[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 적분의 연산

5A ACADEMY

SOOHAN

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[치환적분]

▷ [eqn: int _{} ^{} {} g LEFT (f(x) RIGHT) f` prime (x)dx]의 꼴.

[eqn: f`'(x)]가 보이면 때는 치환적분각이 선다.

001.	[2010학년도 9월 28번]

함수 [eqn: f(x)=INT _{ 0}^{ x} 1over{1+t^6}dt]에 대하여 상수 [eqn: a]가
[eqn: f(a)= 1over2]을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{a} {} {e ^{f(x)}} over {1+x ^{6}} dx]의 값은?

②

① [eqn: {sqrt e -1}over2]	② [eqn: sqrt e -1`]	③ [eqn: 1`]
④ [eqn: {sqrt e +1}over2]	⑤[eqn: sqrt e +1`]

002.	[2013학년도 수능 12번]

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) = e^x^2 + int_{0} ^{1}tf(t) dt]를 만족시킬 때,
[eqn: int_{0} ^{1} xf(x)dx]의 값은?

④

① [eqn: e-2]	② [eqn: e-1 over 2]	③ [eqn: e over 2]

④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: e+1 over 2]

003.	[2018학년도 수능 15번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} { {1} over {1+e ^{-t}} dt}]

일 때, [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( a RIGHT ) =ln5]를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: ln11]	② [eqn: ln13]	③ [eqn: ln15]

④ [eqn: ln17]	⑤ [eqn: ln19]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[치환과 변수관계]

▷ [eqn: f(STAR)]이 보일 때 [eqn: STAR]을 치환해보자.

변수/상수 헷갈리지 않도록 주의.

004.	[2011학년도 9월 28번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{2} {xf LEFT ( tx RIGHT ) dx} =4t ^{2}]을 만족시킬 때,
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

005.	[2014학년도 6월 27번]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {1+x}]에 대하여

[eqn: F(x)=int _{0} ^{x} tf(x-t)dt] ([eqn: x ge0])

일 때, [eqn: F`'(a)=ln10]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을
구하여라.

[eqn: 9]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[함수식의 치환]

▷ [eqn: f`'(x)]가 곱해져 있으면.

006.	[2017학년도 수능 21번]

닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 증가하는 연속함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: int _{0} ^{1} f(x)dx=2], [eqn: int _{0} ^{1} |f(x)|dx=2 sqrt {2}]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: F(x)]가

[eqn: F(x)=int _{0} ^{x} |f(t)|dt] [eqn: (0le x le1 )]

일 때, [eqn: int_0 ^1 f(x)F(x)dx]의 값은?

④

① [eqn: 4- sqrt { 2}]	② [eqn: 2+ sqrt { 2}]	③ [eqn: 5- sqrt { 2}]

④ [eqn: 1+ 2sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2+ 2sqrt { 2}]

007.	[한성은 PU8423번]

닫힌 구간 [eqn: [0,```4]]에서 연속이고, 열린 구간 [eqn: (0,```4)]에서
두 번 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f`''(x)>0]이고, 다음을
조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{0} ^{4} {} f(x)|f`'(x)|dx]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: LEFT { f(0) RIGHT } ^{2} + LEFT { f(4) RIGHT } ^{2} =32]

(나) 열린 구간 [eqn: (0,```4)]에 방정식

[eqn: left{f` prime (x)right} ^{2} +left{f(x)right} ^{2} =0]

의 근이 적어도 하나 존재한다.

[eqn: 16]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[부분적분법]

▷ [eqn: int f(x)g(x)dx]에서 [eqn: f(x)g(x)]보다 [eqn: f`'(x)G(x)]가

적분하기 좋아 보일 때 부분적분각이 선다.

008.	[2012학년도 6월 19번]

정의역이 [eqn: LEFT { `x`LEFT | `x>-1 RIGHT }]인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f`'`(x)= 1 over {(1+x^3 )^2 }]이고, 함수 [eqn: g(x)= x^2]일 때,

[eqn: int _{ 0} ^{1 } {f(x) g'(x) dx } = 1 over6]

이다. [eqn: f(1)]의 값은?

④

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 2 over 9]	③ [eqn: 5 over 18]

④ [eqn: 1 over3]	⑤ [eqn: 7 over 18]

009.	[2011학년도 수능 28번]

실수 전제의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다.
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2x)=2f(x)f`'(x)]이고, [eqn: f(a)=0],
[eqn: int _{2a} ^{4a} {{f(x)} over {x}} dx=k```(a>0,```0<k<1)]일 때, [eqn: int _{ a} ^{2a } {{left{f(x) right}^2 }over x^2 }dx]의
값을 [eqn: k]로 나타낸 것은?

④

① [eqn: k^2 over4]	② [eqn: k^2 over2]	③ [eqn: k^2]

④ [eqn: k]	⑤ [eqn: 2k]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[식의 변형과 부분적분]

▷ 적당한 조작을 가해야 하는 경우도 있다.

부분적분법의 핵심은 두 함수의 곱의 적분이

[eqn: (미분한```함수)times(적분한```함수)]

의 적분으로 문제가 바뀐다는 것.

010.	[2017학년도 9월 21번]

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수
[eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: f(1) = 1 overe]일 때, [eqn: f(2) - g(2)]의 값은?

(가) [eqn: LEFT ( {f(x)} over {x} RIGHT ) ' =x ^{2} e ^{-x ^{2}}]

(나) [eqn: g(x) = 4 over e^4 int_1 ^x e^t^2 f(t) dt `]

③

① [eqn: 16 over 3e^4]	② [eqn: 6 over e^4]	③ [eqn: 20 over 3e^4]

④ [eqn: 22 over 3e^4]	⑤ [eqn: 8 over e^4]

011.	[2014학년도 수능 21번]

연속함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고,
모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)= pi over2 int _{ 1} ^{x+1 } {f(t) dt}]

이다. [eqn: f(1)=1]일 때, [eqn: pi^2 int _{ 0} ^{ 1} { x f(x+1) dx}]의 값은?

①

① [eqn: 2 (pi -2)]	② [eqn: 2pi-3]	③ [eqn: 2 (pi -1)]

④ [eqn: 2pi -1]	⑤ [eqn: 2pi]

012.	[2020학년도 9월 17번]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 도함수가
연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{-1} ^{1} {x ^{3} f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -1]이다.

(나) [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} g prime LEFT ( x RIGHT ) dx} =120]

②

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[역함수 치환적분]

▷ [eqn: int f(x)dx]에서 [eqn: x=f(t)]로 치환하는 것은 어색하다.

013.	[수능 예시문항 29번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +x-1]과 양수 [eqn: t]에 대하여 함수

[eqn: F`` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {LEFT { t-f LEFT ( s RIGHT ) RIGHT } `ds}]

가 [eqn: x=alpha]에서 최댓값을 가질 때, 실수 [eqn: alpha]의 값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라
하자. 미분가능한 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{f LEFT ( 1 RIGHT )} ^{f LEFT ( 5 RIGHT )} {{g LEFT ( t RIGHT )} over {1+e ^{g LEFT ( t RIGHT )}}} dt]의
값을 구하여라.

[eqn: 12]

014.	[한성은 AY9938번]

[eqn: x ge 0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=xe^x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라
할 때, [eqn: int_0 ^e x g'(x)g(x)dx]의 값은?

①

[eqn: g(x)=t]로 치환하면 [eqn: int _{0} ^{1} tf(t)dt]이다.

① [eqn: e-2]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: e]

④ [eqn: 2e-2]	⑤ [eqn: 2e-1]

015.	[한성은 GA2970번]

[eqn: { 1} over {e }le x]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=x lnx]의 역함수 [eqn: g(x)]에
대하여 [eqn: int _{0} ^{e} {} {x} over {lng(x)+1} dx]의 값은?

①

① [eqn: { 1+e^2} over { 4}]	② [eqn: {2+e ^{2}} over {4}]	③ [eqn: {3+e ^{2}} over {4}]

④ [eqn: {4+e ^{2}} over {4}]	⑤ [eqn: {5+e ^{2}} over {4}]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[구간과 적분]

▷ 조각정의된 함수의 정적분

① 주어진 함수는 정의된 구간 내에서만 사용 가능하다.

② [eqn: f(g(x))]에서 [eqn: g(x)]가 먹고 들어가는 구간 관찰.

016.	[2019학년도 수능 16번]

[eqn: x>0]에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 양수 [eqn: x]에
대하여

[eqn: 2f(x)+ { 1} over { x^2} f left( { 1} over {x } right)= { 1} over {x }+ { 1} over {x^2 }]

을 만족시킬 때, [eqn: int_ {{ 1} over {2 }}^2 f(x)dx]의 값은?

②

① [eqn: { ln2} over {3 }+ { 1} over {2 }]	② [eqn: {2ln2} over {3} + {1} over {2}]	③ [eqn: {ln2} over {3} +1]

④ [eqn: {2ln2} over {3} +1]	⑤ [eqn: {2ln2} over {3} + {3} over {2}]

017.	[한성은 BK3563번]

연속함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: 1 le x le 4]인 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)=f(2x+2)-6]

를 만족시킨다. [eqn: int _{1} ^{10} {} f(x)dx=72]일 때, [eqn: int _{4} ^{10} {} f(x)dx]의 값을
구하여라.

[eqn: 60]

018.	[2014학년도 9월 30번]

두 연속함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

[eqn: g left(e^x right) = cases{f(x)&(0 le x<1) # g`left(e^x-1 right)+5 &(1 le x le 2)]

를 만족시키고, [eqn: int_1 ^e^2 g(x)dx=6e^2 +4]이다.
[eqn: int _{1} ^{e} {f(lnx)}dx =ae+b]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이다.)

[eqn: 17]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[항등식의 양 변 적분]

▷ 항등식의 양 변을 적분할 수 있다. 적분상수 조심.

019.	[2018학년도 9월 18번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(0)=0]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0]이다.
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rm A(it t,```f(t))(t>0)]에서 [eqn: x]축에 내린
수선의 발을 [eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmA]를 지나고 점 [eqn: rmA]에서의 접선과
수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 모든 양수
[eqn: t]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: {1} over {2} (e ^{3t} -2e ^{2t} +e ^{t} )]일 때,
곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의
넓이는?

①

① [eqn: e-2``]	② [eqn: e``]	③ [eqn: e+2``]

④ [eqn: e+4``]	⑤ [eqn: e+6``]

020.	[2020학년도 9월 30번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든
실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f`'(x^2 +x+1)=pi f(1) sinpix +f(3) x+5x^2]

을 만족시킬 때, [eqn: f(7)]의 값을 구하여라.

[eqn: 93]

021.	[2019학년도 수능 21번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음
조건을 만족시킬 때, [eqn: f(-1)]의 값은?

④

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 2left{f(x)right}^2 f`'(x)=left{f(2x+1) right}^2 f`'(2x+1)]이다.

(나) [eqn: f left(- { 1} over { 8} right)=1], [eqn: f(6)=2]

① [eqn: {root {3} of {3}} over {6}]	② [eqn: {root {3} of {3}} over {3}]	③[eqn: {root {3} of {3}} over {2}]

④ [eqn: {2 root {3} of {3}} over {3}]	⑤[eqn: {5 root {3} of {3}} over {6}]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[정적분으로 정의된 함수]

▷ 함수 [eqn: int_a ^x f(t)dt]가 나오면, [eqn: g(x)] 등으로 이름 붙이고,

① [eqn: g'(x)=f(x)]

② [eqn: g(a)=0]

임을 이용하여 다룬다. [eqn: f(x)]에 대한 넓이로 풀지 마.

※ ②를 이용하여 [eqn: x]축의 위치를 결정할 수 있다.

022.	[2016학년도 9월 21번]

함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)= cases{ |sinx|-sinx&`````left(- { 7} over { 2} pi le x<0 right)# sinx-|sinx|& `````left(0le x le { 7} over {2 }pi right) }]

라 하자. 닫힌 구간 [eqn: left[- { 7} over {2 }pi,``` { 7} over {2 }piright]]에 속하는 모든 실수 [eqn: x]에
대하여 [eqn: int_a ^x f(t)dt ge0]이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을
[eqn: alpha], 최댓값을 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: beta-alpha]의 값은?
(단, [eqn: - {7} over {2} pi le a le {7} over {2} pi])

①

① [eqn: piover2]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: {7} over {2} pi]	⑤ [eqn: {9} over {2} pi]

023.	[2018학년도 9월 21번]

수열 [eqn: left{a_n right}]이

[eqn: a _{1} =-1], [eqn: a_n =2- { 1} over { 2^n-2 }(n ge2)]

이다. 구간 [eqn: [-1,```2)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 모든 자연수
[eqn: n]에 대하여

[eqn: f(x)=sin(2^n pix)] ([eqn: a _{n} LEQ x LEQ a _{n+1}])

이다. [eqn: -1<alpha<0]인 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: int_alpha ^t f(x)dx=0]을
만족시키는 [eqn: t(0<t<2)]의 값의 개수가 [eqn: 103]일 때,
[eqn: log_2 (1-cos(2pi alpha))]의 값은?

②

① [eqn: -48]	② [eqn: -50]	③ [eqn: -52]

④ [eqn: -54]	⑤ [eqn: -56]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

[연습문제]

024.	[한성은 JY7787번]

함수 [eqn: f(x)= int _{1} ^{x} {e ^{t ^{2}}} dt]와 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(a)=ln4]일 때,
[eqn: int _{1} ^{a} {e ^{x ^{2} +f(x)}} dx]의 값은?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 5over2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 4]

025.	[한성은 DU9597번]

[eqn: f(x)=int_1 ^x e^-t^2 dt]일 때, [eqn: int_0 ^1 f(x)dx]의 값은?

②

① [eqn: {1} over {2e}]	② [eqn: {1} over {2e} - {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2e} -1]

④ [eqn: {1} over {e}]	⑤ [eqn: {1} over {e} - {1} over {2}]

026.	[한성은 ML9238번]

실수 전체의 집합에서 연속이고 증가하는 함수 [eqn: f(x)]가
다음을 만족시킬 때, [eqn: int_1 ^e^2 { f`'(lnx)lnx} over {x }dx]의 값은?

④

(가) [eqn: f(0)=0], [eqn: f(2)=2]

(나) [eqn: int_0 ^2 f(x)dx= 4over3]

① [eqn: 5over3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 7over3]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: 3]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

027.	[한성은 WT7406번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: F(x)= int _{a} ^{x} {} f(t)dt]라 하자. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: F(x)=6left{f(x)right} ^{3} -6]이고 [eqn: f(0)=0]일 때, [eqn: int _{0} ^{a} left{f(x)right} ^{2} dx]의
값은?

①

① [eqn: 9over2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 9over4]

④ [eqn: 9over5]	⑤ [eqn: 3over2]

028.	[2017년 3월 21번]

구간 [eqn: { [0,```1]]에서 정의된 연속함수 [eqn: { f(x)]에 대하여 함수

[eqn: F(x)=int_0 ^x f(t)dt```(0 le x le 1)]

은 다음 조건을 만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: F(x)=f(x)-x]

(나) [eqn: int_0 ^1 F(x)dx=e- { 5 over 2{ }]

④

ㄱ. [eqn: F(1)=e]

ㄴ. [eqn: int_0 ^1 xF(x)dx= { 1} over {6 }]

ㄷ. [eqn: int_0 ^1 left{F(x)right}&^2 dx= { 1} over {2 }e^2 -2e + { 11} over { 6}]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

029.	[2021학년도 9월 20번]

함수 [eqn: f(x)=sin(pirootx )]에 대하여 함수

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {} tf(x-t)dt```(x GEQ 0)]

이 [eqn: x=a]에서 극대인 모든 [eqn: a]를 작은 수부터 크기순으로
나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: k^2 < a_6 < (k+1)^2]인
자연수 [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: 11]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 23]

030.	[한성은 NM1379번]

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-6)+1]에 대하여

[eqn: g(s)= int _{0} ^{s} {} (e ^{f(x)} -e)dx]

이다. [eqn: 1 LEQ s LEQ 8]에서 [eqn: g(s)]가 최소가 되는 [eqn: s]값을 [eqn: a]라 하자.
[eqn: g' prime (a)]의 값은?

③

① [eqn: e]	② [eqn: 2e]	③ [eqn: 5e]

④ [eqn: 2e^2]	⑤ [eqn: 5e ^{2}]

031.	[2012학년도 수능 28번]

함수 [eqn: f(x)=3(x-1) ^{2} +5]에 대하여 함수 [eqn: F(x)]를

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {} f(t)dt]

라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: F(g(x))= {1} over {2} F(x)]를 만족시킨다. [eqn: g prime (2)=p]일 때, [eqn: 30p]의
값을 구하여라.

[eqn: 24]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

032.	[2018학년도 6월 30번]

실수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f(x)=ln(x ^{4} +1)-c```(c>0인```상수)]에
대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=int_a ^x f(t)dt]

라 하자. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 서로
다른 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값을 작은
수부터 크기순으로 나열하면 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: cdots], [eqn: alpha_m]([eqn: m]은 자연수)
이다. [eqn: a=alpha_1]일 때, 함수 [eqn: g(x)]와 상수 [eqn: k]는 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: mk timese^c]의 값을 구하여라.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

(나) [eqn: int_{alpha_1 }^{alpha_m }g(x)dx=k alpha_m int_0 ^1 |f(x)|dx]

[eqn: 16]

033.	[한성은 MV6314번]

함수 [eqn: f(x)= {cases{sinx&```(x LEQ pi )#-sinx&```(x> pi )}}]와 실수 [eqn: a]에 대하여
함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=int_a ^x f(t)dt]

라 하자. 함수 [eqn: g(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{- pi } ^{3 pi } {} g(x)dx=8 pi TIMES int _{0} ^{k} {} |f(x)|dx]일 때, [eqn: k]의 값은?

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) GEQ 0]이다.

④

① [eqn: 0]	② [eqn: { pi} over {6 }]	③ [eqn: { pi} over {4 }]

④ [eqn: {pi } over {2}]	⑤ [eqn: pi]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

034.	[2015학년도 9월 30번]

양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수
[eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int_{ { 7} over {2 }}^ {{11 } over {2 }} { f(x)} over {x }dx= { q} over {p }]라 할 때, [eqn: { p+q}]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)>0]이다.

(나) 임의의 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 세 점 [eqn: (0,```0)],

[eqn: (t,```f(t))], [eqn: (t+1,```f(t+1))]을 꼭짓점으로 하는

삼각형의 넓이가 [eqn: { t+1 } over {t }]이다.

(다) [eqn: int_1 ^2 { f(x)} over {x }dx=2]

[eqn: 127]

035.	[한성은 CP1573번]

[eqn: 0] 이상의 실수 전체에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가
모든 [eqn: 0] 이상의 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 2f(2x)-f(x)=g'(x)]

를 만족시킨다. 모든 [eqn: 0] 이상의 정수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: g(n)=n^2]일 때, [eqn: int_1 ^8 f(x)dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 21]

036.	[한성은 LP4745번]

연속 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int_-pi ^0 f(x) dx]의 값은?

(가) [eqn: int_-pi ^pi f(x) dx =6]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+pi ) =f(x) + sinx]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	PATTERN DRILL [적분의 연산]

037.	[2020학년도 6월 20번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든
실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: f(x)>0]

(나) [eqn: lnf(x)+2int_0 ^x (x-t)f(t)dt=0]

⑤

ㄱ. [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f(x)]는 감소한다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: F(x)]를 [eqn: F(x)=int_0 ^x f(t)dt]라 할 때,

[eqn: f(1)+left{F(1) right}^2 =1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

038.	[한성은 AZ8654번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의
한 부정적분을 [eqn: F(x)]라 할 때, 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: F(x)]는
다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: F(0)=2f(0)=4]일 때, [eqn: F(1)]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: F(x)>0]이다.

(나) [eqn: int _{} ^{} {} LEFT { {f(x)} over {F(x)} RIGHT } ^{2} dx= int _{} ^{} {} {f` prime (x)} over {F(x)} dx- {e ^{x}} over {1+e ^{x}}]

⑤

[eqn: int _{} ^{} {} {f` prime (x)} over {F(x)} dx= {f(x)} over {F(x)} + int _{} ^{} {left{ {f(x)} over {F(x)} right} ^{2} dx}]이므로 [eqn: {f(x)} over {F(x)} = {e ^{x}} over {1+e ^{x}} +C]이다.

조건에서 [eqn: C=0], 양 변을 적분하면 [eqn: lnF(x)=ln(1+e ^{x} )+D]이다. [eqn: F(x)=2(1+e ^{x} )]이다.

① [eqn: e]	② [eqn: e+1]	③ [eqn: e+2]

④ [eqn: 2e+1]	⑤ [eqn: 2e+2]