[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 다항식의 인수

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	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

[방정식의 근과 다항식의 구성]

▷ 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(a)=0]이면

다항식 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x-a)]를 인수로 가진다.

001.	[2017학년도 7월(나형) 27번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 양수 [eqn: t]에
대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 서로 다른 세 점의
[eqn: x]좌표가 [eqn: -2t], [eqn: 0], [eqn: t]일 때, [eqn: f` prime (4)]의 최댓값을 구하여라.

[eqn: 56]

002.	[2013년 10월(나형) 26번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: a]가
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f`'(a)]의 값을 구하여라.

[eqn: 5]

(가) [eqn: f(a)=f(2)=f(6)]

(나) [eqn: f` prime (2)=-4]

	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

[그래프와 다항식의 구성]

▷ 두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(a)=g(a)]이면

다항식 [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: (x-a)]를 인수로 가진다.

▷ 차함수 [eqn: f(x)-g(x)]의 그래프를 그릴 수 있어야 한다.

003.	[수능 예시문항 11번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1], [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =it-2]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =9]는 서로 다른 세 실근을 갖고,
이 세 실근은 크기 순서대로 등비수열을 이룬다.

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

004.	[한성은 QA5569번]

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서
극댓값 [eqn: 1]을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: -7]일 때,
[eqn: f`'(-1)]의 값을 구하여라.

[eqn: 18]

005.	[한성은 VA8473번]

최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서
극솟값 [eqn: m]을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: m+16]이고
[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=m]으로 둘러싸인 넓이는 [eqn: 27]이다.
[eqn: f(0)-f(2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 8]

	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

[제곱인수]

▷ 튕기는 다항식 : [eqn: (x-a) ^{2}]을 인수로

006.	[2016학년도 6월(A형) 21번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 다음 조건을
만족시키는 삼차함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: a _{n}]이라 하자.

[eqn: a _{n}]이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은?

(가) [eqn: f(n)=0]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x+n)f(x) GEQ 0]이다.

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

007.	[2014학년도 9월(A형) 21번]

사차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]가

[eqn: f`'(x)=(x+1)left(x^2 +ax+b right)]

이다. 함수 [eqn: y=f(x)]가 구간 [eqn: left(-inf,```0 right)]에서 감소하고
구간 [eqn: left(2,```inf right)]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍
[eqn: (a,```b)]에 대하여, [eqn: a^2 +b^2]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라
하자. [eqn: M+m]의 값은?

③

① [eqn: 21 over 4]	② [eqn: 43 over 8]	③ [eqn: 11 over 2]

④ [eqn: 45 over 8]	⑤ [eqn: 23 over 4]

008.	[2011학년도 7월(나형) 20번]

그림과 같이 일차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 최고차항의
계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2],
[eqn: 1]인 두 점에서 접한다. 함수 [eqn: h(x)=g(x)-f(x)]라 할 때,
함수 [eqn: h(x)]의 극댓값은?

①

① [eqn: {81} over {16}]	② [eqn: {83} over {16}]	③ [eqn: {85} over {16}]

④ [eqn: {87} over {16}]	⑤ [eqn: {89} over {16}]

	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

[접선과 다항식의 구성]

▷ 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x=a]에서 접한다.

[eqn: RARROW] [eqn: f(a)=g(a)], [eqn: f` prime (a)=g'(a)]이다.

▷ 두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여

[eqn: f(a)=g(a)],   [eqn: f`'(a)=g(a)]

이면 다항식 [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: (x-a) ^{2}]을 인수로 가진다.

009.	[한성은 MJ0549번]

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (4,```f(4))]에서

[eqn: x]축에 접하고 점 [eqn: (1,```f(1))]에서 직선 [eqn: y=x]에 접한다.

방정식 [eqn: f(x)=x]의 [eqn: x!=1]인 근은?

⑤

① [eqn: {24} over {5}]	② [eqn: {26} over {5}]	③ [eqn: {28} over {5}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 32over5]

010.	[한성은 DE1687번]

사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]가 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: f` prime (7)=0]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

(가) 점 [eqn: (3,```f(3))]에서 직선 [eqn: y=4]에 접한다.

(나) 점 [eqn: (5,```f(5))]에서 [eqn: x]축에 접한다.

①

① [eqn: -32]	② [eqn: -16]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

011.	[한성은 BE3060번]

원점을 지나는 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: x ge0]에서
정의된 함수 [eqn: g(x)]는

점 [eqn: (-2,```0)]과 점 [eqn: (x,```f(x))] 사이의 기울기

이다. [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]과 [eqn: x=2]에서 동일한 최솟값 [eqn: -{ 1} over {2 }]을
가질 때, [eqn: f(4)]의 값은?

④

방정식 [eqn: f(x)= -{ 1} over { 2}(x+2)]는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=2]를 중근으로 가진다.

[eqn: f(x)=k(x-1)^2 (x-2)^2 - { 1} over { 2}(x+2)]이고 [eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: k= { 1} over {4 }]이다.

① [eqn: { 9} over { 2}]	② [eqn: 5]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {13} over {2}]

	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

[절댓값과 미분가능성]

▷ 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(a)=0]이고

함수 [eqn: |f(x)|]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하면 [eqn: f`'(a)=0]이다.

012.	[2010학년도 6월 24번]

사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: {f` prime (5)} over {f` prime (3)}]의 값을
구하여라.

[eqn: 12]

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: |f(x)-f(1)|]은 오직 [eqn: x=a(a>2)]에서만

미분가능하지 않다.

013.	[2014학년도 수능(A형) 21번]

좌표평면에서 삼차함수 [eqn: f(x) = x^3 +ax^2 +bx]와 실수 [eqn: t]에
대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,```f(t) RIGHT )]에서 접선이 [eqn: y]축과
만나는 점을 [eqn: \P]라 할 때, 원점에서 [eqn: \P]까지의 거리를 [eqn: g(t)]라
하자. 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(3)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

(가) [eqn: f(1)=2]

(나) 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서

미분가능하다.

④

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

[다항함수의 평행이동]

▷ 대충 정해놓고 풀어도 좋을 때가 있다고.

014.	[2018학년도 6월(나형) 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의
계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g(beta + 1)-f(beta+1)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(alpha)=g(alpha)]이고 [eqn: f`'(alpha)=g`'(alpha)=`-16]인

실수 [eqn: alpha]가 존재한다.

(나) [eqn: f`'(beta)=g`'(beta)=16]인 실수 [eqn: beta]가 존재한다.

[eqn: 243]

015.	[한성은 TW7155번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 이차함수 [eqn: g(x)]가
있다. 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 근은 [eqn: 2]개이고, 모든 실수 [eqn: x]에
대하여 [eqn: f(x) GEQ g(x)]이다. 함수 [eqn: f(x)-g(x)]의 극댓값이
[eqn: 16]일 때, 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인
도형의 넓이는?

①

① [eqn: { 512} over {15 }]	② [eqn: {128} over {3}]	③ [eqn: {256} over {5}]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: {256} over {3}]

016.	[한성은 XU3208번]

최고차항의 계수가 음수인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
방정식 [eqn: f`'(x)=0]는 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]를 갖고 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: f(alpha)]의 값은?

(가) [eqn: alpha +2 gamma =3 beta]

(나) [eqn: f(beta)=0], [eqn: f(gamma)=5]

①

원함수의 변화량은 도함수의 넓이다. 대충 도함수를 [eqn: f`'(x)=k(x+2a)x(x-a)]라 놓고

[eqn: int _{-2a} ^{0} f`'(x)dx]와 [eqn: int _{0} ^{a} f`'(x)dx]를 비교해보자. 대충 [eqn: 32:5]가 떠서 답이 [eqn: 32]라는 것을 알 수 있다.

	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

[연습문제]

017.	[2018학년도 9월(나형) 29번]

두 삼차함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)g(x)=(x-1) ^{2} (x-2) ^{2} (x-3) ^{2}]

을 만족시킨다. [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이고, [eqn: g(x)]가
[eqn: x=2]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: f`'(0)= {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 10]

018.	[한성은 UI0593번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(2)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: x ge0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{2} ^{x} {} (t-2)f(t)dt ge0]

를 만족시킨다. [eqn: f(4)]의 최솟값이 [eqn: q overp]일 때, [eqn: p+q]의
값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 77]

[eqn: g(x)=int_2 ^x (t-2)f(t)dt]라 하면 [eqn: g(2)=0]이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=2]의 좌우에서 감소하다가 증가해야한다.

[eqn: g'(x)=(x-2)f(x)]에서 사차식 [eqn: (x-2)f(x)]는 [eqn: (x-2)^3 (x-alpha)]이다. (단, [eqn: alpha<2])

대충 째려보면 [eqn: g(0)]만 조사하면 된다. [eqn: g(0)=int_2 ^0 (t-2)^3 (t-alpha)dt ge0]을 풀면 [eqn: alpha le { 2} over {5 }]이다.

[eqn: f(4)=4(4- alpha )]이고 최솟값은 [eqn: {72} over {5}]이다.

※ 적분 계산할 때 평행이동(치환)하면 유리한 것은 문과에게는 비밀.

	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

019.	[2010학년도 9월 24번]

다음 조건을 만족시키는 모든 사차함수 [eqn: y=f(x)]의
그래프가 항상 지나는 점들의 [eqn: y]좌표의 합을 구하여라.

[eqn: 13]

(가) [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1]이다.

(나) 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (2,```f(2))]에서

직선 [eqn: y=2]에 접한다.

(다) [eqn: f` prime (0)=0]

020.	[2016학년도 수능(A형) 21번]

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에
대하여 [eqn: {f`prime(0) }over f(0)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.
[eqn: Mm]의 값은?

⑤

(가) 함수 [eqn: |f(x) |]는 [eqn: x=-1]에서만

미분가능하지 않다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 닫힌구간 [eqn: [3,```5]]에서

적어도 하나의 실근을 갖는다.

① [eqn: 1over15]	② [eqn: 1over10]	③ [eqn: 2over15]
④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 1over5]

	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

021.	[2020학년도 9월(나형) 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
네 개의 수 [eqn: f(- 1)], [eqn: f(0)], [eqn: f(1)], [eqn: f(2)]가 이 순서대로
등차수열을 이루고, 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점
[eqn: (- 1,``` f(- 1))]에서의 접선과 점 [eqn: (2,``` f(2))]에서의 접선이
점 [eqn: (k,``` 0)]에서 만난다. [eqn: f(2k)= 20]일 때, [eqn: f(4k)]의 값을
구하여라. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[eqn: 42]

022.	[2011학년도 수능 24번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: f(0)=3], [eqn: f` prime (3)<0]인
사차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 [eqn: `t]에 대하여 집합 [eqn: S]를

[eqn: S= left{ `a `| `함수```|f(x)-t|가```x=a에서```미분가능하지```않다.right]

라 하고, 집합 [eqn: S]의 원소의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자.
함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=3]과 [eqn: t=19]에서만 불연속일 때,
[eqn: f(-2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 147]

023.	[2021학년도 9월(나형) 30번]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= |`f(x)f(a-x)`|]가 실수 전체의
집합에서 미분가능할 때, [eqn: g(4a) over {f(0)timesf(4a)}]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(1)=f(3)=0]

(나) 집합 [eqn: left{x`|`x ge1이고```f`'(x)=0 right]의

원소의 개수는 [eqn: 1]이다.

[eqn: 105]

	PATTERN DRILL [다항식의 인수]

024.	[2021학년도 6월(나형) 30번]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고, 삼차함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 이차항의 계수가 [eqn: 0]이다. 함수

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( x LEQ 0 RIGHT )#g LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( x>0 RIGHT )}}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: h' LEFT ( -3 RIGHT ) +h' LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 38]

(가) 방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( 0 RIGHT )]의 모든 실근의 합은 [eqn: 1]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ -2,```3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의

최댓값과 최솟값의 차는 [eqn: 3+4 sqrt {3}]이다.

025.	[2015학년도 수능(A형) 21번]

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f(2)]의 최솟값은?

⑤

(가) [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1]이다.

(나) [eqn: f(0) =f`'(0)]

(다) [eqn: x ge-1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x) ge f`'(x)]이다.

① [eqn: 28]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 48]