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Pattern Drill | 수열 뒤쪽

Pattern Drill

수열 뒤쪽

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시그마의 의미와 성질

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}}]

① [eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{k} +-b _{k} )= sum _{k=1} ^{n} a _{k} +- sum _{k=1} ^{n} b _{k}]

② [eqn: sum from k=1 to n c a_k =c sum from k=1 to n a_k]

③ [eqn: sum _{k=m} ^{n} a _{k} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{m-1} a _{k}]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: left{b_n right]에 대하여 [eqn: sum from k=1 to 10 a_k =30], [eqn: sum from k=1 to 10 b_k =20]일 때, [eqn: sum from k=1 to 10 (2a_k - 3b_k + 2)]의 값은?

③

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 50]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: left{b_n right]에 대하여 [eqn: { sum _{k=1} ^{n} (a _{k} +b _{k} ) ^{2} =100], [eqn: ` sum _{k=1} ^{n} a _{k} b _{k} =30 }]일 때,
[eqn: { sum _{k=1} ^{n} (a _{k} ^{```2} +b _{k} ^{```2} ) }]의 값을 구하여라.

[eqn: { 40 }``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: { sum _{k=1} ^{10} a _{k} =4], [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{```2} =8 }]일 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{10} (3a _{k} -1) ^{2} }``]의 값은?

②

① [eqn: { 49 }``]	② [eqn: { 58 }``]	③ [eqn: { 73 }``]
④ [eqn: { 99 }``]	⑤ [eqn: { 121 }``]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{2k-1} +a _{2k} )=4n ^{2}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k}]의 값은?

③

① [eqn: { 100 }``]	② [eqn: { 200 }``]	③ [eqn: { 400 }``]
④ [eqn: { 800 }``]	⑤ [eqn: { 1600 }``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{49} a _{k} =16]이고 [eqn: a _{`50} = {1} over {7} }]일 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{49} `k(a _{k} -a _{k+1} ) }]의 값은?

②

① [eqn: { 8 }``]	② [eqn: { 9 }``]	③ [eqn: { 10 }``]
④ [eqn: { 11 }``]	⑤ [eqn: { 12 }``]

시그마의 풀이1 다항식

① [eqn: sum _{k=1} ^{n} k=1+2+3+ CDOTS n= {{n(n+1)} over {2}}]

② [eqn: sumfrom k=1 ton k^2 = 1^2 +2^2 + 3^2 + cdots+ n^2 = { { n(n+1)(2n+1)}over 6}]

③ [eqn: sumfrom k=1 ton k^3 =1^3 +2^3 +3^3 + cdots +n^3 = { left{ n(n+1)over2 right}^2}]

※ [eqn: sum from k=1 to n c = cn]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (2k ^{2} -6k+5)]의 값은?

①

① [eqn: 490]	② [eqn: 495]	③ [eqn: 500]
④ [eqn: 505]	⑤ [eqn: 510]

[eqn: sum _{k=1} ^{30} {1+2+3+ CDOTS +k} over {k}]의 값은?

③

① [eqn: { 485 over2 }``]	② [eqn: { 245 }``]	③ [eqn: { 495 over2 }``]
④ [eqn: { 250 }``]	⑤ [eqn: { 505 over2 }``]

[eqn: { sum _{k=1} ^{10} (k-c) ^{2} }]의 값이 최소가 되도록 하는 상수 [eqn: { c }]의 값은?

④

① [eqn: { 4 }``]	② [eqn: { 9 over2 }``]	③ [eqn: { 5 }``]

④ [eqn: { 11 over2 }``]	⑤ [eqn: { 6 }``]

[eqn: sum from l=1 to 10 left{ sum from k=1 to l (2k+l)right}]의 값은?

⑤

① [eqn: 275]	② [eqn: 385]	③ [eqn: 420]
④ [eqn: 715]	⑤ [eqn: 825]

[eqn: sum _{j=1} ^{10} LEFT { sum _{i=j} ^{10} i RIGHT }]의 값은?

②

① [eqn: 275]	② [eqn: 385]	③ [eqn: 420]
④ [eqn: 715]	⑤ [eqn: 825]

[eqn: { 1 cdot 1 +2 cdot 2 + 3 cdot 2^2 +cdots + 10 cdot 2^9 }]의 값은?

②

① [eqn: { 9cdot 2^10 -1 }``]	② [eqn: { 9 cdot 2^10 +1 }``]	③ [eqn: { 11 cdot 2^10 -1 }``]
④ [eqn: { 11 cdot 2^10 +1 }``]	⑤ [eqn: { 13 cdot 2^10 +1 }``]

시그마의 풀이2 망원화

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{k+1} -a _{k} )=a _{n+1} -a _{1}]

※ [eqn: sum from k=1 to n 1over k(k+1) = sum from k=1 to n left( 1over k - 1over k+1 right)]

[eqn: { 1over{{root{2} + root{3}}}+ 1over{{root{3}}+{root{4}}} + 1over{{root{4}}+{root{5}}} }][eqn: { + CDOTS + {1} over {sqrt {48} + sqrt {49}} }]의 값은?

②

① [eqn: { 6-root{2 }]	② [eqn: { 7-root{2]	③ [eqn: { 6 }``]
④ [eqn: { 7 }``]	⑤ [eqn: { 7+root{2]

수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }]이 첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: { 4 }]인 등차수열일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} {1} over {sqrt {a _{k}} + sqrt {a _{k+1}}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

[eqn: { 1 over{3^2 -1} + 1 over{5^2 -1}+ 1 over{7^2 -1} + 1 over{9^2 -1}+cdots+ 1 over{25^2 -1} }]의 값이 [eqn: { q overp }]일 때, [eqn: { p+q }]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)

[eqn: { 16 }``]

① [eqn: { 13 }``]	② [eqn: { 14 }``]	③ [eqn: { 15 }``]

④ [eqn: { 16 }``]	⑤ [eqn: { 17 }``]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x- LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT ) =0]의
두 근 [eqn: alpha _{n}], [eqn: beta _{n}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {alpha _{n}} + {1} over {beta _{n}} RIGHT )]의 값은?

④

① [eqn: {11} over {21}]	② [eqn: {20} over {21}]	③ [eqn: {31} over {21}]

④ [eqn: {40} over {21}]	⑤ [eqn: {50} over {21}]

[eqn: 1+ 1over1+2 + 1over {1+2+3} + cdots+ 1over{1+2+3+cdots+ 100}]의 값은?

④

① [eqn: 99over50]	② [eqn: 199over100]	③ [eqn: 100over101]
④ [eqn: 200over101]	⑤ [eqn: 300over101]

[eqn: sum _{n=1} ^{31} log _{2} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 5]

합의 수열과 일반항

[eqn: a_n = cases{ S_n -S_n-1& ```(n ge2)# S_1& ```(n=1)}]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2} +n]일 때, [eqn: { sum _{ k=1} ^{10 } a_2k-1 }]의 값은?

②

① [eqn: { 190 }``]	② [eqn: { 200 }``]	③ [eqn: { 210 }``]
④ [eqn: { 220 }``]	⑤ [eqn: { 230 }``]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_1 +a_2 + cdots+ a_n =n^2 + n]일 때,
[eqn: 1over 2a_1 + 1over 3a_2 + cdots+ 1over 11a_10]의 값은?

④

① [eqn: 5over9]	② [eqn: 3over10]	③ [eqn: 2over11]
④ [eqn: 5over11]	⑤ [eqn: 5over12]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때,
모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_n = 2^n-1 + 1]이다. [eqn: a _{1} + {a _{106}} over {a _{100}}]의 값은?

③

① [eqn: 18]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 66]

④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 258]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} =n ^{2}]일 때, [eqn: sum_k=1 ^10 a_k]의 값을 구하여라.

[eqn: 715]

수열의 귀납적 정의

잘.

[eqn: a_1 =1], [eqn: a _{2} =4]인 수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+2 =a_n+1 -a_n]을 만족시킬 때, [eqn: a_100]의 값은?

③

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: a_1 = 2]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+1 + 1 over { a_n + 1 } = 0]을 만족시킬 때, 다음 중 옳은 것은?

③

① [eqn: a_8 = a_9]	② [eqn: a_9 = a_11]	③ [eqn: a_11 = a_14]

④ [eqn: a_14 = a_18]	⑤ [eqn: a_18 = a_23]

수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: { a _{n+2} -a _{n+1} =a _{n+1} -a _{n}]을 만족시킨다.
[eqn: { a _{3} =10], [eqn: a _{10} =24 }]일 때, [eqn: { a _{15} }]의 값을 구하여라.

[eqn: { 34 }``]

[eqn: { a _{1} =2], [eqn: a _{2} =6 }]인 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }]에 대하여 이차방정식
[eqn: { a _{n} x ^{2} +2a _{n+1} x+a _{n+2} =0 }]  [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,```2,````3,``` CDOTS RIGHT ) }]
이 중근 [eqn: { b _{n} }]을 가진다고 한다. [eqn: { sum _{k=1} ^{10} b _{k} }]의 값은?

①

① [eqn: { -30 }``]	② [eqn: { -10 }``]	③ [eqn: { 10 }``]
④ [eqn: { 30 }``]	⑤ [eqn: { 60 }``]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }]에서 [eqn: { a _{2} =2a _{1}], [eqn: a _{5} =16 }]이고
[eqn: { loga _{n} -2loga _{n+1} +loga _{n+2} =0 }]  [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,```2,````3,``` CDOTS RIGHT ) }]
이 성립할 때, [eqn: { a _{10} }]의 값을 구하여라.

[eqn: { 512 }``]

점화식의 풀이1 계차

① [eqn: a_n+1 = a_n + f(n)] 꼴 : [eqn: a_n =a_1 +sum_k=1 ^n-1 f(k)]

② [eqn: a _{n+1} =f(n)timesa _{n}] 꼴 : [eqn: a _{n} =f(1)f(2)f(3)cdotsf(n-1)a _{1}]

수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }]이
[eqn: { a _{1} =1],  [eqn: a _{n+1} =a _{n} +n ^{2} -1 }]  [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,```2,````3,``` CDOTS RIGHT ) }]
을 만족시킬 때, [eqn: { a _{10} }]의 값을 구하여라.

[eqn: { 277 }``]

[eqn: a_1 =2]인 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]이
[eqn: {a _{n+1} =a _{n} + {1} over {n(n+1)} }]  [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,```2,````3,``` CDOTS RIGHT ) }]
을 만족시킬 때, [eqn: { a _{30} -a _{5} }]의 값은?

②

① [eqn: { {1} over {30} }``]	② [eqn: { {1} over {6} }``]	③ [eqn: { {1} over {5} }``]
④ [eqn: { {1} over {3} }``]	⑤ [eqn: { {1} over {2} }``]

[eqn: a_1 =1]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+1} = {n+3} over {n+1} a _{n}]을 만족시키는 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{18} {10} over {a _{k}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 27]

수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }]이
[eqn: a_1 =1],  [eqn: sqrt {n+2} ``a _{n+1} = sqrt {n} a _{n}]  [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,```2,````3,``` CDOTS RIGHT ) }]
을 만족시킬 때, [eqn: {1} over {a _{49}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 35]

점화식의 풀이2

[eqn: a _{n+1} =pa _{n} +q] 꼴 : [eqn: a _{n+1} -alpha=p(a _{n} -alpha)] 꼴로 변형.

수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }]을
[eqn: { a _{1} =1],   [eqn: a _{n+1} =-3a _{n} +2]  [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,```2,````3,``` CDOTS RIGHT ) }]
로 정의할 때, [eqn: { a _{7} }]의 값은?

④

① [eqn: { 305 }``]	② [eqn: { 325 }``]	③ [eqn: { 345 }``]
④ [eqn: { 365 }``]	⑤ [eqn: { 385 }``]

[eqn: a_1 =1]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 =2a_n +1]을 만족시키는
수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_10]의 값을 구하여라.

[eqn: 1023]

점화식의 풀이3

점화식에 [eqn: S _{n}]이 보이면 [eqn: S _{n} -S _{n-1} =a _{n}]을 이용한다.

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때
[eqn: S_n =2a_n +n]  [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,```2,````3,``` CDOTS RIGHT ) }]
이 성립한다. [eqn: a_99]의 값은?

④

① [eqn: -2^100]	② [eqn: 1-2^100]	③ [eqn: -2^99]
④ [eqn: 1-2^99]	⑤ [eqn: -2^98]

[eqn: a_1 =1]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
[eqn: 3(a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n} )=(n+2)a _{n}]  [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,```2,````3,``` CDOTS RIGHT ) }]
이 성립할 때, [eqn: a_k = 55]를 만족시키는 [eqn: k]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =3]인 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면
[eqn: (S _{n+1} -S _{n-1} ) ^{``2} =4`a _{n} `a _{n+1} +4]  [eqn: (n=2,~3,~4,~cdots )]
가 성립한다. 이 때 [eqn: a_20]의 값은? (단 [eqn: a_1 < a_2 < a_3 < cdots < a_n < cdots])

②

① [eqn: 38]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 40]
④ [eqn: 41]	⑤ [eqn: 42]

[eqn: a _{1} `=1]이고 각 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때,
[eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {S _{n}} + sqrt {S _{n-1}} =a _{n}]이 성립한다. [eqn: S _{10}]의 값을 구하여라.

[eqn: 100]

수학적 귀납법

다음이 성립하면 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 조건 [eqn: p(n)]이 참이다.

ⅰ) [eqn: p(1)]이 참이다.

ⅱ) 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: p(k)]가 참일 때, [eqn: p(k+1)]이 참이다.

모든 자연수 [eqn: { n }``]에 대하여 명제 [eqn: { p LEFT ( n RIGHT ) }``]이 다음 조건을 만족시킬 때, 다음 중 항상 참인 명제는?

④

(가) [eqn: p LEFT ( 1 RIGHT )]은 참이다.

(나) [eqn: p LEFT ( n RIGHT )]이 참이면 [eqn: p LEFT ( 2n RIGHT )]이 참이다.

(다) [eqn: p LEFT ( n RIGHT )]이 참이면 [eqn: p LEFT ( 3n RIGHT )]이 참이다.

① [eqn: { p LEFT ( 42 RIGHT ) }``]	② [eqn: { p LEFT ( 45 RIGHT ) }``]	③ [eqn: { p LEFT ( 65 RIGHT ) }``]
④ [eqn: { p LEFT ( 108 RIGHT ) }``]	⑤ [eqn: { p LEFT ( 120 RIGHT ) }``]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: 1+2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{n-1} =2 ^{n} -1]  [eqn: cdots]  ㉠
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 과정이다.

위의 증명에서 (가), (나) 에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

(ⅰ) [eqn: { n=1 }]일 때,

[eqn: (좌변)=2 ^{0} =1], [eqn: {(우변) =2 ^{1} -1=1 }]

따라서 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: { n=k }]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: { 1+2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{k-1} =2 ^{`k} -1 }]

위의 식의 양변에 [eqn: { BOX{`````(가)`````} }]를 더하면

[eqn: { 1+2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{k-1} + BOX{`````(가)`````} }]

[eqn: { =2 ^{k} -1+ BOX{`````(가)`````} }]

[eqn: { = BOX{`````(나)`````} }]

따라서 [eqn: { n=k+1 }]일 때도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: { n }]에 대하여 ㉠이 성립한다.

①

① [eqn: { 2 ^{k}], [eqn: 2 ^{k+1} -1 }]	② [eqn: { 2 ^{k}], [eqn: 2 ^{k+1}]	③ [eqn: { 2 ^{k}], [eqn: 2 ^{k+1} +1]

④ [eqn: 2 ^{k+1}], [eqn: 2 ^{k+1}]	⑤ [eqn: 2 ^{k+1}], [eqn: 2 ^{k+1} +1]

다음은 [eqn: { n geq5]인 모든 자연수 [eqn: { n }]에 대하여 부등식 [eqn: { 2 ^{n} >n ^{2} }]이 성립함을
수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

(ⅰ) [eqn: { n=5 }]일 때,

[eqn: (좌변)=2 ^{5} =32], [eqn: (우변)][eqn: { =5 ^{2} =25 }]

따라서 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: { n=k LEFT ( k geq5 RIGHT ) }]일 때, 주어진 부등식이 성립한다고

가정하면

[eqn: { 2 ^{k} >k ^{2} }]

위의 식의 양변에 [eqn: { 2 }]를 곱하면

[eqn: { 2 ^{k+1} >2k ^{2} }]

그런데 [eqn: { k geq5 }]이면

[eqn: { k ^{2} -2k-1= BOX{`````(가)`````} -2>0 }]

이므로 [eqn: { k ^{2} >2k+1 }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2 ^{k+1}>2k ^{2} =k ^{2} +k ^{2} > BOX{`````(나)`````} }]

따라서 [eqn: { n=k+1 }]일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: { n GEQ 5 }]인 모든 자연수 [eqn: { n }]에 대하여 주어진

부등식이 성립한다.

④

① [eqn: (k+1)^2], [eqn: k^2 +2k]	② [eqn: (k+1)^2], [eqn: (k+1)^2]	③ [eqn: (k-1)^2], [eqn: k^2 +2k]

④ [eqn: (k-1)^2], [eqn: (k+1)^2]	⑤ [eqn: { LEFT ( 2k+1 RIGHT ) ^{2}], [eqn: k^2 +2k]