[ J ]	ApodeixiS 정의/정리/증명집 평면벡터

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	APODEIXIS [평면벡터]

[평면 벡터 용어의 정의] (1) 벡터 (시점, 종점, 상동) (2) 벡터의 크기 (3) 단위벡터 (4) 영벡터 (5) 벡터의 덧셈과 뺄셈 (6) 벡터의 실수배 (7) 위치벡터 (8) 벡터의 성분 (9) 벡터의 내적

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001. 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]에 대하여 다음을 설명하여라. (1) [eqn: rm (vec{AB} +vecBC )+vecCD = vecAC +vecCD =vecAD] (2) [eqn: rm vecOB +(-vecOA )=vecOB +vecAO =vecAO +vecOB =vecAB] (1) [eqn: rm vec{AB} `+ vec{BC} `+ vec{CD} `= vec{AD}] (2) [eqn: rm vec{OB} `- vec{OA} `= vec{AB}] [벡터의 덧셈과 뺄셈] .
002. 벡터의 연산에 대한 다음 사실들이 성립함을 설명하여라. (1) 평행사변형을 그려서 (2) 평행육면체의 겨냥도(?)를 그려서 (4) 평행사변형의 닮음으로 (1) [eqn: vec{a} +vecb `=vecb +veca] (2) [eqn: (veca +vecb )+vecc `=veca +(vecb `+vecc )] (3) [eqn: k(l vec{a})=(kl)veca] (4) [eqn: (k+l)veca =k veca +l veca] (5) [eqn: k(veca +vecb )=k veca +k vecb] [벡터 연산의 성질] .

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003. 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 다음이 성립함을 설명하여라. 실수배의 정의에 의해 [eqn: veca ⫽ vecb] [eqn: LRARROW] [eqn: vecb = k veca] (단, [eqn: k!=0]인 실수) [벡터의 평행] .
004. 평면 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 위치벡터를 각각 [eqn: veca], [eqn: vecb]라 하고, 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: m:n]으로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 위치벡터를 [eqn: vecp], 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: m:n]으로 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 위치벡터를 [eqn: vecq]라 할 때, 다음을 증명하여라. (1) [eqn: {rmvecAP}= {m } over {m+n }(vecb -veca )]이므로 [eqn: {rmvecOP}={rmvecOA}+{rmvecAP} =veca + { m} over {m+n }(vecb -veca )] (2) [eqn: rm vec{AP} it = {m} over {m-n} ( vec{b} - vec{a} )]이므로 [eqn: rm vec{OP} it = rm vec{OA} it + rm vec{AP} it = vec{a} + {m} over {m-n} ( vec{b} - vec{a} )] (1) [eqn: vecp =][eqn: { n} over {m+n }veca + { m} over {m+n }vecb] (2) [eqn: vec{q}=- {n} over {m-n} vec{a} + {m} over {m-n} vec{b}] [내분/외분점의 위치벡터] .

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005. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라고 할 때, [eqn: {1} over {3} rm vec{OA} + {1} over {3} vec{OB} + {1} over {3} vec{OC} =vecOG] 임을 증명하여라. 선분 [eqn: {rmBC}]의 중점을 [eqn: rmD]라 하면, [eqn: rm vec{OD} = {1} over {2} vec{OB} + {1} over {2} vec{OC}]이다. [eqn: rmG]는 선분 [eqn: rmAD]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로 [eqn: rm vec{OG} = {1} over {3} vec{OA} + {2} over {3} vec{OD} = {1} over {3} vec{OA} + {2} over {3} LEFT ( {1} over {2} vec{OB} + {1} over {2} vecOC RIGHT ) = {1} over {3} vec{OA} + {1} over {3} vec{OC} + {1} over {3} vec{OC}] [삼각형의 무게중심] .
006. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라고 할 때, [eqn: rmvecGA +vecGB +vecGC =vec0] 임을 증명하여라. 위의 [eqn: {1} over {3} rm vec{OA} + {1} over {3} vec{OB} + {1} over {3} vec{OC} =vecOG]에서 [eqn: rmO]를 [eqn: rmG]로 취할 수 있다. [삼각형의 무게중심] .

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007. [eqn: rmtriangleABC]에서 [eqn: p{rmvecPA}+q{rmvecPB}+r{rmvecPC}=vec0]일 때, [eqn: TRIANGLE rm PAB it : TRIANGLE rm PBC it : TRIANGLE rm PCA it =r:p:q]임을 증명하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]은 양의 실수) [eqn: {p} over {p+q} rm vec{PA} it + {q} over {p+q} rm vec{PB} it = {r} over {p+q} rm vec{CP} it]에서부터 선분 [eqn: rmAB]의 [eqn: q:p] 내분점을 [eqn: rmD]라 하면, 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rm CD]의 [eqn: (p+q):r] 내분점이다. 따라서 [eqn: TRIANGLE rm PAB it]의 넓이는 [eqn: rmtriangleABC]의 [eqn: {r} over {p+q+r}]배이다. [가무게중심정리] .
008. 두 벡터 [eqn: veca =(a_1 ,```a_2 )], [eqn: vecb =(b_1 ,```b_2 )]와 실수 [eqn: k]에 대하여 다음이 성립함을 설명하여라. 그림 잘 그려보자. (1) [eqn: |veca |= sqrt { a_1 ^2 +a_2 ^2}] (2) [eqn: veca =vecb] [eqn: LRARROW] [eqn: a_1 =b_1], [eqn: a_2 =b_2] (3) [eqn: veca +vecb =(a_1 +b_1 ,```a_2 +b_2 )] (4) [eqn: vec{a} - vec{b} =(a _{1} -b _{1} ,```a _{2} -b _{2} )] (5) [eqn: k veca =(ka_1 ,```ka_2 )] [성분과 벡터 연산] .

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009. 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]와 실수 [eqn: k]에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라. (3) ① 성분으로 ② 내적의 기하적 의미에 의해 (1) [eqn: veca cdot vecb =vecb cdot veca] (2) [eqn: veca cdot(k vecb )=k (veca cdot vecb )] (3) [eqn: vec{a} CDOT ( vec{b} `+ vec{c} )= vec{a} CDOT vec{b} `+ vec{a} CDOT vec{c}] (4) [eqn: |veca |^2 =veca cdot veca] [내적 연산의 성질] .
010. 두 평면벡터 [eqn: veca ``=(a_1 ,```a_2 )], [eqn: vecb``=(b_1`,```b_2 )]에 대하여 [eqn: veca cdot vecb ``=a_1 b_1 +a_2 b_2]임을 증명하여라. ① [eqn: | vec{a} | =sqrt {a_1 ^2 +a_2 ^2 }], [eqn: |vecb |= sqrt { b_1 ^2 +b_2 ^2}], [eqn: cos theta = {| vec{a} | ^{2} +| vec{b} | ^{2} -| vec{a} - vec{b} | ^{2}} over {2| vec{a} || vec{b} |}][eqn: = {(a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2} )+(b _{1} ^{2} +b _{2} ^{2} )-left{(a _{1} -b _{1} ) ^{2} +(a _{2} -b _{2} ) ^{2} right}} over {2 sqrt {a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2}} sqrt {b _{1} ^{2} +b _{2} ^{2}}}][eqn: = {a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2}} over {sqrt {a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2}} sqrt {b _{1} ^{2} +b _{2} ^{2}}}] ② [eqn: (a _{1} ,```a _{2} ) CDOT (b _{1} ,```b _{2} )= LEFT { (a _{1} ,```0)+(0,```a _{2} ) RIGHT } CDOT LEFT { (b _{1} ,```0)+(0,```b _{2} ) RIGHT }# ````````````````````````````````````````````````````````````````=(a _{1} ,```0) CDOT (b _{1} ,```0)+(a _{1} ,```0) CDOT (0,```b _{2} )+(0,```a _{2} ) CDOT (b _{1} ,```0)+(0,```a _{2} ) CDOT (0,```b _{2} )# ````````````````````````````````````````````````````````````````=(a _{1} ,```0) CDOT (b _{1} ,```0)+(0,```a _{2} ) CDOT (0,```b _{2} )# ````````````````````````````````````````````````````````````````=a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2}] [성분으로 주어진 벡터의 내적] .

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011. [eqn: veca `=(a_1 ,```a_ 2 )], [eqn: vecb `=(b_1 ,```b_2 )]일 때, 다음을 설명하여라. (1) 기울기가 같다. [eqn: LRARROW] 벡터의 실수배가 성립한다. (2) 기울기의 곱이 [eqn: -1]이다. [eqn: LRARROW] 내적이 [eqn: 0]이다. (1) [eqn: vec{a} ⫽ vec{b}] [eqn: RARROW] [eqn: { a_2} over { a_1}= { b_2} over {b_1 }] [eqn: RARROW] [eqn: cases{ ka_1 =b_1 # ka_2 =b_2 }] [eqn: RARROW] [eqn: k(a_1 ,```a_2 )=(b_1`,```b_2 )] [eqn: RARROW] [eqn: k veca =vecb] (2) [eqn: veca BOT vecb] [eqn: RARROW] [eqn: { a_2} over { a_1} cdot { b_2} over { b_1}=-1] [eqn: RARROW] [eqn: a_1 b_1 +a_2 b_2 =0] [평행과 수직] .