[치환적분/부분적분 10제]

| 한성은 |

	[New Challenger]
	수학 영역

[한성은 KI1876번]

양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가
모든 양수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)=(lnx) ^{2} +int _{1} ^{e ^{2}} {f(t)} over {t} dt]

를 만족시킬 때, [eqn: f(e ^{2} )]의 값은?

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

[한성은 TJ8067번]

다항함수 [eqn: p(x)]가

[eqn: int _{0} ^{pi } {} (p(x)+p '' (x))cosxdx=-5]

를 만족시킨다. [eqn: p'(0)=2]일 때, [eqn: p'(pi)]의 값은?

③

[eqn: int _{0} ^{pi } {} (p(x)+p '' (x))cosxdx= int _{0} ^{pi } {} p(x)cosxdx+ int _{0} ^{pi } {} p '' (x)cosxdx]에서

[eqn: int _{0} ^{pi } {} p(x)cosxdx]는 [eqn: p(x)]를 미분, [eqn: cosx]를 적분하는 부분적분,

[eqn: int _{0} ^{pi } {} p '' (x)cosxdx]는 [eqn: cosx]를 미분, [eqn: p''(x)]를 적분하는 부분적분.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[한성은 AG2750번]

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: g(x)= {f(x)} over {x}]

라 할 때, [eqn: g'(1)=2], [eqn: g prime (2)=3]이다. [eqn: int _{1} ^{2} {xf` '' (x)dx}]의 값을
구하여라.

[eqn: 10]

풀이1) [eqn: g prime (x)= {xf`'(x)-f(x)} over {x ^{2}}]와 [eqn: int _{1} ^{2} {xf` '' (x)dx}]에서 [eqn: x]를 미분, [eqn: f`''(x)]를 적분하는 부분적분.

풀이2) [eqn: xg(x)=f(x)]에서 [eqn: f`''(x)=2g'(x)+xg''(x)]이다. 대입하고 부분적분 또는 곱의 미분법.

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	수학 영역

[한성은 MK0418번]

연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x)=cos^2 x]이고

[eqn: int_0 ^{piover2} f(x)cosxdx= { 1} over {2 }]

일 때, [eqn: f left( { pi} over {2 }right)]의 값은?

⑤

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f(x)cosxdx]에서 [eqn: f(x)]를 미분, [eqn: cosx]를 적분하는 부분적분.

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

[한성은 MP0198번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {f(t)dt}]라 하자. [eqn: F(a)=1]이고, 모든 실수 [eqn: x]에
대하여 [eqn: f(x)=3 LEFT { F(x) RIGHT } ^{2} +1]이 성립할 때, [eqn: int_0 ^a left{f(x)right}^2 dx]의
값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

③

[eqn: int_0 ^a left{f(x)right}^2 dx=int_0 ^a left[3left{F(x)right}^2 f(x)+f(x)right]dx]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 4]

[한성은 CQ2692번]

실수 전체의 집합에서 증가하고, 연속인 도함수를 갖는
함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{0} ^{1} f(x)dx]의 값은?

(가) [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=2]

(나) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {4}} {} (tan ^{3} x+tanx)f` prime (tanx)dx= {4} over {3}]

④

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {4}} {} (tan ^{3} x+tanx)f` prime (tanx)dx= int _{0} ^{{pi } over {4}} {} left{sec ^{2} x timestanx timesf` prime (tanx)right}dx]에서 [eqn: tanx]를 치환.

① [eqn: 1over6]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: 5over6]

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	수학 영역

[한성은 GY4393번]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속인
도함수를 갖고 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{0} ^{pi} f(x)g'(x)dx]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)sinx=g(x)]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{pi } {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} cosxdx} =12]

①

[eqn: f`'(x)sinx+f(x)cosx=g'(x)] [eqn: RARROW] [eqn: f` prime (x)f(x)sinx+ LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} cosx=f(x)g prime (x)]

에서 적분. [eqn: f`'(x)f(x)sinx]는 [eqn: sinx]를 미분, [eqn: f`'(x)f(x)]를 적분하는 부분적분.

① [eqn: 6]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 30]

[한성은 AV7354번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
함수 [eqn: g(x)]는

[eqn: g(x)=int_1 ^x f(t)dt]

이다. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

[eqn: int_0 ^ 1 f(e^x )dx=4],   [eqn: int_1 ^e { g(x)} over { x^2} dx=2]

를 만족시킬 때, [eqn: g(e)]의 값은?

②

[eqn: int_0 ^ 1 f(e^x )dx=4]에서 [eqn: e^x =t]로 치환하면 [eqn: int_1 ^e { f(t)} over { t}dt]이다.

[eqn: int_1 ^e { g(x)} over {x^2 }dx]에서 [eqn: g(x)]를 미분, [eqn: { 1} over {x^2 }]을 적분하는 부분적분.

① [eqn: e]	② [eqn: 2e]	③ [eqn: 3e]
④ [eqn: 4e]	⑤ [eqn: 5e]

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	수학 영역

[한성은 YO5986번]

[eqn: left{`x`|`-{ pi <x <pi`right}]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: -pi<x<pi]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 2f(x)=int _0 ^x left{1+left{f(t)right}^2 right}dt]

를 만족시킨다. [eqn: f left( { pi} over { 2}right)=1]일 때, 정적분 [eqn: int _0 ^{ { pi} over {2 }}x left{f(x)right}^2 dx]의
값은?

①

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} x LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx= int _{0} ^{{pi } over {2}} {} x LEFT { 2f`'(x)-1 RIGHT } dx][eqn: =2 int _{0} ^{{pi } over {2}} {} xf` prime (x)dx-int _{0} ^{{pi} over {2}} xdx]

[eqn: =][eqn: 2[xf(x)] _{0} ^{{pi } over {2}} -2 int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f`(x)dx][eqn: - {pi ^{2}} over {8}][eqn: = pi - {pi ^{2}} over {8} -2 int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f`(x)dx]

한편, [eqn: 2f` '' (x)=2 f(x) f`'(x)]에서 [eqn: f(x)= {f` '' (x)} over {f` prime (x)}]이므로

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f(x)dx= int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {f` '' (x)} over {f` prime (x)} dx=left[lnf`'(x)right] _{0} ^{{pi} over {2}}]

① [eqn: pi- { pi^2} over { 8}-ln4]	② [eqn: pi - {pi ^{2}} over {4} -ln4]	③ [eqn: pi - {pi ^{2}} over {2} +ln4]
④ [eqn: pi - {pi ^{2}} over {8} -ln2]	⑤ [eqn: pi - {pi ^{2}} over {8} +ln2]

[한성은 JA3284번]

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 두 함수
[eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{0} ^{1} {} {f(x)g prime (x)-f` prime (x)g(x)} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} g(x)} dx]의 값은?
(단, [eqn: 0 le x le 1]에서 [eqn: f(x)g(x)!=0]이다.)

(가) [eqn: f(0)=2], [eqn: f(1)=3]

(나) [eqn: 0 LEQ x LEQ 1]인 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} - LEFT { g(x) RIGHT } ^{4} =1]이다.

②

준 식을 미분하면 [eqn: f(x)f` prime (x)=2 LEFT { g(x) RIGHT } ^{3} g prime (x)]이다.

[eqn: int _{0} ^{1} {} {f(x)g prime (x)-f` prime (x)g(x)} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} g(x)} dx][eqn: = int _{0} ^{1} {} {g prime (x)} over {f(x)g(x)} dx- int _{0} ^{1} {} {f` prime (x)} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} dx]

에서 뒤쪽 정적분은 [eqn: LEFT [ - {1} over {f(x)} RIGHT ] _{0} ^{1}]이다. 앞쪽에는 [eqn: g prime (x)= {f(x)f` prime (x)} over {2 LEFT { g(x) RIGHT } ^{3}}], [eqn: LEFT { g(x) RIGHT } ^{4} = LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} -1]을 대입하여 계산.

① [eqn: {1} over {4} `ln {2} over {3} - {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {4} `ln {3} over {2} - {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4} `ln3- {1} over {6}]

④ [eqn: {1} over {2} `ln {2} over {3} - {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {2} `ln {3} over {2} - {1} over {6}]

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