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Pattern Drill | 이항정리

Pattern Drill

이항정리

.    .

이항정리

[eqn: (a+b) ^{n}]을 전개하는 방법을 이항정리라 한다.

① 동류항을 묶으면 항은 [eqn: n+1]개가 나온다.

② 항 [eqn: a^x b^y]에서 [eqn: x+y=n]이다.

③ 항 [eqn: a ^{k} b^n-k]의 계수는 [eqn: `_n {rmC}_k]이다.

※ [eqn: (a+b)^n =sum_k=0 ^n `_n {rmC}_k a^k b^n-k]	※ [eqn: (1+x) ^{n} = sum _{k=0} ^{n} ` _{n} rm C it rm _{k} x ^{k}]

[eqn: (3x-y)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4 y^2]의 계수는?

①

① [eqn: 1215]	② [eqn: 1220]	③ [eqn: 1225]

④ [eqn: 1230]	⑤ [eqn: 1235]

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {3} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수를 구하여라.

[eqn: 540]

[eqn: left(2x^2 - 3over x right)^5]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수를 [eqn: p], [eqn: x^4]의 계수를 [eqn: q]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은?

①

① [eqn: -360]	② [eqn: -180]	③ [eqn: -60]

④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 360]

[eqn: {d} over {dx} LEFT ( x ^{2} + {k} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 480]일 때 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

[eqn: (1+x) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{4}], [eqn: x ^{5}], [eqn: x ^{6}]의 계수가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때,
[eqn: 10] 이상의 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.

[eqn: 14]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} (1+2x) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x^9]의 계수는?

③

① [eqn: 2^9]	② [eqn: 2^10]	③ [eqn: 11 cdot 2^9]

④ [eqn: 11 cdot 2^10]	⑤ [eqn: 11 cdot 2^11]

다항식 [eqn: (x+2) ^{19}]의 전개식에서 [eqn: x^k]의 계수가 [eqn: x^k+1]의 계수보다
크게 되는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은?

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

나눗셈의 나머지

잘.

[eqn: 21 ^{30}]을 [eqn: 400]으로 나눈 나머지는?

③

① [eqn: 21``]	② [eqn: 51``]	③ [eqn: 201``]

④ [eqn: 231``]	⑤ [eqn: 391``]

[eqn: 11 ^{99}]을 [eqn: 100]으로 나누었을 때, 나머지는?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 91]	⑤ [eqn: 99]

특정항의 계수

[eqn: (a+b) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: a ^{k} b^n-k]의 계수는 [eqn: `_n {rmC}_k]이다.

[eqn: 2x left( x over2 +3right)^5]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수는?

②

① [eqn: 135over2]	② [eqn: 135]	③ [eqn: 405over2]

④ [eqn: 270]	⑤ [eqn: 675over2]

[eqn: (1+x)^4 (2+x)^5]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수를 구하여라.

[eqn: 208]

[eqn: (1+x+x ^{2} ) LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{10}]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는?

⑤

① [eqn: rm` _{10} C _{1}]	② [eqn: rm`_10 C _2]	③ [eqn: rm`_10 C _3]

④ [eqn: rm`_10 C _4]	⑤ [eqn: rm`_10 C _5]

다항식 [eqn: (1- x)^4 (2- x)^3]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수를 구하여라.

[eqn: 102``]

[eqn: (x-y) ^{4} (x+2y) ^{3}]의 전개식에서 [eqn: x^4 y^3]의 계수는?

①

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 8``]

[eqn: left(x+ 1over x right)^4 (2x-1)^3]의 전개식에서 상수항은?

⑤

① [eqn: -46``]	② [eqn: -48``]	③ [eqn: -50``]

④ [eqn: -52``]	⑤ [eqn: -54``]

[eqn: left{(a+b) ^{3} +c right} ^{6}]의 전개식에서 [eqn: a ^{5} b ^{4} c ^{3}]의 계수는?

⑤

① [eqn: rm ` _{6} C _{2} TIMES ` _{6} C _{4}]	② [eqn: rm ` _{6} C _{2} TIMES ` _{9} C _{3}]	③ [eqn: rm ` _{6} C _{3} TIMES ` _{3} C _{2}]

④ [eqn: rm ` _{6} C _{3} TIMES ` _{6} C _{2}]	⑤ [eqn: rm ` _{6} C _{3} TIMES ` _{9} C _{4}]

다음 중 [eqn: sum _{k=0} ^{10} ` _{10} rm C it rm _{10-k} CDOT _{10} rm C it rm _{k}]와 같은 것은?

④

① [eqn: 2 CDOT _{10} rmC _{5}]	② [eqn: 4 CDOT _{10} rm C _{5}]	③[eqn: rm` _{10} C _{5}]

④ [eqn: rm `_20 C_10 `]	⑤ [eqn: rm( `_10 C_5 `)^2]

다음 중 [eqn: (1+x) ^40]의 전개식에서 [eqn: x^20]의 계수와 같은 것은?

④

① [eqn: 2 sum _{k=0} ^{10} ` _{20} rm C it rm _{k} `]	② [eqn: 2 sum _{k=0} ^{20} ` _{20} rm C it rm _{k} `]	③ [eqn: sum _{k=0} ^{10} (` _{20} rm C it rm _{k} `) ^{2}]

④ [eqn: sum _{k=0} ^{20} (` _{20} rm C it rm _{k} `) ^{2}]	⑤ [eqn: sum _{k=0} ^{10} ` _{20} rm C it rm _{k} `]

다항정리

[eqn: (a+b+c) ^{n}]을 전개하였을 때, [eqn: a ^{p} b ^{q} c ^{r}]의 계수는 [eqn: ` _{n} rm C it rm _{p} cdot_n-p {rmC}_q = { n!} over {p!q!r! }]이다.

* 일반적으로, ‘같은 것이 있는 순열’처럼 된다.

[eqn: (a- 2b +c )^7]의 전개식에서 [eqn: a^2 b^3 c^2]의 계수는?

①

① [eqn: -1680]	② [eqn: -1620]	③ [eqn: -1560]

④ [eqn: -1500]	⑤ [eqn: -1440]

[eqn: (x ^{2} +x+1) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수를 구하여라.

[eqn: 30]

[eqn: (x^6 -3x^2 +2x +1)^5]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는?

②

① [eqn: -200]	② [eqn: -190]	③ [eqn: -180]

④ [eqn: -170]	⑤ [eqn: -160]

이항계수의 성질 1

① [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} =` _{n} rm C it rm _{n} =1]

② [eqn: ` _{n} rm C it rm _{k} = _{n} rm C it rm _{n-k}]

③ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{k} + _{n} rm C it rm _{k+1} = _{n+1} rm C it rm _{k+1}]

④ [eqn: {} _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C it rm _{2} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{n} =2 ^{n}]

⑤ [eqn: {} _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C it rm _{3} + _{n} rm C it rm _{5} + CDOTS = _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{2} + _{n} rm C it rm _{4} + _{n} rm C it rm _{6} + CDOTS =2 ^{n-1}]

⑥ [eqn: {} _{k} rm C it rm _{k} + _{k+1} rm C it rm _{k} + _{k+2} rm C it rm _{k} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{k} = _{n+1} rm C it rm _{k+1}]

다음 식의 값을 구하여라.

(1) [eqn: 2^7]	(2) [eqn: 2^15]	(3) [eqn: 2^19]	(4) [eqn: 2]

(1) [eqn: {} _{7} rm C it rm _{0} + _{7} rm C it rm _{1} + _{7} rm C it rm _{2} +cdots+ _{7} rm C it rm _{7}]

(2) [eqn: {} _{16} rm C it rm _{0} + _{16} rm C it rm _{2} + _{16} rm C it rm _{4} + CDOTS + _{16} rm C it rm _{16}]

(3) [eqn: ` _{20} rmC _{1`} + _{20} C _{3} + _{20} C _{5} +cdots+ _{20`} C _{19}]

(4) [eqn: {} _{50} rmC _{1} - _{50} rmC _{2} + _{50} rmC _{3} - _{50} rmC _{4} + CDOTS + _{50} rmC _{49}]

다음 식의 값을 구하여라.

(1) [eqn: `_11 rmC_3]	(2) [eqn: `_11 rmC_7]	(3) [eqn: ` _{12} rm C _{8} - _{5} C _{1}]

(4) [eqn: 98]	(5) [eqn: 2010]	(6) [eqn: 2010]

(1) [eqn: {} _{2} rm C it rm _{2} + _{3} rm C it rm _{2} + _{4} rm C it rm _{2} + CDOTS + _{10} rm C it rm _{2}]

(2) [eqn: rm ` _{3} C _{0} + _{4} C _{1} + _{5} C _{2} + CDOTS + _{10} C _{7}]

(3) [eqn: rm ` _{5} C _{2} +` _{6} C _{3} +` _{7} C _{4} + CDOTS +` _{11} C _{8}]

(4) [eqn: log _{2} `` LEFT ( {} _{99} rm C it _{1} + _{99} rm C it _{3} + _{99} rm C it _{5} +`` CDOTS ``+ _{99} rm C it _{99} RIGHT )]

(5) [eqn: log _{2} LEFT ( sum _{k=0} ^{1005} ` _{2011} rm C it rm _{2k} RIGHT )]

(6) [eqn: log _{2} LEFT ( sum _{k=0} ^{1005} ` _{2011} rm C it rm _{k} RIGHT )]

[eqn: 50] 이하의 자연수 [eqn: n] 중에서 [eqn: sum _{k=1} ^{n} ` _{n} rm C _{it k rm}]의 값이 [eqn: 3]의 배수가 되도록 하는
자연수 [eqn: n]의 개수를 구하여라.

[eqn: 25]

등식 [eqn: {`_15 \C_1 +_15 C_3 +_15 C_5 +cdots+_15 C_15}over{`_2n {rmC}_0 +_2n {rmC}_2 +_2n {rmC}_4 +cdots+_2n {rmC}_2n} =32]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은?

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n][eqn: = sum _{k=0} ^{n} ` _{2n} rm C it rm _{2k}]라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값은?

①

① [eqn: {2} over {3} (4 ^{10} -1)]	② [eqn: {3} over {4} (4 ^{10} -1)]	③ [eqn: {4} over {5} (4 ^{10} -1)]

④ [eqn: {5} over {6} (4 ^{10} -1)]	⑤ [eqn: {6} over {7} (4 ^{10} -1)]

[eqn: rm` _{4} C _{1} +` _{5} C _{2} +` _{6} C _{3} +` _{7} C _{4} `+` _{8} C _{5} +` _{9} C _{6} +` _{10} C _{7}]을 간단히 하면?

③

① [eqn: rm`_10 C_7 -1]	② [eqn: rm`_10 C _7]	③ [eqn: rm`_11 C _7 -`1]

④ [eqn: rm`_11 C_7]	⑤ [eqn: rm` _12 C_7]

자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: f(n)= sum _{k=2} ^{n} ( _{k} rm C _{0} it + _{k} rm C _{1} it + _{k} rm C _{2} it + _{k} rm C _{3} + CDOTS it + _{k} rm C _{it k-1 rm} )]
일 때, [eqn: f(8)]의 값은?

③

① [eqn: 488``]	② [eqn: 495``]	③ [eqn: 501``]

④ [eqn: 503``]	⑤ [eqn: 512``]

[eqn: (1+x)+{(1+x)^2}+cdots+{(1+x)^10}]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는?

⑤

① [eqn: 45]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 165]

[eqn: (1+x^2 )+{(1+x^2 )^2}+{(1+x^2 )^3}+cdots+{(1+x^2 )^7}]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는?

④

① [eqn: ` _{7} rm C_{1}]	② [eqn: ` _{7} rmC _{2}]	③ [eqn: ` _{7} rmC _{3}]

④ [eqn: ` _{8} rmC _{3}]	⑤ [eqn: ` _{8} rmC _{4}]

[eqn: (1+x+x^2 ) ^n]의 전개식에서 [eqn: x^r]의 계수를 [eqn: a_r]라고 할 때, [eqn: a_0 - a_1 +a_2 - a_3 +cdots+a_2n]의 값은?

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

수열 [eqn: a _{n} = _{10} rm C it rm _{n} p ^{10-n} q ^{n}]에 대하여, [eqn: sum _{k=1} ^{10} 3 ^{k} a _{k}]의 값은?

③

① [eqn: (p+q) ^{10}]	② [eqn: 3(p+q) ^{10}]	③ [eqn: (p+3q) ^{10} -p ^{10}]

④ [eqn: (p+3q) ^{10} -q ^{10}]	⑤ [eqn: (p+q) ^{30}]

서로 구별할 수 없는 주사위 [eqn: n]개를 던져서 나오는 경우의 수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때,
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 461]

[eqn: 5]개의 서로 다른 알사탕과 서로 구별할 수 없는 [eqn: 5]개의 박하사탕이 있다.
이 [eqn: 10]개의 사탕 중 [eqn: 5]개를 선택하는 경우의 수를 구하여라.

[eqn: 32]

이항계수의 성질 2

⑦ [eqn: x=i]일 때, 그거.

⑧ 미분해서 [eqn: {} _{n} rm C it rm _{1} +2 _{n} rm C it rm _{2} +3 _{n} rm C it rm _{3} + CDOTS +n _{n} rm C it rm _{n} =n times2 ^{n-1}]

⑨ 적분해서 [eqn: {}_n {rm C} _0 + {{}_n {rm C} _1} over 2 + {{}_n {rm C} _2} over 3 + cdots+ {{}_n {rm C} _n} over n+1][eqn: = {2 ^{n+1} -1} over {n+1}]

⑩ [eqn: k times_n {rmC}_k =n times_n-1 {rmC}_k-1]

[eqn: (1+i) ^8]의 전개식을 이용하여 [eqn: ` _{8} {rmC} _{0} - _{8} {rmC} _{2} + _{8} {rmC} _{4} - _{8} {rmC} _{6} + _{8}{rmC} _{8}]의 값을 구하면?

①

① [eqn: 16]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 48]

[eqn: ` _{50} rm C it _{1} - _{50} rm C it _{3} + _{50} rm C it _{5} - _{50} rm C it _{7} + CDOTS + _{50} rm C it _{49}]의 값은?

④

① [eqn: -2^50]	② [eqn: -2 ^{25}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2 ^{25}]	⑤ [eqn: 2^50]

다음 식의 값을 구하여라.

(1) [eqn: {n cdot2^n-1}]	(2) [eqn: {2 ^{n+1} -1} over {n+1}]

(3)	[eqn: 3 ^{n}]	(4) [eqn: {1} over {2 ^{n}}]

(5) [eqn: - 2^10]	(6) [eqn: - 2^10]

(1) [eqn: {} _{n} rm C it rm _{1} +2 _{n} rm C it rm _{2} +3 _{n} rm C it rm _{3} + CDOTS +n _{n} rm C it rm _{itn}]

(2) [eqn: {}_n {rm C} _0 + {{}_n {rm C} _1} over 2 + {{}_n {rm C} _2} over 3 + cdots+ {{}_n {rm C} _n} over n+1]

(3) [eqn: {} _{n} rm C it rm _{0} +2 _{n} rm C it rm _{1} +2 ^{2} ` _{n} rm C it rm _{2} + CDOTS +2 ^{n} ` _{n} rm C it rm _{it n}]

(4) [eqn: {} _{n} rm C it rm _{0} - {1} over {2} ` _{n} rm C it rm _{1} + {1} over {2 ^{2}} ` _{n} rm C it rm _{2} -`` {1} over {2 ^{3}} ` _{n} rm C it rm _{3} + CDOTS +(-1) ^{n} `` {1} over {2 ^{n}} ` _{n} rm C it rm _{it n}]

(5) [eqn: {{}_20 {rm C} _0} - {{}_20 {rm C} _2 + {{}_20 {rm C} _4 - {{}_20 {rm C} _6 +cdots+ {{}_20 {rm C} _20]

(6) [eqn: rm { `_21 C_0 - _21 C_2 + _21 C_4 - _21 C_6 + cdots + _21 C_20 `` }]

[eqn: sum _{k=0} ^{10} (k-4) _{10} rm C it rm _{k}]의 값을 구하여라.

[eqn: 1024]

이항분포에서 나오는 성질

[eqn: X sim{rmB}(n,```p)]일 때, [eqn: {rmE}(X)=np], [eqn: {rmV}{(X)=npq]에서,

[eqn: X sim{rmB}(n,```p)]이면 [eqn: rm P it (X=k)= _{n} rm C it rm _{k} p ^{k} q ^{n-k}]이므로,

[eqn: sum _{k=0} ^{n} k _{n} rm C it rm _{k} p ^{k} q ^{n-k} =np], [eqn: sum _{k=0} ^{n} k ^{2} ` _{n} rm C it rm _{k} p ^{k} q ^{n-k} =npq+(np) ^{2}]

[eqn: X`sim{rmB}(n,```p)]일 때, 다음을 식으로 나타내어라.

(1)[eqn: ` _{n} rm C it rm _{k} `p ^{k} `q ^{n-k}]	(2) [eqn: sum_k=0 ^n `_n{rmC}_k `p^k`q^n-k]

(3) [eqn: sum _{k=0} ^{n} k` _{n} {rm C} it rm _{k} `p ^{k} `q ^{n-k}]	(4) [eqn: sum _{k=0} ^{n} k` ^{2 } `_{n}} rm C it rm _{k} `p ^{k} `q ^{n-k}]

(1) [eqn: {rmP}(X=k)]

(2) [eqn: {rmP}(0le X le n)]

(3) [eqn: {rmE}(X)]

(4) [eqn: {rmE}(X ^{2} )]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가
[eqn: {rmP}(X=x)= _{45} {rmC} _{x} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{45-x}][eqn: (x = 0,```1,```2,~cdots ,```45)]
일 때, [eqn: {rmE}(X )]와 [eqn: {rmV}(X)]는?

[eqn: {rmE}(X)=15], [eqn: {rmV}(X)=10]

이항분포 [eqn: rmB LEFT ( 100,``` {1} over {10} RIGHT )]를 이용하여 다음 값을 구하여라.

(1) [eqn: 1]	(2) [eqn: 10]	(3) [eqn: 109]

(1) [eqn: sum _{r=0} ^{100} ` _{100}{rmC } _{r} left( {1} over {10} right) ^{r} left( {9} over {10} right) ^{100-r}]

(2) [eqn: sum _{r=0} ^{100} `r cdot _{100} {rmC} _{r} left( {1} over {10} right) ^{r} left( {9} over {10} right) ^{100-r}]

(3) [eqn: sum _{r=0} ^{100} `r ^{2} cdot _{100} {rmC} _{r} left( {1} over {10} right) ^{r} left( {9} over {10} right) ^{100-r}]

한 개의 동전을 [eqn: 5]번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 한다.
확률변수 [eqn: 3 ^{X}]의 평균을 구하여라.

[eqn: 32]