[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 수열의 귀납적 정의

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SOOHAN

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

[점화식의 적용]

▷ 점화식을 받으면 일단 좀 나열해본다.

뇌를 소유하고 있는지를 테스트 당하는 느낌.

▷ 등차수열, 등비수열의 점화식 확인.

[eqn: 2a _{n+1} =a _{n} +a _{n+2}]라든가.

001.	[2019학년도 수능(나형) 13번]

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]은 [eqn: a_1 =2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = cases{ { a_n} over { 2-3a_n} &```(n이```홀수인```경우) #1+a_n &```(n이```짝수인```경우) }]

를 만족시킨다. [eqn: sum _{ n=1 } ^{ 40 }a_n]의 값은?

①

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

002.	[2018학년도 수능(나형) 13번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} -1&```LEFT ( a _{n} 이```짝수인```경우 RIGHT )#a _{n} +n&```LEFT ( a _{n} 이```홀수인```경우 RIGHT )}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{7}]의 값은?

②

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

003.	[2017학년도 6월(나형) 20번]

첫째항이 [eqn: a]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES 2&``` LEFT ( n이```3의```배수가```아닌```경우 RIGHT )#a _{n} +1&``` LEFT ( n이```3의```배수인```경우 RIGHT )}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{15} =43]일 때, [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: 35]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 39]

004.	[2019학년도 9월(나형) 11번]

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n a_n+1 = 2n]

이고 [eqn: a_3 = 1]일 때, [eqn: a_2 + a_5]의 값은?

②

① [eqn: 13 over 3]	② [eqn: 16 over 3]	③ [eqn: 19 over3]

④ [eqn: 22 over 3]	⑤ [eqn: 25 over 3]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

[합의 수열]

▷ [eqn: n ge2]이 일 때, [eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]

005.	[2021학년도 6월(나형) 28번]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {4k-3} over {a _{k}} =2n ^{2} +7n]

을 만족시킨다. [eqn: a _{5} TIMES a _{7} TIMES a _{9} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 58]

006.	[2021학년도 9월 27번]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라
하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: S _{n+3} -S _{n} =13 TIMES 3 ^{n-1}]

일 때, [eqn: a _{4}]의 값을 구하여라.

[eqn: 9]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

[등차수열의 합(이차식)]

▷ [eqn: a_n+1 =a_n +f(n)] 꼴, [eqn: a_n+1 =f(n)a_n] 꼴만 해둬.

007.	[2011학년도 9월 23번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =2]이고,

[eqn: a _{n+1} =a _{n} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} {2n+1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}] [eqn: LEFT ( n ge1 RIGHT )]

을 만족시킨다. [eqn: a _{20} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 39]

008.	[2019학년도 9월(나형) 29번]

좌표평면에서 그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 선분이 수직으로
만나도록 연결된 경로가 있다. 이 경로를 따라 원점에서
멀어지도록 움직이는 점 [eqn: \P]의 위치를 나타내는 점 [eqn: rm A_ { it n]을
다음과 같은 규칙으로 정한다.

예를 들어, 점 [eqn: rm A_2]와 [eqn: rm A_6]의 좌표는 각각 [eqn: left( 4 over 25 ,``` 0 right)], [eqn: left( 1, ```11 over 25 right)]이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: rm A_ { it n] 중 직선 [eqn: y = x] 위에 있는 점을
원점에서 가까운 순서대로 나열할 때, 두 번째 점의
[eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하자. [eqn: a]의 값을 구하여라.

(ⅰ) [eqn: rm A_ { it 0]은 원점이다.

(ⅱ) [eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: rm A_ { it n]은 점 [eqn: rm A_ { it n-1]에서

점 [eqn: \P]가 경로를 따라 [eqn: 2n-1 over 25]만큼 이동한

위치에 있는 점이다.

[eqn: 8]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

009.	[2018학년도 6월(나형) 29번]

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left{a_{n} right}]이 있다. 수열 [eqn: left{b_{n} right}]은

[eqn: b_{1}=a_{1}]

이고, [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b _{n} = {cases{`b _{n-1} +a _{n}&``` LEFT ( n이```3의```배수가```아닌```경우 RIGHT )#`b _{n-1} -a _{n}&``` LEFT ( n이```3의```배수인```경우 RIGHT )}}]

이다. [eqn: b_{10}=a_{10}]일 때, [eqn: {b_{8}} over{b_{10}}={q} over{p}]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 13]

010.	[2018학년도 9월(나형) 19번]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]은 [eqn: a_{1}=a_{2}=1], [eqn: b_{1}=k]이고,
모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n+2}=left(a_{n+1}right)^{2}-left(a_{n}right)^{2}],   [eqn: b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+n]

을 만족시킨다. [eqn: b_{20}=14]일 때, [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

[선택형 점화식]

▷ 알아서 잘. 15번 유력 휴보.

011.	[2021학년도 9월(나형) 21번]

수열 [eqn: left{a _{n} right}]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+2} = {cases{2a _{n} +a _{n+1}&```(a _{n} LEQ a _{n+1} )#a _{n} +a _{n+1}&```(a _{n} >a _{n+1} )}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{3} =2], [eqn: a _{6} =19]가 되도록 하는
모든 [eqn: a _{1}]의 값의 합은?

②

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

012.	[수능 예시문항 15번]

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k}]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때,
[eqn: M-m]의 값은?

③

(가) [eqn: a _{5} =5]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} =cases{a _{n} -6&``` LEFT ( a _{n} ge0 RIGHT ) #`-2a _{n} +3& ```LEFT ( a _{n} <0 RIGHT ) }]
이다.

① [eqn: 64]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 80]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

[수학적 귀납법]

▷ 증명 원리 확인. 역사적으로 [빈 칸 추론]과

관련 깊지만 지금은 사양산업이다.

013.	[2011학년도 6월 13번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} = alpha]([eqn: alpha != 0])이고, 모든 [eqn: n]([eqn: n GEQ 2])에 대하여
[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) a _{n} + sum _{m=1} ^{n-1} ma _{m} =0]을 만족시킨다. 다음은

[eqn: a _{n} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n-1}} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) !} alpha] ([eqn: n GEQ 1])

임을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식의 곱을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]라 할 때,
[eqn: f LEFT ( 10 RIGHT )]의 값은?

(1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} = alpha = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{1-1}} over {LEFT ( 1-1 RIGHT ) !} alpha]이다.

(2) ⅰ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: a _{2} +a _{1} =0]이므로

[eqn: a _{2} =`-a _{1} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2-1}} over {LEFT ( 2-1 RIGHT ) !} alpha]이다.

따라서 주어진 식이 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k]([eqn: k GEQ 2])일 때 성립한다고 가정하고,

[eqn: n=k+1]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: 0=ka _{k+1} + sum _{m=1} ^{k} ma _{m}]

[eqn: =ka _{k+1} + sum _{m=1} ^{k-1} ma _{m} +ka _{k}]

[eqn: =ka _{k+1} + LEFT ( ` BOX{`````(가)`````} ` RIGHT ) TIMES a _{k} +ka _{k}]이므로

[eqn: a _{k+1} = BOX{`````(나)`````} TIMES a _{k} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k}} over {k!} alpha]이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n-1}} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) !} alpha]이다.

⑤

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {3} over {10}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {7} over {10}]	⑤ [eqn: {9} over {10}]

014.	[2008학년도 수능 11번]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (1 ^{2} +1) CDOT 1!+(2 ^{2} +1) CDOT 2!+ CDOTS +(n ^{2} +1) CDOT n ! =n CDOT (n+1)!]

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은
것은?

(1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (좌변) =2], [eqn: (우변) =2]이므로

주어진 등식은 성립한다.

(2) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: (1^2 + 1 ) cdot 1! + (2^2 + 1 ) cdot 2! + CDOTS][eqn: +(k ^{2} +1) CDOT k!]

[eqn: =k CDOT (k+1)!]

이다. [eqn: n=k+1]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: (1^2 + 1 ) cdot 1! + (2^2 + 1 ) cdot 2! + CDOTS]

[eqn: + ( k^2 + 1 ) cdot k! +left{ (k+1)^2 +1 right} cdot (k+1)!]

[eqn: = BOX{`````(가)`````}` + LEFT { (k+1) ^{2} +1 RIGHT } CDOT (k+1)!]

[eqn: = LEFT ( BOX{`````(나)`````} RIGHT ) CDOT (k+1)!][eqn: =(k+1) CDOT BOX{`````(다)`````}]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

주어진 등식은 성립한다.

②

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: k cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 2k +1]	[eqn: (k+1)!]
②	[eqn: k cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 3k +2]	[eqn: (k+2)!]
③	[eqn: k cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 3k +2]	[eqn: (k+1)!]
④	[eqn: (k+1) cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 3k +2]	[eqn: (k+2)!]
⑤	[eqn: (k+1) cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 2k +1]	[eqn: (k+1)!]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

[연습문제]

015.	[2020학년도 9월(나형) 24번]

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n + 1 }+ a_{n }= 3n- 1]

을 만족시킨다. [eqn: a_{3 }= 4]일 때, [eqn: a_{1 }+ a_{5 }]의 값을 구하여라.

[eqn: 8]

016.	[2020학년도 6월(나형) 9번]

수열 [eqn: left {a_{n} right }]은 [eqn: a_{1 }= 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n + 1 }+ (- 1)^{n } times a_{n }= 2^{n}]

을 만족시킨다. [eqn: a_{5 }]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

017.	[2020학년도 수능(나형) 21번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: a_{20}=1]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{63} a _{n}]의 값은?

(가) [eqn: a_{2n}=a_{n}- 1]

(나) [eqn: a_{2n +1}=2 a_{n}+1]

④

① [eqn: 704]	② [eqn: 712]	③ [eqn: 720]

④ [eqn: 728]	⑤ [eqn: 736]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

018.	[2013학년도 수능 27번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P _{itn}]을 다음 규칙에
따라 정한다.

예를 들어, 점 [eqn: rmP _{4}]의 좌표는 [eqn: (1,```-2)]이다. 점 [eqn: rmP _{25}]의
좌표가 [eqn: (a,```b)]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

(가) 세 점 [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: rmP_3]의 좌표는

각각 [eqn: (-1,```0)], [eqn: (1,```0)], [eqn: (-1,```2)]이다.

(나) 선분 [eqn: rmP _{itn} P _{itn+1}]의 중점과 선분 [eqn: rmP _{itn+2} P _{itn+3}]의

중점은 같다.

[eqn: 23]

019.	[2012학년도 6월 17번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmA}_n]을 다음 규칙에
따라 정한다.

위의 규칙에 따라 정해진 점 [eqn: {rmA} _{k}]의 좌표가 [eqn: (7,```-2)]이고
점 [eqn: {rmA} _{l}]의 좌표가 [eqn: (9,```-7)]일 때, [eqn: k+l]의 값은?

(가) 점 [eqn: rmA_1]의 좌표는 [eqn: (1,```1)]이다.

(나) [eqn: n]이 짝수이면 점 [eqn: {rmA}_n]은 점 [eqn: {rmA}_n-1]을 [eqn: x]축의

방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼

평행이동한 점이다.

(다) [eqn: n]이 [eqn: 3] 이상의 홀수이면 점 [eqn: {rmA} _{n}]은 점 [eqn: {rmA} _{n-1}]을
[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로

[eqn: -2]만큼 평행이동한 점이다.

①

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

020.	[2010학년도 수능 22번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rm A _{itn}]이 [eqn: x]축 위의 점일 때,
점 [eqn: rm A _{itn+1}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

점 [eqn: rm A _{itn}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_n`]이라 하자. [eqn: x _{5} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 점 [eqn: rm A _{1}]의 좌표는 [eqn: (2,```0)]이다.

(나) (1) 점 [eqn: {rm A}_n]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이

곡선 [eqn: y= {1} over {x} (x>0)]과 만나는 점을 [eqn: rm P _{itn}]이라

한다.

(2) 점 [eqn: {rm P}_n]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여

대칭이동 한 점을 [eqn: {rm Q}_n]이라 한다.
(3) 점 [eqn: {rm Q}_n]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이

[eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm R}_n]이라 한다.

(4) 점 [eqn: rm R it rm _{n}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼

평행이동한 점을 [eqn: {rm A}_n+1]이라 한다.

[eqn: 21]

021.	[2014학년도 수능 11번]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =10]이고

[eqn: LEFT ( a _{n+1} RIGHT ) ^{n} =10 LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{n+1}] [eqn: (n GEQ1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때,
[eqn: {g LEFT ( 10 RIGHT )} over {f LEFT ( 4 RIGHT )}]의 값은?

주어진 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n loga _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) log a _{n} +1]

이다. 양변을 [eqn: n LEFT ( n+1 RIGHT )]로 나누면
[eqn: {loga _{n+1}} over {n+1} = {loga _{n}} over {n} + BOX{`````(가)`````}]
이다. [eqn: b _{n} = {loga _{n}} over {n}]이라 하면 [eqn: b _{1} =1]이고

[eqn: b _{n+1} =b _{n} + BOX{````` (가)`````}]
이다. 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 일반항을 구하면

[eqn: b _{n} =``box{`````(나)`````}]

이므로

[eqn: loga _{n} =n TIMES BOX{````` (나)`````}]

이다. 그러므로 [eqn: a _{n} =10 ^{n TIMESBOX{````` (나)`````} }]이다.

①

① [eqn: 38]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 46]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

022.	[수능 예시문항 13번]

수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라
하자. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {S _{k}} over {k!} = {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !}]

이 성립할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k}}]을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)],
[eqn: h(k)]라 할 때, [eqn: f ( 5) timesg ( 3 ) times h ( 6 )]의 값은?

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} =S _{1} = {1} over {2}]이므로 [eqn: {1} over {a _{1}} =2]이다.

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a _{2} =S _{2} -S _{1} =it- {7} over {6}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{2} {1} over {a _{k}} = {8} over {7}]이다.

[eqn: n`ge`3]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {S _{n}} over {n!} = sum _{k=1} ^{n} {S _{k}} over {k!} - sum _{k=1} ^{n-1} {S _{k}} over {k!} =it- {box{`````(가)`````}} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !}]

즉, [eqn: S _{n} =it- {box{`````(가)`````}} over {n+1}]이므로

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} =it- LEFT (` box{`````LEFT ( 나 RIGHT )`````}` RIGHT )]

이다. 한편 [eqn: sum _{k=3} ^{n} k LEFT ( k+1 RIGHT ) =it-8+ sum _{k=1} ^{n} k LEFT ( k+1 RIGHT )]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k}} = {8} over {7} - sum _{k=3} ^{n} k LEFT ( k+1 RIGHT )]
[eqn: = {64} over {7} - {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} - sum _{k=1} ^{n} box{````` LEFT ( 다 RIGHT )`````}]
[eqn: =it- {1} over {3} n ^{3} -n ^{2} - {2} over {3} n+ {64} over {7}]

이다.

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

023.	[2022학년도 6월 9번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = cases{ { 1} over { a_n} &```(n이```홀수인```경우) # 8a_n& ```(n이```짝수인```경우)}]

이고, [eqn: a _{12} = {1} over {2}]일 때, [eqn: a _{1} +a _{4}]의 값은?

⑤

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {17} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

024.	[2021학년도 6월 15번]

수열 [eqn: left{ a_n right]의 일반항은

[eqn: a_n = left(2^2n - 1) times 2 ^ n(n-1) +(n-1) times 2^-n]

이다. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum_k=1 ^n a_k = 2^n(n+1) - (n+1)times 2^-n cdots (*)]

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라
할 때, [eqn: g(7) over f(3)]의 값은?

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (좌변)=3], [eqn: (우변)=3]이므로
[eqn: (*)]이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, [eqn: (*)]이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum_k=1 ^m a_k = 2^m(m+1) - (m+1)times 2^-m]
이다. [eqn: n= m+1]일 때,

[eqn: sum_k=1 ^m+1 a_k][eqn: = 2^m(m+1) - (m+1)times 2^-m]
[eqn: + LEFT ( 2 ^{2m+2} -1 RIGHT ) TIMES BOX{`````(가)`````} +m TIMES 2 ^{-m-1}]
[eqn: = box{`````(가)`````} `times box{`````(나)`````}` - m+2 over2 times 2 ^-m]
[eqn: = 2^{(m+1)(m+2)} - (m+2) times 2^-(m+1)]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 [eqn: (*)]이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum_k=1 ^n a_k = 2^n(n+1) - (n+1)times 2^-n]

이다.

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

025.	[2021학년도 9월 16번]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm P _{itn}]과  곡선 [eqn: y= sqrt {3x}] 위의 점 [eqn: {rmQ} _{n}]이 있다.

다음은 점 [eqn: rmP _{1}]의 좌표가 [eqn: (1,```0)]일 때, 삼각형 [eqn: {rmOP}_n+1 {rmQ}_n]의
넓이 [eqn: A _{n}]을 구하는 과정이다. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을
[eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(8)]의 값은?

[eqn: BULLET]선분 [eqn: rm OP _{itn}]과 선분 [eqn: {rmP } _{n}][eqn: {rmQ} _{n}]이 서로 수직이다.

[eqn: BULLET]선분 [eqn: rm OQ _{itn}]과 선분 [eqn: {rmQ} _{n}][eqn: {rm P} _{n+1}]이 서로 수직이다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rm P _{itn}]의 좌표를

[eqn: (a _{n} ,```0)]이라 하자.

[eqn: {bar{rm OP _{itn+1} it}} =][eqn: {bar{rm OP _{itn} it}} +][eqn: {bar{{rm P} _{n} {rmP} _{n+1} it}}]이므로

[eqn: a _{n+1} =][eqn: a _{n} +][eqn: {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}]

이다. 삼각형 [eqn: rm O][eqn: rm P _{itn}][eqn: rm Q _{itn}]과 삼각형 [eqn: rm Q _{itn}][eqn: rm P _{itn}][eqn: rm P _{itn+1}]이

닮음이므로

[eqn: {bar{rm OP _{itn} it}} : {bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}} = {bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}} : {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}]

이고, 점 [eqn: rm Q _{itn}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a _{n} ,``` sqrt {3a _{n}} RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}][eqn: =][eqn: BOX{`````(가)`````}]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmO][eqn: rm P _{itn+1}][eqn: rm Q _{itn}]의 넓이 [eqn: A _{n}]은

[eqn: A _{n}][eqn: = {1} over {2} TIMES][eqn: BOX{`````(나)`````} `][eqn: TIMES sqrt {9n-6}]

이다.

⑤

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

026.	[2021학년도 수능 21번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: 0<a_1 <1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a_8 - a_15 = 63]일 때, [eqn: { a_8 } over { a_1 }]의 값은?

(가) [eqn: a_2n = a_2 times a_n +1]

(나) [eqn: a_2n+1 = a_2 times a_n -2]

②

① [eqn: 91]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 93]

④ [eqn: 94]	⑤ [eqn: 95]

027.	[2022학년도 9월 15번]

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: left| a_1 right| le 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = cases{ -2 a_n - 2 &``` left( -1 le a_n < - 1 over2 right) #2a_n&```left( - 1 over2 le a_n le 1 over2 right) #-2a_n +2 &```left( 1 over2 < a_n le 1 right)]

을 만족시킨다. [eqn: a_5 +a_6 = 0]이고 [eqn: sum_k=1 ^5 a_k > 0]이 되도록 하는
모든 [eqn: a_1]의 값의 합은?

①

① [eqn: 9 over2]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 11 over2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 13 over2]

	PATTERN DRILL [수열의 귀납적 정의]

028.	[2022학년도 수능 21번]

수열 [eqn: left { a_n right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a_1 + a_3 + a_5 + a_7 +a_9]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: left | a_1 right | = 2]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: left | a_n+1 right | = 2 left | a_n right |]이다.

(다) [eqn: sum _{n=1 } ^{ 10 } a_n = -14]

[eqn: 678]

029.	[2023학년도 6월 15번]

자연수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다.

[eqn: a _{22} =0]이 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

[eqn: a _{1} =0]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} + {1} over {k+1} ~&LEFT ( a _{n} LEQ 0 RIGHT )#a _{n} - {1} over {k}&LEFT ( a _{n} >0 RIGHT )}}]

이다.

②

① [eqn: 12`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 16`]

④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 20`]