[확률분포]

B17 | 이산확률변수

확률변수 : 시행마다 정해진 확률에 따라 값이 변하는 변수

개념1

[eqn: RARROW] 확률변수 [eqn: X]가 어떤 값 [eqn: x]를 가질 확률을 기호로 [eqn: rm P it (X=x)]로 나타낸다.

이산확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값 [eqn: x_i]들과 [eqn: rm P it(X=x_i )]들의

개념2

대응관계를 확률분포라 하고 이를 나타낸 표를 확률분포표라 한다.

특히, 이때의 함수 [eqn: rm P it(X=x)]를 [eqn: X]의 확률질량함수라 한다.

주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자.

예제1

[eqn: X]의 확률분포표, [eqn: rm P it(X=2)], [eqn: rm P it(X<3)], [eqn: rm P it (X ge 2`|`X LEQ 3)]을 구하여라.

흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서

예제2

임의로 두 개를 꺼낼 때, 검은 공의 개수를 [eqn: X]라 하자.

[eqn: X]의 확률분포표를 구하여라.

확률변수 [eqn: X]가 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중 하나의 값을 가지며

예제3

[eqn: rm P it(X=i)=ai] ([eqn: i=1,```2,```3,```4])

를 만족시킬 때, [eqn: X]의 확률분포표를 구하여라.

B18 | 이산확률변수의 평균과 분산

통계의 평균, 분산, 표준편차

탐구

(1) 자료 [eqn: 50], [eqn: 80]의 평균은 [eqn: 65]이다. / 자료 [eqn: 50], [eqn: 80], [eqn: 80]의 평균은 [eqn: 70]이다.

(2) 자료 [eqn: 4], [eqn: 6]의 분산은 [eqn: 2]이다. / 자료 [eqn: 3], [eqn: 7]의 분산은 [eqn: 4]이다.

(3) 자료 [eqn: 100], [eqn: 300]의 분산은 [eqn: 10000]이다. 표준편차는 [eqn: 100]이다.

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가 [eqn: rm P it(X=x _{i} )=p _{i}]([eqn: 1 le i le n])일 때,

개념1

① [eqn: sum_i=1 ^n x_i p_i]를 [eqn: X]의 기댓값(평균)이라 하고 [eqn: {rmE}(X)]로 나타낸다.

[eqn: RARROW] 시행횟수가 많을 때 통계적 평균은 기댓값으로 수렴한다. (큰 수의 법칙)

② [eqn: sum _{i=1} ^{n} (x _{i} -m) ^{2} p _{i}]를 [eqn: X]의 분산이라 하고 [eqn: {rmV}(X)]로 나타낸다. (단, [eqn: m]은 평균)

③ [eqn: sqrt {{rmV}(X)}]를 [eqn: X]의 표준편차라 하고 [eqn: sigma(X)]로 나타낸다.

확률변수 [eqn: X]가 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]의 값을 가지고 확률질량함수가

예제1

[eqn: f(x)=a ^{|x-1|+1}]일 때, [eqn: X]의 분산을 구하여라.

[eqn: X]	[eqn: x _{1}]	[eqn: x _{2}]	[eqn: cdots]	[eqn: x _{n}]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: p_1]	[eqn: p_2]	[eqn: cdots]	[eqn: p_n]	[eqn: 1]

B19 | 평균과 분산의 연산

아래의 식들이 성립한다.

개념1

① [eqn: {rmE(}aX+b)=a{rmE}(X)+b]	② [eqn: {rmV}(aX+b)=a ^{2} {rmV}(X)]

③ [eqn: sigma(aX+b)=|a|sigma(X)]	④ [eqn: {rmV}(X)={rmE}(X ^{2} )-left{{rmE}(X)right} ^{2}]

에서 증명해보자.

증명

두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]에 대하여 [eqn: X=2Y+3]이고,

예제1

[eqn: {rmE}(Y)=3], [eqn: {rmE}(Y ^{2} )=14]일 때, [eqn: {rmE}(X)]와 [eqn: {rmE}(X ^{2} )]의 값을 구하여라.

B19E1 | 확률변수의 연산

✔ 확률변수 [eqn: X]에 대하여 새로운 확률변수 [eqn: Y=][eqn: f(X)]를 정의할 수 있다.

[eqn: {rmE}(f(X))= sum _{i=1} ^{n} f(x _{i} )p _{i}]

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: {rmV}(X)={rmE}` LEFT { (X-m) ^{2} RIGHT }]

[eqn: RARROW] [eqn: {rmE}(aX ^{2} +bX+c)=a{rmE}(X ^{2} )+b{rmE}(X)+c]

B20 | 이항분포

확률변수 [eqn: X]가 시행횟수 [eqn: n], 일어날 확률이 [eqn: p]인 이항분포를 따른다.

개념1

[eqn: X` SIM {rmB}(n,```p)] : 일어날 확률이 [eqn: p]인 시행을 [eqn: n]번 반복할 때, [eqn: X]번 일어난다.

[eqn: RARROW] [eqn: X` SIM {rmB}(n,```p)]이면 [eqn: rm P it (X=i)= _{n} rm C it rm _{i} p ^{i} (1-p) ^{n-i}] ([eqn: 0 le i le n]인 정수)

eg1) 주사위 [eqn: 3]개를 던져서 [eqn: 6]의 약수가 나오는 횟수를 [eqn: X]라 하자.

eg2) 주사위 [eqn: 12]개를 던져서 [eqn: 1]이 나오는 횟수를 [eqn: X]라 하자.

[eqn: X` SIM {rmB}(n,```p)]이면 [eqn: {rmE}(X)=np], [eqn: {rmV}(X)=np(1-p)]

개념2

미분으로 / [eqn: ` _{n} {rmC} _{r}]에 넣어서 (할 필요 없을 듯)

증명

[eqn: X` SIM {rmB}` LEFT ( n,``` {1} over {3} RIGHT )]이고 [eqn: {rmE}(X)=1]일 때, [eqn: {rmP}(X=2)]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: X` SIM {rmB}` LEFT ( 4,```p RIGHT )]이고 [eqn: {rmP}(X<4)= {15} over {16}]일 때, [eqn: {rmE}(X ^{2} )]의 값을 구하여라.

예제2

※ 확률, 평균, 분산에 관련된 표현들도 익혀 놓아야 한다.

eg) 주사위를 [eqn: 180]번 던져서 [eqn: 1]이 나오는 횟수를 [eqn: X]라 하자.

[eqn: RARROW] [eqn: {rmE}(X)=np= sum _{k=0`} ^{180} k` _{180} rm C it rm _{k} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{180-k}]

[eqn: RARROW] [eqn: Y=180-X]의 분포 (평균, 분산, 표준편차)

B21 | 연속확률변수

연속확률변수 [eqn: X] : 연속적인 값을 가지는 확률변수

개념1

eg) 키, 무게, 도착시간

[eqn: RARROW] [eqn: {rmP}(X=k)=0], [eqn: {rmP}(a<X<b)={rmP}(a le X le b)]

[eqn: X`simf(x)] ([eqn: X]가 확률밀도함수가 [eqn: f(x)]인 확률분포를 따른다.)

개념2

[eqn: RARROW] [eqn: rm P it (a leX leb)= int _{a} ^{b} {} f(x)dx]

✔ 확률밀도함수 [eqn: f(x)]의 성질 : [eqn: f(x)ge0], [eqn: int_-inf ^inf f(x)dx=1]

[eqn: X sim][eqn: f(x)= { 1} over {6 }]([eqn: 0le x le6])일 때 다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: {rmP}(X le2)]

(2) [eqn: {rmP}(1 le X le3)]

[eqn: X sim][eqn: f(x)=ax]([eqn: 0 le x le 2])일 때 다음을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: a]

(2) [eqn: rm P it (X le1)]

[eqn: {rmN}(m,``` sigma ^{2} )= {1} over {sqrt {2 pi } sigma } e ^{- {(x-m) ^{2}} over {2 sigma ^{2}}}]

[eqn: X sim][eqn: f(x)=ax(x-2)]([eqn: 0 le x le 2])일 때 다음을 구하여라.

예제3

(1) [eqn: {rmP} LEFT ( X le 1 RIGHT )]

(2) [eqn: rm P it ` LEFT ( { 1} over { 2} le X le { 3} over { 2} RIGHT )]

B21E1 | 연속확률변수의 평균과 분산

[eqn: X`simf(x)]일 때,

개념1

① [eqn: {rmE}(X)= int _{- INF } ^{INF } {} xf(x)dx]

② [eqn: {rmV}(X)= int _{- INF } ^{INF } {} (x-m) ^{2} f(x)dx]

※ 교육과정에서 제외되었다. 그냥 상식으로 알아놓도록 하자.

B22 | 정규분포

연속확률변수 [eqn: X]가 평균 [eqn: m], 표준편차 [eqn: sigma]인 정규분포를 따른다.

개념1

[eqn: X SIM {rmN}(m,``` sigma ^{2} )]

[eqn: RARROW] 평균 [eqn: m], 표준편차 [eqn: sigma]인 가장 자연스러운 분포 ([eqn: x=m]에 대칭, 종모양)

[eqn: RARROW] 평균, 표준편차에 의해서 유일하게 결정된다. (                          )

성적이 [eqn: A]반[eqn: SIM {rmN}(40,```10 ^{2} )], [eqn: B]반[eqn: SIM {rmN}(50,```10 ^{2} )], [eqn: C]반[eqn: SIM {rmN}(50,```20 ^{2} )]라 하자.

탐구

① 가장 공부를 못하는 반은?

② 가장 성적이 들쭉날쭉한 반은?

③ [eqn: A]반 [eqn: 60]점과 같은 등수인 [eqn: B]반, [eqn: C]반의 점수는?

④ 어떤 시험의 커트라인이 [eqn: 40]점이면?

⑤ 어떤 시험의 커트라인이 [eqn: 70]점이면?

정규분포의 확률 구하기

개념2

① [eqn: {rmN}(m,``` sigma ^{2} )]은 [eqn: x=m]에 대하여 대칭이다.

② [eqn: X` SIM {rmN}(m _{1} ,``` sigma _{1} ^{2} )], [eqn: Y` SIM {rmN}(m _{2} ,``` sigma _{2} ^{2} )]이면 임의의 실수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: {rmP}(m _{1} le X le m _{1} +k sigma _{1} )={rmP}(m _{2} le Y le m _{2} +k sigma _{2} )]이다.

③ [eqn: {rmN}(0,```1 ^{2} )]을 표준정규분포라 하고 표준정규분포를 따르는 확률변수를

일반적으로 [eqn: Z]로 나타낸다. [eqn: Z]에 관련된 확률은 문제에서 표로 주어진다.

어느 집단 구성원의 [eqn: rmIQ]는 [eqn: rmN(100,```10 ^{2} )]을 따른다고 한다.

예제1

다음 확률을 구하여라. (단, [eqn: rm P it (0 LEQ Z le 1)=0.34], [eqn: rm P it (0 le Z le 2)=0.48])

(1) [eqn: rm P(IQ ge100)]	(2) [eqn: rmP(IQ le120)]

(3) [eqn: rmP(IQ ge110)]	(4) [eqn: rmP(90 le IQ le110)]

(5) [eqn: rmP(80leIQ le110)]	(6) [eqn: rmP(80 leIQ le90)]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rm N(4`,``2^2 )]을 따를 때, 다음 중 가장 큰 값은?

예제2

① [eqn: {rm P}(1le X le 3)]       ② [eqn: {rm P}(2le X le 4)]       ③ [eqn: {rm P}(3le X le 5)]

④ [eqn: {rm P}(5le X le 6)]       ⑤ [eqn: {rm P}(6le X le 7)]

어떤 시험 성적이 정규분포 [eqn: rm N` LEFT ( 50,```8 ^{2} RIGHT )]을 따를 때, 수험생 [eqn: 500]명 중에서

예제3

상위 [eqn: 10]등 이내에 들기 위해서는 몇 점 이상이면 되는지 구하여라.

(단, [eqn: rm P it ` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 2 RIGHT ) =0.48])

B22E1 | 정규분포의 표준화

[eqn: X` SIM {rmN}(m,``` sigma ^{2} )]일 때, [eqn: {rmP}(a le X le b)={rmP}` LEFT ( {a-m} over {sigma } le Z le {b-m} over {sigma } RIGHT )]

개념1

✔ [eqn: {rmN}(m,```sigma^2 )]의 [eqn: k]와 대응되는 표준정규분포에서의 값은 [eqn: { k-m} over {sigma }]이다.

어느 고등학교에서 학생 몸무게의 분포는 평균이 [eqn: 53rmkg], 표준편차가 [eqn: 6rmkg]인

예제1

정규분포를 따른다. 이 학교 학생 중 몸무게가 [eqn: 50rmkg] 이상 [eqn: 65rmkg] 이하인 학생은

전체의 몇 [eqn: %]인지 구하여라. (단, [eqn: {rmP}` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT ) =0.19], [eqn: {rmP}` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 2 RIGHT ) =0.48])

어떤 시험 성적은 평균이 [eqn: 75]점, 표준편차가 [eqn: 9]인 정규분포를

예제2

따른다고 한다. 전체 수험생 중 상위 [eqn: 10``%]에 들기 위해서는

몇 점 이상을 받아야 하는지 구하여라. (단, [eqn: {rmP}` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1.28 RIGHT ) =0.4])

B23 | 이항분포의 근사

[eqn: {rmB}(n,```p)]는 [eqn: n]이 충분히 크면 [eqn: {rmN}(np,```npq)]로 근사된다.

개념1

※ 보통 [eqn: np ge15]이면 근사시키기 충분하다고 하는데,

우리는 표준정규분포표가 있는지를 보면 된다.

※ 이항분포가 나왔을 때, 무조건 근사시키다가 망하는 수가 있다.

[eqn: 5]지선다 [eqn: 100]문제를 임의로 찍었을 때, 다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 20]문제 맞을 확률

(2) [eqn: 100]문제 맞을 확률

(3) [eqn: 20SIM24]문제 맞을 확률 (단, [eqn: rm P it ` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1 RIGHT ) =0.34])

(4) [eqn: 28]문제 이상 맞을 확률 (단, [eqn: rm P it ` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 2 RIGHT ) =0.48])

[eqn: {cases{###eqalign{# }}}]	[eqn: n] :	크기
	[eqn: barX] :	표본평균
	[eqn: s] :	표본표준편차

[eqn: {cases{## }}]	[eqn: m] :	모평균
	[eqn: sigma] :	모표준편차

[통계적 추정]

B24 | 추정의 개념

추정의 개념

개념1

표본

모집단

※ [eqn: s]와 [eqn: sigma]는 같다고 친다.

다섯 명의 키의 평균 [eqn: 170]으로 전체의 키를 추정할 때,

탐구

① 신뢰구간을 좁히면 신뢰도가 낮아진다.

② 신뢰도를 높이려면 신뢰구간을 넓혀야 한다.

③ [eqn: sigma]가 크면 추정이 잘 되지 않는다. (신뢰구간이 넓게 나온다.)

④ [eqn: n]은 클수록 좋은데, 돈이 든다.

[eqn: cases{ # # }]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 7]
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1over3]	[eqn: 2over3]

[eqn: Y]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 12]
[eqn: rm P it (Y=x)]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: 1over6]

B25 | 표본평균의 분포

다음과 같은 확률분포를 가지는 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]에 대하여,

탐구

(1) [eqn: X]를 두 번 뽑아서 그 평균을 [eqn: bar{X _{2}}]라 하자. [eqn: bar{X _{2}}]의 확률분포를 구하여라.

(2) [eqn: X]를 세 번 뽑아서 그 평균을 [eqn: bar{X _{3}}]라 하자. [eqn: bar{X _{3}}]의 확률분포를 구하여라.

(3) [eqn: Y]를 두 번 뽑아서 그 평균을 [eqn: bar{Y}]라 하자. [eqn: bar{Y}]의 확률분포를 구하여라.

확률변수 [eqn: X]에 대하여 크기 [eqn: n]인 표본의 표본평균을 [eqn: barX]라 하면,

개념1

① [eqn: {rmE}(barX `)={rmE}(X)]

② [eqn: {rmV}( bar{X} `)= {{rmV}(X)} over {n}]

③ [eqn: sigma ( bar{X} `)= {sigma(X)} over {sqrt {n}}] ([eqn: s]와 혼동하지 않도록 주의)

✔ 모평균 [eqn: m], 모표준편차 [eqn: sigma]인 모집단에서 추출하면,

[eqn: RARROW] [eqn: {rmE}( bar{X} `)=m],   [eqn: {rmV(} bar{X} `)= {sigma ^{2}} over {n}],   [eqn: sigma( bar{X} `)= {sigma } over {sqrt {n}}]

✔   모집단/모분포가 정규분포이면 [eqn: barX]는 정규분포를 따른다.

모집단/모분포에 관계없이 [eqn: n]이 충분히 크면 [eqn: barX]는 정규분포를 따른다.

[eqn: pile{ ## } right}]	복원추출만 고려함

어느 공장에서 제품 한 개를 생산하는 데 걸리는 시간은

예제1

평균이 [eqn: 200]분, 표준편차가 [eqn: 16]분인 정규분포를 따른다고 한다.

이 공장에서 생산되는 제품 중 임의로 추출한 [eqn: 4]개 제품의 생산 시간의

평균이 [eqn: 196]분 이상일 확률을 구하여라. (단, [eqn: {rm P} ( 0 le Z le 0.5 ) =0.19])

숫자 [eqn: 4,~5,~6,~7]이 하나씩 적힌 공이 각각 [eqn: 40]개, [eqn: 30]개, [eqn: 20]개, [eqn: 10]개가

예제2

들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 복원 추출한 [eqn: 64]개의 공에 적힌

숫자의 평균을 [eqn: barX`]라 할 때, [eqn: {rmP}(barX `gek`)=0.16]을 만족하는 상수 [eqn: k`]의 값을

구하여라. (단, [eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 1)=0.34])

어느 회사에서 생산되는 볼펜의 무게는 평균이 [eqn: 20 \g], 표준편차가 [eqn: 2 \g]인

예제3

정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산되는 볼펜을 [eqn: 4]개씩 묶어서

세트 상품을 만들 때, 세트 상품의 무게의 합 [eqn: S]에 대하여 [eqn: rm P ( 78 le it S le 84 )]을

구하여라. (단, [eqn: {rm P} ( 0 le Z le 0.5 ) =0.19], [eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 1)=0.34])

※ [eqn: X_1 +X_2 +X_3 +X_4]의 분포와 [eqn: 4X]의 분포에 대하여 생각해보자.

✔ 모분포에서의 추출은 모두 복원추출이다.

✔ 모집단이 충분히 크면 비복원 [eqn: image] 복원

※ 사실 별로 생각해볼 필요 없는 문제.

eg) 모집단이 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]일 때, 크기 [eqn: 3]인 표본을

복원추출/비복원추출하는 경우의 수를 각각 구하여라.

B26 | 모평균의 추정

신뢰도 [eqn: alpha%]로 모평균 [eqn: m]을 추정하면

개념1

[eqn: bar{x} -z _{alpha } {sigma } over {sqrt {n}} le m le bar{x} +z _{alpha } {sigma } over {sqrt {n}}]

※ [eqn: z _{alpha}] : 일단 [eqn: 95%]일 때는 [eqn: 1.96], [eqn: 99%]일 때는 [eqn: 2.58] 정도를 눈치껏 쓰면 된다.

과수원에서 생산되는 사과 [eqn: 81]개를 조사하였더니 무게의 평균이 [eqn: 120rmg],

예제1

표준편차가 [eqn: 36rmg]이었다. 전체 평균을 신뢰도 [eqn: 99%]로 추정하여라.

(단, [eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 2.6)=0.4950])

추정 식의 [eqn: z _{alpha}]값(신뢰계수)은 신뢰도 [eqn: alpha]에 대하여

개념2

[eqn: {rmP}(-z _{alpha} le Z le z _{alpha} )=alpha%]가 되는 값이다.

[eqn: RARROW] [eqn: 95%]일 때는 [eqn: 1.96] 이나 [eqn: 2]쯤 쓰면 된다.

[eqn: RARROW] [eqn: 99%]일 때는 [eqn: 2.58] 이나 [eqn: 2.6] 이나 [eqn: 3]쯤 쓰면 된다.

[eqn: z]	[eqn: Ｐ(0≤Z≤z)]
[eqn: 0.86]	[eqn: 0.305]
[eqn: 2.58]	[eqn: 0.495]

[eqn: {cases{###eqalign{# }}}]	[eqn: n``` uparrow] : 짧아진다. (좋지만 돈 듦)
	[eqn: sigma``` uparrow] : 길어진다. (슬픔)
	[eqn: alpha``` uparrow] : 길어진다. (좋아보려 했는데..)

신뢰도 [eqn: 99%]로 추정한 신뢰구간의 길이가 [eqn: l`]일 때,

예제2

신뢰도 [eqn: 61%]로 추정한 신뢰구간의 길이를 구하여라.

B26E1 | 신뢰구간의 길이

신뢰구간의 길이 : [eqn: 2z _{alpha} {sigma} over {sqrt {n}}]

개념1

※ 오차의 한계 : [eqn: z_alpha { sigma} over { sqrt { n} }]

어느 지역 학생 [eqn: 100]명을 대상으로 수능 점수를 조사하였을 때,

예제1

표준편차가 [eqn: 10]이었다. 신뢰도 [eqn: 95%]로 평균을 추정하였을 때,

신뢰구간의 길이를 구하여라. (단, [eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 2)=0.4750])

모분산이 [eqn: 9]인 모집단에 대한 신뢰도 [eqn: 99%] 추정의 신뢰구간을 [eqn: 3] 이하가

예제2

되게 하는 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라. (단, [eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 2.6)=0.4950])