[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 함수의 그래프

5A ACADEMY

SOOHAN

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

[함수의 개형]

▷ 자주 보이는 함수의 그래프를 익혀두자.

[eqn: {x} over {x ^{2} +a ^{2}}]나 [eqn: (다항함수)times(지수함수)] 등등

▷ 간단한 합성이나 두 함수의 연산으로 나타난

함수의 그래프를 그릴 수 있도록

001.	[2019학년도 6월 26번]

좌표평면에서 점 [eqn: (2,``` a)]가 곡선 [eqn: y = 2 over { x^2 + b } (b>0 )]의
변곡점일 때, [eqn: b over a]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는

[eqn: 96`]

상수이다.)

002.	[한성은 DL9082번]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {x ^{2}} + {1} over {(x-a) ^{2}}]의 극솟값이 [eqn: 1]일 때,
양수 [eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 4]

003.	[2015학년도 9월 20번]

[eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=x ^{n} e ^{-x}]

일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: f`left( {n} over {2} right)=f`'left( {n} over {2} right)]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=n]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 점 [eqn: (0,```0)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

004.	[한성은 CD8504번]

곡선 [eqn: y= { 1} over {x^2 +a^2 }]의 변곡점 중 하나가 곡선 [eqn: y= { x} over {x^2 +b^2 }]의
극대점일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수이다.)

②

① [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {4}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {6}]

④  [eqn: {sqrt {3}} over {8}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {10}]

005.	[한성은 AB0576번]

곡선

[eqn: y=(lnax) ^{2}] ([eqn: a>0])

의 변곡점에서 접하는 직선의 기울기가 [eqn: 1]일 때,
[eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: 1overe]	② [eqn: {2} over {e}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {e} over {2}]	⑤ [eqn: e]

006.	[한성은 ML9108번]

함수

[eqn: f(x)=ln(x ^{2} +a)] ([eqn: a>0])

에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서의 접선의
[eqn: y]절편을 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: -1]일 때, [eqn: a]의
값은?

②

① [eqn: 1overe]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: e]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

[조건을 만족시키는 함수]

▷ 잘

007.	[2018학년도 6월 20번]

양수 [eqn: a]와 실수 [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=ae^3x +be^x]이
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은?

③

(가) [eqn: x_1 <ln { 2} over {3 }<x_2]를 만족시키는 모든 실수

[eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: f`''(x_1 )f`''(x_2 )<0]이다.

(나) 구간 [eqn: [k,```inf)]에서 함수 [eqn: f(x)]의 역함수가

존재하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값을 [eqn: m]이라

할 때, [eqn: f(2m)=- {80} over {9 }]이다.

① [eqn: -15]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -3]

008.	[2017학년도 6월 21번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: f(x)!=1]

(나) [eqn: f(x)+f(-x)=0]

(다) [eqn: f`'(x)=left{1+f(x)right}left{1+f(-x)right}]

①

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)!=-1]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 어떤 열린 구간에서 감소한다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]는 세 개의 변곡점을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

[미분가능성]

▷ 그래프가 [꺾여] 있는지를 봐야 하는 한다.

식으로 다루는 것과 구별되는 유형.

009.	[2013학년도 수능 21번]

함수 [eqn: f(x)=kx ^{2}e ^{-x} (k>0)]과 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선
[eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서 [eqn: x]축까지의 거리와
[eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값을 [eqn: g(t)]라 하자.
함수 [eqn: g(t)]가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는
[eqn: k]의 최댓값은?

⑤

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {1} over {sqrt {e}}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: sqrt {e}]	⑤ [eqn: e]

010.	[한성은 DV1798번]

함수

[eqn: f(x)= {e ^{x}} over {x ^{2} +b}] ([eqn: b]는 양의 상수)

에 대하여 함수 [eqn: |f(x)-f(alpha)|]가 실수 전체의 집합에서
미분가능하도록 하는 실수 [eqn: alpha]가 존재한다. [eqn: b]의 값은?

③

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 2]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

[강제당하는 함수]

▷ 대충 모르겠으면 선분(일차식)으로 가라든가.

평가원이 은근히 좋아하는 유형.

011.	[2014년 5월(예비평가) 18번]

[eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하고 [eqn: 2x le f(x) le 3x]이다.
[eqn: f(1)=2]이고 [eqn: f(2)=6]일 때, [eqn: f`'(1)+f`'(2)]의 값은?

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

012.	[2016학년도 6월 14번]

닫힌 구간 [eqn: [0,```4]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=2 sqrt {2} {rmsin} {pi } over {4} x]의
그래프가 그림과 같고, 직선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y=f(x)]의
그래프 위의 점 [eqn: rm A(1,```2)]를 지난다. 일차함수 [eqn: g(x)]가
닫힌 구간 [eqn: [0,```4]]에서 [eqn: f(x) le g(x)]를 만족시킬 때, [eqn: g(3)]의
값은?

③

① [eqn: pi]	② [eqn: pi+1]	③ [eqn: pi+2]

④ [eqn: pi +3]	⑤ [eqn: pi +4]

013.	[2015학년도 6월 30번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음
조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{3} ^{6} f(x)dx=a]라 할 때, [eqn: 6a]의 값을 구하여라.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 1le f`'(x) le3]이다.

(나) 모든 정수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의

그래프는 점 [eqn: (4n,```8n)], 점 [eqn: (4n+1,```8n+2)],

점 [eqn: (4n+2,```8n+5)], 점 [eqn: (4n+3,```8n+7)]을

모두 지난다.

(다) 모든 정수 [eqn: k]에 대하여 닫힌 구간

[eqn: [2k,```2k+1]]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는

각각 이차함수의 그래프의 일부이다.

[eqn: 167]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

014.	[2016학년도 수능 30번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음
조건을 만족시킨다.

[eqn: int_0 ^6 f(x)dx= { q} over { p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: x leb]일 때, [eqn: f(x)=a(x-b)^2 +c]이다.

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} { sqrt { 4-2f(t)} dt}]

이다.

[eqn: 35]

015.	[한성은 JQ2270번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음
조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{0} ^{8 pi } {} f(x)dx=14pi]일 때, [eqn: abc]의 값은?

(가) [eqn: a pi LEQ x LEQ (a+1) pi]일 때, [eqn: f(x)=b cos x+c]이다.

(단, [eqn: a]는 정수, [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)= int _{a pi} ^{x} {sqrt {4f(t)- LEFT { f(t) RIGHT } ^{2}} dt}]

이다.

①

① [eqn: -16]	② [eqn: -8]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

[변곡점에서 그은 접선]

▷ 변곡점은 기울기가 극대/극소가 되는 점이다.

016.	[한성은 ZA9999번]

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=(lnx) ^{2} +a]가 있다. [eqn: t>0]인
[eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(t)]는 원점과 점 [eqn: (t,```f(t))] 사이의
기울기이다. [eqn: g(t)]가 극대가 되는 [eqn: t]값이 존재하지 않을 때,
[eqn: a]의 최솟값은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

017.	[한성은 TZ8378번]

함수 [eqn: f(x)= { k} over { x^2 -2x+4}]가 있다. [eqn: t>0]인 [eqn: t]에 대하여
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]와 점 [eqn: (-2,```3)]을 지나는
직선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: g(t)]가 극댓값을 갖지
않을 때, [eqn: k]의 최댓값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

018.	[2014학년도 수능 30번]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: g(x)=f(x)e^-x]이 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: g(-2)timesg(4)]의 값을 구하여라.

(가) 점 [eqn: (1,```g(1))]과 점 [eqn: (4,```g(4))]는 곡선

[eqn: y=g(x)]의 변곡점이다.

(나) 점 [eqn: (0,```k)]에서 곡선 [eqn: y=g(x)]에 그은 접선의

개수가 [eqn: 3]인 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: -1<k<0]이다.

[eqn: 72]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

[기울기의 범위]

▷ [eqn: y=f`'(x)]의 그래프가 필요한 문항.

[eqn: RARROW] [eqn: f`'(x)=g(x)]라 두고 풀자.

※ [eqn: { f(x)-b} over {x-a }] : 두 점 [eqn: (a,```b)], [eqn: (x,```f(x))] 사이의 기울기.

019.	[2016학년도 6월 21번]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 실수 전체의 집합에서
정의된 함수

[eqn: f(x)=e^x+1 left{x^2 +(n-2)x-n+3 right}+ax]

가 역함수를 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: g(n)]이라
하자. [eqn: 1le g(n) le8]을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

④

① [eqn: 43]	② [eqn: 46] □□	③ [eqn: 49] □□

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 55]□□

020.	[2016학년도 9월 30번]

양수 [eqn: a]와 두 실수 [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수

[eqn: f(x)=(ax^2 +bx+c)e^x]

은 다음 조건을 만족시킨다.

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 최댓값을 [eqn: { k} over {e^3 }]라 할 때, [eqn: 60k]의
값을 구하여라.

(가) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=- sqrt { 3}]과 [eqn: x= sqrt { 3}]에서 극값을

갖는다.

(나) [eqn: 0 le x_1 <x_2]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여

[eqn: f(x_2 )-f(x_1 )+x_2 -x_1 ge0]이다.

[eqn: 15]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

[합성함수의 그래프]

▷ 방정식 [eqn: f(g(x))=0] 풀기

① [eqn: f(t)=0]을 푼다.

② [eqn: g(x)=t]를 푼다.

(함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=t] 이용)

▷ 합성함수의 그래프 : 증감조사, N축

021.	[2022학년도 수능 미적분 28번]

함수 [eqn: f(x) = 6pi (x-1)^2]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = 3f(x) +4cos f(x)]라 하자. [eqn: 0 < x <2]에서 함수
[eqn: g(x)]가 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는?

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

022.	[2021학년도 수능 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 실수
전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( sin ^{2} `pi{x} RIGHT )]가 다음
조건을 만족시킨다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =a+b sqrt {2}]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

(가) [eqn: 0<x<1]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극대가 되는 [eqn: x]의

개수가 [eqn: 3]이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {1} over {2}]이고 최솟값은 [eqn: 0]이다.

[eqn: 29]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

023.	[2019학년도 9월 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1over2]이고 최솟값이 [eqn: 0]인
사차함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x)=2x ^{4} e ^{-x}]에 대하여
합성함수 [eqn: h(x)=(f circg)(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f`'(5)]의 값을 구하여라. (단, [eqn: lim_x->inf`g(x)=0])

(가) 방정식 [eqn: h(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 4]이다.

(나) 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서 극소이다.

(다) 방정식 [eqn: h(x)=8]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 6]이다.

[eqn: 30]

024.	[한성은 JD9232번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음을
만족시킨다.

또, 함수 [eqn: g(x)=xe ^{-x}]에 대하여 합성함수
[eqn: h(x)=(f circg)(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f` prime left( { 2} over { e} right)]의 값은? (단, [eqn: lim _{x->inf} g(x)=0])

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: xf(x) ge 0]이다.

(가) [eqn: h(x)=0]의 근이 [eqn: 2]개다.

(나) [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1]에서 극소이다.

⑤

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {2} over {e ^{2}}]	③ [eqn: {3} over {e ^{2}}]

④ [eqn: {4} over {e ^{2}}]	⑤ [eqn: 5overe^2]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

[연습문제]

025.	[2022학년도 6월 미적분 27번]

두 함수

[eqn: f(x)=e ^{x}],   [eqn: g(x)=k`sinx]

에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 서로 다른 양의 실근의
개수가 [eqn: 3]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

④

① [eqn: sqrt {2} e ^{{3pi} over {2}}]	② [eqn: sqrt {2} e ^{{7pi} over {4}}]	③ [eqn: sqrt {2} e ^{2pi}]

④ [eqn: sqrt {2} e ^{{9pi} over {4}}]	⑤ [eqn: sqrt {2} e ^{{5pi} over {2}}]

026.	[2017년 3월 28번]

연속함수 [eqn: f(x)]와 그 역함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을
만족시킨다.

[eqn: { 12 int_ 3 ^7 |f(x)-x|dx]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(1)=1], [eqn: f(3)=3], [eqn: f(7)=7]

(나) [eqn: x!=3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`''(x)<0]이다.

(다) [eqn: int_1 ^7 f(x)=27], [eqn: int_1 ^3 g(x)dx=3]

[eqn: 24]

027.	[2018학년도 6월 16번]

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)= {cases{x ^{2} +k&```(x LEQ 2)#ln(x-2)&```(x>2)}}]

이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y= x+t]와 함수 [eqn: y= f(x)]의
그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가
[eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값이 한 개일 때, [eqn: k]의 값은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: - 9 over 4]	③ [eqn: - 5 over 2]

④ [eqn: - 11 over 4]	⑤ [eqn: -3]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

028.	[2016년 3월 30번]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} e ^{ax}][eqn: (a<0)]에 대하여 부등식

[eqn: f(x) GEQ t][eqn: (t>0)]

을 만족시키는 [eqn: x]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 정의하자. 함수 [eqn: g(t)]가
[eqn: t= {16} over {e ^{2}}]에서 불연속일 때, [eqn: 100a ^{2}]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: lim_x->inf f(x) =0])

[eqn: 25]

029.	[2015년 4월 21번]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} e ^{x} +k&``` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )#-x ^{2} &```(x<0)}}]

에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을
만족시키도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

①

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 미분가능하지 않은 점이 [eqn: 2]개다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

	PATTERN DRILL [함수의 그래프]

030.	[2022학년도 9월 미적분 29번]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= LEFT { f(x)+2 RIGHT } e ^{f(x)}]이
다음 조건을 만족시킨다.

방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,
[eqn: LEFT ( alpha-beta RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

(가) [eqn: f(a)=6]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a]에서

최댓값을 갖는다.

(나) [eqn: g(x)]는 [eqn: x=b], [eqn: x=b+6]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: 24]

031.	[2023학년도 6월 미적분 28번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1 over 2]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
함수 [eqn: g(x)]가

[eqn: g(x) =][eqn: cases{ln |f(x)|&```(f(x) ne 0)#1&```(f(x)=0)}]

이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 [eqn: g(x)`]의 극솟값은?

⑤

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x ne 1]인 모든 실수 [eqn: x]에서

연속이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x= 2]에서 극대이고,

함수 [eqn: |g(x)|]는 [eqn: x= 2]에서 극소이다.

(다) 방정식 [eqn: g(x) = 0]은 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 3]이다.

① [eqn: ln 13 over 27]	② [eqn: ln 16 over 27]	③ [eqn: ln 19 over 27]

④ [eqn: ln 22 over 27]	⑤ [eqn: ln 25 over 27]