[삼각형이란 무엇인가]

| 한성은 |

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쓰기 좋은 사인법칙

문제) 예각삼각형 [eqn: rmABC]에서 두 각 [eqn: rmangleA]와 [eqn: rmangleB]이 각각 [eqn: theta _{1}], [eqn: theta _{2}]이고

변 [eqn: rmBC]의 길이가 [eqn: a]로 주어졌을 때, [eqn: rm bar{AC}]를 [eqn: theta _{1}], [eqn: theta _{2}], [eqn: a]를 이용하여 나타내어라.

풀이1) 딱 봐도 사인법칙이다.

각이 두 개 이상 주어지거나, 외접원이 뜨면 사인법칙이라고 적어두자.

[eqn: { a} over {sintheta_1 }= { {rmbarAC}} over {sintheta_2 }]

이므로 [eqn: {rmbarAC}= { sintheta_2} over {sintheta_1 } timesa]이다.

풀이2) 점 [eqn: rmC]에서 변 [eqn: rmAB]에 수선을 내리자.

길이 [eqn: a]와 각 [eqn: theta_2]와 각 [eqn: theta_1]을 살리는 수선이다.

[eqn: {rmbarCH} =a sin theta_2]이고 [eqn: sin theta_1 =rmbar { CH} over { barAC}]이므로 [eqn: {rmbarAC}= { sintheta_2} over {sintheta_1 } timesa]이다.

※ 이 풀이는 풀이1)의 사인법칙을 풀어서 쓴 것이다.

풀이3) [eqn: rmbarAC]를 [eqn: x]라 두자.

이 그림을 보고 있으면 [eqn: rmC]에서 변 [eqn: rmAB]에 수선을 내리고 싶어진다.

[eqn: x sintheta_1 =a sintheta_2]이므로 [eqn: {rmbarAC}=x= { sintheta_2} over {sintheta_1 } timesa]이다.

※ 야, 이건 풀이2)하고 똑같은 거 아냐? 라고 할지 모르겠는데, 그렇다. 똑같은 풀이다.

이걸 왜 다른 풀이랍시고 써 놨냐면 처음의 [[eqn: x]라 두자.]라는 과정을 강조하고 싶었다.

저 [eqn: x]라는 설정이 보조선 [eqn: rmCH]를 꺼내는 데 도움을 줬다고 볼 수 없을까?

※ 풀이2)는 사고의 흐름이 [eqn: a][eqn: rarrow][eqn: rmbarCH][eqn: rarrow][eqn: x]인 것에 비해 풀이3)은 원스텝인 삘이다.

대신 양쪽이 동시에 보여야 한다.

쓰기 좋은 코사인법칙

문제) 예각삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmBC], [eqn: rmCA], [eqn: rmAB]의 길이가 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]로 주어졌을 때,

[eqn: cos( rm angleBAC)]를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 이용하여 나타내어라.

풀이1) 딱 봐도 코사인법칙이다.

각이 하나 주어졌을 때나 세 변의 길이에서 각을 구할 때는 코사인 법칙이다.

[eqn: cos({rm angleBAC}) = { b^2 +c^2 -a^2} over {2bc }]

이다.

풀이2) 점 [eqn: rmC]에서 변 [eqn: rmAB]에 수선을 내리자.

오른쪽 그림과 같이 선분의 길이를 설정하면,

[eqn: x^2 +y^2 =b^2],   [eqn: (c-x)^2 +y^2 =a^2]

이다. 두 식을 빼면 [eqn: x]에 대한 일차식이 뜬다.

[eqn: x= { b^2 +c^2 -a^2} over {2c }]

이므로 [eqn: cos({rm angleBAC}) = { b^2 +c^2 -a^2} over {2bc }]이다.

풀이3) 풀이2)에서 [eqn: rmangleBAC =theta]라 두고 선분의 길이들을 [eqn: theta]를 이용하여 나타내 보자.

오른쪽 직각 삼각형에서 피타고라스를 치면

[eqn: b sin^2 theta +(c-b cos theta)^2 =a^2]

이다. 정리하면 [eqn: costheta= { b^2 + c^2 -a^2} over { 2bc}]이다.

※ 풀이1)은 풀이2) 또는 풀이3)을 공식화 시킨 것이다.

※ 풀이2)와 풀이3)을 따로 쓴 것은 발상방법의 차이 때문이다.

풀이3)에서는 구하는 값 [eqn: costheta]를 이용해서 길이들을 나타냈다.

풀이4) 수선을 반대로 내려도 풀 수 있다.

※ 직각을 어디로 잡는가에 따라서 접근/풀이의 난이도가 달라진다.

이는 삼각형 분석의 가장 핵심적인 내용이다. [좌표계 설정]에서 살펴보도록 하자.

쓰기 나쁜 코사인법칙

문제) 예각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmangleA =theta]이고 변 [eqn: rmBC], [eqn: rmCA]의 길이가 각각

[eqn: a], [eqn: b]로 주어졌을 때, [eqn: rmbarAB]를 [eqn: theta], [eqn: a], [eqn: b]를 이용하여 나타내어라.

풀이1) 끼인각이 아니라 살짝 부담스럽지만 일단은 코사인법칙이다.

[eqn: {rmbarBC}= x]라 두면 [eqn: a^2 =b^2 +x^2 -2bx costheta]이므로 [eqn: x]는 방정식

[eqn: x^2 -2b cos theta timesx +b^2 -a^2 =0]

의 근이다. 근의 공식에 넣어 보면, [eqn: x=b costheta +- sqrt { a^2 -b^2 sin^2 theta}]이다.

이 중 [eqn: rmangleABC]가 예각인 것은 [eqn: b cos theta+ sqrt { a^2 -b^2 sin^2 theta}]이다.

※ 두 근 중 [eqn: x]값을 선택하는 것은 [eqn: rmangleABC]가 예각인지, 둔각인지와 관련한다.

이에 대한 자세한 이야기는 [코사인법칙과 이차방정식]에서 다시 살펴보도록 하자.

풀이2) 이 수선은 너무나 내리고 싶다. 그렇지 않다면 병원으로.

주어진 정보들에서부터 오른쪽 그림과 같은 길이들을 알 수 있고,

저기 그게 [eqn: sqrt { a^2 -b^2 sin^2 theta}]이므로 [eqn: rmbarAB =][eqn: b cos theta+ sqrt { a^2 -b^2 sin^2 theta}]이다.

쓰기 나쁜 사인법칙

문제) 예각삼각형 [eqn: rmABC]에서 두 각 [eqn: rmangleA]와 [eqn: rmangleB]이 각각 [eqn: theta _{1}], [eqn: theta _{2}]이고

변 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: c]로 주어졌을 때, [eqn: rmbarBC]를 [eqn: theta _{1}], [eqn: theta _{2}], [eqn: c]를 이용하여 나타내어라.

풀이1) 각이 두 개 이상 주어져 있으므로 사인법칙이다.

[eqn: rmangleC=pi-theta _{1} -theta _{2}]이므로 사인법칙에 의해 [eqn: {c} over {sin(theta _{1} +theta _{2} )} = {{rmbarBC}} over {sintheta _{1}}]이다.

따라서 [eqn: {rmbarBC}= {sintheta _{1}} over {sin(theta _{1} +theta _{2} )} timesc]이다. 삼각함수의 덧셈정리를 쓸 수 있으면 좋다.

이후의 풀이2)와 풀이3)에는

구하는 값 [eqn: rmbarBC]를 [eqn: x]라 두자.

가 필요하다. 바보같이 들릴 것 같지만, 이 설정은 풀이의 가장 중요한 부분이다.

이 설정을 주면 문제를 못 풀던 학생들이 문제를 풀게 되거든. [역행추론]이라고 하더라고.

풀이2) 수선 내려서 직각삼각형 두 개로 쪼개면 되겠지?

길이 [eqn: x]와 각 [eqn: theta_2]를 살리기 위해서 내린 수선이다.

직각삼각형을 타고 길이를 옮기는 작업은 익숙해야 한다. 위 그림에서

[eqn: {rmbarBH }=x cos theta_2],   [eqn: {rmbarCH }=x sin theta_2],   [eqn: {rmbarAH }={x sin theta_2 } over {tantheta_1 }]

이므로 [eqn: c=left(costheta_2 + { sintheta_2} over { tantheta_1} right) timesx]이다. 따라서 [eqn: {rmbarBC}=x = { 1} over { costheta_2 + { sintheta_2} over {tantheta_1 } } timesc]이다.

※ 삼각함수의 덧셈정리를 안다면 식을 정리하여 풀이1)에서 얻은 결과와 일치함을 확인하자.

※ 풀이2)는 본질적으로 전설의 제1코사인법칙이다. 삼각형 공부하다 보니까 얘를 자꾸 쓰던데?

풀이3) [eqn: rmbarBC]를 [eqn: x]라 두니, 사인법칙 쓰기가 좋아졌다.

변의 길이가 [eqn: 2]개가 주어졌으니 코사인법칙을 맞음직하다.

[eqn: left( { sintheta_2} over {sintheta_1 } x right)^2 =x^2 +c^2 -2xc cos theta_2]

이다. 풀면 나오겠지.

반대로 써도 좋다.

[eqn: x ^{2} = LEFT ( {sin theta _{2}} over {sin theta _{1}} x RIGHT ) ^{2} +c ^{2} -2 TIMES {sin theta _{2}} over {sin theta _{1}} x timesc timescos theta_1]

※ 이 두 가지 코사인법칙은 [eqn: rmC]에서 변 [eqn: rmAB]에 수선을 내리는 것에 의해 설명된다.

[eqn: RARROW] 말하자면 풀이2)를 공식으로 처리한 것이 풀이3)이다.

※ 복잡한 이차방정식이 뜨지만 수1의 삼각함수의 활용 단원의 내용을 잘 적용한 풀이다.

풀이4) 점 [eqn: rmB]에서 변 [eqn: rmAC]에 수선을 내려보자.

길이 [eqn: c]와 각 [eqn: theta_1]를 살리기 위해서 내린 수선이다.

위 그림에서 [eqn: {rmbarBM }=c sin theta_1]

이므로 [eqn: {rmbarBC }]는 [eqn: {c`sin theta _{1}} over {cos LEFT ( theta _{1} + theta _{2} - {pi } over {2} RIGHT )} = {`sin theta _{1}} over {sin(theta _{1} +theta _{2} )} TIMES c]이다.

※ 이 수선은 풀이1)의 사인법칙을 설명해주는 수선이다.

풀이1)과 풀이4)가 서로 같은 풀이이고 풀이2)와 풀이3)이 서로 같은 풀이이다.

※ 풀이1)이나 풀이4)가 풀이2)나 풀이3)보다 간단하다.

[eqn: RARROW] 수1의 삼각형 문항들 중에서도 삼각함수의 덧셈정리가 편한 것들이 가끔 보인다.

※ 그림의 문제이기도 하지만, 수선을 [내리는] 것에 비해서 [올리는] 행위는 부담스럽다.

[eqn: RARROW] [좌표계 설정]에서 생각해보자.

※ 예각삼각형이라는 보장이 없으면 수선의 발이 변을 내분하는지 외분하는지가 부담스러울 수 있다.

[eqn: RARROW] 대충 정하고 계산 밀어보면 되지만, 정상적으로 수학을 하는 학생이라면 부담스러워야 한다.

[eqn: RARROW] [코사인법칙과 이차방정식]에서 살펴보자.

좌표계 설정

문제) 좌표평면 위의 곡선 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 [eqn: x]절편을 [eqn: rmQ]라 하자.

[eqn: rmanglePOQ =theta]라 할 때, [eqn: rmbarPQ]를 [eqn: theta]에 대한 식으로 나타내어라. (단, [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

쳐맞는 풀이1) 점 [eqn: rmP]는 [eqn: (costheta,```sintheta)]이므로 접선의 방정식은 [eqn: x costheta +y sin theta=1]이고 [eqn: {rmQ} left( { 1} over {costheta },```0 right)]이다.

따라서 [eqn: {rmbarPQ} = sqrt { left(costheta- { 1} over {costheta } right)^2 +sin^2 theta }]이다. 정리하면 [eqn: sqrt {{cos ^{4} -2cos ^{2} theta +1+sin ^{2} theta cos ^{2} theta } over {cos ^{2} theta }} = sqrt {{1-cos ^{2} theta } over {cos ^{2} theta }} =tan theta]이다.

쳐맞는 풀이2) 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: rmbarOH =cos theta], [eqn: {rmbarPH }=sintheta]이고,

삼각형 [eqn: rmPOH]와 삼각형 [eqn: rmQPH]의 닮음에서 [eqn: rm bar{PQ} it =sin theta times { 1} over { costheta} = tantheta]이다.

안 맞는 풀이3) 접선이므로 [eqn: rmangleOPQ]는 직각이다. [eqn: rmbarOP =1]이므로 [eqn: rmbarPQ =tantheta]이다.

※ 삼각형 문제가 어려운 이유 중 다수는 풀이3)의 직각을 못 보는 것과 관련이 있다.

아래 그림들은 문제의 그림을 돌려서 나타낸 것이다.

이 그림들에서 [eqn: tantheta]를 뽑아내지 못하겠다면 군대로.

※ 풀이2)과 풀이3)를 비교해보면, 좌표계([eqn: x]축과 [eqn: y]축)를 돌린 것이 주효했다.

이와 같은 경우는 삼각형 문제를 풀다보면 자주 관찰된다. 아래 문항들을 다뤄보자.

문제) 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmbarAB =5], [eqn: rmbarBC =5], [eqn: rm bar{CA} =2 sqrt {5}]일 때, [eqn: cos (rmangleCAB)]의 값을 구하여라.

풀이1) 이등변삼각형은 이 수선이지.

답은 [eqn: {sqrt {5}} over {5}]이다.

풀이2) 문제를 만들다 보니까 이 삼각형의 [eqn: 5], [eqn: 5], [eqn: 2sqrt { 5}] 조합이 자꾸 튀어 나오더라구. 왜냐면,

이기 때문이야.

풀이3) 코사인법칙의 장점은 수선이고 나발이고 아무 생각 없이 풀린다는 점이다. 조와.

[eqn: cos( rm ANGLE CAB)= {(2 sqrt {5} ) ^{2} +5 ^{2} -5 ^{2}} over {2 TIMES 2 sqrt {5} TIMES 5} = {sqrt {5}} over {5}]

문제) 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmbarAB = sqrt {13], [eqn: rmbarBC =5], [eqn: rm bar{CA} =6]이다.

[eqn: rmangleABC =theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 구하여라.

풀이1) [eqn: cos theta = {( sqrt {13} ) ^{2} +5 ^{2} -6 ^{2}} over {2 TIMES sqrt {13} TIMES 5} = {sqrt {13}} over {65}]이다. [eqn: sin theta = sqrt {1-cos ^{2} theta } = {18 sqrt {13}} over {65}]이므로

넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {13} TIMES 5 TIMES {18 sqrt {13}} over {65} =9]이다.

풀이2) 풀이1)이 개빡치는 이유는?

이렇게 만들어진 문제를 이상한 방향에서 풀었기 때문이다.

[eqn: cos(rm ANGLE ABC)]가 아니라 [eqn: cos( rm ANGLE BCA)]를 구했다면 [eqn: 4over5]가 떠서 행복했다.

※ [eqn: rmangleABC =theta]라고 준 것은 풀이1)을 유도하는 것이다. 낚여서 팔딱거려 보라고.

[1998학년도 수능 26번] [eqn: rmtriangleABC]에서 [eqn: b=8], [eqn: c=7], [eqn: rm ANGLE A=120 DEG]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

풀이1) 코사인법칙 치면 답을 구할 수 있다. [eqn: 13]이다.

풀이2) 이 문제는 아래와 같은 방법으로 만들어진 것이다.

출제자가 가장 먼저 했던 생각은 오른쪽의 직각삼각형이다.

이후, 자기들끼리 즐거워하는 과정이 있었을 것이다.

‘야, 니네 [eqn: 13 ^2 - 11^2]이 [eqn: 48](약수 개많음)인 것 아냐?’

‘이거 숫자 죽이는데? 이걸로 한 문제 만들 수 있겠다.’

그리고 점 [eqn: rmA]를 찍는다.

‘[eqn: rmbarHA =4] 잡으면 숫자 개꿀이네.’

그렇다고 왼쪽 그림으로 내면 너무 속보이니까 살짝 돌린다.

돌리면서 문제가 어려워 진 것이다.

[2004학년도 9월 20번] [eqn: \A]지점에서 공을 치기 시작하여 [eqn: \B]지점에 이르게 하는 골프 경기가 있다.

한 방송사에서 이 골프 경기를 중계방송 하기위하여 출발점인 [eqn: \A]지점과  [eqn: rm bar AC =240m], [eqn: rm bar BC =60m]인 [eqn: \C]지점에

각각 카메라를 설치하였다. 한 선수가 [eqn: \A]지점에서 친 공이 [eqn: \D]지점에 떨어졌을 때, [eqn: \A]와 [eqn: \C]지점에서

바라본 각이 [eqn: angle rm CAD = angle ACD =30DEG]이었다. [eqn: angle rm BCD = 30DEG]일 때 [eqn: \D]지점에서 [eqn: \B]지점까지의 직선거리는?

① [eqn: 18 root{21}rm m]	② [eqn: 20 root{21}rm m]	③ [eqn: 22 root{21}rm m]
④ [eqn: 24 root{21}rm m]	⑤ [eqn: 26 root{21}rm m]

풀이1) [eqn: rmbarBC], [eqn: rmbarBD], [eqn: rmangleBCD]를 줬다. 코사인법칙이다.

풀이2) 좌표축을 아래와 같이 설정하자.

[eqn: rmbarBC =60], [eqn: rmangleBCA=60DEG]이므로 [eqn: rmB(30,```30 sqrt {3 })]이며,

삼각형 [eqn: rmACD]가 이등변삼각형이므로 [eqn: rmC(120,```40 sqrt { 3} )]이다.

두 점 사이의 거리는 [eqn: 20 root{21}]이다.

아마 출제자는 풀이2)의 그림에서부터 문제를 만들었을 것이다.

그리고 돌리고, 골프경기 중계방송을 얹는다.

[2019년 고2 11월 28번] 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]에 대하여

[eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}} =3 sqrt {3}], [eqn: rm {bar{BD}} =8 sqrt {2}]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: {S ^{2}} over {13}]의 값을 구하여라.

풀이) 등변사다리꼴인 것을 확인하자.

그림에서 [eqn: sintheta= {sqrt {3}} over {4}], [eqn: cos theta = {sqrt {13}} over {4}]이고 삼각형 [eqn: rmABH]와 삼각형 [eqn: rmCDM]이 서로 합동이므로

아래 그림의 직사각형의 넓이가 [eqn: S]이다. 답은 [eqn: 192]다.

참고로 [eqn: rmbarAD =2 sqrt { 26} + sqrt { 3}], [eqn: rmbarBC =2 sqrt { 26 }- sqrt { 3}]이다. 이 문제가 어려운 이유.

[한성은 SM0927번] 그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rm bar{AB} =2 sqrt { 3}], [eqn: rmbarBC =2], [eqn: rmangleB = { pi} over { 2}]인 직각삼각형이고,

점 [eqn: rmD]는 [eqn: rmbarBD =2 sqrt { 3}], [eqn: tan({rmangleBCD)= {sqrt {3}} over {5}]를 만족시킨다. [eqn: rmbarAD]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmangleACD> {pi} over {3}]이다.)

풀이) 아래 그림을 째려보자. [eqn: rm D(2 sqrt {3} cos alpha ,```2 sqrt {3} sin alpha )]라 두면 [eqn: {2 sqrt {3} `cos alpha } over {2 sqrt {3} `sin alpha +2} = {sqrt {3}} over {5}]이다.

열심히 풀면 [eqn: tan alpha]가 [eqn: sqrt {3}] 또는 [eqn: 4 sqrt {3}]이 나오는디, [eqn: 4 sqrt {3}]은 망하는 쪽이다. 답은 [eqn: 6]이다.

참고) 사실 만들 때 아래의 그림에서부터 만들었다.

[eqn: rmA(- sqrt {3} ,```3)], [eqn: rmC(- sqrt {3} ,```-1)], [eqn: rm D(2 sqrt {3} ,```0)]이다.

얘를 반영한 풀이는 [eqn: rmB(0,```0)], [eqn: rm D(2 sqrt {3} ,```0)]와 [eqn: rmangleDBA =beta]라 두면

[eqn: rm A(2 sqrt {3} cos beta ,```2 sqrt {3} sin beta )], [eqn: rm C LEFT ( 2cos LEFT ( beta + {pi } over {2} RIGHT ) ,```2sin LEFT ( beta + {pi } over {2} RIGHT ) right)]에서 시작한다.

일반적인 풀이라고는 볼 수 없겠군.

코사인법칙과 이차방정식

문제) 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmangleA =theta]이고 변 [eqn: rmBC], [eqn: rmCA]의 길이가 각각

[eqn: a], [eqn: b]로 주어졌을 때, [eqn: rmbarAB]를 [eqn: theta], [eqn: a], [eqn: b]를 이용하여 나타내어라.

풀이의 일부) [eqn: {rmbarBC}= x]라 두면 [eqn: a^2 =b^2 +x^2 -2bx costheta]이므로 [eqn: x]는 방정식

[eqn: x^2 -2b cos theta timesx +b^2 -a^2 =0]

의 근이다. 이 이차방정식의 근의 존재성/부호를 살펴보자.

판별식) 이차방정식 [eqn: x^2 -2b cos theta timesx +b^2 -a^2 =0]의 판별식 [eqn: D]는

[eqn: a^2 -b sin^2 theta]

이다. [eqn: D=0]이 되는 경우는 [eqn: a = b sin theta]이고 [eqn: rmangleABC]가 직각이 될 때이다.

※ [eqn: rmRHS]인지 그 직각삼각형의 합동조건과 관련 있는 삘이다. 잘 생각해보기는 귀찮아.

[eqn: D<0], 즉 [eqn: a<b`sin theta]인 경우에는 삼각형이 만들어지지 않는다.

[eqn: D>0], 즉 [eqn: a>b sin theta]인 경우는 다음 그림과 같다.

[eqn: {rmbarCH }= b sin theta]이고 [eqn: a>b sintheta]이므로 가능한 선분 [eqn: rmBC]는 [eqn: rmB_1 C], [eqn: rmB_2 C]의 두 가지 경우가 가능하다.

더 살펴보면, [eqn: {rmbarAH }= b cos theta]이고, [eqn: rmbar{B_1 H}=bar{B_2 H}][eqn: =sqrt { a^2 -b^2 sin^2 theta}]이므로

[eqn: {rmbarAB_1 }= b cos theta- sqrt { a^2 -b^2 sin^2 theta}],   [eqn: rm bar{AB _{2}} it =b`cos theta + sqrt {a ^{2} -b ^{2} sin ^{2} theta }]

이다. 가장 일반적인 코사인법칙의 증명과 같은 과정이다.

두 근의 부호) 사실 판별식은 조사할 필요가 딱히 없다.

간단히, [eqn: D<0]인 경우는 출제될 수 없기 때문이다.

중요하게 살펴봐야 할 것은 두 근의 부호이다.

각 [eqn: theta]가 예각인 경우와 둔각인 경우로 나눠서 살펴보자.

[eqn: theta]가 예각일 때 방정식

[eqn: x^2 -2b cos theta timesx +b^2 -a^2 =0]

가 두 실근을 가질 때 두 실근의 합은 [eqn: 2b cos theta]이므로 양수이고 두 근의 곱은 [eqn: b^2 -a^2]이다. 이 방정식은,

Case1) [eqn: b>a]이면 두 양의 실근을

Case2) [eqn: b=a]이면 [eqn: 0]과 양수 근 하나를

Case3) [eqn: b<a]이면 양수 근 하나와 음수 근 하나를 가진다.

Case1)은 위의 그림에서 본 경우이다. 출제 가능하다. 두 개의 근 중 상황에 맞는 것을 선택하면 된다.

Case2)는 이등변삼각형이 되는 경우다. 확인만 해두자. 이등변삼각형이면 애초에 코사인법칙으로 들어오질 않겠지.

Case3)의 경우는 아래 그림과 같은 상황이다.

방정식의 두 근을 [eqn: x_1], [eqn: x_2]([eqn: x_1 <0<x_2])라 할 때, [eqn: {rmbarAB_1 }]이 [eqn: x_2]이고 [eqn: rmbarAB_2]가 [eqn: -x_1]이다.

삼각형 [eqn: rmAB_1 C]를 만드는 근 [eqn: x_2]가 코사인법칙을 치기 전에 예상하던 것이다.

오른쪽 그림에서 [eqn: {rmbarAH }= b costheta]이고 [eqn: {rmbarHB_1}={rmbarHB_2 } = sqrt { a^2 -b^2 sin^2 theta}]이다.

문제는 [eqn: x_1]이다. 삼각형 [eqn: rmAB_2 C]가 예상과 반대방향으로 형성되어 각 [eqn: theta]가 내각이 아니라 외각이 되어 버린다.

따라서 음수 근인 [eqn: x_1]은 그냥 버리면 된다. 삼각형 [eqn: rmAB_2 C]에서 각 [eqn: rmCAB_1]을 [eqn: theta]라고 하지는 않거등.

[eqn: theta]가 둔각일 때 방정식

[eqn: x^2 -2b cos theta timesx +b^2 -a^2 =0]

가 두 실근을 가질 때 두 실근의 합은 [eqn: 2b cos theta]이므로 음수이고 두 근의 곱은 [eqn: b^2 -a^2]이다. 이 방정식은,

Case4) [eqn: b>a]이면 두 음의 실근을

Case5) [eqn: b=a]이면 [eqn: 0]과 음수 근 하나

Case6) [eqn: b<a]이면 양수 근 하나와 음수 근 하나를 가진다.

Case4)과 Case5)는 출제될 수 없다. 아래 그림을 살펴보자. 외각으로 코사인법칙을 친 꼴이 된다.

이쯤에서 코사인법칙을 삼각형을 버리고 좌표로 어떻게 정의하고 싶기도 했는데, 귀찮아서 관둘래.

결국 [eqn: cos theta]가 음수로 주어진 경우에는 Case6)만이 출제 가능하고, 두 근 중 양수인 근을 택하면 된다.

위 그림의 상황에서 코사인법칙을 사용하면 양수 근이 나타내는 삼각형 [eqn: rmAB_1 C]를 취하면 된다.

삼각형 [eqn: rmAB_2 C]와 관련하는 음수 근은 버리면 된다. 마찬가지로 [eqn: theta]가 바뀌기 때문.

끼인각이 아닌 상황에서 코사인법칙을 사용했을 때 결론은 다음과 같다.

① 양수 근이 적어도 하나 나오지 않는 상황은 출제되지 않는다.

② 양수 근이 두 개 나오면 분위기 봐서 잘 선택해야 한다.

③ 양수 근이 하나이면 그것을 선택하면 된다. 이때 의미 없는 음수 근이 딸려 나올 수 있다.

[한성은 IW8762번] 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: 3]인 두 원 [eqn: C _{1}], [eqn: C_2]가 서로 외접하고 있다.

원 [eqn: C_1] 위의 점 [eqn: rmA], 원 [eqn: C_2] 위의 점 [eqn: rmB]는 [eqn: rmbarAB =8]를 만족시키고, 원 [eqn: C_2] 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rmangleCAB =theta]일 때,

[eqn: tan theta = 1over2]이다. 선분 [eqn: rmCA]의 길이는? (단, [eqn: rmbarCA >4]이다.)

풀이1) 원은 뭐다? 중심에서 잇는다. 왼쪽 그림이다.

[eqn: {rmbarCA}=x], 원 [eqn: C_2]의 중심을 [eqn: rmO]라 하자. [eqn: rmbarAO =5], [eqn: rmbarOC =3], [eqn: cos( rm ANGLE CAO)= {2} over {sqrt {5}}]이므로 코사인법칙에서

[eqn: 3 ^{2} =x ^{2} +5 ^{2} -2cdot x cdot 5 cdot { 2} over { sqrt { 5} }]

이다. 풀면 [eqn: x=2 sqrt { 5} +-2]이다. [eqn: 2sqrt { 5}+2]가 답인데, [eqn: 2 sqrt {5} -2]가 왜 나왔는지도 이해하겠지?

풀이2) 현에다 수선을 내리고 싶다. 오른쪽 그림이다.

[eqn: rm bar{AO} =5], [eqn: cos( rm ANGLE CAO)= {2} over {sqrt {5}}]에서 [eqn: rmbarAH =2 sqrt { 5}], [eqn: rmbarOH = sqrt { 5}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmCHO]에서 피타고라스를 치면 [eqn: rmbarCH =2]이다.

※ 이 풀이는 코사인법칙과 서로 같은 내용이지만, [현에 수선을 내리고 싶다.]에서 나온 풀이라고도 할 수 있다.

개인적으로, 수1의 삼각형 문제에 외접원이 아닌 원을 끼우면 뭔가 어정쩡하다고 느끼는 이유이기도 하다.

	삼각형 분석

예제 001	[한성은 QM0634번]

그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]는

[eqn: rmbarAB =2 sqrt { 5}],   [eqn: rmbarBC =2 sqrt { 2}],
[eqn: rmbarCD =3],   [eqn: rmbarDA =3 sqrt { 5}]

와 [eqn: rmangleBAC =angleCAD]를 만족시킨다. [eqn: rmbarAC]의 값은?

① [eqn: 2 sqrt {7}]	② [eqn: 4sqrt { 2}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 2 sqrt {10}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {11}]

	삼각형 분석

예제 002	[한성은 LJ9885번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {15}]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]에서

선분 [eqn: rmAB]는 선분 [eqn: rmCD]와 평행하고 [eqn: rm bar{AC} =4 sqrt { 3}], [eqn: rmbarAD =2 sqrt { 10}]이다.

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는?

① [eqn: 12 sqrt {2}]	② [eqn: 12 sqrt { 3}]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 16 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 16 sqrt {3}]

	삼각형 분석

예제 003	[한성은 JJ3769번]

[eqn: rmbar{AB}=5], [eqn: rmbarBC =4]이고 [eqn: rmangleBAC=theta]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: cos theta = {2 sqrt {3}} over {5}]일 때,

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: a] 또는 [eqn: b]이다. [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: sqrt {26}]	② [eqn: 2 sqrt {26}]	③ [eqn: 3 sqrt {26}]

④ [eqn: 2 sqrt {39}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {39}]

	삼각형 분석

예제 004	[한성은 DV3464번]

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]는

[eqn: rmbarAB =2],   [eqn: rmbarBC =4],   [eqn: rmangleABC=120DEG]

를 만족시킨다. 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 [eqn: 8sqrt { 3}]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의
둘레의 길이를 구하여라.

	삼각형 분석

예제 005	[한성은 BL4628번]

그림과 같이 변 [eqn: rmAD]와 [eqn: rmBC]가 서로 평행한 사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서

[eqn: rm bar{AB} =2 sqrt {3}], [eqn: rmbarBC =5], [eqn: rmbarCD =3], [eqn: rmbarDA =2]일 때, 사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 넓이는?

① [eqn: 7]	② [eqn: 7sqrt { 2}]	③ [eqn: 7sqrt { 3}]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 7sqrt { 5}]

	삼각형 분석

예제 006	[한성은 ID8235번]

길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 위의 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]는

[eqn: rmbarAC =2], [eqn: rmbarCD =2]를 만족시킨다. [eqn: rmbarBD]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 13over3]	③ [eqn: 14over3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 16over3]

	삼각형 분석

예제 007	[한성은 EO8109번]

넓이가 [eqn: 5 sqrt {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm ANGLE BAC=60 DEG]이고

[eqn: rm bar{BC} =2 sqrt {10}]이다. [eqn: rmbarAB +barAC]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 16]

	삼각형 분석

예제 008	[한성은 LB2799번]

[eqn: rmbarAB =4], [eqn: rmbarBC =2]이고 [eqn: rmangleB = { pi} over {2 }]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]와

삼각형 [eqn: rmABC] 밖의 점 [eqn: rmD]는 다음을 만족시킨다.

(가) [eqn: rmangleABD =angleCBD]

(나) [eqn: rmbarBD = sqrt { 2}]

[eqn: cos^2 ({rmangleADC} ) ={ q} over { p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

	삼각형 분석

예제 009	[한성은 EB3904번]

두 선분 [eqn: rmAD]와 [eqn: rmBC]가 서로 평행한 사다리꼴 [eqn: rmABCD]는

[eqn: 2rmbarAD =barBC], [eqn: rm ANGLE ADB=45 DEG], [eqn: tan (rmangleBCD)=2]

를 만족시킨다. 사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 넓이가 [eqn: 18]일 때, [eqn: rmbarBD]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 4sqrt { 2}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 4sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 8]

	삼각형 분석

예제 010	[한성은 ZV6571번]

두 직선 [eqn: l],  [eqn: m]은 서로 평행하고 두 직선 사이의 거리는 [eqn: sqrt { 3}]이다.

[eqn: rmbarAB =4]를 만족시키는 직선 [eqn: l] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 직선 [eqn: m] 위를 움직이는
점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: {rmbarPA}=x], [eqn: {rmbarPB}=y]라 할 때, [eqn: xy]의 최솟값은?

① [eqn: 3sqrt {5}]	② [eqn: sqrt { 46}]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 5 sqrt { 2]

	삼각형 분석

예제 011	[한성은 TJ9007번]

두 선분 [eqn: rmAD]와 [eqn: rmBC]가 서로 평행한 사다리꼴 [eqn: rmABCD]는 [eqn: rmbarAB =barAD =3],

[eqn: rmbarBC =barBD =4]를 만족시킨다. 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는?

① [eqn: 4 sqrt {5}]	② [eqn: 14over3 sqrt { 5}]	③ [eqn: {16} over {3} sqrt {5}]

④ [eqn: 8 sqrt {5}]	⑤ [eqn: {20} over {3} sqrt {5}]

	삼각형 분석

예제 012	[한성은 MC8481번]

그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]와 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmD]는

[eqn: rmbarBC =2 sqrt { 3}],   [eqn: rmbarCA = sqrt { 7}], [eqn: rmbarAD =3],   [eqn: rmbarBD =barCD]

를 만족시킨다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

① [eqn: {5} over {2} sqrt {2}]	② [eqn: {5} over {2} sqrt {3}]	③ [eqn: { 5}]

④ [eqn: {5} over {2} sqrt {5}]	⑤ [eqn: {5} over {2} sqrt {6}]

	삼각형 분석

예제 013	[한성은 UY4106번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 14]인 선분 [eqn: rmAB] 위의 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]는 [eqn: rmbarAC = { 1} over { 2}], [eqn: rmbarBD = { 3} over {2 }]를

만족시킨다. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 선분 [eqn: rmCD]를 지름으로 하는 반원에 접하는

직선들의 교점을 [eqn: rmE]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABE]의 넓이를 구하여라.

	삼각형 분석

예제 014	[한성은 DF8868번]

그림과 같이 두 변 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmCD]가 서로 평행한 사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서

[eqn: rmbarAD =2 sqrt { 5}], [eqn: rmbarAC =4 sqrt { 5}], [eqn: rmbarBC =5]

이고 [eqn: rmangleADC= theta]라 할 때 [eqn: tan theta =-2]이다. 사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 넓이를 구하여라.

	삼각형 분석

예제 015	[한성은 WI5130번]

그림과 같이 [eqn: rmbarAB =12], [eqn: rmangleB= {90DEG]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]와 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로

내분하는 점 [eqn: rmD]에 대하여 선분 [eqn: rmBD]를 지름으로 하는 반원이 선분 [eqn: rmAC]와

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서 만난다. [eqn: rmbarAP =6]일 때, [eqn: rmbar CQ]의 값은? (단, [eqn: rmbarAP < barAQ]이다.)

① [eqn: { 40} over {7 }]	② [eqn: 6]	③ [eqn: {44} over {7}]

④ [eqn: {46} over {7}]	⑤ [eqn: {48} over {7}]

	삼각형 분석

예제 016	[한성은 BG5924번]

한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형 [eqn: rmABCD]에 대하여 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 1:2]로

내분하는 점을 [eqn: rmE], 선분 [eqn: rmCD]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmF]라 하자.

삼각형 [eqn: rmAEF]의 넓이는?

① [eqn: 5over2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 7over2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9over2]

	삼각형 분석

예제 017	[한성은 SM7746번]

[eqn: rmbarAB =1], [eqn: rmangleCAB= theta], [eqn: rm ANGLE CBA= {pi} over {2}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 점 [eqn: rmC]와

삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 원의 중심을 지나는 직선이 직선 [eqn: rmAB]와

만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 다음 중 선분 [eqn: rm BD]의 길이를 나타내는 것은?

① [eqn: {tantheta} over {1+tan theta }]	② [eqn: {1} over {1+cos theta }]	③ [eqn: {cos theta } over {1+cos theta }]

④ [eqn: {1} over {1+sin theta }]	⑤ [eqn: {sintheta} over {1+sintheta}]

	삼각형 분석

예제 018	[한성은 IW8762번]

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: 3]인 두 원 [eqn: C _{1}], [eqn: C_2]가 서로 외접하고 있다.

원 [eqn: C_1] 위의 점 [eqn: rmA], 원 [eqn: C_2] 위의 점 [eqn: rmB]는 [eqn: rmbarAB =8]를 만족시키고, 원 [eqn: C_2] 위의

점 [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rmangleCAB =theta]일 때, [eqn: tan theta = 1over2]이다. 선분 [eqn: rmCA]의 길이는? (단, [eqn: rmbarCA >4]이다.)

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 2 sqrt {5} +1]	⑤ [eqn: 2sqrt { 5}+2]

	삼각형 분석

예제 019	[한성은 QE0459번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{BC}= 2], [eqn: rm ANGLE BAC=90 DEG]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 선분 [eqn: rm BC]의

연장선 위에 [eqn: rm ANGLE ADC =30DEG]가 되도록 점 [eqn: rm D]를 잡는다. [eqn: rm ANGLE ABC= theta `]라 할 때,

다음 중 선분 [eqn: rm AD`]의 길이를 나타내는 것은? (단, [eqn: theta<60DEG]이고 [eqn: rmbarBD > barCD]이다.)

① [eqn: 2tan theta]	② [eqn: 4tan theta]	③ [eqn: { 4} over {cos theta }]

④ [eqn: 2sin theta cos theta]	⑤ [eqn: 4sin theta cos theta]

	삼각형 분석

예제 020	[한성은 UY5548번]

그림과 같이 길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: C]와 점 [eqn: rmB]에서

원 [eqn: C]에 접하는 직선 [eqn: l]이 있다. 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 직선 [eqn: rmAC]가

원 [eqn: C]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmbarCD =4 sqrt { 3}]일 때, [eqn: rmbarAD]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 2sqrt { 2}]	③ [eqn: 2sqrt { 3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2sqrt { 5}]

	삼각형 분석

예제 021	[한성은 FE3447번]

[eqn: rm bar{AB} =6], [eqn: rm bar{AC} =4]이고 [eqn: rmangleBAC= theta]라 할 때, [eqn: costheta =- { 3} over { 8}]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여

두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 하자. [eqn: rmbarBN timesbarCM]의 값은?

① [eqn: 14 sqrt {7}]	② [eqn: 7 sqrt {30}]	③ [eqn: 8sqrt {2}]

④ [eqn: 7sqrt { 34}]	⑤ [eqn: 42]

	삼각형 분석

예제 022	[한성은 RI4182번]

예각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: tan(rmangleB)= { 4} over { 3}], [eqn: tan({rmangleC)=2], [eqn: rmbarBC =5]이다.
삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 구하여라.

	삼각형 분석

예제 023	[한성은 VL7904번]

넓이가 [eqn: 6]인 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: cos (rmangleA)= { 4} over {5 }], [eqn: rmbarBC =2 sqrt { 7}]를 만족시킨다.
삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 원의 반지름의 길이는?

① [eqn: {6- sqrt {7}} over {3}]	② [eqn: { 5- sqrt { 7} } over { 3}]	③ [eqn: {4- sqrt {7}} over {3}]

④ [eqn: {8-2 sqrt {7}} over {3}]	⑤ [eqn: {7-2 sqrt {7}} over {3}]

	삼각형 분석

예제 024	[한성은 NA6066번]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: O]와 중심이 [eqn: rmO']이고

반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: O`']이 직선 [eqn: l]에 접한다. 직선 [eqn: l]과 두 원 [eqn: O], [eqn: O`']의

접점을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라 하면, 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmP]는 [eqn: rmbarPQ =barQR]이고 [eqn: rmR]이 아닌 점이다.

[eqn: cos(rmangleOPO')= { 1} over {3 }]일 때, 삼각형 [eqn: rmOPO']의 넓이는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 2sqrt { 2}]	③ [eqn: 2sqrt { 3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2sqrt { 5}]

	삼각형 분석

예제 025	[한성은 SM0927번]

그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rm bar{AB} =2 sqrt { 3}], [eqn: rmbarBC =2], [eqn: rmangleB = { pi} over { 2}]인 직각삼각형이고,
점 [eqn: rmD]는 [eqn: rmbarBD =2 sqrt { 3}], [eqn: tan({rmangleBCD)= {sqrt {3}} over {5}]를 만족시킨다. [eqn: rmbarAD]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: rmangleACD> {pi} over {3}]이다.)

	삼각형 분석

예제 026	[한성은 XL9688번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심이 [eqn: rmO]인 원 [eqn: O]와 반지름의 길이가

[eqn: 1]이고 중심이 [eqn: rmO']인 원 [eqn: O`']이 외접하고 있다. [eqn: cos(rmangleAOO')= {1} over {4}]를 만족시키는

원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: rmA]에서 원 [eqn: O`']에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자.

[eqn: rmbarPQ]의 값은?

① [eqn: {sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: {2 sqrt {10}} over {5}]	③ [eqn: {3 sqrt {10}} over {5}]

④ [eqn: {4 sqrt {10}} over {5}]	⑤ [eqn: sqrt { 10}]

	삼각형 분석

예제 027	[한성은 YY1379번]

그림과 같이 한 원 위에 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 있다. [eqn: rm bar{AB} =5], [eqn: rmangleACB= { pi} over {6 }]이고

[eqn: rm ANGLE ABD=` theta `]일 때, [eqn: costheta= {3} over {5}]이다. [eqn: rm bar{AD}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: { 20} over { 3}]	③ [eqn: {22} over {3}]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: {26} over {3}]

	삼각형 분석

예제 028	[한성은 TK1459번]

[eqn: rmbarAB =5], [eqn: rm bar{BC} =7], [eqn: rm bar{CA} =6]인 삼각형 [eqn: rmABC]와 변 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP],

변 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmQ]가 [eqn: rm bar{PB} = bar{QC} =1]를 만족시킨다. [eqn: rmbarPQ]의 값은?

① [eqn: sqrt { 33}]	② [eqn: sqrt { 35}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 2sqrt {10}]	⑤ [eqn: 3sqrt { 5}]

	삼각형 분석

예제 029	[한성은 IS0978번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =15], [eqn: rmbarBC =14], [eqn: cos(rmangleABC) = { 3} over {5 }]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.

삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 원의 반지름의 길이는?

① [eqn: 7over2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

	삼각형 분석

예제 030	[한성은 CO2947번]

그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC]와 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]는

[eqn: rm bar{AP} =barCP =barBC],   [eqn: rmbarPB = { 14} over {5 }],   [eqn: cos(rmanglePAC )= { 4} over { 5}]

를 만족시킨다. 선분 [eqn: rmAC]의 길이를 구하여라.

	삼각형 분석

예제 031	[한성은 LC5048번]

그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]는

[eqn: rm bar{BC} =5],   [eqn: rm bar{CD} = bar{DA} =sqrt {10}],
[eqn: rm ANGLE ABD= ANGLE CBD]

를 만족시킨다. 두 삼각형 [eqn: rm ABD], [eqn: rm BCD]의 넓이의 비가 [eqn: 3:5]일 때,

[eqn: rm bar{BD}]의 값을 구하여라.

	삼각형 분석

예제 032	[한성은 HN3101번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여

[eqn: rmbarBC =8]이고 삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 원의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.

[eqn: rmbarAB +barAC]의 값을 구하여라.

	삼각형 분석

예제 033	[한성은 QG0810번]

그림과 같이 [eqn: rmbarAB =7]이고 [eqn: rmangleBAC =120DEG]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는

원이 선분 [eqn: rmAB]와 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:6]으로

내분하는 점일 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이를 구하여라.

	삼각형 분석

예제 034	[한성은 MC2978번]

넓이가 [eqn: { 25} over { 2}pi]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rmABC]는

[eqn: rmbarAB =5], [eqn: rmbarBC =7]

을 만족시킨다. [eqn: rmbarAC]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: rmangleBAC< {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 4sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {2}]

	삼각형 분석

예제 035	[한성은 AZ5691번]

그림과 같이 [eqn: rmbarAB =3], [eqn: rmbarBC =5], [eqn: rmbarCD =2], [eqn: rmbarDA =2]인 사각형 [eqn: rmABCD]가

원에 내접할 때, [eqn: cos (rmangleBCD)]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: { 3} over {8 }]	③ [eqn: { 1} over { 2}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {6}]

[]

1.	③	2.	④	3.	④
4.	[eqn: 16]	5.	②	6.	③
7.	③	8.	[eqn: 81]	9.	②
10.	③	11.	②	12.	②
13.	[eqn: 84]	14.	[eqn: 34]	15.	①
16.	③	17.	⑤	18.	⑤
19.	⑤	20.	③	21.	④
22.	[eqn: 10]	23.	②	24.	②
25.	[eqn: 6]	26.	③	27.	④
28.	①	29.	②	30.	[eqn: 8]
31.	[eqn: 5]	32.	[eqn: 12]	33.	[eqn: 13]
34.	④	35.	③

COMMENT 01

[eqn: rmangleBAC =angleCAD =theta], [eqn: {rmbarAC}=a]라 하면

[eqn: {(2 sqrt {5} ) ^{2} +a ^{2} -(2 sqrt {2} ) ^{2}} over {2 CDOT 2 sqrt {5} CDOT a} = {(3 sqrt {5} ) ^{2} +a ^{2} -3 ^{2}} over {2 CDOT 3 sqrt {5} CDOT a}]

이다.

COMMENT 02

사각형 [eqn: rmABCD]는 등변사다리꼴이다. [eqn: rm bar{BC} =2 sqrt { 10}]이고

삼각형 [eqn: rmABC]에서의 사인법칙에 의해 [eqn: sin(rmangleCAB) = { sqrt { 2} } over { sqrt { 3} }]이다.

등변사다리꼴을 잘 째려보면 높이는 [eqn: {rmbarAC} timessin(rmangleCAB)]이고

아랫 변과 윗 변의 길이의 합의 절반은 [eqn: {rmbarAC} times cos(rmangleCAB)]이다.

※ [eqn: rmbarAB =4 +2sqrt {2}], [eqn: rmbarCD =4-2 sqrt { 2}]를 구하는 것도 가능하다.

COMMENT 04

삼각형 [eqn: rmABC]를 째려보면, [eqn: rmbarAC =2 sqrt { 7}], 넓이는 [eqn: 2sqrt { 3}]이다.

[eqn: rmangleADC =60DEG]이고 [eqn: {rmbarAD}=a], [eqn: {rmbarCD}=b]라 하면

[eqn: rmbarAC]의 길이에서 [eqn: a^2 +b^2 -ab =28],   넓이에서 [eqn: { sqrt { 3} } over {4 }ab =6 sqrt { 3}]

이다. 연립하여 풀면 [eqn: a+b=10]이다.

COMMENT 05

[eqn: {rmbarBD}=x]라 두면, [eqn: cos( rm ANGLE ADB it )= {x ^{2} -8} over {4x}]이고 [eqn: cos( rm ANGLE DBC) it = {x ^{2} +16} over {10x}]이다.

이 두 값이 서로 같으므로 [eqn: x=2 sqrt {6}]이고 [eqn: cos(rmDBC)= {sqrt {6}} over {3}]이다.

※ [eqn: rmA], [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmBC]에 수선의 발을 내려서 직사각형 잘라내고 푸는 것도 가능하다.

COMMENT 06

[eqn: rmangleACB=90DEG]이고 [eqn: rmbarBC =4 sqrt { 2}]이므로 [eqn: sin( rm ANGLE ABC)= {1} over {3}]이다.

[eqn: rm bar{AC} =barCD]이므로 [eqn: rmangleABC=angleCBD]이고, [eqn: sin(rmangleCBD)= { 1} over { 3}]이다.

[eqn: {rm bar{BD}}=x]라 두고 [eqn: rmtriangleBCD]에서 코사인 때리면 [eqn: 2 ^{2} =(4 sqrt {2} ) ^{2} +x ^{2} -2 CDOT 4 sqrt {2} CDOT x CDOT {2 sqrt {2}} over {3}]이다.

COMMENT 07

[eqn: {1} over {2} ab sin60DEG =5 sqrt { 3}]에서 [eqn: ab=20]이고

[eqn: (2 sqrt { 10} )^2 =a^2 +b^2 -2ab cos60DEG]에서 [eqn: a^2 +b^2 =60]이다.

COMMENT 08

[eqn: rmbarAC =2 sqrt { 5}], [eqn: rmbarAD = sqrt { 26}], [eqn: rmbarCD = sqrt { 10}]이다.

코사인법칙에 의해 [eqn: cos ({rmangleADC} ) = { 4} over { sqrt { 65} }]이다.

COMMENT 12

[eqn: {rmbarBD }=a]라 하면 [eqn: cos({rmangleDBC})= { sqrt {3 } } over {a } = { 12+(a+3)^2 -7} over {4 sqrt { 3}(a+3) }]이다.

풀면 [eqn: a^3 +6a^2 +2a-36=0]에서 [eqn: a=2]이다.

COMMENT 15

선분 [eqn: rmBD]의 중점을 [eqn: rmO]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmAOP]에서 코사인 때리면 [eqn: cos(rmanglePAO )= { 7} over { 8}]이다.

[eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmPQ]에 수선 내리고 째려보면 [eqn: rmbarPQ =2]이다. 또 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmbarAC = { 96} over {7 }]이다.

※ 사실 방멱에 의해 [eqn: rmbarAD times barAB =barAP times barAQ]이다. 최대한 안 보이게 해봤는데..

COMMENT 22

[eqn: {c} over {sinC} = {b} over {sinB}]에서 [eqn: sqrt {5} b=2c]이다. 코사인 법칙에서 [eqn: b ^{2} =c ^{2} +25-6c], [eqn: c ^{2} =b ^{2} +25-2 sqrt {5} b]이다.

세 식을 연립하면 [eqn: b=2 sqrt {5}], [eqn: c=5]이고 삼각형의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times5times5times {4} over {5}]이다.

COMMENT 23

넓이 [eqn: {1} over {2} bc sin( rm ANGLE A)]에서 [eqn: bc=20],

코사인에서 [eqn: 28=b^2 +c^2 -2bc cos(rmangleA)]에서 [eqn: b^2 +c^2 =60]이다. 연립하면 [eqn: b+c=10]이다.

내접원의 반지름의 길이 [eqn: r]에 대하여 [eqn: S= { 1} over {2 } r (a+b+c)]이므로 [eqn: r= { 5- sqrt { 7} } over {3 }]이다.

COMMENT 24

[eqn: {rmbarPQ}=a]라 하자. [eqn: {rmbarPO}= sqrt {a ^{2} +1}], [eqn: rm bar{PO'} it =2 sqrt {a ^{2} +1}], [eqn: rm bar{OO prime } it = sqrt {a ^{2} +9}]이다.

삼각형 [eqn: rmOPO']에서 코사인 법칙 치면 [eqn: a= sqrt {2}]이다.

COMMENT 25

[eqn: {rmbarCD }=x]라 하자. 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 [eqn: (2 sqrt { 3})^2 =2^2 +x^2 -4x cos theta]이다. [eqn: rarrow] [eqn: x= 2sqrt { 7}].

삼각형 [eqn: rmBCD]에서 [eqn: { 2 sqrt { 3} } over {sintheta } = { 2 sqrt { 7} } over {sin{(rmangleCBD) }]이다. [eqn: rarrow] [eqn: rmangleCBD = { 5} over 6 pi].

[eqn: rmangleABD = { 2} over { 3}pi]이고 삼각형 [eqn: rmABD]에서 [eqn: rmbarAD =6]이다.

COMMENT 32

[eqn: rmangleBAC =theta], [eqn: {rmbarAB }=c], [eqn: {rmbarAC }=b]라 하자. 사인법칙에서 [eqn: sintheta= { 4} over {5 }]이다.

삼각형의 넓이에서 [eqn: {1} over {2} TIMES ab TIMES {4} over {5} = {1} over {2} TIMES (a+b+8) TIMES 1]이므로 [eqn: ab= {5} over {4} (a+b+8)]이다.

코사인법칙에서 [eqn: 64=a ^{2} +b ^{2} -2ab TIMES {3} over {5} =(a+b) ^{2} - {16} over {5} ab=(a+b) ^{2} -4(a+b+8)]이다.

COMMENT 33

[eqn: {rmbarAC }=1+x]라 하면 [eqn: {rmbarBC }=6+x]이다. 코사인법칙에 의해

[eqn: (6+x) ^{2} =7 ^{2} +(1+x) ^{2} -14(1+x) TIMES cos120 DEG]

풀면 [eqn: x=7]이고 [eqn: rmbarBC]는 [eqn: 13]이다.

COMMENT 34

[eqn: {rmbarAC}=b], [eqn: rmangleABC =theta]라 하자. 외접원의 반지름은 [eqn: { 5} over { sqrt { 2} }]이므로

사인법칙에 의해 [eqn: { b} over { sintheta} =5 sqrt { 2}], 코사인법칙에 의해 [eqn: b^2 =74-70 costheta]이다.

연립하면 [eqn: 50sin^2 theta =74-70cos theta]이고 풀면 [eqn: costheta= {3} over {5}] 또는 [eqn: costheta= {4} over {5}]이다.

이 중 [eqn: rmangleBAC]가 예각이 되는 것은 [eqn: costheta= {4} over {5}]인 경우이다.

COMMENT 35

[eqn: rmangleBCD =theta]라 하면 [eqn: rmangleBAC =pi-theta]이다.

선분 [eqn: rm BD}]를 긋고 두 삼각형에서 코사인법칙을 때리면

[eqn: 5^2 +2^2 -20 costheta = 3^2 +2^2 -12cos(pi-theta)]

이다.