[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 정적분의 연산

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SOOHAN

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

[정적분으로 정의된 함수]

▷ [eqn: g(x)=int_a ^x f(t)dt]이면,

① [eqn: g'(x)=f(x)]

② [eqn: g(a)=0]

이다.

※ 대부분의 경우에 [eqn: y=g(x)]의 그래프로 접근한다.

(곡선 [eqn: y=f(x)]의 넓이로 다루지 않는다.)

001.	[2016학년도 9월(A형) 25번]

함수 [eqn: f (x)]가

[eqn: f(x) = int from 0 to x (2at +1) dt]

이고 [eqn: f `'(2) =17]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 4]

002.	[2013학년도 수능(나형) 21번]

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x+a]에 대하여 함수

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {f(t)} dt]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

003.	[2021학년도 9월(나형) 28번]

함수 [eqn: f(x) = -x^2 -4x+a]에 대하여 함수

[eqn: g(x) = int _0 ^x f(t) dt]

가 닫힌구간 [eqn: [0,```1]]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의
최솟값을 구하여라.

[eqn: 5]

	PATTERN DRILL [삼차함수의 대칭성]

[정적분으로 정의된 함수의 x축]

▷ [eqn: g(x)=int_a ^x f(t)dt]이면, [eqn: g(a)=0]이다.

[eqn: RARROW] 곡선 [eqn: y=g(x)]는 점 [eqn: (a,```0)]을 지난다.

004.	[한성은 MP0198번]

함수

[eqn: f(x)= int _{u} ^{x} {} t(t-a)(t-b)dt]

는 [eqn: x=1]에서 극대, [eqn: x=3]에서 극소이다. 방정식 [eqn: f(x)=0]의
서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: u]의
개수는 [eqn: c]이다. [eqn: a+b+c]의 값은?

④

[eqn: left{a,```b right}=left{1,```3 right}], [eqn: c=6]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

005.	[2022학년도 6월 20번]

실수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -12x ^{2} +45x+3]에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합을
구하여라.

[eqn: 8]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

[정적분을 포함한 항등식]

▷ [eqn: int_a ^b f(t)dt]가 있으면

[eqn: k= int _{a} ^{b} {} f(t)dt]라 두고 이 식을 푼다.

▷ [eqn: int_a ^x f(t)dt]가 있으면

[eqn: x=a]를 대입하고 양 변을 미분한다.

▷ 다항식의 차수를 조사한다.

006.	[2012년 7월 25번]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +x+ int _{0} ^{2} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}] 를 만족시키는 함수
[eqn: f` LEFT ( x RIGHT )] 에 대하여 [eqn: f` LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 4]

007.	[2013학년도 7월(나형) 12번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f(x)=x^2 -2x+ int _{ 0} ^{1 } {tf(t) }dt]를 만족시킬 때,
[eqn: f(3)]의 값은?

①

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {17} over {6}]

④ [eqn: {19} over {6}]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

008.	[2017년 10월(나형) 9번]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =x ^{3} +ax ^{2} -3x+1]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

009.	[2017년 경남 10월(나형) 15번]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: xf(x)= int _{-1} ^{x} {} LEFT { f(t)+2t ^{2} +t RIGHT } dt]

일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

②

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

010.	[2014학년도 9월(A형) 28번]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: int from 0 to x {f(t)}dt= x^3 - 2x^2 -2x int from 0 to 1 {f(t)}dt]

일 때, [eqn: f(0)=a]라 하자. [eqn: 60a]의 값을 구하여라.

[eqn: 40]

011.	[2014학년도 10월(나형) 24번]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: int _{ 12} ^{ x} {f(t)dt}=-x^3 +x^2 + int _{ 0} ^{1 } {x f(t)dt}]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { f(x)`dx}]의 값을 구하여라.

[eqn: 132]

012.	[2020학년도 수능(나형) 28번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: f(4)]의 값을 구하여라.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_{1}^{x} f(t)dt={x - 1}over{2} LEFT {f(x)+f(1) RIGHT }]이다.

(나) [eqn: int_{0}^{2} f(x)dx=5 int_{- 1}^{1}}x f(x)dx]

[eqn: 7]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

[도함수의 넓이]

▷ [eqn: int _{a} ^{b} f`'(x)dx=f(b)-f(a)] :
도함수 [eqn: y=f`'(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는

함수 [eqn: y=f(x)]의 변화량과 같다.

013.	[2017년 대구 8월(나형) 20번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: g(x)= int _{-1} ^{x} {LEFT | f`'(t) RIGHT | dt}]라 할 때, [eqn: g( gamma )-g( alpha )]의 값은?

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값, [eqn: x=1]에서

극솟값을 가진다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 세 실근

[eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma][eqn: (` alpha < beta < gamma ``)]를 가진다.

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

014.	[한성은 EG1580번]

사차함수 [eqn: f(x)=x(x-2)(x-5)(x-8)]에 대하여

[eqn: int _{m} ^{m+2} {} f` prime (x)dx <0]

를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합은?

[eqn: 12]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

[도형의 넓이]

▷ 차함수와 넓이 : 함수 [eqn: f(x)-g(x)]의

그래프를 그리고 넓이를 구할 수 있다.

▷ 다항함수와 넓이 :

[eqn: { |k|(beta-alpha)^3} over { 6}],   [eqn: {|k|( beta - alpha ) ^{4}} over {12}]

정도 외워 줘.

015.	[2020학년도 수능(나형) 26번]

두 함수

[eqn: f(x)={1}over{3}x(4 - x)],   [eqn: g(x)= LEFT |` x - 1 ` RIGHT | - 1]

의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때,
[eqn: 4S]의 값을 구하여라.

[eqn: 14]

016.	[2018학년도 수능(나형) 26번]

곡선 [eqn: y=-2x ^{2} +3x] 와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의
넓이가 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는
서로소인 자연수이다.)

[eqn: 4]

017.	[2018년 대구 11월(나형) 26번]

두 곡선 [eqn: y=2x ^{2} -4x]와 [eqn: y=x ^{2} -2x+3]으로 둘러싸인
부분의 넓이가 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 35]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

[넓이의 변화율과 길이]

▷ 넓이의 변화율 :

길이가 넓이의 변화율 각일 때가 있다.

018.	[2023학년도 6월 20번]

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{x} ^{x+1} {LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} dt]는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=4]에서 극소이다.
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 13]

019.	[2017학년도 9월(나형) 29번]

구간 [eqn: LEFT [ 0,```8 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f(x)= {cases{it -x LEFT ( x-4 RIGHT )&``` LEFT ( 0 LEQ x<4 RIGHT )#x-4&``` LEFT ( 4 LEQ x LEQ 8 RIGHT )}}]

이다. 실수 [eqn: a LEFT ( 0 LEQ a LEQ 4 RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{a+4} {f(x)} dx]의
최솟값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와
[eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 43]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

[평행이동/대칭이동과 적분]

▷ 알아서 잘

020.	[2016학년도 수능(A형) 20번]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(-x)=it-f(x)], [eqn: g(-x)=g(x)]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: h(x) =f(x)g(x)]에 대하여

[eqn: int_-3^3 {(x+5)h`prime(x)}dx=10]

일 때, [eqn: h(3)]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

021.	[2019학년도 수능(나형) 17번]

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 [eqn: f(x)]가 다음
조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=6], [eqn: x=9]로
둘러싸인 부분의 넓이는?

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)= f(x-3) +4]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{6} {f(x)dx}=0]

④

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

022.	[2022학년도 수능 20번]

실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 60 times int _{ 1} ^{2 } { f(x)dx}]의 값을 구하여라.

(가) 닫힌구간 [eqn: [ 0 ,```1]]에서 [eqn: f(x)=x]이다.

(나) 어떤 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 구간 [eqn: [ 0 ,```inf )]에서

[eqn: f(x+1) -xf(x) =ax +b]이다.

[eqn: 110]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

[연습문제]

023.	[한성은 IY0568번]

실수 [eqn: a]와 다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{a} ^{x} {(x-t)f(t)dt} =x ^{4} -x ^{3} -x ^{2} +x]

을 만족시킨다. [eqn: f(a)]의 값은?

②

[eqn: f(x)=12x^2 -6x-2], [eqn: a=1]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

024.	[한성은 OB5187번]

다항함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수
[eqn: g(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{2} ^{x} tf(t)dt+g(x)=(x-1)int _{2} ^{x} f(t)dt]

을 만족시킨다. [eqn: int _{1} ^{2} {} f(t)dt=7]일 때, [eqn: g(0)]의 값을
구하여라.

[eqn: 20]

[eqn: g(x)=x ^{3} -4x ^{2} -6x+20]

[eqn: f(x)=6x-2]

025.	[2022학년도 9월 11번]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: xf LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +ax ^{2} +3a+ int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

를 만족시킨다. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]일 때, [eqn: a+f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

026.	[한성은 SR2605번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int_2 ^x tf(t)dt=left{f(x)right}^2]

을 만족시킨다. [eqn: f(4)]의 값은?

①

차수를 비교해보면 [eqn: f(x)]는 이차함수이다.

[eqn: f(x)=ax^2 +bx+c]라 놓고 삽질하면 [eqn: f(x)= {1} over {4} x ^{2} -1]이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

027.	[한성은 ID4109번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의
도함수 [eqn: f`'(x)]가

[eqn: f`'(x)= cases{ (x+3)(x+1)& ```(x le0)# ax+b& ```(x>0)}]

이고 [eqn: f(-3)=f(4)]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

③

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

028.	[한성은 CO6488번]

[eqn: f(1)=0]인 함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인
삼차함수 [eqn: g(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x)=(x-1)f(x)- int _{1} ^{x} {f(t)dt}]

를 만족시킨다. 방정식 [eqn: g(x)=0]가 오직 하나의 실근을
가질 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하여라.

[eqn: 24]

[eqn: g(x)=(x-1) ^{3}], [eqn: f(x)= {3} over {2} (x-1) ^{2}]

029.	[2022학년도 6월 11번]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,```1 RIGHT ]]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0],   [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1],  [eqn: int _{0} ^{1} {`f LEFT ( x RIGHT ) dx} = {1} over {6}]

을 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{-3} ^{2} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

②

(가) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-f LEFT ( x+1 RIGHT ) +1&```LEFT ( -1<x<0 RIGHT )#f LEFT ( x RIGHT )&```LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )}}]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x+2 RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]이다.

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: {17} over {6}]	③ [eqn: {19} over {6}]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {23} over {6}]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

030.	[수능 예시문항 12번]

[eqn: 0`<`a`<`b]인 모든 실수 [eqn: a,~b]에 대하여

[eqn: int _{a} ^{b} {` LEFT ( x ^{3} -3x+k RIGHT ) `dx} `>0]

이 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

031.	[한성은 UX9268번]

[eqn: 0 le x]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {1} over {4} x(x-2)+x]와
[eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여, 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)= int _{0} ^{x} {LEFT { g(t)-f(t) RIGHT } dt}]

라 하자. 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=a]에서 최댓값 [eqn: M]을 가질 때,
[eqn: aM]의 값은?

②

[eqn: a=2], [eqn: M= { 2} over { 3}]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 8over3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

032.	[한성은 ZL4260번]

함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=(x- alpha )(x- beta )(x- gamma )] ([eqn: alpha<beta<gamma])

이고

[eqn: int _{alpha } ^{beta } {} f`(x)dx=5],   [eqn: int _{alpha } ^{gamma } {} f`(x)dx=-27]

를 만족시킨다. [eqn: g(x)= {cases{f`(x)&```(x LEQ beta )#-f`(x)&```(x> beta )}}]일 때,
함수 [eqn: int _{alpha } ^{x} {} g(t)dt]의 극댓값은?

④

① [eqn: 22]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 42]

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

033.	[한성은 CF4944번]

두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]를 각각

[eqn: f(x)=kx ^{2} (x-3)]([eqn: k<0]),
[eqn: g(x)=int _{a} ^{x} |f`'(t)|dt+f(x)]

라 하자. 방정식 [eqn: g(x)=0]가 두 개 이상의 실근을 갖고
곡선 [eqn: y=g(x)]가 점 [eqn: (-1,```-4)]를 지난다. [eqn: k]의 값은?

②

① [eqn: -{ 1} over { 4}]	② [eqn: -{ 1} over {2 }]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -4]

034.	[2017학년도 수능(나형) 20번]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을
만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값, [eqn: x=k]에서

극솟값을 가진다. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

(나) [eqn: 1]보다 큰 모든 실수 [eqn: t]에 대하여
[eqn: int _{ 0} ^{t } { |`f`'(x)` | }dx =f(t) + f(0)]
이다.

⑤

ㄱ. [eqn: int _{ 0} ^{k } { f`'(x) }dx <0]

ㄴ. [eqn: 0 < k LEQ 1]

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: 0]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	PATTERN DRILL [정적분의 연산]

035.	[2019년 9월(나형) 21번]

사차함수 [eqn: f(x) = x^4 + ax^2 + b]에 대하여 [eqn: x ge 0]에서 정의된
함수

[eqn: g(x) = int_-x ^2x left{ f(t) - |`f(t)`| right} dt]

가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f( root 2 )]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

(가) [eqn: 0< x< 1]에서 [eqn: g(x) = c_1]([eqn: c _{1}]는 상수)

(나) [eqn: 1< x< 5]에서 [eqn: g(x)]는 감소한다.

(다) [eqn: x> 5]에서 [eqn: g(x) = c_2]([eqn: c_2]는 상수)

④

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

036.	[2021년 수능(나형) 20번]

실수 [eqn: a(a>1)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)=(x+1)(x-1)(x-a)]

라 하자. 함수

[eqn: g(x)=x ^{2} int _{0} ^{x} {f(t)`dt} `-` int _{0} ^{x} {t ^{2} f(t)`dt`}]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

④

① [eqn: {9 sqrt {2}} over {8}]	② [eqn: {3 sqrt {6}} over {4}]	③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]