SOOHAN

Pattern Drill | 가무게중심 정리

Pattern Drill

가무게중심 정리

.    .

가무게중심 정리

삼각형 [eqn: rmABC]와 점 [eqn: rmP]에 대하여 등식 [eqn: p{rmvecPA}+q{rmvecPB}+r{rmvecPC}=vec0]가

주어지면 삼각형 [eqn: rmABC]에 대한 점 [eqn: rmP]의 위치를 알 수 있다.

※ 점 [eqn: rmP]의 위치를 안다는 것은 오른쪽 그림에서

[eqn: rmbarBL : barLC], [eqn: rmbarAP :barPL], [eqn: rmbarCM : barMA],

[eqn: rmbarBP :barPM], [eqn: rmbarAN :barNB], [eqn: rmbarCP :barPN]

을 모두 알 수 있다는 의미이다.

준 식을 [eqn: {q} over {q+r} rm vec{PB} it + {r} over {q+r} rm vec{PC} it = {p} over {q+r} rm vec{AP} it] 꼴로 조작하면,

점 [eqn: rmP]는 [eqn: LEFT { 점``` rm A it 와``` rm (BC it 의```r:q```내분점)의```(q+r):p```내분점 RIGHT }]이다.

시소야매) 세 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 각각 무게 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]짜리 추를 올려 놓은 것을 생각하자.

시소 [eqn: rmAB]가 평형을 이루는 받침점 [eqn: rm L]은 선분 [eqn: rmAB]의 [eqn: q:p] 내분점이다.

점 [eqn: rmL]에다 두 추의 합 [eqn: p+q]를 올리자. 점 [eqn: rmP]는 시소 [eqn: rm CL]이 평형을 이루는 받침점이다.

삼각형 [eqn: rmABC]와 삼각형 내부의 점 [eqn: rmP]가 세 양수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: p vec{rmPA} +q vec{rmPB} +r vec{rmPC} = vec{0}]을 만족한다고 하자. 선분 [eqn: rmAP}]의 연장선이 선분 [eqn: rm {BC}]와 만나는 점을 [eqn: rmM]이라 할 때, [eqn: rmbar{BM} : bar{CM}]와 [eqn: rmbarAP :barPM]를 구하여라.

[eqn: p vec{rmPA} +q vec{rmPB} +r vec{rmPC} = vec{0}]에서, [eqn: {q} over {q+r} vec{rmPB}+ {r} over {q+r} vec{rmPC}=- {p} over {q+r} vec{rmPA}]이므로

잘 생각해보면 [eqn: bar{rmBM} : bar{rmCM}=][eqn: r:q], [eqn: bar{rmAP}:bar{rmPM}=][eqn: (q+r):p]이다.

넓이가 [eqn: 14]인 삼각형 [eqn: rm ABC]의 내부의 한 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm 3 vecPA + 2 vec PB + 2 vecPC = vec0]일 때,
삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이를 구하여라.

[eqn: 4]

준 식은 [eqn: rm 3 vec{PA} +2 vec{PB} =2 vec{CP}]에서 [eqn: rm {3} over {5} vec{PA} + {2} over {5} vec{PB} = {2} over {5} vec{CP}]이다.

밑변을 [eqn: rmAB]로 봤을 때, 삼각형 [eqn: rmABC]와 삼각형 [eqn: rmPAB]의 높이의 비는 [eqn: 7:2]이다.

역가무게중심 정리

삼각형 [eqn: rmABC]와 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmP]의 위치가 결정되는

길이 비가 주어지면, [eqn: p{rmvecPA}+q{rmvecPB}+r{rmvecPC}=vec0]이 성립하는

세 실수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]을 찾을 수 있다.

※ 예를 들어 오른쪽 그림에서 [eqn: rmbarBL : barLC]와 [eqn: rmbarAP :barPL]가

주어지면 점 [eqn: rmP]의 위치가 결정된다.

※ 다른 예로 [eqn: rmbarBL : barLC]와 [eqn: rmbarAN :barNB]가 주어져도

점 [eqn: rmP]의 위치가 결정된다.

시소야매가 특히 강력하게 작용한다.

이 내용은 메넬라우스의 정리, 체바의 정리 등을 모두 커버한다.

삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmBC}]를 [eqn: r:q]로 내분하는 점을 [eqn: rmM],
선분 [eqn: {rmAM}]을 [eqn: (q+r):p]로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하자.
이때, [eqn: p vec{rmPA} +q vec{rmPB} +r vec{rmPC} = vec{0}]임을 증명하여라.

1번 문제를 거꾸로 생각하면 된다.

삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmBC}]를 [eqn: r:q]로 내분하는 점을 [eqn: rmM],
선분 [eqn: {rmAM}]을 [eqn: (q+r):p]로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하고,
선분 [eqn: rmPC}]의 연장선이 선분 [eqn: rmAB]와 만나는 점을 [eqn: rmL]이라 하자.
이때, [eqn: rm bar{AL} : bar{BL}]이 [eqn: q:p]임을 보여라. [메넬라우스 정리]

당연

삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmBC}]를 [eqn: r:q]로 내분하는 점을 [eqn: rmM],
선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: q:p]로 내분하는 점을 [eqn: rmL]이라 하자.
그리고 선분 [eqn: {rmAM}]과 선분 [eqn: rmCL]의 교점을 [eqn: rmP]라 할 때,
[eqn: rmbar{AP} : bar{PM}]이 [eqn: (q+r):p]임을 보여라. [메넬라우스 정리]

당연

삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: q:p]로 내분하는 점을 [eqn: rmL],
선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: r:p]로 내분하는 점을 [eqn: rmK]라 하자. 또, 선분 [eqn: {rmBK}]와
선분 [eqn: rmCL]의 교점을 [eqn: rmP]라 하고, 선분 [eqn: rmAP]의 연장선과 선분 [eqn: rmBC]가 만나는 점을 [eqn: rmM]이라 하자. 이때, [eqn: bar{rmBM} : bar{rmCM} =r:q]임을 보여라.
[체바의 정리]

당연

[문제5]의 [체바의 정리]를 [eqn: vec{rmAB}=veca], [eqn: vec{rmAC}=vecb]라 두고 [eqn: vec{rmAM}]을 찾는 방법으로 증명해보자.

[eqn: vec{rmAP]는 [eqn: vec{rmAB]와 [eqn: vec{rmAK]의 내분벡터이므로 [eqn: t vec{a}+(1-t) { r} over {p+r }vecb]라 쓸수 있으며,

동시에 [eqn: vec{rmAL]과 [eqn: vec{rmAC]의 내분벡터이므로 [eqn: { sq} over {p+q } veca +(1-s)vecb]라 쓸 수 있다.

연립해서 풀어, [eqn: s= { p+q} over {p+q+r }], [eqn: t= { q} over {p+q+r }]이다. 따라서 [eqn: vec{rmAP} = { q} over {p+q+r }veca + { r} over {p+q+r }vecb]이다.

[eqn: vec{rmAM]은 [eqn: k vec{rmAP} = { kq} over {p+q+r }veca + { kr} over {p+q+r }vecb]이므로 [eqn: bar{rmBM} : bar{rmCM}=][eqn: r:q]이다.

삼각형 [eqn: rmABC] 내부의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rm{AP}]의 연장선과
선분 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: rmM], 선분 [eqn: rmBP]의 연장선과 선분 [eqn: rmAC]의 교점을
[eqn: rmK], 선분 [eqn: rmCP]의 연장선과 선분 [eqn: rmAB]의 교점을 [eqn: rmL]이라 하자. 이때,
[eqn: rm {bar{PM}} over {bar{AM}} + {bar{PK}} over {bar{BK}} + {bar{PL}} over {bar{CL}} =1]
이 성립함을 증명하여라. [제르곤의 정리]

[eqn: bar{rmBM} :bar{rmCM} =q:r], [eqn: bar{rmAP}:bar{rmPM}=][eqn: (q+r):p]이 되도록 세 양수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]을 잡는 것이 가능하다.

이를 만족하는 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 점 [eqn: rmP]는 [eqn: p vec{rmPA} +q vec{rmPB} +r vec{rmPC }=vec0]를 만족한다.

그리고 어쩌고저쩌고 하면

[eqn: {rm{bar{PM}} over {bar{AM}} + {bar{PK}} over {bar{BK}} + {bar{PL}} over {bar{CL}} }= {p} over {p+q+r} + {q} over {p+q+r} + {r} over {p+q+r} =1]

임을 증명할 수 있다.

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: bar{rmAB} =4], [eqn: bar{rmBC} =5], [eqn: bar{rmCA} =6]이다. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 내심을 [eqn: rmI]라 하고
[eqn: vec{rmAB} = vec{b}], [eqn: vec{rmAC} = vec{c}]라 하자. [eqn: vec{rmAI} =p vec{b} +q vec{c}]로 나타낼 때, 실수 [eqn: p], [eqn: q]의 값을 구하여라.

[eqn: p= {2} over {5}], [eqn: q= {4} over {15}]

가무게중심 정리와 넓이의 분할

세 양수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 등식 [eqn: p{rmvecPA}+q{rmvecPB}+r{rmvecPC}=vec0]가 성립하면

세 삼각형 [eqn: rmPAB], [eqn: rmPBC], [eqn: rmPCA]의 넓이의 비는 [eqn: r:p:q]이다.

※ 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면, 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이는 [eqn: { r} over { p+q+r}S]고..

다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: p:q:r]

(2) [eqn: rmbarAO]를 연장해서 [eqn: rmbarBC]와 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: {rmbarBM} : {rmbarCM} =s_{rmC}:s_{rmB}]이므로

[eqn: rm vec{OP} it = {s _{rm B it}} over {s _{rm B it} +s _{rm C it}} rm vec{OB} it + {s _{rm C it}} over {s _{rm B it} +s _{rm C it}} rm vec{OC}]

이다. (①) 그리고 [eqn: {rmbarAO}:{rmbarOP}=s _{{rmB}} +s _{{rmC}} :s _{{rmA}}]이므로 [eqn: s _{rm A it} rm vec{OA} it =-(s _{rm B it} +s _{rm C it} ) rm vec{OP}]이다.

여기다 ①을 넣고 잘 정리하면 원하는 식이 나온다.

(1) 삼각형 [eqn: rmABC]의 내부에 점 [eqn: rm P]가 있다. 세 양수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여

[eqn: p vec{rm PA it} `+q vec{rm PB it} `+r vec{rm PC it} `= vec{0}]

이 성립할 때, 세 삼각형 [eqn: rm PBC], [eqn: rmPCA], [eqn: rmPAB]의 넓이의 비를 구하여라.

(2) 삼각형 [eqn: rmABC]의 내부에 점 [eqn: rmO]가 있다. 세 삼각형 [eqn: rmOBC], [eqn: rmOCA], [eqn: rmOAB]의 넓이를
각각 [eqn: s_{rmA}], [eqn: s_{rmB}], [eqn: s_{rmC}]라 하면, [eqn: s _{rm A it} rm vec{OA} it +s _{rm B it} rm vec{OB} it +s _{rm C it} rm vec{OC} it = vec{0}]가 성립함을 증명하여라.

삼각형 [eqn: rmABC]의 내부의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm4 vec{AP} +3 vec{BP} +2 vec{CP} = vec{0}]이고
삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 90]일 때, 삼각형 [eqn: rmBCP]의 넓이는?

③

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라 하자. 점 [eqn: rmP]가
[eqn: rm vecAP +3vecBP +4vecCP =3vecCG]
를 만족시킬 때, 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이의 [eqn: k]배이다. 실수 [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 3over5]	⑤ [eqn: 4over5]

삼각형 [eqn: rmABC]와 무게중심 [eqn: rmG], 내심 [eqn: rmI], 외심 [eqn: rmO]에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

[eqn: rmABP], [eqn: rmBCP], [eqn: rmCA P]의 넓이의 비를 이용하여 증명해보자.

(1) [eqn: {vec{rmGA}}+{vec{rmGB}}+{vec{rm{GC}}=vec0]

(2) [eqn: a cdot vec{rm IA it} +b cdot vec{rm IB it} +c cdot vec{rm IC it} = vec{0}] ([eqn: {rmbarAB }=c], [eqn: rm bar{BC} it =a], [eqn: rm bar{CA} it =b])

(3) [eqn: sin2rmA CDOT vec{rm OA it} +sin2rmB CDOT vec{rm OB it} +sin2rmC CDOT vec{rm OC it} = vec{0}]

[eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: bar{rmBC} =a], [eqn: bar{rmCA} =b], [eqn: bar{rmAB} =c]이다. [eqn: △rmABC]의 내심을 [eqn: rmI]라 하고 [eqn: vec{rmAB} = vec{b}], [eqn: vec{rmAC} = vec{c}]라고
하자.
[eqn: vec{rmAI} =p vec{b} +q vec{c}]
로 나타낼 때, 실수 [eqn: p], [eqn: q]의 값을 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 이용하여 나타내어라.

[eqn: p=][eqn: { b } over {a+b+c }], [eqn: q=][eqn: {c} over {a+b+c}]

한 변의 길이가 [eqn: 18]인 정삼각형 [eqn: rmABC]의 내부에 점 [eqn: rmP]가 있다. 세 삼각형 [eqn: rmPAB], [eqn: rmPBC], [eqn: rmPCA]의
넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3}]라 하면 [eqn: S _{1} :S _{2} :S _{3} =4:2:3]이다. 선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmM], 점 [eqn: rmP]에서
선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ], 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmBM]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR]이라 할 때,
[eqn: rm bar{PQ} times barPR]의 값은?

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 6sqrt { 3}]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 8sqrt { 3}]

[2019학년도 수능 19번] 한 변의 길이가 [eqn: 12]인 정삼각형 [eqn: rmBCD]를 한 면으로 하는 사면체
[eqn: rmABCD]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: rmBCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, 점 [eqn: rmH]는 삼각형 [eqn: rmBCD]의
내부에 놓여 있다. 삼각형 [eqn: rmCDH]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmBCH]의 넓이의 [eqn: 3]배, 삼각형 [eqn: rmDBH]의 넓이는
삼각형 [eqn: rmBCH]의 넓이의 [eqn: 2]배이고 [eqn: rmbarAH =3]이다. 선분 [eqn: rmBD]의 중점을 [eqn: rmM], 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmCM]에 내린
수선의 발을 [eqn: rmQ]라 할 때, 선분 [eqn: rmAQ]의 길이는?

③

① [eqn: sqrt { 11}]	② [eqn: 2sqrt { 3}]	③ [eqn: sqrt { 13}]

④ [eqn: sqrt {14}]	⑤ [eqn: sqrt {15]

한 변의 길이가 [eqn: 12]인 정삼각형 [eqn: rmABC]를 한 면으로 하는 사면체 [eqn: rmPABC]가 있다.
두 면 [eqn: rmPBC]와 [eqn: rmABC]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan theta = {1} over {2}]이고, 세 삼각형 [eqn: rmPAB], [eqn: rmPBC], [eqn: rmPCA]의
넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3}]라 하면 [eqn: S _{1} :S _{2} :S _{3} =1:2:1]이다. [eqn: S _{2}]의 값은?

③

① [eqn: 6sqrt { 15}]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 12 sqrt { 15}]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 24 sqrt {5}]

한 변의 길이가 [eqn: 12]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]를 한 면으로 하는 사면체 [eqn: rm OABC]의 꼭짓점 [eqn: rm O]에서
평면 [eqn: rmABC]에 내린 수선의 발 [eqn: rmH]는 삼각형 [eqn: rmABC]의 내부에 놓여 있다. 점 [eqn: rm O]에서
세 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라 할 때,
[eqn: rm bar{HP} :barHQ : barHR =3:1:2]이고 [eqn: rm bar{OR} =2 sqrt {6}]이다. 선분 [eqn: rm OB]의 길이는?

④

① [eqn: 4 sqrt {3}]	② [eqn: 3 sqrt {6}]	③ [eqn: 2 sqrt {15}]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 6 sqrt {2}]