[ J ]	ApodeixiS 정의/정리/증명집 이차곡선

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	APODEIXIS [이차곡선]

[이차곡선 용어의 정의] (1) 포물선 (초점, 준선) (2) 포물선의 꼭짓점, 축 (3) 타원 (초점) (4) 타원의 중심, 장축, 단축, 꼭짓점 (5) 쌍곡선 (초점) (6) 쌍곡선의 중심, 주축, 꼭짓점, 점근선

	APODEIXIS [이차곡선]

001. 초점이 [eqn: (p,```0)], 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선의 방정식은 [eqn: y^2 =4px]임을 증명하여라. [eqn: sqrt { (x-p)^2 +y^2} =|x+p|]를 제곱해서 정리. [포물선의 방정식] .
002. 두 점 [eqn: (c,```0)], [eqn: (-c,```0)]을 초점으로 하고 거리의 합이 [eqn: 2a]인 타원의 방정식은 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1]임을 증명하여라. (단, [eqn: b^2 =a^2 -c^2]) [eqn: sqrt { (x-c)^2 +y^2}+ sqrt { (x+c)^2 +y^2} =2a]를 두 번 제곱하면서 정리. [타원의 방정식] .

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003. 타원 [eqn: { x^2} over { a^2}+ { y^2} over {b^2 }=1]의 두 초점이 [eqn: (c,```0)], [eqn: (-c,```0)]이면 [eqn: c ^{2} =a ^{2} -b ^{2}]임을 증명하여라. 타원 위의 점 [eqn: (0,```b)]에서 두 초점에 이르는 거리가 서로 같으므로 [eqn: (c,```0)]과 [eqn: (0,```b)] 사이의 거리는 [eqn: a]이다. [타원의 초점 사이의 거리] .
004. 두 점 [eqn: (c,```0)], [eqn: (-c,```0)]을 초점으로 하고 거리의 차가 [eqn: 2a]인 쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]임을 증명하여라. (단, [eqn: b ^{2} =c ^{2} -a ^{2}]) [eqn: | sqrt {(x-c) ^{2} +y ^{2}} - sqrt {(x+c) ^{2} +y ^{2}} |=2a]를 두 번 제곱하면서 정리. [쌍곡선의 방정식] .

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005. 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 두 점근선은 [eqn: y=+- {b} over {a} x]임을 설명하여라. (제1사분면 방향에서) 쌍곡선 위의 점은 [eqn: y=b sqrt {{x ^{2}} over {a ^{2}} -1}]이다. [eqn: y=mx+n]이 점근선이면 [eqn: lim _{x->inf} left{b sqrt {{x ^{2}} over {a ^{2}} -1} -(mx+n)right}=0]을 만족해야 한다. 유리화 하고 열심히 풀어보면 [eqn: m= {b} over {a}], [eqn: n=0]이다. [쌍곡선의 점근선] .
006. 다음을 증명하여라. (1) 곡선 [eqn: y ^{2} =4px]에서 음함수 미분 때리면 [eqn: 2yy'=4p]에서 [eqn: y'= {2p} over {y}]이므로 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {2p} over {y _{1}}]이다. 구하는 직선의 방정식은 [eqn: y= {2p} over {y _{1}} (x-x _{1} )+y _{1}]이다. (2) (1)과 같은 방식으로. (3) (1)과 같은 방식으로. (1) 포물선 [eqn: y ^{2} =4px] 위의 점 [eqn: (x_1 ,```y_1 )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y _{1} y=2px+2px _{1}]이다. (2) 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점 [eqn: (x_1 ,```y_1 )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} + {y _{1} y} over {b ^{2}} =1]이다. (3) 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점 [eqn: (x_1 ,```y_1 )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} - {y _{1} y} over {b ^{2}} =1]이다. [이차곡선 위의 점에서의 접선] .

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007. 다음을 증명하여라. (1) 포물선 [eqn: y ^{2} =4px]에 접하는 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식을 [eqn: y=mx+b]라 하자. 직선과 포물선의 교점이 한 개여야 하므로 연립하여 얻을 수 있는 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: (mx+b) ^{2} =4px]의 판별식이 [eqn: 0]이 되어야 한다. 풀어보면 [eqn: b= {p} over {m}]이다. (2) (1)과 같은 방식으로. (3) (1)과 같은 방식으로. (1) 포물선 [eqn: y ^{2} =4px]에 접하는 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은 [eqn: y=mx+ {p} over {m}]이다. (2) 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 접하는 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은 [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} `+b ^{2} }]이다. (3) 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 접하는 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은 [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} -b ^{2} }]이다. [기울기가 주어진 이차곡선의 접선] .