[정적분으로 정의된 함수]

| 한성은 |

	[New Challenger]
	수학 영역

[한성은 KI1876번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int_1 ^x f(t)dt=ax^3 +x^2 -2 int_-1 ^0 tf`'(t)dt]

를 만족시킨다. [eqn: f(a)]의 값은?

④

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 0=a+1-2 int_-1 ^0 tf`'(t)dt]이다. 양 변을 미분하면 [eqn: f(x)=3ax^2 +2x]이다. [eqn: tf`'(t)=6at^2 +2t]이므로

[eqn: int_-1 ^0 tf`'(t)dt=int_-1 ^0 (6at^2 +2t)dt=[2at^3 +t^2 ]_-1 ^0 =2a-1]

이다. [eqn: 0=a+1-2(2a-1)]에서 [eqn: a=1]이고, [eqn: f(x)=3x^2 +2x]이다.

① [eqn: 7over2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 9over2]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 11over2]

[한성은 TJ8067번]

다항함수 [eqn: f(x)]와 상수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: int _{2} ^{x} {} f(t)dt=x ^{3} +ax ^{2} + int _{0} ^{3} {} xf(t)dt]

일 때, [eqn: int _{0} ^{3} f(t)dt]의 값은?

①

[eqn: int _{0} ^{3} f(t)dt=k]라 하면 [eqn: int _{2} ^{x} {} f(t)dt=x ^{3} +ax ^{2} +kx]이다.

[eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: k=-2a-4]이고, 양 변 미분하면 [eqn: f(x)=3x ^{2} +2ax+k]이다.

[eqn: int _{0} ^{3} f(t)dt=int _{0} ^{3} (3t ^{2} +2at+k)dt=k]

에서 [eqn: 27+9a=-2k]이다. 연립하여 풀면 [eqn: a=- {19} over {5}], [eqn: k= {18} over {5}]이다.

① [eqn: 18over5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {22} over {5}]

④ [eqn: {24} over {5}]	⑤ [eqn: {26} over {5}]

[한성은 AG2750번]

실수 [eqn: a]와 다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{a} ^{x} {(x-t)f(t)dt} =x ^{4} -x ^{3} -x ^{2} +x]

을 만족시킨다. [eqn: f(a)]의 값은?

②

[eqn: g(x)= int _{a} ^{x} {(x-t)f(t)dt} =(x+1)x(x-1) ^{2}]

에서 [eqn: g(a)=0], [eqn: g'(a)=0]이다. [eqn: a=1]이고 [eqn: f(x)=12x^2 -6x-2]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[한성은 QF6475번]

다항함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: 0]이 아닌 상수 [eqn: a]가 모든 실수 [eqn: x]에
대하여

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} = int _{0} ^{x} {} (t+2) LEFT { f(t)-at right }dt]

를 만족시킨다. [eqn: a timesf(4)]의 값은?

②

[eqn: f(x)=kx ^{n} + CDOTS]라 하자. 좌변은 [eqn: k ^{2} x ^{2n} + CDOTS]이고 우변은 [eqn: {k} over {n+2} x ^{n+2} + CDOTS]인 것을 딱보니 [eqn: n=2]이고 [eqn: k= {1} over {4}]이다.

[eqn: f(x)= { 1} over { 4}x^2 +bx] 넣고 삽질해보면 [eqn: (a,```b)]가 [eqn: (0,```1)] 또는 [eqn: left( { 1} over { 4},``` { 1} over { 2} right)] 나온다. [eqn: f(x)= {1} over {4} x ^{2} + {1} over {2} x]이고, [eqn: a= { 1} over {4 }]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5over2]	⑤ [eqn: 3]

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	수학 영역

[한성은 MK0418번]

[eqn: x]에 대한 방정식

[eqn: int _{a} ^{x} {} (t ^{2} -1)dt=0]

의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는
모든 [eqn: a]의 값의 곱은?

②

함수 [eqn: g(x)= int _{a} ^{x} {} (t ^{2} -1)dt]의 그래프를 그려보면, 모든 [eqn: a]의 값은 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: 2]이 네 개다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[한성은 MP0198번]

함수

[eqn: f(x)= int _{u} ^{x} {} t(t-a)(t-b)dt]

가 [eqn: x=1]에서 극댓값, [eqn: x=3]에서 극솟값을 가진다.
방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록
하는 모든 실수 [eqn: u]의 개수는 [eqn: c]이다. [eqn: a+b+c]의 값은?

④

[eqn: left{a,```b right}=left{1,```3 right}], [eqn: c=6]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[한성은 QC2890번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x)]가

[eqn: g(x)= int _{2} ^{x} {} (x-t)f(t)dt]

이다. 함수 [eqn: |g(x) |]가 오직 [eqn: x=6]에서만 미분가능하지
않을 때, [eqn: f(8)]의 값을 구하여라.

[eqn: 24]

[eqn: g(2)=0], [eqn: g'(2)=0]이다. 함수 [eqn: |g(x) |]가 오직 [eqn: x=6]에서만 미분가능하지 않으므로

[eqn: g(x)=k(x-2) ^{3} (x-6)]

이다.

[eqn: g prime (x)=4k(x-2)^2 (x-5)=int_2 ^x f(t)dt]

의 양 변을 미분하면 [eqn: 12k(x-2)(x-4)=f(x)]이다. [eqn: k= { 1} over {12 }]이다.

* 과조건 문항이다. [eqn: g'(2)=0]이 주어지지 않아도 [eqn: g(x)=k(x-2) ^{3} (x-6)]임을 알 수 있다.

[한성은 CQ2692번]

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[eqn: g(x)=int _{0}^{x} f(t)dt]

가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(4)]의 값을 구하여라.

(가) 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: -27]이다.

(나) 함수 [eqn: | g(x)|]가 오직 [eqn: x=4]에서만

미분가능하지 않다.

[eqn: 64]

[eqn: g(x)=kx^3 (x-4)]

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	수학 영역

[한성은 AV7354번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와
모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{a} ^{x} {} f(t)dt GEQ 0]

이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값이 [eqn: -2]와 [eqn: 4]일 때,
[eqn: f`'(-2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 18]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같아야 한다. [eqn: f(x)=(x+2)(x-1)(x-4)]이다.

[한성은 JA3284번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: int _{a}^{x} f(t)dt=0]

을 만족시키는 [eqn: x]의 값의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는
모든 실수 [eqn: a]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면

[eqn: alpha _{1}], [eqn: alpha _{2}], [eqn: cdots], [eqn: alpha _{m}]

이다. [eqn: alpha _{m} - alpha _{1} =12]일 때, [eqn: int _{alpha _{1}}^{alpha _{m}} f(x)dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 36]

[eqn: m=4]이다. [eqn: g(x)= int _{a} ^{x} {} f(t)dt]라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=alpha _{2}]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x=alpha _{3}]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: int _{alpha _{1}} ^{alpha _{m}} {} f(x)dx=g(alpha _{m} )-g(alpha _{1} )=g(alpha _{2} )-g(alpha _{3} )]

은 함수 [eqn: g(x)]의 극댓값과 극솟값의 차이이다.

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	수학 영역

[한성은 SE4893번]

[eqn: f(1)=0]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인
다항함수 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x)=(x-1)f(x)- int _{1} ^{x} {f(t)dt}]

를 만족시킨다. 방정식 [eqn: g(x)=0]이 오직 하나의 실근을
가질 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하여라.

[eqn: 24]

[eqn: g(1)=0]이고 [eqn: g'(x)=(x-1)f`'(x)]이므로 [eqn: g'(1)=0]이다.

[eqn: g(x)=(x-1) ^{3}],   [eqn: f(x)= {3} over {2} (x-1) ^{2}]

이다.

[한성은 GY4393번]

삼차함수 [eqn: f(x)]와 함수

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {}| f` prime (t)| dt-f(x)]

가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(10)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: x<2]에서 [eqn: g(x)=0]

(나) [eqn: 2<x<6]에서 [eqn: g(x)]가 증가한다.

(다) [eqn: x>6]에서 [eqn: g(x)=16]

[eqn: 40]

[eqn: g prime (x)=|f` prime (x)|-f` prime (x)= {cases{0&```(f`'(x)ge0)#-2f` prime (x)&```(f` prime (x)<0)}}]

이다. 함수 [eqn: g(x)]의 개형을 째려보면 [eqn: f`'(x)=k(x-2)(x-6)]이고,

곡선 [eqn: y=f`'(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 8]이므로 [eqn: k= {3} over {4}]이다.

[eqn: f` prime (x)= {3} over {4}(x-2)(x-6)]이고 [eqn: g(0)=-f(0)=0]이므로 [eqn: f(x)= {1} over {4} x(x-6) ^{2}]이다.

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