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Pattern Drill | 중복조합

Pattern Drill

중복조합

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중복조합

① 서로 다른 [eqn: n]개 중 중복을 허용하여 [eqn: r]개를 뽑는 방법의 수를 [eqn: `_n {rmH}_r]이라 하고,

[eqn: ` _{n} rm H it rm _{r} = _{n+r-1} rm C it rm _{r}]과 같이 계산한다.

② [eqn: `_n {rmH}_r]은 [eqn: a+b+c+ CDOTS +n=r]의 [eqn: 0] 이상 정수해의 개수와 같다.

[eqn: 7]명의 투표자가 [eqn: 3]명의 후보에게 [eqn: 1]인 [eqn: 1]표로 무기명 투표를 하는 경우,
나올 수 있는 투표 결과의 수를 구하여라. (단, 무효나 기권은 없다.)

[eqn: 36]

[eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT ) ^{8} `]의 전개식의 서로 다른 항의 개수를 구하여라.

[eqn: 45`]

오렌지맛 사탕 [eqn: 5]개와 딸기맛 사탕 [eqn: 4]개를 [eqn: 3]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?
(단, 사탕을 받지 못하는 사람이 있을 수 있고, 같은 종류의 사탕끼리는 구별하지 않는다.)

④

① [eqn: 55]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 235]

④ [eqn: 315]	⑤ [eqn: 415]

모양과 크기가 같은 흰 바둑돌 [eqn: 4]개, 검은 바둑돌 [eqn: 4]개가 있다. 이 중에서 [eqn: 4]개의 바둑돌을
택하여 세 그릇 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]에 넣는 방법의 수는? (단, 같은 종류의 바둑돌은 서로 구별이
되지 않고 빈 그릇이 있을 수도 있다.)

⑤

① [eqn: 76]	② [eqn: 86]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 116]	⑤ [eqn: 126]

철수는 겨울방학을 이용하여 체력단련을 하기로 하고 주간 계획표를 작성하려고 한다.

[주간 계획표]
요일	월	화	수	목	금
운동 시간(시간)	[eqn: a``]	[eqn: b``]	[eqn: c``]	[eqn: d``]	[eqn: e``]

월요일부터 금요일까지 [eqn: 5]일 동안 적어도 하루에 한 시간씩 운동하여 운동한 시간이
총 [eqn: 10]시간이 되도록 계획표를 작성할 수 있는 가짓수는? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]는 자연수이고,
계획표에는 운동 시간만을 기록한다.)

④

① [eqn: 64``]	② [eqn: 68``]	③ [eqn: 108``]

④ [eqn: 126``]	⑤ [eqn: 128``]

조건이 걸린 중복조합의 수

[eqn: 0] 이상이 되도록 잘 조절한다.

[eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대한 방정식 [eqn: x+y+z=6]에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: 28]	(2) [eqn: 10]

(1) 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z)]의 개수를 구하여라.

(2) 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 4]명의 학생들에게 같은 종류의 음료수 [eqn: 10]개를 나누어 주려고 한다. 다음을 구하여라.

(1) [eqn: 286]	(2) [eqn: 84]

(1) 음료수 [eqn: 10]개를 나누어 주는 방법의 수

(2) 음료수 [eqn: 10]개를 한 학생에게 적어도 한 개씩 나누어 주는 방법의 수

방정식 [eqn: a+b+c=10]과 [eqn: a ge0], [eqn: b ge1], [eqn: c ge2]를 만족시키는 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의
모든 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 36}]

[eqn: p le2], [eqn: q ge3], [eqn: r ge4]과 방정식 [eqn: p+q+r=15]를 만족시키는 [eqn: 0] 이상 정수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의
모든 순서쌍 [eqn: (p,~q,~r)]의 개수는?

①

① [eqn: 24``]	② [eqn: 28``]	③ [eqn: 32``]

④ [eqn: 36``]	⑤ [eqn: 40``]

사과, 딸기, 복숭아, 배, 참외의 다섯 종류의 과일 중에서 [eqn: 18]개를 선택하려고 한다.
사과는 [eqn: 2]개 이하, 딸기는 [eqn: 4]개 이상, 복숭아는 [eqn: 3]개 이상, 배는 [eqn: 2]개 이상, 참외는 [eqn: 1]개 이상
선택하는 경우의 수를 구하여라. (단, 각 종류의 과일은 [eqn: 18]개 이상씩 있고, 같은 종류의
과일들은 서로 구별되지 않는다.)

[eqn: 369``]

[eqn: (a+b+c+d)^4 (e +f+g )^3]의 전개식에서 [eqn: a]는 포함하지 않고 [eqn: e]는 포함하는 문자의 곱으로
이루어진 서로 다른 항의 개수는?

②

① [eqn: 80``]	② [eqn: 90``]　	③ [eqn: 100``]

④ [eqn: 110``]　	⑤ [eqn: 120``]

중복조합과 함수의 개수

[eqn: X=][eqn: LEFT { 1,```2,``` CDOTS ,```r RIGHT }], [eqn: Y][eqn: =][eqn: LEFT { 1,```2,``` CDOTS ,```n RIGHT }]일 때,

[eqn: x _{1} <x _{2}]일 때 [eqn: f(x _{1} ) le f(x _{2} )]을 만족시키는 [eqn: f:X->Y]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_n {rmH}_r]이다.

※ [eqn: x _{1} <x _{2}]일 때 [eqn: f(x _{1} )<f(x _{2} )]을 만족시키는 [eqn: f:X->Y]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: ` _{n}{ rm C} _{r}]이다.

집합 [eqn: X = left{ 1,```2,```3 right}]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { 4,```5,```6,```7,```8 RIGHT }]로의 함수 [eqn: f] 중에서
다음 조건을 만족시키는 것의 개수를 구하여라.

(1) [eqn: 60]	(2) [eqn: 10]	(3) [eqn: 35]

(1) [eqn: x_1 != x_2]일 때 [eqn: f(x_1 ) != f(x_2 )]

(2) [eqn: x_1 <x_2]일 때 [eqn: f(x_1 ) < f(x_2 )]

(3) [eqn: x_1 <x_2]일 때 [eqn: f(x_1 ) le f(x_2 )]

다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수를 구하여라.

(1) [eqn: 56]	(2) [eqn: 120]

(1) [eqn: 1 le a<b<c le 8]

(2) [eqn: 1 le a le b le c le8]

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의
함수 [eqn: f] 중에서 다음 조건을 만족시키는 것의 개수는?

①

(가) 모든 [eqn: x_1 ,```x_2 inA]에 대하여 [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x _{1} ) LEQ f(x _{2} )]이다.

(나) [eqn: f(3)=3]

① [eqn: 90``]	② [eqn: 128``]	③ [eqn: 252``]

④ [eqn: 338``]	⑤ [eqn: 462``]

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6RIGHT }]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의
함수 [eqn: f] 중에서 다음 조건을 만족시키는 것의 개수는?

④

(가) 모든 [eqn: x_1 ,```x_2 inA]에 대하여 [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x _{1} ) LEQ f(x _{2} )]이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다.

① [eqn: 64``]	② [eqn: 82``]	③ [eqn: 100``]

④ [eqn: 120``]	⑤ [eqn: 128``]

다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 70]

(가) [eqn: 1 le a le b le c le d le 8]

(나) [eqn: b-a=d-c]

기타 중복조합의 활용

① 짝수, 홀수 조건이 걸린 부정방정식

② [eqn: a+b+c le n]의 [eqn: 0] 이상 정수해의 개수

③ 등호와 부등호가 섞여 있는 함수의 개수

[eqn: a+b+c=15]를 만족시키는 세 홀수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 28]

두 짝수 [eqn: a], [eqn: b]와 홀수 [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c=15]를 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의
모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 21]

[eqn: (x+y+z)^11]의 전개식에서 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 차수가 모두 홀수인 서로 다른 항의 개수는?

②

① [eqn: 12``]	② [eqn: 15``]	③ [eqn: 18``]

④ [eqn: 21``]	⑤ [eqn: 24``]

두 집합 [eqn: X=left{1,```2,```3,```4,```5right], [eqn: Y=left{1,```2,```3,```4,```5,```6,```7right]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
함수 [eqn: f:X->Y]의 개수를 구하여라.

[eqn: 126]

[eqn: f(1)<f(2) le f(3) lef(4)<f(5)]

집합 [eqn: X=left{1,```2,```3,```4,```5right]에 대하여 함수 [eqn: f: X ->X] 중에서
[eqn: f(1)le f(2) <f(3) <f(4) le f(5)]를 만족시키는 것의 개수를 구하여라.

[eqn: 21]

부등식 [eqn: x+y+z+u le 7]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: u]의
모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z,```u)]의 개수는?

②

① [eqn: 310]	② [eqn: 330]	③ [eqn: 350]

④ [eqn: 370]	⑤ [eqn: 390]