	수학 영역

[2020학년도 6월 21번]

함수 [eqn: f(x)= { lnx} over {x }]와 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 기울기가
[eqn: t]인 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접할 때 접점의 [eqn: x]좌표를
[eqn: g(t)]라 하자. 원점에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의
기울기가 [eqn: a]일 때, 미분가능한 함수 [eqn: g(t)]에 대하여
[eqn: a times g'(a)]의 값은?

②

① [eqn: -{ sqrt { e} } over {3 }]	② [eqn: - {sqrt {e}} over {4}]	③ [eqn: - {sqrt {e}} over {5}]

④ [eqn: - {sqrt {e}} over {6}]	⑤ [eqn: - {sqrt {e}} over {7}]

[2022학년도 6월 미적분 29번]

[eqn: t> 2e]인 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = t (ln x)^2 - x^2]이
[eqn: x= k]에서 극대일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: g(t)]라 하면
[eqn: g(t)]는 미분가능한 함수이다. [eqn: g(alpha) = e^2]인 실수 [eqn: alpha]에
대하여 [eqn: alpha times left{ g'(alpha) right}^2 = q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 17]

[한성은 LT1154번]

좌표평면 위의 점 [eqn: {rmA}(t,```0)]와 함수 [eqn: y=e^x] 위를 움직이는
점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm {barAP]가 최소가 되는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f(t)]라
하자. [eqn: f(a)= ln2]일 때, [eqn: f` prime (a)]의 값은?

②

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: 1over6]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[한성은 YH1247번]

함수 [eqn: f(x)=(lnx) ^{2}]와 [eqn: 0<t< {2} over {e}]인 실수 [eqn: t]에 대하여
기울기가 [eqn: t]인 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접할 때
두 접점의 [eqn: x]좌표 중 큰 것을 [eqn: g(t)]라 하자. 원점에서
곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 기울기가 [eqn: 0]과 [eqn: a]일 때,
미분가능한 함수 [eqn: g(t)]에 대하여 [eqn: a times g'(a)]의 값은?

②

① [eqn: -e ^{2}]	② [eqn: -2e ^{2}]	③ [eqn: -3e ^{2}]

④ [eqn: -4e ^{2}]	⑤ [eqn: -5e ^{2}]

				4

	수학 영역

[2024학년도 수능 미적분 27번]

실수 [eqn: t]에 대하여 원점을 지나고 곡선 [eqn: y={1} over {e^{x}}+e^{t}]에
접하는 직선의 기울기를 [eqn: f(t)]라 하자. [eqn: f LEFT (a RIGHT )=`-e sqrt {e}]를
만족시키는 상수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f `prime (a)]의 값은?

①

① [eqn: -{1} over {3} e sqrt{e}]	② [eqn: -{1} over {2} e sqrt{e}]	③ [eqn: -{2} over {3} e sqrt{e}]

④ [eqn: -{5} over {6} e sqrt{e}]	⑤ [eqn: -e sqrt{e}]

[한성은 JD4245번]

[eqn: x ge0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=xe^x]와 [eqn: 1]보다 큰 실수
[eqn: t]에 대하여 기울기가 [eqn: t]이며 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하는
직선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: g'(3e^2 )]의 값은?

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

[한성은 YK3270번]

양수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=ln(x-t)]에 접하고 원점을
지나는 직선의 기울기를 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: g(a)= {1} over {e ^{2}}]일 때,
[eqn: g'(a)]의 값은?

①

① [eqn: - {1} over {2e ^{4}}]	② [eqn: - {1} over {e ^{4}}]	③ [eqn: - {2} over {e ^{4}}]

④ [eqn: - {1} over {2e ^{2}}]	⑤ [eqn: - {1} over {e ^{2}}]

				4

	수학 영역

[2023학년도 9월 미적분 29번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +x]가 있다. 양수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( t,```0 RIGHT )]과
점 [eqn: LEFT ( x,```f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )] 사이의 거리가 [eqn: x=s]에서 최소일 때,
실수 [eqn: f LEFT ( s RIGHT )]의 값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 역함수를
[eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: h`' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 3]

[2020학년도 수능 26번]

함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) e ^{-x}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가
미분가능하고

[eqn: g LEFT ( {x+8} over {10} RIGHT )=f`^-1 (x)],   [eqn: g(1)=0]

을 만족시킬 때, [eqn: LEFT | g prime (1) RIGHT |]의 값을 구하여라.

[eqn: 5]

[한성은 IS8282번]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +x]와 [eqn: f(s)=t]를 만족시키는
두 실수 [eqn: t], [eqn: s]에 대하여

[eqn: f(s)+2s=g(t)]

이다. 함수 [eqn: g(t)]의 역함수를 [eqn: h(t)]라 할 때,
[eqn: h(4)+h prime (4)]의 값은?

③

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

				4

	수학 영역

[2024학년도 9월 미적분 30번]

길이가 [eqn: 10]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원과 선분
[eqn: rmAB] 위에 [eqn: rm bar{AC} =4]인 점 [eqn: rmC]가 있다. 이 원 위의 점 [eqn: rmP]를
[eqn: rmanglePCB=theta]가 되도록 잡고, 점 [eqn: rmP]를 지나고 선분 [eqn: rmAB]에
수직인 직선이 이 원과 만나는 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점을
[eqn: rmQ]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPCQ]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때,
[eqn: -7 times S`'left( { pi} over { 4} right)]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0<theta< { pi} over {2 }])

[eqn: 32]

[한성은 RN9787번]

곡선 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =25]([eqn: x>0], [eqn: y>0]) 위의 점 [eqn: rm P]에서
그은 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
점 [eqn: rmA(1,```0)]에 대하여 [eqn: rmanglePAQ=theta]라 할 때,
[eqn: {rmbarPQ}=f(theta)]이다. [eqn: f`'left( {pi} over {4} right)= {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 431]

[eqn: rm anglePOA= alpha]라 하자. [eqn: {5} over {sin( pi - theta )} = {1} over {sin( theta - alpha )}]이므로 [eqn: 5sin( theta - alpha )=sin theta]이고, [eqn: f( theta )=5tan alpha]이다.

① [eqn: theta= { pi} over { 4}]일 때, [eqn: sin( theta - alpha )= {sqrt {2}} over {10}]이고, [eqn: sinalpha= {3} over {5}]이다.

② [eqn: LEFT . 5cos( theta - alpha ) TIMES LEFT ( 1- {d alpha } over {d theta } RIGHT ) =cos theta RIGHT .]이고, [eqn: f` prime ( theta )=5sec ^{2} alpha TIMES {d alpha} over {d theta}]이다.

[한성은 VA8719번]

[eqn: {rmbarBC}=5]인 [eqn: rm]삼각형 [eqn: rmABC]와 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: {rmbarAB}=x],  [eqn: rm bar{AC} it =x+1]

이다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S(x)]라 할 때,
[eqn: S`'(3)]의 값은? (단, [eqn: x>2])

④

[풀이1] [eqn: {rmangleABC}=theta]라 하자. 코사인법칙에서 [eqn: cos theta = {12-x} over {5x}]이고 [eqn: S(x)= {5} over {2} x`sin theta]이다.

[eqn: x=3]일 때, [eqn: costheta= { 3} over {5 }]이고 [eqn: LEFT. {d theta } over {dx} RIGHT | _{x=3} = {1} over {3}]이다.

[풀이2] [eqn: rm ANGLE BAC it = theta]라 하자. [eqn: S(x)= {1} over {2} x(x+1)sinphi]이다. [eqn: x=3]일 때 [eqn: theta= {pi } over {2}]이고,

[eqn: S` prime (x)= {1} over {2} (2x+1)sin theta + {1} over {2} x(x+1)cos theta TIMES {d theta } over {dx}]

에서 [eqn: S`'(3)= {7} over {2}]이다.

[풀이3] [eqn: rmangleABC=alpha], [eqn: rmangleACB=beta]라 하자. [eqn: {x+1} over {sin alpha } = {x} over {sinbeta} = {5} over {sin( alpha + beta )}]이고 [eqn: S(x)= {5} over {2} x`sinalpha]이다.

[eqn: x=3]일 때 [eqn: sinalpha= {4} over {5}], [eqn: sinbeta= {3} over {5}]이고 [eqn: (x+1)sin( alpha + beta )=5sin alpha]에서

[eqn: sin( alpha + beta )+(x+1)cos( alpha + beta )times LEFT ( {d alpha } over {dx} + {d beta } over {dx} RIGHT ) =5cos alpha TIMES {d alpha } over {dx}]

이므로 [eqn: {d alpha } over {dx} right| _{x=3} = {1} over {3}]이다. [eqn: S` prime (x)= {5} over {2} `sin alpha + {5} over {2} x cos alpha times{d alpha } over {dx}]이므로 [eqn: S` prime (3)= {7} over {2}]이다.

[풀이4] 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, [eqn: {rm barBH}=y]라 하자.

[eqn: x^2 -y^2 =(x+1)^2 -(5-y)^2]에서 [eqn: x+5y-12=0]이고, [eqn: S(x)= {5} over {2} sqrt {x ^{2} -y ^{2}}]이다.

[eqn: x=3]일 때, [eqn: y= {9} over {5}], [eqn: {dy} over {dx} right| _{x=3} =- {1} over {5}]이고, [eqn: S` prime (x)= {5} over {2 sqrt {x ^{2} -y ^{2}}} TIMES left(x-y times{dy} over {dx} right)]이다.

[풀이5] 헤론의 정리에 의해 ( 또는 [eqn: {1} over {2} bc sinA]에 의해)

[eqn: S(x)= sqrt {6(x-2)(x+3)}]

이다.

※ [풀이1]이 의도였는데, [풀이2]가 더 좋아서 망한 문항. 그래도 연습용으로 괜찮은 것 같아서 그냥 뒀다.

※ [풀이5]와 같이 양함수로 나타낼 수 있지만 (헤론의 정리를 쓰지 않으면) 과정이 만만하지 않다.

양함수로 쓰는 것이 가능하지만 괴롭다는 것이 [2024학년도 9월 30번]이나 [2024년 5월 29번]과 비슷한 부분.

※ 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 고정할 때, 점 [eqn: rmA]는 쌍곡선 위의 점이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 4]

				4