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Pattern Drill | 삼차함수의 그래프

Pattern Drill

삼차함수의 그래프

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삼차함수의 개형

삼차함수는 미분계수가 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]값의 개수가

① [eqn: 2]개,   ② [eqn: 1]개,   ③ [eqn: 0]개

인 것으로 나눌 수 있다.

[eqn: RARROW] 이 중 극값을 갖는 것은 ①, 극값을 갖지 않는 것은 ②와 ③이다.

[eqn: RARROW] ②와 ③을 다음과 같이 설명할 수 있다.

1) 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수이다. ([eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )<f(x_2 )]이다.)

2) 일대일 대응이다. ([eqn: x _{1} !=x _{2}]이면 [eqn: f(x _{1} )!=f(x _{2} )]이다.)

3) 역함수가 존재한다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

(그려라.)

(1) [eqn: y=x^3 -12x]	(2) [eqn: y=x^3 -3x^2 +3x+3]

(3) [eqn: y=x^3 +3x]	(4) [eqn: y=-x^3 -x^2 -x]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +ax+1]이 극값을 갖지 않기 위한 상수 [eqn: a]의 최솟값은?

③

① [eqn: 1``]	② [eqn: { 1} over {2 }]	③ [eqn: { 1} over { 3}]

④ [eqn: { 1} over {4 }]	⑤ [eqn: { 1} over {5 }]

삼차함수 [eqn: f(x)=-x^3 +ax^2 -3x-1]이 [eqn: x_1 <x_2]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여
[eqn: f(x_1 )>f(x_2 )]를 만족시킬 때, 정수 [eqn: a]의 개수는?

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

삼차함수 [eqn: f(x)= 1over3 x^3 +ax^2 +4x]의 역함수가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

①

① [eqn: -2le a le2]	② [eqn: -2<a<2]	③ [eqn: 0le a le2]

④ [eqn: 0<a<2]	⑤ [eqn: -4le a le 4]

삼차함수의 변곡점과 대칭성

삼차함수의 그래프는 변곡점에 대하여 점대칭이다.

① 변곡점은 기울기의 증감이 바뀌는 점으로서, 두 번 미분해서 [eqn: 0]이 되는 점이다.

② 삼차함수 [eqn: y=ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - {b} over {3a}]이다.

함수 [eqn: y = x^3 -3x^2 + 3]의 극대점과 극소점을 잇는 선분의 중점의 좌표를 구하여라.

[eqn: (1,```1)]

함수 [eqn: y=x ^{3} -ax ^{2} +3]의 접선 중 기울기가 [eqn: x=2]에서 최소일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 6]

함수 [eqn: y=x(x-3) ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx]로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같을 때,
[eqn: m]의 값을 구하여라.

[eqn: 1]

오른쪽 그림과 같이 삼차함수 [eqn: f(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d]의 그래프는 [eqn: x`]좌표가 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: alpha_3]인 점에서 [eqn: x`]축과 만나고, [eqn: x`]좌표가 [eqn: beta _1], [eqn: beta `_2 `]인 점에서 극값을 가진다. [eqn: alpha_{1} + alpha _{2} + alpha _{3} =-15]일 때, [eqn: beta _{1} + beta _{2}]의 값은?

①

① [eqn: -10]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -6]

양수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: (a,```0)]에서 곡선 [eqn: y=3x^3]에 그은 접선과 점 [eqn: (0,```a)]에서 그은 접선이
서로 평행할 때, [eqn: 90a]의 값을 구하여라.

[eqn: 20]

양수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: (a,```0)]에서 곡선 [eqn: y= {1} over {3} x ^{3}]에 그은 접선과 [eqn: (0,```4a)]에서 그은 접선이
서로 평행할 때, [eqn: 30a]의 값을 구하여라.

[eqn: 40]

삼차함수의 길이비1

변곡점이 원점이고 극값을 가지는 삼차함수에 대하여

극점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], 함수의 [eqn: x]절편을 [eqn: beta]라 하면, [eqn: |alpha|:|beta|=1: sqrt { 3}]이다.

함수 [eqn: f(x) = (x-a)(x-2a)(x-3a)]는 [eqn: x=alpha]에서 극댓값을, [eqn: x= beta]에서 극솟값을 갖는다.
이 때 [eqn: alpha +beta]의 값은? (단, [eqn: a!= 0])

③

① [eqn: 3a]	② [eqn: 7 over2 a]	③ [eqn: 4a]

④ [eqn: 9 over2 a]	⑤ [eqn: 5a]

삼차함수의 길이비2

[eqn: x=beta]에서 [eqn: x]축에 접하고 이와 다른 [eqn: x]절편이 [eqn: alpha]인 삼차함수에 대하여

[eqn: beta]가 아닌 다른 극값과 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]를 각각 [eqn: 1:2], [eqn: 2:1]로 내분한다.

삼차함수 [eqn: y=f(x)]가 서로 다른 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: f(a)=f(b)=0],   [eqn: f`'(a)=f`'(c)=0]
을 만족시킨다. [eqn: c]를 [eqn: a]와 [eqn: b]로 나타내어라.

④

① [eqn: a+b]	② [eqn: a+b}over2]	③ [eqn: {a+b} over {3}]

④ [eqn: {a+2b} over {3}]	⑤ [eqn: {2a+b} over {3}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 12rmcm]인 정사각형 모양의
종이의 네 모퉁이에서 크기가 같은 정사각형을 잘라내고,
남은 부분을 접어서 뚜껑이 없는 상자를 만들려고 한다.
상자의 부피가 최대가 되는 [eqn: x]의 값을 구하여라.

[eqn: 2rmcm]

삼차함수의 길이비3

삼차함수에 평행한 두 접선을 그었을 때, 함수의 그래프와 접선의 네 교점과 변곡점에서

[eqn: x]축에 내린 수선의 발 다섯 개를 생각하자. 이 다섯 개의 점 사이의 네 간격은 모두

서로 같다.

곡선 [eqn: y=-x^3 +6x^2 -9x-12] 위의 점 [eqn: (0,```-12)]에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는
점의 좌표가 [eqn: (a,```b)]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: b over a]의 값은?

②

① [eqn: -13]	② [eqn: -11]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -5]

극댓값과 극솟값의 차이

최고차항의 계수가 [eqn: a]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=alpha]에서 극대, [eqn: x=beta]에서 극소일 때,

[eqn: f( alpha )-f( beta )= LEFT | {a} over {2} ( beta - alpha ) ^{3} RIGHT |]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: a]([eqn: a>0])인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=alpha], [eqn: x=beta][eqn: (alpha<beta])에서 극값을 가질 때,
[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f`'(x)]의 개형을 그리고 이를 이용하여 위의 사항을 증명하여라.

(생략)

함수 [eqn: f(x)=2x ^{3} -5x ^{2} +4x+3]가 극대인 점을 [eqn: rmA], 극소인 점을 [eqn: rmB]라 할 때,
직선 [eqn: rmAB]의 기울기를 구하여라.

[eqn: -{ 1} over {9 }]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 세 조건을 만족시킬 때,
[eqn: f(4)]의 값을 구하여라.

[eqn: 62]

(가) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=alpha], [eqn: x=beta]에서 극값을 갖는다.

(나) 두 점 [eqn: {rmA}(alpha,```f(alpha))], [eqn: rm B it (beta,```f(beta))]의 중점은 [eqn: (0,```1)]이다.

(다) 극댓값과 극솟값의 차는 [eqn: {1} over {2}]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(x)]의 극댓값은?

①

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(2+x)=f`'(2-x)]이다.

(나) [eqn: f(3)=-12]는 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이다.

① [eqn: -8]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -4]

삼차함수의 접선의 개수

삼차함수와 그의 변곡점에서 그은 접선으로 나뉜 영역에 따라

그을 수 있는 접선의 개수가 달라진다.

점 [eqn: (3,```a)]에서 곡선 [eqn: y=x^3]에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있을 때, 실수 [eqn: a]값의 범위는?

[eqn: {0<a<27}]

점 [eqn: (0,```a)]에서 곡선 [eqn: y = x^3 + 3x^2]에 오직 한 개의 접선을 그을 수 있을 때, 실수 [eqn: a]값의 범위를
구하여라.

[eqn: {a< -1}] 또는 [eqn: {a>0}]

점 [eqn: (1,```a)]에서 곡선 [eqn: y= - x^3 +x]에 두 개 이상의 접선을 그을 수 있을 때,
실수 [eqn: a]값의 범위를 구하여라.

[eqn: {0 le a le1}]

연습문제

열심히.

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +18x+4]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]의 접선 중 기울기가 최소인
접선의 방정식을 [eqn: y=px+q]라 할 때, 두 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값을 구하여라.

[eqn: 18]

곡선 [eqn: y=-x^2 +3x] ([eqn: 0<x<3]) 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때,
[eqn: rmTRIANGLE OPH]의 넓이의 최댓값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

②

① [eqn: 3 over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 over2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over2]

오른쪽 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^3 -2x+1] 위의 점 [eqn: rmP(1,```0)]에서의
접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ], 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점을
[eqn: rmR]라고 할 때, [eqn: rmbar PQ :bar QR]는?

①

① [eqn: 1:2]	② [eqn: 1:3]	③ [eqn: 2:3]

④ [eqn: 2:5]	⑤ [eqn: 3:4]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx]의 그래프가 오른쪽 그림과 같다.
함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: -4]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

⑤

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

곡선 [eqn: y= x^3 + 2] 밖의 한 점 [eqn: {rmA}(1,```a)]에서 주어진 곡선에 서로 다른 세 개의 접선을
그을 수 있도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

③

① [eqn: 0< a<1]	② [eqn: 1<a<2]	③ [eqn: 2<a<3]

④ [eqn: 0<a<2]	⑤ [eqn: 1<a<3]

점 [eqn: (0,```t)]에서 곡선 [eqn: y=x^3 -3x^2 +2x```(x`\ ge 0)]에서 접선을 그을 수 있는 실수 [eqn: t]의 값의
범위는?

①

① [eqn: t`le`1`]	② [eqn: t`ge`-1]	③ [eqn: -2 le `t `le2]
④ [eqn: t``le -2]	⑤ [eqn: t`ge`0]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킨다.
방정식 [eqn: |`f(x)`|=2]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

④

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2ax ^{3} +6bx ^{2} +6cx+9]는 [eqn: x=-1]일 때 극댓값을 가지고, [eqn: x=3]일 때 극솟값을
가지며, [eqn: f(-1)-f(3)=8]이다. 이 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하여라.

[eqn: a= {1} over {8}], [eqn: b=- {1} over {8}], [eqn: c=- {3} over {8}]

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 +3x^2 -ax+b]가 다음 세 조건을 만족할 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

[eqn: 13]

(가) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=alpha], [eqn: x=beta]에서 극값을 갖는다.

(나) 두 점 [eqn: {rmA}(alpha,```f(alpha))], [eqn: rm B it (beta,```f(beta))]의 중점은 [eqn: (-1,```3)]이다.

(다) [eqn: f`'(alpha+beta)=2]

그림은 원점 [eqn: rmO]에 대하여 대칭인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 그래프이다. 곡선
[eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rm B]라 하고,
함수 [eqn: f(x)]의 극대, 극소인 점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자. 점 [eqn: rm D]의 [eqn: x]좌표가
[eqn: 1over2]이고 사각형 [eqn: rm ADBC]의 넓이가 [eqn: sqrt3]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은?

[eqn: 1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4 over3]	③ [eqn: 5 over3]

④ [eqn: sqrt3 over2]	⑤ [eqn: sqrt2]

다음 세 조건을 동시에 만족하는 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 구하여라.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-6x ^{3} +9x ^{2} -3x+1]

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]
(나) [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =-3]
(다) 극값의 차가 극값을 가지는 [eqn: x]값들의 차와 같다.

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} - {3} over {2} kx ^{2} -6k ^{2} x+2] ([eqn: k>0])의 그래프 위의 서로 다른 두 점
[eqn: {rmA}(a,```f(a))], [eqn: {rmB}(b,```f(b))]에 대하여 다음 두 조건이 성립한다. 이 때, [eqn: rmbarAB]의 값은?

④

(가) [eqn: f`'(a)=f`'(b)=0]

(나) [eqn: |f(a)-f(b)|=4]

① [eqn: 2sqrt { 3}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3sqrt { 2}]

④ [eqn: 2sqrt { 5}]	⑤ [eqn: 4sqrt { 2}]

그림은 [eqn: y=x ^{3} -3a ^{2} x]의 그래프를 나타낸 것이다. 극대, 극소인 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rmB]라 하고
두 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB]를 지나고 [eqn: y]축에 수직인 직선을 각각 [eqn: l _{1}], [eqn: l_2]라 하자. 두 직선 [eqn: l _{1}], [eqn: l_2]가 곡선과
만나는 점 중에서 [eqn: rm A], [eqn: rmB]가 아닌 점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rmD]라 하고, 두 점 [eqn: rm C], [eqn: rmD]를 지나고 [eqn: x]축에
수직인 직선이 두 직선 [eqn: l _{1}], [eqn: l_2]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하자. 선분 [eqn: rmOB]를 대각선으로 하는
직사각형(그림의 색칠한 부분)의 넓이가 [eqn: 5]일 때, 사각형 [eqn: rmFDEC]의 넓이를 구하여라.

[eqn: 40``]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]가 다음 세 조건을 만족한다. 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하여라.

[eqn: a=-3], [eqn: b=0], [eqn: c=5]

(가) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 점 [eqn: LEFT ( 1,```3 RIGHT )]을 지난다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=alpha]일 때, 극댓값, [eqn: x=beta]일 때 극솟값을

가지며 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) -f LEFT ( beta RIGHT ) =-2 LEFT ( alpha-beta RIGHT )]이다.
(다) 점 [eqn: LEFT ( 1,```3 RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: x]절편은 [eqn: 2]이다.