	급수

001 |

다음 급수를 계산하여라.

(1) [eqn: {r(1-r ^{n} )} over {(1-r) ^{2}} - {nr ^{n+1}} over {1-r}]

[eqn: S= sum _{k=1} ^{n} kr ^{k}]라 할 때, [eqn: S-rS]를 계산한다.

(2) [eqn: {2r(1-r ^{n} )} over {(1-r) ^{2}} - {(2n-1)r ^{n+1} +r} over {1-r}]

[eqn: T= sum _{k=1} ^{n} (2k-1)r ^{k}]라 하면, [eqn: T=2S- sum _{k=1} ^{n} r ^{k}]이다.

(3) [eqn: {2r(1-r ^{n} )} over {(1-r) ^{3}} - {(2n-1)r ^{n+1} +r} over {(1-r) ^{2}} - {n ^{2} r ^{n+1}} over {1-r}]

[eqn: U= sum _{k=1} ^{n} k ^{2} r ^{k}]라 하면, [eqn: U-rU=T-n ^{2} r ^{n+1}]이다.

(1) [eqn: sum _{k=1} ^{n} kr ^{k}]

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} (2k-1)r ^{k}]

(3) [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} r ^{k}]

002 |

다음 급수를 계산하여라.

(1) [eqn: {n} over {n+1}]	(2) [eqn: {1} over {2} left( {3} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} right)]

(3) [eqn: {n} over {2n+1}]	(4) [eqn: {1} over {2} LEFT {} {1} over {2} - {1} over {(n+1)(n+2)} RIGHT }]

(1) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+1)}]

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+2)}]

(3) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {(2k-1)(2k+1)}]

(4) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+1)(k+2)}]

	급수

003 |

다음 급수를 계산하여라.

(1) [eqn: sqrt { n+1}-1]

(2) [eqn: { sqrt { n+2}+ sqrt { n+1} -1-sqrt { 2} } over {2 }]

(3) [eqn: 1- { 1} over { sqrt { n+1} }]   [eqn: {1} over {(k+1) sqrt {k} +k sqrt {k+1}} = {1} over {sqrt {k(k+1)}} LEFT ( {1} over {sqrt {k} + sqrt {k+1}} RIGHT ) = {sqrt {k+1} - sqrt {k}} over {sqrt {k(k+1)}} = {1} over {sqrt {k}} - {1} over {sqrt {k+1}}]

(1) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {k+1} + sqrt {k}}]

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {k+2} + sqrt {k}}]

(3) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {(k+1) sqrt {k} +k sqrt {k+1}}]

004 |

수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 일반항이 [eqn: a _{n} =(1+ sqrt {n} )(1+ sqrt {n+1} )( sqrt {n} + sqrt {n+1} )]일 때, [eqn: sum_k=1 ^n { 1} over {a_k }]는?

[eqn: { 1} over {1+ sqrt { n+1} }- { 1} over { 2}]

[eqn: {1} over {(1+ sqrt {k} )(1+ sqrt {k+1} )( sqrt {k} + sqrt {k+1} )} = {sqrt {k+1} - sqrt {k}} over {(1+ sqrt {k} )(1+ sqrt {k+1} )} = {1} over {1+ sqrt {k}} - {1} over {1+ sqrt {k+1}}]

	급수

005 |

다음 급수를 계산하여라.

(1) [eqn: 1- {1} over {(n+1)!}]   [eqn: {1} over {(k+1)(k-1)!} = {k} over {(k+1)!} = {k+1-1} over {(k+1)!} = {1} over {k!} - {1} over {(k+1)!}]

(2) [eqn: (n+1)!-1]   [eqn: k TIMES k! = (k+1-1)k! =(k+1)! -k!]

(3) [eqn: n(n+1)!]   [eqn: (k ^{2} +1)k! = left{k(k+1)-(k-1)right}k! =k(k+1)!-(k-1)k!]

(4) [eqn: (n+1)(n+1)!-1]   [eqn: (k ^{2} +k+1)k! =left{(k+1)^2 -k right} k! =(k+1)times(k+1)!-k timesk!]

(5) [eqn: {1} over {2} LEFT ( 1- {1} over {1 CDOT 3 CDOT 5 CDOTS (2k+1)} right) RIGHT .]

[eqn: LEFT . {k} over {1 CDOT 3 CDOTS (2k+1)} = {1} over {2} TIMES {(2k+1)-1} over {1 CDOT 3 CDOTS (2k+1)} = {1} over {2} LEFT ( {1} over {1 CDOT 3 CDOTS (2k-1)} - {1} over {1 CDOT 3 CDOTS (2k+1)} RIGHT ) RIGHT }]

(1) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {(k+1)(k-1)!}]

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} left{k timesk! right}]

(3) [eqn: sum _{k=1} ^{n} (k ^{2} +1)k!]

(4) [eqn: sum _{k=1} ^{n} (k ^{2} +k+1)k!]

(5) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {1 CDOT 3 CDOT 5 CDOTS (2k+1)}]

006 |

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} {n+2} over {n!+(n+1)!+(n+2)!}]의 값을 구하여라. [연세2020]

[eqn: 1over2]

[eqn: {n+2} over {n!+(n+1)!+(n+2)!} = {n+2} over {n!(n+2) ^{2}} = {1} over {(n+2)n!} = {n+2-1} over {(n+2)!} = {1} over {(n+1)!} - {1} over {(n+2)!}]

	급수

007 |

다음 급수의 값을 구하여라.

(1) [eqn: {1} over {2} - {1} over {n(n+1)+2}]

[eqn: {2k} over {k ^{4} +3k ^{2} +4} = {2k} over {(k ^{2} +2) ^{2} -k ^{2}} = {2k} over {(k ^{2} +k+2)(k ^{2} -k+2)}]

[eqn: = {1} over {k ^{2} -k+2} - {1} over {k ^{2} +k+2} = {1} over {(k-1)k+2} - {1} over {k(k+1)+2}]

(2) [eqn: {1} over {4} LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n ^{2} +1} - {1} over {(n+1) ^{2} +1} right) RIGHT .]

[eqn: {k} over {k ^{4} +4} = {k} over {(k ^{2} +2) ^{2} -4k ^{2}} = {k} over {(k ^{2} +2k+2)(k ^{2} -2k+2)}]

[eqn: = {1} over {4} LEFT ( {1} over {k ^{2} -2k+2} - {1} over {k ^{2} +2k+2} RIGHT ) = {1} over {4} LEFT ( {1} over {(k-1) ^{2} +1} - {1} over {(k+1) ^{2} +1} RIGHT )]

(1) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {2k} over {k ^{4} +3k ^{2} +4}]

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {k ^{4} +4}]

008 |

[eqn: f_1 =1], [eqn: f_2 =1]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f_n+2 =f_n +f_n+1]을 만족시키는

수열 [eqn: left{f_n right}]에 대하여 다음 급수를 간단히 하여라.

(1) [eqn: f_n+2 -1]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} f _{k} = sum_k=1 ^n (f_k+2 -f_k+1 )=f_n+2 -f_2]

(2) [eqn: f_2n+1 -1]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} f _{2k}=sum_k=1 ^n (f_2k+1 -f_2k-1 ) =f_2n+1 -f_1]

(3) [eqn: f_n f_n+1 -1]

[eqn: sum _{k=2} ^{n} f _{k} ^{```2} = sum _{k=2} ^{n} f _{k} (f _{k+1} -f _{k-1} )= sum _{k=2} ^{n} (f _{k} f _{k+1} -f _{k-1} f _{k} )]

(1) [eqn: sum _{k=1} ^{n} f _{k}]

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} f _{2k}]

(3) [eqn: sum _{k=2} ^{n} f _{k} ^{```2}]

	급수

009 |

[eqn: f_1 =1], [eqn: f_2 =1]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f_n+2 =f_n +f_n+1]을 만족시키는

수열 [eqn: left{f_n right}]에 대하여 다음 급수를 간단히 하여라.

(1) [eqn: 2- {1} over {f _{n}} - {1} over {f _{n+1}}]

[eqn: sum _{k=2} ^{n} {f _{k}} over {f _{k-1} f _{k+1}} = sum _{k=2} ^{n} {f _{k+1} -f _{k-1}} over {f _{k-1} f _{k+1}} =sum _{k=2} ^{n} left( {1} over {f _{k-1}} - {1} over {f _{k+1}} right)]

(2) [eqn: 1- {1} over {f _{n} f _{n+1}}]

[eqn: sum _{k=2} ^{n} {1} over {f _{k-1} f _{k+1}} = sum _{k=2} ^{n} {1} over {f _{k+1} -f _{k-1}} LEFT ( {1} over {f _{k-1}} - {1} over {f _{k+1}} RIGHT ) = sum _{k=2} ^{n} LEFT ( {1} over {f _{k-1} f _{k}} - {1} over {f _{k} f _{k+1}} RIGHT )]

(1) [eqn: sum_k=2 ^n { f_k} over {f_k-1 f_k+1 }]

(2) [eqn: sum _{k=2} ^{n} {1} over {f _{k-1} f _{k+1}}]

010 |

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: {cases{a _{1} =1#a _{n+1} =(1+a _{1} )(1+a _{2} ) CDOTS (1+a _{n} )}}]를 만족시킬 때,

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } {1} over {1+a _{n}}]의 값을 구하여라.

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: a _{n+1} =a _{n} (1+a _{n} )]에서 [eqn: {1} over {a _{n+1}} = {1} over {a _{n} (1+a _{n} )} = {1} over {a _{n}} - {1} over {1+a _{n}}]이므로 [eqn: {1} over {1+a _{n}} = {1} over {a _{n+1}} - {1} over {a _{n}}]이다.

※ 엄밀하게는 [eqn: lim _{n->inf} a _{n} =inf]임을 서술해야 할 것 같지만, 대충 살자.

	급수

011 |

수열 [eqn: left{x _{n} right}]을 [eqn: x _{1} = {1} over {2}], [eqn: x _{n+1} =x _{n} ^{2} +x _{n}]으로 정의할 때,
[eqn: {1} over {x _{1} +1} + {1} over {x _{2} +1} + CDOTS + {1} over {x _{100} +1}]
를 간단히 하여라.

[eqn: { 1} over {x_1 }- { 1} over {x_101 }]

[eqn: {1} over {x _{n}} - {1} over {x _{n+1}} = {1} over {x _{n} +1}]에서

012 |

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_n+1 = { n} over {a_n }]([eqn: n=1,```2,```3,```cdots])을 만족시킬 때,

[eqn: { 1} over {a_2 }+ { 1} over { a_3}+ { 1} over {a_4 }+cdots+ { 1} over { a_100}]

을 간단히 하여라.

[eqn: a _{101} +a _{100} -a _{2} -a _{1}]

두 식 [eqn: a _{n+1} a _{n} =n], [eqn: a _{n+2} a _{n+1} =n+1]를 변끼리 빼면

[eqn: a _{n+1} (a _{n+2} -a _{n} )=1], [eqn: {1} over {a _{n+1}} =a _{n+2} -a _{n}]이다.