[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 등비급수와 도형

5A ACADEMY

SOOHAN

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

[닮음비와 공비]

▷ 닮음비에서 공비 찾기 :

닮음비 [eqn: rarrow] 넓이비 [eqn: rarrow] 공비

※ 둘째 항 구하려고 하지 말 것.

001.	[2012학년도 수능 10번]

[eqn: rm bar{ A_1 B_1 }=1], [eqn: rm bar{B_1 C_1}=2]인 직사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]이 있다. 그림과
같이 선분 [eqn: rm B_1 C_1]의 중점을 [eqn: rm M_1]이라 하고, 선분 [eqn: rm A_1 D_1] 위에
[eqn: angle rm A_1 M_1 B_2 =angle C_2 M_1 D_1 = 15DEG], [eqn: anglerm B_2 M_1 C_2 = 60DEG]가 되도록
두 점 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2]를 정한다. 삼각형 [eqn: rm A_1 M_1 B_2]의 넓이와 삼각형
[eqn: rm C_2 M_1 D_1]의 넓이의 합을 [eqn: S_1]이라 하자. 사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]가
[eqn: rm bar{B_2 C_2 } = 2 bar {A_2 B_2}]인 직사각형이 되도록 그림과 같이 두 점
[eqn: rm A_2], [eqn: rm D_2]를 정한다. 선분 [eqn: rm B_2 C_2]의 중점을 [eqn: rm M_2]라 하고,
선분 [eqn: rm A_2 D_2] 위에 [eqn: angle rm A_2 M_2 B_3 = angle C_3 M_2 D_2 = 15DEG],
[eqn: angle rm B_3 M_2 C_3 = 60DEG]가 되도록 두 점 [eqn: rm B_3], [eqn: rm C_3]을 정한다.
삼각형 [eqn: rm A_2 M_2 B_3]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm C_3 M_2 D_2]의 넓이의 합을
[eqn: S_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: S_n]에 대하여
[eqn: sum_n=1 ^n S_n]의 값은?

②

① [eqn: { 2+ root3} over6]	② [eqn: {3- root3 } over2]	③ [eqn: {4+ root3 } over9]
④ [eqn: {5- root3} over5]	⑤ [eqn: {7- root3 } over8]

002.	[2016학년도 6월 15번]

반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: O_1]에 내접하는 정삼각형
[eqn: rm A_1 B_1 C_1]이 있다. 그림과 같이 직선 [eqn: rm A_1 C_1]과 평행하고
점 [eqn: rm B_1]을 지나지 않는 원 [eqn: O_1]의 접선 위에 두 점 [eqn: rm D_1], [eqn: rm E_1]을
사각형 [eqn: rm A_1 C_1 D_1 E_1]이 직사각형이 되도록 잡고, 직사각형
[eqn: rm A_1 C_1 D_1 E_1]의 내부와 원 [eqn: O_1]의 외부의 공통부분에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 정삼각형 [eqn: rm A_ 1 B_1 C_1]에 내접하는 원 [eqn: O_2]와 원 [eqn: O_2]에
내접하는 정삼각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2]를 그리고, 그림 [eqn: R_1]을 얻은
것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm A_2 C_2 D_2 E_2]를 그리고
직사각형 [eqn: RM A_2 C_2 D_2 E_2]의 내부와 원 [eqn: O_2]의 외부의 공통부분에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은?

①

① [eqn: 4sqrt3 -{16}over{9 }pi]	② [eqn: 4 sqrt3 -{5}over{3} pi]	③ [eqn: 4sqrt3 -{4}over{3} pi]

④ [eqn: 5sqrt3 -{16}over{9 }pi]	⑤ [eqn: 5sqrt3 -{5}over{3} pi]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

[갈라질 때 공비]

▷ 갈라지면 곱해줘.

003.	[2013학년도 9월 9번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원
[eqn: O]가 있다. [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하고 원 [eqn: O]와 반지름의
길이가 같은 두 원의 외부와 원 [eqn: O]의 내부의 공통부분인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2]등분한 선분을 각각 지름으로 하는
두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과
같은 방법으로 만들어지는  모양의 두 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자. 그림 [eqn: R _{2}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 4]등분한
선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에
각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는
모양의 네 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에
색칠되어 있는  모양의 모든 도형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라
할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은?

②

① [eqn: 3sqrt { 3}- { 4} over { 3}pi]	② [eqn: 2sqrt { 3}- {2 } over { 3}pi]	③ [eqn: 2sqrt { 3}- { piover2]

④ [eqn: 3sqrt { 3}- }pi]	⑤ [eqn: 3sqrt { 3}- { 2} over { 3}pi]

004.	[2016학년도 9월 20번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다.
정삼각형 [eqn: rm ABC]의 외심을 [eqn: \O]라 할 때, 중심이 [eqn: \A]이고
반지름의 길이가 [eqn: rm bar AO]인 원을 [eqn: O_{rmA}], 중심이 [eqn: \B]이고 반지름의
길이가 [eqn: rm bar BO]인 원을 [eqn: O_{rmB}], 중심이 [eqn: rm C]이고 반지름의 길이가
[eqn: rm bar CO]인 원을 [eqn: O_{rmC}]라 하자.
원 [eqn: O_{rmA}]와 원 [eqn: O_{rmB}]의 내부의 공통부분, 원 [eqn: O_{rmA}]와 원 [eqn: O_{rmC}]의
내부의 공통부분, 원 [eqn: O_{rmB}]와 원 [eqn: O_{rmC}]의 내부의 공통부분
중 삼각형 [eqn: rm ABC] 내부에 있는  모양의 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 원 [eqn: O_{rmA}]가 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]와 만나는 점을 각각
[eqn: rmD], [eqn: rmE], 원 [eqn: O_{rmB}]가 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmF],
[eqn: rmG], [eqn: O_{rmC}]가 두 선분 [eqn: rmBC], [eqn: rmAC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmI]라
하고, 세 정삼각형 [eqn: rmAFI], [eqn: rmBHD], [eqn: rmCEG]에서 [eqn: R_1]을 얻는
과정과 같은 방법으로 각각 만들어지는  모양의 도형
[eqn: 3]개에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에 새로 만들어진 세 개의 정삼각형에 각각 [eqn: R_1]에서
[eqn: R_2]를 얻는 과정과 같은 방법으로 만들어지는  모양의
도형 [eqn: 9]개에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은?

③

① [eqn: (2pi - 3 root 3 ) (root 3 +3 )]	② [eqn: (pi - root 3 ) (root 3 +3 )]

③ [eqn: (2pi - 3 root 3 ) (2root 3 +3 )]	④ [eqn: (pi - root 3 ) (2root 3 +3 )]

⑤ [eqn: (2pi - 2 root 3 ) (root 3 +3 )]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

[원과 직각삼각형]

▷ 원(또는 부채꼴)과 직각삼각형에서 피타고라스 :

① 구하는 길이를 [eqn: a]라 둔다.

② 원이나 부채꼴 위의 점은 중심과 연결

③ 특수각 있으면 찾아주고, 닮음처리

④ 직각삼각형에서 피타고라스를 돌린다.

005.	[2019학년도 9월(나형) 19번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{ A_1 B_1 } = 3], [eqn: rm bar { B_1 C_1 } = 1]인 직사각형 [eqn: rm OA_1 B_1 C_1]이
있다. 중심이 [eqn: rm C_1]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm bar { B_1 C_1 }]인 원과 선분
[eqn: rm OC_1]의 교점을 [eqn: rmD_1], 중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm bar { OD_1 }]인
원과 선분 [eqn: rm A_1 B_1]의 교점을 [eqn: rm E_1]이라 하자. 직사각형
[eqn: rm OA_1 B_1 C_1]에 호 [eqn: rm B_1 D_1], 호 [eqn: rm D_1 E_1], 선분 [eqn: rm B_1 E_1]로 둘러싸인
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라
하자. 그림 [eqn: R_1]에 선분 [eqn: rm OA_1] 위의 점 [eqn: rm A_2]와 호 [eqn: rm D_1 E_1] 위의
점 [eqn: rmB_2], 선분 [eqn: rm OD_1] 위의 점 [eqn: rm C_2]와 점 [eqn: rm O]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: rm bar { A_2 B_2 } : bar { B_2 C_2 } = 3 : 1]인 직사각형 [eqn: rm O A_2 B_2 C_ 2]를 그리고, 그림
[eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm O A_2 B_2 C_ 2]에
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n ``]의 값은?

②

① [eqn: 4 - { 2 root 3 } over 3 - 7 over 9 pi]	② [eqn: 5 - { 5 root 3 } over 6 - 35over 36 pi]

③ [eqn: 6 - root 3 - 7 over 6 pi]	④ [eqn: 7 - { 7 root 3 } over 6 - 49 over 36 pi]

⑤ [eqn: 8 - { 4 root 3 } over 3 - 14 over 9 pi]

006.	[2014학년도 수능 15번]

직사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에서 [eqn: bar{rmA _{1} B _{1}} =1], [eqn: bar{rm A _{1} D _{1} it} =2]이다. 그림과
같이 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1}]과 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]의 중점을 각각 [eqn: rmM _{1}], [eqn: rmN _{1}]이라
하자. 중심이 [eqn: rmN _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: bar{rmB _{1} N _{1}}]이고 중심각의
크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmN _{1} M _{1} B _{1}]을 그리고, 중심이 [eqn: rmD _{1}],
반지름의 길이가 [eqn: bar{rmC _{1} D _{1}}]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴
[eqn: rmD _{1} M _{1} C _{1}]을 그린다. 부채꼴 [eqn: rmN _{1} M _{1} B _{1}]의 호 [eqn: rmM _{1} B _{1}]과 선분
[eqn: rmM _{1} B _{1}]로 둘러싸인 부분과 부채꼴 [eqn: rmD _{1} M _{1} C _{1}]의 호 [eqn: rmM _{1} C _{1}]과
선분 [eqn: rmM _{1} C _{1}]로 둘러싸인 부분인  모양에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmM _{1} B _{1}] 위의 점 [eqn: rmA _{2}], 호 [eqn: rmM _{1} C _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]와
변 [eqn: rmB _{1} C _{1}] 위의 두 점 [eqn: rmB_2], [eqn: rmC_2]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: bar{rm A _{2} B _{2} it} : bar{rm A _{2} D _{2} it} =1:2]인 직사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 그리고,
직사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에서 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은
방법으로 만들어지는  모양에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {25} over {19} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]	② [eqn: {5} over {4} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]	③ [eqn: {25} over {21} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]
④ [eqn: {25} over {22} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: {25} over {23} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

[닮음]

▷ 닮음이 원래 잘 안 보인다.

좌표에 올리는 것도 추천.

007.	[2017학년도 6월(나형) 17번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]에서
선분 [eqn: rm A_1 B_1]과 선분 [eqn: rm B_1 C_1]의 중점을 각각 [eqn: rm E_1], [eqn: rm F_1]이라 하자.
정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 내부와 삼각형 [eqn: rm E_1 F_1 D_1]의 외부의
공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 선분 [eqn: rm D_1 E_1] 위의 점 [eqn: rm A_2], 선분 [eqn: rm D_1 F_1] 위의 점
[eqn: rm D_2]와 선분 [eqn: rm E_1 F_1] 위의 두 점 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2]를 꼭짓점으로 하는
정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]를 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]에
그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 삼각형 [eqn: rm E_2 F_2 D_2]를
그리고 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 내부와 삼각형 [eqn: rm E_2 F_2 D_2]의
외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n-> inf} { S_n}]의 값은?

⑤

① [eqn: 125 over 37]	② [eqn: 125 over 38]	③ [eqn: 125 over 39]

④ [eqn: 25 over 8]	⑤ [eqn: 125 over 41]

008.	[한성은 RD3104번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =4]인 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 선분 [eqn: rmAD]를
[eqn: 3:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE]라 하고, 삼각형 [eqn: rmABE]에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rm F], 선분 [eqn: rmCD] 위의 점 [eqn: rm G], 선분 [eqn: rmBE] 위의
점 [eqn: rm H]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm HFCG]를 그리고
정사각형 [eqn: rm HFCG]에 그림 [eqn: R_{1 }]을 얻는 것과 같은 방법으로
삼각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2 }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { S_n}]의 값은?

③

닮음비는 [eqn: 7:4]이다. 첫째항은 [eqn: 6], 공비는 [eqn: {16} over {49}]인 등비급수.

[eqn: R_1]

[eqn: R_2]

① [eqn: {292} over {33}]	② [eqn: {293} over {33}]	③ [eqn: {98} over {11}]

④ [eqn: {295} over {33}]	⑤ [eqn: {296} over {33}]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

[사인법칙과 코사인법칙]

▷ 사인법칙/코사인법칙 사용되는 추세

▷ 중3 과정의 원 관련 내용 정리 필요 :

중심각과 원주각, 접선과 현이 이루는 각,

원에 내접하는 사각형, 방멱(원과 비례) 등

009.	[2023학년도 6월 미적분 26번]

그림과 같이 [eqn: {bar{rmA _{1} B _{1}}} =2], [eqn: {bar{rm B _{1} A _{2}}} =3]이고 [eqn: rm ANGLE A _{1} B _{1} A _{2} = {pi } over {3}]인
삼각형 [eqn: rm A _{1} A _{2} B _{1}]과 이 삼각형의 외접원 [eqn: O _{1}]이 있다. 점 [eqn: rmA _{2}]를
지나고 직선 [eqn: rmA _{1} B _{1}]에 평행한 직선이 원 [eqn: O _{1}]과 만나는 점
중 [eqn: rmA _{2}]가 아닌 점을 [eqn: rmB _{2}]라 하자. 두 선분 [eqn: rm A _{1} B _{2}], [eqn: rm B _{1} A _{2}]가
만나는 점을 [eqn: rmC _{1}]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm A _{1} A _{2} C _{1}], [eqn: rm B _{1} C _{1} B _{2}]로
만들어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라
하자. 그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rmB _{2}]를 지나고 직선 [eqn: rmB _{1} A _{2}]에 평행한
직선이 직선 [eqn: rm A _{1} A _{2}]와 만나는 점을 [eqn: rmA _{3}]이라 할 때,
삼각형 [eqn: rmA _{2} A _{3} B _{2}]의 외접원을 [eqn: O _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 [eqn: rmB _{3}], [eqn: rmC _{2}]를
잡아 원 [eqn: O _{2}]에  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때 [eqn: lim _{n->inf} {S _{n}}]의 값은?

②

① [eqn: {11 sqrt {3}} over {9}]	② [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {13 sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: {14 sqrt {3}} over {9}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]

010.	[2021학년도 6월 20번]

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB _{1}}} =3], [eqn: rm {bar{AC _{1}}} =2]이고 [eqn: rm ANGLE B _{1} AC _{1} = {pi } over {3}]인
삼각형 [eqn: rm AB _{1} C _{1]이 있다. [eqn: rm ANGLE B _{1} AC _{1}]의 이등분선이 선분
[eqn: rm B _{1} C _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm D _{1}], 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D _{1}], [eqn: rm C _{1}]을 지나는 원이
선분 [eqn: rm AB _{1}]과 만나는 점 중 [eqn: rm A]가 아닌 점을 [eqn: rm B _{2}]라 할 때,
두 선분 [eqn: rm B _{1} B _{2}], [eqn: rm B _{1} D _{1}]과 호 [eqn: rm B _{2} D _{1}]로 둘러싸인 부분과
선분 [eqn: rm C _{1} D _{1}]과 호 [eqn: rm C _{1} D _{1}]로 둘러싸인 부분인  모양의
도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rm B _{2}]를 지나고 직선 [eqn: rm B _{1} C _{1}]에 평행한 직선이
두 선분 [eqn: rm AD _{1}], [eqn: rm AC _{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm D _{2}], [eqn: rm C _{2}]라 하자.
세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D _{2}], [eqn: rm C _{2}]를 지나는 원이 선분 [eqn: rm AB _{2}]와 만나는 점 중
[eqn: rm A]가 아닌 점을 [eqn: rm B _{3}]이라 할 때, 두 선분 [eqn: rm B _{2} B _{3}], [eqn: rm B _{2} D _{2}]와
호 [eqn: rm B _{3} D _{2}]로 둘러싸인 부분과 선분 [eqn: rm C _{2} D _{2}]와 호 [eqn: rm C _{2} D _{2}]로
둘러싸인 부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {S _{n}}]의 값은?

①

① [eqn: {27 sqrt {3}} over {46}]	② [eqn: {15 sqrt {3}} over {23}]	③ [eqn: {33 sqrt {3}} over {46}]

④ [eqn: {18 sqrt {3}} over {23}]	⑤ [eqn: {39 sqrt {3}} over {46}]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

[야매 소개]

▷ 야매1(프렉탈)

첫 번째 도형 뜯어내고 프렉탈(자기복제도형)임을

이용하여 [eqn: S=A+rS]이다. (실제로 유용하진 않다.

어차피 [eqn: A]와 [eqn: r]을 구해야 하기 때문.)

▷ 야매2(비율)

차지하고 있는 비율을 따져본다.

가끔 쓸모 있지만 실수하기 좋으니 조심해서.

011.	[2007학년도 9월 14번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형을 넓이가 같은
[eqn: 4]개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인
사분원 [eqn: 2]개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은
도형을 [eqn: T_1]이라 하자.
[eqn: T_1]에서 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 2]개를 각각 넓이가
같은 [eqn: 4]개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인
사분원 [eqn: 4]개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을
[eqn: T_2]라 하자.
[eqn: T_2]에서 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 정사각형 [eqn: 4]개를 각각 넓이가
같은 [eqn: 4]개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {4]인
사분원 [eqn: 8]개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을
[eqn: T_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형을 [eqn: T_n]이라
하고 그 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim from {n->inf} S_n]의 값은?

④

				[eqn: cdots]
[eqn: T_1]	[eqn: T_2]	[eqn: T_3]	[eqn: T_4]	[eqn: cdots]

① [eqn: {pi} over {2}]	② [eqn: {2} over {3} pi]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

012.	[2016학년도 수능 15번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 5]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]의
대각선 [eqn: rm BD]의 [eqn: 5]등분점을 점 [eqn: rm B]에서 가까운 순서대로 각각
[eqn: rmP_1], [eqn: rm P_2], [eqn: rm P_3], [eqn: rm P_4]라 하고, 선분 [eqn: rm BP_1], [eqn: rm P_2 P_3], [eqn: rm P_4 D]를 각각
대각선으로 하는 정사각형과 선분 [eqn: rm P_1 P_2], [eqn: rm P_2 P_3]를 각각
지름으로 하는 원을 그린 후,  모양의 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 선분 [eqn: rm P_2 P_3]을 대각선으로 하는 정사각형의
꼭짓점 중 점 [eqn: rm A]와 가장 가까운 점을 [eqn: rm Q_1], 점 [eqn: rm C]와 가장
가까운 점을 [eqn: rm Q_2]라 하자. 선분 [eqn: rm AQ_1]을 대각선으로 하는
정사각형과 선분 [eqn: rm CQ_2]를 대각선으로 하는 정사각형을
그리고, 새로 그려진 [eqn: 2]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R_1]을
얻는 것과 같은 방법으로  모양의 도형을 각각
그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에서 선분 [eqn: rm AQ_1]을 대각선으로 하는 정사각형과
선분 [eqn: rm CQ_2]를 대각선으로 하는 정사각형에 그림 [eqn: R_1]에서
그림 [eqn: R_2]를 얻는 것과 같은 방법으로  모양의 도형을
각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf {S_n}]의 값은?

②

① [eqn: 24over17 (pi +3)]	② [eqn: 25 over17 (pi +3)]	③ [eqn: 26 over17 (pi+3)]

④ [eqn: 24over17 (2pi+1)]	⑤ [eqn: 27over17 (2pi +1)]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

[연습문제]

013.	[2009학년도 9월 17번]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: \ABCD]가 있다. 그림과
같이 정사각형 [eqn: \ABCD] 안에 두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]를 각각 중심으로
하고 변 [eqn: \AB]를 반지름으로 하는 [eqn: 2]개의 사분원을 그린다.
이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을
[eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]이라 하자.
정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1] 안에 두 점 [eqn: rmA_1], [eqn: \B_1]을 각각 중심으로
하고 변 [eqn: rmA_1 B_1]을 반지름으로 하는 [eqn: 2]개의 사분원을 그린다.
이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을
[eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 정사각형
[eqn: {\A}_n {\B}_n {\C}_n {\D}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^inf S_n]의 값은?

②

① [eqn: {3}over{8}]	② [eqn: {9}over{16}]	③ [eqn: {4}over{5}]

④ [eqn: {9}over{8}]	⑤ [eqn: {23}over{16}]

014.	[2020학년도 수능(나형) 18번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 5]인 정사각형 [eqn: rm ABCD it]에
중심이 [eqn: {rmA}]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmABD}]를
그린다. 선분 [eqn: {rmAD}]를 [eqn: 3 :2]로 내분하는 점을 [eqn: {rmA}_{1}], 점 [eqn: {rmA}_{1}]을
지나고 선분 [eqn: {rmAB}]에 평행한 직선이 호 [eqn: {rmBD}]와 만나는 점을
[eqn: {rmB}_{1}]이라 하자.
선분 [eqn: {rmA}_{1}{rmB}_{1}]을 한 변으로 하고 선분 [eqn: {rmDC}]와 만나도록
정사각형 [eqn: {rm A}_{1}{rmB}_{1}{rm C}_{1}{rmD}_{1}]을 그린 후, 중심이 [eqn: {rmD}_{1}]이고 중심각의
크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rm D}_{1}{rmA}_{1}{rm C}_{1}]을 그린다. 선분 [eqn: {rmDC}]가
호 [eqn: {rm A}_{1}{rm C}_{1}], 선분 [eqn: {rm B}_{1}{rm C}_{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: {rmE}_{1}], [eqn: {rmF`}_{1}]이라 하고,
두 선분 [eqn: {rmDA}_{1}], [eqn: {rmDE}_{1}]과 호 [eqn: {rmA}_{1}{rmE}_{1}]로 둘러싸인 부분과 두 선분
[eqn: {rmE}_{1}{rmF`}_{1}], [eqn: {rm F`}_{1}{rm C}_{1}]과 호 [eqn: {rm E}_{1}{rm C}_{1}]로 둘러싸인 부분인  모양의
도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1}]에서 정사각형 [eqn: {rm A}_{1}{rmB}_{1}{rm C}_{1}{rmD}_{1}]에 중심이 [eqn: {rmA}_{1}]이고
중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmA}_{1}{rmB}_{1}{rmD}_{1}]을 그린다. 선분
[eqn: {rmA}_{1}{rmD}_{1}]을 [eqn: 3 :2]로 내분하는 점을 [eqn: {rmA}_{2}], 점 [eqn: {rmA}_{2}]를 지나고 선분
[eqn: {rmA}_{1}{rmB}_{1}]에 평행한 직선이 호 [eqn: {rmB}_{1}{rmD}_{1}]과 만나는 점을 [eqn: {rmB}_{2}]라 하자.
선분 [eqn: {rmA}_{2}{rmB}_{2}]를 한 변으로 하고 선분 [eqn: {rm D}_{1}{rm C}_{1}]과 만나도록
정사각형 [eqn: {rm A}_{2}{rmB}_{2}{rm C}_{2}{rmD}_{2}]를 그린 후, 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은
방법으로 정사각형 [eqn: {rm A}_{2}{rmB}_{2}{rm C}_{2}{rmD}_{2}]에  모양의 도형을 그리고
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim_{n ->inf }S_{n}]의 값은?

⑤

① [eqn: {50}over{3} LEFT (3-sqrt{3}+ {pi}over{6} RIGHT )]	② [eqn: {100}over{9} LEFT (3-sqrt{3}+ {pi}over{3} RIGHT )]

③ [eqn: {50}over{3} LEFT (2-sqrt{3}+ {pi}over{3} RIGHT )]	④ [eqn: {100}over{9} LEFT (3-sqrt{3}+ {pi}over{6} RIGHT )]

⑤ [eqn: {100}over{9} LEFT (2-sqrt{3}+ {pi}over{3} RIGHT )]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

015.	[2022학년도 6월 미적분 26번]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고
중심각의 크기가 [eqn: {5pi} over {12}]인 부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} O _{2}]가 있다.
호 [eqn: rmA _{1} O _{2}] 위에 점 [eqn: rmB _{1}]을 [eqn: rmANGLE A _{1} O _{1} B _{1} = {pi } over {4}]가 되도록 잡고,
부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} B _{1}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rmO _{2}]를 지나고 선분 [eqn: rmO _{1} A _{1}]에 평행한 직선이
직선 [eqn: rmO _{1} B _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rmA _{2}]라 하자. 중심이 [eqn: O _{2}]이고
중심각의 크기가 [eqn: {5pi} over {12}]인 부채꼴 [eqn: rmO _{2} A _{2} O _{3}]을 부채꼴
[eqn: rmO _{1} A _{1} B _{1}]과 겹치지 않도록 그린다. 호 [eqn: rmA _{2} O _{3}] 위에 점 [eqn: rmB _{2}]를
[eqn: rm ANGLE A _{2} O _{2} B _{2} = {pi} over {4}]가 되도록 잡고, 부채꼴 [eqn: rmO _{2} A _{2} B _{2}]에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->`inf} {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {3pi} over {16}]	② [eqn: {7pi} over {32}]	③ [eqn: {pi} over {4}]

④ [eqn: {9pi} over {32}]	⑤ [eqn: {5pi} over {16}]

016.	[2021학년도 수능 14번]

그림과 같이 [eqn: bar{rmAB _{1} }=2], [eqn: bar{rmAD _{1} }=4]인 직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]이
있다. 선분 [eqn: rmAD _{1}]을 [eqn: 3:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE _{1}]이라 하고,
직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]의 내부에 점 [eqn: rmF _{1}]을 [eqn: bar{rmF _{1} E _{1} }=bar{rmF _{1} C _{1} }],
[eqn: ANGLE{rmE _{1} F _{1} C _{1} }= {pi} over {2}]가 되도록 잡고 삼각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} C _{1}]을 그린다.
사각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} C _{1} D _{1}]을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: rmAB _{1}] 위의 점 [eqn: rmB _{2}], 선분 [eqn: rmE _{1} F _{1}] 위의
점 [eqn: rmC _{2}], 선분 [eqn: rmAE _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]와 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: bar{rmAB _{2} }:bar{rmAD _{2} }=1:2]인 직사각형 [eqn: rmAB _{2} C _{2} D _{2}]에 삼각형 [eqn: rmE _{2} F _{2} C _{2}]를
그리고 사각형 [eqn: rmE _{2} F _{2} C _{2} D _{2}]를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라
하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에
색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의
값은?

③

① [eqn: {441} over {103}]	② [eqn: {441} over {109}]	③ [eqn: {441} over {115}]

④ [eqn: {441} over {121}]	⑤ [eqn: {441} over {127}]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

017.	[2022학년도 9월 미적분 27번]

그림과 같이 [eqn: bar{rmAB _{1} }}=1], [eqn: bar{rmB _{1} C _{1} }}=2]인 직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]이
있다. [eqn: ANGLE{rmAD _{1} C _{1}}]을 삼등분하는 두 직선이 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]과
만나는 점 중 점 [eqn: rmB _{1}]에 가까운 점을 [eqn: rmE _{1}], 점 [eqn: rmC _{1}]에 가까운
점을 [eqn: rmF _{1}]이라 하자. [eqn: bar{rmE _{1} F _{1} }}=bar{rmF _{1} G _{1} }}], [eqn: ANGLE{rmE _{1} F _{1} G _{1} }}= {pi} over {2}]이고
선분 [eqn: rmAD _{1}]과 선분 [eqn: rmF _{1} G _{1}]이 만나도록 점 [eqn: rmG _{1}]을 잡아
삼각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} G _{1}]을 그린다.
선분 [eqn: rmE _{1} D _{1}]과 선분 [eqn: rmF _{1} G _{1}]이 만나는 점을 [eqn: rmH _{1}]이라 할 때,
두 삼각형 [eqn: rmG _{1} E _{1} H _{1}], [eqn: rmH _{1} F _{1} D _{1}]로 만들어진  모양의 도형에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}] 이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmAB _{1}] 위의 점 [eqn: rmB _{2}], 선분 [eqn: rmE _{1} G _{1}] 위의 점 [eqn: rmC _{2}],
선분 [eqn: rmAD _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]와 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: {bar{rm AB _{2} it}} :{bar{rm B _{2} C _{2} it}} =1:2]인 직사각형 [eqn: rmAB _{2} C _{2} D _{2}]를 그린다. 직사각형
[eqn: rmAB _{2} C _{2} D _{2}]에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {9}]	② [eqn: {5 sqrt {3}} over {18}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {7 sqrt {3}} over {18}]	⑤ [eqn: {4 sqrt {3}} over {9}]

018.	[2018학년도 9월(나형) 18번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: O_{1}]에 내접하는
정삼각형 [eqn: rmA_{1}B_{1}C_{1}]이 있다. 점 [eqn: rmA_{1}]에서 선분 [eqn: rmB_{1}C_{1}]에 내린
수선의 발을 [eqn: rmD_{1}]이라 하고, 선분 [eqn: rmA_{1}C_{1}]을 [eqn: 2:1]로 내분하는
점을 [eqn: rmE_{1}]이라 하자. 점 [eqn: rmA_{1}]을 포함하지 않는 호 [eqn: rmB_{1}C_{1}]과 선분
[eqn: rmB_{1}C_{1}]로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 [eqn: rmA_{1}D_{1}E_{1}]의 내부를
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1}]에 삼각형 [eqn: rmA_{1}B_{1}D_{1}]에 내접하는 원 [eqn: O_{2}]와 원 [eqn: O_{2}]에
내접하는 정삼각형 [eqn: rmA_{2}B_{2}C_{2}]를 그리고, 점 [eqn: rmA_{2}]에서 선분
[eqn: rmB_{2}C_{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD_{2}], 선분 [eqn: rmA_{2}C_{2}]를 [eqn: 2:1]로
내분하는 점을 [eqn: rmE_{2}]라 하자. 점 [eqn: rmA_{2}]를 포함하지 않는 호
[eqn: rmB_{2}C_{2}]와 선분 [eqn: rmB_{2}C_{2}]로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형
[eqn: rmA_{2}D_{2}E_{2}]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {16left(3root{3}-2right)pi}over{69}]	② [eqn: {16left(3root{3}-1right)pi}over{65}]

③ [eqn: {32left(3root{3}-2right)pi}over{69}]	④ [eqn: {32left(3root{3}-1right)pi}over{69}]

⑤ [eqn: {32 LEFT ( 3 sqrt {3} -1 RIGHT ) pi } over {65}]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

019.	[2014학년도 9월 18번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정팔각형의 이웃한
두 변을 변으로 하는 [eqn: 4]개의 평행사변형을 서로 겹치지
않게 그리고, 이 평행사변형 [eqn: 4]개를 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 정팔각형의 내부에 있는 평행사변형의 꼭짓점
[eqn: 4]개를 꼭짓점으로 포함하는 정팔각형을 그린 후, 새로
그려진 정팔각형에 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로
[eqn: 4]개의 평행사변형을 그리고 색칠하여 얻는 그림을 [eqn: R_2]라
하자.
그림 [eqn: R_2]에 가장 작은 정팔각형의 내부에 있는
평행사변형의 꼭짓점 [eqn: 4]개를 꼭짓점으로 포함하는
정팔각형을 그린 후, 새로 그려진 정팔각형에 그림 [eqn: R_1]을
얻는 것과 같은 방법으로 [eqn: 4]개의 평행사변형을 그리고
색칠하여 얻는 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은?

①

① [eqn: 2+root2]	② [eqn: 1+2root2]	③ [eqn: 3+root2]
④ [eqn: 1+3root2]	⑤ [eqn: 4+root2]

[TIP1] 8등분하여 한 이등변삼각형 안에서 닮음을 찾아보자.

* 워낙 혼자 튀는 문항이라 풀 필요 없을 것 같기도 하다.

020.	[2018학년도 수능(나형) 19번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1}]이
있다. 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]의 중점을 [eqn: rmD _{1}]이라 하고, 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}] 위의
[eqn: rmbar{C _{1} D _{1} }=bar{C _{1} B _{2} }]인 점 [eqn: rmB _{2}]에 대하여 중심이 [eqn: rmC _{1}]인 부채꼴
[eqn: rmC _{1} D _{1} B _{2}]를 그린다. 점 [eqn: rmB _{2}]에서 선분 [eqn: rmC _{1} D _{1}]에 내린 수선의
발을 [eqn: rmA _{2}], 선분 [eqn: rmC _{1} B _{2}]의 중점을 [eqn: rmC _{2}]라 하자. 두 선분 [eqn: rmB _{1} B _{2}],
[eqn: rmB _{1} D _{1}]과 호 [eqn: rmD _{1} B _{2}]로 둘러싸인 영역과 삼각형 [eqn: rmC _{1} A _{2} C _{2}]의
내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: rmA _{2} B _{2}]의 중점을 [eqn: rmD _{2}]라 하고, 선분 [eqn: rmB _{2} C _{2}]
위의 [eqn: rmbar{C _{2} D _{2} }=bar{C _{2} B _{3} }]인 점 [eqn: rmB _{3}]에 대하여 중심이 [eqn: rmC _{2}]인 부채꼴
[eqn: rmC _{2} D _{2} B _{3}]을 그린다. 점 [eqn: rmB _{3}]에서 선분 [eqn: rmC _{2} D _{2}]에 내린 수선의
발을 [eqn: rmA _{3}], 선분 [eqn: rmC _{2} B _{3}]의 중점을 [eqn: rmC _{3}]이라 하자. 두 선분 [eqn: rmB _{2} B _{3}],
[eqn: rmB _{2} D _{2}]와 호 [eqn: rmD _{2} B _{3}]으로 둘러싸인 영역과 삼각형 [eqn: rmC _{2} A _{3} C _{3}]의
내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

②

① [eqn: {11 sqrt {3} -4pi} over {56}]	② [eqn: {11 sqrt {3} -4pi} over {52}]	③ [eqn: {15 sqrt {3} -6pi} over {56}]

④ [eqn: {15 sqrt {3} -6pi} over {52}]	⑤ [eqn: {15 sqrt {3} -4pi} over {52}]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

021.	[2019학년도 수능(나형) 16번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{OA _{1}} =4], [eqn: rmbar OB_1 =4sqrt3]인 직각삼각형
[eqn: rmOA_1 B_1]이 있다. 중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm {bar{OA _{1}}}]인
원이 선분 [eqn: rm OB _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm B _{2}]라 하자. 삼각형
[eqn: rmOA_1 B_1]의 내부와 부채꼴 [eqn: rm OA _{1} B _{2}]의 내부에서 공통된 부분을
제외한  모양의 도형에 칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 점 [eqn: rmB_2]를 지나고 선분 [eqn: rmA_1 B_1]에 평행한 직선이
선분 [eqn: rmOA_1]과 만나는 점을 [eqn: rmA_2], 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의
길이가 [eqn: rm bar OA_2]인 원이 선분 [eqn: rmOB_2]와 만나는 점을 [eqn: rmB_3]이라
하자. 삼각형 [eqn: rmOA_2 B_2]의 내부와 부채꼴 [eqn: rmOA_2 B_3]의 내부에서
공통된 부분을 제외한  모양의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { S_n}]의 값은?

④

① [eqn: { 3} over { 2} `pi`]	② [eqn: { 5} over { 3}pi]	③ [eqn: { 11} over { 6} pi]

④ [eqn: 2 pi]	⑤ [eqn: { 13} over { 6}`pi]

022.	[2015학년도 6월 15번]

그림과 같이 [eqn: rm bar {A_1 D_1 } =2], [eqn: rm bar { A_1 B_1 } = 1]인 직사각형
[eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]에서 선분 [eqn: rm A_1 D_1]의 중점을 [eqn: rm M_1]이라 하자. 중심이
[eqn: rm A_1], 반지름의 길이가 [eqn: rm bar{ A_1 B_1 }]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2]인
부채꼴 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]을 그리고, 부채꼴 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 부채꼴 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]의 호 [eqn: rm B_1 M_1]이 선분 [eqn: rm A_1 C_1]과
만나는 점을 [eqn: rm A_2]라 하고, 중심이 [eqn: rm A_1], 반지름의 길이가
[eqn: rm bar { A_1 D_1 }]인 원이 선분 [eqn: rm A_ 1 C_1]과 만나는 점을 [eqn: rm C_2]라 하자. 가로와
세로의 길이의 비가 [eqn: 2:1]이고 가로가 선분 [eqn: rm A_1 D_1]과 평행한
직사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]를 그리고, 직사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]에서
그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim from { n `->` inf} S_n]의 값은?

①

① [eqn: 5 over 16 pi]	② [eqn: 11 over 32 pi]	③ [eqn: 3 over 8 pi]

④ [eqn: 13 over 32 pi]	⑤ [eqn: 7 over 16 pi]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

023.	[2020학년도 6월(나형) 17번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: {rm A_{1}B_{1}C_{1}D_{1 }}]이
있다. 선분 [eqn: {rm C_{1}D_{1 }}]의 중점을 [eqn: {rmE_{1}}]이라 하고, 직선 [eqn: {rm A_{1}B_{1 }}] 위에
두 점 [eqn: {rm F_{1}}], [eqn: {rm G_{1}}]을 [eqn: bar{{rm E_{1}F_{1 }}}= bar{{rm E_{1}G_{1}}}], [eqn: bar{{rm E_{1}F_{1}}} : bar{{rm F_{1}G_{1}}}= 5 : 6]이 되도록
잡고 이등변삼각형 [eqn: {rm E_{1}F_{1}G_{1}}]을 그린다. 선분 [eqn: {rm D_{1}A_{1}}_{ }]과 선분
[eqn: {rm E_{1}F_{1}}]의 교점을 [eqn: {rm P_{1}}], 선분 [eqn: {rm B_{1}C_{1}}]과 선분 [eqn: {rm G_{1}E_{1}}]의 교점을
[eqn: {rm Q_{1}}]이라 할 때, 네 삼각형 [eqn: {rm E_{1}D_{1}P_{1}}], [eqn: {rm P_{1}F_{1}A_{1}}], [eqn: {rm Q_{1}B_{1}G_{1}}],
[eqn: {rm E_{1}Q_{1}C_{1}}]로 만들어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{1 }]이라 하자. 그림 [eqn: { R _{1}}]에 선분 [eqn: {rm F_{1}G_{1}}] 위의 두 점 [eqn: {rm A_{2 }}],
[eqn: {rm B_{2 }}]와 선분 [eqn: {rm G_{1}E_{1 }}] 위의 점 [eqn: {rm C_{2}}], 선분 [eqn: {rm E_{1}F_{1}}] 위의 점 [eqn: {rm D_{2}}]를
꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: {rm A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}}]를 그리고, 그림 [eqn: R _{1 }]을
얻는 것과 같은 방법으로 정사각형 [eqn: {rm A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}}]에
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2 }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n }]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n }]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` inf }S_{n }]의 값은?

②

① [eqn: {61}over{6}]	② [eqn: {125}over{12}]	③ [eqn: {32}over{3}]

④ [eqn: {131}over{12}]	⑤ [eqn: {67}over{6}]

024.	[2019학년도 6월(나형) 18번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{A _{1} B _{1}} =1], [eqn: rm bar{A _{1} D _{1}} =2]인 직사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]
이 있다. 선분 [eqn: rm A _{1} D _{1}] 위의 [eqn: rm bar{B _{1} C _{1}} = bar{B _{1} E _{1}}], [eqn: rm bar{C _{1} B _{1}} = bar{C _{1} F _{1}}]인
두 점 [eqn: rm E _1], [eqn: rmF _{1}]에 대하여 중심이 [eqn: rm { B _{1} }]인 부채꼴 [eqn: rm { B _{1} E _{1} C _{1} }]과
중심이 [eqn: rm { C _{1} }]인 부채꼴 [eqn: rm { C _{1} F _{1} B _{1} }]을 각각 직사각형 [eqn: rm { A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} }]
내부에 그리고, 선분 [eqn: rm { B _{1} E _{1} }]과 [eqn: rm { C _{1} F _{1} }]의 교점을 [eqn: rm { G _{1} }]이라 하자.
두 선분 [eqn: rm { G _{1} F _{1} }], [eqn: rm { G _{1} B _{1} }]과 호 [eqn: rm { F _{1} B _{1} }]로 둘러싸인 부분과 두
선분 [eqn: rm { G _{1} E _{1} }], [eqn: rm { G _{1} C _{1} }]과 호 [eqn: rm { E _{1} C _{1} }]로 둘러싸인 부분인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: { R _{1} }]이라 하자.
그림 [eqn: { R _{1} }]에서 선분 [eqn: rm { B _{1} G _{1} }] 위의 점 [eqn: rm { A _{2} }], 선분 [eqn: rm { C _{1} G _{1} }] 위의
점 [eqn: rm { D _{2} }]와 선분 [eqn: rm { B _{1} C _{1} }] 위의 두 점 [eqn: rm { B _{2} }], [eqn: rm { C _{2} }]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: rm { bar{A _{2} B _{2}} : bar{A _{2} D _{2}} =1:2 }]인 직사각형 [eqn: rm { A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} }]를 그리고,
그림 [eqn: { R _{1} }]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm { A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} }]
내부에  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: { R _{2} }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: { n]번째 얻은 그림 [eqn: { R _{n} }]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

②

① [eqn: {3 sqrt {3} pi -7} over {9} `]	② [eqn: {4 sqrt {3} pi -12} over {9} `]	③ [eqn: {3 sqrt {3} pi -5} over {9} `]

④ [eqn: {4 sqrt {3} pi -10} over {9} `]	⑤ [eqn: {4 sqrt {3} pi -8} over {9} `]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

025.	[2015학년도 9월 16번]

중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi]인
부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 그림과 같이 호 [eqn: rmAB]를 이등분하는
점을 [eqn: rmM]이라 하고 호 [eqn: rmAM]과 호 [eqn: rmMB]를 각각 이등분하는
점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형을 부채꼴 [eqn: rmOAB]에
내접하도록 그리고, 부채꼴의 내부와 직사각형의 외부의
공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록
중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi]인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에
그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에 새로 그려진 직사각형의 네 변의 중점을
모두 지나도록 중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi]인 부채꼴을 그리고
이 부채꼴에 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로
직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { S_n}]의 값은?

④

① [eqn: {2pi -3sqrt3}over2]	② [eqn: {pi-sqrt2}over3]	③ [eqn: {2pi-3sqrt2}over3]

④ [eqn: {pi -sqrt3}over2]	⑤ [eqn: {2pi -2sqrt3}over3]

026.	[2017학년도 9월(나형) 16번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]
안에 꼭짓점 [eqn: rmA_1], [eqn: rmC_1]을 중심으로 하고 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}], [eqn: rmC _{1} D _{1}]을
반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1}]이
두 사분원과 만나는 점 중 점 [eqn: rmA _{1}]과 가까운 점을 [eqn: rmA _{2}], 점
[eqn: rmC _{1}]과 가까운 점을 [eqn: rmC _{2}]라 하자. 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1}]에 평행하고 점
[eqn: rmA _{2}]를 지나는 직선이 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rmE _{1}], 선분
[eqn: rmB _{1} C _{1}]에 평행하고 점 [eqn: rmC _{2}]를 지나는 직선이 선분 [eqn: rmC _{1} D _{1}]과
만나는 점을 [eqn: rmF _{1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmA _{1} E _{1} A _{2}]와 삼각형
[eqn: rmC _{1} F _{1} C _{2}]를 그린 후 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmA _{2} C _{2}]를 대각선으로 하는 정사각형을
그리고, 새로 그려진 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과
같은 방법으로 두 개의 사분원과 두 개의 삼각형을 그리고
두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {1} over {12} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]	② [eqn: {1} over {6} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]	③ [eqn: {1} over {4} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]

④ [eqn: {1} over {3} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: {5} over {12} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]

	PATTERN DRILL [등비급수와 도형]

027.	[2013학년도 수능 14번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는
원 [eqn: O]가 있다. 원 [eqn: O]의 중심을 지나고 선분 [eqn: rmAB]와 수직인
직선이 원과 만나는 [eqn: 2]개의 점 중 한 점을 [eqn: rmC]라 하자.
점 [eqn: rmC]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmB]를 지나는 원의 외부와
원 [eqn: O]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 [eqn: O]의 반원을
이등분한 [eqn: 2]개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고,
이 [eqn: 2]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로
만들어지는  모양의 [eqn: 2]개의 도형에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{2}]에서 새로 생긴 [eqn: 2]개의 도형에 색칠된 부분을
포함하지 않은 반원을 각각 이등분한 [eqn: 4]개의 사분원에 각각
내접하는 원을 그리고, 이 [eqn: 4]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는
것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 [eqn: 4]개의 도형에
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

① [eqn: {5+2 sqrt {2}} over {7}]	② [eqn: {5+3 sqrt {2}} over {7}]	③ [eqn: {5+4 sqrt {2}} over {7}]

④ [eqn: {5+5 sqrt {2}} over {7}]	⑤ [eqn: {5+6 sqrt {2}} over {7}]

028.	[2020학년도 9월(나형) 18번]

그림과 같이 중심이 [eqn: {rmO}], 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고
중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmOAB}]가 있다. 선분 [eqn: {rmOA}]의
중점을 [eqn: {rmC }], 선분 [eqn: {rmOB}]의 중점을 [eqn: {rmD}]라 하자. 점 [eqn: {rmC }]를 지나고
선분 [eqn: {rmOB}]와 평행한 직선이 호 [eqn: {rmAB}]와 만나는 점을 [eqn: {rmE}], 점
[eqn: {rmD}]를 지나고 선분 [eqn: {rmOA}]와 평행한 직선이 호 [eqn: {rmAB}]와 만나는
점을 [eqn: {rmF }]라 하자.
선분 [eqn: {rmCE}]와 선분 [eqn: {rmDF}]가 만나는 점을 [eqn: {rmG}], 선분 [eqn: {rmOE}]와 선분 [eqn: {rmDG}]가 만나는 점을 [eqn: {rmH}], 선분 [eqn: {rmOF}]와 선분 [eqn: {rmCG}]가 만나는 점을 [eqn: {rmI }]라 하자. 사각형 [eqn: {rmOIGH}]를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1 }]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1 }]에 중심이 [eqn: {rmC }], 반지름의 길이가 [eqn: bar{{rmCI}}], 중심각의
크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmCJI}]와 중심이 [eqn: {rmD}], 반지름의 길이가
[eqn: bar{{rmDH}}], 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmDHK}]를 그린다.
두 부채꼴 [eqn: {rmCJI}], [eqn: {rmDHK}]에 그림 [eqn: R_{1 }]을 얻는 것과 같은
방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_{2 }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n }]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n }]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF }`S _{n }]의 값은?

①

① [eqn: {2(3 - sqrt 3 )}over{5}]	② [eqn: {7(3 - sqrt 3 )}over{15}]	③ [eqn: {8(3 - sqrt 3 )}over{15}]

④ [eqn: {3(3 - sqrt 3 )}over{5}]	⑤ [eqn: {2(3 - sqrt 3 )}over{3}]