[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 벡터의 자취와 최대최소

5A ACADEMY

SOOHAN

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[벡터의 합]

▷ 고정된 벡터와 움직이는 벡터를 더할 때는 고정된

벡터의 종점에 움직이는 벡터를 더하는 것이 좋다.

▷ 길이가 정해진 두 벡터의 합의 크기는

방향이 같을 때 최대, 방향이 반대일 때 최소이다.

001.	[한성은 PA8605번]

그림과 같이 반지름이 [eqn: 1]인 원 [eqn: O]에 내접하는
정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 원 [eqn: O] 위를 움직이는
점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: |rm vec{BC} +vecAP |]의 최댓값은?

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 2sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 4 sqrt {3}]

002.	[2020학년도 6월 18번]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA(3,```0)], [eqn: rmB(0,```3)]과 직선 [eqn: x=1] 위의
점 [eqn: {rmP}(1,```a)]가 있다. 점 [eqn: rmQ]가 중심각의 크기가 [eqn: piover2]인
부채꼴 [eqn: rmOAB]의 호 [eqn: rmAB] 위를 움직일 때 [eqn: |rmvecOP +vecOQ |]의
최댓값을 [eqn: f(a)]라 하자. [eqn: f(a)=5]가 되도록 하는
모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

① [eqn: -5 sqrt { 3}]	② [eqn: -4 sqrt { 3}]	③ [eqn: -3 sqrt { 3}]

④ [eqn: -2 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: -sqrt { 3}]

	PATTERN DRILL [삼차함수의 대칭성]

003.	[2017학년도 6월 28번]

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rmbarAE =barDB =2]인 두 점 [eqn: rmD],
[eqn: rmE]가 있다. 두 선분 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB]를 각각 지름으로 하는 두
반원의 호 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB]가 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하고, 선분 [eqn: rmAB]
위에 [eqn: rmbar{O_1 A}=bar{O_2 B}=1]인 두 점을 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2]라 하자. 호 [eqn: rmAC]
위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 호 [eqn: rmDC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에
대하여 [eqn: rm|vec{O_1 P}+vec{O_2 Q} |]의 최솟값이 [eqn: 1over2]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의
길이는 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단,
[eqn: 1 <rmbar{O_1 O_2 }<2]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 19]

004.	[한성은 AO7642번]

[eqn: rmbar AB =10]인 직사각형 [eqn: rmABCD]의 두 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmCD]를 각각
지름으로 하는 두 반원이 두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF]에서 서로 만난다.
두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmCD]의 중점을 각각 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2]라 하자.
점 [eqn: rmO_1]을 중심으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAE] 위를 움직이는
점 [eqn: rmP]와, 점 [eqn: rmO_2]를 중심으로 하는 반원의 호 [eqn: rmEF] 위를
움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rm|vec{O_1 P}+vec{O_2 Q} |]의 최댓값이
[eqn: 4sqrt { 5}]일 때, 선분 [eqn: rmAD]의 길이는?

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 4sqrt { 3}]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 6sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 4sqrt { 5]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[벡터의 분해]

▷ 적절한 분해

① 원, 정다각형의 중심을 이용한 분해

② 삼각형의 무게 중심을 이용한 분해

③ 선분의 중점을 이용한 분해

※ [eqn: {rmvecPA cdot vecPA =|vecPM |^2 -|vecAM |^2] 개중요

④ 수직 분해

005.	[한성은 HO6260번]

좌표평면의 원 [eqn: x^2 +(y-3)^2 =1] 위를 움직이는
점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: (x-4)^2 +y^2 =4] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에
대하여 [eqn: rm|vecOP +vecOQ |]의 최댓값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

006.	[한성은 ZL7850번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 세 원 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}], [eqn: C _{3}]가
서로 외접하고 있다. 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이 각각 원 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}], [eqn: C _{3}]
위를 움직일 때, [eqn: rm| vec{PQ}+vecPR |]의 최댓값은?

④

① [eqn: 2+2 sqrt {3}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 4+2sqrt { 3 }]	⑤ [eqn: 8]

007.	[2011학년도 수능 22번]

그림과 같이 평면 위에 정삼각형 [eqn: rmABC]와 선분 [eqn: rmAC]를
지름으로 하는 원 [eqn: O]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]를
[eqn: rmANGLE DAB= {pi } over {15}]가 되도록 정한다. 점 [eqn: rmX]가 원 [eqn: O] 위를 움직일
때, 두 벡터 [eqn: rmvecAD], [eqn: rmvecCX]의 내적 [eqn: rmvecAD cdot vecCX]의 값이 최소가
되도록 하는 점 [eqn: rmX]를 점 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: ANGLE{rmACP}= {q} over {p} pi]일 때,
[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인
자연수이다.)

[eqn: 17]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[내분벡터와 점의 위치]

▷ 해석이 어려울 수 있다. 시점을 ‘고정’하자.

008.	[2017학년도 9월 16번]

직사각형 [eqn: rm ABCD]의 내부의 점 [eqn: rm P]가

[eqn: vec{rm PA it} + vec{rm PB it} + vec{rm PC it} + vec{rm PD it} = vec{rm CA it}]

를 만족시킨다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른
것은?

⑤

ㄱ. [eqn: vec{rmPB}+vec{rmPD}=2vec{rmCP}]

ㄴ. [eqn: vec{rmAP}={3} over{4} vec{rmAC}]

ㄷ. 삼각형 [eqn: rmADP]의 넓이가 [eqn: 3]이면 직사각형

[eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 8]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

009.	[한성은 TN7560번]

정사각형 [eqn: rmABCD]와 점 [eqn: rmP]가

[eqn: rm 2 vec{PA} + vec{PB} +8 vec{PC} + vec{PD} = vec{0}]

을 만족시킨다. [eqn: rm| vec PC |= sqrt { 5}]일 때, [eqn: |rmvecPD |]의 값은?

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

010.	[한성은 KK1406번]

한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정사각형 [eqn: rmABCD]와 선분 [eqn: rmAD] 위의
점 [eqn: rmP]가

[eqn: rm|2vec PA +vecPB |=|2 vecPC +vecPD |]

을 만족시킨다. [eqn: | rm vec{PA} |]의 값은?

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[가무게중심 정리]

▷ 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 [eqn: p rm vec{PA} it +q rm vec{PB} it +r rm vec{PC} it = vec0]일 때

점 [eqn: rmP]의 위치를 잡을 수 있다.

011.	[한성은 LA0437번]

좌표평면의 넓이가 [eqn: 90]인 삼각형 [eqn: rmABC]와 한 점 [eqn: rmP]가

[eqn: rm4 vec{AP} +3 vec{BP} +2 vec{CP} = vec{0}]

를 만족시킬 때, 삼각형 [eqn: rmBCP]의 넓이는?

③

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

012.	[한성은 ZL7850번]

한 변의 길이가 [eqn: 18]인 정삼각형 [eqn: rmABC]의 내부에 점 [eqn: rmP]가
있다. 세 삼각형 [eqn: rmPAB], [eqn: rmPBC], [eqn: rmPCA]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}],
[eqn: S _{3}]라 하면 [eqn: S _{1} :S _{2} :S _{3} =4:2:3]이다. 선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmM],
점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ], 점 [eqn: rmP]에서 선분
[eqn: rmBM]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR]이라 할 때, [eqn: rm bar{PQ} times barPR]의 값은?

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 6sqrt { 3}]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 8sqrt { 3}]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[직선의 방정식]

▷ 직선의 방정식

① [eqn: {rmvecOP}={rmvecOA}+t {rmvecOB]일 때 점 [eqn: rmP]의 자취는

점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: rmvecOB]와 평행한 직선이다.

② [eqn: {rmvecOP}=t{rmvecOA}+(1-t){rmvecOB]일 때 점 [eqn: rmP]의 자취는

직선 [eqn: rmAB]이다.

※ 대충 [eqn: t=0] 넣고 [eqn: t=1] 넣고 연결하자.

013.	[한성은 XZ7944번]

그림과 같이 평행사변형 [eqn: rmABCD]와 선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rm E],
선분 [eqn: rmCD]의 중점 [eqn: rmF]가 있다. 점 [eqn: rm P]가

[eqn: rm vec{AP} it = {t} over {2} rm vec{AF} it +(2-t) rm vec{AE} it] (단, [eqn: t]는 실수)

를 만족시키고 점 [eqn: rm Q]가 [eqn: {rmvecAQ}={rmvecAD}+{rmvecFP}]를 만족시킨다.
점 [eqn: rm Q]가 나타내는 도형은?

⑤

① 직선 [eqn: rm FC]	② 직선 [eqn: rm FB]	③ 직선 [eqn: rm FE]

④ 직선 [eqn: rm DB]	⑤ 직선 [eqn: rm DE]

014.	[한성은 PT2097번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =2], [eqn: rm bar{AD} =2 sqrt {3}]인 직사각형 [eqn: rmABCD]가
있다. [eqn: 0 le t le 2]인 실수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: rmP]가

[eqn: rm vec{DP} it +(1-t) rm vec{DC} it = rm vec{DB} it +(1-t) rm vec{DA} it it]

를 만족시킬 때, [eqn: | rm vec{DP} |]의 최댓값과 최솟값의 합은?
(단, 점 [eqn: rmP]와 직사각형 [eqn: rmABCD]는 한 평면 위에 있다.)

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 6 sqrt {3}]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[자취의 영역]

▷ 대충 잘 설명

015.	[2019학년도 수능 29번]

좌표평면에서 넓이가 [eqn: 9]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmAB],
[eqn: rmBC], [eqn: rmCA] 위를 움직이는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 할 때,

[eqn: rmvecAX = { 1} over {4 }( vecAP +vecAR )+ { 1} over {2 } vecAQ]

를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 영역의 넓이가 [eqn: q overp]이다.
[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인
자연수이다.)

[eqn: 53]

016.	[한성은 PP5064번]

좌표평면에서 넓이가 [eqn: 16]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 두 변
[eqn: rmAB], [eqn: rmCA] 위를 움직이는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 할 때,

[eqn: rm vec{AX} = {1} over {2} ( vec{CP} + vec{BQ} )]

를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 영역의 넓이는?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 16]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

017.	[2020학년도 9월 19번]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A(1,```0)], [eqn: rmB(0,```1)]이 있다. 중심각의
크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]의 호 [eqn: rmAB] 위를 움직이는 점 [eqn: rm X]와
함수 [eqn: y=(x-2) ^{2} +1```(2 LEQ x LEQ 3)]의 그래프 위를 움직이는
점 [eqn: rmY]에 대하여

[eqn: {vec{rmOP}} = {vec{rmOY}} - {vec{rmOX}}]

를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 영역을 [eqn: R`]라 하자.
점 [eqn: rmO]로부터 영역 [eqn: R`]에 있는 점까지의 거리의 최댓값을 [eqn: M],
최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M ^{`2} +m ^{2}]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

①

① [eqn: 16-2 sqrt {5}]	② [eqn: 16- sqrt {5}]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 16+ sqrt {5}]	⑤ [eqn: 16+2 sqrt {5}]

018.	[2020학년도 6월 29번]

좌표평면에서 곡선 [eqn: C:y= sqrt {8-x ^{2}}]([eqn: 2 le x le 2 sqrt { 2}]) 위의
점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbarOQ =2], [eqn: rmanglePOQ= { pi} over { 4}]를 만족시키고
직선 [eqn: rmOP]의 아랫부분에 있는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가
곡선 [eqn: C] 위를 움직일 때, 선분 [eqn: rmOP] 위를 움직이는 점 [eqn: rmX]와
선분 [eqn: rmOQ] 위를 움직이는 점 [eqn: rmY]에 대하여

[eqn: rmvecOZ =vecOP +vecOX +vecOY]

를 만족시키는 점 [eqn: rmZ]가 나타내는 영역을 [eqn: D]라 하자.
영역 [eqn: D]에 속하는 점 중에서 [eqn: y]축과의 거리가 최소인
점을 [eqn: rmR]라 할 때, 영역 [eqn: D]에 속하는 점 [eqn: rmZ]에 대하여
[eqn: rmvecOR cdot vecOZ]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: a+b sqrt { 2}]이다.
[eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이고,
[eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

[eqn: 24]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[내적과 자취]

▷ [eqn: {rmvecAB cdot vecAP} =k]일 때 점 [eqn: rmP]의 자취는

직선 [eqn: rmAB]와 수직인 직선이다.

▷ 대충 [eqn: {rmvecPA cdot vecPB }=k]일 때 점 [eqn: rmP]의 자취는 원이다.

※ [eqn: {rmvecPA cdot vecPA =|vecPM |^2 -|vecAM |^2]로 설명.

019.	[한성은 AU2065번]

좌표평면 위의 [eqn: rmbarAB =12]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmC]는
다음을 만족시킨다.

[eqn: rm vec{CA} cdot vecCB]의 값은?

(가) [eqn: rm 2 vec{AB} CDOT vec{AC} = vec{AB} CDOT vec{CB}]

(나) [eqn: cos(anglermCAB)= {4} over {5}]

③

L1) (가)에서 점 [eqn: rmC]는

[eqn: {rmbarAB}]의 [eqn: 1:2] 내분점 [eqn: rmD]을 지나고 [eqn: rmbarAB]에 수직인 직선

위에 존재한다. 또, (나)에서 [eqn: rm bar{CD} =3]이다.

L2) [eqn: rm vec{CA} cdot vecCB = (3,```-4)cdot(3,```8)]이다.

① [eqn: -19]	② [eqn: -21]	③ [eqn: -23]

④ [eqn: -25]	⑤ [eqn: -27]

020.	[2018학년도 9월 19번]

좌표평면에서 원점 [eqn: rmO]가 중심이고 반지름의 길이가
[eqn: 1]인 원 위의 세 점 [eqn: rmA_1], [eqn: rmA_2], [eqn: rmA_3]에 대하여

[eqn: | rmvecOX | le 1] 이고 [eqn: {rmvecOX} cdot vec{{rmOA}_k} ge0] ([eqn: k=1,```2,```3])

을 만족시키는 모든 점 [eqn: rmX]의 집합이 나타내는 도형을 [eqn: D]라
하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: rmvecOA_1 = vecOA_2 = vecOA_3]이면 [eqn: D]의 넓이는 [eqn: piover2]이다.

ㄴ. [eqn: rmvecOA_2 =-vecOA_1]이고 [eqn: rmvecOA_3 =vecOA_1]이면 [eqn: D]는

길이가 [eqn: 2]인 선분이다.

ㄷ. [eqn: rmvecOA_1 cdot vecOA_2 =0]인 경우에, [eqn: D]의 넓이가 [eqn: piover4]이면

점 [eqn: rmA_3]은 [eqn: D]에 포함되어 있다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[좌표화]

▷ 잘 안 되면 순순히 좌표를 잡아라.

021.	[2011학년도 9월 14번]

평면에서 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =1]이고 [eqn: rmbarBC =sqrt3]인 직사각형
[eqn: rmABCD]와 정삼각형 [eqn: rmEAD]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAE] 위를
움직일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: rmLEFT | vecCB`-vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: 1]이다.

ㄴ. [eqn: rmvecCA cdot vecCP]의 값은 일정하다.

ㄷ. [eqn: rmLEFT | vecDA`+vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: {7} over {2}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

022.	[한성은 PT8789번]

한 변의 길이가 [eqn: 5]인 정사각형 [eqn: \ABCD]에서 선분
[eqn: rmBD]를 [eqn: 1:4]와 [eqn: 4:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: rm vec{AP} CDOT ( vec{QC} + vec{QD} )]의 값을 구하여라.

[eqn: 14]

점 [eqn: rmB]를 원점, 점 [eqn: rmC]를 [eqn: (5,```0)], 점 [eqn: rmA]를 [eqn: (0,```5)]이라 하면,

[eqn: rmvecAP =(1,```-4)], [eqn: rmvecQC =(1,```-4)], [eqn: rmvecQD =(1,```1)]이므로

[eqn: rm vec{AP} CDOT ( vec{QC} + vec{QD} )=(1,```-4)cdot(2,```-3)=2+12=14]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[자취와 최대최소]

▷ 내적과 자취 내용 숙지. 점 [eqn: rmP]의 자취를 구할 때,

최대최소를 구할 때 양쪽에서 사용된다.

023.	[2019학년도 9월 16번]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(6,```0)], [eqn: rmB(8,```6)]에 대하여 점 [eqn: rmP]가

[eqn: rm | vec{PA} +vec PB |= sqrt { 10}]

을 만족시킨다. [eqn: rmvecOB cdot vecOP]의 값이 최대가 되도록 하는
점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmQ]라 하고, 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때,
[eqn: rmvecOA cdot vecMQ]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

① [eqn: {6 sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: {9 sqrt {10}} over {5}]	③ [eqn: {12 sqrt {10}} over {5}]

④ [eqn: 3sqrt { 10}]	⑤ [eqn: {18 sqrt {10}} over {5}]

024.	[한성은 HF2426번]

좌표평면 위에 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인
원 [eqn: O]와 두 점에서 만나는 직선 [eqn: l]이 있다. 원 [eqn: O]와
직선 [eqn: l]의 두 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: rmC]는

[eqn: rmvecAB cdot vecOC = rm { 1} over {2 } |vecAB |^2]

를 만족시킨다. 원 [eqn: O] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여
[eqn: rmvecPB cdot vecPC]의 최댓값이 [eqn: 72]일 때, [eqn: rm |vecAB |]의 값은?
(단, 점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: rmB]가 아니다.)

⑤

조건 [eqn: rmvecAB cdot vecOC = rm { 1} over {2 } |vecAB |^2]에서 점 [eqn: rmC]의 위치는 [그림1]과 같다. [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때,

[eqn: rm vec{PB} CDOT vec{PC} = |vecPM |^2 -|vecMB |^2]이므로 [eqn: rmvecPB cdot vecPC]가 최대인 점 [eqn: rmP]의 위치는 [그림2]와 같다.

[그림1]	[그림2]

[eqn: {rm|vecOM | } =a], [eqn: {rm|vec MB |}=b]라 하자. 반지름의 길이가 [eqn: 5]이므로 [eqn: a^2 +b^2 =25]이고, [eqn: rmvecPB cdot vecPC]의 최댓값 [eqn: (5+a) ^{2} -b ^{2} =72]이다.

연립하면 [eqn: a=4], [eqn: b=3]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

025.	[2019학년도 6월 29번]

좌표평면 위에 [eqn: rmbarAB =5]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로
하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 두 원을 각각 [eqn: O_1], [eqn: O_2]라 하자.
원 [eqn: O_1] 위의 점 [eqn: rmC]와 원 [eqn: O_2] 위의 점 [eqn: rmD]가 다음 조건을
만족시킨다.

선분 [eqn: rmCD]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여
[eqn: rmvecPA cdot vecPB]의 최댓값이 [eqn: a+b sqrt { 74}]이다. [eqn: a+b]의 값을
구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.)

(가) [eqn: cos(rmangleCAB)= { 3} over {5 }]

(나) [eqn: rmvecAB cdot vecCD =30]이고 [eqn: rm| vecCD |<9]이다.

[eqn: 31]

026.	[2018학년도 6월 29번]

좌표평면에서 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원
위의 한 점을 [eqn: rmA], 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원
위의 한 점을 [eqn: rmB]라 할 때, 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: rmvecPA cdot vecPB]의 최솟값은 [eqn: m]이고 이때 [eqn: |{rmvecOP}|=k]이다. [eqn: m+k^2]의
값을 구하여라.

(가) [eqn: rmvecOB cdot vecOP =3 vecOA cdot vecOP]

(나) [eqn: rm|vecPA |^2 + |vecPB |^2 =20]

[eqn: 7]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

[연습문제]

027.	[한성은 SR4472번]

평행사변형 [eqn: rm ABCD]의 내부의 점 [eqn: rm P]가

[eqn: vec{rm PA it} +3 vec{rm PB it} +3 vec{rm PD it} = vec{rm PC it}]

를 만족시킨다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른
것은?

⑤

ㄱ. [eqn: vec{rm PB it} + vec{rm PD it} = {1} over {3} vec{rm AC it}]

ㄴ. [eqn: 2 vec{rm AP it} = vec{rm PC it}]

ㄷ. 삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이가 [eqn: 3]이면 사각형

[eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 18]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

028.	[2022학년도 9월 기하 25번]

좌표평면에서 세 벡터

[eqn: {vec{a}} =(3,```0)],   [eqn: {vec{b}} =(1,```2)],   [eqn: {vec{c}} =(4,```2)]

에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{p}], [eqn: vec{q}]가

[eqn: vec{p} cdot vec{a} = vec{a} cdot vec{b}],   [eqn: | vec{q} - vec{c}| = 1]

을 만족시킬 때, [eqn: |vec{p} - vec{q}|]의 최솟값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

029.	[2023학년도 6월 기하 30번]

좌표평면에서 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]의
변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있고, 점 [eqn: rmC]를 중심으로 하고
반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]가 있다.
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]와 실수 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: rmX]가 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: rm left| vecCX right|]의 값이 최소가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을
[eqn: alpha], [eqn: rm left| vecCX right|]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을 [eqn: beta]라 하자.

[eqn: alpha^2 + beta^2]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: rmvecCX = 1 over 2 vecCP + vecCQ]

(나) [eqn: rmvecXA + vecXC +2 vecXD = itk ` rm vecCD]

[eqn: 8]

030.	[2022학년도 9월 기하 30번]

좌표평면에서 세 점 [eqn: rm A(-3,```1)], [eqn: rmB(0,```2)], [eqn: rmC(1,```0)]에
대하여 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가

[eqn: left | rm vec AP right| =1],  [eqn: left| rm vec BQ right| = 2],  [eqn: rm vec AP cdot vec OC ge root2 over 2]

를 만족시킬 때, [eqn: rm vec AP cdot vec AQ]의 값이 최소가 되도록 하는
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 각각 [eqn: rmP_0], [eqn: rmQ_0]이라 하자. 선분 [eqn: rmAP_0]위의
점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rm vec BX cdot vec BQ_0 ge1]일 때, [eqn: left | rm vec {Q_0 X} right| ^2]의 최댓값은
[eqn: { q} over { p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이고,
[eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 45]

	PATTERN DRILL [벡터의 자취와 최대최소]

031.	[2022학년도 수능 기하 29번]

좌표평면에서 [eqn: rmbarOA = sqrt2], [eqn: rm barOB = 2sqrt2]이고 [eqn: rm cos ( angle AOB) = 1over4]인
평행사변형 [eqn: rmOACB]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을
만족시킨다.

점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmA]를 지나는 원 위를 움직이는
점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rm left | 3 vecOP - vecOX right|]의 최댓값과 최솟값을 각각
[eqn: M], [eqn: m]이라 하자. [eqn: M times m = a sqrt6 +b]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을
구하여라. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

(가) [eqn: rm vecOP = it s rm vec OA + it t vec {rm OB} ```( 0 le s le 1 ,``` 0 le t le 1 )]

(나) [eqn: rm vecOP cdot vecOB `+` vecBP cdot vecBC =2]

[eqn: 100]

032.	[2022학년도 6월 기하 30번]

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,```0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 0,```2 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( -2,```0 RIGHT )],
[eqn: rm D LEFT ( 0,```-2 RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD]의
네 변 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

점 [eqn: rmR LEFT ( 4,```4 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{rmRP}} cdot {vec{rm RQ}}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을
[eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는
원점이다.)

(가) [eqn: LEFT ( {vec{rmPQ}} cdot {vec{rmAB}} RIGHT ) LEFT ( {vec{rmPQ}} cdot {vec{rmAD}} RIGHT ) =0]

(나) [eqn: {vec{rm OA}} cdot {vec{rm OP}} GEQ it-2]이고 [eqn: {vec{rmOB}} cdot {vec{rmOP}} GEQ 0]이다.

(다) [eqn: {vec{rmOA}}cdot {vec{rmOQ}} GEQ it-2]이고 [eqn: {vec{rmOB}}cdot {vec{rmOQ}} LEQ 0]이다.

[eqn: 48]