {11 sqrt {3} -4pi} over {52}]	③ [eqn: {15 sqrt {3} -6pi} over {56}]

④ [eqn: {15 sqrt {3} -6pi} over {52}]	⑤ [eqn: {15 sqrt {3} -4pi} over {52}]

▷ 참 질리지도 않고 꾸준히 만드네요.

[2018학년도 6월(나형) 18번]

한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt {3}]인 정삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]이 있다.
그림과 같이 [eqn: rm ANGLE A _{1} B _{1} C _{1}]의 이등분선과 [eqn: rm ANGLE A _{1} C _{1} B _{1}]의
이등분선이 만나는 점을 [eqn: rm A _{2}]라 하자. 두 선분 [eqn: rm B _{1} A _{2}],
[eqn: rm C _{1} A _{2}]를 각각 지름으로 하는 반원의 내부와 정삼각형
[eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rm A _{2}]를 지나고 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]에 평행한 직선이
선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm B _{2}], 점 [eqn: rm A _{2}]를 지나고 선분
[eqn: rm A _{1} C _{1}]에 평행한 직선이 [eqn: rm B _{1} C _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm C _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 정삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]를 그리고, 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는
것과 같은 방법으로 정삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]의 내부에
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {} S _{n}]의 값은?

①

① [eqn: {9 sqrt {3} +6 pi } over {16}]	② [eqn: {3 sqrt {3} +4 pi } over {8}]	③ [eqn: {9 sqrt {3} +8 pi } over {16}]

④ [eqn: {3 sqrt {3} +2 pi } over {4}]	⑤ [eqn: {3 sqrt {3} +6 pi } over {8}]

▷ 뻔하다.

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	수학 영역

[2017학년도 수능(나형) 17번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원
[eqn: O]가 있다. 원의 중심을 [eqn: rmC]라고 하고, 선분 [eqn: rmAC]의 중점과
선분 [eqn: rmBC]의 중점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmP]라 하자. 선분 [eqn: rmAC]의
수직이등분선과 선분 [eqn: rmBC]의 수직이등분선이 원 [eqn: O]의
위쪽 반원과 만나는 점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmQ]라 하자. 선분 [eqn: rmDE]를
한 변으로 하고 원 [eqn: O]와 점 [eqn: rmA]에서 만나며 선분 [eqn: rmDF]가
대각선인 정사각형 [eqn: rmDEFG]를 그리고, 선분 [eqn: rmPQ]를 한
변으로 하고 원 [eqn: O]와 점 [eqn: rmB]에서 만나며 선분 [eqn: rmPR]가
대각선인 정사각형 [eqn: rmPQRS]를 그린다. 원 [eqn: O]의 내부와
정사각형 [eqn: rmDEFG]의 내부의 공통부분인  모양의 도형과
원 [eqn: O]의 내부와 정사각형 [eqn: rmPQRS]의 내부의 공통부분인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rmF]를 중심으로 하고 반지름의 길이가
[eqn: {1} over {2} bar{rmDE}]인 원 [eqn: O _{1}], 점 [eqn: rmR]을 중심으로 하고 반지름의 길이가
[eqn: {1} over {2} bar{rmPQ}]인 원 [eqn: O _{2}]를 그린다. 두 원 [eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}]에 각각 그림 [eqn: R _{1}]을
얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 [eqn: 2]개의
도형과  모양의 [eqn: 2]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {12 pi -9 sqrt {3}} over {10}]	② [eqn: {8 pi -6 sqrt {3}} over {5}]	③ [eqn: {32 pi -24 sqrt {3}} over {15}]

④ [eqn: {28 pi -21 sqrt {3}} over {10}]	⑤ [eqn: {16 pi -12 sqrt {3}} over {5}]

▷ 이 느낌으로 특수각 숨기는 것도 패턴.

[2017학년도 수능(나형) 28번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=4 ^{n}]이 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와
만나는 점을 [eqn: rm P _{it n}]이라 하자. 선분 [eqn: rm P _{it n}][eqn: rm P _{it n+1}]의 길이를 [eqn: L_n]이라
할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( {L _{n+1}} over {L _{n}} RIGHT ) ^{2}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 16]

▷ 실수가 많이 나오는 문항.

차분하게 다루면 별 것 아니다.

				44

	수학 영역

[2018학년도 9월(나형) 18번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: O_{1}]에 내접하는
정삼각형 [eqn: rmA_{1}B_{1}C_{1}]이 있다. 점 [eqn: rmA_{1}]에서 선분 [eqn: rmB_{1}C_{1}]에 내린
수선의 발을 [eqn: rmD_{1}]이라 하고, 선분 [eqn: rmA_{1}C_{1}]을 [eqn: 2:1]로 내분하는
점을 [eqn: rmE_{1}]이라 하자. 점 [eqn: rmA_{1}]을 포함하지 않는 호 [eqn: rmB_{1}C_{1}]과 선분
[eqn: rmB_{1}C_{1}]로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 [eqn: rmA_{1}D_{1}E_{1}]의 내부를
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1}]에 삼각형 [eqn: rmA_{1}B_{1}D_{1}]에 내접하는 원 [eqn: O_{2}]와 원 [eqn: O_{2}]에
내접하는 정삼각형 [eqn: rmA_{2}B_{2}C_{2}]를 그리고, 점 [eqn: rmA_{2}]에서 선분
[eqn: rmB_{2}C_{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD_{2}], 선분 [eqn: rmA_{2}C_{2}]를 [eqn: 2:1]로
내분하는 점을 [eqn: rmE_{2}]라 하자. 점 [eqn: rmA_{2}]를 포함하지 않는 호
[eqn: rmB_{2}C_{2}]와 선분 [eqn: rmB_{2}C_{2}]로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형
[eqn: rmA_{2}D_{2}E_{2}]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {16left(3root{3}-2right)pi}over{69}]	② [eqn: {16left(3root{3}-1right)pi}over{65}]

③ [eqn: {32left(3root{3}-2right)pi}over{69}]	④ [eqn: {32left(3root{3}-1right)pi}over{69}]

⑤ [eqn: {32 LEFT ( 3 sqrt {3} -1 RIGHT ) pi } over {65}]

▷ 내접원의 반지름의 길이 구할 때,

중심과 연결, 수직표시.

[2017학년도 9월(나형) 16번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]
안에 꼭짓점 [eqn: rmA_1], [eqn: rmC_1]을 중심으로 하고 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}], [eqn: rmC _{1} D _{1}]을
반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1}]이
두 사분원과 만나는 점 중 점 [eqn: rmA _{1}]과 가까운 점을 [eqn: rmA _{2}], 점
[eqn: rmC _{1}]과 가까운 점을 [eqn: rmC _{2}]라 하자. 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1}]에 평행하고 점
[eqn: rmA _{2}]를 지나는 직선이 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rmE _{1}], 선분
[eqn: rmB _{1} C _{1}]에 평행하고 점 [eqn: rmC _{2}]를 지나는 직선이 선분 [eqn: rmC _{1} D _{1}]과
만나는 점을 [eqn: rmF _{1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmA _{1} E _{1} A _{2}]와 삼각형
[eqn: rmC _{1} F _{1} C _{2}]를 그린 후 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmA _{2} C _{2}]를 대각선으로 하는 정사각형을
그리고, 새로 그려진 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과
같은 방법으로 두 개의 사분원과 두 개의 삼각형을 그리고
두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {1} over {12} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]	② [eqn: {1} over {6} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]	③ [eqn: {1} over {4} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]

④ [eqn: {1} over {3} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: {5} over {12} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]

▷ 원은 중심과 연결.

				44

	수학 영역

[2017학년도 6월(나형) 17번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형
[eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]에서 선분 [eqn: rm A_1 B_1]과 선분 [eqn: rm B_1 C_1]의 중점을 각각
[eqn: rm E_1], [eqn: rm F_1]이라 하자. 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 내부와 삼각형
[eqn: rm E_1 F_1 D_1]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 선분 [eqn: rm D_1 E_1] 위의 점 [eqn: rm A_2], 선분 [eqn: rm D_1 F_1] 위의 점
[eqn: rm D_2]와 선분 [eqn: rm E_1 F_1] 위의 두 점 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2]를 꼭짓점으로 하는
정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]를 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]에
그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 삼각형 [eqn: rm E_2 F_2 D_2]를
그리고 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 내부와 삼각형 [eqn: rm E_2 F_2 D_2]의
외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n-> inf} { S_n}]의 값은?

⑤

① [eqn: 125 over 37]	② [eqn: 125 over 38]	③ [eqn: 125 over 39]

④ [eqn: 25 over 8]	⑤ [eqn: 125 over 41]

▷ 잘 안 보일 수 있다.

변의 길이 설정 & 닮음.

[2017학년도 6월(나형) 8번]

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 2+{1}over{3 ^{n} } RIGHT ) LEFT ( a+{1}over{2 ^{n} } RIGHT ) =10}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▷ 참신하군.

[2016학년도 수능 25번]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: r]([eqn: r>1])인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에
대하여 [eqn: S_n =sum_k=1 ^n a_k]일 때, [eqn: lim_n->inf { a_n} over {S_n }= 3over4]이다. [eqn: r]의 값을
구하여라.

[eqn: 4]

▷ 등비수열을 포함한 부정형.

				44

	수학 영역

[2016학년도 수능 15번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 5]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]의
대각선 [eqn: rm BD]의 [eqn: 5]등분점을 점 [eqn: rm B]에서 가까운 순서대로 각각
[eqn: rmP_1], [eqn: rm P_2], [eqn: rm P_3], [eqn: rm P_4]라 하고, 선분 [eqn: rm BP_1], [eqn: rm P_2 P_3], [eqn: rm P_4 D]를 각각
대각선으로 하는 정사각형과 선분 [eqn: rm P_1 P_2], [eqn: rm P_2 P_3]를 각각
지름으로 하는 원을 그린 후,  모양의 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 선분 [eqn: rm P_2 P_3]을 대각선으로 하는 정사각형의
꼭짓점 중 점 [eqn: rm A]와 가장 가까운 점을 [eqn: rm Q_1], 점 [eqn: rm C]와 가장
가까운 점을 [eqn: rm Q_2]라 하자. 선분 [eqn: rm AQ_1]을 대각선으로 하는
정사각형과 선분 [eqn: rm CQ_2]를 대각선으로 하는 정사각형을
그리고, 새로 그려진 [eqn: 2]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R_1]을
얻는 것과 같은 방법으로  모양의 도형을 각각
그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에서 선분 [eqn: rm AQ_1]을 대각선으로 하는 정사각형과
선분 [eqn: rm CQ_2]를 대각선으로 하는 정사각형에 그림 [eqn: R_1]에서
그림 [eqn: R_2]를 얻는 것과 같은 방법으로  모양의 도형을
각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf {S_n}]의 값은?

②

① [eqn: 24over17 (pi +3)]	② [eqn: 25 over17 (pi +3)]	③ [eqn: 26 over17 (pi+3)]

④ [eqn: 24over17 (2pi+1)]	⑤ [eqn: 27over17 (2pi +1)]

▷ [2017학년도]~[2020학년도]의

나형 문항들에 비하면 쉬워진다.

[2016학년도 9월 20번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다.
정삼각형 [eqn: rm ABC]의 외심을 [eqn: \O]라 할 때, 중심이 [eqn: \A]이고
반지름의 길이가 [eqn: rm bar AO]인 원을 [eqn: O_{rmA}], 중심이 [eqn: \B]이고 반지름의
길이가 [eqn: rm bar BO]인 원을 [eqn: O_{rmB}], 중심이 [eqn: rm C]이고 반지름의 길이가
[eqn: rm bar CO]인 원을 [eqn: O_{rmC}]라 하자.
원 [eqn: O_{rmA}]와 원 [eqn: O_{rmB}]의 내부의 공통부분, 원 [eqn: O_{rmA}]와 원 [eqn: O_{rmC}]의
내부의 공통부분, 원 [eqn: O_{rmB}]와 원 [eqn: O_{rmC}]의 내부의 공통부분
중 삼각형 [eqn: rm ABC] 내부에 있는  모양의 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 원 [eqn: O_{rmA}]가 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]와 만나는 점을 각각
[eqn: rmD], [eqn: rmE], 원 [eqn: O_{rmB}]가 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmF],
[eqn: rmG], [eqn: O_{rmC}]가 두 선분 [eqn: rmBC], [eqn: rmAC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmI]라
하고, 세 정삼각형 [eqn: rmAFI], [eqn: rmBHD], [eqn: rmCEG]에서 [eqn: R_1]을 얻는
과정과 같은 방법으로 각각 만들어지는  모양의 도형
[eqn: 3]개에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에 새로 만들어진 세 개의 정삼각형에 각각 [eqn: R_1]에서
[eqn: R_2]를 얻는 과정과 같은 방법으로 만들어지는  모양의
도형 [eqn: 9]개에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은?

③

① [eqn: (2pi - 3 root 3 ) (root 3 +3 )]	② [eqn: (pi - root 3 ) (root 3 +3 )]

③ [eqn: (2pi - 3 root 3 ) (2root 3 +3 )]	④ [eqn: (pi - root 3 ) (2root 3 +3 )]

⑤ [eqn: (2pi - 2 root 3 ) (root 3 +3 )]

▷ 숫자들이 귀찮다. 천천히 풀자.

				44

	수학 영역

[2016학년도 9월 24번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x^2 + 2 n x - 4 n = 0]

의 양의 실근을 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: lim_n->inf a_n]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

▷ 근의 공식.

[2016학년도 6월 8번]

공비가 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의
합 [eqn: S _{n}]이

[eqn: lim _{n-> INF } {{S _{n}} over {3 ^{n}} =5}]

를 만족시킬 때, 첫째항 [eqn: a _{1}]의 값은?

②

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

▷ 평가원이 등비수열을 좋아하네.

[2016학년도 6월 10번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=2nx] 위의 점 [eqn: {\P} LEFT ( n,```2n ^{2} RIGHT )]을
지나고 이 직선과 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을
[eqn: \Q]라 할 때, 선분 [eqn: rm OQ]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n-> INF } {{l _{n}} over {n ^{3}}}]의
값은? (단, [eqn: \O]는 원점이다.)

④

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]
④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

▷ 아무렇게나.

				44

	수학 영역

[2016학년도 6월 15번]

반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: O_1]에 내접하는 정삼각형
[eqn: rm A_1 B_1 C_1]이 있다. 그림과 같이 직선 [eqn: rm A_1 C_1]과 평행하고
점 [eqn: rm B_1]을 지나지 않는 원 [eqn: O_1]의 접선 위에 두 점 [eqn: rm D_1], [eqn: rm E_1]을
사각형 [eqn: rm A_1 C_1 D_1 E_1]이 직사각형이 되도록 잡고, 직사각형
[eqn: rm A_1 C_1 D_1 E_1]의 내부와 원 [eqn: O_1]의 외부의 공통부분에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 정삼각형 [eqn: rm A_ 1 B_1 C_1]에 내접하는 원 [eqn: O_2]와 원 [eqn: O_2]에
내접하는 정삼각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2]를 그리고, 그림 [eqn: R_1]을 얻은
것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm A_2 C_2 D_2 E_2]를 그리고
직사각형 [eqn: RM A_2 C_2 D_2 E_2]의 내부와 원 [eqn: O_2]의 외부의 공통부분에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은?

①

① [eqn: 4sqrt3 -{16}over{9 }pi]	② [eqn: 4 sqrt3 -{5}over{3} pi]	③ [eqn: 4sqrt3 -{4}over{3} pi]

④ [eqn: 5sqrt3 -{16}over{9 }pi]	⑤ [eqn: 5sqrt3 -{5}over{3} pi]

▷ 원은 중심에서부터 정의된 도형이다.

부채꼴이나 원이든 일단 중심을 찾는 것이 요령.

[2015학년도 9월 16번]

중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가
[eqn: 2over3 pi]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 그림과 같이 호 [eqn: rmAB]를
이등분하는 점을 [eqn: rmM]이라 하고 호 [eqn: rmAM]과 호 [eqn: rmMB]를 각각
이등분하는 점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형을 부채꼴
[eqn: rmOAB]에 내접하도록 그리고, 부채꼴의 내부와 직사각형의
외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록
중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi]인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에
그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에 새로 그려진 직사각형의 네 변의 중점을
모두 지나도록 중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi]인 부채꼴을 그리고
이 부채꼴에 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로
직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { S_n}]의 값은?

④

① [eqn: {2pi -3sqrt3}over2]	② [eqn: {pi-sqrt2}over3]	③ [eqn: {2pi-3sqrt2}over3]

④ [eqn: {pi -sqrt3}over2]	⑤ [eqn: {2pi -2sqrt3}over3]

▷ 중심에서 연결.

				44

	수학 영역

[2015학년도 6월 15번]

그림과 같이 [eqn: rm bar {A_1 D_1 } =2], [eqn: rm bar { A_1 B_1 } = 1]인 직사각형
[eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]에서 선분 [eqn: rm A_1 D_1]의 중점을 [eqn: rm M_1]이라 하자. 중심이
[eqn: rm A_1], 반지름의 길이가 [eqn: rm bar{ A_1 B_1 }]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2]인
부채꼴 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]을 그리고, 부채꼴 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 부채꼴 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]의 호 [eqn: rm B_1 M_1]이 선분 [eqn: rm A_1 C_1]과
만나는 점을 [eqn: rm A_2]라 하고, 중심이 [eqn: rm A_1], 반지름의 길이가
[eqn: rm bar { A_1 D_1 }]인 원이 선분 [eqn: rm A_ 1 C_1]과 만나는 점을 [eqn: rm C_2]라 하자. 가로와
세로의 길이의 비가 [eqn: 2:1]이고 가로가 선분 [eqn: rm A_1 D_1]과 평행한
직사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]를 그리고, 직사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]에서
그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim from { n `->` inf} S_n]의 값은?

①

① [eqn: 5 over 16 pi]	② [eqn: 11 over 32 pi]	③ [eqn: 3 over 8 pi]

④ [eqn: 13 over 32 pi]	⑤ [eqn: 7 over 16 pi]

▷ [eqn: {rmbar{A_2 B_2 }}=a]라 두면, [eqn: rm bar{A _{2} D _{2}} it =2a]이다.

[eqn: rmC _{2}]가 원 위의 점이라는 사실을 써야 한다.

[2015학년도 수능 7번]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =3], [eqn: a_2 =1]일 때,
[eqn: sum_n=1^inf (a_n )^2]의 값은?

①

① [eqn: 81 over8]	② [eqn: 83 over8]	③ [eqn: 85 over8]

④ [eqn: 87 over8]	⑤ [eqn: 89 over8]

▷ 수열 [eqn: left{a_n ^{```2} right}]도 등비수열이얌.

[2015학년도 6월 25번]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: a _{1} +a _{2} =20],   [eqn: sum _{n=3} ^{INF } a _{n} = {4} over {3}]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{1}]의 값을 구하여라.

[eqn: 16]

▷ 등비급수 개 좋아하네.

				44

	수학 영역

[2014학년도 수능 15번]

직사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에서 [eqn: bar{rmA _{1} B _{1}} =1], [eqn: bar{rm A _{1} D _{1} it} =2]이다. 그림과
같이 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1}]과 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]의 중점을 각각 [eqn: rmM _{1}], [eqn: rmN _{1}]이라
하자. 중심이 [eqn: rmN _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: bar{rmB _{1} N _{1}}]이고 중심각의
크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmN _{1} M _{1} B _{1}]을 그리고, 중심이 [eqn: rmD _{1}],
반지름의 길이가 [eqn: bar{rmC _{1} D _{1}}]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴
[eqn: rmD _{1} M _{1} C _{1}]을 그린다. 부채꼴 [eqn: rmN _{1} M _{1} B _{1}]의 호 [eqn: rmM _{1} B _{1}]과 선분
[eqn: rmM _{1} B _{1}]로 둘러싸인 부분과 부채꼴 [eqn: rmD _{1} M _{1} C _{1}]의 호 [eqn: rmM _{1} C _{1}]과
선분 [eqn: rmM _{1} C _{1}]로 둘러싸인 부분인  모양에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmM _{1} B _{1}] 위의 점 [eqn: rmA _{2}], 호 [eqn: rmM _{1} C _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]와
변 [eqn: rmB _{1} C _{1}] 위의 두 점 [eqn: rmB_2], [eqn: rmC_2]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: bar{rm A _{2} B _{2} it} : bar{rm A _{2} D _{2} it} =1:2]인 직사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 그리고,
직사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에서 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은
방법으로 만들어지는  모양에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {25} over {19} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]	② [eqn: {5} over {4} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]	③ [eqn: {25} over {21} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]
④ [eqn: {25} over {22} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: {25} over {23} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]

▷ [eqn: {rmbar{A_2 B_2 }}=a]라 두면, [eqn: rm bar{B _{1} B _{2}} it =]   , [eqn: rm bar{A _{2} D _{2}} it =]   이다.

[eqn: rm D _{2}]가         이라는 사실.

[2014학년도 9월 18번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정팔각형의 이웃한
두 변을 변으로 하는 [eqn: 4]개의 평행사변형을 서로 겹치지
않게 그리고, 이 평행사변형 [eqn: 4]개를 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 정팔각형의 내부에 있는 평행사변형의 꼭짓점
[eqn: 4]개를 꼭짓점으로 포함하는 정팔각형을 그린 후, 새로
그려진 정팔각형에 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로
[eqn: 4]개의 평행사변형을 그리고 색칠하여 얻는 그림을 [eqn: R_2]라
하자.
그림 [eqn: R_2]에 가장 작은 정팔각형의 내부에 있는
평행사변형의 꼭짓점 [eqn: 4]개를 꼭짓점으로 포함하는
정팔각형을 그린 후, 새로 그려진 정팔각형에 그림 [eqn: R_1]을
얻는 것과 같은 방법으로 [eqn: 4]개의 평행사변형을 그리고
색칠하여 얻는 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은?

①

① [eqn: 2+root2]	② [eqn: 1+2root2]	③ [eqn: 3+root2]
④ [eqn: 1+3root2]	⑤ [eqn: 4+root2]

▷ 꽤 어렵다. 풀 필요 있나 싶기도 함.

이쯤부터 경향에서도 차이가 나기 시작하는데,

그 중에서도 이 문항은 유난히 특이하다.

잘 잘라서 닮음도형을 찾는 것이 보통이다.

풀이 루트에 따라서 이중근호가 뜰 수 있다.

				44

	수학 영역

[2013학년도 수능 14번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는
원 [eqn: O]가 있다. 원 [eqn: O]의 중심을 지나고 선분 [eqn: rmAB]와 수직인
직선이 원과 만나는 [eqn: 2]개의 점 중 한 점을 [eqn: rmC]라 하자.
점 [eqn: rmC]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmB]를 지나는 원의 외부와
원 [eqn: O]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 [eqn: O]의 반원을
이등분한 [eqn: 2]개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고,
이 [eqn: 2]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로
만들어지는  모양의 [eqn: 2]개의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{2}]에서 새로 생긴 [eqn: 2]개의 도형에 색칠된 부분을
포함하지 않은 반원을 각각 이등분한 [eqn: 4]개의 사분원에 각각
내접하는 원을 그리고, 이 [eqn: 4]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는
것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 [eqn: 4]개의 도형에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {5+2 sqrt {2}} over {7}]	② [eqn: {5+3 sqrt {2}} over {7}]	③ [eqn: {5+4 sqrt {2}} over {7}]

④ [eqn: {5+5 sqrt {2}} over {7}]	⑤ [eqn: {5+6 sqrt {2}} over {7}]

▷ 원이 접한다고? 중심에서 이어야지.

나왔을 때는 계산 좀 심하다 싶었는데,

요즘 문제들에 비하면 뭐..

[2013학년도 9월 9번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원
[eqn: O]가 있다. [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하고 원 [eqn: O]와 반지름의
길이가 같은 두 원의 외부와 원 [eqn: O]의 내부의 공통부분인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2]등분한 선분을 각각 지름으로 하는
두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과
같은 방법으로 만들어지는  모양의 두 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자. 그림 [eqn: R _{2}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 4]등분한
선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에
각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는
모양의 네 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에
색칠되어 있는  모양의 모든 도형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라
할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은?

②

① [eqn: 3sqrt { 3}- { 4} over { 3}pi]	② [eqn: 2sqrt { 3}- {2 } over { 3}pi]	③ [eqn: 2sqrt { 3}- { piover2]

④ [eqn: 3sqrt { 3}- }pi]	⑤ [eqn: 3sqrt { 3}- { 2} over { 3}pi]

▷ 얘는 그래도 첫째항 구하는 것까지만 귀찮겠군.

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	수학 영역

[2014학년도 9월 2번]

[eqn: lim_n->inf left(root{n^2 +28n } -n right)]의 값은?

②

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

▷ [eqn: sqrt {n ^{2} +28n} sim (n+14)] 알아? 재미있는데.

[2013학년도 9월 28번]

첫째항이 [eqn: 10]인 수열 [eqn: left{`a _{n} ` right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} <a _{n+1}],   [eqn: sum _{k=1} ^{n}(a_{k+1} - a_k )^2 = 2 left( 1- 1 over 9^n right)]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n->inf} {a_n }]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

▷ 합의 수열 [eqn: S _{n}]이 주어지면?

[eqn: =a _{n}]

[2013학년도 9월 15번]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=log _{3} x]의 그래프
위의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {1} over {n}]인 점을 [eqn: rm A _{itn}]이라 하자. 그래프 위의 점
[eqn: rm B _{itn}]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm C _{itn}]이 다음 조건을 만족시킨다.

점 [eqn: rm C _{itn}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{x _{n}} over {n^2}}]의 값은?

(가) 점 [eqn: rm C _{itn}]은 선분 [eqn: {rmA_{it n}B _{it n}]과 [eqn: x]축의 교점이다.

(나) [eqn: bar{rm A _{itn} C _{itn} it} : bar{rm C _{itn} B _{itn} it} =1:2]

①

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: 1]

▷ 수열의 극한이라기 보다는

지수로그함수의 그래프 문항이지만.

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	수학 영역

[2013학년도 6월 12번]

한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형 [eqn: rmAB_1 C_1]이 있다. 그림과
같이 선분 [eqn: rmAB_1]과 선분 [eqn: rmAC_1]을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을
각각 [eqn: rmB_2], [eqn: rmC_2]라 하고, 선분 [eqn: rmB_2 C_2]를 지름으로 하는 원의
호 [eqn: rmB_2 C_2]와 선분 [eqn: rmB_1 C_1]로 둘러싸인 부분의 넓이를
[eqn: S_1]이라 하자.
정삼각형 [eqn: rmAB_2 C_2]에서 선분 [eqn: rmAB_2]과 선분 [eqn: rmAC_2]을 [eqn: 2:1]로
내분하는 점을 각각 [eqn: rmB_3], [eqn: rmC_3]라 하고, 선분 [eqn: rmB_3 C_3]를
지름으로 하는 원의 호 [eqn: rmB_3 C_3]와 선분 [eqn: rmB_2 C_2]로 둘러싸인
부분의 넓이를 [eqn: S_2]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 부분의 넓이를
[eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf S_n]의 값은?

②

① [eqn: {3pi - 5root3} over 10]	② [eqn: {6pi -9root3} over 20]	③ [eqn: {4pi -5root3} over 10]
④ [eqn: {8pi -9root3} over 20]	⑤ [eqn: {10pi -9root3} over 20]

▷ 중심에서 잇고, 대충 정삼각형 보이지?

특히 시험 때는 엄밀하게 가지 마. 휴리스틱.

[2013학년도 6월 18번]

[eqn: 2]보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: (-3)^n-1]의 [eqn: n]제곱근 중
실수인 것의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=3 to inf a_n over 2^n]의 값은?

①

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 5 over 12]	⑤ [eqn: 1 over 2]

▷ [eqn: n]이 짝수일 때와 홀수일 때.

[2012학년도 9월 25번]

수열 [eqn: left{a_n right}]과 [eqn: left{b_n right}]이

[eqn: lim_n->inf (n+1)a_n =2],   [eqn: lim_n->inf left(n^2 +1 right)b_n =7]

을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf {(10n+1)b_n } over a_n]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: a_n ne 0])

[eqn: 35]

▷ 틀리면 대박.

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	수학 영역

[2012학년도 수능 14번]

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 있다. 그림과 같이 가로의
길이와 세로의 길이의 비가 [eqn: 3:1]인 직사각형을 이 원에
내접하도록 그리고, 원의 내부와 직사각형의 외부의
공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 직사각형의 세 변에 접하도록 원 [eqn: 2]개를
그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은
방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에서 새로 그려진 직사각형의 세 변에 접하도록
원 [eqn: 4]개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 [eqn: R_1]을 얻는
것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에서
색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은?

②

① [eqn: 5over4 pi - 5over3]	② [eqn: 5over4 pi - 3over2]	③ [eqn: 4 over3 pi - 8 over 5]
④ [eqn: 5over4 pi -1]	⑤ [eqn: 4 over3 pi - 16 over15]

▷ 지름 하나 잡고, [eqn: 1:3]인 것과 피타고라스.

[2012학년도 9월 28번]

첫째항이 [eqn: 12]이고 공비가 [eqn: 1 over 3]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
수열 [eqn: left{b_n right}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

[eqn: lim_n->inf b_n]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: b_1 =1]

(나) [eqn: n ge 1]일 때, [eqn: b_n+1]은 점 [eqn: {rmP}_n left(-b_n ,```b_n^{```2} right)]을

지나고 기울기가 [eqn: a_n]인 직선과 곡선 [eqn: y=x^2]의

교점 중에서 [eqn: {rmP}_n]이 아닌 점의 [eqn: x]좌표이다.

[eqn: 19]

▷ 점화식 풀이가 필요한데, 요정도는 하자.

조건을 식으로 나타내면 [eqn: b _{n+1} -b _{n} =]     다.

[eqn: n=1], [eqn: n=2], [eqn: cdots], [eqn: n=n] 넣고 변변 더하기.

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	수학 영역

[2012학년도 6월 20번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=n]이 두 곡선 [eqn: y=2^x],
[eqn: y=3^x]과 만나는 점을 각각 [eqn: {rmP}_n], [eqn: {rmQ}_n]이라 하자. 삼각형
[eqn: {rmP}_n {rmQ}_n {rmP}_n-1]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하고, [eqn: T_n =sum from k=1 to n S_k]라 할 때,
[eqn: lim_n->inf T_n over 3^n]의 값은? (단, 점 [eqn: rmP_0]의 좌표는 [eqn: (0,```1)]이다.)

③

① [eqn: 5 over 8]	② [eqn: 11 over 16]	③ [eqn: 3 over 4]

④ [eqn: 13 over 16]	⑤ [eqn: 7 over 8]

▷ 밑변을 [eqn: {{rmP} _{n} {rmQ} _{n} }]으로 두면, 높이는 뭐?

[2012학년도 수능 10번]

[eqn: rm bar{ A_1 B_1 }=1], [eqn: rm bar{B_1 C_1}=2]인 직사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]이 있다.
그림과 같이 선분 [eqn: rm B_1 C_1]의 중점을 [eqn: rm M_1]이라 하고, 선분 [eqn: rm A_1 D_1]
위에 [eqn: angle rm A_1 M_1 B_2 =angle C_2 M_1 D_1 = 15DEG], [eqn: anglerm B_2 M_1 C_2 = 60DEG]가
되도록 두 점 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2]를 정한다. 삼각형 [eqn: rm A_1 M_1 B_2]의 넓이와
삼각형 [eqn: rm C_2 M_1 D_1]의 넓이의 합을 [eqn: S_1]이라 하자. 사각형
[eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]가 [eqn: rm bar{B_2 C_2 } = 2 bar {A_2 B_2}]인 직사각형이 되도록 그림과
같이 두 점 [eqn: rm A_2], [eqn: rm D_2]를 정한다.
선분 [eqn: rm B_2 C_2]의 중점을 [eqn: rm M_2]라 하고, 선분 [eqn: rm A_2 D_2] 위에
[eqn: angle rm A_2 M_2 B_3 = angle C_3 M_2 D_2 = 15DEG], [eqn: angle rm B_3 M_2 C_3 = 60DEG]가 되도록
두 점 [eqn: rm B_3], [eqn: rm C_3]을 정한다. 삼각형 [eqn: rm A_2 M_2 B_3]의 넓이와 삼각형
[eqn: rm C_3 M_2 D_2]의 넓이의 합을 [eqn: S_2]라 하자. 이와 같은 과정을
계속하여 얻은 [eqn: S_n]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^n S_n]의 값은?

②

① [eqn: { 2+ root3} over6]	② [eqn: {3- root3 } over2]	③ [eqn: {4+ root3 } over9]
④ [eqn: {5- root3} over5]	⑤ [eqn: {7- root3 } over8]

▷ 와 쉽당.

				44

	수학 영역

[2011학년도 수능 25번]

자연수 [eqn: m]에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의
블록이 [eqn: 1]에 [eqn: 1]개, [eqn: 2]열에 [eqn: 2]개, [eqn: 3]열에 [eqn: 3]개, ⋯ , [eqn: m]열에
[eqn: m]개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지
않을 때까지 다음 시행을 반복한다.

블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, [eqn: 1]열부터
[eqn: m]열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 [eqn: f(m)]이라 하자.
예를 들어, [eqn: f(2)=2], [eqn: f(3)=5], [eqn: f(4)=6]이다.

[eqn: lim _{ n->inf} {f(2^n+1 )- f(2^n ) }over{f(2^n+2 ) } = q over p]

일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인
자연수이다.)

블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여

그 열에 있는 블록의 개수의 [eqn: 1over2]만큼의 블록을

그 열에서 들어낸다.

[eqn: 19``]

▷ 매우 어렵다. 넣을까 말까 고민했어.

요즘 스따일이 아니기도 하고.

힌트는, [eqn: f(2)], [eqn: f(4)], [eqn: f(8)], [eqn: f(16)], [eqn: cdots]만

조사하라는 것. 일단 나열해보고..?

[2011학년도 9월 9번]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 기울기가 [eqn: n]이고
[eqn: y]절편이 양수인 직선이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]에 접할 때,
이 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rmP} _{n}], [eqn: {rmQ} _{n}]이라 하자.
[eqn: l _{n} =bar{{rmP} _{n} {rmQ} _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {{l _{n}} over {2n ^{2}}}]의 값은?

④

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

▷ [중심에서 직선까지가 반지름]으로 풀어도

좋고, 원점과 접점 연결해서 닮음 때려도 좋고.

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	수학 영역

[2011학년도 9월 12번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 중심각의 크기가
[eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: rmA _{0} A _{1} B _{1}]이 있다. 점 [eqn: rm A _{1}]에서 선분 [eqn: rmA _{0} B _{1}]에
내린 수선의 발을 [eqn: rmB _{2}]라 하고, 선분 [eqn: rmA _{0} A _{1}] 위의
[eqn: rm bar{A _{1} B _{2}} = bar{A _{1} A _{2}}]인 점 [eqn: rmA _{2}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인
부채꼴 [eqn: rmA _{1} A _{2} B _{2}]를 그린다. 점 [eqn: rmA _{2}]에서 선분 [eqn: rmA _{1} B _{2}]에 내린
수선의 발을 [eqn: rmB _{3}]이라 하고, 선분 [eqn: rmA _{1} A _{2}] 위의 [eqn: rm bar{A _{2} B _{3}} = bar{A _{2} A _{3}}]인
점 [eqn: rmA _{3}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: rmA _{2} A _{3} B _{3}]을
그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: {rmA} _{n}]에서 선분
[eqn: {rmA} _{n-1} {rmB} _{n}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rmB} _{n+1}]이라 하고, 선분
[eqn: {rmA} _{n-1} {rmA} _{n}]위의 [eqn: bar{{rmA} _{n} {rmB} _{n+1} }=bar{{rmA} _{n} {rmA} _{n+1}]인 점 [eqn: {rmA} _{n+1}]에 대하여
중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: {rmA} _{n} {rmA} _{n+1} {rmB} _{n+1}]을 그린다.
부채꼴 [eqn: {rmA} _{n-1} {rmA} _{n} {rmB} _{n}]의 호 [eqn: {rmA} _{n} {rmB} _{n}]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때,
[eqn: sum _{n=1} ^{inf} l _{n}]의 값은?

②

① [eqn: LEFT ( 4-sqrt2 RIGHT ) pi]	② [eqn: LEFT ( 2+sqrt2 RIGHT ) pi]	③ [eqn: LEFT ( 2+2sqrt2 RIGHT ) pi]

④ [eqn: LEFT ( 4+sqrt2 RIGHT ) pi]	⑤ [eqn: LEFT ( 4+2sqrt2 RIGHT ) pi]

▷ 왔다갔다 해서 좀 헷갈리는 것이 난이도.

[2011학년도 6월 10번]

가로의 길이가 [eqn: 5]이고 세로의 길이가 [eqn: 4]인 직사각형에서
그림과 같이 가로의 폭 [eqn: a]가 직사각형의 가로의 길이의 [eqn: {1} over {4}],
세로의 폭 [eqn: b]가 직사각형의 세로의 길이의 [eqn: {1} over {5}]인  모양의
도형을 잘라내어 얻은 [eqn: 4]개의 직사각형을 [eqn: R _{1}]이라 하고,
그 [eqn: 4]개의 직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{1}]이라 하자. [eqn: R _{1}]의 각 직사각형에서 가로의 폭이 각 직사각형의 가로의 길이의
[eqn: {1} over {4}], 세로의 폭이 각 직사각형의 세로의 길이의 [eqn: {1} over {5}]인
모양의 도형을 잘라내어 얻은 [eqn: 16]개의 직사각형을 [eqn: R _{2}]라
하고, 그 [eqn: 16]개의 직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{2}]라 하자.
직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

②

① [eqn: 26]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 42]

▷ 어디를 잘라 내도 상관없다.

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	수학 영역

[2011학년도 6월 21번]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 3 ^{n} a _{n} -2 RIGHT )]가
수렴할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{6a _{n} +5cdot4 ^{-n}} over {a _{n} +3 ^{-n}}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 4`]

▷ 수열 [eqn: left{3 ^{n} a _{n} right}]이      로 수렴한다.

구하는 극한에서 [eqn: 3 ^{n} a _{n}]이 나오도록 변형.

[2010학년도 9월 13번]

첫째항과 공차가 같은 등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여
[eqn: S_n =SUM from { {k}=1} to n a_k]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로
고른 것은? (단, [eqn: a_1 >0])

⑤

<보 기>

ㄱ. 수열 [eqn: left{S_n right}]이 수렴한다.

ㄴ. 무한급수 [eqn: SUM from { {n}=1} to inf 1over S_n]이 수렴한다.

ㄷ. [eqn: lim from { n->inf } LEFT ( sqrt{S_n+1}-sqrt{S_n} RIGHT )]이 존재한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

▷ 부분합의 극한. 수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항에서부터.

[2010학년도 수능 15번]

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인
원 [eqn: O _{1}]을 그리고, 원 [eqn: O _{1}]이 좌표축과 만나는 네 점을 각각
[eqn: rm A _{1} (0,```3)], [eqn: rm B _{1} (-3,```0)], [eqn: rm C _{1} (0,```-3)], [eqn: rm D _{1} (3,```0)]이라 하자.
두 점 [eqn: rmB_1], [eqn: rmD_1]을 모두 지나고 두 점 [eqn: rmA_1], [eqn: rmC_1]을 각각
중심으로 하는 두 원이 원 [eqn: O _{2}]의 내부에서 [eqn: y]축과 만나는
점을 각각 [eqn: rmC_2], [eqn: rmA_2]라 하자.
호 [eqn: rm B _{1} A _{1} D _{1}]과 호 [eqn: rm B _{1} A _{2} D _{1}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{1}],
호 [eqn: rm B _{1} C _{1} D _{1}]과 호 [eqn: rm B _{1} C _{2} D _{1}]로 둘러싸인 도형의 넓이를
[eqn: T _{1}]이라 하자.
선분 [eqn: rm A _{2} C _{2}]를 지름으로 하는 원 [eqn: O _{2}]를 그리고, 원 [eqn: O _{2}]가
[eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmB_2], [eqn: rmD_2]라 하자.
두 점 [eqn: rmB_2], [eqn: rmD_2]를 모두 지나고 두 점 [eqn: rmA_2], [eqn: rmC_2]를 각각
중심으로 하는 두 원이 원 [eqn: O _{2}]의 내부에서 [eqn: y]축과 만나는
점을 각각 [eqn: rmC_3], [eqn: rmA_3]이라 하자.
호 [eqn: rm B _{2} A _{2} D _{2}]와 호 [eqn: rm B _{2} A _{3} D _{2}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_2],
호 [eqn: rm B _{2} C _{2} D _{2}]와 호　[eqn: rm B _{2} C _{3} D _{2}] 로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: T _{2}]라
하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 호 [eqn: {rm B} _{n} {rm A } _{n} {rm D } _{n}]과
호 [eqn: {rm B} _{n} {rm A } _{n+1} {rm D } _{n}]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_n],
호 [eqn: {rm B } _{n}{ rm C } _{n} {rm D } _{n}]과 호 [eqn: {rm B } _{n} {rm C } _{n+1} {rm D } _{n}]으로 둘러싸인 도형의 넓이를
[eqn: T _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (S _{n} +T _{n} )]의 값은?

④

① [eqn: 6 ( sqrt 2 +1)]	② [eqn: 6 ( sqrt 3 +1)]	③ [eqn: 6 ( sqrt 5 +1)]

④ [eqn: 9(sqrt2 + 1 )]	⑤ [eqn: 9 (sqrt3 +1)]

▷ 부채꼴의 중심 찾을 생각 못해서

헤매는 학생이 나올 듯. 계산 좀 짜증.

				44

	수학 영역

[2010학년도 9월 9번]

그림과 같이 원점 [eqn: \O]를 지나고 기울기가 [eqn: sqrt3]인 직선
[eqn: l_1]과 점 [eqn: rm A(0,```4)]가 있다.
점 [eqn: rm O]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm OA]를 반지름으로 하는
원이 직선 [eqn: l _{1}]과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm O _{1}]이라 하자.
점 [eqn: rm O _{1}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm O _{2}]라 하자. 점 [eqn: rm O _{2}]을
중심으로 하고 선분 [eqn: rm O _{1} rm O _{2}]를 반지름으로 하는 원이 선분
[eqn: rm OO _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm A _{1}]이라 하자. 선분 [eqn: rm A _{1} rm O], 선분 [eqn: rm OO _{2}],
호 [eqn: rm O _{2} rm A _{1}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.
점 [eqn: rm O _{2}]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm O _{1} rm O _{2}]를 반지름으로 하는
원이 점 [eqn: rm O _{2}]를 지나고 직선 [eqn: l _{1}]에 평행한 직선 [eqn: l _{2}]와
제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm O _{3}]이라 하자. 점 [eqn: rm O _{3}]에서
[eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm O _{4}]라 하자. 점 [eqn: rm O _{3}]을 중심으로
하고 선분 [eqn: rm O _{3} rm O _{4}]를 반지름으로 하는 원이 선분 [eqn: rm O _{2} rm O _{3}]과
만나는 점을 [eqn: rm A _{2}]이라 하자. 선분 [eqn: rm A _{2} rm O _{2}], 선분 [eqn: rm O _{2} rm O _{4}],
호 [eqn: rm O _{4} rm A _{2}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{2}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형의 넓이를
[eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

②

① [eqn: 4sqrt3 -2pi`]	② [eqn: 8sqrt3`-4pi`]	③ [eqn: 4sqrt3`-pi`]

④ [eqn: 8sqrt3`-2pi`]	⑤ [eqn: 16sqrt3`-4pi`]

▷ 무난.

[2010학년도 수능 23번]

등비수열 [eqn: left{ a_n right}]이 [eqn: a_2 = 1 over 2], [eqn: a _{5} = {1} over {6}]을 만족시킨다.
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} a _{n+1} a _{n+2} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 19]

▷ 수열 [eqn: left{a _{n} a _{n+1} a _{n+2} right}]도 등비수열이당.

				44

	수학 영역

[2010학년도 9월 17번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: {\A}_n]이 함수 [eqn: y=4^x]의 그래프 위의
점일 때, 점 [eqn: {\A}_n+1]을 다음 규칙에 따라 정한다.

점 [eqn: {\A}_n]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_n]이라 할 때, [eqn: lim from { n->inf } x_n]의 값은?

(가) 점 [eqn: \A_1]의 좌표는 [eqn: (a,```4^a )]이다.

(나) (1) 점 [eqn: {\A}_n]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이

직선 [eqn: y=2x]와 만나는 점을 [eqn: {\P}_n]이라 한다.

(2) 점 [eqn: {\P}_n]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이

곡선 [eqn: y=log_4 x]와 만나는 점을 [eqn: {\B}_n]이라 한다.

(3) 점 [eqn: {\B}_n]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이

직선 [eqn: y=2x]와 만나는 점을 [eqn: {\Q}_n]이라 한다.

(4) 점 [eqn: {\Q}_n]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이

곡선 [eqn: y=log_4 x]와 만나는 점을 [eqn: {\A}_n+1]이라

한다.

⑤

① [eqn: - 3over4`]	② [eqn: - 11over16]	③ [eqn: - 5 over8]

④ [eqn: - 9over16]	⑤ [eqn: - 1over2]

▷ 수열 [eqn: left{x _{n} right}]이 만족시키는 점화식을 구한다.

[2010학년도 6월 23번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 두 함수

[eqn: g(x)= lim _{n -> INF } {} {x ^{2n-1} -1} over {x ^{2n} +1}],   [eqn: h(x)=cases{ { | `x`| } over x &```(x!=0) # 0&```(x=0) }]

에 대하여 함수 [eqn: f(x) g(x)]와 함수 [eqn: f(x) h(x)]가 모두
연속함수일 때, [eqn: f(10)]의 값을 구하여라.

[eqn: 90]

▷ [eqn: (불연속)times(연속)]이 연속이려면?

				44

	수학 영역

[2009학년도 수능 6번]

함수

[eqn: f`(x)=x^2 -4x+a]

와 함수

[eqn: g(x)= lim _{n -> INF } {} {2|`x-b`| ^{n} +1} over {|`x-b`| ^{n} +1}]

에 대하여 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]라 하자. 함수 [eqn: h(x)]가
모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의
합 [eqn: a+b]의 값은?

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▷ [eqn: a]가 변할 때 [eqn: f(x)]는 위아래로 움직이고,

[eqn: b]가 변할 때 [eqn: g(x)]는 좌우로 움직인다.

[2009학년도 수능 13번]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 점 [eqn: rm P _{itn-1}], [eqn: rm P _{itn}]이 함수 [eqn: y=x^2]의
그래프 위의 점일 때, 점 [eqn: rm P _{itn+1}]을 다음 규칙에 따라
정한다.

[eqn: l _{n} = bar{rm P _{itn-1} rm P _{itn}}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {l _{n}} over {n}]의 값은?

(가) 두 점 [eqn: rm P _{0}], [eqn: rm P _{1}]의 좌표는 각각

[eqn: (0,```0)], [eqn: (1,```1)]이다.

(나) 점 [eqn: rm P _{itn+1}]은 점 [eqn: rm P _{itn}]을 지나고 직선 [eqn: rm P _{itn-1} rm P _{itn}]에

수직인 직선과 함수 [eqn: y=x^2]의 그래프의 교점

이다. (단, [eqn: {rm P} _{n}]과 [eqn: {rm P} _{n+1}]은 서로 다른 점이다.)

②

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: sqrt {3}]	⑤ [eqn: sqrt {2}]

▷ 몇 개 구하다 보면 규칙 보인다.

				44

	수학 영역

[2009학년도 수능 14번]

좌표평면에 원 [eqn: C_1 :(x-4)^2 + y^2 =1]이 있다. 그림과 같이
원점에서 원 [eqn: C_1]에 기울기가 양수인 접선 [eqn: l]을 그었을 때
생기는 접점을 [eqn: \P_1]이라 하자. 중심이 직선 [eqn: l] 위에 있고 점
[eqn: \P_1]을 지나며 [eqn: x]축에 접하는 원을 [eqn: C_2]라 하고 이 원과 [eqn: x]축의
접점을 [eqn: \P_2]라 하자.
중심이 [eqn: x]축 위에 있고 점 [eqn: \P_2]를 지나며 직선 [eqn: l]에 접하는
원을 [eqn: C_3]이라 하고 이 원과 직선 [eqn: l]의 접점을 [eqn: \P_3]이라 하자.
중심이 직선 [eqn: l] 위에 있고 점 [eqn: \P_3]을 지나며 [eqn: x]축에 접하는
원을 [eqn: C_4]라 하고 이 원과 [eqn: x]축의 접점을 [eqn: \P_4]라 하자.
이와 같은 과정을 계속할 때, 원 [eqn: C_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라
하자. [eqn: sum _{n=1 } ^{INF } S _{n}]의 값은? (단, 원 [eqn: C_n+1]의 반지름의 길이는
원 [eqn: C_n]의 반지름의 길이보다 작다.)

③

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: 3 pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

▷ 엄밀하게 따지기가 꽤 어렵다.

그냥 보이는 대로 풀어라.

답 내는 것도 아주 쉽지는 않다.

[2009학년도 9월 17번]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: \ABCD]가 있다. 그림과
같이 정사각형 [eqn: \ABCD] 안에 두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]를 각각 중심으로
하고 변 [eqn: \AB]를 반지름으로 하는 [eqn: 2]개의 사분원을 그린다.
이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을
[eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]이라 하자.
정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1] 안에 두 점 [eqn: rmA_1], [eqn: \B_1]을 각각 중심으로
하고 변 [eqn: rmA_1 B_1]을 반지름으로 하는 [eqn: 2]개의 사분원을 그린다.
이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을
[eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 정사각형
[eqn: {\A}_n {\B}_n {\C}_n {\D}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^inf S_n]의 값은?

②

① [eqn: {3}over{8}]	② [eqn: {9}over{16}]	③ [eqn: {4}over{5}]

④ [eqn: {9}over{8}]	⑤ [eqn: {23}over{16}]

▷ 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 두고.

[eqn: rmC _{1}] 또는 [eqn: rmD _{1}]이 원 위의 점이라는 사실을 써야 돼.

				44

	수학 영역

[2009학년도 9월 24번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 세 점
[eqn: {\A}_n (x_n ,```0)], [eqn: {\B}_n (0,```x_n )], [eqn: {\C}_n (x_n ,```x_n )]을 꼭짓점으로 하는
직각이등변삼각형 [eqn: T_n]을 다음 조건에 따라 그린다.

삼각형 [eqn: T_n]의 넓이를 [eqn: a_n], 삼각형 [eqn: T_n]의 세 변 위에 있는
점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수를
[eqn: b_n]이라 할 때, [eqn: lim from { n -> inf} {2^n b_n} over {a_n +2^n}]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: x_1 =1]이다.

(나) 변 [eqn: {\A}_n+1 {\B}_n+1]의 중점이 [eqn: {\C}_n]이다.

([eqn: n=1,```2,```3,```cdots])

[eqn: 12`]

▷ 대충 풀면 되죵.

[2009학년도 6월 19번]

자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {ax ^{n+b} +2x-1} over {x ^{n} +1} (x>0)]

이 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: a+10b]의 값을 구하여라.

[eqn: 21]

▷ 기본 문항.

				44

	수학 영역

[2008학년도 6월 15번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심이 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2], [eqn: rmO_3],
[eqn: cdots]인 원들이 있다. 모든 원들의 중심은 한 직선 위에 있고,
[eqn: bar{{\O} _n {\O} _n+1} =1][eqn: (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]이다.
두 원 [eqn: O_1], [eqn: O_2]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_1], [eqn: \Q_1]이라 하고,
부채꼴 [eqn: \O_2 \P_1 \Q_1]의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자.
두 점 [eqn: \P_1], [eqn: \Q_1]에서 원 [eqn: O_3]의 중심과 연결한 선분이 원 [eqn: O_3]과
만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_2], [eqn: \Q_2]라 하고, 부채꼴 [eqn: \O_3 \P_2 \Q_2]의
넓이를 [eqn: S_2]라 하자.
두 점 [eqn: \P_2], [eqn: \Q_2]에서 원 [eqn: O_4]의 중심과 연결한 선분이 원 [eqn: O_4]와
만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_3], [eqn: \Q_3]이라 하고, 부채꼴 [eqn: \O_4 \P_3 \Q_3]의
넓이를 [eqn: S_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 부채꼴
[eqn: {\O} _n+1 {\P} _n {\Q} _n]의 넓이를 [eqn: S _n]이라 할 때,[eqn: sum _{n=1} ^{inf}S_n]의 값은?

②

① [eqn: {pi } over {2}]	② [eqn: {2} over {3} pi]	③ [eqn: {5} over {6} pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: { 7} over {6 } pi]

▷ 닮음이 아니라서 특이한 유형.

어차피 등비수열이겠지만.

중심각들을 째려보자. 딱 봐도.

[2008학년도 6월 17번]

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형과 한 변의 길이가
[eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: \ABC]가 있다. [그림1]과 같이 정사각형
둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 [eqn: \ABC]를 회전시킨다.
정삼각형 [eqn: \ABC]가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형
둘레를 [eqn: n]바퀴 도는 동안, 변 [eqn: \BC]가 정사각형의 변 위에
놓이는 횟수를 [eqn: a _n]이라 하자.
예를 들어 [eqn: n=1]일 때, [그림2]와 같이 변 [eqn: \BC]가
[eqn: 2]회 놓이므로 [eqn: a_1 =2]이다. 이때, [eqn: lim _{n -> INF } {{a _3n-2} over n}]의 값은?

①

[그림1]	[그림2]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

▷ 요즘 수능과는 괴리가 느껴진다.

충~분히 관찰해 보자. [eqn: left{a_n right}] 보다 [eqn: left{a_3n-2 right}]이 쉽다.

				44

	수학 영역

[2007학년도 수능 17번]

아래와 같이 직각을 낀 두 변의 길이가 [eqn: 1]인 직각이등변삼각형이 있다. 이 직각이등변삼각형의 빗변에 [eqn: 2]개의
꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 [eqn: 2]개의 꼭짓점이
있는 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 합동인 [eqn: 2]개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에
[eqn: 2]개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 [eqn: 2]개의
꼭짓점이 있는 [eqn: 2]개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에서 합동인 [eqn: 4]개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에
[eqn: 2]개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 [eqn: 2]개의
꼭짓점이 있는 [eqn: 4]개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에
색칠되어 있는 모든 정사각형의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라
할 때, [eqn: lim from { n -> inf }S_n]의 값은?

⑤

① [eqn: {3 sqrt {2}} over {20}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {5}]	⑤ [eqn: {2} over {5}]

▷ [정사각형 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하자.]가

풀이의 중요한 과정이다.

[2007학년도 9월 14번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형을 넓이가
같은 [eqn: 4]개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인
사분원 [eqn: 2]개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을
[eqn: T_1]이라 하자.
[eqn: T_1]에서 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 2]개를 각각 넓이가
같은 [eqn: 4]개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인
사분원 [eqn: 4]개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을
[eqn: T_2]라 하자.
[eqn: T_2]에서 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 정사각형 [eqn: 4]개를 각각 넓이가
같은 [eqn: 4]개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {4]인
사분원 [eqn: 8]개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을
[eqn: T_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형을 [eqn: T_n]이라
하고 그 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim from {n->inf} S_n]의 값은?

④

				[eqn: cdots]
[eqn: T_1]	[eqn: T_2]	[eqn: T_3]	[eqn: T_4]	[eqn: cdots]

① [eqn: {pi} over {2}]	② [eqn: {2} over {3} pi]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

▷ 어느 쪽을 구하는 것인지 헷갈린다.

[eqn: T_1]에서 오른쪽 위와 왼쪽 아래는 조작이 끝났고

왼쪽 위와 오른쪽 아래는 더 건드리게 된다.

				44

	수학 영역

[2007학년도 6월 16번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형 [eqn: \OB_1 \C_1 \A_0]이
있다. 삼각형 [eqn: \OA_1 \D_1]이 [eqn: ∠ \D_1 \OA_1 =30DEG]인 이등변삼각형이
되도록 변 [eqn: \B_1 \C_1], [eqn: \A_0 \C_1] 위에 각각 점 [eqn: \A_1], [eqn: \D_1]을 잡고
변 [eqn: \OA_1]의 길이를 [eqn: l_1]이라 하자.
선분 [eqn: rm OA_1]을 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: \OB_2 \C_2 \A_1]에서
삼각형 [eqn: \OA_2 \D_2]가 [eqn: ∠ \D_2 \OA_2 =30DEG]인 이등변삼각형이
되도록 변 [eqn: \B_2 \C_2], [eqn: \A_1 \C_2] 위에 각각 점 [eqn: \A_2], [eqn: \D_2]를 잡고
변 [eqn: \OA_2]의 길이를 [eqn: l_2]라 하자.
선분 [eqn: \OA_2]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: \OB_3 \C_3 \A_2]에서
삼각형 [eqn: \OA_3 \D_3]이 [eqn: ∠ \D_3 \OA_3 =30DEG]인 이등변삼각형이
되도록 변 [eqn: \B_3 \C_3], [eqn: \A_2 \C_3] 위에 각각 점 [eqn: \A_3], [eqn: \D_3]을 잡고
변 [eqn: \OA_3]의 길이를 [eqn: l_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 이등변삼각형
[eqn: {\OA}_n {\D}_n]에서 변 [eqn: {\OA}_n]의 길이를 [eqn: l_n]이라 하자.
[eqn: sum_{n=1}^{inf} {1} over l_n = sqrt {3}]일 때, [eqn: a]의 값은?

③

① [eqn: SQRT { 3}]	② [eqn: 1+SQRT { 3}]	③ [eqn: 2+SQRT { 3}]

④ [eqn: 3+SQRT { 3}]	⑤ [eqn: 6+SQRT { 3}]

▷ 약간 헷갈리는군.

넓이는 [eqn: { 1} over {2 }ab sintheta] 치는 것이 보통.

[2007학년도 6월 21번]

두 함수 [eqn: f(x) = lim from { n -> inf } { 2x^2n+2 +1} over {x^2n +2 }], [eqn: g(x)=sin(k pi x )]에
대하여 방정식 [eqn: f(x) = g(x)]가 실근을 갖지 않을 때,
[eqn: 60k]의 최댓값을 구하여라.

[eqn: 10`]

▷ [eqn: y=f(x)] 잘 그리면 끝.

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	수학 영역

[2006학년도 수능 13번]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]이 각각

[eqn: a _{n} = {1} over {2 ^{n-1}} `cos {(n-1) pi } over {2}],   [eqn: b _{n} = {1+(-1) ^{n-1}} over {2 ^{n}}]

일 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{3k} <0]이다.

ㄴ. 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{4k-1} +b _{4k-1} =0]이다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {3} over {5} sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

▷ 항들을 충분히 나열해 보자. 아주 충분히.

[2006학년도 수능 15번]

그림과 같이 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm A _{1} (0,```8)]을 이은 선분 [eqn: \OA_1]을
반지름으로 하고, 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rm OA_1 B_1]을
그린다.
점 [eqn: \B_1]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \A_2]라 하고, 반지름이
선분 [eqn: \OA_2]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: \OA_2 \B_2]를
그린다.
점 [eqn: \B_2]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \A_3]이라 하고, 반지름이
선분 [eqn: \OA_3]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: \OA_3 \B_3]을
그린다.
이와 같이 시계 방향으로 [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 번갈아 수선의 발을
내리는 과정을 계속하여 얻은 부채꼴 [eqn: rm OA _{it n rm} rm B _{it n rm}]의 호 [eqn: rm A _{itn} rm B _{itn}]의
길이를 [eqn: l_n]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} =12 theta]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?
(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이다.)

⑤

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

▷ [eqn: cos left( { pi} over { 2}-theta right)]배가 되는군.

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	수학 영역

[2006학년도 9월 9번]

순환소수로 이루어진 수열 [eqn: left{a_n right}]의 각 항이
[eqn: a _{1} =0. dot{1 }]
[eqn: a _{2} =0. dot{1 } dot{0]
[eqn: a _3 =0. dot{1} 0 dot{0}]
[eqn: vdots]
[eqn: a _{n} =0. UNDERBRACE {0은```(n-1)개} {dot{1}00 CDOTS ``0 dot{0}}]
[eqn: vdots]
일 때, [eqn: SUM from { n=1} to {inf} LEFT( { 1} over {a_n+1 } - {1} over { a_n} RIGHT)]의 값은?

②

① [eqn: {2} over {3 }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: { 4} over {3 }]

④ [eqn: { 5} over { 3}]	⑤ [eqn: 2]

▷ 와, 진짜 옛날 문제.

[eqn: a_1 = { 1} over { 9}], [eqn: a_2 = { 10} over {99 }], [eqn: a _{2} = {100} over {999}], [eqn: cdots]

이다. 다음부터 풀어봐.

[2006학년도 9월 17번]

그림과 같이 원점을 지나고 [eqn: x]축의 양의 방향과
이루는 각의 크기가 [eqn: theta]인 직선 [eqn: l]이 있다.
점 [eqn: \P_1 (1,```0)]을 지나고 직선 [eqn: l]과 평행한 직선 위에
선분의 길이가 [eqn: rm{barOP_1 } = bar{P_1 Q_1}]이 되는 점 [eqn: \Q_1]을 선택하자.
점 [eqn: \Q_1]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \P_2]라 하고,
점 [eqn: \P_2]를 지나고 직선 [eqn: l]에 평행한 직선 위에 선분의
길이가 [eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} = bar{P _{2} Q _{2}}]가 되는 점 [eqn: \Q_2]를 선택하자.
점 [eqn: \Q_2]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \P_3]이라 하고,
점 [eqn: \P_3]을 지나고 직선 [eqn: l]에 평행한 직선 위에 선분의
길이가 [eqn: rm bar{P _{2} P _{3}} = bar{P _{3} Q _{3}}]이 되는 점 [eqn: \Q_3]을 선택하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 두 점
[eqn: {rmP}_n], [eqn: {rmQ}_n]에 대하여 선분 [eqn: {\P}_n {\Q}_n]의 길이를 [eqn: a_n]이라 하자.
[eqn: SUM from {n=1} to {inf} a_n =4]일 때, [eqn: cos theta]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < pi over 2]이다.)

④

① [eqn: {1} over {4 }]	② [eqn: {1} over {2 }]	③ [eqn: {root {2}} over {2}]
④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {root{3}} over {2}]

▷ [eqn: costheta]배가 되겠군.

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	수학 영역

[2006학년도 6월 9번]

다항함수 [eqn: y= f(x)]의 도함수 [eqn: f` prime (x)]로부터 얻을 수 있는
무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {f` prime (n)}]에 대하여, 보기에서 항상 옳은 것을
모두 고른 것은? (단, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: f` prime (n) !=0]이다.)

④

<보 기>

ㄱ. [eqn: f(x)=2x ^3 +3x ^2 +1]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {f` prime (n)} = {1} over {6}]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{x -> INF } f (x)= INF]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {f` prime (n)}]은 수렴한다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {f` prime (n)}]이 수렴하면 [eqn: x→INF]일 때 [eqn: f`'(x)]는

발산한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▷ 니은은 눈에 띄는 반례.

디귿이 그래도 의미 있네.

[2006학년도 6월 10번]

두 함수 [eqn: f(x)= lim from { n rarrow INF } { { x^2n+1 } over { 1+x^2n } }], [eqn: g(x)=-x(x^2 -a^2 )]에
대하여 방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]이 단 하나의 실근을 갖는
[eqn: a]의 최댓값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: SQRT { 2`}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2` SQRT {2` }]	⑤ [eqn: 3]

▷ 그래프 잘 그리면 된당.

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	수학 영역

[2005학년도 수능 23번]

실수 [eqn: a(a>1)]에 대하여 [eqn: b= sum _{n=1} ^{ INF } LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{n}]을 [그림1]과
같이 나타내고, 실수 [eqn: c]에 대하여 [eqn: d = 16^c]을 [그림2]와
같이 나타내기로 한다.

[그림1]	[그림2]

아래 그림의 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: {xz} over {y}]의 값을
구하여라.

[eqn: 40]

▷ 시키는 대로.

[2005학년도 9월 20번]

다음 등식을 만족하는 소수 [eqn: p]는 [eqn: 2]개 존재한다.

[eqn: 1overp = sum_n=1 ^inf left( { a} over {6^2n-1 }+ { b} over 6^2n right)= {a} over {6 }+ { b} over {6^2 } + { a} over { 6^3}+ { b} over {6^4 }+cdots]
(단, [eqn: 0 le a < 6], [eqn: 0 le b < 6], [eqn: a]와 [eqn: b]는 정수이다.)

위 등식을 만족하는 두 소수의 합을 구하여라.

[eqn: 12]

▷ 일단 등비급수부터 계산.

다음은, [eqn: p]가 소수이므로..

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	수학 영역

[2005학년도 6월 3번]

[eqn: lim_{n->inf} n over {root {2n^2 -n } + root {n^2 -1} }]의 값은?

①

① [eqn: root {2} -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: SQRT { 2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: root {2} + 1]

▷ 유리화 하는 새끼들 있겠지?

[2005학년도 6월 16번]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: \ABC]가 있다. 양수 [eqn: r]에
대하여 점 [eqn: {\P}_n]을 다음 규칙에 따라 정한다.

집합 [eqn: S]를 [eqn: S= LEFT { {rmP} _{n} `|`n은```자연수` RIGHT }]라 할 때, 보기에서 옳은
것을 모두 고른 것은?

(가) 점 [eqn: \P_1]은 꼭짓점 [eqn: \A]이다.

(나) 점 [eqn: {\P}_n+1]은 점 [eqn: {\P}_n]에서 정삼각형 [eqn: \ABC]의

변을 따라 시계 반대 방향으로 [eqn: r^n]만큼

이동한 점이다.

②

<보 기>

ㄱ. [eqn: r =2]이면, 점 [eqn: \P_3]은 꼭짓점 [eqn: \C]이다.

ㄴ. [eqn: r={4} over {5]이면, 변 [eqn: \CA] 위에 [eqn: S]의 원소가

무수히 많다.

ㄷ. [eqn: 0<r<{1}over{2]이면, 변 [eqn: \AB] 위에 [eqn: S]의 원소가

무수히 많다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

▷ 급수의 수렴값에 해당하는 만큼 갔을 때의

직전에 다다다다다다닥 계속 찍는다. 계속.

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