[확률의 뜻과 활용]

B08 | 시행과 사건

시행과 사건

개념1

① 시행 : 어떤 일을 하는 것

② 표본공간 : 시행의 가능한 모든 결과들의 집합

[eqn: RARROW] 근원사건 : 표본공간의 원소

③ 사건 : 표본공간의 부분집합

※ 사건은 집합이므로, 벤다이어그램으로 나타낼 수 있고,

여집합, 합집합, 교집합 등의 집합의 연산이 가능하다.

eg) “시행 : 주사위를 던진다.”에 대하여 다음 사건을 정의하여라.

(1) 사건 [eqn: A] : 짝수가 나온다.

(2) 사건 [eqn: B] : [eqn: 3] 이하가 나온다.

(3) 사건 [eqn: A ^{c}]

(4) 사건 [eqn: A capB]

B09 | 확률의 뜻

사건의 확률

개념1

① 확률 : 근원사건들이 가지고 있는 각각이 일어날 가능성

② 사건의 확률 : 사건 내의 근원사건들이 가지는 확률의 합

Notation   사건 [eqn: A]의 확률 : [eqn: {rmP}(A)]

※ [eqn: {rmP}(A)]가 가지는 성질, 연산법칙 등은 [eqn: n(A)]와 매우 유사하다.

흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 공 [eqn: 3]개를 임의로 꺼낼 때,

예제1

(1) 표본공간을 구하고, 근원사건들의 확률을 각각 구하여라.

(2) 흰 공이 [eqn: 2]개 이하가 나오는 사건을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: {rmP}(A)]를 구하여라.

(3) 사건 [eqn: A^c]을 설명하고, [eqn: {rmP}(A^c )]을 구하여라.

(4) 모두 같은 색의 공이 나오는 사건을 [eqn: B]라 할 때, [eqn: {rmP}(B)]를 구하여라.

(5) 사건 [eqn: A capB]를 설명하고, [eqn: {rmP}(A capB )]을 구하여라.

확률의 성질

개념2

① [eqn: {rmP}(S)=1], [eqn: rmP(emptyset)=0]	② [eqn: 0le {rmP}(A)le1]

③ [eqn: {rmP}(A^c )=1-{rmP}(A)]	④ [eqn: {rmP}(A cupB)={rmP}(A)+{rmP}(B)-{rmP}(A capB)]

흰 공 [eqn: 3]개와 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 공 [eqn: 1]개를 임의로

예제2

꺼내는 시행에서 나올 수 있는 모든 경우의 수와 각각의 확률을 구하여라.

※ “모든 공이 뽑힐 확률이 같다.” [eqn: RARROW] 모두 다른 것으로 봐야 한다.

다음 시행의 표본공간과 확률을 구하여라.

예제3

(1) 서로 다른 주사위 두 개를 던지는 시행

(2) 하나의 주사위를 두 번 던지는 시행

(3) 서로 같은 주사위 두 개를 던지는 시행

주사위 두 개를 던지는 시행에서 두 눈이 [eqn: 1]과 [eqn: 2]가 나올 확률을 구하여라.

예제4

주사위 두 개를 던지는 시행에서 두 눈이 모두 [eqn: 1]이 나올 확률을 구하여라.

예제5

흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 공 [eqn: 2]개를

예제6

임의로 꺼내는 시행에서 흰 공이 [eqn: 2]개 나올 확률을 구하여라.

※ 위 문제는 다음과 같이 풀 수 있다. 원리를 생각해보자.

① [eqn: { `_4 {rmC}_2} over {`_6 {rm C_2 }]     ② [eqn: {4 CDOT 3} over {6 CDOT 5}]     ③ [eqn: {4} over {6} CDOT {3} over {5}]

흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 공 [eqn: 2]개를

예제7

임의로 꺼낼 때, 흰 공이 [eqn: 1]개, 검은 공이 [eqn: 1]개가 나올 확률을 구하여라.

※ 세 가지 방법으로 풀어보면,

① [eqn: {` _{4} rm C it _{1} cdot _{2} {rmC} _{1}} over {` _{6} rm C _{2} it}]     ② [eqn: {4 CDOT 2+2 CDOT 4} over {6 CDOT 5}]     ③ [eqn: {4} over {6} CDOT {2} over {5} + {2} over {6} CDOT {4} over {5}]

주머니에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]개의 공이

예제8

들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내어

임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀 있는 수를

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 할 때,  [eqn: a le b le c le d]일 확률을 구하여라.

B10 | 확률의 연산

확률의 용어

개념1

① 전사건 [eqn: S] : 반드시 일어나는 사건

② 공사건 [eqn: emptyset] : 절대로 일어나지 않는 사건

③ [eqn: A]의 여사건 [eqn: A^c] : [eqn: A]가 일어나지 않는 사건

④ [eqn: A]와 [eqn: B]의 합사건 [eqn: A cupB] : [eqn: A] 또는 [eqn: B]가 일어나는 사건

⑤ [eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건 [eqn: A capB] : [eqn: A]와 [eqn: B]가 동시에 일어나는 사건

⑥ [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 배반사건 : [eqn: A capB=emptyset]

근원 사건들의 확률이 모두 같으면,

개념2

[eqn: {rm P}( A )= {n( A) } over {n( S) } = {( 사건```A가```일어나는```경우의```수) it} over {(일어날```수```있는```모든```경우의```수)}]

다섯 사람 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]를 임의로 일렬로 나열할 때,

예제1

(1) [eqn: a]와 [eqn: b]가 이웃하지 않을 확률을 구하여라.

(2) [eqn: a]와 [eqn: b]가 이웃하거나 [eqn: c]와 [eqn: d]가 이웃할 확률을 구하여라.

(3) [eqn: a]와 [eqn: b]가 이웃하거나 [eqn: b]와 [eqn: c]가 이웃할 확률을 구하여라.

주머니에 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]의 문자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의

예제2

공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내어

임의로 일렬로 나열할 때, 같은 문자끼리는 이웃하지 않게 배열될

확률을 구하여라.

[조건부 확률]

B11 | 조건부 확률의 뜻

[eqn: {rmP}(A `|`B`)] : 사건 [eqn: B]가 일어날 때, 사건 [eqn: A]가 일어날 확률

개념1

주어진 벤다이어그램에서 다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: {rmP}(A`|`B`)]	(2) [eqn: {rm P}(A capB`)]

(3) [eqn: {rm P}(B`|`A)]	(4) [eqn: {rm P}(A ^{c} `|`B`)]

(5) [eqn: {rm P}(A`|`B ^{c} )]	(6) [eqn: {rm P}(A capB ^{c} )]

한 개의 주사위를 던져서 [eqn: 2] 이하가 나오는 사건을 [eqn: A], 소수가

예제2

나오는 사건을 [eqn: B]라 할 때, [eqn: {rmP}(A)+{rmP}(A`|`B)+{rmP}(B`|A)]의 값을 구하여라.

B12 | 확률의 곱셈법칙

[eqn: {rmP}(A `|`B`)= { {rmP}(A capB)} over {{rmP}(B) }] : 조건부 확률의 정의

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: {rm P}(A SMALLINTER B)={rmP}(A`|`B){rmP}(B)] : 확률의 곱셈정리

※ 식의 의미는 [eqn: (B가```일어날```확률) TIMES (B가```일어났을```때,```A가```일어날```확률)]이다.

※ 반대로 [eqn: {rm P}(A SMALLINTER B)={rmP}(B`|`A){rmP}(A)]도 성립한다.

※ 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이면 [eqn: {rm P}(A SMALLINTER B)={rmP}(A){rmP}(B)]

지혜와 수연이가 어느 마라톤 코스를 완주할 확률은 각각 [eqn: {2} over {5}], [eqn: {1} over {4}]이다.

예제1

이 마라톤 코스에서 마라톤 대회가 열려서 두 사람 모두 참가했을 때,

지혜는 완주하지 못하고 수연이는 완주할 확률을 구하여라.

[eqn: 3]개의 당첨 제비를 포함한 [eqn: 12]개의 제비가 있다. 갑, 을의 순서로 임의로

예제2

[eqn: 1]개씩 제비를 뽑을 때, 갑은 당첨 제비를 뽑지 못하고 을만 당첨 제비를

뽑을 확률을 구하여라. (단, 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)

B13 | 조건부 확률의 연산

[eqn: {rmP}(A `|`B`)= { {rmP}(A capB)} over {{rmP}(B) }]

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: {rm P}(A SMALLINTER B)={rmP}(A`|`B`){rmP}(B)={rmP}(B`|`A`){rmP}(A)]

[eqn: RARROW] [eqn: {rm P}(A)={rm P}(A capB)+{rm P}(A capB^c )={rm P}(A`|`B`){rm P}(B)+{rm P}(A`|`B^c ){rm P}(B^c )]

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: {rm P}(A`|`A)]

(2) [eqn: {rm P}(A ^{c} `|`A)]

(3) [eqn: {rm P}(A`|`A ^{c} )]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {rm P}(A)=0.4], [eqn: {rm P}(B`|`A)=0.5],

예제2

[eqn: {rm P}(B`|`A ^{c} )=0.3]일 때, [eqn: {rm P}(B)]의 값을 구하여라.

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {rm P}(A)=0.4], [eqn: {rm P}(A`|`B)=0.2],

예제3

[eqn: {rm P}(A CUP B)=0.6]일 때, [eqn: {rm P}(B`|`A)]의 값을 구하여라.

B14 | 문장제 조건부 확률

어떤 야구팀은 날씨에 따라 이길 확률이 다르다고 한다.

예제1

날씨가 맑은 날의 경기에서 이길 확률은 [eqn: 0.6]이고,  맑지 않은 날의

경기에서 이길 확률은 [eqn: 0.5]이다. 내일 날씨가 맑을 확률이 [eqn: 0.4]라 할 때,

이 팀이 내일 경기에서 이길 확률을 구하여라.

‘내일 날씨가 맑음’을 사건 [eqn: A], ‘내일 경기에서 이김’을 사건 [eqn: B]라 하자.

풀이

(1) 문제의 조건들과 구하려는 확률을 기호로 나타내어라.

(2) 조건부확률의 연산을 통해 답을 구하여라.

✔ 정석대로 풀면 빡치니까 문제에 따라서 표/수형도를 이용해서 푼다.

B14E1 | 이중분할 표 그리기

✔ 가로로 [eqn: A]와 [eqn: A^c]을, 세로로 [eqn: B]와 [eqn: B^c]을 써서 만들어지는 [eqn: 4]칸을

문제에 주어진 조건에 따라 잘 채워 넣어본다.

남녀 공학인 어느 고등학교 학생 중 [eqn: 50%]는 남학생이고,

예제1

동생이 있는 남학생은 전체의 [eqn: 25%]이다. 이 고등학교의 남학생 중

임의로 한 명을 뽑을 때, 그 학생이 동생이 있는 학생일 확률을 구하여라.

어느 회화 학원의 수강생 중 [eqn: 70%]가 대학생이고, 대학생 중

예제2

[eqn: 40%]가 남자라 한다. 그리고 대학생이 아닌 수강생의 [eqn: 50%]가 남자라 한다.

이 학원의 수강생 중 임의로 뽑힌 한 사람이 남자일 때,

이 사람이 대학생일 확률을 구하여라.

암환자를 암이라고 진단할 확률이 [eqn: 95%]이고, 암환자가 아닌 사람을

예제3

암으로 진단할 확률이 [eqn: 10%]인 검사가 있다고 하자. 어떤 사람이 이 검사에서

암이라고 진단을 받았을 때, 그 사람이 실제로 암환자일 확률을 구하여라.

(단, 전체 인구 중 [eqn: 10%]가 암환자이다.)

B14E2 | 확률 수형도 그리기

✔ 선행-후행사건에 따른 경우의 수를 수형도로 그린 후

각각의 가지마다 가지는 확률을 조사한다.

주머니 [eqn: rmA]에는 흰 공 [eqn: 3]개와 파란 공 [eqn: 2]개가, 주머니 [eqn: rmB]에는 흰 공 [eqn: 4]개와

예제1

파란 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. [eqn: rmA]에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내 [eqn: rmB]에 넣고 섞은 뒤

[eqn: rmB]에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼냈을 때, 파란 공일 확률을 구하여라.

어느 상자에 당첨제비 [eqn: 2]개를 포함한 [eqn: 10]개의 제비가 들어 있다.

예제2

갑과 을이 순서대로 임의로 제비를 뽑을 때, 을이 당첨될 확률을 구하여라.

어디에 들리기만 하면 [eqn: {1} over {3}]의 확률로 우산을 놓고 다니는 지원이는

예제3

우산을 가진 채로 하교하여 학원, [eqn: rmPC]방, 독서실에 들렸다가 집으로 와서 보니

아니나 다를까 우산이 없었다. 우산이 [eqn: rmPC]방에 있을 확률을 구하여라.

※ 주로 도수의 개수 등의 통계삘 문제는 이중분할표가 편하고

선행-후행이 확실하게 갈리는 시행의 문제는 확률수형도가 편하다.

B15 | 사건의 독립과 종속

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이다 : 두 사건은 서로 무관하다.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: rm P it (A)= rm P it (A`|`B)={rmP}(A`|`B^c )]   (영향을 받지 않는다.)

[eqn: RARROW] [eqn: {rm P}(A capB)={rm P}(A){rm P}(B)]   (적당히 겹친다.)

✔ 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이 아니면 서로 종속이라고 한다.

동전 하나와 주사위 하나를 동시에 던져 동전의 앞면이 나오는

예제2

사건을 [eqn: A], 주사위의 눈이 [eqn: 1]이 나오는 사건을 [eqn: B]라 할 때, 다음을 보여라.

(1) [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)=}{rmP}(A`|`B^c )]

(2) [eqn: {rmP}(B)={rmP}(B`|`A)={rmP}(B`|`A ^{c} )]

(3) [eqn: rm P it (A capB)={rmP}(A){rmP}(B)]

주사위 하나를 던져 눈이 짝수가 나오는 사건을 [eqn: A], 눈이 [eqn: 6]의 약수가

예제1

나오는 사건을 [eqn: B], 눈이 [eqn: 3] 이하가 나오는 사건을 [eqn: C]라 할 때, 다음을 보여라.

(1) [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)=}{rmP}(A`|`B^c )]

(2) [eqn: {rmP}(B)={rmP}(B`|`A)={rmP}(B`|`A ^{c} )]

(3) [eqn: {rmP}(A capB)={rmP}(A){rmP}(B)]

(4) [eqn: {rmP}(A SMALLINTER C)!={rmP}(A){rmP}(C)]

(명)	남자	여자
담배	[eqn: 60]	[eqn: 30]
담배X	[eqn: 40]	[eqn: x]
※ 독립이다.

(명)	남자	여자
담배	[eqn: 200]	[eqn: 300]
담배X	[eqn: 100]	[eqn: 100]
※ 독립이 아니다.

B15E1 | 독립의 의미와 연산

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이면 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B ^{c}]도 서로 독립이다.

개념1

① 의미상 당연하다.   ② 대수적으로도 확인해보자.

증명

[eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립 [eqn: LRARROW] [eqn: {rmP}(A):{rmP}(A ^{c} )={rmP}(A`|`B):{rmP}(A ^{c} `|`B)={rmP}(A`|`B ^{c} ):{rmP}(A ^{c} `|`B ^{c} )]

개념2

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이면 [eqn: {rmP}(A capB)={rmP}(A){rmP}(B)]이다.

개념3

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이고,

예제1

[eqn: {rmP}(A)=0.4], [eqn: {rmP}(A cupB)=0.7]일 때, [eqn: {rmP}(B)]의 값을 구하여라.

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이고,

예제2

[eqn: {rmP}(A`|`B)=0.6], [eqn: {rmP}(B`|`A ^{c} )=0.4]일 때, [eqn: {rmP}(A CUP B)]의 값을 구하여라.

두 사람이 과녁에 화살을 쏠 때, 과녁에 명중할 확률은 각각 [eqn: 0.6], [eqn: 0.5]이다.

예제3

두 사람이 화살을 한 번씩 쏠 때, 적어도 한 발이 과녁에 명중할 확률을 구하여라.

B16 | 독립시행

사건 [eqn: A]가 일어날 확률이 [eqn: p]인 시행을 [eqn: n]번 반복할 때,

개념1

사건 [eqn: A]가 [eqn: k]번 일어날 확률은 [eqn: ` _{n} rm C it rm _{k} `p ^{k} (1-p) ^{n-k}]이다.

다음을 구하여라.

예제1

(1) 주사위를 [eqn: 4]개 던질 때, [eqn: 1]이 두 개 나올 확률

(2) [eqn: 5]지선다 [eqn: 6]문제를 임의로 찍을 때, [eqn: 2]문제 맞을 확률

(3) [eqn: 30%] 타율의 타자가 [eqn: 3]타석에서 [eqn: 1]안타를 칠 확률

(4) 동전 [eqn: 4]개를 던질 때, 앞면이 [eqn: 3]개 나올 확률

(5) [eqn: 5]지선다 [eqn: 4]문제를 임의로 찍을 때, [eqn: 3]문제 이상 맞을 확률

원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]는 동전을 던져서

예제2

앞면이면 양의 방향으로 [eqn: 2]만큼, 뒷면이면 음의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동한다.

동전을 다섯 번 던졌을 때, 점 [eqn: rmP]의 좌표가 양수일 확률을 구하여라.

두 팀이 [eqn: 5]번의 경기 중 [eqn: 3]번을 먼저 이기면 우승하는 결승전을 한다.

예제3

첫 번째 경기를 이긴 팀이 우승할 확률을 구하여라.

(단, 각 경기에서 어느 팀이 이길 확률은 모두 [eqn: { 1} over {2 }]이다.)

B16E1 | 다항분포의 확률

주사위를 여섯 번 던졌을 때, 눈의 수가 [eqn: 1SIM3]이 두 번,

예제1

[eqn: 4SIM5]가 세 번, [eqn: 6]이 한 번 나올 확률을 구하여라.

좌표평면 위의 점 [eqn: rmP]는 주사위를 던져 다음과 같은 규칙에 따라 움직인다.

예제2

ⅰ) [eqn: 3] 이하의 눈이 나오면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직인다.

ⅱ) [eqn: 4]의 눈이 나오면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 움직인다.

ⅲ) [eqn: 5] 이상의 눈이 나오면 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직인다.

원점에서 출발한 점 [eqn: rmP]가 주사위를 여섯 번 던진 후 점 [eqn: (2,```2)]에 위치할 확률은?