[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 다항식 분의 다항식

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SOOHAN

	PATTERN DRILL [다항식 분의 다항식]

[최고차항]

▷ [eqn: x->inf]일 때는 최고차항에 대한 정보가 담긴다.

▷ [eqn: x->-inf]일 때는 [eqn: x=-t]로 치환한다든가,

[eqn: sqrt { f(x)}] 보이면 유리화 등 극한 다루는 기본.

▷ 다항함수의 최고차항을 설정해야 하는 문항.

[eqn: RARROW] [eqn: f(x)=ax^n +cdots]라 하자.

001.	[2015학년도 6월(A형) 29번]

다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim from { x -> inf} { f(x) - x^3 } over { x^2 } = -11],   [eqn: lim from { x-> 1 } { f(x) } over x-1 = -9]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x -> INF } {} xf LEFT ( {1} over {x} RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

002.	[한성은 VY6698번]

다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _{x -> INF } {} {sqrt {f(x)} -x ^{2}} over {x} =3],   [eqn: lim _{x -> 0} {} {f(x)} over {x ^{2}} =4]

를 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 80]

[TIP1] [eqn: lim _{x -> INF } {} {sqrt {f(x)} -x ^{2}} over {x} =3]에서

[eqn: f(x)=x ^{4} +6x ^{3} CDOTS]이다.

003.	[2011학년도 6월 23번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이 아닌 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 19]

(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x ^{2} RIGHT )} over {x ^{3} f LEFT ( x RIGHT )}} =4]

(나) [eqn: lim _{x` -> `0} {{f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =4]

[TIP1] 최고차항 설정

풀이의 첫 줄) [eqn: f(x)=ax^n +cdots]라 하자.

	PATTERN DRILL [다항식 분의 다항식]

[인수와 미분계수]

▷ 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->a { f(x)-b} over {x-a }=c]이면

① [eqn: f(a)=b], [eqn: f`'(a)=c]이다.

② [eqn: f(x)=(x-a)g(x)+b]이다. (다항함수 [eqn: g(x)])

▷ 대충 각이 이상하면 [eqn: 0](인수)이 필요하다.

004.	[2020학년도 9월(나형) 16번]

다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _{x -> INF }{f(x)}over{x^{3}}= 1],   [eqn: lim _{x -> -1} {} {f(x)} over {x+1} =2]

를 만족시킨다. [eqn: f(1) le12]일 때, [eqn: f(2)]의 최댓값은?

③

① [eqn: 27]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 39]

005.	[2017학년도 수능(나형) 18번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _{x -> a} {{f(x)-(x-a)}over{f(x)+(x-a)}} = 3 over 5]

을 만족시킨다. 방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,
[eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT |]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	PATTERN DRILL [다항식 분의 다항식]

[제곱 인수]

▷ 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> a} {} {f(x)} over {x-a} =0]이면

다항함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(x)=(x-a) ^{2} g(x)]이다.

※ 미분계수로 풀려면 이계도함수가 필요하다.

006.	[2017학년도 8월(나형) 19번]

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +x ^{2} +ax+b]와 최고차항의 계수가

[eqn: 1]인 이차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때,

[eqn: g(0)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

①

(가) [eqn: g(-1)=0]

(나) [eqn: lim _{x -> -1} {} {f(x)} over {g(x)} =0], [eqn: lim _{x-> 3} {} {f(x)} over {g(x)} = {4} over {3}]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

007.	[2019학년도 10월(나형) 30번]

양수 [eqn: a]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수
[eqn: f left(x right)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: g left( x right)]가

다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 3 int _{0} ^{a} {LEFT | f(x)-g(x) RIGHT |][eqn: dx} `]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT )]

(나) [eqn: lim _{x -> 0} { {f(x)} over {x}}][eqn: =0], [eqn: lim _{x -> a} { {g(x)} over {x-a}}][eqn: =0]

(다) [eqn: int _{0} ^{a} {LEFT { g(x)-f(x) RIGHT } dx}][eqn: =36]

[eqn: 340]

	PATTERN DRILL [다항식 분의 다항식]

[최저차항]

▷ 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여,

[eqn: lim _{x -> 0} {} {f(x)} over {x} =a]이면 [eqn: f(x)=cdots+ax]이다.

[eqn: lim _{x -> 0} {} {f(x)} over {x ^{n}} =a]이면 [eqn: f(x)= CDOTS +ax ^{n}]이다.

[eqn: lim _{x -> 0} {} {f(x)} over {(x-a) ^{n}} =b]이면 [eqn: f(x)= (x-a)^n (cdots+b)]이다.

▷ 대충 각이 이상하면 [eqn: 0](인수)이 필요하다.

008.	[2018학년도 9월(나형) 12번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(2)]의 값은?

(가) [eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x)} over {x ^{2}} =2]

(나) [eqn: lim_{x rarrow0}{f(x)}over{x}=3]

②

① [eqn: 11]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 23]

009.	[2020학년도 6월(나형) 20번]

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f(1)]의 최댓값은?

③

[eqn: lim _{x -> inf }{f(x) - 4x^{3 }+ 3x^{2}}over{x^{n + 1 }+ 1}= 6], [eqn: lim _{x -> 0}{f(x)}over{x^{n}}= 4]인

자연수 [eqn: n]이 존재한다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

010.	[2009학년도 수능 11번]

다항함수 [eqn: f(x)]와 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]이

[eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x) } over {x ^{m}} =1],   [eqn: lim _{x -> INF } {} {f` prime (x)} over {x ^{m-1}} =a]
[eqn: lim from { x ->0 }{f(x)} over x^n =b],   [eqn: lim _{x -> 0} {} {f` prime (x)} over {x ^{n-1}} =9]

를 모두 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로
고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

⑤

ㄱ. [eqn: m ge n]

ㄴ. [eqn: ab ge9]

ㄷ. [eqn: f(x)]가 삼차함수이면 [eqn: am=bn]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	PATTERN DRILL [다항식 분의 다항식]

[치환/로피탈]

▷ [eqn: f(STAR)]에서 [eqn: STAR]을 치환한다.

▷ 로피탈은 각자 취향에 따라.

치환 대신 쓸 때 꿀일 수 있다.

011.	[2013학년도 6월(나형) 9번]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->2 {f(x-2)} over {x^2 -2x} =4]일 때, [eqn: lim_x->0 {f(x)} over x]의
값은?

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

012.	[2014학년도 6월 6번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 0} {} {x} over {f(x)} =1], [eqn: lim _{x -> 1} {} {x-1} over {f(x)} =2]를
만족시킬 때, [eqn: lim _{x -> 1} {} {f(f(x))} over {2x ^{2} -x-1}]의 값은?

①

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 6]

	PATTERN DRILL [다항식 분의 다항식]

[연습문제]

013.	[2021학년도 수능(나형) 17번]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

[eqn: lim _{x->0} {{f(x)+g(x)} over {x} =3}],   [eqn: lim _{x->0} {{f(x)+3} over {xg(x)} =2}]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]에 대하여
[eqn: h` prime (0)]의 값은?

①

① [eqn: 27]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 39]

014.	[한성은 MT7302번]

[eqn: f`'(2)=3]인 삼차함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(4)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: lim _{x -> 0} {} {f(x)+x} over {f(x)-x} =2]

(나) [eqn: lim _{x -> 2} {} {f(x)+x} over {f(x)-x} =-1]

[eqn: 36]

[eqn: {3} over {2} x(x-1)(x-2)]

015.	[2015학년도 6월(A형) 21번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g (x)]가
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g(5)]의 값은?

(가) [eqn: g (1) =0]

(나) [eqn: lim from { x -> n } {f(x)} over {g(x)} =(n-1)(n-2)] ([eqn: n `=`1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4])

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

016.	[한성은 XS3344번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g(6)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: lim _{x->n} f(x)g(x)=0] ([eqn: n=1], [eqn: 2])

(나) [eqn: lim _{x->n} {g(x)} over {f(x)} =2n] ([eqn: n=1], [eqn: 2])

[eqn: 40]

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)left(x- {5} over {2} right)], [eqn: g(x)=(x-1)(x-2)(x-4)]

	PATTERN DRILL [다항식 분의 다항식]

017.	[한성은 VQ3398번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이 아닌 다항함수 [eqn: f(x)]가 다음
조건을 만족시킨다.

[eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: lim _{x -> INF } {} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} -f(x ^{2} )} over {x ^{3} f(x)} =2]

(나) [eqn: lim _{x -> 0} {} {f`(x)} over {x ^{2}} =2]

[eqn: 32]

[eqn: f(x)=ax^n +cdots]라 하자. (가)에서 [eqn: 2n=n+3]이고 [eqn: (a-1)=2]이다.

(나)에서 [eqn: f(x)=cdots+2x^2]이다. 따라서 [eqn: f(x)=3x^3 +2x^2]이다.

018.	[한성은 IE7396번]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 자연수 [eqn: n]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f`'(1)=20]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x)} over {x ^{n+1} +1} =2]

(나) [eqn: lim _{x -> 0} {} {f(x)} over {x ^{n}} =4]

[eqn: 64]

(가)에서 [eqn: f(x)=2x^n +cdots], (나)에서 [eqn: f(x)=cdots+4x^n]이다.

[eqn: f(x)=2x^n+1 +4x^n]이고 [eqn: f`'(1)=20]에서 [eqn: n=3]이다.

019.	[한성은 KH9105번]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=f left({1} over {x} right)]는
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: lim _{x -> 0+} {} LEFT ( sqrt {g(x)} - {1} over {x ^{2}} RIGHT ) =2]

(나) [eqn: lim _{x -> INF } {} LEFT { x TIMES g(x) RIGHT } =2]

[eqn: 36]

(가)에서 [eqn: f(x)=x^4 +4x^2 +cdots], (나)에서 [eqn: f(x)= CDOTS +2x]이다.

따라서 [eqn: f(x)=x ^{4} +4x ^{2} +2x]이다.

020.	[2020학년도 수능(나형) 14번]

상수항과 계수가 모두 정수인 두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 최댓값은?

③

(가) [eqn: lim_{x -> inf}{f(x)g(x)}over{x^{3}}=2]

(나) [eqn: lim_{x -> 0}{f(x)g(x)}over{x^{2}}= it -4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

	PATTERN DRILL [다항식 분의 다항식]

021.	[2018학년도 수능(나형) 18번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: lim _{x-> 2} { {f LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT { f`' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}}} = {1} over {4}]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

022.	[한성은 WG2742번]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(3)]의 값은?

(가) [eqn: lim _{x -> 1} {} {x-1} over {(x-1)+f(x)} = {1} over {2}]

(나) [eqn: lim _{x -> 2} {} {f(x)-x} over {x-2} =3]

②

[eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +4x-2]

[eqn: RARROW] (가)에서 [eqn: f(x)=a(x-1) ^{3} +b(x-1) ^{2} +(x-1)]이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

023.	[한성은 ZL0553번]

상수항과 계수가 모두 정수인 두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은?

②

(가)에서 [eqn: f(x)g(x)=2x^3 +cdots]이다.

(나)에서 [eqn: x->2]이면 분모가 [eqn: 0]으로 수렴하므로 [eqn: g(2)=0]이다.

[eqn: left{g(x)right} ^{2} =(x-2) ^{2} ( CDOTS )]에서 분자가 [eqn: (x-2)^2]을 인수로 갖는데,

수렴값이 [eqn: 0]이 아니므로 [eqn: f(2)=0]이다.

여기서부터 빡치는데, 네 가지 케이스가 가능하다.

Case1) [eqn: f(x)=x-2], [eqn: g(x)=(x-2)(2x-alpha)]

Case2) [eqn: f(x)=2(x-2)], [eqn: g(x)=(x-2)(x- alpha )]

Case3) [eqn: f(x)=(x-2)(x-alpha)], [eqn: g(x)=2(x-2)]

Case4) [eqn: f(x)=(x-2)(2x-alpha)], [eqn: g(x)=x-2]

수렴값 [eqn: { 9} over { 2}]를 가지는 것은 딱봐도 두 번째 케이스.

(가) [eqn: lim _{x -> INF } {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{3}} =2}]

(나) [eqn: lim _{x -> 2} {} {LEFT { g(x) RIGHT } ^{2}} over {(x-2)f(x)} = {9} over {2}]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 12]

024.	[한성은 UT0719번]

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른
세 실근을 가지고 모든 실수 [eqn: alpha]에 대하여

[eqn: lim _{x -> alpha } {} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {(x-1)f(8-x)}]

이 존재한다. [eqn: f(2)= 5]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

②

[eqn: alpha=1]일 때도 극한값이 존재해야 하므로 [eqn: f(1)=0]이다.

따라서 [eqn: alpha=7]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 수렴한다. [eqn: f(7)=0]이다.

방정식 [eqn: f(x)=0]의 [eqn: 1], [eqn: 7]이 아닌 근이 [eqn: 4]가 아닌 수 [eqn: r]이면

[eqn: alpha=8-r]일 때 극한값이 존재하지 않는다. [eqn: r=4]이므로

[eqn: f(x)=k(x-1)(x-4)(x-7)]

이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 12]