[순열과 조합]

B01 | 원순열

[eqn: n]명이 원탁에 둘러 앉는 방법의 수는 [eqn: (n-1)!]이다.

개념1

[eqn: RARROW] 원순열은 앉은 사람들의 상대적 위치관계에만 초점을 맞춘다.

✔ 한명을 미리 고정시켜놓고 시작하는 풀이가 유용하다.

그림과 같은 원형의 탁자 둘레의 [eqn: 6]자리에

예제1

[eqn: 6]명을 배치하는 방법의 수를 구하여라.

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

그림과 같은 탁자에 사람들을 앉히는 방법의 수를 구하여라.

예제2

(1)                     (2)                     (3)

그림과 같은 모양을 서로 다른 색으로 칠하는 방법의 수를 구하여라.

예제3

(1)                     (2)                     (3)

※ 위의 문제들을 ‘[eqn: n]으로 나누는 풀이’와 ‘하나를 고정하는 풀이’로

모두 풀고 답을 확인해 보자.

B01E1 | 조건이 걸린 원순열

✔ 나누는 것보다 하나 고정하는 풀이가 편하더라.

부모를 포함한 여섯 명의 가족이 원탁에 둘러앉을 때,

예제1

(1) 부모가 이웃하는 배열 방법의 수를 구하여라.

(2) 부모가 마주보는 배열 방법의 수를 구하여라.

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]학년 학생이 각각 [eqn: 2]명씩 [eqn: 6]명이 원탁에 둘러앉을 때,

예제2

(1) 같은 학년끼리는 이웃하도록 배열하는 방법의 수를 구하여라.

(2) 같은 학년끼리는 마주보도록 배열하는 방법의 수를 구하여라.

(3) [eqn: 1]학년은 이웃하고, [eqn: 2]학년은 이웃하지 않도록 배열하는 방법의 수를 구하여라.

남자 [eqn: 4]명, 여자 [eqn: 4]명의 [eqn: 8]명을 원탁에 앉을 때,

예제3

남녀가 교대로 앉는 방법의 수를 구하여라.

B01E2 | 입체도형을 색칠하는 방법의 수

※ 교과과정이 아니지만 원순열을 이해하는 핵심이 되는 내용,

“같은 경우”인지 아닌지를 판별하는 공부가 되므로 해 두도록 하자.

정사각뿔의 각 면을 서로 다른 [eqn: 5]가지 색을 모두 사용하여

예제1

칠하는 방법의 수를 구하여라.

다음 정[eqn: n]면체를 서로 다른 [eqn: n]가지 색을 모두 사용하여 ~

예제2

(1) 정육면체	(2) 정사면체

(3) 정팔면체	(4) 정십이면체

가로, 세로, 높이가 모두 다른 직육면체를 [eqn: 6]가지 색을

예제3

모두 사용하여 색칠하는 방법의 수를 구하여라.

정육면체를 서로 다른 [eqn: 4`]가지의 색을 이용하여

예제4

칠하려고 한다. 이웃하는 면은 같은 색으로 칠하지

않는다고 할 때, 칠하는 방법의 수를 구하여라.

B02 | 중복순열

[eqn: ` _{n} PI _{r}] : 서로 다른 [eqn: n]개 중 중복을 허용하여 [eqn: r]개를 뽑아 줄 세우는 방법의 수

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: ` _{n} PI _{r} =n^r]

※ 문제에 적용할 때 어느 쪽이 [eqn: n]이고 어느 쪽이 [eqn: r]인지가 꽤 헷갈린다.

다음과 같은 방법으로 생각할 수 있다.

① 한 번의 시행에서 줄어드는 쪽이 지수로 올라간다.

② 시행에서 능동적인 쪽이 지수로 올라간다.

③ (추천) 정의역, 공역이라고 치고 함수를 그려서 말이 되는 쪽으로..

다음을 구하여라.

예제1

(1) 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]를 이용하여 만들 수 있는 [eqn: 3]자리 정수의 개수

(2) 정의역이 [eqn: left{1,```2,```3,```4right]이고 공역이 [eqn: left{a,```b,```c right}]인 함수의 개수

(3) 서로 다른 편지 [eqn: 4]통을 서로 다른 우체통 [eqn: 3]개에 넣는 방법의 수

(4) 후보 [eqn: 5]명에게 유권자 [eqn: 10]명이 기명투표하는 방법의 수

(5) 서로 다른 사탕 [eqn: 4]개를 [eqn: 6]명에게 나눠주는 방법의 수

(6) [eqn: 5]지선다 [eqn: 4]문항의 답을 찍는 방법의 수

B03 | 같은 것이 있는 순열

같은 것의 개수의 순열만큼으로 나눠준다.

개념1

eg1) [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라.

eg2) [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라.

eg3) [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]를 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 5]로 여섯 자리의 자연수를 만들 때,

예제1

[eqn: 300000]보다 큰 것의 개수를 구하여라.

[eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3]으로 여섯 자리의 자연수를 만들 때,

예제2

홀수의 개수를 구하여라.

[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]로 여섯 자리의 자연수를 만들 때,

예제3

[eqn: 1]이 이웃하는 경우의 수를 구하여라.

B03E1 | 최단 경로의 수

최단 경로의 수를 푸는 방법

개념1

① 같은 것이 있는 순열로

② 각 점까지 이를 수 있는 최단거리를 더해나가면서

오른쪽 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]로

예제1

가는 최단 경로의 수를 구하여라.

(1) [eqn: rmP]를 밟고

(2) [eqn: rmP]를 밟지 않고

오른쪽 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]로

예제2

가는 최단 경로의 수를 구하여라.

오른쪽 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]로

예제3

가는 최단 경로의 수를 구하여라.

오른쪽 그림과 같이 정육면체 [eqn: 24]개를 쌓아올려

예제4

직육면체를 만들었을 때, 정육면체의 모서리를

따라 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 꼭짓점 [eqn: rmB]까지 가는

최단 경로의 수를 구하여라.

B03E2 | 순서가 정해진 배열

순서가 정해져 있는 것들은 같은 것으로 취급한다.

개념1

다음을 만족시키면서 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]를 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라.

예제1

(1) [eqn: a]가 [eqn: e]보다 앞쪽에 나타나도록

(2) [eqn: a], [eqn: c], [eqn: e]가 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: e]의 순서대로 나타나도록

(3) [eqn: a]가 [eqn: e]보다 앞쪽에, [eqn: b]가 [eqn: d]보다 앞쪽에 나타나도록

	중복불가	중복허락
순서 O	[eqn: ` _{n} {rmP} _{r}]	[eqn: ` _{n} SMALLPROD _{r}]
순서 X	[eqn: ` _{n} {rmC} _{r}]	[eqn: ` _{n} {rmH} _{r}]

B04 | 중복조합

서로 다른 [eqn: n]개 중 중복을 허락하여 [eqn: r]개를 뽑는 방법을 [eqn: ` _{n} {rmH} _{r}]이라 나타낸다.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: ` _{n} rm H it rm _{r}=_n+r-1 {rmC}_r]

eg1) 네 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD] 중 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 고르는 방법의 수?

eg2) 네 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD] 중 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 고르는 방법의 수?

eg3) 두 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 중 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 고르는 방법의 수?

✔

[eqn: a+b+c+cdots+n=r]의 [eqn: 0] 이상 정수해의 쌍의 개수는 [eqn: ` _{n} {rmH} _{r}]이다.

개념2

※ 정의보다 적용하기 쉬우므로 이쪽을 정의처럼 기억해두도록 하자.

다음을 구하여라.

예제1

(1) 과일가게에서 사과, 배, 감, 망고를 합쳐서 [eqn: 10]개를 구입하는 경우의 수

(2) 서로 구별할 수 없는 [eqn: 7]개의 음료수를 [eqn: 3]명에게 나눠주는 경우의 수

(3) [eqn: 5]명의 후보에게 [eqn: 20]명의 유권자가 무기명 투표하는 경우의 수

(4) [eqn: (a+b+c)^7]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수

서로 구별할 수 없는 공 [eqn: 8]개를 서로 다른 상자 [eqn: 3]개에 넣는

예제2

경우의 수를 구하여라. (단, 빈 상자가 있을 수 있다.)

※ 공들이 서로 달라서 서로 구별할 수 있을 때의 경우의 수를 구하여라.

B04E1 | 조건이 걸린 부정방정식

✔ 음이 아닌 정수 ([eqn: 0] 이상 정수)로 맞춰준다.

방정식 [eqn: a+b+c=10]에 대하여, 다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 0] 이상 정수해의 쌍

(2) 자연수해의 쌍

(3) [eqn: a ge2], [eqn: b ge1], [eqn: c ge2]인 정수해의 쌍

서로 구별할 수 없는 [eqn: 7]개의 음료수를 네 명에게 나눠줄 때,

예제2

(1) 각 사람이 적어도 하나씩 받도록 나눠주는 방법의 수를 구하여라.

(2) [eqn: rmA]가 [eqn: 2]개 이상 받도록 나눠주는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: (a+b+c)^6]의 전개식의 항들 중에서

예제3

[eqn: a]를 포함한 항의 개수는 몇 개인지 구하여라.

B04E2 | 함수의 개수

[eqn: n(X)=r], [eqn: n(Y)=n]일 때,

개념1

① [eqn: f:X->Y]인 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_n {PI_r]이다.

② [eqn: f:X->Y]인 일대일함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_n {rmP}_r]이다.

③ [eqn: f:X->Y], [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )<f(x_2 )]인 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_n {rmC}_r]이다.

④ [eqn: f:X->Y], [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )lef(x_2 )]인 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_n {rmH}_r]이다.

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 1lea<b<c le7]인 정수 [eqn: (a,```b,```c)]쌍의 개수

(2) [eqn: 1 le a leb le c le 7]인 정수 [eqn: (a,```b,```c)]쌍의 개수

✔ 부등호가 있다가 없다가 하는 경우의 풀이

eg) [eqn: 1le a<b lec<d le8]을 만족시키는 정수해 쌍의 개수를 구하여라.

[eqn: X= LEFT { 1,```2,```cdots,```5 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,```2,``` CDOTS ,```7 RIGHT }]일 때, 함수 [eqn: f:X->Y]가 조건

예제2

‘[eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )lef(x_2 )]이다.’와 다음 조건을 각각 만족시키는 [eqn: f]의 개수는?

(1) [eqn: f(2)=4]

(2) 치역의 원소 중 최소인 것이 [eqn: 2], 최대인 것이 [eqn: 6]이다.

(3) 치역의 원소의 개수가 [eqn: 3]이다.

B05 | 이항정리의 뜻

다음을 전개하여 보자.

탐구

[eqn: (a+b)^2],     [eqn: (a+b)^3],     [eqn: (a+b)^4],     [eqn: cdots]

[eqn: (a+b) ^{n} = sum _{k=0} ^{n} ` _{n} rm C it rm _{k} `a ^{k} `b ^{n-k}]

개념1

[eqn: (1+x) ^{n} = sum _{k=0} ^{n} ` _{n} rm C it rm _{k} `x ^{k}]

개념2

다음을 전개하여라.

예제1

(1) [eqn: (a+b) ^{5}]

(2) [eqn: (x ^{2`} -2) ^{4}]

(3) [eqn: left(x ^{2} + {1} over {x} right) ^{4}]

다음을 간단히 하여라.

예제2

(1) [eqn: sum_k=0 ^10 {`_10 {rmC}_k 2^k 3^10-k]

(2) [eqn: sum _{k=0} ^{12} ` _{12} rm C it rm _{k} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10-k}]

(3) [eqn: sum _{k=0} ^{8} ` _{8} rm C it rm _{k} 2 ^{k}]

B06 | 특정항의 계수

[eqn: (a+b) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: a ^{k} b ^{n-k}]의 계수는 [eqn: ` _{n} {rmC} _{k}]이다.

개념1

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: (2x-3) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수

(2) [eqn: (x ^{2} +2) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{4}]의 계수

(3) [eqn: left(x ^{2} - { 1} over { x} right) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수

(4) [eqn: LEFT ( x+ {2} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 상수항

(5) [eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x} RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수

다음을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: (x+1) ^{5} left(x+ {1} over {x} right)]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수

(2) [eqn: (x+1) ^{5} LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )]의 전개식에서 [eqn: x ^{5}]의 계수

(3) [eqn: (x+1) ^{5} LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수

(4) [eqn: (x+1) ^{4} LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{8}]의 계수

✔ 계수들의 합 : [eqn: x=1], [eqn: x=-1], [eqn: x=i] 같은 거 넣어본다.

eg1) [eqn: (ax-1)^3]의 전개식에서 모든 계수의 합이 [eqn: 3^6]일 때, [eqn: a]의 값은?

eg2) [eqn: (1-x+x ^{2} ) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x^k]의 계수를 [eqn: a_k]라 할 때, [eqn: sum_k=1 ^n a_2k-1]의 값?

B06E1 | 다항정리

[eqn: (a+b+c) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: a ^{p} b ^{q} c ^{r}]의 계수는 [eqn: {n!} over {p!q!r!}]이다.

개념1

※ 교과서에 없지만 꽤 자주 보이는 문제이다.

[eqn: (a+b+c) ^{7}]의 전개식에서 다음 항의 계수를 구하여라.

예제1

(1) [eqn: a ^{2} b ^{3} c ^{2}]	(2) [eqn: a ^{3} bc ^{3}]

(3) [eqn: b^4 c^3]	(4) [eqn: a^7]

다음을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: (2a-b+c)^5]의 [eqn: a^2 bc^2]의 계수

(2) [eqn: (x^2 +x+1)^5]의 [eqn: x^4]의 계수

(3) [eqn: left(x^2 +1+ { 1} over {x }right)^4]의 상수항

cf1) [eqn: (a+b+c)^10]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하여라.

cf2) 서로 다른 [eqn: 7]개의 공을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에게 다음과 같이 나눠주는 방법의 수는?

(1) [eqn: 2]개, [eqn: 2]개, [eqn: 3]개의 세 묶음으로 나누어 [eqn: 3]명에게 나눠준다.

(2) [eqn: rmA]에게 [eqn: 2]개, [eqn: rmB]에게 [eqn: 2]개, [eqn: rmC]에게 [eqn: 3]개를 나눠준다.

B07 | 이항계수의 성질

이 정도는 외워줘야 하는 것들

개념1

① [eqn: `_n {rmC}_0 =_n {rmC}_n =1]

② [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r} = _{n} rm C it rm _{n-r}]

③ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r} = _{n-1} rm C it rm _{r} + _{n-1} rm C it rm _{r-1}]

④ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} + _{n} {rm C} _{2} + CDOTS + _{n} {rm C} _{n} =2 ^{n}]

⑤ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{2} + _{n} rm C it rm _{4} + CDOTS = _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C it rm _{3} + _{n} rm C it rm _{5} + CDOTS =2 ^{n-1}]

⑥ 하키스틱

※ 위 공식들을 파스칼의 삼각형에서 확인해 보자.

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: `_19 rmC_0 +_19 rmC_1 +_19 C_2 +cdots+_19 C_19]

(2) [eqn: ` _{19} rm C _{1} + _{19} rm C _{3} + _{19} C _{5} + CDOTS + _{19} C _{19}]

(3) [eqn: ` _{19} rm C _{0} + _{19} rm C _{1} + _{19} C _{2} + CDOTS + _{19} C _{9}]

(4) [eqn: ` _{2} rm C _{2} + _{3} rm C _{2} + _{4} C _{2} + _{5} C _{2} + CDOTS + _{10} C _{2}]

(5) [eqn: ` _{2} rm C _{0} + _{3} rm C _{1} + _{4} C _{2} + _{5} C _{3} + CDOTS + _{10} C _{8}]

B07E1 | 중요하지 않은 이항계수의 성질

별로 안 중요한데, 가끔 보이는 공식들

개념1

⑦ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{1} +2 _{n} rm C it rm _{2} +3 _{n} rm C it rm _{3} + CDOTS +n _{n} rm C it rm _{n} =n CDOT 2^n-1] (미분해서)

⑧ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + {` _{n} rm C it rm _{1}} over {2} + {` _{n} rm C it rm _{2}} over {3} + CDOTS + {` _{n} rm C it rm _{n}} over {n+1} = {2 ^{n+1} -1} over {n+1}] (적분해서)

⑨ [eqn: (1+x)^n]에 [eqn: x=i]를 대입해서 나오는 식들

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: `_10 rmC_1 +2_10 C_2 +3_10 C_3 +cdots+10_10 C_10]

(2) [eqn: `2 _{10} rm C _{1} +2 ^{2} ` _{10} C _{2} +2 ^{3} ` _{10} C _{3} + CDOTS +2 ^{10} ` _{10} C _{10}]

(3) [eqn: sum _{k=0} ^{8} (k-2) _{8} rm C it rm _{k}]

(4) [eqn: ` _{16} rm C it _{0} - _{16} rm C _{2} + _{16} C _{4} - _{16} C _{6} + CDOTS + _{16} C _{16} it]

(5) [eqn: ` _{21} rm C it rm _{0} - _{21} rm C _{2} + _{21} C _{4} - _{21} C _{6} + CDOTS + _{21} C _{20} it]

(6) [eqn: ` _{21} rm C it rm _{1} - _{21} rm C _{3} + _{21} C _{5} - _{21} C _{7} + CDOTS + _{21} C _{21} it]

수능에는 안 나오지만 원래 중요한 공식 : [eqn: k CDOT _{n} rm C it rm _{k} =n CDOT _{n-1} rm C it rm _{k-1}]

개념2

다음을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: `_10 rmC_1 +2_10 C_2 +3_10 C_3 +cdots+10_10 C_10]

(2) [eqn: ` _{10} rm C _{1} +2 ^{2} ` _{10} C _{2} +3 ^{2} ` _{10} C _{3} + CDOTS +10 ^{2} ` _{10} C _{10}]