			원포인트 개념주입 B 경우의 수

원포인트개념주입

경우의 수

개념1	✏ 서로 다른 [eqn: n]개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 [eqn: (n-1)!]이다. [eqn: RARROW] 나누는 것과 하나를 고정하는 풀이를 모두 익혀 놓자.

001. 그림과 같은 정삼각형 모양의 탁자에 [eqn: 6]명의 학생이 둘러앉는 방법의 수는? [경우의 수B1] ③ ① [eqn: 120] ② [eqn: 160] ③ [eqn: 240] ④ [eqn: 280] ⑤ [eqn: 320] 002. 초등학생 [eqn: 2]명, 중학생 [eqn: 2]명, 고등학생 [eqn: 3]명이 원형의 탁자에 둘러앉을 때, 초등학생 [eqn: 2]명은 이웃하고, 중학생 [eqn: 2]명은 이웃하지 않게 앉는 방법의 수는? ⑤ ① [eqn: 36] ② [eqn: 48] ③ [eqn: 72] ④ [eqn: 108] ⑤ [eqn: 144]			003. 어느 대학교 [eqn: 2]학기 수시 모집에 지원한 남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 4]명을 토론식 면접을 하기 위하여 아래 그림과 같이 정사각형 모양으로 배열된 [eqn: 8]개의 의자에 앉히려 한다. 붙어 있는 의자에는 반드시 남녀가 [eqn: 1]명씩 앉도록 할 때, 이들 [eqn: 8]명이 앉을 수 있는 모든 경우의 수는? ② ① [eqn: 1152] ② [eqn: 2304] ③ [eqn: 4608] ④ [eqn: 5760] ⑤ [eqn: 9216]

	순열과 조합

개념2	✏ 도형에 색칠하는 방법의 수는 알아서 푼다.

004. 그림과 같이 정삼각형을 [eqn: 6]등분한 도형에 서로 다른 [eqn: 6]가지 색을 모두 칠하여 구별하는 경우의 수를 구하여라. (단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.) [eqn: 240] 005. 그림과 같이 서로 합동인 정삼각형 [eqn: 6]개가 각각 정육각형과 한 변씩을 공유하고 있다. 이 도형을 서로 다른 [eqn: 7]가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 한 영역에 한가지 색만을 칠할 때, 도형을 색칠하는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 ④ 경우는 같은 것으로 본다.) ① [eqn: 630] ② [eqn: 700] ③ [eqn: 770] ④ [eqn: 840] ⑤ [eqn: 910]			006. 그림과 같이 정사각형 [eqn: 9]개가 붙어 있다. 이 [eqn: 9]개의 정사각형의 내부에 서로 다른 [eqn: 9]가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는? ② (단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.) ① [eqn: 9times7!] ② [eqn: 9times7!times2] ③ [eqn: 9times7!times3] ④ [eqn: 9times8!times2] ⑤ [eqn: 9times8!times3]

	순열과 조합

개념3	✏ 입체 도형에 색칠하는 방법의 수 : 적당히 칠하면서 시작한다. [eqn: RARROW] 정다면체에 색칠하는 방법의 수 : [eqn: {(n-1)!} over {(한```면의```모서리의```수)}]

007. 다음 그림과 같은 정사각뿔의 각 면을 서로 다른 [eqn: 5]가지의 색을 모두 사용하여 칠하는 방법의 수를 구하여라. [eqn: 30] 008. 정육면체 모양의 주사위에 [eqn: 6]가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수를 구하여라. [eqn: 30]			009. 그림과 같은 정삼각기둥의 다섯 개의 면을 서로 다른 [eqn: 5]가지의 색을 사용하여 칠하는 방법의 수를 구하여라. (단, 모든 색을 사용할 필요는 없으며 이웃하는 면에는 서로 다른 색을 칠한다.) [eqn: 40]

	순열과 조합

개념4	✏ 중복순열 : [eqn: ` _{n} rm PI it rm _{r} = n^r]

010. 다음 경우의 수를 구하여라. (1) [eqn: 32] (2) [eqn: 729] (3) [eqn: 81] (4) [eqn: 48] (5) [eqn: 249] (6) [eqn: 125] (1) [eqn: BIGCIRC], [eqn: TIMES]로 답하는 [eqn: 5]개의 문제에서 나올 수 있는 답안의 개수 (2) [eqn: 6]명의 투표자가 [eqn: 3]명의 후보에게 기명 투표하는 방법의 수 (3) 서로 다른 편지 [eqn: 4]개를 서로 다른 [eqn: 3]개의 우체통에 넣는 방법의 수 (4) 네 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 뽑아 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수 (5) [eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중 중복을 허용하여 [eqn: 4]개를 뽑아 만들 수 있는 네 자리 자연수 중 [eqn: 3000]보다 큰 자연수의 개수 (6) 두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }] 에 대하여 함수 [eqn: f:X -> Y] 중 [eqn: f(3)=3]를 만족시키는 경우의 수			011. 서로 다른 종류의 연필 [eqn: 5]자루를 [eqn: 4]명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) ① ① [eqn: 1024] ② [eqn: 1034] ③ [eqn: 1044] ④ [eqn: 1054] ⑤ [eqn: 1064] 012. 집합 [eqn: X= LEFT { -3,```-2,```-1,```0,```1,```2,```3 RIGHT }]를 정의역과 공역으로 하는 함수 [eqn: f] 중 다음 조건을 만족시키는 것의 개수는? ④ 모든 [eqn: x IN X]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이다. ① [eqn: 7] ② [eqn: 7^2] ③ [eqn: 7^3] ④ [eqn: 7^4] ⑤ [eqn: 7^5]

	순열과 조합

개념5	✏ 같은 것이 있는 순열 : 같은 것이 [eqn: a]개, [eqn: b]개, [eqn: c]개, [eqn: cdots]해서 총 [eqn: n]개를 배열하는 방법의 수는 [eqn: { n!} over {a!cdotb!cdotc!cdots }]이다. ✔ 순서가 정해진 순열 : 같은 것으로 취급한다.

013. [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3]의 [eqn: 7]개 숫자를 모두 사용하여 [eqn: 7]자리의 자연수를 만들 때, 짝수인 것의 개수를 구하여라. [eqn: 160] 014. [eqn: 8]개의 계단으로 이루어진 계단을 한 걸음에 한 계단 또는 두 계단을 올라간다고 할 때, 이 계단을 오르는 방법의 수를 구하여라. [eqn: 34]			015. [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, [eqn: 2]가 적혀 있는 카드는 [eqn: 4]가 적혀 있는 카드보다 왼쪽에 나열하고 홀수가 적혀 있는 카드는 작은 수부터 크기 순서로 왼쪽부터 나열하는 경우의 수는? ② ① [eqn: 56] ② [eqn: 60] ③ [eqn: 64] ④ [eqn: 68] ⑤ [eqn: 72]

	순열과 조합

개념6	✏ 최단 경로의 수 기본 : [eqn: (a+b)!overa!cdotb!] ✔ 특정 교차로 A를 잡고, 어느 교차로에서 올 수 있는 지를 살피고 그 교차로까지 오는 방법의 수들을 합하면, A까지 이르는 방법의 수를 구할 수 있다. ✔ 분할하는 방법 : 대각선으로

016. 그림과 같은 도로망을 따라 [eqn: rmS]지점에서 출발하여 [eqn: rmT]지점까지 최단거리로 이동할 때, [eqn: rmA]지점, [eqn: rmB]지점, [eqn: rmC]지점, [eqn: rmD]지점을 각각 거쳐서 가는 방법의 수들을 모두 더한 값을 구하여라. [eqn: 20] 017. 그림과 같이 [eqn: rmP]지점에서는 좌회전이 금지되어 있는 바둑판 모양의 도로망이 있다. 이때 [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmB]지점까지 최단 경로의 수는? ① ① [eqn: 90] ② [eqn: \94] ③ [eqn: 96] ④ [eqn: 100] ⑤ [eqn: 104]			018. 그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmC]지점을 지나지 않고, [eqn: rmD]지점도 지나지 않으면서 [eqn: rmB]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? ② ① [eqn: 26] ② [eqn: 24] ③ [eqn: 22] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 18]

	순열과 조합

개념7	✏ 서로 다른 [eqn: n]개 중 중복을 허용하여 [eqn: r]개를 뽑는 방법의 수를 [eqn: `_n {rmH}_r]이라 한다. ✏ [eqn: ` _{n} rm H it rm _{r} = _{n+r-1} rm C it rm _{r}]이다.

019. 다음 경우의 수를 구하여라. (1) [eqn: 66] (2) [eqn: 36] (3) [eqn: 165] (4) [eqn: 28] (5) [eqn: 56] (1) 장미, 튤립, 국화 세 종류의 꽃 중에서 [eqn: 10]송이를 선택하는 방법의 수 (2) [eqn: (a+b+c)^7]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수 (3) 서로 구별할 수 없는 음료수 [eqn: 8]개를 네 명에게 나눠주는 방법의 수 (4) [eqn: 6]명의 투표자가 [eqn: 3]명의 후보에게 무기명 투표하는 방법의 수 (5) [eqn: x+y+z+w=5]를 만족시키는 [eqn: 0] 이상의 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z,```w)]의 개수			020. 같은 종류의 주스 [eqn: 4]병, 같은 종류의 생수 [eqn: 2]병, 우유 [eqn: 1]병을 [eqn: 3]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, [eqn: 1]병도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.) ⑤ ① [eqn: 330] ② [eqn: 315] ③ [eqn: 300] ④ [eqn: 285] ⑤ [eqn: 270]

	순열과 조합

개념8	✏ [eqn: `_n {rmH}_r]은 [eqn: a+b+c+` CDOTS `+n=r]의 [eqn: 0] 이상 정수해의 개수와 같다. [eqn: RARROW] ‘자연수 해’ 등의 조건을 다룰 수 있다.

021. 방정식 [eqn: x+y+z=10]을 만족시키는 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 음이 아닌 정수해의 개수는 [eqn: a]이고, 양의 정수해의 개수는 [eqn: b]일 때, [eqn: a-b]의 값은? ③ ① [eqn: 15] ② [eqn: 28] ③ [eqn: 30] ④ [eqn: 45] ⑤ [eqn: 50] 022. 연립방정식 [eqn: cases{ x+y+z+3w=14 # x+y+z+w=10 }] 을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z,```w)]의 개수는? ② ① [eqn: 40]□□ ② [eqn: 45]□□□ ③ [eqn: 50]□ ④ [eqn: 55] ⑤ [eqn: 60]			023. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수를 구하여라. [eqn: 32] (가) [eqn: a+b+c+d=20] (나) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 [eqn: d]의 배수이다.

	순열과 조합

개념9	✏ [eqn: X=][eqn: LEFT { 1,```2,``` CDOTS ,```r RIGHT }], [eqn: Y][eqn: =][eqn: LEFT { 1,```2,``` CDOTS ,```n RIGHT }]일 때, [eqn: x _{1} <x _{2}]면 [eqn: f(x _{1} ) le f(x _{2} )]을 만족하는 [eqn: f:X->Y]인 함수의 개수는 [eqn: `_n {rmH}_r]이다. ※ [eqn: x _{1} <x _{2}]면 [eqn: f(x _{1} )<f(x _{2} )]을 만족하는 [eqn: f:X->Y]인 함수의 개수는 [eqn: ` _{n}{ rm C} _{r}]이다.

024. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,```2 RIGHT }]에 대하여 [eqn: f:A -> B]인 함수 중에서 [eqn: f(1) LEQ f(2) LEQ f(3) LEQ f(4) LEQ f(5)] 를 만족시키는 함수의 개수는? ① ① [eqn: 6] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 21] ⑤ [eqn: 25] 025. 세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: 1 le |a| le |b| le |c| le5] 를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수는? ③ ① [eqn: 360] ② [eqn: 320] ③ [eqn: 280] ④ [eqn: 240] ⑤ [eqn: 200]			026. 집합 [eqn: X= left{ 1,```2,```3,```4,```5 right}]에 대하여 함수 [eqn: f : X -> X] 중 [eqn: f(1) LEQ f(2)<f(3)<f(4) LEQ f(5)] 를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하여라. [eqn: 21] 027. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6RIGHT }]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는? ④ (가) 임의의 [eqn: x_1 ,```x_2 inA]에 대하여 [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )≥f(x_2 )]이다. (나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다. ① [eqn: 64``] ② [eqn: 82``] ③ [eqn: 100``] ④ [eqn: 120``] ⑤ [eqn: 128``]

	순열과 조합

개념8	✏ 이항정리 : [eqn: (a+b)^n =sum_k=0 ^n `_n {rmC}_k a^k b^n-k] [eqn: RARROW] [eqn: (a+b)^n]의 전개식에서 [eqn: a^k b^n-k]의 계수는 [eqn: `_n {rmC}_k]이다.

028. [eqn: left( mx - 1 over x^2 right)^\4]의 전개식에서 [eqn: 1 over x^2]의 계수가 [eqn: 12]일 때, 상수 [eqn: m]의 값을 구하여라. [eqn: {m=+- sqrt 2 }] 029. [eqn: LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{2n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}], [eqn: x ^{4}], [eqn: x ^{6} `]의 계수가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 자연수 [eqn: n]의 값은? ② ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10] 030. [eqn: (x^2 +1) left (x + 1over x right)^10]의 전개식에서 상수항을 구하여라. [eqn: 462]			031. [eqn: (x+1)^8 (x-1)^4]의 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수를 구하여라. [eqn: 2] 032. [eqn: (a+2b+c)^5]의 전개식에서 [eqn: a^2 b^2 c]의 계수는? ④ ① [eqn: 30] ② [eqn: 50] ③ [eqn: 100] ④ [eqn: 120] ⑤ [eqn: 150]

	순열과 조합

개념9	✏ 이항계수의 성질 : 기본 : ① 합 ② 짝수/홀수 합 ③ 하키스틱 옵션 : ④ 미분 ⑤ 적분 ⑥ [eqn: i]대입

033.

서로 다른 색깔의 색연필 [eqn: 10]자루에서 [eqn: 6]자루 이상을
택하는 경우의 수는?

②

① [eqn: 382]	② [eqn: 386]	③ [eqn: 390]

④ [eqn: 394]	⑤ [eqn: 398]

034.

[eqn: f(x-1)=1+x+x^2 +cdots+x^10]에 대하여
[eqn: f(t)=a_0 +a_1 t+a_2 t^2 +cdots+a_10 t^10]일 때,

[eqn: a_7]의 값은? (단, [eqn: a_0], [eqn: a_1], [eqn: cdots], [eqn: a_10]은 상수)

④

① [eqn: 159]	② [eqn: 161]	③ [eqn: 163]

④ [eqn: 165]	⑤ [eqn: 167]

035.

다음은 [eqn: n]이 소수일 때, [eqn: `_2n {\C}_{n} -2]는 [eqn: n^{2}]의 배수임을
증명한 것이다.

[eqn: (1+x)^{2n} =sum _{k=0} ^{2n} `_{2n} rm C it rm _{`k} x ^{k}]

에서  [eqn: box{```````(가)```````}]의 계수는 [eqn: `_2n {\C}_{n}]이다.

한편

[eqn: (1+x) ^{n} (1+x) ^{n}# ``````````````````````````````````````= LEFT ( sum _{k=0} ^{n} ` _{n} rm C it rm _{k} x ^{k} RIGHT ) LEFT ( sum _{k=0} ^{n} ` _{n} rm C it rm _{n-k} x ^{n-k} RIGHT )]

에서  [eqn: box{```````(가)```````}]의 계수는
[eqn: sum _{k=0} ^{n} left(` _{n} {\C} _{k}cdotbox{```````(나)```````} right)]이다. 따라서

[eqn: `_2n {\C}_n][eqn: = LEFT ( _n{\C}_{0} RIGHT )^2 + LEFT ( _n{\C}_{1} RIGHT )^2 + LEFT ( _n{\C}_2 RIGHT )^2 +cdots+ LEFT ( _n{\C}_{n} RIGHT )^2]

이다.

그런데 [eqn: n]이 소수이므로 [eqn: box{```````(다)```````}]인 자연수 [eqn: k]에
대하여 [eqn: `_n{\C}_k]는 [eqn: n]의 배수이다.

따라서 [eqn: box{```````(다)```````}]인 자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: left(`_n{\C}_k right)^2]은 [eqn: n ^{2}]의 배수이고 [eqn: `_n{\C}_0 = _n{\C}_n =1]이므로
[eqn: `_2n {\C}_{n} -2]는 [eqn: n^2]의 배수이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

②

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: x^{`n}]	[eqn: `_n{\C}`_n-k]	[eqn: 1le k le n]
②	[eqn: x^{`n}]	[eqn: `_n{\C}`_n-k]	[eqn: 1le k le n-1]
③	[eqn: x^{`n}]	[eqn: `_2n{\C}`_n-k]	[eqn: 1le k le n]
④	[eqn: x^{`2n}]	[eqn: `_n{\C}`_n-k]	[eqn: 1le k le n-1]
⑤	[eqn: x^{`2n}]	[eqn: `_2n{\C}`_n-k]	[eqn: 1le k le n]