[ P ]	PatterN DriLL 수능 빈출 유형 분석 빈 칸

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SOOHAN

	PATTERN ANALYSIS

[빈 칸]

빈 칸 문제는 누구나 빡친다. 남의 풀이를 읽는 일이 원래 스트레스가 심하다. (논술 첨삭)

게다가 문항 번호가 객관식 후반이라 집중력이 고갈된 상태에서 풀어야 하는 경우가 많았다.

유형별로 분류해보면 다음과 같다.

가) 경우의 수 / 확률 문제의 풀이과정에 대한 문항 (80% 이상)

나) 이항정리, 이항계수(조합)의 성질에 대한 문항 (20% 정도)

다) 기타 미분활용(기울기, 최대최소) 문제의 풀이과정에 대한 문항 (설마)

가) 경우의 수 / 확률 문제의 풀이과정에 대한 문항 : 빈도가 높고, 난이도도 높은 편.

중요한 이슈는, 주어진 문제를 얼마나 이해해야 하냐는 것이다.

개인적으로 ‘문제와, 풀이과정 초반부의 접근까지 읽고 일단 혼자 풀어보는 편이 좋은 듯.’

이라고 말해왔는데, [2020학년도 9월 18번]같은 문항을 보면 그렇지만도 않다.

특별히 대비법이랄 것이 없다. 읽는 연습? 문제 풀이를 다양하게 하는 연습? 정도.

※ ‘확률변수의 기댓값을 구하는 과정’으로 자주 뜬다. 그냥 그렇다고.

나) 이항계수(조합)의 성질에 대한 문항 : 전개식에서 계수 찾는 문항들, 이항계수의 성질을 숙지하자.

1) 아래 등식을 증명, 설명해보자.

① [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r} = _{n-1} rm C it rm _{r} + _{n-1} rm C it rm _{r-1}]

② [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} + _{n} {rm C} _{2} + CDOTS + _{n} {rm C} _{n} =2 ^{n}]

③ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{2} + _{n} rm C it rm _{4} + CDOTS = _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C it rm _{3} + _{n} rm C it rm _{5} + CDOTS =2 ^{n-1}]

④ [eqn: ` _{k} rm C it rm _{k} + _{k+1} rm C it rm _{k} + _{k+2} rm C it rm _{k} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{k} = _{n+1} {rm C} _{k+1}]

⑤ [eqn: k CDOT _{n} rm C it rm _{k} =n CDOT _{n-1} rm C it rm _{k-1}]

2) 이항정리의 일반항/급수표현에도 익숙하자. : [eqn: ` _{n} rm C it rm _{k} a ^{k} b ^{n-k}], [eqn: ` sum _{k=0} ^{n } `_n rm C it rm _{k} a ^{k} b ^{n-k}]

다) 기타 : 가능성은 거의 없다.

그나마 뽑으라면, 미분활용(기울기, 최대최소)에 대한 문항.

딱히 대비법도 없다. 뇌 장착.

	[경우의 수/확률 문제 풀이]
	PATTERN DRILL

[2018학년도 9월 20번]

다음은 [eqn: n]명의 사람이 각자 세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 중 [eqn: 2]개의
상자를 선택하여 각 상자에 공을 하나씩 넣을 때, 세
상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수를
구하는 과정이다. (단, [eqn: n]은 [eqn: 6]의 배수이고 공은 구별하지
않는다.)

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)],
[eqn: h(n)]이라 할 때, [eqn: { f(30)} over {g(30) } +h(30)]의 값은?

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는
‘(ⅰ) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우’에서
‘(ⅱ) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는
경우’와 ‘(ⅲ) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의
공이 들어가는 경우’를 제외하면 된다.

(ⅰ)의 경우 :

[eqn: n]명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두
상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: n]명의 사람이 각자
공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와
같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 [eqn: n]개의
상자를 선택하는 경우의 수인 [eqn: box{`````(가)`````}]이다.

(ⅱ)의 경우 :

각 상자에 [eqn: 2n over3]개의 공이 들어가는 경우뿐이므로
경우의 수는 [eqn: 1]이다.

(ⅲ)의 경우 :

두 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 같은 개수의 공이 들어가면 상자
[eqn: rmC]에는 최대 [eqn: n]개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자
[eqn: rmA], [eqn: rmB]에 각각 [eqn: n over2]개보다 작은 개수의 공이 들어갈
수 없다. 따라서 두 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 같은 개수의 공이
들어가는 경우의 수는 [eqn: box{`````(나)`````}]이다.

그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이
들어가는 경우의 수는 [eqn: `_3 {rmC}_2 times(`box{`````(나)`````}`-1)]이다.

따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는
경우의 수는 [eqn: box{`````(다)`````}]이다.

①

① [eqn: 481]	② [eqn: 491]	③ [eqn: 501]

④ [eqn: 511]	⑤ [eqn: 521]

[2019학년도 수능 17번]

다음은 집합 [eqn: X= LEFT { 1 ,``` 2 ,```3 ,``` 4 ,```5 ,```6 RIGHT }]과 함수 [eqn: f : X -> X]에 대하여 합성함수 [eqn: f CIRC f]의 치역의 원소의 개수가 [eqn: 5]인
함수 [eqn: f]의 개수를 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때,
[eqn: p+q+r]의 값은?

함수 [eqn: f]와 함수 [eqn: f CIRC f]의 치역을 각각 [eqn: A]와 [eqn: B]라 하자.
[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =6]이면 함수 [eqn: f]는 일대일 대응이고,

함수 [eqn: f circf]도 일대일 대응이므로 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =6]이다.

또한 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) leq 4]이면 [eqn: B subset A]이므로 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) leq 4]이다.

그러므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5], 즉 [eqn: B=A]인 경우만 생각하면

된다.

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]인 [eqn: X]의 부분집합 [eqn: A]를 선택하는

경우의 수는 [eqn: BOX{````` (가) ````` }]이다.

(ⅱ) (ⅰ)에서 선택한 집합 [eqn: A]에 대하여, [eqn: X]의

원소 중 [eqn: A]에 속하지 않는 원소를 [eqn: k]라 하자.
[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]이므로 집합 [eqn: A]에서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]를 선택하는

경우의 수는 [eqn: BOX{````` (나) `````}]이다.

(ⅲ) (ⅰ)에서 선택한 [eqn: A= LEFT { a _{1} ,``` a _{2} ,``` a _{3} ,```a _{4} ,```a _{5} RIGHT }]와

(ⅱ)에서 선택한 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]에 대하여, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) IN A]이며

[eqn: A=B]이므로
[eqn: A= LEFT { f LEFT ( a _{1} RIGHT ) ,``` f LEFT ( a _{2} RIGHT ) ,```f LEFT ( a _{3} RIGHT ) ,```f LEFT ( a _{4} RIGHT ) ,```f LEFT ( a _{5} RIGHT ) RIGHT }] [eqn: cdots] [eqn: LEFT ( AST RIGHT )]

이다. [eqn: LEFT ( AST RIGHT )]을 만족시키는 경우의 수는 집합

[eqn: A]에서 집합 [eqn: A]로의 일대일 대응의 개수와

같으므로 [eqn: BOX{````` (다) `````}]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의
개수는 [eqn: BOX{````` (가) `````} `TIMES ` BOX{````` (나) `````} ` TIMES` BOX{````` (다) `````}]이다.

①

① [eqn: 131]	② [eqn: 136]	③ [eqn: 141]

④ [eqn: 146]	⑤ [eqn: 151]

				12

	[확률변수의 평균]
	PATTERN DRILL

[2017학년도 수능]

좌표평면 위의 한 점 [eqn: LEFT ( x,```y RIGHT )]에서 세 점 [eqn: LEFT ( x+1,```y RIGHT )],
[eqn: LEFT ( x,```y+1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( x+1,```y+1 RIGHT )] 중 한 점으로 이동하는 것을
점프라 하자. 점프를 반복하여 점 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT )]에서 점 [eqn: LEFT ( 4,```3 RIGHT )]까지
이동하는 모든 경우 중에서, 임의로 한 경우를 선택할 때
나오는 점프의 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은
확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: {rmE} LEFT ( X RIGHT )]를 구하는 과정이다. (단, 각
경우가 선택되는 확률은 동일하다.)

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

점프를 반복하여 점 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT )]에서 점 [eqn: LEFT ( 4,```3 RIGHT )]까지
이동하는 모든 경우의 수를 [eqn: N]이라 하자. 확률변수
[eqn: X]가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값을 [eqn: k]라 하면
[eqn: k= box{`````LEFT ( 가 RIGHT )`````}]이고, 가장 큰 값은 [eqn: k+3]이다.

[eqn: {rmP} LEFT ( X=k RIGHT ) = {1} over {N} TIMES {4!} over {3!} = {4} over {N}]

[eqn: {rmP} LEFT ( X=k+1 RIGHT ) = {1} over {N} TIMES {5!} over {2!2!} = {30} over {N}]

[eqn: {rmP} LEFT ( X=k+2 RIGHT ) = {1} over {N} TIMES `box{`````LEFT ( 나 RIGHT )`````}]

[eqn: {rmP} LEFT ( X=k+3 RIGHT ) = {1} over {N} TIMES {7!} over {3!4!} = {35} over {N}]

이고

[eqn: sum _{i=k} ^{k+3} {rmP} LEFT ( X=i RIGHT ) =1]

이므로 [eqn: N= box{`````LEFT ( 다 RIGHT )`````}]이다.

따라서 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: {rmE} LEFT ( X RIGHT )]는 다음과 같다.

[eqn: {rmE} LEFT ( X` RIGHT ) = sum _{i=k} ^{k+3} LEFT { i TIMES {rmP} LEFT ( X=i RIGHT ) RIGHT } = {257} over {43}]

②

① [eqn: 190]	② [eqn: 193]	③ [eqn: 196]

④ [eqn: 199]	⑤ [eqn: 202]

[한성은 QG6839번]

다섯 쌍의 부부 [eqn: 10]명 중에서 [eqn: 6]명을 뽑을 때, 함께
포함되는 부부 쌍의 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자.
다음은 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: {rmE} LEFT ( X RIGHT )]를 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때,
[eqn: {b-a} over {c}]의 값은?

[eqn: 10]명 중에서 [eqn: 6]명을 뽑는 모든 경우의 수는
[eqn: `_10 {rmC}_6]이다.

(ⅰ) [eqn: X=1]인 사건은

다섯 쌍의 부부 중 한 쌍의 부부를 선택하고

나머지 네 쌍의 부부 중에서는 각 부부마다

한 명씩을 선택해야 한다. 그러므로

[eqn: rm P LEFT ( it X=1 RIGHT ) = {BOX{`````(가)`````}} over {210}]

(ⅱ) [eqn: X=2]인 사건은

다섯 쌍의 부부 중 두 쌍의 부부를 선택하고

나머지 세 쌍의 부부 중 어느 두 쌍의 부부에서

각 부부마다 한 명씩을 선택해야 한다. 그러므로

[eqn: rm P LEFT ( it X=2 RIGHT ) = {BOX{`````(나)`````}} over {210}]

(ⅲ) [eqn: X=3]인 사건은

다섯 쌍의 부부 중 세 쌍의 부부를 선택해야

한다. 그러므로

[eqn: rm P LEFT ( it X=3 RIGHT ) = {10} over {210}]

확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: {rmE} LEFT ( X RIGHT )]는 다음과 같다.

[eqn: sum _{i=1} ^{3} LEFT { i TIMES rm P it (X=i) RIGHT } =BOX{`````(다)`````}]

③

(가) [eqn: 80], (나) [eqn: 120], (다) [eqn: { 5} over { 3}]

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

				12

	[이항정리 관련]
	PATTERN DRILL

[2017학년도 9월 17번]

[eqn: 1]부터 [eqn: n]([eqn: n ge 4])까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: n]장의
카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: 4]장의
카드를 선택할 때, 선택한 카드 [eqn: 4]장에 적힌 수 중 가장
큰 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은 [eqn: {rmE}(X)]를 구하는
과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 하고,
(다)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: a timesf(6)timesg(5)]의 값은?

자연수 [eqn: k(4 le k le n)]에 대하여 확률변수 [eqn: X]의 값이
[eqn: k]일 확률은 [eqn: 1]부터 [eqn: k-1]까지의 자연수가 적혀 있는
카드 중에서 서로 다른 [eqn: 3]장의 카드와 [eqn: k]가 적혀
있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의
수로 나누는 것이므로
[eqn: {rmP}(X=k)= { box{`````(가)`````} over {`_n {rmC}_4 }]
이다. 자연수 [eqn: r(1 le r le k)]에 대하여
[eqn: `_k {rmC}_r = { k} over { r}times_k-1 {rmC}_r-1]
이므로
[eqn: k TIMES BOX{`````(가)`````} `=4 TIMES BOX{`````(나)`````}]

이다. 그러므로
[eqn: rm E it (X)= sum _{k=4} ^{n} LEFT { k TIMES rm P it (X=k) RIGHT }# `````````````````````= {1} over {` _{n} rm C it rm _{4} it} sum _{k=4} ^{n} LEFT ( k times box{`````(가)`````}`RIGHT )# `````````````````````= { 4} over { `_n {rmC}_4}sum_k=4 ^n box{`````(나)`````]

이다.

[eqn: sum_k=4 ^n `box{`````(나)`````}=_n+1 {rmC}_5]

이므로

[eqn: {rmE}(X)=(n+1) times`box{`````(다)`````}]

이다.

①

① [eqn: 40]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 60]

[2018학년도 6월 19번]

다음은 [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: (x+a^2 )^n]과 [eqn: (x^2 -2a)(x+a)^n]의
전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수가 같게 되는 두 자연수 [eqn: a]와
[eqn: n(n ge4)]의 값을 구하는 과정의 일부이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 하고,
(다)에 알맞은 수를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: f(k)+g(k)]의 값은?

[eqn: (x+a^2 )^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: a^2 n]이다.

[eqn: (x^2 -2a)(x+a)^n =x^2 (x+a)^n -2a(x+a)^n]에서

[eqn: x^2 (x+a)^n]을 전개하면 [eqn: x^n-1]의 계수는
[eqn: box{`````(가)`````}`timesa^3]이고, [eqn: 2a(x+a)^n]을 전개하면 [eqn: x^n-1]의
계수는 [eqn: 2a^2 n]이다. 따라서 [eqn: (x^2 -2a)(x+a)^n]의
전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수는
[eqn: box{`````(가)`````}`timesa^3 -2a^2 n]

이다. 그러므로

[eqn: a^2 n={box{`````(가)`````}`a^3 -2a^2 n]

이고, 이 식을 정리하여 [eqn: a]를 [eqn: n]에 관한 식으로
나타내면

[eqn: a= { 18} over {box{`````(나)`````} }]

이다. 여기서 [eqn: a]는 자연수이고 [eqn: n]은 [eqn: 4] 이상의
자연수이므로

[eqn: n=`box{`````(다)`````]

이다.

①

① [eqn: 10]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 34]

				12

	[미분법]
	PATTERN DRILL

[2015학년도 6월]

양의 실수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면에서 [eqn: x], [eqn: y]에 대한
연립부등식

[eqn: {cases{x ^{2} +(y-1) ^{2} le1#y le tx}}]

가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하자. 다음은 [eqn: f`'(2)]의
값을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: h _{1} (theta)], [eqn: h _{2} (theta)]라 하고
(다)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때,
[eqn: a timesh_1 left( { pi} over {4 }right)times h_2 left( { pi} over { 4}right)]의 값은?

원 [eqn: C:x ^{2} +(y-1) ^{2} =1]의 중심을 [eqn: rmA], 원 [eqn: C]와 직선
[eqn: l:y=tx]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmO], [eqn: rmB]라 하자.
직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를
[eqn: theta]([eqn: 0<theta< {pi} over {2}])라 하면 [eqn: rmangleOAB=2theta]이다. 주어진
연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 하면

[eqn: g( theta )= theta - BOX{```````(가)```````}]

이다. [eqn: t=tantheta]이므로 [eqn: g(theta)=f(t)=f(tantheta)]이고,
합성함수의 미분법에 의하여

[eqn: g prime ( theta )=f` prime (t) TIMES box{```````(나)```````}]

이다.

[eqn: t=2]일 때, [eqn: tantheta=2]이므로 [eqn: f'(2)=box{```````(다)```````}]이다.

①

① [eqn: { 8} over { 25}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {12} over {25}]

④ [eqn: {14} over {25}]	⑤ [eqn: {16} over {25}]

[유사문항]

그림과 같이 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1]과 직선 [eqn: x=k`(0<k<1)]가
만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 다음은 점
[eqn: rm A LEFT ( - {1} over {6} ,```0 RIGHT )]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAQ]의 넓이의 최댓값을
구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(theta)], [eqn: g(theta)]라 하고
(다)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: {a times f left(pi over{ 3}right)} over { g left ( pi over {3} right)}]의 값은?

그림과 같이 직선 [eqn: x=k]가 [eqn: x]축과 만나는 점을
[eqn: rmH]라 하고 [eqn: ANGLErmPOH=it theta` left(0<theta<{pi} over {2}right)]라 하면
[eqn: bar {rmPQ} = 2sintheta], [eqn: bar{rmAH}=box{`````(가)`````}]
이때 삼각형 [eqn: rmPAQ]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하면
[eqn: S(theta)={1}over{2} times 2sintheta times(box{`````(가)`````})]
양변을 [eqn: theta]에 대하여 미분하면
[eqn: S`'(theta)=box{`````(나)`````}]
[eqn: S`'(theta)=0]에서 [eqn: costheta={2} over 3]
[eqn: costheta={2} over 3]인 [eqn: theta]의 값의 좌우에서 [eqn: S`'(theta)]의 부호가
양에서 음으로 바뀌므로 [eqn: S(theta)]의 최댓값은
[eqn: box{`````(다)`````}]이다.

④

① [eqn: - sqrt { 5} over 9]	② [eqn: -{ 2 sqrt5 }over 9]	③ [eqn: -sqrt5 over 3]

④ [eqn: -{4sqrt {5 }} over 9]	⑤ [eqn: -{5sqrt{5}} over 9]

				12

	[연습문제]
	PATTERN DRILL

[2019학년도 9월 18번]

다음은 집합 [eqn: X=left{1,```2,```3,```4,```5right}]에 대하여 함수 [eqn: f:X->X]의
치역 [eqn: A]가 [eqn: n(A)=4]이고, 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합이
홀수인 함수 [eqn: f]의 개수를 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때,
[eqn: a+b+c]의 값은?

(ⅰ) 공역 [eqn: X]의 원소 중 짝수인 원소가 [eqn: 2]개이므로

집합 [eqn: A]의 네 원소 중 세 원소는 홀수이고

한 원소는 짝수이다.

따라서 집합 [eqn: X]의 원소 중에서 집합 [eqn: A]의

네 원소를 택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이다.

(ⅱ) 정의역 [eqn: X]를 [eqn: 4]개의 부분집합으로 분할할 때,

[eqn: 4]개의 부분집합의 원소의 개수는 각각

[eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1]이 되어야 한다.

따라서 집합 [eqn: X]를 네 개의 부분집합으로

분할하는 경우의 수는 [eqn: box{`````(가)`````}]이다.

(ⅲ) (ⅰ)과 (ⅱ)의 각 경우에 대하여 집합 [eqn: X]를

분할한 [eqn: 4]개의 부분집합을 집합 [eqn: A]의 네 원소에

하나씩 대응시키는 경우의 수는 [eqn: BOX{`````(나)`````}]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: BOX{`````(다)`````}]이다.

⑤

① [eqn: 498]	② [eqn: 502]	③ [eqn: 506]

④ [eqn: 510]	⑤ [eqn: 514]

[2020학년도 수능 14번]

숫자 [eqn: 1]이 적혀 있는 공 [eqn: 10]개, 숫자 [eqn: 2]가 적혀 있는 공
[eqn: 20]개, 숫자 [eqn: 3]이 적혀 있는 공 [eqn: 30]개가 들어 있는 주머니가
있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에
적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을
[eqn: 10]번 반복하여 확인한 [eqn: 10]개의 수의 합을 확률변수 [eqn: Y]라
하자. 다음은 확률변수 [eqn: Y]의 평균 [eqn: rm E it (Y)]와 분산 [eqn: rm V it (Y)]를
구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값은?

주머니에 들어 있는 [eqn: 60]개의 공을 모집단으로 하자.
이 집단에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 이
공에 적혀 있는 수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]의
확률분포, 즉 모집단의 확률분포는 다음 표와 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: RM P IT (X=it x)]	[eqn: 1 over6]	[eqn: 1over3]	[eqn: 1 over2]	[eqn: 1]

따라서 모평균 [eqn: m]과 모분산 [eqn: sigma^2]은

[eqn: m= rm E it (X)= {7} over {3}],   [eqn: sigma ^{2} = rm V it (X)=][eqn: box { `````(가)````` }]

이다.

모집단에서 크기가 [eqn: 10]인 표본을 임의추출하여

구한 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라 하면

[eqn: rm E it ( {bar{X}} )= {7} over {3}],   [eqn: rm V it ( {bar{X}} )=][eqn: box { `````(나)````` }]

이다.

주머니에서 [eqn: n]번째 꺼낸 공에 적혀 있는 수를

[eqn: X_n]이라 하면

[eqn: Y= sum_{n=1} ^{10} X_n = 10 bar{X}]

이므로

[eqn: rm E it (Y)= {70} over {3}],   [eqn: rm V it (Y)=][eqn: {BOX{`````(다)`````}}]

이다.

④

① [eqn: 31 over6]	② [eqn: 11 over2]	③ [eqn: 35 over 6]

④ [eqn: 37 over 6]	⑤ [eqn: 13 over2]

				12

	PATTERN DRILL

[2018학년도 수능 19번]

무게가 [eqn: 1]인 추 [eqn: 6]개, 무게가 [eqn: 2]인 추 [eqn: 3]개와 비어 있는
주머니 [eqn: 1]개가 있다. 주사위 한 개를 사용하여 다음의
시행을 한다. (단, 무게의 단위는 [eqn: rm g]이다.)

위의 시행을 반복하여 주머니에 들어 있는 추의 총무게가
처음으로 [eqn: 6]보다 크거나 같을 때, 주머니에 들어 있는 추의
개수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. 다음은 [eqn: X`]의 확률질량함수
[eqn: rmP LEFT ( itX=x RIGHT )]([eqn: x=3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6])을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라 할 때,
[eqn: {ab} over {c}]의 값은?

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 2] 이하이면
무게가 [eqn: 1]인 추 [eqn: 1]개를 주머니에 넣고, 눈의 수가
[eqn: 3] 이상이면 무게가 [eqn: 2]인 추 [eqn: 1]개를 주머니에 넣는다.

(ⅰ) [eqn: X=3]인 사건은 주머니에 무게가 [eqn: 2]인 추 [eqn: 3]개가

들어 있는 경우이므로
[eqn: rm P LEFT ( it X=3 RIGHT ) =box{`````(가)`````}]

(ⅱ) [eqn: X=4]인 사건은

세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 4]이고

네 번째 시행에서 무게가 [eqn: 2]인 추를 넣는

경우와 세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가

[eqn: 5]인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로
[eqn: rmP LEFT ( itX=4 RIGHT ) =][eqn: box{`````(나)`````}+ _{3} rmC _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]

(ⅲ) [eqn: X=5]인 사건은
네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 4]이고

다섯 번째 시행에서 무게가 [eqn: 2]인 추를 넣는

경우와 네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가

[eqn: 5]인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로
[eqn: rmP LEFT ( itX=5 RIGHT ) = _{4} rmC _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} times {2} over {3} +box{`````(다)`````}]

(ⅳ) [eqn: X=6]인 사건은 다섯 번째 시행까지 넣은 추의

총무게가 [eqn: 5]인 경우이므로
[eqn: rmP LEFT ( itX=6 RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}]

①

① [eqn: {4} over {9}]	② [eqn: {7} over {9}]	③ [eqn: {10} over {9}]

④ [eqn: {13} over {9}]	⑤ [eqn: {16} over {9}]

[2020학년도 6월 17번]

[eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 8]장의
카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 그림과
같은 [eqn: 8]개의 자리에 각각 한 장씩 임의로 놓을 때, [eqn: 8] 이하의
자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k]번째 자리에 놓인 카드에 적힌 수가
[eqn: k] 이하인 사건을 [eqn: A _{k}]라 하자.

다음은 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]([eqn: 1 LEQ m<n LEQ 8])에 대하여
두 사건 [eqn: A _{m}]과 [eqn: A _{n}]이 서로 독립이 되도록 하는
[eqn: m], [eqn: n]의 모든 순서쌍 [eqn: (m,```n)]의 개수를 구하는 과정이다.

위의 (가)에 알맞은 식에 [eqn: k=4]를 대입한 값을 [eqn: p], (나)에
알맞은 식에 [eqn: m=3], [eqn: n=5]를 대입한 값을 [eqn: q], (다)에 알맞은
수를 [eqn: r]라 할 때, [eqn: p TIMES q TIMES r]의 값은?

[eqn: A _{k}]는 [eqn: k]번째 자리에 [eqn: k] 이하의 자연수 중 하나가
적힌 카드가 놓여 있고, [eqn: k]번째 자리를 제외한
[eqn: 7]개의 자리에 나머지 [eqn: 7]장의 카드가 놓여 있는
사건이므로

[eqn: rm P LEFT ( itA _{k} RIGHT ) = {BOX{`````(가)`````}}]

이다.

[eqn: A _{m} SMALLINTER A _{n}][eqn: LEFT ( m<n RIGHT )]은 [eqn: m]번째 자리에 [eqn: m] 이하의
자연수 중 하나가 적힌 카드가 놓여있고, [eqn: n]번째
자리에 [eqn: n] 이하의 자연수 중 [eqn: m]번째 자리에 놓인
카드에 적힌 수가 아닌 자연수가 적힌 카드가
놓여 있고, [eqn: m]번째와 [eqn: n]번째 자리를 제외한 [eqn: 6]개의
자리에 나머지 [eqn: 6]장의 카드가 놓여 있는 사건이므로

[eqn: rm P LEFT (it A _{m} SMALLINTER A _{n} RIGHT ) = {BOX{`````(나)`````}}]

이다.

한편, 두 사건 [eqn: A _{m}]과 [eqn: A _{n}]이 서로 독립이기 위해서는

[eqn: rm P LEFT ( itA _{m} SMALLINTER A _{n} RIGHT ) =rm P LEFT ( itA _{m} RIGHT ) rm P LEFT (it A _{n} RIGHT )]

을 만족시켜야 한다.

따라서 두 사건 [eqn: A _{m}]과 [eqn: A _{n}]이 서로 독립이 되도록
하는 [eqn: m], [eqn: n]의 모든 순서쌍 [eqn: (m,```n)]의 개수는
[eqn: {BOX{`````(다)`````}}]이다.

④

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {5} over {8}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

				12

	PATTERN DRILL

[2020학년도 9월 18번]

빨간색 공 [eqn: 6]개, 파란색 공 [eqn: 3]개, 노란색 공 [eqn: 3]개가 들어
있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을
꺼내는 시행을 하여, 다음 규칙에 따라 세 사람 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 점수를 얻는다. (단, 한 번 꺼낸 공은 다시 주머니에 넣지
않는다.)

이 시행을 계속하여 얻은 점수의 합이 처음으로 [eqn: 24`]점
이상인 사람이 나오면 시행을 멈춘다. 다음은 얻은 점수의
합이 [eqn: 24`]점 이상인 사람이 [eqn: rmA`]뿐일 확률을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p,~q`]라 할 때,
[eqn: p+q`]의 값은?

• 빨간색 공이 나오면

[eqn: rmA]는 [eqn: 3]점, [eqn: rmB]는 [eqn: 1]점, [eqn: rmC]는 [eqn: 1]점을 얻는다.

• 파란색 공이 나오면

[eqn: rmA]는 [eqn: 2]점, [eqn: rmB]는 [eqn: 6]점, [eqn: rmC]는 [eqn: 2]점을 얻는다.

• 노란색 공이 나오면

[eqn: rmA]는 [eqn: 2]점, [eqn: rmB]는 [eqn: 2]점, [eqn: rmC]는 [eqn: 6]점을 얻는다.

꺼낸 빨간색 공의 개수를 [eqn: x], 파란색 공의 개수를
[eqn: y], 노란색 공의 개수를 [eqn: z`]라 할 때, 얻은 점수의
합이 [eqn: 24`]점 이상인 사람이 [eqn: rmA`]뿐이기 위해서는
[eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 다음 조건을 만족시켜야 한다.

[eqn: x=6],  [eqn: 0<y<3],  [eqn: 0<z<3],  [eqn: y+z GEQ 3]

이 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,```y,```z RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( 6,```1,```2 RIGHT )],  [eqn: LEFT ( 6,```2,```1 RIGHT )],  [eqn: LEFT ( 6,```2,```2 RIGHT )]

이다.

(ⅰ) [eqn: LEFT ( x,```y,```z RIGHT ) = LEFT ( 6,```1,```2 RIGHT )]인 경우의 확률은
[eqn: BOX{`````(가)`````}]이다.

(ⅱ) [eqn: LEFT ( x,```y,```z RIGHT ) = LEFT ( 6,```2,```1 RIGHT )]인 경우의 확률은

[eqn: BOX{`````(가)`````}]이다.

(ⅲ) [eqn: LEFT ( x,```y,```z RIGHT ) = LEFT ( 6,```2,```2 RIGHT )]인 경우는 [eqn: 10`]번째 시행에서

빨간색 공이 나와야 하므로 그 확률은

[eqn: {BOX{`````(나)`````}}]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 확률은

[eqn: 2 TIMES {BOX{`````(가)`````}} `+ {BOX{`````(나)`````}}]이다.

②

① [eqn: {13} over {110}]	② [eqn: {27} over {220}]	③ [eqn: {7} over {55}]

④ [eqn: {29} over {220}]	⑤ [eqn: {3} over {22}]

[2019학년도 6월 20번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2a+2b+c+d=2n]을 만족시키는
음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의
개수를 [eqn: a_n]이라 하자. 다음은 [eqn: sum_n=1 ^8 a_n]의 값을 구하는
과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 하고,
(다)에 알맞은 수를 [eqn: r]이라 할 때, [eqn: f(6)+g(5)+r]의 값은?

음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]가 [eqn: 2a+2b+c+d=2n]을
만족시키려면 음이 아닌 정수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: c+d=2k]이어야 한다.

[eqn: c+d=2k]인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 [eqn: k_1], [eqn: k_2]에
대하여 [eqn: c=2k_1], [eqn: d=2k_2]인 경우이거나 (2) 음이 아닌
정수 [eqn: k_3], [eqn: k_4]에 대하여 [eqn: c=2k_3 +1], [eqn: d=2k_4 +1]인
경우이다.

(1) [eqn: c=2k_1], [eqn: d=2k_2]인 경우 :

[eqn: 2a+2b+c+d=2n]을 만족시키는 음이 아닌 정수

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수는

[eqn: box{`````(가)`````}]이다.

(2) [eqn: c=2k_3 +1], [eqn: d=2k_4 +1]인 경우 :

[eqn: 2a+2b+c+d=2n]을 만족시키는 음이 아닌 정수

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수는

[eqn: BOX{`````(나)`````}]이다.

(1), (2)에 의하여 [eqn: 2a+2b+c+d=2n]을 만족시키는
음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍
[eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n} =box{`````(가)`````}+box{`````(나)`````}]

이다. 자연수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{m} box{`````(나)`````}= _{m+3} {rmC} _{4}]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n} =box{`````(다)`````}]

이다.

③

① [eqn: 893]	② [eqn: 918]	③ [eqn: 943]

④ [eqn: 968]	⑤ [eqn: 993]

				12

	PATTERN DRILL

[한성은 UB6534번]

다음은 집합 [eqn: X= LEFT { 1 ,``` 2 ,```3 ,``` 4 ,```5 ,```6 RIGHT }]과 함수 [eqn: f : X -> X]에
대하여 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수가 [eqn: 4]이며
[eqn: f(1) le f(2) le f(3) le f(4)]를 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수를
구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때,
[eqn: q-(p+r)]의 값은?

세 등식 [eqn: f(1)=f(2)], [eqn: f(2)=f(3)], [eqn: f(3)=f(4)] 중

성립하는 것이 몇 개 있는지에 따라서 생각하자.

세 등식이 모두 성립하면 [eqn: f(1)=f(2)=f(3)=f(4)]

이다. 이 때는 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수가

최대 [eqn: 3]이므로 조건을 만족할 수 없다.

(ⅰ) 세 등식이 모두 성립하지 않는 경우 :

[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]를 선택하고, [eqn: f(5)]와

[eqn: f(6)]은 네 수 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)] 중에서

선택할 수 있으므로 경우의 수는 [eqn: BOX{````` (가) ````` }]이다.

(ⅱ) 세 등식 중 하나가 성립하는 경우 :

[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]를 선택하고,

남은 함수 [eqn: f]의 치역의 원소 [eqn: a]를 선택,

[eqn: f(5)]와 [eqn: f(6)]은 하나 이상이 [eqn: a]가 되도록

선택해야 한다. 경우의 수는 [eqn: BOX{`````(나)`````}]이다.

(ⅲ) 세 등식 중 두 개가 성립하는 경우 :

[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]를 선택하고,

남은 함수 [eqn: f]의 치역의 원소 [eqn: a], [eqn: b]를 선택,

[eqn: f(5)]와 [eqn: f(6)]은 [eqn: a]와 [eqn: b]가 되도록

선택해야 한다. 경우의 수는 [eqn: BOX{`````(다)`````}]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수

[eqn: f]의 개수는 [eqn: BOX{`````(가)`````} ` + ` BOX{`````(나)`````} ` + ` BOX{`````(다)`````}]이다.

④

(가)는 [eqn: 240]이다.

[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]를 선택하는 경우의 수 [eqn: `_6 {rmC}_4]와 [eqn: f(5)]와 [eqn: f(6)]을 선택하는 경우의 수 [eqn: 4^2]의 곱이다.

(나)는 [eqn: 1260]이다.

어느 등식이 성립하는 지 선택하는 경우의 수 [eqn: 3]과 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]가 되는 [eqn: 3]개의 수를 선택하는 경우의 수 [eqn: `_6 {rmC}_3]과

[eqn: a]를 선택하는 경우의 수 [eqn: 3]과 [eqn: f(5)]와 [eqn: f(6)]을 선택하는 경우의 수 [eqn: 7]의 곱이다.

(다)는 [eqn: 540]이다.

어느 등식이 성립하는 지 선택하는 경우의 수 [eqn: 3]과 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]가 되는 [eqn: 2]개의 수를 선택하는 경우의 수 [eqn: ` _{6} rm C it _{2}]과

[eqn: a], [eqn: b]를 선택하는 경우의 수 [eqn: ` _{4} {rmC} _{2}]와 [eqn: f(5)]와 [eqn: f(6)]을 선택하는 경우의 수 [eqn: 2]의 곱이다.

① [eqn: 360]	② [eqn: 400]	③ [eqn: 440]

④ [eqn: 480]	⑤ [eqn: 520]

[2017학년도 6월(나형)]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를
차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. 다음은 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -7x+12]에
대하여 [eqn: f(a)f(b)=0]이 성립할 확률을 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: m], [eqn: n], [eqn: k]라 할 때,
[eqn: m timesn timesk]의 값은?

첫 번째 던져서 나오는 주사위의 눈의 수를 [eqn: a]라
할 때 [eqn: f(a)=0]이 되는 사건을 [eqn: A]라 하고, 두 번째
던져서 나오는 주사위의 눈의 수를 [eqn: b]라 할 때
[eqn: f(b)=0]이 되는 사건을 [eqn: B]라 하자.

이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 해는 [eqn: x=3] 또는
[eqn: x=4]이므로

[eqn: {rmP}(A)=box{`````(가)`````], [eqn: rm P it (B)= BOX{`````(가)`````}]

이다.

구하는 확률 [eqn: rm P it (A capB)]는

[eqn: {rmP}(A cupB)={rmP}(A)+{rmP}(B)-{rmP}(A capB)]

이고, 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이므로

[eqn: rm P it (A capB)= BOX{`````(나)`````}]

이다. 그러므로

[eqn: rm P it (A cup B)= BOX{`````(다)`````}]

이다.

②

① [eqn: 1over81]	② [eqn: 5over243]	③ [eqn: {7} over {243}]

④ [eqn: 1over27]	⑤ [eqn: {11} over {243}]

				12

	PATTERN DRILL

[2005학년도 6월]

자연수  [eqn: n]에 대하여 등식

[eqn: ` _{n} rm C it rm _{n} + _{n+1} rm C it rm _{n} + _{n+2} rm C it rm _{n} = _{n+3} rm C it rm _{n+1}]

이 성립함을 다음과 같이 증명하였다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로
나열한 것은?

[eqn: ` _{n+3} {rmC} _{n+1}]은 집합 [eqn: A= left{1,```2,``` CDOTS ,```n+3 right}]의 부분집합
중에서 원소의 개수가 [eqn: n+1]인 부분집합의
개수이다. 이것을 다른 방법으로 세어보자.

(ⅰ) 집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가

[eqn: box{`````(가)`````}]이고 원소의 개수가 [eqn: n+1`]인 부분집합의

개수는 [eqn: ` _{n} {rmC} _{n}]이다.

(ⅱ) 집합 [eqn: A`]의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가

[eqn: BOX{`````(나)`````}]이고 원소의 개수가 [eqn: n+1]인 부분집합의

개수는 [eqn: `_n+1 {rmC}_n]이다.

(ⅲ) 집합 [eqn: A`]의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가

[eqn: BOX{`````(다)`````}]이고 원소의 개수가 [eqn: n+1]인 부분집합의

개수는 [eqn: ` _{n+2} {rmC} _{n}]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 중에서 한 가지 경우만 일어날 수
있으므로 합의 법칙에 의하여
[eqn: ` _{n} rm C it rm _{n} + _{n+1} rm C it rm _{n} + _{n+2} rm C it rm _{n} = _{n+3} rm C it rm _{n+1}]
이 성립한다.

③

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: n-1]	[eqn: n]	[eqn: n+1]
②	[eqn: n]	[eqn: n+1]	[eqn: n+2]
③	[eqn: n+1]	[eqn: n+2]	[eqn: n+3]
④	[eqn: n+2]	[eqn: n+1]	[eqn: n]
⑤	[eqn: n+3]	[eqn: n+2]	[eqn: n+1]

[2005학년도 6월]

다음은 두 자연수 [eqn: m]과 [eqn: n][eqn: (m<n)]에 대하여

[eqn: {}_m {rm C} _m + _m+1 {rm C} _m + `cdots`+ _n {rm C} _m]

의 값을 이항정리를 이용하여 구하는 과정이다.

위의 과정에서 (가)와 (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?

[eqn: x]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수라 하자.

[eqn: {}_m {rm C} _m]은 다항식 [eqn: (1+x)^m]에서 [eqn: x^m]의 계수이다.

[eqn: {}_m+1 {rm C} _m]은 다항식 [eqn: (1+x)^m+1]에서 [eqn: x^m]의 계수이다.

[eqn: vdots]

[eqn: {}_n {rm C} _m]은 다항식 [eqn: (1+x)^n]에서 [eqn: x^m]의 계수이다.

따라서,

[eqn: {}_m {rm C} _m + _m+1 {rm C} _m + `cdots`+ _n {rm C} _m]

은 다항식 [eqn: box{`````(가)`````}]에서 [eqn: x^m]의 계수이다.

그러므로

[eqn: {}_m {rm C} _m + _m+1 {rm C} _m + cdots+ _n {rm C} _m = box{``````(나)`````}]

이다.

①

	(가)	(나)
①	[eqn: { ( 1+x)^n+1 - (1+x)^m } over x]	[eqn: {}_n+1 { rm C} _m+1]
②	[eqn: { ( 1+x)^n+1 - (1+x)^m } over x]	[eqn: {}_n+1 { rm C} _m]
③	[eqn: { ( 1+x)^n+1 - (1+x)^m }]	[eqn: {}_n+1 { rm C} _m]
④	[eqn: { ( 1+x)^n+1 - 1 } over x]	[eqn: {}_n+1 { rm C} _m+1]
⑤	[eqn: { ( 1+x)^n+1 - 1 } over x]	[eqn: {}_n+1 { rm C} _m]

				12

	PATTERN DRILL

[2010학년도 6월]

다음은 [eqn: n]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때 [eqn: sum from k=1 to n k(`_n{rmC}_k )^2]의 값을
구하는 과정이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

두 다항식의 곱
[eqn: (a_0 +a_1 x+cdots+a_n-1 x^n-1 )(b_0 +b_1 x+cdots+b_n x^n )]
에서 [eqn: x^n-1]의 계수는
[eqn: a_0 b_n-1 +a_1 b_n-2 +cdots+a_n-1 b_0][eqn: CDOTS CDOTS (＊)]
이다. 등식
[eqn: (1+x)^2n-1`=(1+x)^n-1`(1+x)^n]
의 좌변에서 [eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: box{`````(가)`````]이고, [eqn: (＊)]을
이용하여 우변에서 [eqn: x^n-1]의 계수를 구하면
[eqn: sum from k=1 to n (`_n-1 {rmC}_k-1 times{box{`````(나)`````})]
이다.
따라서 [eqn: BOX{`````(가)`````} `=][eqn: sum from k=1 to n (`_n-1 {rmC}_k-1 times{box{`````(나)`````})]이다.
한편 [eqn: 1le k le n]일 때, [eqn: k times _n{rmC}_k =n times _n-1{rmC}_k-1]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{n} `k(` _{n} `{rmC} _{k} `) ^{2}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} `(n TIMES ` _{n-1} ` rm C it rm _{k-1} ` TIMES BOX{`````(나)`````} )]
[eqn: =n times sum from k=1 to n (_n-1 {rmC}_k-1 times BOX{`````(나)`````} )]
[eqn: \=BOX{`````(다)`````}]

이다.

③

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: `_2n{rmC}_n]	[eqn: `_n {rmC}_n-k+1]	[eqn: n over2 times`_2n {rmC}_n+1]
②	[eqn: ` _{2n-1} rm C it rm _{n-1}]	[eqn: `_n {rmC}_n-k+1]	[eqn: {n} over {2} TIMES ` _{2n} rm C it rm _{n}]
③	[eqn: ` _{2n-1} rm C it rm _{n-1}]	[eqn: `_n {rmC}_n-k]	[eqn: {n} over {2} TIMES ` _{2n} rm C it rm _{n}]
④	[eqn: `_2n{rmC}_n]	[eqn: `_n {rmC}_n-k+1]	[eqn: n times`_2n {rmC}_n+1]
⑤	[eqn: ` _{2n-1} rm C it rm _{n-1}]	[eqn: `_n {rmC}_n-k]	[eqn: n over2 times`_2n {rmC}_n+1]

[한성은 PY7167번]

다음은 [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: (1+x)^19]과 [eqn: (1+x) ^{9} (1+x) ^{10}]의
전개식에서 [eqn: x ^{9}]의 계수를 비교하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} k LEFT ( {} _{10} rm C it rm _{k} RIGHT ) ^{2}]의 값을
구하는 과정이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g(k)],
(다)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: f(2)timesg(4)timesa]의 값은?

[eqn: (1+x)^19]의 전개식에서 [eqn: x ^{9}]의 계수는 [eqn: ` _{19} {rmC} _{9}]이다.

[eqn: 1 LEQ k LEQ 10]인 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: (1+x) ^{9}]의
전개식에서 [eqn: x ^{k-1}]의 계수는 [eqn: `_9 {rmC}_k-1]이고 [eqn: (1+x) ^{10}]의
전개식에서 [eqn: x^10-k]의 계수는 [eqn: box{`````(가)`````}]이므로

[eqn: x]에 대한 항등식
[eqn: (1+x)^19][eqn: =(1+x) ^{9} (1+x) ^{10}]

의 좌변과 우변에서 [eqn: x ^{9}]의 계수를 비교하면
[eqn: sum _{k=1} ^{10} left{ _{9} rm C it rm _{k-1} it times` {box{`````(가)`````} right}][eqn: = _{19} rm C it _{9}][eqn: cdots] [eqn: LEFT ( AST RIGHT )]

이다.

자연수 [eqn: k]([eqn: 1leq k leq n])에 대하여

[eqn: k times _{n} rm C it rm _{k} =n times _{n-1} rm C it rm _{n-k}]

이므로 [eqn: ` _{9} rm C it rm _{k-1} = BOX{`````(나)`````} ` TIMES _{10} rm C it rm _{k}]이다.

[eqn: LEFT ( AST RIGHT )]에 적용하면 [eqn: sum _{k=1} ^{10} left{ BOX{`````(나)`````} ` TIMES ( _{10} rm C it rm _{k} ) ^{2} right}][eqn: = _{19} rm C it rm _{9}]이므로
구하는 값은 [eqn: {box{`````(다)`````}` TIMES _{19} rm C it rm _{9}]이다.

③

[eqn: f(k)=_10 {rmC}_k], [eqn: g(k)= { k} over {10 }], [eqn: a=10]

① [eqn: 120]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 180]

④ [eqn: 210]	⑤ [eqn: 240]

				12

	PATTERN DRILL

[유사문항]

다음은 서로 다른 [eqn: n]개에서 중복을 허락하여 [eqn: r]개를
선택하는 방법의 수를 [eqn: f(n,```r)]라 할 때, 등식

[eqn: sum _{k=1} ^{n} f(n,```k)= {1} over {(n-1)!} sum _{k=0} ^{n-1} ` _{n+k} rm P it _{itn-1}]

이 항상 성립함을 보이는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: g(k)], [eqn: h(n,```k)]라 할 때, [eqn: g(3) + h(3,```2)]의 값은?

우변에서 [eqn: `_{n+k} {rmP}_{n-1} = {(n+k)!} over {BOX{`````(가)`````}]이므로 주어진
등식에서

[eqn: (우변)= {1} over {(n-1)!} sum _{k=0} ^{n-1} ` _{n+k} rm P it rm _{it n-1 rm}]
[eqn: = sum _{k=0} ^{n-1} {(n+k)!} over {(n-1)!` BOX{`````(가)`````}}]
[eqn: = SUM_{k=0} ^{n-1}`BOX{`````(나)`````}]

[eqn: f(n,```k)][eqn: = `_n {rmH}_k = `_{n+k-1} {rmC}_ n]이므로 주어진 등식에서

[eqn: (좌변)= `_n {rmH}_1 + `_n {rmH}_2 + cdots+ `_n {rmH}_n]
[eqn: = `_n {rmC}_1 + `_n+1 {rmC}_2 + ````cdots````+ `_2n-1 {rmC}_n]

따라서 주어진 등식이 항상 성립한다.

④

① [eqn: 28]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 36]

[유사문항]

매개변수 [eqn: t left(0 < t< { pi} over {2 } right)]로 나타내어진 함수

[eqn: cases{ x=cos^3 t # y=sin^3 t }]

가 있다. 함수의 그래프 위의 임의의 점 [eqn: rmP]에서의 접선과
[eqn: x]축, [eqn: y]축과의 교점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 다음은 선분
[eqn: rmAB]의 길이가 일정함을 증명한 것이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식의 곱을 [eqn: f(t)]라 할 때,
[eqn: f left( { pi} over { 3} right)]의 값은?

매개변수로 나타낸 함수의 미분법에 의하여

[eqn: { dy} over { dx}= { { dy} over {dt } } over { { dx} over {dt } }=box{`````(가)`````}]
이다.

임의의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (cos^3 t ,```sin^3 t)]라고 하면
접선의 방정식은

[eqn: y-sin^3 t = box{`````(가)`````}`times(x-cos^3 t)]

이다. 이 식에 [eqn: y=0]을 대입하면 교점 [eqn: rmA]의 좌표는
[eqn: (`box{`````(나)`````}`,```0)]이고, [eqn: x=0]을 대입하면 교점 [eqn: rmB]의
좌표는 [eqn: (0,```box{`````(다)`````}`)]이다. 따라서 선분 [eqn: rmAB]의
길이는 [eqn: sqrt { cos^2 t +sin^2 t} =1]로 일정하다.

①

① [eqn: -{ 3} over { 4}]	② [eqn: -{ 2} over { 3}]	③ [eqn: -{ 7} over {12 }]

④ [eqn: -{ 1} over { 2}]	⑤ [eqn: -{ 5} over 12{ }]

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