[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 등차수열과 등비수열

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SOOHAN

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

[등차수열]

▷ 두 항 [eqn: a_m], [eqn: a_n]이 주어지면 공차는 [eqn: {a _{n} -a _{m}} over {n-m}]이다.

▷ 일반항 [eqn: a_n]은 [eqn: n]에 대한 일차식이다.

[eqn: RARROW] 점 [eqn: (n,```a_n )]은 한 직선 위의 점들로 나타난다.

[eqn: RARROW] 직선이 [eqn: 0]이 되는 곳에 주목 :

합이 최대(/최소)가 되는 것과 관련한다.

001.	[2019학년도 6월(나형) 24번]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: a_5 = 5],   [eqn: a_15 = 25]

일 때, [eqn: a_20]의 값을 구하여라.

[eqn: 35]

002.	[2019학년도 9월(나형) 13번]

등차수열 [eqn: left{ it a_n right}]에 대하여

[eqn: a_1 = - 15],   [eqn: | a_3 | - a_ 4 = 0]

일 때, [eqn: a_7]의 값은?

①

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

003.	[한성은 PW5047번]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이

[eqn: LEFT | `a_5 -2k`RIGHT |= LEFT | ` a_9 -2k `RIGHT |],   [eqn: LEFT |` a_6 - 5 over 2 k` RIGHT |= LEFT |` a_12 - 5 over 2 k` RIGHT |]

를 만족시키고 [eqn: a_10 =11]일 때, [eqn: a_1]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

004.	[한성은 VW0315번]

첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]이

[eqn: | a _{5}| -| a _{4} |=6],   [eqn: | a _{4} |-|a _{3} | =4]

를 만족시킬 때, [eqn: a_1]의 값을 구하여라.

[eqn: 13]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

[등차수열의 합(중항)]

▷ 등차수열의 합은

[eqn: (항들의```평균값)times(항의```개수)]

이다. 평균을 째려보면 좋은 일이 일어난다.

005.	[2017학년도 6월(나형) 12번]

등차수열 [eqn: left { a_n right}]에 대하여

[eqn: a_8 = a_2 + 12],   [eqn: a_1 + a_2 + a_3 = 15]

일 때, [eqn: a_10]의 값은?

③

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

006.	[2018학년도 수능(나형) 14번]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: a _{5} +a _{13} =3a _{9}],   [eqn: sum _{k=1} ^{18} a _{k} = {9} over {2}]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{13}]의 값은?

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

007.	[2018년 4월(나형) 28번]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a _{11}]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} =159]

(나) [eqn: a _{m-2} +a _{m-1} +a _{m} =96]인 자연수 [eqn: m]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =425](단, [eqn: m>3])

[eqn: 26]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

[등차수열의 합(이차식)]

▷ 등차수열의 합의 수열 [eqn: S _{n}]은 [eqn: n]에 대하여

상수항이 없는 이차식이다.

※ 합이 상수항을 가지는 이차식이면,

수열은 제[eqn: 2]항부터 등차수열이다.

008.	[한성은 AB8449번]

공차가 [eqn: 4]인 등차수열 [eqn: left{a_n right]과 수열 [eqn: left{b_n right}]이 모든 자연수
[eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} times sum _{k=1} ^{n} b _{k} =n ^{4} -n]

를 만족시킬 때, [eqn: b _{1} +b _{5}]의 값은?

③

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: {15} over {2}]

009.	[2009학년도 6월 16번]

공차가 [eqn: d_1], [eqn: d_2]인 두 등차수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right]의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: S_n], [eqn: T_n]이라 하자.

[eqn: S_n T_n = n^2 (n^2 -1 )]

일 때, 보기에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: a_n =n]이면 [eqn: b_n = 4n-4]이다.

ㄴ. [eqn: d_1 d_2 =4]

ㄷ. [eqn: a_1 ne 0]이면 [eqn: a_n =n]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

[등차수열의 합(그래프)]

▷ 상수항이 없는 이차식이다.

[eqn: RARROW] 극점, 대칭성 등 이차함수의 특징 관찰.

[eqn: RARROW] 이차식이 극값을 가질 때 [eqn: sim] 수열의 값이 [eqn: 0]일 때

010.	[한성은 IS8782번]

첫째항이 [eqn: 38]인 등차수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

[eqn: S_5 =S_15]

일 때, [eqn: a_8]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

011.	[한성은 TL0728번]

첫째항이 [eqn: 14]인 등차수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

[eqn: S _{5} =S _{10}]

일 때, [eqn: S_3]의 값을 구하여라.

[eqn: 36]

012.	[2020학년도 수능(나형) 15번]

첫째항이 [eqn: 50]이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=m}^{m +4} {`}S_{k}]의 값이 최대가
되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 값은?

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

[등비수열]

▷ 두 항 [eqn: a_m], [eqn: a_n]이 주어지면 공비는 [eqn: root {n-m} of {{a _{n}} over {a _{m}}}]이다.

013.	[2020학년도 수능(나형) 23번]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: {a_{16}}over{a_{14}}+{a_{8}}over{a_{7}}=12]

일 때, [eqn: {a_{3}}over{a_{1}}+{a_{6}}over{a_{3}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 36]

014.	[2014학년도 6월 4번]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 +a_2 =12],
[eqn: {a_3 +a_7 } over {a_1 +a_5} =4]를 만족시킬 때, [eqn: a_4]의 값은?

③

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

015.	[2018학년도 6월(나형) 26번]

첫째항이 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: {a _{3}} over {a _{2}} - {a _{6}} over {a _{4}} = {1} over {4}]

일 때, [eqn: a _{5} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 19]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

[등비수열의 구조]

▷ 수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 등비수열이면, 수열

[eqn: left{a_2n right}],  [eqn: left{a _{n} +a _{n+1} right}],  [eqn: left{a_n ^{```2} right}],  [eqn: left{ { 1} over {a_n }right}]

등도 등비수열이다.

016.	[2019학년도 수능(나형) 24번]

첫째항이 [eqn: 7]인 등비수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

[eqn: { S_9 - S_5 } over {S_6 - S_2 }=3]

일 때, [eqn: a_7]의 값을 구하여라.

[eqn: 63]

017.	[2019학년도 6월(나형) 15번]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: a _{3} =4 LEFT ( a _{2} -a _{1} RIGHT )],   [eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k} =15]

일 때, [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5}]의 값은?

③

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

018.	[한성은 RG9117번]

모든 항이 서로 다른 등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

[eqn: S _{30} -S _{10} =3S _{20}]

일 때, [eqn: {a _{20} +a _{30}} over {a _{10}}]의 값은?

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 12]

019.	[한성은 GV4575번]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{9} a _{k} = sum _{k=1} ^{9} {9} over {a _{k}}]

일 때, [eqn: a _{5}]의 값은?

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

[등차중항과 등비중항]

▷ [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

[eqn: RARROW] [eqn: a+c=2b]

▷ 세 수가 등차수열을 이룬다.

[eqn: RARROW] [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d]

020.	[2012학년도 수능 25번]

세 수 [eqn: a], [eqn: a+b], [eqn: 2a-b]는 이 순서대로 등차수열을 이루고,
세 수 [eqn: 1], [eqn: a-1], [eqn: 3b+1]은 이 순서대로 공비가 양수인
등비수열을 이룬다. [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

021.	[2016학년도 6월(A형) 16번]

공차가 [eqn: 6]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 세 항 [eqn: a_2], [eqn: a_k], [eqn: a_8]은
이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 항 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_k]는
이 순서대로 등비수열을 이룬다. [eqn: k+a_1]의 값은?

②

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

022.	[2011학년도 수능(나형) 22번]

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 세 항 [eqn: a_2], [eqn: a_4], [eqn: a_9]가
이 순서대로 공비 [eqn: r]인 등비수열을 이룰 때, [eqn: 6r]의 값을
구하여라.

[eqn: 15]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

[등비수열의 합]

▷ [eqn: {a(r ^{n} -1)} over {r-1} =a(1+r+r ^{2} +cdots+r ^{n-1} )]

023.	[2020학년도 6월(나형) 24번]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left {a_{n} right }]에 대하여

[eqn: a_{1 }= 2],   [eqn: {a_{5 }}over{a_{3}}= 9]

일 때, [eqn: sum _{k = 1}^{4}a_{k}]의 값을 구하여라.

[eqn: 80]

024.	[2020학년도 6월(나형) 28번]

첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 정수인 등비수열 [eqn: left {a_{n} right }]과 자연수
[eqn: m]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_{m }]의 값을 구하여라.

[eqn: 162]

(가) [eqn: 4 < a_{2 }+ a_{3 }≤ 12]

(나) [eqn: sum _{k = 1}^{m}a_{k }= 122]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

[연습문제]

025.	[2018학년도 6월(나형) 15번]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 이차방정식
[eqn: x ^{2} -14x+24=0]의 두 근이 [eqn: a_3], [eqn: a_8]이다. [eqn: sum _{k=3} ^{8} a _{n}]의 값은?

②

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

026.	[한성은 LS4128번]

공차가 자연수인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여

[eqn: a_2 =8], [eqn: (a_ 8 )^2 -(a_4 )^2 =256]

일 때, [eqn: a_10]의 값을 구하여라.

[eqn: 24]

027.	[한성은 LT7042번]

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left{a_n right}]가 [eqn: (a _{4} ) ^{2} =(a _{12} ) ^{2}]를
만족시킬 때, [eqn: { a_20} over {a_12 }]의 값은?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

028.	[2017학년도 수능(나형) 15번]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: a _{2}]의 값은?

①

① [eqn: -15]	② [eqn: -13]	③ [eqn: -11]

(가) [eqn: a _{6} +a _{8} =0]

(나) [eqn: LEFT | a _{6} RIGHT | = LEFT | a _{7} RIGHT | +3]

④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -7]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

029.	[한성은 PZ4910번]

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]과 수열 [eqn: left{b_n right]이 모든 자연수
[eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} +b _{n} =4n-2]

를 만족시킨다. [eqn: a _{2} -b _{2} =10]일 때, [eqn: b _{10}]의 값을 구하여라.

[eqn: 6]

[eqn: a_n =3n+a]이므로 [eqn: b_n =n+b]이다. 준 식에서 [eqn: a+b=-2]이고, [eqn: a_2 -b_2 =4+a-b=10]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=-4]이다.

030.	[한성은 CX4713번]

공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left {a_{n} right }]과 자연수 [eqn: m]이 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: d]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

(가) [eqn: a _{1} +a _{m} +a _{m+1} +a _{2m} =112]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{2k-1} =648]

(다) [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{2k} =696]

031.	[한성은 DK2791번]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left {a_{n} right }]에 대하여

[eqn: a _{3} a _{9} =16],   [eqn: a _{3} +a _{6} +a _{9} =14]

일 때, [eqn: (a _{3} ) ^{2} +(a _{6} ) ^{2} +(a _{9} ) ^{2}]의 값을 구하여라.

[eqn: 84]

032.	[2015년 3월 27번]

모든 항이 양의 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터
제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{3} =7a _{3}]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} {S _{n}} over {a _{n}}]의
값을 구하여라.

[eqn: 502]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

033.	[한성은 IT0491번]

[eqn: a _{1}]이 자연수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]과 자연수 [eqn: m]이
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a _{1}]이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하여라.

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{2m} a _{k} =-85]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{2m} |a _{k} |=255]

[eqn: 103]

[eqn: {a _{1} (r ^{2m} -1)} over {r-1} =-85], [eqn: {|a _{1} |(r ^{2m} -1)} over {|r|-1} = {a _{1} (r ^{2m} -1)} over {|r|-1} =255]에서 [eqn: {r-1} over {|`r`|-1} =-3]이다.

[eqn: r!=1]이므로 [eqn: r=-2]이다. [eqn: a _{1} (4 ^{m} -1)=255]에서 [eqn: 4 ^{m} -1]이 [eqn: 255]의 약수인 경우는 [eqn: m=1], [eqn: m=2], [eqn: m=4]이다.

대응되는 [eqn: a _{1}]의 값은 [eqn: 85], [eqn: 17], [eqn: 1]이다.

034.	[2019학년도 수능(나형) 29번]

첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열
[eqn: LEFT {a_n RIGHT }]과 첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인
등비수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_7 +b_7]의
값을 구하여라.

[eqn: 117]

(가) [eqn: sum _{ n=1} ^{ 5}(a_n +b_n ) = 27]

(나) [eqn: sum _{ n=1} ^{ 5}(a_n +|b_n |) =67]

(다) [eqn: sum _{ n=1} ^{ 5}(|a_n |+|b_n |)=81]

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

035.	[2021학년도 6월 26번]

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의
합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_k = -16], [eqn: S_k+2 = -12]를 만족시키는
자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_2k]의 값을 구하여라.

[eqn: 7]

036.	[한성은 WX3093번]

두 등차수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을
각각 [eqn: S_n], [eqn: T_n]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: { S_n} over {T_n } = { n+1} over {n+2 }]

가 성립할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른
것은?

⑤

ㄱ. [eqn: S_n =n^2 +n]이다.

ㄴ. [eqn: a_n =2n]이면 [eqn: b_n = 2n+1]이다.

ㄷ. [eqn: 9a _{4} =8b _{4}]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

	PATTERN DRILL [등차수열과 등비수열]

037.	[2023학년도 6월 12번]

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: a _{10}]의 값은?

③

① [eqn: {21} over {2}]	② [eqn: 11]	③ [eqn: {23} over {2}]

(가) [eqn: a _{5} timesa _{7} <0]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT | a _{k+6} RIGHT | =6+ sum _{k=1} ^{6} LEFT | a _{2k} RIGHT |]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: {25} over {2}]

038.	[2022학년도 9월 13번]

첫째항이 [eqn: -45]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음
조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 [eqn: d]의 값의 합은?

②

① [eqn: 44]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 52]

(가) [eqn: LEFT | a _{m} RIGHT | = LEFT | a _{m+3} RIGHT |]인 자연수 [eqn: m]이 존재한다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} >-100]이다.

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 60]