원순열 [기초강의]

[학습목표]

1. 원순열을 이해하고 문제를 풀 수 있다.

2. 입체도형에 색칠하는 경우의 수를 이해한다.

01. 서로 다른 [eqn: n]개를 원형으로 나열하는 방법의 수는 [eqn: (n-1)!]이다.

02. 원순열에서는 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.

[eqn: RARROW] 원순열의 수는 자리의 절대적인 방향은 무시하고 놓인 것들의 상대적 위치관계만을 고려한다.

03. 원순열에서는 배열들이 서로 같은 지, 그렇지 않은 지를 이해하는 것이 매우 중요하다.

[eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 세 명을 원탁에 앉히려 할 때, 아래의 배열들을 살펴보자.

[그림1]	[그림2]	[그림3]	[그림4]	[그림5]	[그림6]

위의 그림 중 [그림1]과 [그림4]와 [그림5]는 서로 같은 배열이다.

[그림1]을 시계방향으로 [eqn: 120DEG] 회전시키면 [그림5]를, 다시 [eqn: 120DEG] 회전시키면 [그림4]를 얻을 수 있다.

[그림1]과 [그림4]와 [그림5]는 모두 [eqn: rmA]의 입장에서 봤을 때, 왼쪽으로 [eqn: rmB], 오른쪽으로 [eqn: rmC]가 앉아 있다.

※ [그림1]과 [그림2]가 서로 다른 배열이라는 것을 [eqn: rmA]입장에서 확인해보자.

※ 원순열의 수는 [eqn: rmA]가 북쪽으로 앉아 있는지를 고려하지 않는다.

04. 따라서 [eqn: 3]명이 원탁에 앉는 방법의 수는 [eqn: 2]이다.

[03]의 [그림1], [그림4], [그림5]가 서로 같은 배열이고, [그림2]. [그림3], [그림6]이 서로 같은 배열이다.

05. [eqn: n]명이 원탁에 앉는 방법의 수를 생각하자. [eqn: n]개의 자리에 [eqn: n]명이 앉을 수 있는 방법의 수는 [eqn: n!]인데,

어떤 배열과 그 배열을 [eqn: 1/n]바퀴 회전했을 때 얻어지는 배열은 원순열로서 같은 배열이 된다.

따라서 [eqn: n]개의 배열이 원순열로는 [eqn: 1]개가 되므로 [eqn: n!]을 [eqn: n]으로 나눠줘야 한다. [eqn: (n-1)!]이네.

06. 다른 방법으로 해보자. [eqn: n]개의 자리가 있는 원탁에 [eqn: rmA]를 포함한 [eqn: n]명을 앉히려 한다.

[eqn: n]자리가 모두 비어있을 때, [eqn: rmA]를 앉히는 방법을 생각하면.. 생각할 필요가 없다.

[eqn: rmA]가 어디에 앉든 돌려돌려하면 어디로든 가져갈 수 있기 때문에 [eqn: rmA]가 앉을 때는 [eqn: n]자리가 모두 서로 같은 자리다.

그런데 [eqn: rmA]가 자리를 잡고 앉으면, 나머지 [eqn: (n-1)]자리는 [eqn: rmA]에 대한 상대적 위치가 서로 달라진다.

각각 [eqn: rmA]의 왼쪽 자리, 왼쪽으로 두 번째, 왼쪽으로 세 번째, [eqn: cdots]로서 특별해 지는 것이다.

[eqn: rmA]를 제외한 [eqn: (n-1)]명을 서로 다른 [eqn: (n-1)]자리에 앉히는 방법의 수는 [eqn: (n-1)!]이다.

07. [05]의 풀이를 같은 것의 개수로 나누는 풀이, [06]의 풀이를 하나를 고정하는 풀이라 하자.

대부분의 원순열 문제는 양쪽으로 풀이가 가능하니 최대한 양쪽으로 도전해보자.

어느 풀이든 배열이나 자리가 같은 것인 지 다른 것인 지를 판단하는 것이 중요하고 어려운 문제가 된다.

[05]나 [06]의 밑줄 친 부분이 이해하기 쉽지 않은 문장이다. 각자 곱씹어보도록 하자.

08. 아래의 [그림1]과 같은 직사각형 모양의 탁자에 [eqn: 8]명을 앉히는 경우의 수를 생각하자. [그림2]의 번호는 임의로 붙인 것이다.

	[그림1]	[그림2]

09. [eqn: 8]명을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: cdots], [eqn: rmH]라 하고, 아래의 배열들을 째려보자.

[그림3]	[그림4]	[그림5]	[그림6]

[그림3]과 [그림4]는 서로 다른 배열이다. 이건 당연하지? 자신이 [eqn: rmA]라고 생각해보자. 옆에 누가 앉아 있는지.

10. 원순열로서 [그림3]과 [그림6]은 서로 같은 배열이고 [그림3]과 [그림5]는 서로 다른 배열이라는 것을 이해해야 한다.

[그림3]을 [eqn: 180DEG] 회전시키면 [그림6]이 된다. 그래서 같다.

[그림3]과 [그림5]는 동일하게 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: cdots], [eqn: rmH]가 시계방향으로 배열되어 있다.

하지만 [그림5]의 [eqn: rmA]는 [그림3]의 [eqn: rmA]보다 답답하다. 그걸 다른 것으로 보자는 거야.

11. 따라서 직순열로 생각했을 때 [eqn: 8!]가지의 배열이 생기는데,

이 중 [그림3]과 같은 배열은 [그림6] 밖에 존재하지 않는다.

[eqn: 8!]가지 중 두 가지씩이 서로 같은 배열이 되므로 구하는 경우의 수는 [eqn: (8!÷2)]가 된다.

12. [eqn: 8]자리가 비어있을 때, [eqn: rmA]를 앉히는 방법을 생각하자. [08]의 [그림2]를 보자.

①과 ②가 서로 다른 자리인 것은 자명하지? ①과 ④도 서로 다른 자리 인정?

①과 ③도 서로 다른 자리다. 오른손잡이 기준으로 식탁에서 밥을 먹는다면 ①은 좋은 자리, ③은 나쁜 자리다.

식탁 가운데 놓인 맛있는 고기를 향해 젓가락질 하는 것을 이미지 해 보자. 난 식당 가면 이거 되게 신경쓰는데..

13. ①과 ⑤는 서로 같은 자리다. [eqn: 180DEG] 돌려보면 알겠지?

마찬가지로 ②와 ⑥이 서로 같은 자리, ③과 ⑦이 서로 같은 자리, ④와 ⑧이 서로 같은 자리가 된다.

14. 따라서 [eqn: rmA]가 자리를 잡고 앉는 경우의 수는 [eqn: 4]가지가 된다.

일단 [eqn: rmA]가 앉으면 나머지 모든 자리는 서로 다른 자리가 된다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: (4times7!)]이 된다.

15. 같은 자리, 다른 자리의 개념을 이해하는 것은 매우 중요하다. [14]에 대해서 조금 더 설명해볼게.

모든 자리가 비어있을 때, ④와 ⑧은 서로 같은 자리이다.

그런데 [eqn: rmA]가 ①에 앉으면? ④와 ⑧은 서로 다른 자리가 된다. 하나는 가깝고 하나는 멀지?

[eqn: rmA]가 ②에 앉으면? 마찬가지로 ④와 ⑧은 서로 다른 자리가 된다. [eqn: rmA]가 봤을 때, 왼쪽과 오른쪽이니까.

16. 오른쪽 그림과 같은 정사각형모양의 탁자에 [eqn: 8]명을 앉히는 방법의 수를 생각하자.

풀이1) [eqn: 8]명을 직순열로 배열하는 방법의 수가 [eqn: 8!]이고,

어떤 배열을 [eqn: 90DEG]를 회전했을 때 같은 배열을 얻을 수 있다.

네 가지 배열이 한 종류가 되므로 구하는 경우의 수는 [eqn: (8!div4)]다.

풀이2) [eqn: 8]명 중 첫 번째 사람을 앉힐 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2]다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: (2times7!)]이다.

17. 조금 더 설명해볼게. [eqn: 8]명을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: cdots], [eqn: rmH]라 하자. [그림4]의 번호는 편의상 붙인 것이다.

[그림1]	[그림2]	[그림3]	[그림4]

풀이1)을 이해하려면 [그림1]과 [그림3]은 서로 같은 배열이고, [그림1]과 [그림2]는 서로 다른 배열인 것을 이해해야 한다.

[그림2]의 [eqn: rmA]는 밥먹기 좋지만, [그림1]이나 [그림3]의 [eqn: rmA]는 밥먹기 빡친다.

풀이2)를 이해하려면 [그림4]의 [eqn: 8]개의 빈 자리 중 ①, ③, ⑤, ⑦이 서로 같은 자리이고

②, ④, ⑥, ⑧이 서로 같은 자리라는 것을, ①과 ②는 서로 다른 자리라는 것을 이해해야 한다.

나하고 식당을 가면 내가 은근히 ②, ④, ⑥, ⑧ 자리에 앉으려고 노력하는 것을 확인할 수 있을 것이다.

18. 오른쪽 그림과 같은 반원모양의 탁자에 [eqn: 8]명을 앉히는 방법의 수를 생각하자.

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[eqn: RARROW] 답은 [eqn: 6!]이다. 회전은 낚시고, 같은 자리는 존재하지 않는다.

[eqn: RARROW] 선대칭인 자리들이 서로 다른 것을 확인하자. 왼쪽, 오른쪽.

19. 아래와 같은 모양의 원판에 [eqn: 5]가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수는?

(단, 한 칸에 하나의 색을 사용하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

20. 세 가지 풀이를 해 보겠다.

풀이1) 직순열로 생각하면 [eqn: 5!]가지의 경우가 가능하다. [eqn: 4]개씩이 같은 경우가 되므로 답은 [eqn: (5!div4)]다.

풀이2) 가운데 어떤 색을 칠하는 지의 경우의 수가 [eqn: 5]이다. 가운데를 칠하면 나머지는 원순열이므로 [eqn: 3!]. 답은 [eqn: (5times3!)]이다.

풀이3) [eqn: 5]가지 중 색 [eqn: rmA]가 있다고 하자. [eqn: rmA]를 칠할 수 있는 경우의 수는 Case1) 가운데, Case2) 가장자리의 두 가지이다.

Case1)은 나머지 [eqn: 4]색을 원순열 배열이므로 [eqn: 3!]가지, Case2)는 모두 다른 자리가 되므로 [eqn: 4!]가지가 된다. 답은 [eqn: (3!+4!)]이다.

21. 풀이1)은 같은 것의 개수로 나누는 풀이고

풀이2)가 많이 쓰이는 풀이면서도 관점이 독특한데, 다른 자리부터 채우는 풀이랄까.

풀이3)이 하나를 고정하는 풀이에 대응된다. 좀 불편하지?

22. 오른쪽과 같은 모양의 원판에 [eqn: 8]가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수는?

(단, 한 칸에 하나의 색을 사용하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

풀이1) 직순열로 생각하면 [eqn: 8!]가지의 경우가 가능하다.

[eqn: 4]개씩이 같은 경우가 되므로 답은 [eqn: (8!÷4)]다.

풀이2) 가운데 [eqn: 4]칸에 어떤 색을 칠하는 지의 고르는 경우의 수는 [eqn: ` _{8} {rmC} _{4}]이다.

얘들을 원순열 배열 [eqn: 3!], 안쪽을 칠하면 나머지는 그냥 순열이다. [eqn: 4!]. 답은 [eqn: ( _{8} {rmC} _{4} TIMES 3!times4!)]이다.

풀이3) [eqn: 8]가지 중 색 [eqn: rmA]가 있다고 하자. [eqn: rmA]를 칠할 수 있는 경우의 수는 Case1) 안 쪽, Case2) 바깥 쪽의 두 가지이다.

Case1), Case2) 모두 [eqn: rmA]를 칠하면 남은 자리는 모두 서로 다른 자리가 되므로 [eqn: 7!]가지가 된다. 답은 [eqn: (2times7!)]이다.

23. 오른쪽과 같은 모양의 판에 [eqn: 9]가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수는?

(단, 한 칸에 하나의 색을 사용하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

풀이1) [eqn: 4]개씩 똑같네. [eqn: (9!div4)]다.

풀이2) 중앙 칸이 다른 것이야 보일 것이고,

중앙 칸과 붙어 있는 [eqn: 4]칸과, 모서리의 [eqn: 4]칸이 서로 다른 것을 인지하자.

답은 [eqn: left{9 times(_8 {rmC}_4 times3! )times4! right]이다.

풀이3) 첫 번째 색을 칠할 수 있는 경우는 [eqn: 3]가지. 답은 [eqn: LEFT { (8!÷4)+8!+8! RIGHT }]이다.

24. 조건이 걸린 원순열 문제를 풀어보자. 같은 것의 개수로 나누는 풀이와 하나를 고정하는 풀이 중에 후자를 추천하게 된다.

조건에 따라서 몇 개씩이 서로 같은 지 헷갈리는 경우가 생긴다는 점과, 하나를 고정하면 경우의 수가 줄어든다는 점 때문이다.

25. 부모를 포함한 여섯 명의 가족이 원탁에 둘러앉을 때, 부모가 이웃하는 배열 방법의 수를 구하여라.

풀이1) 직순열로 봤을 때, 아버지가 앉을 수 있는 경우의 수는 [eqn: 6], 어머니가 앉을 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2],

애들 깔아주는 경우의 수 [eqn: 4!], 여섯 개가 원순열로서 같은 배열을 만들기 때문에 [eqn: 6]으로 나눠주면 된다.

풀이2) 아버지 그냥 아무자리나 앉으세요. 그 자리가 그 자리니까. 어머니 [eqn: 2]에 애들 [eqn: 4!]이니까 답은 [eqn: (2times4!)]이다.

26. 부모를 포함한 여섯 명의 가족이 원탁에 둘러앉을 때, 부모가 마주보는 배열 방법의 수를 구하여라.

풀이1) 직순열로 봤을 때, 아버지가 앉을 수 있는 경우의 수는 [eqn: 6], 어머니가 앉을 수 있는 경우의 수는 [eqn: 1],

애들 깔아주는 경우의 수 [eqn: 4!], 여섯 개가 원순열로서 같은 배열을 만들기 때문에 [eqn: 6]으로 나눠주면 된다.

풀이2) 아버지 그냥 아무자리나 앉으세요. 그 자리가 그 자리니까. 어머니 [eqn: 1]에 애들 [eqn: 4!]이니까 답은 [eqn: 4!]이다.

27. [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]학년 학생이 각각 [eqn: 2]명씩 [eqn: 6]명이 원탁에 둘러앉을 때, 같은 학년끼리는 이웃하도록 배열하는 방법의 수를 구하여라.

풀이1) 직순열로 봤을 때, [eqn: 1]학년이 [eqn: 2]자리를 고르는 경우의 수는 [eqn: 6]이다. 앉히는 경우의 수는 [eqn: 2!],

[eqn: 2]학년의 [eqn: 2]자리를 고르는 경우의 수는 [eqn: 2], 앉히는 경우의 수는 [eqn: 2!], 남은 [eqn: 3]학년 [eqn: 2]명을 앉히는 경우의 수 [eqn: 2!]이다.

여섯 개가 원순열로서 같은 배열을 만들기 때문에 [eqn: 6]으로 나눠주면 된다. 답은 [eqn: 16]이다.

풀이2) [eqn: 1]학년 하나를 앉혀놓고 시작하자. 남은 [eqn: 1]학년이 앉을 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2],

[eqn: 2]학년의 [eqn: 2]자리를 고르는 경우의 수는 [eqn: 2], 앉히는 경우의 수는 [eqn: 2!], 남은 [eqn: 3]학년 [eqn: 2]명을 앉히는 경우의 수 [eqn: 2!]이다.

※ 이 문제는 풀이2)에서 한 명을 고정하는 것이 헷갈리는 것을 방지해줄 뿐 아니라, 경우의 수를 줄여주는 효과가 생긴다.

28. [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]학년 학생이 각각 [eqn: 2]명씩 [eqn: 6]명이 원탁에 둘러앉을 때, 같은 학년끼리는 마주보도록 배열하는 방법의 수를 구하여라.

풀이2)만 할래. [eqn: 1]학년 하나를 앉혀놓으면, 남은 [eqn: 1]학년 자리는 고정이다. [eqn: 2]학년의 [eqn: 2]자리를 고르는 경우의 수는 [eqn: 2],

앉히는 경우의 수는 [eqn: 2!], 남은 [eqn: 3]학년 [eqn: 2]명을 앉히는 경우의 수 [eqn: 2!]이다. 답은 [eqn: 8]이네.

29. [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]학년 학생이 각각 [eqn: 2]명씩 [eqn: 6]명이 원탁에 둘러앉을 때, [eqn: 1]학년은 이웃하고,

[eqn: RARROW] [eqn: 2]학년은 이웃하지 않도록 배열하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: 1]학년 하나를 앉혀놓으면, 남은 [eqn: 1]학년 자리는 [eqn: 2]가지가 가능하다.

남은 네 자리 중 [eqn: 2]학년이 앉을 두 자리를 고르는 경우의 수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: 2]학년 배열 [eqn: 2!]과 [eqn: 3]학년 배열 [eqn: 2!], 답은 [eqn: (2times3times2!times2!)]이다.

※ 밑줄 친 부분은 개인적으로 원래 좋아하는 방법인데, 원순열에서 특히 자주 쓰인다.

30. 남자 [eqn: 4]명, 여자 [eqn: 4]명의 [eqn: 8]명을 원탁에 앉을 때, 남녀가 교대로 앉는 방법의 수를 구하여라.

풀이1) 직순열로 봤을 때, 다시 말해, 여덟 자리가 다 다르다고 봤을 때,

남녀가 교대로 앉는 경우의 수는 [eqn: (2times4!times4!)]이다. [eqn: 8]로 나누면 되겠군.

풀이2) 남자[eqn: rmA]야, 일단 아무데나 앉아봐. 다 똑같은 자리거든?

남은 남자 [eqn: 3]명을 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3!], 여자 [eqn: 4]명을 배열하는 경우의 수는 [eqn: 4!]이다.

31. 입체도형을 색칠하는 방법의 수를 살펴보자. 목걸이 순열에 해당하므로 교과과정이 아니다.

하지만 원순열을 이해하는 핵심이 되는 내용, 같은 경우인지 아닌지를 판별하는 공부가 된다.

32. 정사각뿔의 각 면을 서로 다른 [eqn: 5]가지 색을 모두 사용하여 칠하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 얘는 쉽다. 밑면을 칠하는 경우의 수 [eqn: 5]에 나머지 원순열 [eqn: 3!]이다.

직순열이라 치면 [eqn: 5!]인데, [eqn: 4]개씩 똑같은 결과가 되겠지? [eqn: (5!div4)]해도 되겠네.

※ [19]와 같은 문제다.

33. 정육면체를 서로 다른 [eqn: 6]가지 색을 모두 사용하여 칠하는 방법의 수를 구하여라.

※ 얘는 [32]에 비해 매우 어려운 문제가 된다. [32]는 밑면이 독특해서 기준이 되어 줬던 것이거등.

[eqn: RARROW] 일단 첫 번째 색 [eqn: rmA]를 칠할 때, 고민 안해도 되겠지? 다 똑같은 면이야.

[eqn: rmA]가 칠해지면 마주보는 면에 뭐가 칠해지는 지에 따라 모두 다른 결과가 된다.

다시 말해, [eqn: rmA]를 칠하면 [eqn: rmA]가 칠해진 면의 마주보는 면은 독특해진다? 여기 칠하는 경우의 수가 [eqn: 5]이고,

나머지는 [eqn: 4]가지 색을 원순열 돌리는 것이다. [eqn: 3!]이네. 답은 [eqn: (5times3!)]이다.

34. [33]을 직순열 배열 [eqn: 6!]을 같은 것의 개수만큼으로 나눠서 풀어보자. 얼마로 나눌까?

답에 맞춰서 생각하면 [eqn: 24]로 나눠야 되는데.. 이게 졸라 어렵다. 답은 [39]에 있다.

35. 개인적으로 [34]의 접근은 학생에게 추천하지 않는다. 머리가 과하게 나쁘지 않으면 [33]의 풀이는 될 것 같은데,

[34]를 이해하려면 머리가 상당히 좋아야 한다는 느낌. 일단 [33]의 논법으로 몇 문제를 더 풀어보자.

36. 정사면체를 서로 다른 [eqn: 4]가지 색을 모두 사용하여 칠하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 일단 첫 번째 색 [eqn: rmA]를 아무데나 칠해라. 남은 [eqn: 3]가지 색을 원순열 돌리면 된다. [eqn: 2!]이군.

37. 정팔면체를 서로 다른 [eqn: 8]가지 색을 모두 사용하여 칠하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 먼저 아래와 같이 정팔면체를 만들 수 있다는 것을 이해하자.

이는 정팔면체를 정사각뿔 두 개를 붙인 것으로 이해하는 것보다 훌륭하다.

일단 첫 번째 색 [eqn: rmA]를 아무데나 칠해라. [eqn: rmA]가 칠해진 면과 마주보는 면에 칠하는 경우의 수는 [eqn: 7]이다.

[eqn: rmA]가 칠해진 면과 붙은 세 개의 면에 세 가지 색을 골라서 칠해야 한다. 원순열이여, [eqn: `_6 {rmC}_3 times2!]이다.

남은 세 개의 면에 남은 세 가지 색을 칠하는 경우의 수는 [eqn: 3!]이다. 답은 [eqn: 7times_6 {rmC}_3 times2! times3!]이다.

38. 정십이면체를 서로 다른 [eqn: 12]가지 색을 모두 사용하여 칠하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 정십이면체의 한 면에는 [eqn: 5]개의 오각형이 붙어 있다. 윗 문제 째려보면 [eqn: 11 TIMES _{10} rm C it _{5} TIMES 4! TIMES 5!] 되겠죵.

39. 정다면체를 칠하는 경우의 수는 [eqn: {n!} over { n times(한```면의```모서리의```수)}]가 된다.

이게.. 왜냐면.. 한 면 뜯어내고 남은 [eqn: (n-1)]면의 전개도를 펼쳐봐라. 모서리의 수로 나누는 이유가 보일 것이다.

그냥 나는 알고 있다고 보여준 거야. [33]이나 [37], [38] 풀던 방법으로 풀어.

40. 가로, 세로, 높이가 모두 다른 직육면체를 [eqn: 6]가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 첫 번째 색 [eqn: rmA]를 칠할 수 있는 경우의 수는 [eqn: 3]이다. 마주보는 면에 칠하는 경우의 수는 [eqn: 5],

나머지는 직사각형 탁자 배열이라 [eqn: 2times3!]이다. 각자 짱구를 굴려보자.

41. 정육면체를 서로 다른 [eqn: 4`]가지의 색을 모두 이용하여 칠하려고 한다.

이웃하는 면은 같은 색으로 칠하지 않는다고 할 때, 칠하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 한 가지 색을 [eqn: 3]번 쓸 수 없다. [eqn: 2+2+1+1]로 칠해야 하는군.

[eqn: 2]번 쓰는 색은 어차피 마주보는 면에 칠해야 한다. [eqn: 2]번 쓰는 색 [eqn: 2]가지를 정하자.

이 [eqn: 2]번 쓰는 색 [eqn: 2]가지로 네 개의 면을 칠하는 경우는 모두 같은 경우가 된다.

나머지 [eqn: 2]가지 색도 아무렇게나 칠해도 같은 경우 되네. 답은 [eqn: ` _{4} {rmC} _{2}]다.

※ 같은 경우인지 아닌지가 헷갈릴 수 있다. 많이 고민해보자.

※ 목걸이 순열에다가 같은 것이 있는 원순열이니까 교과과정 더블 위반이다.

중복조합 [기초강의]

[학습목표]

1. 중복조합의 뜻과 계산방법을 안다.

2. 부정방정식과 중복조합의 관계를 이해하고 문제를 풀 수 있다.

3. 감소하지 않는 함수의 개수와 중복조합의 관계를 이해한다.

01. 서로 다른 [eqn: n]개에서 중복을 허락하여 [eqn: r]개를 택하는 경우의 수를 중복조합이라 하고 [eqn: `_n {rmH}_r]로 나타낸다.

[eqn: RARROW] 계속해서 이야기하겠지만 중복조합은 적용하는 방법이 매우 헷갈린다.

따라서 개인적으로는 이 중복조합의 정의를 거의 사용하지 않는다.

그래도 의미는 이해해야 하니까 몇 개 나열해보자.

02. 네 개의 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD] 중 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 고르는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 나열해보자. [eqn: rmAA], [eqn: rmBB], [eqn: rmCC], [eqn: rmDD], [eqn: rmAB], [eqn: rmAC], [eqn: rmAD], [eqn: rmBC], [eqn: rmBD], [eqn: rmCD]의 [eqn: 10]가지다. [eqn: ` _{4} rmH _{2} =10]이군.

03. 네 개의 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD] 중 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 고르는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 막 나열하려고 보니까 좀 귀찮네. Case1) [eqn: rmXYZ], Case2) [eqn: rmXYY], Case3) [eqn: rmXXX] 인정?

Case1) [eqn: ` _{4} rm C _{3} =4],   Case2) [eqn: 4 TIMES 3=12],   Case3) [eqn: 4]

이므로 [eqn: ` _{4} rm H _{3} =20]이다.

04. 두 개의 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 중 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 고르는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] [eqn: rmAAAAA], [eqn: rmAAAAB], [eqn: rmAAABB], [eqn: rmAABBB], [eqn: rmABBBB], [eqn: rmBBBBB]의 여섯 가지다. [eqn: ` _{2} rm H _{5} =6]이다.

※ 중복 허락이다 보니 [eqn: ` _{2} rm H _{5}] 같은 것이 가능하다. [eqn: ` _{2} rm C _{5}]는 [eqn: 0]이다.

05. 아래와 같은 표를 만들 수 있다.

	중복불가	중복허용
순서 O	순열 [eqn: ` _{n} {rmP} _{r}]	중복순열 [eqn: ` _{n} SMALLPROD _{r}]
순서 X	조합 [eqn: ` _{n} {rmC} _{r}]	중복조합 [eqn: ` _{n} {rmH} _{r}]

순열이나 중복순열은 곱의 법칙의 차원에서 이해할 수 있으므로 거의 쓸 일이 없고,

중복조합은 활용도는 높지만 대부분의 문제를 부정방정식으로 돌려서 풀기 때문에 정의로서 인식하지 않는다.

조합은 당연히 개익숙해야 한다. 그러니 실제로 위의 표가 활용되는 일은 없다. 그냥 그렇다고.

06. [eqn: ` _{n} rm H it rm _{r} = _{n+r-1} rm C it rm _{r}]이다.

[eqn: RARROW] 중복조합을 계산하는 방법이다. [02]. [03]. [04]에 적용해서 확인해보자.

[02] [eqn: ` _{4} rm H _{2} = _{5} {rmC} _{2} =10],   [03] [eqn: ` _{4} rm H _{3} = _{6} {rmC} _{3} =20],   [04] [eqn: ` _{2} rm H _{5} = _{6} {rmC} _{5} =6]

※ 수능에 중복조합 [eqn: 1]문항이 거의 고정이기에, 어떤 의미에서는 수능수학에서 가장 중요한 공식이라 할 수 있다.

증명이 매우 독특하다. 증명의 발상이 어려운 정도가 공식의 가치라는 점에서도 매우 중요한 공식이라 할 수 있다.

확실하게 암기해라. 나 암기하라는 말 거의 안 해. 나중에 헷갈리고 이러면 인간 아니다.

07. 증명은 일반적으로 칸막이 논법을 이용한다.

※ 개인적으로 매우 싫어하는 방식이다. 연결고리를 잡는 방법이 삘이 잘 안 온다.

이는 중복조합이 적용하기 어렵다는 점과 상통한다.

※ 중복조합 초심자라면 그냥 넘어가자. 나중에 부정방정식과의 관계에서 증명하면 된다. [19] 참고.

08. [04]를 예로 들어보자. 두 개의 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 중 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 고르는 방법의 수는

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]라는 두 개의 상자에 서로 구별할 수 없는 다섯 개의 공을 집어넣는 경우의 수와 같고,

이는 다섯 개의 공을 일렬로 세워놓고 하나의 칸막이를 설치하여 둘로 구별하는 경우의 수와 같다.

중복조합에서	[[eqn: rmA]상자][[eqn: rmB]상자]	공과 칸막이
[eqn: rmAAAAA]	[eqn: [` BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC `][``]]	[eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR]
[eqn: rmAAAAB]	[eqn: [` BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC `][` BIGCIRC `]]	[eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC]
[eqn: rmAAABB]	[eqn: [` BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC `][` BIGCIRC BIGCIRC `]]	[eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC]
[eqn: rmAABBB]	[eqn: [` BIGCIRC BIGCIRC `][` BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC `]]	[eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC]
[eqn: rmABBBB]	[eqn: [` BIGCIRC ]`[` BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC `]]	[eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC]
[eqn: rmBBBBB]	[eqn: [``][` BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC `]]	[eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC]

따라서 구하는 경우의 수는 다섯 개의 공 [eqn: BIGCIRC]와 하나의 칸막이 [eqn: LOR]를 일렬로 배열하는 경우의 수 [eqn: {} _{6} rm C it _{5}]과 같다.

중복조합에서	[[eqn: rmA]][[eqn: rmB]][[eqn: rm C]][[eqn: rm D]]	공과 칸막이
[eqn: rmA][eqn: rmA][eqn: rmA]	[eqn: [` BIGCIRC BIGCIRC BIGCIRC `][``][``][``]]	[eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: LOR][eqn: LOR]
[eqn: rmA][eqn: rmA][eqn: rmB]	[eqn: [` BIGCIRC BIGCIRC `][` BIGCIRC`][``][``]]	[eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: LOR]
[eqn: rm B][eqn: rm B][eqn: rm C]	[eqn: [``][` BIGCIRC BIGCIRC `][` BIGCIRC `][``]]	[eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR]
[eqn: rm A][eqn: rm C][eqn: rm D]	[eqn: [` BIGCIRC `][``][` BIGCIRC `][` BIGCIRC `]]	[eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC]
[eqn: rm B][eqn: rm C][eqn: rm D]	[eqn: [``][` BIGCIRC ][` BIGCIRC `][` BIGCIRC `]]	[eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC][eqn: LOR][eqn: BIGCIRC]

09. [03]을 예로 들어보자. 네 개의 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD] 중

중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 고르는 방법의 수는 공 [eqn: 3]개와

칸막이 [eqn: 3]개를 일렬로 배열하는 경우의 수 [eqn: {} _{6} rm C it _{5}]과 같다.

※ 오른쪽 표는 몇 개의 대응관계를 예로 든 것이다.

※ 너만 헷갈리는 것은 아니니까 안심하자.

정 헷갈리면 스트레스 받지 말고 집어 치우세요.

10. 일반적으로 서로 다른 [eqn: n]개에서 중복을 허락하여 [eqn: r]개를 택하는 중복조합의 수 [eqn: `_n {rmH}_r]은

택하는 개수인 [eqn: r]개의 공을 서로 다른 [eqn: n]개의 상자에 집어 넣는 경우의 수로 이해할 수 있고,

이는 공 [eqn: r]개와 칸막이 [eqn: n-1]개를 일렬로 나열하는 경우의 수로 이해할 수 있다.

[eqn: (n+r-1)]개의 자리 중에서 공 [eqn: r]개의 자리를 정해주면 되겠지? [eqn: ` _{n+r-1} {rmC} _{r}]과 같다.

11. [eqn: a+b+c+ CDOTS +n=r]의 음이 아닌 정수해의 개수는 [eqn: ` _{n} rm H it rm _{r}]이다. (사실 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: cdots], [eqn: n]은 [eqn: n]개가 아니다. 그냥 알아들어.)

※ 정의보다 적용하기 쉬우므로 이쪽을 정의처럼 기억해두도록 하자.

※ 이쪽을 외워라. 음이 아닌 정수([eqn: 0] 이상 정수), [eqn: n]이 뭔지, [eqn: r]이 뭔지.

12. 설명 전에 적용부터 해보자. 다음을 구하여라.

(1) 과일가게에서 사과, 배, 감, 망고를 합쳐서 [eqn: 10]개를 구입하는 경우의 수

[eqn: RARROW] 이 문제를 네 개 중 [eqn: 10]개를 뽑는 중복조합의 수 [eqn: ` _{4} {rmH} _{10}]로 읽을 수 있겠니?

별 것 아닌 것 같다가도 한 번씩 어렵다. 중복조합의 적용은 뭔가 intangible하다.

[사과]를 세 개 뽑는다는 것이 실제 사과가 아니라 사과의 표상?이랄까.

부정방정식으로 돌리자. 사과를 [eqn: x]개, 배를 [eqn: y]개, 감을 [eqn: z]개, 망고를 [eqn: w]개 산다고 할 때,

[eqn: x+y+z+w=10]의 음이 아닌 정수해의 개수를 찾는 문제로 읽으라는 것이다.

[eqn: RARROW] 여기서부터 [eqn: ` _{4} {rmH} _{10}]라서 [eqn: {} _{13} {rmC} _{10}]이 되는 것은 자동으로 나와야 돼.

(2) 서로 같은 [eqn: 7]개의 음료수를 [eqn: 3]명에게 나눠주는 경우의 수

풀이1) 음료수는 서로 구별할 수 없으므로 세 명이 각각 몇 개씩 받는지만 신경 쓰면 된다.

각각 [eqn: a]개, [eqn: b]개, [eqn: c]개를 받았다고 하면 [eqn: a+b+c=7]이군. [eqn: ` _{3} {rmH _{7} = _{9} {rmC} _{7} =36]이다.

풀이2) 음료수가 아니라 사람을 뽑아야 한다. [eqn: 3]명 중에서 중복을 허용해서 [eqn: 7]개를 뽑아보자.

세 사람 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 각각 [eqn: 2]번, [eqn: 4]번, [eqn: 1]번 뽑힌다면 음료수를 [eqn: 2]개, [eqn: 4]개, [eqn: 1]개 나눠주는 것과 대응시킬 수 있다.

※ 사람이 뽑는 것이 아니고 뽑혀야 한다. 게다가 중복을 허락하여. 역시 풀이2)는 어렵다. 관념적이랄까?

위의 밑줄 친 [eqn: 7]개를 [eqn: 7]개로 쓸지 [eqn: 7]명으로 쓸지 고민했다. 뭐가 뭔지 모르겠다는 뜻이야.

(3) [eqn: 5]명의 후보에게 [eqn: 20]명의 유권자가 무기명 투표하는 경우의 수

[eqn: RARROW] 무기명 투표라는 것은 누가 투표했는지는 고려하지 않고 표의 개수만을 생각하겠다는 것이다.

[eqn: 5]명의 후보가 각각 받은 표의 수를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]라 하면, [eqn: a+b+c+d+e=20]이다. [eqn: ` _{5} {rmH} _{20} = _{24} {rmC} _{20}]이다.

(4) [eqn: (a+b+c)^7]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수

풀이1) 개인적으로 이 문제는 서로 다른 [eqn: 3]개 중 [eqn: 7]개를 뽑는다는 것이 좀 받아들여지는데?

딱 표현을 못하겠지만 중복조합이란 것이 뭔가 형이상학적인 느낌이라 그런 듯.

풀이2) 전개했을 때 나오는 항들은 모두 [eqn: a ^{x} b ^{y} c ^{z}]의 형태이다. [eqn: x+y+z=7]이므로 [eqn: ` _{3} {rmH _{7} = _{9} {rmC} _{7} =36]이다.

이 문제는 풀이2)가 오히려 살짝 억지부리는 느낌이다.

13. [11]을 이해해보자. [eqn: `_3 {rmH}_7]로 예를 들어서 할게.

[eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중 중복을 허락하여 [eqn: 7]개를 뽑는 경우는 [eqn: x+y+z=7]의 음이 아닌 정수해와 일대일 대응된다.

예를 들면 [eqn: xxxxxxx]는 [eqn: (7,```0,```0)]으로 [eqn: xxxyyyz]는 [eqn: (3,```3,```1)]로 [eqn: yyyzzzz]는 [eqn: (0,```3,```4)]로 대응된다.

※ [08]이나 [09]에서 사용한 방식으로 이해해도 좋다. [eqn: x]상자, [eqn: y]상자, [eqn: z]상자에 [eqn: 7]개의 공을 넣는다로.

14. 서로 구별할 수 없는 공 [eqn: 8]개를 서로 다른 상자 [eqn: 3]개에 넣는 경우의 수를 구하여라. (단, 빈 상자가 있을 수 있다.)

[eqn: RARROW] 각각의 상자에 들어가는 공의 개수를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하자. 공을 서로 구별할 수 없기에 개수만의 문제가 된다.

방정식 [eqn: a+b+c=8]의 음이 아닌 정수해의 개수이므로 [eqn: `_3 {rmH}_8]이다.

※ 빈 상자가 있을 수 없다면 방정식 [eqn: a+b+c=8]의 자연수 해의 개수가 된다.

※ 공을 서로 구별할 수 있다면 개수만의 문제가 아니다. 중복순열이 된다. 딱 봐도 [eqn: 3^8] 맞지?

※ 나머지 베리에이션은 나중에 합시당.

15. 얼마 이상의 조건이 걸린 부정방정식을 풀어보자.

음이 아닌 정수([eqn: 0] 이상 정수)로 맞춰준다고 생각하면 된다.

16. 방정식 [eqn: a+b+c=10]에 대하여, 다음을 구하여라.

(1) [eqn: 0] 이상 정수해의 쌍 : 얘는 [eqn: `_3{rmH}_10] 외워라. 제일 좋아하는 문제다.

(2) 자연수 해의 쌍 : 자연수는 [eqn: 1] 이상의 정수다. 각각 [eqn: 1]씩 빼줘서 [eqn: 0] 이상 정수로 만들어주자.

[eqn: RARROW] [eqn: (a-1)+(b-1)+(c-1)=7]에서 합이 [eqn: 7]인 세 [eqn: 0] 이상 정수 [eqn: (a-1)], [eqn: (b-1)], [eqn: (c-1)]를 정해주는 경우의 수다.

따라서 [eqn: `_3 {rmH_7]이다. [eqn: a-1=a'], [eqn: b-1=b'], [eqn: c-1=c']으로 치환해서 봐도 좋은데.. 필요한가?

(3) [eqn: a ge2], [eqn: b ge1], [eqn: c ge2]인 정수해의 쌍 : [eqn: (a-2)+(b-1)+(c-2)=5]에서 [eqn: ` _{3} rm H _{5} it]다.

17. 서로 구별할 수 없는 [eqn: 7]개의 음료수를 [eqn: rmA]를 포함한 세 명에게 나눠줄 때,

(1) 세 명 모두 적어도 하나씩은 받도록 나눠주는 방법의 수를 구하여라.

풀이1) [eqn: a+b+c=7]인데, [eqn: a ge1], [eqn: b ge1], [eqn: c ge1]이다. [eqn: 0] 이상 정수로 맞춰. [eqn: (a-1)+(b-1)+(c-1)=4]니까 [eqn: ` _{3} rm H _{4} it]다.

풀이2) 어차피 구별도 안 되는 음료수들인데, 하나씩 미리 줘. 남은 [eqn: 4]개를 세 명에게 주면 되니까 [eqn: x+y+z=4]에서.

(2) [eqn: rmA]가 [eqn: 2]개 이상 받도록 나눠주는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] [eqn: a+b+c=7]인데, [eqn: a GEQ 2]이다. [eqn: b], [eqn: c]는 음이 아닌 정수. [eqn: (a-2)+b+c=5]니까 [eqn: ` _{3} rm H _{5} it]다.

18. [eqn: (a+b+c)^6]의 전개식의 항들 중에서 [eqn: a]를 포함한 항의 개수는 몇 개인지 구하여라.

[eqn: RARROW] 전개식의 항들은 [eqn: a ^{x} b ^{y} c ^{z}]로 나타난다. [eqn: x+y+z=6]이고, [eqn: x ge1]이군. 이제 딱 보면 [eqn: ` _{3} rm H _{5} it] 되겠지?

19. 부정방정식을 이용하여 중복조합을 조합으로 돌리는 증명.

귀찮으니까 예를 들어서 하자. [eqn: a+b+c=10]의 자연수해의 개수를 생각하자.

방법1) 위에서 다루었듯이 [eqn: (a-1)+(b-1)+(c-1)=7]로 돌리면 [eqn: `_3 {rmH_7]이다.

방법2) 자연수해는 [eqn: 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10]에서 더하기 [eqn: 2]개를 선택하는 방법과 일대일대응이다.

예를 들어 [eqn: 3]번째와 [eqn: 8]번째 더하기를 선택하면 [eqn: (1+1+1)+(1+1+1+1+1)+(1+1)]로 해 [eqn: (3,```5,```2)]에 대응된다.

예를 들어 [eqn: 1]번째와 [eqn: 2]번째 더하기를 선택하면 [eqn: (1)+(1)+(1+1+1+1+1+1+1+1)]로 해 [eqn: (1,```1,```8)]에 대응된다.

위의 두 가지 방법을 비교하면 [eqn: ` _{3} {rmH} _{7}]은 [eqn: 9]개의 더하기 중 [eqn: 2]개를 선택하는 [eqn: ` _{9} {rmC} _{2}]와 같다는 것을 알 수 있다.

※ 방법2)의 발상은 재미있지만, 쓰지 말고 봉인하자. 방법1)이 개중요해서, 괜히 방법2)로 푼다고 지랄하다가 헷갈리면 안 돼.

20. [eqn: n(X)=r], [eqn: n(Y)=n]일 때,

① [eqn: f:X->Y]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_n {PI_r]이다.

② [eqn: f:X->Y]인 일대일함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_n {rmP}_r]이다.

③ [eqn: f:X->Y], [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )<f(x_2 )]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_n {rmC}_r]이다.

④ [eqn: f:X->Y], [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )lef(x_2 )]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_n {rmH}_r]이다.

21. 그냥 다 써봤다. ①과 ②는 매우 당연하지? 안 당연하면 당연히 자살.

중복조합에서 배워야 하는 것은 ④인데, ③을 이해하면 저절로 이해가 될 것이다.

[eqn: RARROW] ③은 공역에서 치역(함숫값들의 집합)을 [eqn: r]개 선택해주면 화살표가 알아서 가는 것이다.

순서가 정해진 순열을 같은 것이 있는 순열을 이용해서 푸는 것과 같은 원리다.

[eqn: RARROW] 그럼 ④는 알겠지? 공역 [eqn: n]개 중 함숫값들을 [eqn: r]개 고르는데, 중복을 허락해서 고를 수 있는 것이다.

22. 다른 방법으로 생각할 수 있다. 공역의 원소가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: cdots], [eqn: n]이라 하자.

정의역에서 대응시키는 화살표 [eqn: r]개를 쏘는데, 이를 공역의 원소들이 나눠받아야 한다.

순서는 정해져 있으므로 몇 개씩 들어가는지만을 생각하면 된다.

[eqn: RARROW] [eqn: a+b+c+cdots+n=r]의 [eqn: 0] 이상 정수해의 개수다. [eqn: `_n {rmH}_r]이군.

※ 부정방정식으로 돌리는 발상이 다소 특이하다는 점과

감소하지 않는 함수의 개수는 나름 중요하다는 점에서 [19]의 ③을 외워라 그냥.

23. 다음을 구하여라.

(1) [eqn: 1 LEQ a<b<c LEQ 7]인 정수 [eqn: (a,```b,```c)] 쌍의 개수

[eqn: RARROW] [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 7] 중에서 [eqn: 3]개를 고르면 되겠지? 알아서 순서대로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 되는 것이다. [eqn: ` _{7} {rmC} _{3}]이다.

(2) [eqn: 1 LEQ a LEQ b LEQ c LEQ 7]인 정수 [eqn: (a,```b,```c)] 쌍의 개수

[eqn: RARROW] [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 7] 중에서 중복을 허락해서 [eqn: 3]개를 고르면 되겠지? 알아서 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 되는 것이다. [eqn: ` _{7} rm H it rm _{3}]이다.

※ 정의역이 [eqn: left{a,```b,```c right], 공역이 [eqn: left{1,```2,```3,```cdots,```7 right]인 함수로 생각해보자.

24. [eqn: 1le a<b lec<d le8]을 만족하는 정수 [eqn: (a,```b,```c,```d)] 쌍의 개수를 구하여라.

풀이1) Case1) [eqn: 1 LEQ a<b<c<d LEQ 8],   Case2) [eqn: 1 LEQ a<b=c<d LEQ 8]

로 나누면 되겠다. Case1)은 [eqn: ` _{8} rm C it _{4} =70], Case2)는 [eqn: ` _{8} rm C it rm _{3} =56]이므로 답은 [eqn: 126]이다.

풀이2) [eqn: 1le a<b lec<d le8]의 뒤쪽 세 변에 [eqn: 1]씩을 더해보자. [eqn: b le c]이니까 [eqn: b<(c+1)]이겠지?

[eqn: 1 LEQ a<b<(c+1)<(d+1) LEQ 9]이 된다. [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 9] 중에서 네 개 고르면 되겠네. [eqn: `_9 {rmC}_4]다.

※ 결과가 간단해서 자꾸 쓰게 되지만, 이 풀이가 성립하는 것인지를 이해하는 것은 쉽지 않다.

[eqn: 1le a<b lec<d le8]의 정수해쌍과 [eqn: 1 LEQ a<b<(c+1)<(d+1) LEQ 9]의 정수해쌍이 일대일대응되는지를 확인해야 한다.

※ 뒤의 네 변에서 [eqn: 1]을 빼보자. [eqn: a<b]니까 [eqn: a le (b-1)]이겠지? [eqn: 1le a le (b-1) le(c-1)<(d-1) le7]가 된다.

다시 뒤의 두 변에서 [eqn: 1]을 빼보자. [eqn: 1 LEQ a LEQ (b-1) LEQ (c-1) le(d-2) LEQ 6]다. [eqn: `_6 {rmH_4]가 되겠군.

우왕, [eqn: `_9 {rmC}_4 =_6 {rmH_4]를 얻었다. 중복조합을 조합으로 돌리는 증명법을 하나 더 얻었다.

25. [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,```2,``` 3,```4,```5,```6 ,```7 RIGHT }]일 때, 다음 두 조건을 만족하는 함수 [eqn: f:X->Y]의 개수를 구하여라.

(가) [eqn: f(2)=4]

(나) [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )lef(x_2 )]이다.

[eqn: RARROW] (나)를 보고 화살표가 꼬일 수 없는 것을 확인하자.

[eqn: f(1)]은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서, [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]는 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7] 중에서 선택해야 한다. 답은 [eqn: 4 times_4 {rmH_3]이다.

26. [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,```2,``` 3,```4,```5,```6 ,```7 RIGHT }]일 때, 다음 두 조건을 만족하는 함수 [eqn: f:X->Y]의 개수를 구하여라.

(가) [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )lef(x_2 )]이다.

(나) 치역의 최솟값은 [eqn: 2], 최댓값은 [eqn: 6]이다.

[eqn: RARROW] (가)를 보고 화살표가 꼬일 수 없는 것을 확인하자. [eqn: f(1)=2], [eqn: f(5)=6] 고정이네.

[eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6] 중에서 선택해야 한다. 답은 [eqn: ` _{5} rm H _{3} it]이다. [eqn: `_5 {rmH_5]로 틀리는 애들 나오겠지?

27. [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,```2,``` 3,```4,```5,```6 ,```7 RIGHT }]일 때, 다음 두 조건을 만족하는 함수 [eqn: f:X->Y]의 개수를 구하여라.

(가) [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )lef(x_2 )]이다.

(나) 치역의 원소의 개수가 [eqn: 3]개다.

[eqn: RARROW] 일단 [eqn: `_7 {rmC_3]으로 치역 [eqn: 3]개를 고르자. 그리고 [eqn: `_3{rmH}_5] 치면 안 되겠지? 치역이 [eqn: 2]개 이하가 돼버릴 수도 있으니까.

치역 [eqn: 1]개짜리와 치역 [eqn: 2]개짜리를 빼 줘야겠군. 치역 [eqn: 1]개짜리는 [eqn: 3]개고 (멍청하다면 [eqn: 3times` _{1} rm H it rm _{5}]로 생각해도 좋다.)

치역 [eqn: 2]개짜리는 [eqn: ` _{3} rm C it _{2} TIMES( _{2} rm H it _{5} -2)]다. 치역 [eqn: 2]개 고르고, (가)를 만족하는 함수에서 치역 [eqn: 1]개짜리 빼주고.

그래서 답은 [eqn: `_7 {rmC_3} times(_3 {rmH}_5 -3-_3 {rmC}_2 times(_2 rmH_5 -2))]다. 계산하면 [eqn: 210]이네.

※ 이 풀이가 이해가 되지 않는다면, 치역과 공역이 같은 함수의 개수를 공부할 필요가 있다고 알고 있자.

[eqn: RARROW] [22]를 째려보자. 치역 [eqn: left{a,```b,```c right]를 고르고 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 받는 화살표의 개수를 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]라 하면

방정식 [eqn: x+y+z=5]의 [eqn: x ge1], [eqn: y ge1], [eqn: z ge1]인 정수해의 개수 문제가 된다. 답은 [eqn: ` _{7} rm C it _{3} TIMES _{3} rm H _{2}]다.

이항정리 [기초강의]

[학습목표]

1. 이항정리의 뜻을 안다.

2. 전개식에서 특정항의 계수를 구할 수 있다.

3. 이항계수의 성질을 알고 문제를 풀 수 있다.

01. [eqn: (a+b)^2]는 [eqn: a^2 +2ab+b^2]이다.

[eqn: (a+b)^3]는 [eqn: a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3]이다.

[eqn: (a+b)^4]는 [eqn: a^4 +4a^3 b+6a^2 b^2 +4ab^3 +b^4]이다.

[eqn: vdots]

이처럼 [eqn: (a+b)^n]을 전개하는 것을 이항정리라 한다.

02. [eqn: (a+b)^5]을 전개해보자. 직접 전개하면 나오겠지만 [01]의 식들을 째려보고 찍어봐.

[eqn: a^5 +(cdots)+b^5]은 당연하지?

[eqn: a^5 +5a^4 b+(cdots)+5ab^4 +b^5] 이겠지?

[eqn: a ^{5} +5a ^{4} b+ BOX{`````} `a ^{3} b ^{2} + BOX{`````} `a ^{2} b ^{3} +5ab ^{4} +b ^{5}] 되겠지?

03. 직접 전개해보면 [eqn: a ^{5} +5a ^{4} b+ 10a ^{3} b ^{2} + 10a ^{2} b ^{3} +5ab ^{4} +b ^{5}]이 나온다.

① 항들이 [eqn: a^5], [eqn: a^4 b], [eqn: a^3 b^2], [eqn: a^2 b^3], [eqn: ab^4], [eqn: b^5]이 나오는 것 확인하고

② 계수가 왜 [eqn: 1], [eqn: 5], [eqn: 10], [eqn: 10], [eqn: 5], [eqn: 1]이 나오는 지만 알면 되겠네.

04. [eqn: (a+b) ^{2}]을 전개해보자. [eqn: (a+b)(a+b)]를 동류항 계산 없이 전개하면 [eqn: a ^{2} +ab+ba+b ^{2}]이다.

[eqn: (a+b) ^{3}]을 전개해보자. [eqn: (a+b)(a+b)(a+b)]를 전개하면 [eqn: aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb]이다.

[eqn: RARROW] 동류항 정리를 하면 [eqn: BOX{`````} `a ^{3} + BOX{`````} `a ^{2} b+ BOX{`````} `ab ^{2} + BOX{`````} `b ^{3}]가 될 것인데, 계수가 왜 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 1]일까?

[eqn: (a+b)(a+b)(a+b)]에서 [eqn: a ^{3}]은 세 괄호에서 모두 [eqn: a]를 선택하는 경우의 수만큼 나온다.

[eqn: (a+b)(a+b)(a+b)]에서 [eqn: a ^{2} b]는 세 괄호 중에서 [eqn: b]가 나오는 것을 하나 선택하는 경우의 수만큼 나온다.

05. [03]의 계수들은 차례로 [eqn: `_5 {rmC}_0], [eqn: ` _{5} rm C it _{1}], [eqn: ` _{5} rm C it _{2}], [eqn: ` _{5} rm C it _{3}], [eqn: ` _{5} rm C it _{4}], [eqn: ` _{5} rm C it _{5}]이다. 왜인지 살펴보자.

식 [eqn: (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)]를 동류항 계산 없이 쫙 전개하면 [eqn: 2 ^{5}]개의 항이 나온다.

그 중 [eqn: a ^{5}]은 [eqn: 1]개다. [eqn: a ^{4} b]는 몇 개일까? 다섯 개의 괄호 중 [eqn: b]가 나오는 괄호를 하나 선택하면 되므로 [eqn: 5]개다.

[eqn: a ^{3} b ^{2}]은 다섯 개의 괄호 중에서 [eqn: b]가 나오는 괄호를 두 개 선택하는 경우의 수인 [eqn: ` _{5} rmC _{2} =10]개가 나온다.

06. [eqn: (a+b)^6]을 전개하면 [eqn: a^6 +6a^5 b +15a^4 b^2 +20 a^3 b^3 +15a^2 b^4 +6ab^5 +b^6]이다.

① 일단 [eqn: BOX{`````} `a ^{6} + BOX{`````} `a ^{5} b+ BOX{`````} `a ^{4} b ^{2} + BOX{`````} `a ^{3} b ^{3} + BOX{`````} `a ^{2} b ^{4} + BOX{`````} `ab ^{5} + BOX{`````} `b ^{6}]을 써 놓고

② 계수로 [eqn: ` _{6} {rmC} _{0}], [eqn: ` _{6} rm C it _{1}], [eqn: ` _{6} rm C it _{2}], [eqn: ` _{6} rm C it _{3}], [eqn: ` _{6} rm C it _{4}], [eqn: ` _{6} rm C it _{5}], [eqn: ` _{6} rm C it _{6}]을 걸어주면 되겠네.

※ 항의 개수가 [eqn: 7]개인 것도 체크하자.

07. 이항정리를 식으로 나타내면 [eqn: (a+b) ^{n} =` _{n} rm C it rm _{0} `a ^{n}+_n {rmC}_1 a^n-1 b +_n {rmC}_2 a^n-2 b^2 +cdots+_n {rmC}_n b^n][eqn: = sum _{k=0} ^{n} ` _{n} rm C it rm _{k} `a ^{n-k} `b ^{k}]이다.

① 항들이 [eqn: a ^{n}], [eqn: a ^{n-1} b], [eqn: a ^{n-2} b ^{2}], [eqn: cdots], [eqn: b ^{n}]이다. 계수의 합은 항상 [eqn: n]인 것 확인.

② 계수들은 [eqn: ` _{n} {rmC} _{0}], [eqn: ` _{n} rm C it _{1}], [eqn: ` _{n} rm C it _{2}], [eqn: cdots], [eqn: ` _{n} {rmC} _{n}]이다.

※ [eqn: ` _{n} {rmC} _{r} = _{n} {rmC} _{n-r}]이므로 순서를 모두 뒤집어 줘도 좋다.

[eqn: RARROW] [eqn: (a+b) ^{9}]에서 [eqn: a ^{3} b ^{6}]의 계수는? [eqn: {} _{9} {rmC} _{3}]이나 [eqn: {} _{9} {rmC} _{6}]이나..

08. [eqn: (1+x) ^{n}]도 전개해보자. [07]에다 [eqn: a=1], [eqn: b=x] 넣으면 되겠군.

[eqn: (1+x) ^{n} = _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} `x+ _{n} rm C it rm _{2} `x ^{2} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{n} `x ^{n} = sum _{k=0} ^{n} ` _{n} rm C it rm _{k} `x ^{k}]이다. 나중에 쓸 식이라서.

※ 계수를 뒤집어 달아도 좋다. [eqn: ` _{n} rm C it rm _{n} + _{n} rm C it rm _{n-1} `x+ _{n} rm C it rm _{n-2} `x ^{2} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{0} `x ^{n}]로.

09. 이제 전개, 전개를 해보자.

(1) [eqn: (a+b) ^{5}] : 앞에서 했다. [02], [03], [04]의 순서대로.

(2) [eqn: (x ^{2`} -2) ^{4}] : [eqn: (x ^{2} ) ^{4} +4(x ^{2} ) ^{3} (-2)+6(x ^{2} ) ^{2} (-2) ^{2} +4(x ^{2} )(-2) ^{3} +(-2) ^{4}]이다.

[eqn: RARROW] 정리하면 [eqn: x ^{8} -8x ^{6} +24x ^{4} -32x^2 +16]이다.

(3) [eqn: left(x ^{2} + {1} over {x} right) ^{4}] : [eqn: (x ^{2} ) ^{4} +4(x ^{2} ) ^{3} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) +6(x ^{2} ) ^{2} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{2} +4(x ^{2} ) LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{4}]이다.

[eqn: RARROW] 정리하면 [eqn: x ^{8} +4x ^{5} +6x ^{2} + {4} over {x} + {1} over {x ^{4}}]이다. 항들의 차수가 [eqn: 3]씩 낮아지는 이유를 확인해보자.

전개식의 항들을 째려보면 [eqn: x ^{2}]과 [eqn: {1} over {x}]을 합해서 [eqn: 4]번 곱해야 한다. [eqn: x ^{2}]이 하나 줄면 [eqn: {1} over {x}]이 하나 느니까.

10. 다음을 간단히 하여라.

(1) [eqn: sum_k=0 ^10 {`_10 {rmC}_k 2^k 3^10-k] : 지금은 [eqn: (2+3) ^{10}]인 것 보이지? 나중에 시키면 안 보일거야. 그때 한심해하자.

(2) [eqn: sum _{k=0} ^{12} ` _{12} rm C it rm _{k} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{12-k}] : [eqn: LEFT ( {1} over {3} + {2} over {3} RIGHT ) ^{12}]이라 [eqn: 1]이다. 이항분포하고 다시 와서 보면서 한심해하자.

(3) [eqn: sum _{k=0} ^{8} ` _{8} rm C it rm _{k} 2 ^{k}] : [eqn: 1 ^{8-k}]가 숨어 있달까. [eqn: (2+1) ^{8}]이다. 이항계수의 성질 하다가 다시 와서 보면서 한심해하자.

11. [eqn: (a+b) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: a ^{k} b ^{n-k}]의 계수는 [eqn: ` _{n} {rmC} _{k}]이다.

[eqn: RARROW] [eqn: ` _{n} {rmC} _{n-k}]라든가.

[eqn: RARROW] 전개식에서 특정 항의 계수를 물어본다.

12. 다음을 구하여라.

(1) [eqn: (2x-3) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수 : [eqn: x ^{2}]이 나오는 항은 [eqn: ` _{5} {rmC} _{2} (2x) ^{2} (-3) ^{3}]이다. 답은 [eqn: -1080]이다.

(2) [eqn: (x ^{2} +2) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{4}]의 계수 : [eqn: x ^{4}]이 나오려면 [eqn: x ^{2}]이 두 번 곱해져야겠군. [eqn: ` _{6} {rmC} _{2} (x ^{2} ) ^{2} (2) ^{4}]에서 답은 [eqn: 240]이다.

(3) [eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수 :

[eqn: x ^{3}]이 나오려면 [eqn: x ^{2}]과 [eqn: {1} over {x}]을 각각 몇 번씩 곱해야 할까? 합해서 여섯 번 곱해야 하는데..

짱구를 굴려보면 [eqn: x ^{2}]을 세 번, [eqn: {1} over {x}]을 세 번 곱해야 하는 것을 알 수 있다. [eqn: ` _{6} rm C it rm _{3} (x ^{2} ) ^{3} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{3}]에서 답은 [eqn: 20]이다.

※ 전개식은 [eqn: k=0]부터 [eqn: k=6]까지 [eqn: `_6 {rmC}_k (x^2 )^k left( { 1} over { x} right)^6-k]의 합이다. [eqn: `_6 {rmC}_k (x^2 )^k left( { 1} over { x} right)^6-k]를 정리하면 [eqn: ` _{6} rm C it rm _{k} `x ^{3k-6}]이므로,

[eqn: 3k-6=3]에서 [eqn: k=3]을 얻어 풀 수 있다. 일반항이라 하는데, 별로 필요 없다. 그냥 대충 찍어서 풀어라.

(4) [eqn: LEFT ( x+ {2} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 상수항 : 상수항이 만들어지려면 [eqn: x]를 세 번, [eqn: {2} over {x}]를 세 번 곱해야겠죵? 답은 [eqn: ` _{6} {rmC} _{3} 2 ^{3}]이다.

(5) [eqn: LEFT ( x ^{3} + {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{7}]의 전개식에서 [eqn: x ^{6}]의 계수 : [eqn: x ^{3}] 몇 번에 [eqn: {2} over {x ^{2}}] 몇 번? 다섯 번, 두 번 해볼까? 어이쿠 아니네.

그럼 네 번, 세 번으로. 각이네, [eqn: ` _{7} rm C it rm _{4} (x ^{3} ) ^{4} LEFT ( {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{3}]에서 [eqn: 280x ^{6}]이 나온다.

※ 일반항 [eqn: ` _{7} rm C it rm _{k} (x ^{3} ) ^{k} LEFT ( {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{7-k}]는 [eqn: ` _{7} rm C it rm _{k} `2 ^{7-k} `x ^{5k-14}]이다. [eqn: 5k-14=6]에서 [eqn: k=4]다. 계수 [eqn: ` _{7} rm C it rm _{k} `2 ^{7-k}]에 넣어봐.

※ 항들이 차수 [eqn: 5]개 간격으로 나오겠지? 일반항에서도 확인해봐.

예를 들어서 [eqn: x^3]의 계수를 물어보면? [eqn: x^3]항이 나오지 않는다. [eqn: 0]이라고 대답하나?

13. 다음을 구하여라.

(1) [eqn: (x+1) ^{5} left(x+ {1} over {x} right)]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수 : 일단 다 전개해볼까? 확인하면 다음부터는 하지 않게 될거야.

준 식은 [eqn: (x^5 +5x^4 +10x^3 +10x^2 +5x+1)left(x+ { 1} over {x }right)]이다. [eqn: x^2]은 [eqn: left(10x ^{2} times {1} over {x} right)]와 [eqn: (5x TIMES x)]로 나오겠네. 답은 [eqn: 15]다.

(2) [eqn: (x+1) ^{5} LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )]의 전개식에서 [eqn: x ^{5}]의 계수 : 머리에 뇌 대신 우동사리가 들어 있다면 다 전개해라.

[eqn: (x+1) ^{5}]에서 [eqn: x ^{5}]항과 [eqn: x ^{3}]항만 꺼내면 된다는 것을 알 수 있겠다. [eqn: (x ^{5} + CDOTS +10x ^{3} + CDOTS )(x ^{2} +1)]에서 답은 [eqn: 11]이다.

(3) [eqn: (x+1) ^{5} LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수 : 앞부분 전개해야겠네. 해보자.

[eqn: (1+5x+10x ^{2} + CDOTS ) LEFT ( 16+32x+24x ^{2} + CDOTS RIGHT )]에서, 답은 [eqn: 24+160+160=344]다.

(4) [eqn: (x+1) ^{4} LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{8}]의 계수 : 나름 함정 문제. 심심할까봐 시켜봤다.

호호. [eqn: x ^{8}]이 어떻게 나오지? 식을 다시 째려보면 와 시바 [eqn: x ^{4} (x+1) ^{8}]이네. 답은 [eqn: ` _{8} {rmC} _{4}]다.

14. [eqn: x=1], [eqn: x=-1], [eqn: x=i] 같은 거 넣어서 계수들의 합을 구하는 문제가 있다.

[eqn: RARROW] 고1때 나오는 내용인데, 지금 전개되는 것과 헷갈릴까봐 써 놓는다.

15. [eqn: (ax-1)^3]의 전개식에서 모든 계수의 합이 [eqn: 3^6]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: RARROW] 이항정리 배웠다고 전개하면 우울해진다.

계수의 합은 [eqn: x=1]일 때 식의 값이야. [eqn: (a-1) ^{3} =3 ^{6}]에서 [eqn: a=10]이다.

16. [eqn: (1-x+x ^{2} ) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x^k]의 계수를 [eqn: a_k]라 할 때, [eqn: sum_k=1 ^n a_2k-1]의 값을 [eqn: n]에 대한 식으로 나타내어라.

[eqn: RARROW] [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a _{0} +a _{1} +a _{2} +cdots+a _{2n}]을 구할 수 있다.

[eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: a _{0} -a _{1} +a _{2} -a _{3} +cdots-a _{2n-1} +a _{2n}]을 구할 수 있다.

답은 [eqn: x=1] 대입한 값에서 [eqn: x=-1] 대입한 것 빼고 반 나눠주면 되겠네. [eqn: {1-3 ^{n}} over {2}]이다.

17. [eqn: (a+b+c) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: a ^{p} b ^{q} c ^{r}]의 계수는 [eqn: {n!} over {p!q!r!}]이다.

※ 다항정리라고 할까. 은근히 자주 보이는 문제이다.

18. [eqn: (a+b+c) ^{7}]의 전개식에서 다음 항의 계수를 구하여라.

(1) [eqn: a ^{2} b ^{3} c ^{2}] : [eqn: (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)]에서

[eqn: a]가 나오는 괄호 [eqn: 2]개, [eqn: b]가 나오는 괄호 [eqn: 3]개, [eqn: c]가 나오는 괄호 [eqn: 2]개 고르면 되겠네.

[eqn: `_7 {rmC}_2 times_5 {rmC}_3]인데, 얘가 [eqn: { 7!} over {2!5! }times { 5!} over {3! 2! }]이고 [eqn: { 7!} over {2!3!2! }]이 된다.

(2) [eqn: a ^{3} bc ^{3}] : [eqn: ` _{7} rm C it rm _{3} TIMES _{4} rm C it rm _{1}= { 7!} over { 3!4!}times { 4!} over {1!3! }= { 7!} over 3!1!3!{ }]

(3) [eqn: b^4 c^3]	: [eqn: ` _{7} rm C it rm _{0} TIMES _{7} rm C it rm _{4} TIMES _{3} rm C it rm _{3}]..? 그냥 [eqn: ` _{7} {rmC} _{4}]다.

(4) [eqn: a^7] : [eqn: 1]이죵.. [eqn: ` {7!} over {7!0!0!}]이라고 써볼까?

19. 다음을 구하여라.

(1) [eqn: (2a-b+c)^5]의 [eqn: a^2 bc^2]의 계수 : [eqn: (2a) ^{2} (-b)(c) ^{2}]의 계수는 [eqn: {5!} over {2!1!2!}]이다. 답은 [eqn: -120]이다.

(2) [eqn: (x^2 +x+1)^5]의 [eqn: x^4]의 계수 : [eqn: x ^{4}]은 [eqn: (x ^{2} ) ^{2} (1) ^{3}]과 [eqn: (x ^{2} )(x) ^{2} (1) ^{2}]과 [eqn: (x) ^{4} (1)]의 세 가지 방법으로 나온다.

각각의 계수는 [eqn: {5!} over {2!3!} =10]과 [eqn: {5!} over {1!2!2!} =30]과 [eqn: {5!} over {4!1!}=5]이다. 답은 [eqn: 45].

(3) [eqn: left(x^2 +1+ { 1} over {x }right)^4]의 상수항 : 상수항은 [eqn: (x ^{2} )(1)left( {1} over {x} right) ^{2}]과 [eqn: 1 ^{4}]으로 얻어진다. 답은 [eqn: 13]이다.

20. [eqn: (a+b+c)^10]의 서로 다른 항의 개수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 계수들은 같은 것이 있는 순열이 된다. 항의 개수는?

[eqn: RARROW] 중복조합에서 다뤘지? [eqn: ` _{3} {rmH _{10}]이다.

21. 조합이 같은 것이 있는 순열이 되는 것을 느낀 적 있니? 같은 것이 있는 순열이 원래 조합을 포함하는 개념이야.

서로 다른 [eqn: 7]개를 늘어놓고, [eqn: BIGCIRC], [eqn: BIGCIRC], [eqn: BIGCIRC], [eqn: TIMES], [eqn: TIMES], [eqn: TIMES], [eqn: TIMES]를 일렬로 배열하는 방법의 수가 [eqn: ` _{7} {rmC} _{3}]이다.

반대로, [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmB]를 나열하는 방법의 수는 [eqn: 7]자리 중 [eqn: rmA]의 자리 [eqn: 3]개를 선택하면 되므로 [eqn: ` _{7} {rmC} _{3}]이다.

22. 서로 다른 [eqn: 7]개의 공을 [eqn: rmA]에게 [eqn: 2]개, [eqn: rmB]에게 [eqn: 2]개, [eqn: rmC]에게 [eqn: 3]개를 나눠주는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] [eqn: rmA]가 가져갈 것 [eqn: 2]개를 고르고, 남은 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: rmB]가 가져갈 것 [eqn: 2]개를 고르면 된다. [eqn: ` _{7} {rmC} _{2} times _{5} {rmC} _{2}]이다.

[eqn: RARROW] 계산하면 [eqn: ` _{7} rm C it rm _{2} TIMES _{5} rm C it rm _{2} = {7!} over {2!5!} TIMES {5!} over {2!3!} = {7!} over {2!2!3!}]이다. 같은 것이 있는 순열이 되는 이유는,

공 [eqn: 7]개를 늘어놓고, [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmC], [eqn: rmC]를 일렬로 배열해서 대응시키면 되기 때문이다.

23. 서로 다른 [eqn: 7]개의 공을 [eqn: 2]개, [eqn: 2]개, [eqn: 3]개의 세 묶음으로 나누어 [eqn: 3]명에게 나눠주는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: RARROW] 이 문제하고 헷갈리면 안 돼. 이 문제는 분할, 분배하는 문제다. [eqn: left(_7{rmC}_2 times_5 {rmC_2 times { 1} over {2! }right)times3!]이다.

24. 조합의 수 [eqn: `_n {rmC}_r]은 이항계수라고도 부른다. 그냥 그렇게 부르더라고.

이항계수의 성질을 공부하자. 아래 쓴 식들 정도는 외워줘야 한다.

① [eqn: `_n {rmC}_0 =_n {rmC}_n =1]

② [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r} = _{n} rm C it rm _{n-r}]

③ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r} = _{n-1} rm C it rm _{r} + _{n-1} rm C it rm _{r-1}]

④ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} + _{n} {rm C} _{2} + CDOTS + _{n} {rm C} _{n} =2 ^{n}]

⑤ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{2} + _{n} rm C it rm _{4} + CDOTS = _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C it rm _{3} + _{n} rm C it rm _{5} + CDOTS =2 ^{n-1}]

⑥ 하키스틱

증명은 [eqn: `_n {rmC}_r = { n!} over {r!(n-r)! }]을 이용해 수식으로도 해보고 조합의 의미로도 해 보자.

25. [24]의 ① [eqn: `_n {rmC}_0 =_n {rmC}_n =1]의 증명

수식으로) [eqn: { n!} over {0!n! }= { n!} over {0!n! }=1]

조합론적으로) 서로 다른 [eqn: n]개 중 선택하지 않거나, [eqn: n]개를 모두 선택하는 경우의 수는 [eqn: 1]이다.

26. [24]의 ② [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r} = _{n} rm C it rm _{n-r}]의 증명

수식으로) [eqn: {n!} over {r!(n-r)!} = {n!} over {(n-r)!r!}]

조합론적으로) 서로 다른 [eqn: n]개 중 [eqn: r]개를 선택하는 경우의 수는 선택되지 않는 [eqn: (n-r)]개를 고르는 경우의 수와 같다.

※ 조금 어렵게 말하면, [eqn: r]개를 선택하는 경우들과 [eqn: (n-r)]개를 선택하는 경우들 사이에 일대일대응을 만들 수 있다.

방법은 [eqn: r]개를 선택하는 경우 하나를 선택된 [eqn: r]개를 제외한 [eqn: (n-r)]개를 선택하는 경우로 대응시키면 된다.

27. [24]의 ③ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r} = _{n-1} rm C it rm _{r} + _{n-1} rm C it rm _{r-1}]의 증명

수식으로) [eqn: ` _{n-1} rm C it rm _{r} + _{n-1} rm C it rm _{r-1} = {(n-1)!} over {r!(n-1-r)!} + {(n-1)!} over {(r-1)!(n-r)!} = {(n-r) TIMES (n-1)!} over {r!(n-r)!} + {r TIMES (n-1)!} over {r!(n-r)!} = {n times(n-1)!} over {r!(n-r)!}]

조합론적으로) [eqn: rmA]를 포함한 서로 다른 [eqn: n]개 중 [eqn: r]개를 선택하는 경우의 수를 생각하자.

이 경우의 수는 Case1) [eqn: rmA]가 선택되는 경우, Case2) [eqn: rmA]가 선택되지 않는 경우로 나눌 수 있다.

Case1)은 남은 [eqn: (n-1)]개 중 [eqn: (r-1)]개를 선택하면 되고, Case2)는 남은 [eqn: (n-1)]개 중 [eqn: r]개를 선택하면 된다.

여기서부터는 [08]의 [eqn: (1+x) ^{n} = _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} `x+ _{n} rm C it rm _{2} `x ^{2} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{n} `x ^{n}]를 쓴다.

28. [24]의 ④ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} + _{n} {rm C} _{2} + CDOTS + _{n} {rm C} _{n} =2 ^{n}]의 증명

증명1) [eqn: (1+x) ^{n} = _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} `x+ _{n} rm C it rm _{2} `x ^{2} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{n} `x ^{n}]에 [eqn: x=1]을 대입한다.

증명2) 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,``` CDOTS ,```n RIGHT }]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^n]이다. 부분집합 [eqn: X]들을 원소의 개수에 의해 분할하자.

Case1) [eqn: n(X)=0]인 것 [eqn: `_n {rmC}_0]개, Case2) [eqn: n(X)=1]인 것 [eqn: ` _{n} rm C it _{1}]개, Case3) [eqn: n(X)=2]인 것 [eqn: ` _{n} rm C it _{2}]개, [eqn: cdots]

Case[eqn: n]) [eqn: n(X)=n-1]인 것 [eqn: ` _{n} rm C it rm _{n-1}]개, Case[eqn: (n+1)]) [eqn: n(X)=n]인 것 [eqn: ` _{n} rm C it rm _{n}]개다.

29. [24]의 ⑤ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{2} + _{n} rm C it rm _{4} + CDOTS = _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C it rm _{3} + _{n} rm C it rm _{5} + CDOTS =2 ^{n-1}]의 증명

증명) [eqn: (1+x) ^{n} = _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} `x+ _{n} rm C it rm _{2} `x ^{2} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{n} `x ^{n}]에 [eqn: x=-1]을 대입한다.

[eqn: 0= _{n} rm C _{0} it - _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C _{2} it - _{n} rm C it rm _{3} + CDOTS +(-1) ^{n} ` _{n} rm C it rm _{n}]이다. [eqn: `_n {rmC}_(짝)]들은 더하고 [eqn: `_n {rmC}_(홀)]들은 빼는 모양이네.

[eqn: `_n {rmC}_(홀)]들을 이항하면 [eqn: ` sum _{} ^{}`_n rm C it rm _{(홀)}]과 [eqn: ` sum _{} ^{} ` _{n} rm C it rm _{(짝)}]이 서로 같음을 알 수 있다.

참고1) ②에 의해 [eqn: n]이 홀수일 때는 당연한 식이 된다. [eqn: ` _{5} rm C _{0} it = _{5} rm C _{5} it], [eqn: ` _{5} rm C _{2} it = _{5} rm C _{3} it], [eqn: ` _{5} rm C _{4} it = _{5} rm C _{1} it]이므로

참고2) ③과 ④를 이용해 보일 수 있다. 예를 들면 아래와 같다.

[eqn: ` _{6} rm C it rm _{1} + _{6} rm C it rm _{3} + _{6} rm C it rm _{4} =( _{5} rm C it rm _{0} + _{5} rm C it rm _{1} )+( _{5} rm C it rm _{2} + _{5} rm C it rm _{3} )+( _{5} rm C it rm _{4} + _{5} rm C it rm _{5} )]

[eqn: ` _{6} rm C it rm _{0} + _{6} rm C it rm _{2} + _{6} rm C it rm _{4} + _{6} rm C it rm _{6} = _{5} rm C it _{0} +( _{5} rm C it _{1} + _{5} rm C it _{2} )+( _{5} rm C it _{3} + _{5} rm C it _{4} )+ _{5} rm C it _{5}]

30. [24]의 ⑥ 하키스틱 : 식으로 나타내면,

㉠ [eqn: ` _{k} rm C it rm _{k} + _{k+1} rm C it rm _{k} + _{k+2} rm C it rm _{k} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{k} = _{n+1} rm C it rm _{k+1}] 또는 ㉡ [eqn: ` _{k} rm C it rm _{0} + _{k+1} rm C it rm _{1} + _{k+2} rm C it rm _{2} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{n-k} = _{n+1} rm C it rm _{n-k}]

이다. 둘 중 하나에 역하키스틱이라는 표현도 쓰는데, 써놓고 보면 당연히 같은 식이지?

증명) 하나를 바꿔주고 ③을 반복적용하면 된다. [eqn: ` _{k} rm C it rm _{k} + _{k+1} rm C it rm _{k} + _{k+2} rm C it rm _{k} + _{k+3} rm C it rm _{k} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{k]에서 [eqn: `_k {rmC}_k =_k+1 {rmC}_k+1]이므로

[eqn: ` _{k} rm C it rm _{k} + _{k+1} rm C it rm _{k} + _{k+2} rm C it rm _{k} + _{k+3} rm C it rm _{k} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{k} =( _{k+1} rm C it rm _{k+1} + _{k+1} rm C it rm _{k} )+ _{k+2} rm C it rm _{k} + _{k+3} rm C it rm _{k} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{k}]

[eqn: =][eqn: (` _{k+2} rm C it rm _{k+1} + _{k+2} rm C it rm _{k} )+ _{k+3} rm C it rm _{k} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{k}][eqn: =][eqn: ` _{k+3} rm C it rm _{k+1} + _{k+3} rm C it rm _{k} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{k}][eqn: =][eqn: cdots=][eqn: ` _{n} rm C it rm _{k+1} + _{n} rm C it rm _{k}][eqn: =][eqn: ` _{n+1} rm C it rm _{k+1}]

※ ㉠이든 ㉡이든 식으로 적용하는 것을 헷갈린다. 파스칼의 삼각형에서 찾을 수 있으면 된다.

31. 아래의 [그림1]을 파스칼의 삼각형이라 한다. 수학 귀신 읽어 봤냐?

[eqn: 1]

[eqn: 1]  [eqn: 1]

[eqn: 1]  [eqn: 2]  [eqn: 1]

[eqn: 1]  [eqn: 3]  [eqn: 3]  [eqn: 1]

[eqn: 1]  [eqn: 4]  [eqn: 6]  [eqn: 4]  [eqn: 1]

[eqn: 1]  [eqn: 5]  [eqn: 10]  [eqn: 10]  [eqn: 5]  [eqn: 1]

[eqn: 1]  [eqn: 6]  [eqn: 15]  [eqn: 20]  [eqn: 15]  [eqn: 6]  [eqn: 1]

[eqn: vdots]

[그림1]

양 옆으로 [eqn: 1]들을 깔아놓고 빈 자리에 윗 줄의 두 개 더한 것을 쓴 거야.

32. 나오는 숫자들이 어째 익숙하지? [그림2]이기 때문이다. [eqn: ` _{0} {rmC} _{0}]은 그냥 분위기상 [eqn: 1]이라 하자.

[eqn: {} _{0} {rmC} _{0}] [eqn: ` _{1} {rmC} _{0}] [eqn: ` _{1} rm C it _{1}] [eqn: ` _{2} rm C it _{0}] [eqn: ` _{2} rm C it rm _{1}] [eqn: ` _{2} rm C it rm _{2}] [eqn: ` _{3} rm C it rm _{0}] [eqn: ` _{3} rm C it rm _{1}] [eqn: ` _{3} rm C it rm _{2}] [eqn: ` _{3} rm C it rm _{3}] [eqn: ` _{4} rm C it rm _{0}] [eqn: ` _{4} rm C it rm _{1}] [eqn: ` _{4} rm C it rm _{2}] [eqn: ` _{4} rm C it rm _{3}] [eqn: ` _{4} rm C it rm _{4}] [eqn: ` _{5} rm C it rm _{0}] [eqn: ` _{5} rm C it rm _{1}] [eqn: ` _{5} rm C it rm _{2}] [eqn: ` _{5} rm C it rm _{3}] [eqn: ` _{5} rm C it rm _{4}] [eqn: ` _{5} rm C it rm _{4}] [eqn: ` _{6} rm C it rm _{0}] [eqn: ` _{6} rm C it rm _{1}] [eqn: ` _{6} rm C it rm _{2}] [eqn: ` _{6} rm C it rm _{3}] [eqn: ` _{6} rm C it rm _{4}] [eqn: ` _{6} rm C it rm _{5}] [eqn: ` _{6} rm C it rm _{6}] [eqn: vdots]	[eqn: {} _{0} {rmC} _{0}] [eqn: ` _{1} {rmC} _{0}] [eqn: ` _{1} rm C it _{1}] [eqn: ` _{2} rm C it _{0}] [eqn: ` _{2} rm C it rm _{2}] [eqn: ` _{3} rm C it rm _{0}] [eqn: ` _{3} rm C it rm _{3}] [eqn: ` _{4} rm C it rm _{0}] [eqn: ` _{4} rm C it rm _{4}] [eqn: ` _{5} rm C it rm _{0}] [eqn: ` _{5} rm C it rm _{4}] [eqn: ` _{6} rm C it rm _{0}] [eqn: ` _{6} rm C it rm _{6}] [eqn: vdots]
[그림2]	[그림3]

[24]의 ①에 의해 [그림3]의 숫자들은 모두 [eqn: 1]이다.

[24]의 ③에 의해 [그림2]가 설명된다. 확인하자.

33. 파스칼의 삼각형에서 다음을 확인하자.

[24]의 ② : 당연하네.

[24]의 ④ : [27]의 [그림1]에서 각 줄을 옆으로 다 더해봐. [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8], [eqn: 16], [eqn: 32], [eqn: 64], [eqn: cdots]으로 확인 된다.

[24]의 ⑤ : [eqn: 6]번째 줄에서는 홀수 번째 것들의 합 [eqn: 1+10+5]와 짝수 번째 것들의 합 [eqn: 5+10+1]이 서로 같은 것이 당연하다.

[eqn: 7]번째 줄에서는 [eqn: 1+15+15+1]과 [eqn: 6+20+6]이 서로 같은 것은 좀 신기하다. 아래 그림을 째려보면 이해할 수 있다.

34. [24]의 ⑥은 식을 기억하는 것보다 파스칼의 삼각형에서 찾는 것을 연습해주자. 예 몇 개 들면 되겠지?

[eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 3] [eqn: 3] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 4] [eqn: 6] [eqn: 4] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 5] [eqn: 10] [eqn: 10] [eqn: 5] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 6] [eqn: BOX{`15`}] [eqn: 20] [eqn: 15] [eqn: 6] [eqn: 1] [eqn: vdots]	[eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 3] [eqn: 3] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 4] [eqn: 6] [eqn: 4] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 5] [eqn: 10] [eqn: 10] [eqn: 5] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 6] [eqn: 15] [eqn: BOX{`20`}] [eqn: 15] [eqn: 6] [eqn: 1] [eqn: vdots]	[eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 3] [eqn: 3] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 4] [eqn: 6] [eqn: 4] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 5] [eqn: 10] [eqn: 10] [eqn: 5] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 6] [eqn: 15] [eqn: 20] [eqn: 15] [eqn: 6] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: 7] [eqn: 21] [eqn: box{`35`] [eqn: 35] [eqn: 21] [eqn: 7] [eqn: 1]
[eqn: `_1 {rmC}_1 +_2 {rmC}_1 +_3 {rmC}_1 +_4 {rmC}_1 +_5 {rmC}_1 =_6 {rmC_2]	[eqn: {} _{2} rm C it rm _{0} + _{3} rm C it rm _{1} + _{4} rm C it rm _{2} + _{5} rm C it rm _{3} = _{6} rm C it rm _{3}]	[eqn: ` _{2} rm C it rm _{2} + _{3} rm C it rm _{2} + _{4} rm C it rm _{2} + _{5} rm C it rm _{2} + _{6} rm C it rm _{2} = _{7} rm C _{3} it]

밑줄 친 숫자들의 합이 네모 안에 나타난다. 대각선으로 쭉 따라서 더한 값이 마지막에 샥 꺽은 자리에 있다.

하키스틱이란 이름도 파스칼의 삼각형에서 나온 것이다.

35. 다음을 구하여라.

(1) [eqn: `_19 rmC_0 +_19 rmC_1 +_19 C_2 +cdots+_19 C_19] : [24]의 ④에 의해 [eqn: 2 ^{19}]이다.

(2) [eqn: ` _{19} rm C _{1} + _{19} rm C _{3} + _{19} C _{5} + CDOTS + _{19} C _{19}] : [24]의 ⑤에 의해 [eqn: 2 ^{18}]이다. [eqn: 2 ^{19}]의 절반으로 기억하자.

(3) [eqn: ` _{19} rm C _{0} + _{19} rm C _{1} + _{19} C _{2} + CDOTS + _{19} C _{9}] : [24]의 ④와 ②에 의해 절반이다. [eqn: 2 ^{18}]이다.

※ [eqn: ` _{18} rm C _{0} + _{18} rm C _{1} + _{18} C _{2} + CDOTS + _{18} C _{9}]은? 예쁘게는 안 된다. [eqn: {2 ^{18} + _{18} rm C it rm _{9}} over {2}]이다.

(4) [eqn: ` _{2} rm C _{2} + _{3} rm C _{2} + _{4} C _{2} + _{5} C _{2} + CDOTS + _{10} C _{2}] : 하키스틱으로 [eqn: ` _{11} rm C it rm _{3}]이다. 파스칼의 삼각형에서 표시해보자.

(5) [eqn: ` _{2} rm C _{0} + _{3} rm C _{1} + _{4} C _{2} + _{5} C _{3} + CDOTS + _{10} C _{8}] : 하키스틱으로 [eqn: ` _{11} rm C it rm _{8}]이다. 파스칼의 삼각형에서 표시해보자.

36. 별로 안 중요한데, 가끔 보이는 공식들이다. 외울 것 까지는 없지만, 유도는 한 번씩 해 보자.

⑦ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{1} +2 _{n} rm C it rm _{2} +3 _{n} rm C it rm _{3} + CDOTS +n _{n} rm C it rm _{n} =n CDOT 2^n-1]

⑧ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + {` _{n} rm C it rm _{1}} over {2} + {` _{n} rm C it rm _{2}} over {3} + CDOTS + {` _{n} rm C it rm _{n}} over {n+1} = {2 ^{n+1} -1} over {n+1}]

⑨ [eqn: (1+x)^n]에 [eqn: x=i]를 대입해서 나오는 식들

증명은 [08]의 ㉠ [eqn: (1+x) ^{n} = _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} `x+ _{n} rm C it rm _{2} `x ^{2} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{n} `x ^{n}]에서 시작한다.

37. [36]의 ⑦ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{1} +2 _{n} rm C it rm _{2} +3 _{n} rm C it rm _{3} + CDOTS +n _{n} rm C it rm _{n} =n CDOT 2^n-1]의 증명

증명) ㉠의 양변을 미분하자. [eqn: n(1+x) ^{n-1} = _{n} rm C it rm _{1} +2 _{n} rm C it rm _{2} x+3 _{n} rm C it rm _{3} x ^{2} +4 _{n} rm C it rm _{4} x ^{3} +n` _{n} {rmC} _{n} x ^{n-1}]이다.

[eqn: x=1]을 대입하면 ⑦을 얻을 수 있다.

※ 다른 증명 [41]을 이용할 수 있다. [42]에 있다.

※ 이항분포의 평균과 관련있다. 나중에 다시 와서 확인하자.

38. [36]의 ⑧ [eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} + {` _{n} rm C it rm _{1}} over {2} + {` _{n} rm C it rm _{2}} over {3} + CDOTS + {` _{n} rm C it rm _{n}} over {n+1} = {2 ^{n+1} -1} over {n+1}]의 증명

증명) ㉠의 양변을 적분하자. [eqn: {1} over {n+1} (1+x) ^{n+1} = _{n} rm C it rm _{0} `x+ {` _{n} rm C it rm _{1} it} over {2} x ^{2} + {` _{n} rm C it rm _{2} it} over {3} x ^{3} + {` _{n} rm C it rm _{3} it} over {4} x ^{4} +cdots+ {` _{n} rm C it rm _{n} it} over {n+1} x ^{n+1} +C]이다.

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: C= {1} over {n+1}]을 얻을 수 있다. [eqn: x=1]을 대입하면 ⑧을 얻을 수 있다.

39. [36]의 ⑨ [eqn: (1+x)^n]에 [eqn: x=i]를 대입해서 나오는 식들

※ [eqn: x=-1]을 대입하여 [eqn: ` sum _{} ^{}`_n rm C it rm _{(홀)}]과 [eqn: ` sum _{} ^{} ` _{n} rm C it rm _{(짝)}]을 구할 수 있었듯이, [eqn: x=i]를 대입하면

[eqn: ` sum _{} ^{} ` _{n} rm C it rm _{(4k+1)}], [eqn: ` sum _{} ^{} ` _{n} rm C it rm _{(4k+2)}], [eqn: ` sum _{} ^{} ` _{n} rm C it rm _{(4k+3)}], [eqn: ` sum _{} ^{} ` _{n} rm C it rm _{(4k)}]를 구할 수 있다.

※ [eqn: (1+i) ^{2} =2i]임을 이용하여 [eqn: (1+i) ^{n}]를 계산할 수 있다는 것이 포인트다.

우변은 [eqn: (실수)+(실수)i]로 정리해야 한다. 문제를 통해서 보자.

40. 다음을 구하여라.

(1) [eqn: `_10 rmC_1 +2_10 C_2 +3_10 C_3 +cdots+10_10 C_10] : [36]의 ⑦에 의해 [eqn: 10times2^9]이다.

※ 외울 수 있겠냐? [eqn: (1+x)^10]의 전개식 양변을 미분해서 찾아갈 수 있도록 연습해두자.

(2) [eqn: `2 _{10} rm C _{1} +2 ^{2} ` _{10} C _{2} +2 ^{3} ` _{10} C _{3} + CDOTS +2 ^{10} ` _{10} C _{10}] : 얘는 [eqn: (1+2)^10 -_10 {rmC_0]이다. [10]의 (3) 봐봐.

(3) [eqn: sum _{k=0} ^{8} (k-2) _{8} rm C it rm _{k}] : [eqn: sum _{k=0} ^{8} k` _{8} rm C it rm _{k} -2 sum _{k=0} ^{8} ` _{8} rm C it rm _{k} =8times2^7 -2 times2^8]이다.

(4) [eqn: ` _{16} rm C it _{0} - _{16} rm C _{2} + _{16} C _{4} - _{16} C _{6} + CDOTS + _{16} C _{16} it] : [eqn: (1+x)^16 = _16 {rmC}_0 +_16 {rmC}_1 x +_16 {rmC}_2 x^2 +cdots+_16 {rmC}_16 x^16]에 [eqn: x=i]를 대입하자.

좌변은 [eqn: (1+i) ^{2} =2i]에서 [eqn: 2 ^{8}]이다. 우변은 실수부분과 허수부분으로 정리하자.

[eqn: LEFT ( {} _{16} rm C it rm _{0} - _{16} rm C it rm _{2} + _{16} rm C it rm _{4} - CDOTS + _{16} rm C it rm _{16} RIGHT ) + LEFT ( {} _{16} rm C it rm _{1} - _{16} rm C it rm _{3} + _{16} rm C it rm _{5} - CDOTS - _{16} rm C it rm _{15} RIGHT ) i]이다. 답은 [eqn: 2^8]이다.

※ [eqn: ` {} _{16} rm C it rm _{1} - _{16} rm C it rm _{3} + _{16} rm C it rm _{5} - CDOTS - _{16} rm C it rm _{15}]의 값은 [eqn: 0]이다.

※ [eqn: ` _{16} rm C it rm _{0} + _{16} rm C it rm _{2} + _{16} rm C it rm _{4} + CDOTS + _{16} rm C it rm _{16} =2 ^{15}]이다. (4)와 더해서 반으로 나누면 [eqn: ` _{16} rm C it rm _{0} + _{16} rm C it rm _{4} + _{16} rm C it rm _{8} + _{16} rm C it rm _{12} + _{16} rm C it rm _{16} =2 ^{14} +2 ^{7}]다.

[eqn: RARROW] [eqn: ` _{16} rm C it rm _{2} + _{16} rm C it rm _{6} + _{16} rm C it rm _{10} + _{16} rm C it rm _{4} =2 ^{14} -2 ^{7}]이다. 말하자면 [eqn: 4]로 나눈 나머지가 같은 것들의 합을 구할 수 있다.

(5) [eqn: ` _{21} rm C it rm _{0} - _{21} rm C _{2} + _{21} C _{4} - _{21} C _{6} + CDOTS + _{21} C _{20} it]

[eqn: (1+x) ^{21}]에 [eqn: x=i]를 대입하자. 좌변은 [eqn: (2i) ^{10} (1+i)=-2 ^{10} -2 ^{10} i]이다.

우변은 [eqn: ( _{21} rm C it rm _{0} - _{21} rm C it rm _{2} + _{21} rm C it rm _{4} - CDOTS + _{21} rm C it _{20} )+( _{21} rm C it rm _{1} + _{21} rm C it rm _{3} + _{21} rm C it rm _{5} + CDOTS + _{21} rm C it rm _{21} )i]이다. 답은 [eqn: -2 ^{10}]이다.

(6) [eqn: ` _{21} rm C it rm _{1} - _{21} rm C _{3} + _{21} C _{5} - _{21} C _{7} + CDOTS + _{21} C _{21} it]

(5)를 째려보자. 답은 [eqn: -2 ^{10}]이다.

41. 수능에는 안 나오지만 원래 중요한 공식 : [eqn: k` _{n} rm C it rm _{k} =n` _{n-1} rm C it rm _{k-1}]

증명1) [eqn: k` _{n} rm C it rm _{k} =k TIMES {n!} over {k!(n-k)!} = {n!} over {(k-1)!(n-k)!} =n TIMES {(n-1)!} over {(k-1)!(n-k)!} =n` _{n-1} {rmC} _{k-1}]

증명2) 서로 다른 [eqn: n]명 중 [eqn: k]명을 뽑고 그 중 대표 한명을 뽑는 경우의 수는 [eqn: ` _{n} rm C it rm _{k} TIMES k]이다.

이는 대표 한 명을 먼저 뽑고, 대표 [eqn: (k-1)]명을 뽑는 경우의 수 [eqn: n times_n-1 {rmC}_k-1]과 같다.

42. 다음을 구하여라.

(1) [eqn: `_10 rmC_1 +2_10 C_2 +3_10 C_3 +cdots+10_10 C_10] : [40]의 (1)에서 풀었던 문제다. 확인해봐.

※ 시그마로 쓰면 [eqn: sum_k=1 ^10 k `_10 {rmC}_k]다. [41]의 공식을 사용하면 [eqn: sum _{k=1} ^{10} 10` _{9} rm C it rm _{k-1}]이군 [eqn: 10 sum_k=1 ^10 `_9 {rmC}_k-1 =10times2^9]이다.

시그마 밖으로 [eqn: k]를 빼기 위해서 [41]의 공식을 사용하였다. 확인하자.

(2) [eqn: ` _{10} rm C _{1} +2 ^{2} ` _{10} C _{2} +3 ^{2} ` _{10} C _{3} + CDOTS +10 ^{2} ` _{10} C _{10}] : 살짝 어려워서 굳이 다룰 필요가 있을까 싶은 문제. 넘어가도 좋다.

[eqn: k` _{n} rm C it rm _{k} =n` _{n-1} rm C it rm _{k-1}]과 마찬가지로 [eqn: k(k-1) _{n} {rmC} _{k} =n(n-1) _{n-2} {rmC} _{k-2}]인 것을 알 수 있다.

이에 따라 [eqn: sum _{k=2} ^{n} k(k-1) _{n} rm C it rm _{k} = sum _{k=2} ^{n} n(n-1) _{n-2} rm C it rm _{k-2} =n(n-1)2 ^{n-2}]이다.

또 [eqn: sum _{k=2} ^{n} k(k-1) _{n} rm C it rm _{k} = sum _{k=1} ^{n} k(k-1) _{n} rm C it rm _{k} = sum _{k=1} ^{n} k ^{2} ` _{n} rm C it rm _{k} - sum _{k=1} ^{n}k _{n} rm C it rm _{k}]이며 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k` _{n} rm C it rm _{k}=n cdot2^n-1]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} ` _{n} rm C it rm _{k} =n(n-1)2 ^{n-2} +n CDOT 2 ^{n-1} =n(n+1)2 ^{n-2}]이다. 답은 [eqn: 110times2 ^{8}]이다.

※ 이 문제에서 시그마가 [eqn: 0]부터냐, [eqn: 1]부터냐 [eqn: 2]부터냐는 원래 헷갈린다. [eqn: 0]되는 값이 있어서 그러니, 꼼꼼하게 살펴 보자.

※ 이항분포의 [eqn: {rmE}(X ^{2} )]이나 분산과 관련한다. 이항분포를 공부했다면 [eqn: {rmB}left(n,``` {1} over {2} right)]를 이용해서 구해보자.

[eqn: X sim{rmB} left(n,``` { 1} over { 2}right)]일 때, [eqn: rm E it (X)= {n} over {2} = sum _{k=0} ^{n} k` _{n} rm C it rm _{k} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}]이므로 [eqn: sum _{k=0} ^{n} k` _{n} rm C it rm _{k} =n CDOT 2 ^{n-1}]이다.

[eqn: rm V it (X)= {n} over {4}]은 [eqn: rm E it (X ^{2} )- LEFT { rm E it (X) RIGHT } ^{2} = sum _{k=0} ^{n} k ^{2} ` _{n} rm C it rm _{k} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} -left( {n} over {2} right) ^{2}]이므로 [eqn: sum _{k=0} ^{n} k ^{2} ` _{n} rm C it rm _{k} =n(n+1)2 ^{n-2}]이다.

확률 [기초강의]

[학습목표]

1. 확률의 정의를 안다.

2. 조건부 확률의 뜻을 알고 문제를 풀 수 있다.

3. 독립과 종속의 뜻을 알고, 독립시행 문제를 풀 수 있다.

01. 시행과 사건의 뜻.

① 시행 : 어떤 일을 하는 것

② 표본공간 : 시행의 가능한 모든 결과들의 집합

[eqn: RARROW] 근원사건 : 표본공간의 원소

③ 사건 : 표본공간의 부분집합

02. 사건은 집합이므로, 벤다이어그램으로 나타낼 수 있고, 여집합, 합집합, 교집합 등의 집합 연산이 가능하다.

① 전사건 [eqn: S] : 반드시 일어나는 사건 (표본공간)

② 공사건 [eqn: emptyset] : 절대로 일어나지 않는 사건

③ [eqn: A]의 여사건 [eqn: A^c] : [eqn: A]가 일어나지 않는 사건

④ [eqn: A]와 [eqn: B]의 합사건 [eqn: A cupB] : [eqn: A] 또는 [eqn: B]가 일어나는 사건

⑤ [eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건 [eqn: A capB] : [eqn: A]와 [eqn: B]가 동시에 일어나는 사건

⑥ [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 배반사건이다. : [eqn: A capB=emptyset]

03. 주사위를 던지는 시행에 대하여 다음 사건을 정의하여라.

(1) 사건 [eqn: A] : 짝수가 나온다.   [eqn: RARROW] [eqn: A= LEFT { 2,```4,```6 RIGHT }]

(2) 사건 [eqn: B] : [eqn: 3] 이하가 나온다.   [eqn: RARROW] [eqn: B= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }]

(3) 사건 [eqn: A ^{c}]   [eqn: RARROW] [eqn: A ^{c} = LEFT { 1,```3,```5 RIGHT }]

(4) 사건 [eqn: A capB]   [eqn: RARROW] [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2 RIGHT }]

04. 사건의 확률의 뜻.

① 확률 : 근원사건들이 가지고 있는 각각이 일어날 가능성

② 사건의 확률 : 사건 내의 근원사건들이 가지는 확률의 합

[eqn: RARROW] 사건 [eqn: A]의 확률을 [eqn: {rmP}(A)]로 나타낸다.

※ 사실 가능성이라는 말이 좀 비겁하다. 순환정의라는 느낌. 상식적인 판단이 중요하다.

주사위를 던졌을 때 주사위가 깨질 확률은 상식적으로 [eqn: 0]으로 본다.

05. 흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 공 [eqn: 3]개를 꺼낼 때,

(1) 표본공간을 구하고, 근원사건들의 확률을 각각 구하여라.

[eqn: RARROW] 표본공간은 [eqn: LEFT { 흰```공```3개,```흰```공```2개와```검은```공```1개,```흰```공```1개와```검은```공```2개,```검은```공```3개 RIGHT }]이다.

순서대로 [eqn: left{www,```wwb,```wbb,```bbb right}]로 나타내자. 확률은 순서대로 [eqn: {` _{4} rm C it _{3}} over {` _{7} rm C it rm _{3} it}], [eqn: {` _{4} rm C it rm _{2} times _3 {rmC}_1it} over {` _{7} rm C it rm _{3} it}], [eqn: {` _{4} rm C it rm _{1} TIMES _{3} rm C it _{2} it} over {` _{7} rm C it rm _{3} it}], [eqn: {` _{3} rm C it rm _{3} it} over {` _{7} rm C it rm _{3} it}]이다.

(2) 흰 공이 [eqn: 2]개 이하가 나오는 사건을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: {rmP}(A)]를 구하여라.

[eqn: RARROW] [eqn: A= LEFT { wwb,```wbb,```bbb RIGHT }]이다. [eqn: {rmP}(A)= { 18} over { 35}+ { 12} over {35 }+ { 1} over { 35}]이다.

(3) 사건 [eqn: A^c]을 설명하고, [eqn: {rmP}(A^c )]을 구하여라.

[eqn: RARROW] 흰 공이 [eqn: 3]개 이상이 나오는 사건이다. [eqn: A ^{c} = LEFT { www RIGHT }]이고 [eqn: rm P it (A ^{c} )= {4} over {35}]이다.

(4) 모두 같은 색의 공이 나오는 사건을 [eqn: B]라 할 때, 사건 [eqn: A capB]를 설명하고, [eqn: {rmP}(A capB )]을 구하여라.

[eqn: RARROW] 모두 검은 공이 나오는 사건이다. [eqn: A SMALLINTER B=left{bbb right}]이고 [eqn: {rmP}(A capB )= { 1} over {35 }]이다.

06. 확률의 성질 : 당연하다는 것 확인.

① [eqn: {rmP}(S)=1], [eqn: rmP(emptyset)=0]

② [eqn: 0le {rmP}(A)le1]

③ [eqn: {rmP}(A^c )=1-{rmP}(A)]

④ [eqn: {rmP}(A cupB)={rmP}(A)+{rmP}(B)-{rmP}(A capB)]

※ [eqn: {rmP}(A)]가 가지는 성질, 연산법칙 등은 [eqn: n(A)]와 매우 유사하다.

07. 표본공간이 [eqn: S]인 어떤 시행에서 각 결과가 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때,

사건 [eqn: A]가 일어날 확률 [eqn: {rmP}(A)]는 [eqn: {rmP}(A)= {n(A)} over {n(S)}]이다.

※ 복잡한 이야기가 약간 전개되지만, 결국 많은 확률문제를 [eqn: {(사건의```경우의```수)} over {(전체```경우의```수)}]로 풀 수 있다.

08. 여기서 같은 정도로 기대될 때라는 말이 많은 내용을 함의한다.

흰 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 1]개가 들어 있는 주머니에서 공 [eqn: 1]개를 꺼내는 시행을 생각하자.

표본공간은 흰 공이 나오는 사건과 검은 공이 나오는 사건의 두 가지지만, 확률은 각각 [eqn: {2} over {3}]와 [eqn: {1} over {3}]이다.

몇 가지 방법으로 설명할 수 있지만, 결국은 상식적으로, 당연한 감각에 의해 판단하라고 말하게 된다.

09. 주사위 두 개를 던지는 시행에서 두 눈이 모두 [eqn: 1]이 나올 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 두 개의 주사위가 서로 구별되지 않는다면, 전체 경우의 수는 [eqn: 21]가지가 되고,

이에 의해서는 올바르게 확률을 부여할 수 없다.

[eqn: RARROW] 두 개의 주사위가 서로 구별된다면, 전체 경우의 수는 [eqn: 36]가지가 되고,

이 중 [eqn: (1,```1)]이 나오는 사건은 [eqn: 1]가지다. 문제의 답은 [eqn: {1} over {36}]이다.

※ 주사위 두 개를 던지는 시행에서 두 눈의 합이 [eqn: 3]이 나올 확률은 [eqn: {2} over {36}]이다.

※ 확률문제에서 던져지는 주사위는 모두 서로 구별되는 것으로, 즉, 다른 것으로 취급해야 한다.

※ 깊게 파고 들어가면 각각의 주사위가 던져지는 시행이 독립이라든가 이런 이야기가 들어와야 할 것이다.

그렇게까지는 생각할 필요는 없다. 그저 상식적으로..

10. 동전 [eqn: 2]개를 던져서 하나는 앞면, 하나는 뒷면이 나올 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 두 개의 동전은 서로 다른 것으로 봐야한다. 전체 [eqn: 앞앞], [eqn: 앞뒤], [eqn: 뒤앞], [eqn: 뒤뒤] 중 두 경우, 답은 [eqn: {1} over {2}]이다.

※ 서로 구별할 수 없는 동전 [eqn: 2]개를 던진 결과 중 하나를 선택했을 때, 하나는 앞면, 하나는 뒷면인 결과를 선택할 확률은?

[eqn: RARROW] 이 문제의 답은 [eqn: 1over3]이다. 암묵적인 약속이라고 할지, 뉘앙스라고 할지.. 알아서 스스로 납득해야 하는 부분이 있다.

11. 주머니에서 공을 뽑는 시행의 확률문제에서는, 주머니에 들어 있는 공을 모두 서로 다른 것으로 봐야 한다.

※ 일반적으로 문제에 모든 공이 뽑힐 확률이 같다는 말을 준다.

※ 흰 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 1]개가 들어 있는 주머니에서 공 [eqn: 1]개를 꺼내는 시행을 생각하자.

흰 공 [eqn: rmA], 흰 공 [eqn: rmB], 검은 공 [eqn: rmC]로 보면 편안하게 문제를 풀 수 있다.

12. 흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 공 [eqn: 2]개를 꺼낼 때, 흰 공이 [eqn: 2]개 나올 확률을 구하여라.

서로 다른 여섯 개의 공 중 두 개를 선택하는 것이다. 전체 경우의 수는 [eqn: ` _{6} rmC _{2}], 사건의 경우의 수는 [eqn: ` _{4} {rmC} _{2}]이다.

13. [12]의 문제를 학생들에게 풀게 하면 다음과 같은 풀이를 볼 수 있다.

① [eqn: { `_4 {rmC}_2} over {`_6 {rm C_2 }] : 문제의 발문에 가장 부합하는 풀이. 추천.

② [eqn: {4 CDOT 3} over {6 CDOT 5}] : 순서대로 하나씩 뽑았다고 봐도 무방하다. 하지만 문제에 따라 귀찮을 수 있다.

③ [eqn: {4} over {6} CDOT {3} over {5}] : 조건부 확률과 곱셈정리를 이용한 풀이. 근데 지가 뭘 했는지도 모를 거야.

[eqn: RARROW] 다음 문제에 이 세 가지 풀이를 적용하고 왜 ①을 추천하는지 생각해보자.

14. 흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 공 [eqn: 2]개를 꺼낼 때, 흰 공이 [eqn: 1]개, 검은 공이 [eqn: 1]개가 나올 확률을 구하여라.

① [eqn: {` _{4} rm C it _{1} cdot _{2} {rmC} _{1}} over {` _{6} rm C _{2} it}] : 좋아. 아주 안정적이야. 분자는 흰 공 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]에 검은 공 [eqn: rma], [eqn: rmb]의 조합의 수라고 생각하면 되겠지?

② [eqn: {4 CDOT 2+2 CDOT 4} over {6 CDOT 5}] : 분모에 순서가 있으니, 분자에도 순서를 줘야 한다. [eqn: 검->흰]과 [eqn: 흰->검]이 가능하다.

③ [eqn: {4} over {6} CDOT {2} over {5} + {2} over {6} CDOT {4} over {5}] : ②와 마찬가지인데, 두 개의 시행으로 나눠서 이해한 것이다.

※ 공을 [eqn: 4]개 뽑았을 때, 흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 2]개 나올 확률 같은 문제를 풀면 ②나 ③은 돌아버릴 것.

15. 다섯 사람 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]를 일렬로 나열할 때,

(1) [eqn: a]와 [eqn: b]가 이웃하지 않을 확률을 구하여라.

(2) [eqn: a]와 [eqn: b]가 이웃하거나 [eqn: c]와 [eqn: d]가 이웃할 확률을 구하여라.

(3) [eqn: a]와 [eqn: b]가 이웃하거나 [eqn: b]와 [eqn: c]가 이웃할 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 별 말이 없으면 [eqn: {(사건의```경우의```수)} over {(전체```경우의```수)}]로 풀면 된다. 보통 임의로 나열한다는 말을 준다.

[eqn: a]가 관종이라 맨 앞에 서기 좋아하는 성향이 있다든가.. 하지 않는 것으로.

전체 경우의 수는 [eqn: 5!], (1)의 경우의 수는 [eqn: 72], (2)의 경우의 수는 [eqn: 72], (3)의 경우의 수는 [eqn: 84]다.

16. 주머니에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내어

임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀 있는 수를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 할 때, [eqn: a le b le c le d]일 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 복잡한 이야기가 숨어 있는데, 쉬운 내용만 보자. [eqn: 5]개의 공을 모두 다른 것으로 봐야 한다. 두 [eqn: 1]을 [eqn: rm1A], [eqn: rm1B]로 보자.

[eqn: RARROW] 전체 경우의 수는 [eqn: ` _{5} {rmC} _{4} times4!]이고, 사건의 경우는 [eqn: rm 1A le 1B le 2 le 3], [eqn: rm 1B LEQ 1A LEQ 2 LEQ 3], [eqn: cdots] 등의 [eqn: 8]가지다.

17. 주머니에 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]의 문자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의

공을 동시에 꺼내어 임의로 일렬로 나열할 때, 같은 문자끼리는 이웃하지 않게 배열될 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 모두 서로 다른 것으로 봐야 한다. [eqn: a1], [eqn: a2], [eqn: a3], [eqn: b1], [eqn: b2], [eqn: c]로 보고, 분모는 [eqn: `_6 {rmC}_4 times4!]이다.

사건의 경우는 조합이 [eqn: aabb]인 것 [eqn: 24]가지, 조합이 [eqn: aabc]인 것 [eqn: 72]가지, 조합이 [eqn: abbc]인 것 [eqn: 36]가지다.

18. 조건부 확률 [eqn: {rmP}(B `|`A`)]의 뜻 : 사건 [eqn: A]가 일어났을 때, 사건 [eqn: B]가 일어날 확률

※ 조건부 확률 표현의 [eqn: |](바)는 조건제시법에서 봤지? 조건을 나타내는 기호이다.

다시 말해, [eqn: {rmP}(B `|`A`)]는 사건 [eqn: A]라는 조건에서 사건 [eqn: B]가 일어날 확률

※ 자연스러운 정의라 별 다른 내용을 공부하지 않아도 문제를 다룰 수 있다.

19. 오른쪽 벤다이어그램과 같은 구성을 가지는 학생 [eqn: 500]명을 자루에 넣고

잘 섞은 다음 한 명을 뽑았다. 다음 식의 의미를 표현하고 구하여라.

(1) [eqn: {rmP}(A`|`B`)] : 남자일 때 담배를 피울 확률이다. [eqn: { 225} over {300 }]이다.

(2) [eqn: {rm P}(A capB`)] : 남자이면서 담배를 피울 확률이다. [eqn: { 225} over { 500}]이다.

(3) [eqn: {rm P}(B`|`A)] : 담배를 피울 때 남자일 확률이다. [eqn: { 225} over {345 }]이다.

(4) [eqn: {rm P}(A ^{c} `|`B`)] : 남자일 때 담배를 피우지 않을 확률이다. [eqn: { 75} over { 300}]이다.

(5) [eqn: {rm P}(A`|`B ^{c} )] : 여자일 때 담배를 피울 확률이다. [eqn: { 120} over { 200}]이다.

(6) [eqn: {rm P}(A capB ^{c} )] : 여자이면서 담배를 피울 확률이다. [eqn: 120over500]이다,

20. 한 개의 주사위를 던져서 [eqn: 2] 이하가 나오는 사건을 [eqn: A], 소수가 나오는 사건을 [eqn: B]라 할 때,

[eqn: {rmP}(A)+{rmP}(A`|`B)+{rmP}(B`|A)]의 값을 구하여라.

[eqn: RARROW] [eqn: {rmP}(A)]는 [eqn: { 1} over {3 }], [eqn: {rmP}(A`|`B)]는 소수 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5] 중 [eqn: 2] 이하인 것이 [eqn: 1]개이므로 [eqn: { 1} over { 3}], [eqn: {rmP}(B`|`A)]는 [eqn: 1], [eqn: 2] 중 소수는 [eqn: 1]개이므로 [eqn: { 1} over {2 }]다.

※ [eqn: {rmP}(A`|`B)]를 구할 때는 사건 [eqn: B]가 표본공간인 것처럼, [eqn: {rmP}(B`|`A)]를 구할 때는 사건 [eqn: A]가 표본공간인 것처럼 다루면 된다.

21. 조건부 확률의 정의 : [eqn: {rmP}(B `|`A)= { {rmP}(A capB)} over {{rmP}(A) }]

정의에 의해 당연하다. 사건 [eqn: A]를 표본공간으로 하고, [eqn: A]에 속하는 [eqn: B]만을 사건으로 보는 것이다.

※ [eqn: rm P it (B`|`A)= {rm P it (A SMALLINTER B)} over {rm P it (A)} = {n(A capB)} over {n(A)}]로 다루는 경우가 많다. [07], [19] 참고.

22. [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it (B`|`A) rm P it (A)] : 확률의 곱셈정리

※ 식의 의미는 [eqn: (A가```일어날```확률) TIMES (A가```일어났을```때,```B가```일어날```확률)]이다.

[eqn: RARROW] 결과가 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 동시에 일어날 확률 나오는 것이 당연하지?

※ 반대로 [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it (A`|`B) rm P it (B)]도 성립한다.

23. [eqn: 3]개의 당첨 제비를 포함한 [eqn: 12]개의 제비가 있다. 갑, 을의 순서로 서로 [eqn: 1]개씩 제비를 뽑을 때,

갑은 당첨 제비를 뽑지 못하고 을만 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하여라. (단, 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)

[eqn: RARROW] 유치원생에게 풀게 해도 [eqn: {9} over {12} times {3} over {11}]으로 푼다. 그런데 생각해보면 여기서 [eqn: {3} over {11}]이 조건부 확률이다.

갑이 당첨제비를 뽑지 못했을 때, 을이 당첨제비를 뽑을 확률이다.

[eqn: RARROW] 갑이 당첨인 사건을 [eqn: 갑], 을이 당첨인 사건을 [eqn: 을]이라 하면, [eqn: {rmP}(갑 ^{c} )= {9} over {12}], [eqn: {rmP}(을|갑 ^{c} )= {3} over {11}]이고

구하는 확률 [eqn: {rmP}(갑^c cap을)]을 [eqn: rm P it (갑 ^{c} ) TIMES rm P it (을`|`갑 ^{c} )]로 구한 것이다.

※ 조건부 확률의 정의가 자연스럽기 때문. 어떤 의미에서는 안 배워도 된다니까?

24. 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {rm P}(A)=0.4], [eqn: {rm P}(B`|`A)=0.5], [eqn: {rm P}(B`|`A ^{c} )=0.3]일 때, [eqn: {rm P}(B)]의 값을 구하여라.

[eqn: RARROW] 수능에 출제가 강력하게 예상되는 유형이다. 틀리면 자살해야 하는 킬러문항.

풀이1) 정의대로 가보자. [eqn: rm P it (B`|`A)= {rm P it (A capB)} over {rm P it (A)} =0.5]에서 [eqn: {rmP}(A capB)=0.2]이고,

[eqn: rm P it (B`|`A ^{c} )= {rm P it (B capA^c )} over {{rmP}(A^c )} =0.3]에서 [eqn: {rmP}(A^c )=1-{rmP}(A) =0.6]이므로 [eqn: {rmP}(B capA^c )=0.18]이다.

[eqn: rm P it (B)= rm P it (B SMALLINTER A)+ rm P it (B SMALLINTER A ^{c} )=0.38]이다.

풀이2) 벤다이어그램을 그려서 의미를 통해 적당히 구해보자.

사건 [eqn: B]는 사건 [eqn: A]에 포함되는 부분과 포함되지 않는 부분이 있다.

포함되는 부분은 [eqn: {rm P}(A)]의 [eqn: 0.5]배이므로 [eqn: 0.2], 포함되지 않는 부분은 [eqn: {rmP}(A^c )]의 [eqn: 0.3]배이므로 [eqn: 0.18]이다.

※ 그 풀이가 그 풀이지만 풀이1)과 같이 딱딱하게 가지 않고, 풀이2)와 같이 의미적인 이해로 간다는 설명이다.

25. 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {rm P}(A)=0.4], [eqn: {rm P}(A`|`B)=0.2], [eqn: {rm P}(A CUP B)=0.6]일 때, [eqn: rm P it (A capB)]의 값을 구하여라.

[eqn: RARROW] [eqn: rm P it (A capB)=x]라 하자. [eqn: {rm P}(A CUP B)=0.6], [eqn: {rm P}(A)=0.4]에서 [eqn: {rmP}(B)=x+0.2]이고,

[eqn: rm P it (A`|`B)= {rm P it (A SMALLINTER B)} over {rm P it (B)} =0.2]에서 [eqn: { x} over { x+0.2}=0.2], [eqn: x=0.05]이다.

26. [eqn: {rm P}(A SMALLINTER B)={rmP}(A`|`B`){rmP}(B)={rmP}(B`|`A`){rmP}(A)]에서

[eqn: RARROW] [eqn: {rm P}(A)={rm P}(A capB)+{rm P}(A capB^c )={rm P}(A`|`B`){rm P}(B)+{rm P}(A`|`B^c ){rm P}(B^c )]

※ 베이즈 법칙이라 한다. 사건 [eqn: A]를 사건 [eqn: B]와 겹쳐진 부분과 사건 [eqn: B]와 겹쳐지지 않는 부분으로 나누고,

각각을 두 사건 [eqn: B], [eqn: B^c]의 확률과 그에 따른 사건 [eqn: A]의 확률의 곱을 이용하여 구할 수 있다는 것이다.

27. 어떤 야구팀은 날씨에 따라 경기에서 이길 확률이 다르다. 날씨가 맑은 날의 경기에서 이길 확률은 [eqn: 0.6]이고,

맑지 않은 날의 경기에서 이길 확률은 [eqn: 0.5]이다. 내일 날씨가 맑을 확률이 [eqn: 0.4]일 때, 이 팀이 경기에서 이길 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 의미적으로) 내일 날씨가 맑고 경기에서 이길 확률은 [eqn: 0.4 times0.6=0.24]이다.

내일 날씨가 맑지 않고 경기에서 이길 확률은 [eqn: 0.6 times0.5=0.3]이다. 내일 이길 확률은 둘의 합 [eqn: 0.54]이다.

[eqn: RARROW] 조건부 확률로 서술) 내일 경기를 이길 사건을 [eqn: A], 내일 날씨가 맑을 사건을 [eqn: B]라 하자.

주어진 정보를 식으로 옮기면, [eqn: {rmP}(A`|`B)=0.6], [eqn: rm P it (A`|`B ^{c} )=0.5], [eqn: rm P it (B)=0.4]일 때, [eqn: {rmP}(A)]를 구하는 것이다.

베이즈에 의해 [eqn: rm P it (A)= rm P it (A`|`B`) rm P it (B)+ rm P it (A`|`B ^{c} ) rm P it (B ^{c} )=0.6 times0.4 +0.5 times0.6]이다.

28. 이중분할표 : 가로로 [eqn: A]와 [eqn: A^c]을, 세로로 [eqn: B]와 [eqn: B^c]을 써서 만들어지는 [eqn: 4]칸을 문제에 주어진 조건에 따라 잘 채워 넣어본다.

※ 숙지해두는 것이 좋다. 문제를 통해 살펴보자.

29. 남녀 공학인 어느 고등학교 학생 중 [eqn: 40%]는 남학생이고, 남학생의 [eqn: 40%]는 동생이 있다. 그리고 전체 학생 중

동생이 있는 학생은 절반이다. 이 고등학교의 여학생 중 한 명을 뽑을 때, 그 여학생이 동생이 없을 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 아래와 같이 표를 구성하고 채워 넣자. [eqn: 16%]는 [eqn: 40%]의 [eqn: 40%]로 얻은 거야.

	남학생	여학생	전체
동생 있음	[eqn: 16%]		[eqn: 50%]
동생 없음
전체	[eqn: 40%]		[eqn: 100%]

[eqn: RARROW]

	남학생	여학생	전체
동생 있음	[eqn: 16%]	[eqn: 34%]	[eqn: 50%]
동생 없음	[eqn: 24%]	[eqn: 26%]	[eqn: 50%]
전체	[eqn: 40%]	[eqn: 60%]	[eqn: 100%]

그리고 머리가 만두가 아니라면 답이 [eqn: {26%} over {60%}]인 것을 알 수 있다.

30. 암환자를 암이라고 진단할 확률이 [eqn: 95%]이고, 암환자가 아닌 사람을 암으로 진단할 확률이

[eqn: 10%]인 검사가 있다고 하자. 어떤 사람이 이 검사에서 암이라고 진단을 받았을 때,

그 사람이 실제로 암환자일 확률을 구하여라. (단, 전체 인구 중 [eqn: 10%]가 암환자이다.)

[eqn: RARROW] 가운데 네 칸은 곱사건의 칸이다. 조건부 확률인 [eqn: 95%]나 [eqn: 10%] 쓰면 안 돼.

	암	암 아님	전체
암 진단
암X 진단
전체	[eqn: 10%]	[eqn: 90%]	[eqn: 100%]

[eqn: RARROW]

	암	암 아님	전체
암 진단	[eqn: 9.5%]	[eqn: 9%]	[eqn: 18.5%]
암X 진단	[eqn: 0.5%]	[eqn: 81%]	[eqn: 81.5%]
전체	[eqn: 10%]	[eqn: 90%]	[eqn: 100%]

그리고 머리가 만두가 아니라면 답이 [eqn: {9.5%} over {18.5%}]인 것을 알 수 있다.

※ 극악의 이해력을 보여주는 학생들을 위해 전체 인구를 [eqn: 1000]명이라고 하자는 풀이가 있다.

※ [eqn: 0.5%]와 [eqn: 9%]는 진단이 오류를 일으킨 것이다. 암 진단이 떠도 반쯤은 오류에서 비롯된 것이다.

진짜 불쌍한 애들은 [eqn: 0.5%]에 해당하는 애들이다. 곧 죽는다.

31. 확률수형도 : 선행-후행사건에 따른 경우의 수를 수형도로 그린 후 각각의 가지마다 가지는 확률값을 조사한다.

※ 주로 통계삘 문제는 이중분할표가 편하고 선행-후행이 확실하게 갈리는 시행의 문제는 확률수형도가 편하다.

※ 두 가지 시행의 전개에 대한 직관적인 이해를 돕기 때문에 자주 그려보는 것을 추천한다.

32. 주머니 [eqn: rmA]에는 흰 공 [eqn: 3]개와 파란 공 [eqn: 2]개가, 주머니 [eqn: rmB]에는 흰 공 [eqn: 4]개와 파란 공 [eqn: 3]개가 들어 있다.

[eqn: rmA]에서 [eqn: 1]개의 공을 꺼내 [eqn: rmB]에 넣고 섞은 뒤 [eqn: rmB]에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼냈을 때, 파란 공일 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 두 시행의 선후관계가 확실하다. 이럴 때는 확률수형도각이다.

첫 번째 그림은 가능한 모든 결과를 수형도로 나타낸 것. 두 번째 그림은 가지를 탈 확률을 표시한 것.

세 번째 그림은 확률의 곱셈법칙에 의해 결과의 확률들을 표시한 것이다. 답은 [eqn: 17/40]이다.

※ 베이즈로 풀어보자. 주머니 [eqn: rmA]에서 파란 공이 나오는 사건을 [eqn: A], 주머니 [eqn: rmB]에서 파란 공이 나오는 사건을 [eqn: B]라 하자.

문제의 상황에서 [eqn: rm P it (A)= {2} over {5}], [eqn: rm P it (A ^{c} )= {3} over {5}], [eqn: rm P it (B`|`A)= {4} over {8}], [eqn: rm P it (B`|`A ^{c} )= {3} over {8}]이고, 구하는 것은 [eqn: {rmP}(B)]이다.

[eqn: rm P it (B)= rm P it (B capA)+ rm P it (B capA^c )]에서 [eqn: rm P it (B)= rm P it (B`|`A){rmP}(A)+ rm P it (B`|`A ^{c} ){rmP}(A ^{c} )]이다.

※ 시행이 복잡하게 느껴져도 막상 확률수형도를 그려보면 한눈에 이해되는 경우가 자주 나온다. 그러니까 그려 버릇해.

33. 어느 상자에 당첨제비 [eqn: 2]개를 포함한 [eqn: 10]개의 제비가 들어 있다.

이 상자에서 갑과 을이 순서대로 제비를 뽑을 때, 을이 당첨될 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 확률수형도와 이중분할표로 풀어볼게.

	갑 당첨	갑 꽝	전체
을 당첨	[eqn: 2/90]	[eqn: 16/90]	[eqn: 18/90]
을 꽝
전체	[eqn: 2/10]	[eqn: 8/10]	[eqn: 1]

답은 당연히 [eqn: 18/90]이다. 개인적으로는 이중분할표는 느낌이 오지 않는다.

※ 결과를 확인해보자. 먼저 뽑든 나중에 뽑든 당첨될 확률은 변하지 않는다. 신기하지?

34. 아침에만 비가 온 어느 날, 학교, 학원, 독서실을 차례로 거쳐 집으로 돌아온 민수는 우산을 어딘가에

두고 왔다는 것을 알았다. 민수가 평균 [eqn: 5]번에 [eqn: 1]번 꼴로 우산을 두고 온다고 할 때, 우산을 학원에 있을 확률은?

위의 그림에서 구하는 확률은 [eqn: {(학원에```두고```옴)} over {(어딘가에```두고```옴)}]이므로 [eqn: {4/25} over {1/5+4/25+16/125}]이다.

35. 독립의 뜻 : 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이다. [eqn: LRARROW] 두 사건은 서로 무관하다.

① [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)]

② [eqn: {rm P}(A capB)={rm P}(A){rm P}(B)]

※ [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)] 나 [eqn: {rm P}(A capB)={rm P}(A){rm P}(B)] 중 어느 쪽을 정의라 해도 무방하다. [39] 참고.

※ 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이 아니면 서로 종속이라 한다.

36. 독립의 의미1) [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)] : 사건 [eqn: A]가 일어날 확률은 사건 [eqn: B]의 영향을 받지 않는다.

사건 [eqn: A]가 일어날 확률은 사건 [eqn: B]가 일어날 때를 생각해도 변하지 않는다는 뜻이다.

바로 [39]에서 다루겠지만 [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)]이면 [eqn: rm P it (A)= rm P it (A`|`B ^{c} )]임을 유도할 수 있다.

사건 [eqn: B]가 일어나든, 사건 [eqn: B]가 일어나지 않든, 사건 [eqn: A]가 일어날 확률은 일정하다는 뜻이기도 하다.

37. 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이면 사건 [eqn: B]와 사건 [eqn: A]는 서로 독립이다.

의미로서 삘은 오지? 식으로도 확인해보자.

① [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)]에서 [eqn: {rmP}(A`|B)= { {rmP}(A capB)} over {{rmP}(B) }]이므로 [eqn: {rmP}(A) {rmP}(B)={rmP}(A capB)]이다.

② [eqn: {rmP}(A) {rmP}(B)={rmP}(A capB)]에서 [eqn: rm P it (B`|A)= {rm P it (A SMALLINTER B)} over {rm P it (A)} ={rmP}(B)]이다.

38. 사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: B]가 서로 독립이면 [eqn: A]와 [eqn: B ^{c}]도 서로 독립이다. 식으로도 확인해보자.

[eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)]에서 [eqn: {rmP}(A) {rmP}(B)={rmP}(A capB)]이다.

[eqn: rm P it (A) rm P it (B ^{c} )= rm P it (A) LEFT { 1- rm P it (B) RIGHT } = rm P it (A)- rm P it (A) rm P it (B)= rm P it (A)- rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it(A capB^c )]이므로

[eqn: rm P it (A)= {rm P it (A capB^c )} over {{rmP}(B^c )}][eqn: ={rmP}(A`|`B ^{c} )]이다. 등호 하나하나 따져보자.

[eqn: RARROW] [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)={rmP}(A`|`B ^{c} )]이고 비슷한 방법으로 [eqn: rm P it (A ^{c} )= rm P it (A ^{c} `|`B)= rm P it (A ^{c} `|`B ^{c} )]을 확인할 수 있다.

39. 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이면, 사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: B ^{c}]도 서로 독립이고, 사건 [eqn: A ^{c}]와 사건 [eqn: B]도 서로 독립이고,

사건 [eqn: A ^{c}]과 사건 [eqn: B ^{c}]도 서로 독립이다. 그리고 등식 [eqn: {rmP}(A) {rmP}(B)={rmP}(A capB)]와도 서로 같은 의미이다.

※ [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)]는 , [eqn: {rmP}(A) {rmP}(B)={rmP}(A capB)], [eqn: rm P it (B)= rm P it (B`|`A)], [eqn: rm P it (A)= rm P it (A`|`B ^{c} )], [eqn: rm P it (A ^{c} )= rm P it (A ^{c} `|`B)] 등과 서로 동치다.

※ 부등식의 경우도 서로 동치다. 다시 말해, [eqn: rm P it (A)!= rm P it (A`|`B)]이면 [eqn: rm P it (B)!= rm P it (B`|`A)], [eqn: rm P it (A ^{c} )!= rm P it (A ^{c} `|`B)] 등을 얻을 수 있다.

40. 독립의 의미2) [eqn: {rm P}(A capB)={rm P}(A){rm P}(B)] : 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 적당히 겹친다.

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: rm P it (A capB)]이 너무 크지도 않고, 너무 작지도 않고 딱 [eqn: {rmP}(A){rmP}(B)]이다.

[eqn: RARROW] [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)< rm P it (A) rm P it (B)]이면 사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: B]가 서로를 조장한다.

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)> rm P it (A) rm P it (B)]이면 사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: B]가 서로를 방해한다.

확률이 아니라 통계로 이야기하면, 양의 상관관계도 아니고, 음의 상관관계도 아닌 경우가 독립이다.

※ 동전과 주사위를 던져서, 동전은 앞면이 나오고 주사위는 [eqn: 1]이 나올 확률은?

두 사건이 동시에 일어날 확률을 구할 때 두 사건의 확률을 그냥 곱한 것은, 서로 독립임을 가정했던 것이다.

※ 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 배반사건이면 [eqn: {rmP}(A capB)=0]이다. [eqn: {rmP}(A capB)]가 적당하지 못하고 아주 작다.

배반은 종속 중에서도 상종속인데, 독립으로 착각을 많이 한다. 단어가 주는 이미지가 비슷해서?

41. 주사위 하나를 던져 눈이 짝수가 나오는 사건을 [eqn: A], 눈이 [eqn: 6]의 약수가 나오는 사건을 [eqn: B],

눈이 [eqn: 3] 이하가 나오는 사건을 [eqn: C]라 할 때, 다음을 보여라.

(1) [eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)=}{rmP}(A`|`B^c )] : [eqn: {rmP}(A)= {1} over {2}], [eqn: rm P it (A`|`B)= {n( LEFT { 2,```6 RIGHT } )} over {n( LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT } )} = {1} over {2}], [eqn: rm P it (A`|`B ^{c} )= {n( LEFT { 4 RIGHT } )} over {n( LEFT { 4,```5 RIGHT } )} = {1} over {2}]이다.

(2) [eqn: {rmP}(B)={rmP}(B`|`A)={rmP}(B`|`A ^{c} )] : [eqn: rm P it (B)= {2} over {3}], [eqn: rm P it (B`|`A)= {n( LEFT { 2,```6 RIGHT } )} over {n( LEFT { 2,```4,```6 RIGHT } )} = {2} over {3}], [eqn: rm P it (B`|`A ^{c} )= {n( LEFT { 1,```3 RIGHT } )} over {n( LEFT { 1,```3,```5 RIGHT } )} = {2} over {3}]이다.

(3) [eqn: {rmP}(A capB)={rmP}(A){rmP}(B)] : 사건 [eqn: A capB]는 [eqn: left{2,```6 right}]이다. [eqn: {rmP}(A capB) = { 1} over { 3}]로서 [eqn: {rmP}(A)= {1} over {2}]와 [eqn: rm P it (B)= {2} over {3}]의 곱과 같다.

※ (1), (2). (3)은 모두 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립임을 나타내는 식이다. 어느 식을 확인해도 좋다.

[eqn: 7]개의 등식 중 하나를 보이면 나머지 [eqn: 6]개는 자동으로 성립한다. 굳이 고르라면 덜 헷갈리는 (3)으로.

(4) [eqn: {rmP}(A SMALLINTER C)!={rmP}(A){rmP}(C)] : [eqn: {rmP}(A)= {1} over {2}], [eqn: rm P it (C)= {1} over {2}]이고, 사건 [eqn: A capC]는 [eqn: LEFT { 2 RIGHT }]이므로 [eqn: rm P it (A SMALLINTER C)= {1} over {6}]이다.

(4)에 의해 두 사건 [eqn: A], [eqn: C]는 서로 종속이다. 해보나마나 [eqn: rm P it (A) != rm P it (A`|C } )], [eqn: rm P it (A ^{c} ) != rm P it (A ^{c} `|C)] 등을 알 수 있다.

42. 서로 독립인 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]의 이중분할표가 다음과 같다고 하자.

	[eqn: B]	[eqn: B ^{c}]	전체
[eqn: A]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: {rmP}(A)]
[eqn: A ^{c}]	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: rm P it (A ^{c} )]
전체	[eqn: rm P it (B)]	[eqn: rm P it (B ^{c} )]	[eqn: 1]

이중분할표의 작성요령에서 [eqn: {rmP}(A capB)=a], [eqn: rm P it (A SMALLINTER B ^{c} )=b], [eqn: rm P it (A ^{c} SMALLINTER B)=c], [eqn: rm P it (A ^{c} SMALLINTER B ^{c} )=d]이다.

[eqn: RARROW] 독립을 식으로 쓰면 [eqn: {a} over {{rmP}(B)} = {b} over {{rmP}(B ^{c} )} = rm P it (A)]이다. 다시 째려보면 [eqn: a:b]가 [eqn: {rmP}(B):{rmP}(B ^{c} )]와 같다는 것을 알 수 있다.

[eqn: RARROW] 같은 방법으로 [eqn: a:b=c:d={rmP}(B):{rmP}(B ^{c} )]이고, [eqn: a:c=b:d={rmP}(A):{rmP}(A ^{c} )]이다. [eqn: ad-bc=0] 같은 것도 어디서 봤지?

독립인 두 사건의 이중분할표에서는 나타나 있는 숫자들의 비로 해석하는 것이 각이다.

	(단위 : 명)
	남학생	여학생
담배	[eqn: 60]	[eqn: 30]
댐배X	[eqn: 40]	[eqn: x]

43. 어떤 학교의 학생 중 담배를 피우는 학생과 담배를 피우지 않는 학생의 수가

오른쪽 표와 같다. 이 학교의 학생 중에서 임의로 선택한 한 명이 남학생일 사건과

담배를 피우는 학생일 사건이 서로 독립일 때, [eqn: x]의 값은?

[eqn: RARROW] [eqn: (담배를```피우는):(담배를```피우지```않는)]을 조사해서 [eqn: 60:40=30:x]를 보든가,

[eqn: (남학생):(여학생)]의 비를 조사해서 [eqn: 60:30=40:x]를 보든가 [eqn: x=20]이다.

※ [eqn: rm P it (남학생)= {2} over {3}]나 [eqn: rm P it (담배)= {3} over {5}]라는 숫자를 띄우지 않고 풀 수 있다.

44. 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이고, [eqn: {rmP}(A`|`B)=0.6], [eqn: {rmP}(B`|`A ^{c} )=0.4]일 때, [eqn: {rmP}(A CUP B)]의 값을 구하여라.

[eqn: RARROW] 독립이므로 서로의 조건부가 무의미하다. [eqn: rm P it (A`|`B)={rmP}(A)=0.6], [eqn: rm P it (B`|`A ^{c} )={rmP}(B)=0.4]이다.

곱사건의 확률은 두 확률의 곱이다. [eqn: rm P it (A capB)={rmP}(A) {rmP}(B)=0.24], 합사건의 확률은 [eqn: 0.76]이다.

45. 두 사람 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 과녁에 화살을 쏠 때, 화살이 과녁에 명중할 확률은 각각 [eqn: 0.6], [eqn: 0.5]이다.

[eqn: rmA], [eqn: rmB]가 동시에 과녁에 화살을 쏠 때, 두 사람의 화살이 모두 과녁에 명중할 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 세빈이에게 풀게 시켜도 [eqn: 0.6 times0.5=0.3]이라고 대답한다. 왜 곱했지? 독립이라는 인식이 있기 때문이다.

[eqn: rmB]가 명중시키든, 명중시키지 못하든, [eqn: rm A]의 화살이 과녁에 명중할 확률은 [eqn: 0.6]으로 변하지 않는다.

[eqn: rmB]가 명중시키든, 명중시키지 못하든, [eqn: rm A]의 화살이 과녁에 명중하지 않을 확률은 [eqn: 0.4]로 변하지 않는다.

독립이 아닐 수도 있지. 서로 멘탈리티에 영향을 준다든가. 그래서 동시에라는 표현을 준 것이겠지?

46. 서로 독립인 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]의 이중분할표를 잘 째려보면 [38], [39]의 내용을 가비의 리에 의해 이해할 수 있다.

[eqn: {rmP}(A)={rmP}(A`|`B)]이면 [eqn: rm P it (A)= rm P it (A`|`B ^{c} )]인 것을 식으로 쓰면 [eqn: {n(A)} over {n(S)} = {n(A capB)} over {n(B)}]이면 [eqn: {n(A)} over {n(S)} = {n(A SMALLINTER B ^{c} )} over {n(B ^{c} )}]이다.

[eqn: {n(A SMALLINTER B ^{c} )} over {n(B ^{c} )} = {n(A)-n(A capB)} over {n(S)-n(B)}]이므로 가비 치면 된다. 다른 것들도 비슷하게 되겠지?

47. 번갈아가며 주사위를 한 번씩 던져서 [eqn: 1]이 먼저 나오면 이기는 게임에서 먼저 던지는 쪽이 게임을 이길 확률을 구하여라.

[eqn: 1]이 나오는 것을 성공이라 하자. 시작하자마자 이길 확률이 [eqn: { 1} over {6 }]이다. 실패하고, 상대가 실패하고, 성공할 확률이 [eqn: LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} {1} over {6}]이다.

실패-실패-실패-실패-성공할 확률은 [eqn: LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} {1} over {6}]이다. 평생 할 수도 있겠지? 이런 무한급수가 되겠네. 답은 [eqn: {6} over {11}]이다.

48. 독립시행의 확률 : 성공확률이 [eqn: p]인 시행을 [eqn: n]번 반복할 때, [eqn: k]번 성공할 확률은 [eqn: ` _{n} rm C it rm _{k} `p ^{k} (1-p) ^{n-k}]이다.

증명) 성공 [eqn: k]번, 실패 [eqn: n-k]번을 순서대로 할 확률은 [eqn: p ^{k} (1-p) ^{n-k}]이다.

여기에 성공 실패의 순서를 섞어주는 경우의 수 [eqn: {n!} over {k!(n-k)!}]을 곱해준 것이다.

※ 동일한 시행을 [eqn: n]번 반복할 때, 성공/실패의 순서와 무관하게 성공 횟수에 대한 확률을 구하는 방법이다.

49. 다음 물음에 답하여라.

(1) 주사위를 [eqn: 4]개 던졌을 때, [eqn: 1]이 두 개 나올 확률

: 차례로 [eqn: left(1,```1,```1아님,```1아님)]이 나올 확률은 [eqn: left( {1} over {6} right) ^{2} left( {5} over {6} right) ^{2}]이다. [eqn: LEFT ( 1,```1아님,```1,```1아님) RIGHT .] 등의 확률도 같겠지?

여기에 OOXX를 일렬로 배열하는 방법의 수 [eqn: ` _{4} {rmC} _{2}]를 곱해주면 되겠군.

(2) [eqn: 30%] 타율의 타자가 [eqn: 5]타석에서 [eqn: 2]안타를 칠 확률

: 안타를 두 번 칠 확률 [eqn: (0.3)^2], 안타를 세 번 못 칠 확률 [eqn: (0.7)^3], 경우의 수 [eqn: ` _{5} rm C it _{2}]를 곱해준다.

(3) 동전 [eqn: 4]개를 던졌을 때, 앞면이 [eqn: 3]개 나올 확률 : [eqn: ` _{4} rm C it rm _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]

(4) [eqn: 5]지선다 [eqn: 4]문제를 찍어서 [eqn: 3]문제 이상 맞을 확률

: 세 문제 맞을 확률과 네 문제 맞을 확률을 더해주면 되겠네. [eqn: ` _{4} rm C it rm _{3} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) +left( {1} over {5} right) ^{4}]다.

네 문제 맞을 확률 [eqn: LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{4}]를 독립시행의 틀에 맞춰 [eqn: ` _{4} rm C it _{4} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{0}]이라 써도 좋다. 니네 너무 무시하나?

50. 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 점 [eqn: rmP]는 동전을 던져서 동전이 앞면이면 [eqn: +2]만큼,

동전이 뒷면이면 [eqn: -1]만큼 움직인다. 이 시행을 다섯 번 반복할 때, 점의 좌표가 양수일 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 적당히 생각해도 앞면이 [eqn: 2]번 이상 나와야겠군. 앞면 나온 횟수를 [eqn: x]라 하면 [eqn: 2x-(5-x)>0]이니까?

[eqn: RARROW] 여사건이 낫겠네. 전체에서 앞면이 [eqn: 1]번 이하 나오는 경우를 빼주자. [eqn: 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} - _{5} rm C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4}]이다.

51. [eqn: 5]번의 경기 중 [eqn: 3]번을 먼저 이기면 우승하는 결승전에서 첫 번째 경기를 이긴 쪽이 우승할 확률을 구하여라.

(단, 각각의 경기에서 각각이 이길 확률은 [eqn: { 1} over {2 }]이다.)

[eqn: RARROW] 첫 번째 경기를 이긴 쪽이 우승하는 경우는 다음과 같이 분류할 수 있다.

Case1) 두 경기 더 함, [eqn: {rmP}(승승)= {1} over {4}]이다. Case2) 세 경기 더 함, [eqn: rm P it (승패승```or```패승승)= 2times{ 1} over { 8}]이다.

Case3) 네 경기 더 함. [eqn: rm P it (승패패승```or```패승패승```or```패패승승)=3 TIMES {1} over {16}]이다.

52. 주사위를 여섯 번 던졌을 때, 눈의 수가 [eqn: 1SIM3]이 두 번, [eqn: 4SIM5]가 세 번, [eqn: 6]이 한 번 나올 확률을 구하여라.

[eqn: RARROW] 눈이 [eqn: 1SIM3]이 나오는 사건을 [eqn: a], 눈이 [eqn: 4SIM5]가 나오는 사건을 [eqn: b], 눈이 [eqn: 6]이 나오는 사건을 [eqn: c]라 하자.

주사위를 여섯 번 던졌을 때, 사건 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]가 순서대로 나올 확률은 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {6} RIGHT )]이다.

여기에다 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]를 일렬로 배열하는 방법의 수 [eqn: { 6!} over {2!3!1! }]을 곱해주면 된당.

※ 같은 것이 있는 순열이 조합의 일반화다. 조합 [eqn: ` _{n} {rmC} _{k}]는 [eqn: k]개의 O와 [eqn: n-k]개의 X를 나열하는 경우의 수라 할 수 있다.

통계 내용 정리 [기초강의(1/3)]

[학습목표]

1. 이산확률변수 내용정리

01. 이산확률변수란 시행마다 정해진 확률에 따라 그 값이 변하는 변수이다.

예를 들어서 주사위를 던질 때 나오는 눈을 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 다음과 같은 분포를 가진다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1/6]	[eqn: 1/6]	[eqn: 1/6]	[eqn: 1/6]	[eqn: 1/6]	[eqn: 1/6]

02. 예를 들어서 흰 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때,

나오는 흰 공의 개수를 [eqn: X]라 하면

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1/10]	[eqn: 6/10]	[eqn: 3/10]

이다. [eqn: rm P it (X=1)= { 6} over {10 }], [eqn: rm P it (X ge1)= {9} over {10}] 등으로 표현한다.

03. [eqn: X]가 가지는 값 [eqn: x _{i}]와 그 확률 [eqn: p _{i}]의 대응관계를 확률분포라 하고,

이 대응 관계를 나타내는 함수 [eqn: {rmP}(X=x)]를 [eqn: X]의 확률질량함수라 한다.

04. 문제에 이산확률변수가 뜨면 위의 예제들처럼 확률분포표를 그리자.

05. [eqn: X]가 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중 하나의 값을 가지며 [eqn: rm P it(X=i)=ai]([eqn: i=1,```2,```3,```4])를 만족할 때,

[eqn: X]의 확률분포표를 구하여라.

[eqn: RARROW]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: a]	[eqn: 2a]	[eqn: 3a]	[eqn: 4a]

[eqn: RARROW] 확률의 합은 [eqn: 1]이므로 [eqn: a= {1} over {10}]이다.

06. 의미 분석도 좋지만 일단 정의이다. 계산방법부터 확인하자.

① [eqn: X]의 기댓값(평균) [eqn: {rmE}(X)][eqn: = sum _{i=1} ^{n} x _{i} p _{i}]

② [eqn: X]의 분산 [eqn: rm V it (X)][eqn: = sum _{i=1} ^{n} (x _{i} -m) ^{2} p _{i}] (단, [eqn: m]은 평균)

③ [eqn: X]의 표준편차 [eqn: sigma(X)][eqn: = sqrt {rm V it (X)}]

07. 통계의 평균과 비교해서 기댓값의 의미를 이해하자.

예를 들어서 시험을 쳤을 때 [eqn: 1/3]의 확률로 [eqn: 100]점, [eqn: 2/3]의 확률로 [eqn: 70]점을 받는 학생이 있다고 하면,

이 학생의 평균점수는 결국 [eqn: 100 times { 1} over { 3}+ 70 times { 2} over { 3} =80]점으로 수렴하게 될 것이다.

08. 분산과 표준편차가 평균에서 떨어진 정도를 나타낸다는 것을 이해하자.

① [eqn: (x _{i} -m) ^{2}]을 보자. 평균과의 차이가 크면 값이 더 커진다.

② 분산 구할 때 제곱을 한 번 했으니까 기분상 루트를 한 번 씌워준다.

[eqn: RARROW] 분산보다 표준편차가 많이 쓰이는 이유 : 단위(스케일)가 맞아서.

※ 절댓값을 이용한 절대편차라는 것도 있다. 모종의 이유로 고등학교에서는 쓰지 않는다.

09. 확률변수 [eqn: X]가 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]의 값을 가지고 확률질량함수가 [eqn: f(x)=a ^{|x-1|+1}]일 때, [eqn: X]의 분산을 구하여라.

[eqn: RARROW] 확률분포표부터 그리자.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: a^2]	[eqn: a]	[eqn: a^2]

[eqn: RARROW] 확률의 합이 [eqn: 1]이므로 [eqn: a= { 1} over {2 }]이다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1/4]	[eqn: 1/2]	[eqn: 1/4]

[eqn: RARROW] 세로로 긁어서 더한 것이 평균이다. [eqn: rm E it (X)=0 TIMES {1} over {4} +1 TIMES {1} over {2} +2 TIMES {1} over {4} =1]

[eqn: RARROW] 평균과의 차이를 제곱한 것의 평균이 분산이다. [eqn: rm V it (X)=(0-1) ^{2} TIMES {1} over {4} +(1-1) ^{2} TIMES {1} over {2} +(2-1) ^{2} TIMES {1} over {4} = {1} over {2}]

10. 연산된 확률변수의 평균과 분산 : 일단 외우세영.

① [eqn: {rmE(}aX+b)=a{rmE}(X)+b]

② [eqn: {rmV}(aX+b)=a ^{2} {rmV}(X)]

③ [eqn: sigma(aX+b)=|a|sigma(X)]

④ [eqn: {rmV}(X)={rmE}(X ^{2} )-left{{rmE}(X)right} ^{2}]

11. 의미를 이해하자. 어떤 시험에서 반의 평균이 [eqn: 30]점일 때,

① 각각의 점수를 [eqn: 10]점씩 올리면 평균은 [eqn: 10]점이 오른다. [eqn: rarrow] [eqn: {rmE}(X+10)={rmE}(X)+10]

② 각각의 점수를 두 배로 올리면 평균은 두 배가 된다. [eqn: rarrow] [eqn: rm E it (2X)=2 rm E it (X)]

③ 각각의 점수를 [eqn: 10]점씩 올리더라도 분산은 변하지 않는다. (평균도 [eqn: 10]점이 오르므로) [eqn: rarrow] [eqn: rm V it (X+10)= rm V it (X)]

④ 각각의 점수를 두 배로 올리면 분산은 네 배가 된다. (평균과의 간격이 두 배가 되므로) [eqn: rarrow] [eqn: rmV it (2X)=4 rm V it (X)]

12. 사실 약간 엉터리 설명이다. 통계자료와 확률변수는 서로 다르기 때문이다.

①을 제대로 증명해보자. 확률변수 [eqn: aX+b]의 확률분포는 다음과 같다.

[eqn: aX+b]	[eqn: ax_1 +b]	[eqn: ax _{2} +b]	[eqn: cdots]	[eqn: ax _{n} +b]
[eqn: rm P it (aX+b=ax+b)]	[eqn: p_1]	[eqn: p _{2}]	[eqn: cdots]	[eqn: p _{n}]

따라서, [eqn: rm E( it aX+b)= sum _{i=1} ^{n} (ax _{i} +b)p _{i} =a sum _{i=1} ^{n} x _{i} p _{i} +b sum _{i=1} ^{n} p _{i} =a{rmE}(X)+b]

13. 분산은 각자 해보자. ④를 해줄게.

[eqn: rm V( it X)= sum _{i=1} ^{n} (x _{i} -m) ^{2} p _{i} = sum _{i=1} ^{n} x _{i} ^{2} p _{i} -2m sum _{i=1} ^{n} x _{i} p _{i} +m ^{2} sum _{i=1} ^{n} p _{i}]

[eqn: = sum _{i=1} ^{n} x _{i} ^{2} p _{i} -2m ^{2} +m ^{2}= {rmE}(X^2 )-left{{rmE}(X)right}^2]

14. 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]에 대하여 [eqn: X=2Y+3]이고, [eqn: {rmE}(Y)=3], [eqn: {rmE}(Y ^{2} )=14]일 때, [eqn: {rmE}(X)]와 [eqn: {rmE}(X ^{2} )]의 값을 구하여라.

15. 일어날 확률이 [eqn: p]인 시행을 [eqn: n]번 반복할 때, [eqn: X]번 일어난다고 하자.

확률변수 [eqn: X]가 시행횟수 [eqn: n], 성공확률 [eqn: p]인 이항분포를 따른다고 하고 [eqn: X` SIM {rmB}(n,```p)]라 나타낸다.

16. [eqn: X` SIM {rmB}(n,```p)]이면 [eqn: rm P it (X=i)= _{n} rm C it rm _{i} p ^{i} (1-p) ^{n-i}]([eqn: 0 le i le n]인 정수)

[eqn: RARROW] 뭔지 모르겠으면 독립시행 복습해.

17. 주사위 [eqn: 3]개를 던져서 [eqn: 6]의 약수인 눈이 나오는 것의 개수를 [eqn: X]라 하자.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
[eqn: rm P it (X=x)]	[eqn: left({ 1} over { 3}right)^3]	[eqn: ` _{3} rm C it _{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2}]	[eqn: ` _{3} {rmC} _{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} left( {1} over {3} right)]	[eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: RARROW] 이런 경우를 [eqn: X` SIM rm B it left(3,``` { 2} over { 3} right)]라 나타낸다. 평균과 분산도 구해보자.

18. 이항분포의 평균과 분산 : [eqn: X` SIM {rmB}(n,```p)]이면

① [eqn: {rmE}(X)=np]

② [eqn: {rmV}(X)=np(1-p)]

이다. 증명은 귀찮고 안 나오니까 그냥 알려져 있다고 하자. 논술 준비라면 해둘 것.

평균이 [eqn: np]인 것은 삘이 오긴 한다. [eqn: rarrow] 주사위 [eqn: 600]개를 던지면 [eqn: 1]이 몇 개 나올까? 평균적으로 [eqn: 100]개.

통계 내용 정리 [기초강의(2/3)]

[학습목표]

1. 연속확률변수 내용 정리

01. 연속확률변수 [eqn: X] : 확률변수가 연속적인 값을 가질 때,

eg) 길이, 시간 등등

[eqn: rarrow] 이산확률변수처럼 칸으로 나눌 수 없다.

[eqn: rarrow] 연속확률변수는 범위에서 확률을 가진다.

[eqn: rarrow] [eqn: {rmP}(X=k)=0], [eqn: {rmP}(a<X<b)={rmP}(a le X le b)]

02. 연속확률변수 [eqn: X]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: rm P it (a le X le b)=int_a ^b f(x)dx]

를 만족시키면 [eqn: f(x)]를 [eqn: X]의 확률밀도함수라 한다. 이를 [eqn: X simf(x)]라 나타낸다.

03. 어떤 연속확률변수의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]는 다음을 만족시켜야 한다.

(가) [eqn: f(x) ge0]

(나) [eqn: int_-inf ^inf f(x)dx=1]

※ [eqn: f(x) le1]일 필요는 없다. 함숫값이 아니라 넓이가 확률이다. 가로를 좁히면 함숫값은 [eqn: 1]을 넘을 수 있다.

04. [eqn: X sim][eqn: f(x)=ax]([eqn: 0 le x le 2])일 때 다음을 구하여라.

(1) [eqn: a]

(2) [eqn: rm P it (X le1)]

05. 정규분포는 여러 종류의 측정값이 가지는 매우 자연스러운 분포이다.

① 오른쪽 그림과 같이 평균을 중심으로 좌우 대칭의 종모양이다.

[eqn: rarrow] 확률밀도함수가 [eqn: {1} over {sqrt {2pi} sigma} e ^{- {(x-m) ^{2}} over {2sigma ^{2}}}]인데, 어차피 이해 못하니까..

② 연속확률변수 [eqn: X]가 평균 [eqn: m], 표준편차 [eqn: sigma]인 정규분포를 따를 때,

[eqn: X sim{rmN}(m,```sigma^2 )]으로 나타낸다.

06. 표준편차가 커질수록 옆으로 퍼진다.

07. [eqn: X` SIM {rmN}(m _{1} ,``` sigma _{1} ^{2} )], [eqn: Y` SIM {rmN}(m _{2} ,``` sigma _{2} ^{2} )]이면 임의의 실수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: {rmP}(m _{1} le X le m _{1} +k sigma _{1} )={rmP}(m _{2} le Y le m _{2} +k sigma _{2} )]이다.

[eqn: rarrow] 평균에서부터 편차로 몇 칸 떨어졌는지로 확률을 구한다.

08. 평균이 [eqn: 0], 표준편차가 [eqn: 1]인 정규분포를 표준정규분포라 한다.

① 표준정규분포를 따르는 확률변수를 일반적으로 [eqn: Z]로 나타낸다.

② 표준정규분포의 확률값은 문제에서 주어진다.

③ [eqn: rm P it (0 LEQ Z le 1)=0.34], [eqn: rm P it (0 le Z le 2)=0.48] 정도는 예의상 익혀두자.

09. 어느 집단 구성원의 [eqn: rmIQ]는 [eqn: rmN(100,```10 ^{2} )]을 따른다고 한다. 다음을 구하여라.

(단, 확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포를 따를 때, [eqn: rm P it (0 LEQ Z le 1)=0.34], [eqn: rm P it (0 le Z le 2)=0.48]이다.)

(1) [eqn: rm P(IQ ge100)]	(2) [eqn: rmP(IQ le120)]

(3) [eqn: rmP(IQ ge110)]	(4) [eqn: rmP(90<IQ<110)]

(5) [eqn: rmP(80leIQ le110)]	(6) [eqn: rmP(80 leIQ le90)]

10. 어떤 시험 성적의 분포가 [eqn: rm N` LEFT ( 50,```8 ^{2} RIGHT )]일 때, 수험생 [eqn: 500]명 중에서 상위 [eqn: 10]등 이내에 들기 위해서는

몇 점 이상이어야 하는지 구하여라. (단, [eqn: rm P it ` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 2 RIGHT ) =0.48])

11. 확률변수 [eqn: X]에 대하여 평균을 빼고 편차로 나누는 것을 표준화라 한다.

[eqn: rarrow] [eqn: X sim {rmN}(m,```sigma^2 )]일 때, 표준화 친 [eqn: { X-m} over {sigma }]는 표준정규분포 [eqn: {rmN}(0,```1^2 )]을 따른다.

적용법 ① [eqn: {rmN}(m,```sigma^2 )]의 [eqn: k]와 대응되는 표준정규분포에서의 값은 [eqn: { k-m} over {sigma }]이다.

적용법 ② [eqn: X` SIM {rmN}(m,``` sigma ^{2} )]일 때, [eqn: {rmP}(a le X le b)={rmP}` LEFT ( {a-m} over {sigma } le Z le {b-m} over {sigma } RIGHT )]이다.

12. 어느 고등학교에서 학생 몸무게의 분포는 평균이 [eqn: 53rmkg], 표준편차가 [eqn: 6rmkg]인 정규분포를 따른다.

이 학교 학생 중 몸무게가 [eqn: 50rmkg] 이상 [eqn: 65rmkg] 이하인 학생은 전체의 몇 [eqn: %]인지 구하여라.

(단, [eqn: {rmP}` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT ) =0.19], [eqn: {rmP}` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 2 RIGHT ) =0.48])

13. 어느 제과점에서 만든 빵 한 개의 무게는 평균 [eqn: 200rmg], 표준편차 [eqn: rm8g]인 정규분포를 따른다고 한다.

이 제과점에서 만든 빵 한 개의 무게가 [eqn: 210rmg] 이상일 확률을 구하여라. (단, [eqn: rm P it ` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1.25 RIGHT ) =0.4])

14. 어떤 시험 성적의 분포가 평균이 [eqn: 75]점, 표준편차가 [eqn: 9]인 정규분포를 따른다고 한다. 수험생중 상위 [eqn: 10``%]에

들기 위해서는 적어도 몇 점 이상을 받아야 하는지 구하여라. (단, [eqn: {rmP}` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1.28 RIGHT ) =0.4])

15. 이항분포 [eqn: {rmB}(n,```p)]는 [eqn: n]이 충분히 크면 정규분포 [eqn: {rmN}(np,```npq)]로 근사된다. (단, [eqn: q=1-p])

그냥 믿자. 정규분포의 정의라고 착각하는 정도가 좋다. 그러면 정규분포가 자연스럽다는 것도 약간 설명되고..

※ 보통 [eqn: np ge15]이면 근사시키기 충분하다. 표준정규분포표가 주어지면 근사하기 충분하다고 판단할 수 있다.

※ 이항분포가 나왔을 때, 무조건 근사시키다가 망하는 수가 있다.

16. [eqn: 5]지선다 [eqn: 100]문제의 답을 모두 임의로 찍었을 때, 다음을 구하여라.

(1) [eqn: 20]문제의 정답을 맞힐 확률	(2) [eqn: 100]문제의 정답을 맞힐 확률

(3) [eqn: 20SIM24]문제의 정답을 맞힐 확률	(4) [eqn: 28]문제 이상 정답을 맞힐 확률

[eqn: RARROW] 맞힌 문제의 수 [eqn: X]는 [eqn: {rmB} left(100,``` {1 } over {5 }right)]를 따른다. 확률분포표도 대충 잡아보자.

(1)은 [eqn: `_100 {rmC}_20 left( { 1} over { 5}right)^20 left( { 4} over { 5}right)^80], (2)는 [eqn: LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{100}]이다. 둘 다 거의 [eqn: 0]에 가까운 값. 연속확률변수로 근사된다는 개념에서도..

(3), (4)는 시그마로 표현할 수는 있다. 분포를 정규분포 [eqn: {rmN}(20,```4^2 )]으로 근사시킬 수 있으니 여기서 구해보자.

통계 내용 정리 [기초강의(3/3)]

[학습목표]

1. 통계적 추정 내용 정리

01. 표본평균 [eqn: barX]은 [eqn: X]를 몇 개 뽑아서 평균 낸 것이다.

확률변수 [eqn: X]가 다음과 같은 분포를 가진다면, 두 개를 뽑아서 평균 낸 [eqn: barX]의 분포는 오른쪽과 같다. 생각해봐.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 7]
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1/3]	[eqn: 2/3]

[eqn: RARROW]

[eqn: barX]	[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: 7]
[eqn: {rm P }(barX =x)]	[eqn: 1/9]	[eqn: 4/9]	[eqn: 4/9]

02. 위의 예에서 세 개를 뽑아서 평균 낸 [eqn: barX]의 분포는 다음과 같다. 각자 확인.

[eqn: barX]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]
[eqn: {rm P }(barX =x)]	[eqn: 1/27]	[eqn: 6/27]	[eqn: 12/27]	[eqn: 8/27]

03. 표본평균의 평균과 분산 : [eqn: barX]는 다음을 만족한다.

① [eqn: {rmE}(bar{X} )={rmE}(X)]	② [eqn: rm V it ( bar{X} )= {rmV it (X) rm} over {n}]	③ [eqn: sigma ( bar{X} `)= {sigma(X)} over {sqrt {n}}]

04. 증명은 제대로는 안 되니까 받아들여야 한다.

[eqn: rarrow] ①은 살짝 당연하다. 어차피 [eqn: X]를 뽑은 것이니까..?

[eqn: rarrow] ②, ③에 대해서는 일단 [eqn: n]이 커지면 분산이나 표준편차가 작아진다는 것을 감각적으로 느껴보자.

[eqn: rarrow] 여러 개를 뽑아서 평균 내면, 값이 좀 안정된다. 많이 뽑을수록. 이건 동의할 수 있지?

05. 모평균 [eqn: m], 모표준편차 [eqn: sigma]인 모집단에서 추출하면,

① [eqn: {rmE}( bar{X} `)=m],   [eqn: {rmV(} bar{X} `)= {sigma ^{2}} over {n}],   [eqn: sigma( bar{X} `)= {sigma } over {sqrt {n}}]

② 모집단이 정규분포이면 [eqn: barX]는 정규분포를 따른다.

③ 모집단과 관계없이 [eqn: n]이 충분히 크면 [eqn: barX]는 정규분포를 따른다.

[eqn: RARROW] 알려져 있다. 아멘.

06. 어느 공장에서 제품 한 개를 생산하는 데 걸리는 시간은 평균이 [eqn: 200]분, 표준편차가 [eqn: 16]분인

정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산하는 제품 중 임의로 추출한 [eqn: 4]개 제품의 생산 시간의 평균이

[eqn: 196]분 이상일 확률을 구하여라. (단, [eqn: {rm P} ( 0 le Z le 0.5 ) =0.19])

07. 어느 회사에서 생산하는 볼펜의 무게는 평균이 [eqn: 20 \g], 표준편차가 [eqn: 2 \g]인 정규분포를 따른다고 한다.

이 회사에서 생산되는 볼펜을 [eqn: 4]개씩 묶어서 세트 상품을 만들 때, 세트 상품의 무게의 합 [eqn: S]에 대하여

[eqn: rm P ( 78 le it S le 84 )]을 구하여라. (단, [eqn: {rm P} ( 0 le Z le 0.5 ) =0.19], [eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 1)=0.34])

08. [eqn: X SIM rm N it (20,```2 ^{2} )]이면 네 개를 뽑은 것의 합 [eqn: X_1 +X_2 +X_3 +X_4]는 [eqn: 4 barX]이므로 [eqn: rm N it LEFT ( 80,```4 ^{2} RIGHT )]를 따르고

하나를 뽑아서 네 배한 [eqn: 4X]는 [eqn: rm N it LEFT ( 80,```8 ^{2} RIGHT )]을 따른다. (식 [eqn: {rmE}(aX) =a{rmE}(X)]와 [eqn: {rmV}(aX) =a^2{rmV}(X)]에서)

09. 모평균의 추정관련 용어 정리

(1) 모집단 : 조사 대상이 되는 집단 [eqn: rarrow] 모평균 [eqn: m], 모분산 [eqn: sigma^2], 모표준편차 [eqn: sigma]

(2) 표본 : 조사를 위해 추출한 모집단의 일부 [eqn: rarrow] 표본의 크기 [eqn: n], 표본평균 [eqn: barX], 표본분산 [eqn: S^2], 표본표준편차 [eqn: S]

(3) 추정, 신뢰도, 신뢰구간 : 표본평균 [eqn: barx]을 중심으로 모평균 [eqn: m]의 값을 추정한다.

신뢰도 몇%로 모평균은 구간 [eqn: [alpha,```beta]]에 존재한다고 추정할 때, 구간 [eqn: [alpha,```beta]]를 신뢰구간이라 한다.

10. 예시 : 우리나라 사람들 전체의 [eqn: rmIQ] 평균을 알고 싶다.

[eqn: rarrow] 모집단 : 우리나라 사람들,

[eqn: rarrow] 모평균 [eqn: m] : 우리나라 사람들 전체의 [eqn: rmIQ] 평균

임의로 [eqn: 10]명을 뽑아서 [eqn: rmIQ]를 조사했더니 평균이 [eqn: 105], 편차가 [eqn: 10]이었다.

[eqn: rarrow] 표본의 크기 [eqn: n] : [eqn: 10]

[eqn: rarrow] 표본평균 [eqn: barx] : [eqn: 105]

[eqn: rarrow] 표본표준편차 [eqn: s] : [eqn: 10] (이 값은 모표준편차 [eqn: sigma] 대신 사용할 수 있다.)

① 우리나라 사람들 전체의 [eqn: rmIQ] 평균은 [eqn: 105]일꺼야! [eqn: rarrow] 미친놈.

② 우리나라 사람들 전체의 [eqn: rmIQ] 평균은 [eqn: 103]에서 [eqn: 107] 사이에 있을꺼야! [eqn: rarrow] 너무 용감한데?

③ 우리나라 사람들 전체의 [eqn: rmIQ] 평균은 [eqn: 95]에서 [eqn: 115] 사이에 있을꺼야! [eqn: rarrow] 아마도? 믿을만한데?

④ 우리나라 사람들 전체의 [eqn: rmIQ] 평균은 [eqn: 0]에서 [eqn: 210] 사이에 있을꺼야! [eqn: rarrow] [eqn: 100%] 신뢰할 수 있군.

[eqn: rarrow] 신뢰도를 높이려면 신뢰구간을 넓혀야 한다.

11. 모집단이 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]일 때, 크기 [eqn: 3]인 표본을 복원추출/비복원추출하는 경우의 수를 각각 구하여라.

① 복원추출 : 추출할 때마다 모집단을 원 상태로 복원 : [eqn: 5times5times5]

② 비복원추출 : 한 개씩 추출함 : [eqn: 5times4times3]

[eqn: rarrow] 모분포에서의 추출은 모두 복원추출이다.

[eqn: rarrow] 모집단이 충분히 크면 비복원추출도 거의 복원추출 취급할 수 있다.

[eqn: rarrow] 특별한 언급이 없을 때는 복원추출만 고려한다.

12. 표본표준편차는 모표준편차 대신 사용할 수 있다. 그냥 그러려니 하자.

보통 문제에서는 모표준편차가 주어진다. 하지만 일반적으로, 실제로 모표준편차를 알 수는 없다.

※ [eqn: sigma ( bar{X} )= {sigma } over {sqrt {n}}]와 헷갈리면 안 된다. [eqn: {sigma } over {sqrt {n}}]는 표본평균들 사이의 표준편차이다.

13. 신뢰도 [eqn: alpha%]로 모평균 [eqn: m]을 추정한 신뢰구간은 아래와 같다.

[eqn: bar{x} -z _{alpha } {sigma } over {sqrt {n}} le m le bar{x} +z _{alpha } {sigma } over {sqrt {n}}]

※ 신뢰계수 [eqn: z _{alpha}] : 일단 [eqn: 95%]일 때는 [eqn: 1.96], [eqn: 99%]일 때는 [eqn: 2.58] 정도를 눈치껏 쓰자.

14. 어느 과수원에서 생산되는 사과 [eqn: 81]개를 조사하였더니 무게의 평균이 [eqn: 120rmg],

표준편차가 [eqn: 36rmg]이었다. 전체 평균을 신뢰도 [eqn: 99%]로 추정하여라. (단, [eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 2.6)=0.4950])

[eqn: RARROW] [eqn: n=81], [eqn: barx =120], [eqn: s=36(=sigma)], [eqn: z_alpha =2.6]이다.

[eqn: bar{x} -z _{alpha } {sigma } over {sqrt {n}} le m le bar{x} +z _{alpha } {sigma } over {sqrt {n}}]에 대입하면 신뢰구간은 [eqn: [109.6,```130.4]]이다.

15. 추정 식의 [eqn: z _{alpha}]값(신뢰계수)은 신뢰도 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: {rmP}(-z _{alpha} le Z le z _{alpha} )=alpha%]가 되는 값이다.

[eqn: RARROW] [eqn: 95%]일 때는 [eqn: 1.96] 이나 [eqn: 2]쯤 쓰면 된다.

[eqn: RARROW] [eqn: 99%]일 때는 [eqn: 2.58] 이나 [eqn: 2.6] 이나 [eqn: 3]쯤 쓰면 된다.

16. 신뢰구간의 길이는 [eqn: 2z _{alpha} {sigma} over {sqrt {n}}]이다. 신뢰구간의 길이는 좁히고 싶다.

① [eqn: n]을 키우면 신뢰구간은 짧아진다. (좋지만 조사하는 표본을 키우려면 돈이 든다.)

② [eqn: sigma]가 크면 신뢰구간은 길어진다. (모집단이 들쭉날쭉하면 추정이 잘 되지 않는다.)

③ [eqn: alpha](신뢰도)가 크면 신뢰구간은 길어진다. (신뢰도를 확보하려다 보니 보수적으로 말해야 한다.)

※ 오차의 한계 : [eqn: z_alpha { sigma} over { sqrt { n} }]

17. 모표준편차가 [eqn: 3]인 모집단의 모평균에 대한 추정을 하려 한다. 신뢰도 [eqn: 99%]인 신뢰구간의 길이를

[eqn: 3] 이하가 되게 하는 표본의 크기 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라. (단, [eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 2.6)=0.4950])

[eqn: RARROW] [eqn: sigma=3], [eqn: z_alpha =2.6]이다. 신뢰구간의 길이 [eqn: 2z _{alpha } {sigma } over {sqrt {n}} =5.2times {3} over {sqrt {n}}]이 [eqn: 3] 이하가 되어야 한다.