[ J ]	ApodeixiS 정의/정리/증명집 공간도형

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	APODEIXIS [공간도형]

[공간도형 용어의 정의] (1) 평면의 결정조건 (2) 서로 다른 두 직선의 위치관계 (3) 직선과 평면의 위치관계 (4) 교선 (5) 서로 다른 두 평면의 위치관계 (6) 두 직선이 이루는 각 (7) 직선과 평면이 이루는 각 (8) 직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha]가 서로 수직이다. (9) 이면각, 이면각의 변, 이면각의 면, 이면각의 크기 (10) 정사영 (11) 좌표공간

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001. 직선 [eqn: l]이 평면 [eqn: alpha]에 속하는 서로 평행하지 않은 두 직선 [eqn: m], [eqn: n]과 수직이면 직선 [eqn: l]은 평면 [eqn: alpha]와 수직임을 증명하여라. 평면 위의 임의의 직선을 [eqn: k]라 하고 네 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n], [eqn: k]의 교점을 [eqn: rmO]라 하자. (이 경우를 증명하는 것으로 충분하다.) 직선 [eqn: l] 위에 [eqn: rmbarOP =barOP']인 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmP']를 잡자. 평면 [eqn: alpha] 위의 [eqn: rmO]를 지나지 않는 한 직선을 [eqn: a]라 하고, 직선 [eqn: a]와 세 직선 [eqn: m], [eqn: n], [eqn: k]의 교점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하자. [eqn: l]과 [eqn: m]이 선분 [eqn: rmPP']의 수직이등분선이므로 [eqn: rmbarAP =barAP'], [eqn: rm bar{BP} = bar{BP prime }]이다. [eqn: RARROW] [eqn: rmtrianglePAB ==triangleP'AB] [eqn: RARROW] [eqn: rmanglePAB =angleP'AB] [eqn: RARROW] [eqn: rm TRIANGLE PAC == TRIANGLE P prime AC] [eqn: rmtrianglePP'C]가 이등변 삼각형이고 점 [eqn: rmO]가 선분 [eqn: rmPP']의 중점이므로 [eqn: rmPP'botOC]이다. [직선과 평면의 수직성] .
002. 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 한 점 [eqn: rmP], [eqn: alpha] 위에 있는 한 직선 [eqn: l], [eqn: l] 위에 있지 않은 [eqn: alpha] 위의 한 점 [eqn: rmO], [eqn: l] 위의 한 점 [eqn: rmH]에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라. (1) [eqn: {rmPO} BOT alpha]이므로 [eqn: {rm PO it} BOT l]이다. [eqn: {rm PO it} BOT l]과 [eqn: {rmOH} bot l]에서 [eqn: {rmtrianglePOH} botl]이다. 따라서 [eqn: {rmPH} bot l]이다. (2) [eqn: {rmPO} BOT alpha]이므로 [eqn: rm PO it} BOT l]이다. [eqn: {rm PO it} BOT l]과 [eqn: {rmPH} bot l]에서 [eqn: {rmtrianglePOH} botl]이다. 따라서 [eqn: {rmOH} bot l]이다. (3) [eqn: {rmPH} bot l]과 [eqn: {rmOH} bot l]에서 [eqn: {rmtrianglePOH} botl]이다. 따라서 [eqn: {rm PO it} BOT l]이다. [eqn: rm PO it} BOT l]이고 [eqn: rm {PO} BOT {OH}]이므로 [eqn: rmPO} BOT alpha]이다. (1) [eqn: {rm PO it} BOT alpha], [eqn: {rmOH} bot l]이면 [eqn: {rmPH} bot l] (2) [eqn: {rm PO it} BOT alpha], [eqn: {rmPH} bot l]이면 [eqn: {rmOH} bot l] (3) [eqn: {rmPH} bot l], [eqn: {rmOH} bot l], [eqn: rm {PO} BOT {OH}]이면 [eqn: {rm PO it} BOT alpha] [삼수선의 정리] .

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003. 평면 [eqn: alpha]와 선분 [eqn: l]이 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]이고 선분 [eqn: l]의 길이가 [eqn: |l|]일 때, [eqn: l]의 [eqn: alpha]에 대한 정사영의 길이는 [eqn: |l| costheta]임을 설명하여라. 대충 그려보자. [정사영의 길이] .
004. 평면 도형 [eqn: S]가 평면 [eqn: beta] 위에 존재하고 평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: beta]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]이다. 도형 [eqn: S]의 넓이가 [eqn: |S|]일 때, [eqn: S]의 [eqn: alpha]에 대한 정사영의 넓이는 [eqn: |S|cos theta]임을 설명하여라. 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]의 교선을 [eqn: x]축이라 하자. [eqn: x]축에 수직인 평면으로 잘랐을 때, [eqn: S]의 정사영을 자른 선분의 길이 [eqn: m(x)]는 [eqn: S]를 자른 선분의 길이 [eqn: l(x)]의 [eqn: costheta]배이다. [eqn: |S|= int _{D} ^{} {} l(x)dx]이고 정사영의 넓이는 [eqn: int _{D} ^{} {} l(x)dx= int _{D} ^{} {} m(x)dx= int _{D} ^{} {} LEFT { l(x) TIMES cos theta RIGHT } dx=|S|cos theta]이다. ※ 교과서에는 교선을 밑변으로 하는 삼각형의 경우에만 증명되어 있다. [정사영의 넓이] .

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005. 좌표공간의 두 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} ,```z _{1} )], [eqn: (x _{2} ,```y _{2} ,```z _{2} )] 사이의 거리는 [eqn: sqrt {(x _{1} -x _{2} ) ^{2} +(y _{1} -y _{2} ) ^{2} +(z _{1} -z _{2} ) ^{2}}] 임을 보여라. 세 변의 길이가 [eqn: |x _{1} -x _{2} |], [eqn: |y _{1} -y _{2} |], [eqn: |z _{1} -z _{2} |]인 직육면체의 대각선의 길이이다. [좌표공간의 두 점 사이의 거리] .
006. 좌표공간의 두 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} ,```z _{1} )], [eqn: (x _{2} ,```y _{2} ,```z _{2} )]을 [eqn: m:n]으로 내분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {mx _{2} +nx _{1}} over {m+n} ,`` {my _{2} +ny _{1}} over {m+n} ,``` {mz _{2} +nz _{1}} over {m+n} right)` RIGHT .] 임을 보여라. 점의 [eqn: x]값, [eqn: y]값, [eqn: z]값을 각각 [eqn: m:n]으로 내분한 값들을 좌표로 가지는 점이다. [내분점] .

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007. 중심이 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} ,```z _{1} )]이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구의 방정식은 [eqn: (x-x_1 )^2 +(y-y_1 )^2 +(z-z_1 )^2 =r^2] 임을 보여라. 구 위의 점 [eqn: (x,```y,```z)]에서 구의 중심 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} ,```z _{1} )]까지의 거리가 반지름의 길이인 [eqn: r]이므로 [구의 방정식] .
008. 구 [eqn: (x-x_1 )^2 +(y-y_1 )^2 +(z-z_1 )^2 =r^2]에 대한 다음의 사실들을 설명하여라. (1) 중심이 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]이고, 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원이 된다. (2) 교선이므로 두 식을 연립하면 된다. ※ 중심이 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )], 반지름의 길이가 [eqn: sqrt { r^2 -z_1 ^{```2}]인 원이 된다. (1) [eqn: xy]평면에 내린 정사영의 방정식은 [eqn: (x-x_1 )^2 +(y-y_1 )^2 =r^2]이다. (2) [eqn: xy]평면과의 교선의 방정식은 [eqn: (x-x_1 )^2 +(y-y_1 )^2 =r^2 -z_1 ^{```2}]이다. [구의 정사영/구와 평면과의 교선] .