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Pattern Drill | 초월함수의 그래프

Pattern Drill

초월함수의 그래프

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개형파악의 필수 요소

① 정의역

② 정의역 경계선에서의 함숫값 또는 극한값

③ 증가와 감소 : [eqn: f` prime (x)]의 부호에 따라

※ ③은 기본이라 시키지 않아도 하지만,

①, ②도 매우 중요하다. 빠트리면 망할 수 있다.

※① : 특히 유리함수에서 주의, 분모는 [eqn: 0]이 될 수 없다.

※② : 특히 [eqn: (다항함수)times(지수함수)]의 변형으로 이루어질 때. 다음 극한을 구해보자.

[eqn: lim_x->inf xe^x],   [eqn: lim _{x -> INF } {} xe ^{-x}],   [eqn: lim _{x -> INF } {} x ^{2} e ^{-x}],   [eqn: lim _{x -> - INF } {} x ^{2} e ^{x}],   [eqn: lim _{x -> INF } {} {lnx} over {x}],   [eqn: lim _{x -> 0+} {} x lnx]

다음 함수의 그래프를 그려라. [정의역, 증감조사]

(1) [eqn: f(x)=xe ^{-x}]

(2) [eqn: g(x)= {lnx} over {x}]

※(1) [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 정의된 함수이며

[eqn: lim _{x -> - INF } {} f(x) =-inf],   [eqn: lim _{x -> inf} {} f(x)=0]

이다.

※(1) [eqn: f`'(x)=(1-x)e ^{-x}]는 [eqn: x<1]일 때 양수, [eqn: 1<x]일 때 음수이므로

[eqn: f(x)]는 [eqn: x<1]일 때 증가하고, [eqn: 1<x]일 때 감소한다.

※(2) [eqn: g(x)]는 열린구간 [eqn: (0,```inf)]에서 정의된 함수이며

[eqn: lim _{x -> 0+} {} g(x)=- INF],   [eqn: lim _{x -> INF } {} g(x)=0]

이다. 이 두 극한은 [eqn: lnx=t]로 치환해서 확인해보자.

※(2) [eqn: g'(x)= {1-lnx} over {x ^{2}}]는 [eqn: 0<x<e]일 때 양수, [eqn: e<x]일 때 음수이다.

다음 함수의 그래프를 그려라. [정의역]

(1) [eqn: f(x)=x+ {1} over {x}]

(2) [eqn: g(x)= {e ^{x-1}} over {x}]

※(1) 미분부터 때려서

[eqn: f` prime (x)=1- {1} over {x ^{2}} = {x ^{2} -1} over {x ^{2}}]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: -1<x<1]에서 감소한다.

라고 생각했다가 개털린다. 정의역 조사가 영순위다.

※(1) [eqn: f(x)]의 정의역은 [eqn: 0]이 아닌 모든 실수의 집합이다.

다시 말해, [eqn: (-inf,```0)] 또는 [eqn: (0,```inf)]이다.

※(1) 아래 네 가지 극한값을 고려해야 한다.

[eqn: lim _{x->-inf} f(x)=-inf],   [eqn: lim _{x->0-} f(x)=-inf],   [eqn: lim_x->0+ f(x)=inf],   [eqn: lim_x->inf f(x)=inf]

※(1) 이제 도함수를 보자. [eqn: f` prime (x)=1- {1} over {x ^{2}} = {x ^{2} -1} over {x ^{2}}]이므로 [eqn: f(x)]는

[eqn: (-inf,```-1)]에서 증가, [eqn: (-1,```0)]에서 감소, [eqn: (0,```1)]에서 감소, [eqn: (1,```inf)]에서 증가이다.

※(2) [eqn: g(x)]의 정의역은 [eqn: (-inf,```0)] 또는 [eqn: (0,```inf)]이다.

※(2) [eqn: lim _{x -> - INF } {} g(x)=0], [eqn: lim _{x -> 0-} {} g(x)=- INF], [eqn: lim _{x -> 0+} {} g(x)= INF], [eqn: lim _{x -> INF } {} g(x)= INF]이다.

[eqn: lim _{x -> 0-} {} {e ^{x-1}} over {x}]와 [eqn: lim _{x->0+} {e ^{x-1}} over {x}]는 분모가 [eqn: 0], 분자가 [eqn: {1} over {e}]로 수렴한다. 부정형이 아니다.

※(2) [eqn: g prime (x)= {e ^{x-1} (x-1)} over {x ^{2}}]이므로

[eqn: RARROW] [eqn: g(x)]는 [eqn: x<1]일 때 감소한다. (개망)

[eqn: RARROW] [eqn: g(x)]는 [eqn: x<0], [eqn: 0<x<1]일 때 감소한다. (굿)

※(2) [eqn: g(x)= {1} over {e} times {e ^{x}} over {x}]이므로 곡선 [eqn: y= {e ^{x}} over {x}]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {1} over {e}]배 눌러 준 것이다.

‘실수 [eqn: t]에 대하여 방정식 [eqn: g(x)=t]의 근의 개수를 [eqn: h(t)]라 하자.’

라든가. 문제를 만드는 입장에서는 극솟값을 [eqn: 1]로 만들면 좋을 때가 있겠지?

선택 요소

④ 절편

⑤ 볼록성과 변곡점 : [eqn: f` '' (x)]의 부호에 따라

⑥ 점근선

⑦ 대칭성

※④ : 절편은 찍어 놓으면 개형에 안정감을 준다.

※⑤ : 볼록성은 개형을 잘 잡으면 저절로 삘이 오는 경우가 많다.

일반적으로 문제에서 변곡점이 필요할 때만 구한다.

※⑥ : 점근선 중 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축과 평행한 것은 ①, ②에서 구하게 된다.

※⑦ : 보이면 수고를 덜 수 있다.

다음 함수의 그래프를 그려라. [절편, 볼록성, 점근선, 대칭성]

[eqn: f(x)= {x} over {x ^{2} +1}]

※ [eqn: f(x)]의 정의역은 실수 전체의 집합, [eqn: lim _{x->-inf} f(x)=0], [eqn: lim _{x->inf} f(x)=0]이다.

※ [eqn: f`'(x)= {1-x ^{2}} over {(x ^{2} +1) ^{2}}]이므로 [eqn: f(x)]는

[eqn: x< -1]일 때 감소, [eqn: -1<x<1]일 때 증가, [eqn: 1<x]일 때 감소한다.

※ 이 [eqn: f(x)]를 보면, 위의 사항들보다 점 [eqn: (0,```0)]을 지난다는 것이 눈에 먼저 들어온다.

최소한의 인간으로서의 자격이랄까? 이 함수를 끼고 만들어지는 문제라면

점 [eqn: (0,```0)]이 중요한 역할을 할 가능성이 높다.

※ 원점에 대한 대칭성도 눈에 들어온다. [eqn: {(기함수)} over {(우함수)}]이므로 [eqn: f(x)]는 기함수이다.

[eqn: f(-x)=-f(x)]를 찾는 것이 아니라 ‘눈에 들어온다.’ 인간이라면..?

[eqn: RARROW] [eqn: 0<x]일 때만 그리고 나머지는 휙휙.

※ 그래프의 개형을 예쁘게 그려놓고 째려보면 볼록성, 변곡점이 눈에 들어온다.

[eqn: 0] 이상일 때만 고려해보면,

① 원점을 변곡점으로 가진다. 잠깐 생각해봐도 점대칭시키면 볼록성이 뒤집힌다.

② 극대점에서 어딘가(변곡점)까지는 위로 볼록, 어딘가부터는 아래로 볼록이다.

이 어딘가를 구하기 위해서는 이계도함수를 조사한다. [eqn: x= sqrt {3}]이다.

다음 함수의 그래프를 그려라. [절편, 볼록성, 점근선, 대칭성]

(1) [eqn: f(x)= {1} over {x ^{2} +1}]

(2) [eqn: g(x)=x+e ^{-x}]

※(1) 다음 내용은 함수식을 봤을 때 째려보지 않아도 떠오른다.

① [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다. (우함수이다.)

② [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (0,```1)]을 지난다.

③ [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 만나지 않는다.

③은 보자마자는 아닐 수 있겠군. 유리식이라 분모가 [eqn: 0]일까봐 예민해지는데,

분모 [eqn: x ^{2} +1]이 [eqn: 0]이 될 수 없다는 것이 나를 기분 좋게 만든다.

※(1) [eqn: f(x)]의 정의역은 실수 전체의 집합, [eqn: lim _{x -> - INF } {} f(x)=0], [eqn: lim _{x -> INF } {} f(x)=0]이다.

[eqn: x->+-inf]일 때 곡선 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x]축에 가까워진다.

이 때 [eqn: x]축을 곡선 [eqn: y=f(x)]의 점근선이라 한다.

※(1) [eqn: f`'(x)= {-2x} over {(x ^{2} +1) ^{2}}]이다. [eqn: f(x)]는 [eqn: x<0]에서 증가, [eqn: 0<x]에서 감소한다.

※(2) [eqn: g(x)]의 정의역은 실수 전체의 집합, [eqn: lim _{x -> - INF } {} g(x)= INF], [eqn: lim _{x -> INF } {} g(x)= INF]이다.

[eqn: x -> INF]일 때는 [eqn: (양의```무한대)+(0)] 꼴이므로 당연히 양의 무한대로 발산,

[eqn: x -> - INF]일 때는 [eqn: (음의```무한대)+(양의```무한대)] 꼴의 부정형인데, 지수함수 개크다.

※(2) [eqn: g prime (x)=1-e ^{-x}]이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x<0]일 때는 감소, [eqn: x>0]일 때는 증가한다.

※(2) [eqn: x->inf]일 때, [eqn: g(x)]와 [eqn: x]는 ‘거의 같다.’ 식으로 나타내면, [eqn: lim _{x -> INF } {} LEFT { g(x)-x RIGHT } =0]이다.

이 때 직선 [eqn: y=x]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 점근선이라 한다. 이런 경우 별로 쓸데는 없다.

함수의 연산과 그래프

① 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프로부터 연산된 함수

[eqn: f(x)+g(x)],   [eqn: f(x)-g(x)],   [eqn: f(x)g(x)]

등의 그래프를 그릴 수 있다.

② 간단한 합성함수의 그래프를 그릴 수 있다.

※ 간단하게 그래프를 뽑을 수 있는 중요한 테크닉이다.

※① [eqn: f(x)-g(x)]는 다항함수에서 특히 중요하다. 일반적으로 차함수라 한다.

평균값의 정리, 방정식 [eqn: f(x)=g(x)], 인수를 이용한 다항식의 구성,

두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 등에서 사용된다.

※① 곱 중에서 [eqn: (다항함수)times(지수함수)]는 이제 일반화 된 요령이다. 뒤쪽에 모아둘게.

※② 간단히 증감을 살펴 볼 수 있는 경우를 말한다.

[eqn: { 1} over {f(x) }]는 [eqn: f(x)>0]일 때 [eqn: f(x)]가 증가하면 감소하고 [eqn: f(x)]가 감소하면 증가한다.

정도.

※② 본격적인 합성함수의 그래프는 따로 공부해야 한다. 안정 1등급정도에게 추천.

2019학년도 6월/9월/수능에 한 문항씩 출제되고 2020학년도에는 출제되지 않았다.

다음 함수의 그래프를 그려라. [두 함수의 합과 그래프]

(1) [eqn: f(x)=e ^{x} +e ^{-x}]

(2) [eqn: g(x)=x+e ^{-x}]

※(1) 두 곡선 [eqn: y=e ^{x}], [eqn: y=e ^{-x}]를 그리고, 적당한 [eqn: x]값에 대하여 [eqn: e ^{x}]값과 [eqn: e ^{-x}]값을

더한 [eqn: f(x)]의 값이 어떻게 될지를 조사해보자. 대충 연결하면 완성.

※(1) 하나를 기준으로 하나를 위에 얹는다고 생각하면 좋다. 예를 들어

‘[eqn: x>0]일 때는 [eqn: y=e ^{x}]에 [eqn: 1sim0]인 [eqn: e ^{-x}]를 얹는다.’

는 식으로.

※(1) [eqn: f`'(x)]의 부호를 조사하는 일반적인 방법보다 편하다.

※(1) 대칭성 보이지? 아무래도 [eqn: x=0]에서 최소겠다.

※(1) 최솟값은 산술기하에 의해서도 구할 수 있다.

※(2) 앞에서 그렸던 그래프. [eqn: y=x]와 [eqn: y=e ^{-x}]의 합으로 그려보자.

[eqn: g'(x)=0]이 되는 [eqn: x]값은 [eqn: y=x]의 미분계수와 [eqn: y=e ^{-x}]의 미분계수의 합이 [eqn: 0]이 될 때이다.

다음 함수의 그래프를 그려라. [두 함수의 합과 그래프]

(1) [eqn: f(x)=x+sinx]

(2) [eqn: g(x)=sinx+cosx]

※(1) [eqn: y=sinx]는 모든 정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x=n pi]일 때, [eqn: 0]이다.

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 모든 정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: (n pi ,``` n pi)]를 지난다.

※(1) 직선 [eqn: y=x]의 기울기는 [eqn: 1]이고 곡선 [eqn: y=sinx]의 기울기는 [eqn: -1]과 [eqn: 1] 사이의 값이다.

[eqn: (sinx)'|_{x=2n pi} =1], [eqn: (sinx) prime | _{x=(2n+1) pi } =-1]이므로 [eqn: f` prime (2n pi) =2], [eqn: f` prime ((2n+1) pi )=0]이다.

※(1) [eqn: f`'(x)=0]이 되는 [eqn: x]의 개수는 무수히 많다.

하지만 [eqn: y=f(x)]가 극대점 또는 극소점을 가지지는 않는다.

‘실수 전체의 집합에서 [eqn: f(x)]가 증가하면 [eqn: f`'(x)>0]이다.’의 좋은 반례가 된다.

※(1) 두 함수의 합의 관점에서 관찰하는 것도 가능하고,

도함수 [eqn: f`'(x)=1-cosx]의 부호를 조사하는 것도 가능하다.

※(2) 두 곡선 [eqn: y=sinx], [eqn: y=cosx]의 합을 각각의 구간

[eqn: left[0,``` {pi} over {2} right]], [eqn: LEFT [ {pi } over {2} ,``` pi RIGHT ]], [eqn: left[ pi ,``` { 3pi} over { 2} right]], [eqn: left[ { 3pi} over { 2},```2pi right]]

에서 관찰해보자. 그 전에 [eqn: g(0)], [eqn: g left( { pi} over { 2} right)], [eqn: g(pi)], [eqn: g left( { 3pi} over {2 } right)], [eqn: g(2pi)] 찍어봐.

※(2) [eqn: (증가)+(증가)]이면 증가, [eqn: (감소)+(감소)]이면 감소한다.

[eqn: (증가)+(감소)]이면 고민되는데, 대충 생각해도 볼록볼록하지는 않겠지?

※(2) 열심히 그린 그래프가 [eqn: y= sqrt {2} `sin LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT )]라는 놀라운 사실.

다음 함수의 그래프를 그려라. [곱/합성 함수의 그래프]

(1) [eqn: f(x)=sinx` CDOT cosx]

(2) [eqn: g(x)= {1} over {x ^{2} +1}]

(3) [eqn: h(x)=ln(x ^{2} +1)]

(4) [eqn: k(x)=(lnx) ^{2}]

※(1) 앞의 문제의 요령과 같은 방법으로 곱해보자. [eqn: f(x)= {1} over {2} `sin2x]가 얻어져야 한다.

※(2) 이 그래프는 [eqn: y=x ^{2} +1]의 역수를 취한 것으로 볼 수 있다.

곡선 [eqn: y=x ^{2} +1]을 그리고 [eqn: x ^{2} +1]의 값이 커지면 [eqn: {1} over {x ^{2} +1}]이 [eqn: 0]으로 수렴하는 것을 확인하자.

※(2) [eqn: g(x)]를 [eqn: 1]을 [eqn: x ^{2} +1]로 나눈 것으로 볼 수 있지만 나눗셈은 헷갈린다. 나만 헷갈리나?

[eqn: x ^{2} +1]의 역수를 취한 것으로, 다시 말해 [eqn: {1} over {x}]을 씌운(합성시킨) 것으로 이해하자.

※(3) [eqn: y=x ^{2} +1]가 [eqn: 1]일 때 [eqn: h(x)]이 [eqn: 0]이고, [eqn: y=x ^{2} +1]가 [eqn: inf]로 달리면 [eqn: h(x)]도 [eqn: inf]로 달린다.

※(3) 딱 보고 볼록성 삘은 오지 않는다. [eqn: h '' (x)]의 부호를 조사해보자.

※(4) [eqn: lnx]의 값과 [eqn: (lnx) ^{2}]의 값이 어떻게 변할지를 생각해보자.

※(4) [eqn: x]축에 접한다. 극소점은 보이고 변곡점은 궁금하다.

다음 함수의 그래프를 그려라. [역수를 취한 함수의 그래프]

(1) [eqn: f(x)= {1} over {sinx}]

(2) [eqn: g(x)= {1} over {x(x-2)}]

※(1) 곡선 [eqn: y=sinx]를 그리고 뒤집어보자.

① [eqn: sinx]가 [eqn: 0]일 때, [eqn: f(x)]는 정의되지 않는다.

② [eqn: sinx]가 양수이면 [eqn: f(x)]도 양수, [eqn: sinx]가 음수이면 [eqn: f(x)]도 음수이다.

③ [eqn: sinx]가 [eqn: 1]이면 [eqn: f(x)]가 [eqn: 1], [eqn: sinx]가 [eqn: -1]이면 [eqn: f(x)]가 [eqn: -1]이다.

④ [eqn: sinx]가 양수일 때 [eqn: 0]으로 다가가면 [eqn: f(x)]는 양의 무한대로 발산한다.

[eqn: sinx]가 음수일 때 [eqn: 0]으로 다가가면 [eqn: f(x)]는 음의 무한대로 발산한다.

※(1) 그린 것이 [eqn: f(x)=cscx]의 그래프이다.

[eqn: f` prime (x)=-cscx `cotx]인데, 도함수를 이용해서 그리는 사람은 없을껄?

※(2) 곡선 [eqn: y=x(x-2)]를 그리고 뒤집어보자.

① [eqn: x(x-2)]가 [eqn: 0]일 때, [eqn: g(x)]는 정의되지 않는다.

② [eqn: x(x-2)]가 양수이면 [eqn: g(x)]도 양수, [eqn: x(x-2)]가 음수이면 [eqn: g(x)]도 음수이다.

③ [eqn: x(x-2)]가 양수일 때 [eqn: 0]으로 다가가면 [eqn: g(x)]는 양의 무한대로 발산한다.

[eqn: x(x-2)]가 음수일 때 [eqn: 0]으로 다가가면 [eqn: g(x)]는 음의 무한대로 발산한다.

④ [eqn: x(x-2)]가 양의 무한대로 발산하면 [eqn: g(x)]는 [eqn: 0]으로 수렴한다.

※(2) 도함수 [eqn: g'(x)]를 구하고 [eqn: g'(x)]의 부호를 통해 [eqn: g(x)]의 증감을 설명해보자.

[eqn: RARROW] 열린 구간 [eqn: (-inf,```0)], [eqn: (0,```1)]에서 증가, [eqn: (1,```2)], [eqn: (2,```inf)]에서 감소이다.

※ [eqn: h(x)= {1} over {k(x)}]라 하면 [eqn: h prime (x)=- {k'(x)} over {LEFT { k(x) RIGHT } ^{2}}]이다. 다음 물음에 답하여라.

(1) 어떤 열린구간에서 [eqn: k(x)]가 증가하면 [eqn: h(x)]는 감소하는가?

[eqn: RARROW] [eqn: k(x)>0]일 때는 당연하고 [eqn: k(x)<0]일 때는 헷갈리는데, 도함수 보니까 맞네.

(2) [eqn: x=a]에서 [eqn: k(x)]가 극댓값을 가지면 [eqn: x=a]에서 [eqn: h(x)]는 극솟값을 가지는가?

[eqn: RARROW] 그렇다. 단, 그 극댓값이 [eqn: 0]이 아니라면.

다항함수와 지수함수의 곱

다항함수 [eqn: P(x)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=P(x) TIMES e ^{ax}]의 그래프를 그릴 수 있다.

① [eqn: P(x)]가 [eqn: 0]이 될 때 [eqn: f(x)]가 [eqn: 0]이 된다.

② [eqn: e ^{ax} >0]이므로 [eqn: f(x)]의 부호는 [eqn: P(x)]의 부호를 따른다.

③ [eqn: |x|]가 작을 때는 대충 [eqn: P(x)]와 비슷하게 그려진다.

④ [eqn: lim_x->-inf f(x)]와 [eqn: lim _x->INF f(x)]의 값을 조사한다. (지수함수가 개쎔.)

※ 간단하게 그래프를 뽑을 수 있는 중요한 테크닉이다. 미분하기 귀찮앙.

2016학년도까지 [eqn: (다항함수)times(지수함수)]가 매우 자주 출제되었다.

※ 다항함수가 인수분해 되지 않을 때는 적용하기 어렵다.

뒤에 [eqn: (이차함수)times(지수함수)]는 한 번 정리하자.

다음 함수의 그래프를 그려라. [다항함수와 지수함수의 곱]

[eqn: f(x)=(x-1)e ^{x}]

※ [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (1,```0)]을 지난다.

※ [eqn: x=1]에서 시작하여 [eqn: x]가 양의 무한대로 커질 때를 생각하자.

[eqn: x-1]과 [eqn: e ^{x}]가 모두 양의 무한대로 발산하므로 [eqn: f(x)]는 양의 무한대로 발산한다.

※ [eqn: (증가)times(증가)]는 증가할까?

[eqn: RARROW] 곱한 두 함수가 양수일 때는 그렇다. 도함수를 조사해봐.

※ [eqn: x=1]에서 시작하여 [eqn: x]가 음의 무한대로 작아질 때를 생각하자.

[eqn: x-1]은 음의 무한대로 발산, [eqn: e ^{x}]는 [eqn: 0]으로 수렴이다.

[eqn: RARROW] [eqn: f(x)]는 적당한 음의 값을 가지다가 [eqn: x]가 작아지면 [eqn: 0]으로 수렴한다.

※ [eqn: f`'(x)]의 부호를 조사하여 확인해보자.

다음 함수의 그래프를 그려라. [다항함수와 지수함수의 곱]

(1) [eqn: f(x)=(x ^{2} -2x)e ^{-x}]

(2) [eqn: g(x)=x ^{2} e ^{x}]

※(1) [eqn: y=f(x)]의 그래프는 두 점 [eqn: (0,```0)]과 [eqn: (2,```0)]을 지난다.

※(1) [eqn: 0<x<2]일 때 [eqn: x ^{2} -2x]는 음수, [eqn: e ^{-x}]는 양수이다.

점 [eqn: (0,```0)], [eqn: (2,```0)]을 지나고, 아래로 튀어나오겠군. 어느 쪽으로 찌그러질지는 아직.

※(1) [eqn: x=0]에서 시작하여 [eqn: x]가 음의 무한대로 작아질 때를 생각하자.

[eqn: x^2 -2x]와 [eqn: e^-x]가 모두 양의 무한대로 발산하므로 [eqn: f(x)]도 무한대로 발산한다.

※(1) [eqn: x=2]에서 시작하여 [eqn: x]가 양의 무한대로 커질 때를 생각하자.

[eqn: x^2 -2x]는 양의 무한대로 발산, [eqn: e ^{-x}]는 [eqn: 0]으로 수렴이다.

[eqn: RARROW] [eqn: f(x)]는 살짝 커지는 척하다가 [eqn: 0]으로 수렴한다.

※(1) [eqn: f(x)]가 극값을 가지는 [eqn: x]의 값이 궁금하다. [eqn: f`'(x)=0]을 풀어보자.

[eqn: RARROW] [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2- sqrt {2}]에서 극솟값을, [eqn: x=2+ sqrt {2}]에서 극댓값을 가진다.

※(2) [eqn: y=g(x)]의 그래프는 점 [eqn: (0,```0)]을 지난다.

※(2) [eqn: x=0]에서 시작하여 [eqn: x]가 양의 무한대로 커질 때를 생각하자.

[eqn: x^2]와 [eqn: e ^{x}]가 모두 양의 무한대로 발산하므로 [eqn: g(x)]는 양의 무한대로 발산한다.

※(2) [eqn: x=0]에서 시작하여 [eqn: x]가 음의 무한대로 작아질 때를 생각하자.

[eqn: x ^{2}]은 양의 무한대로 발산, [eqn: e ^{x}]는 [eqn: 0]으로 수렴한다.

[eqn: RARROW] [eqn: g(x)]는 살짝 커지는 척하다가 [eqn: 0]으로 수렴한다.

※(2) [eqn: g prime (x)=(x ^{2} +2x)e ^{x}]이므로 극댓값을 가지는 [eqn: x]의 값은 [eqn: -2]이다.

※(2) [eqn: y=g(x)]는 [eqn: x]축에 접한다. [eqn: g(0)=0], [eqn: g'(0)=0]이 접한다는 뜻이야.

[eqn: RARROW] [eqn: h(x)]가 [eqn: x]축에 접하면 [eqn: h(x)k(x)]도 [eqn: x]축에 접할까?

[eqn: RARROW] 그렇다. 미분해보자.

다음 함수의 그래프를 그려라. [다항함수와 지수함수의 곱]

(1) [eqn: f(x)=(x ^{3} +3x ^{2} )e ^{-x}]

(2) [eqn: g(x)=x ^{3} e ^{x}]

※(1) [eqn: y=f(x)]의 그래프는 두 점 [eqn: (-3,```0)]과 [eqn: (0,```0)]을 지난다.

※(1) [eqn: x=-3]에서 시작하여 [eqn: x]가 음의 무한대로 작아질 때 [eqn: f(x)]는 음의 무한대로 발산한다.

※(1) 열린구간 [eqn: (-3,```0)]에서 위로 볼록. (위로 볼록한 그래프라는 것은 아님.)

※(1) [eqn: x=0]에서 시작하여 [eqn: x]가 양의 무한대로 커질 때 [eqn: f(x)]는 커지는 척 하다 [eqn: 0]으로 수렴한다.

※(1) 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (0,```0)]에서의 접선은 [eqn: x]축이다.

※(1) 도함수 [eqn: f`'(x)]를 이용하여 극점의 [eqn: x]좌표를 구해보자. [eqn: x=- sqrt {6}], [eqn: x=0], [eqn: x= sqrt {6}]이다.

※(2) [eqn: y=g(x)]의 그래프는 점 [eqn: (0,```0)]을 지난다.

※(2) [eqn: x=0]에서 시작하여 [eqn: x]가 양의 무한대로 커질 때 [eqn: g(x)]는 개커진다.

※(2) [eqn: x=0]에서 시작하여 [eqn: x]가 음의 무한대로 작아질 때,

[eqn: g(x)]는 작아지는 척 하다 [eqn: 0]으로 수렴한다.

※(2) 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (0,```0)]에서의 접선은 [eqn: x]축이다.

※(2) [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-3]에서 극솟값을 가진다.

※(2) [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-3- sqrt {3}], [eqn: x=-3+ sqrt {3}], [eqn: x=0]일 때 변곡점을 가진다.

봐둘만한 함수의 그래프

그려바.

다음 함수의 그래프를 그려라.

[eqn: f(x)=(x-a)e ^{x}]

※ 다음을 확인해보자.

① [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a]이다.

② 극소점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a-1]이다.

③ 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a-2]이다.

④ 변곡점에서 접하는 직선의 [eqn: x]절편은 [eqn: a-4]이다.

※ 대충 대칭시켜서 생각하여

[eqn: y=(x-a)e ^{-x}],   [eqn: y=(-x+a)e ^{x}],   [eqn: y=(-x+a)e ^{-x}]

등의 그래프를 그릴 수 있다. 물론 헷갈리니까 그때그때 생각한다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

[eqn: f(x)=kx ^{2} `e ^{-x} ```(k>0)]

※ 다음을 확인해보자.

① 극소점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0], 극대점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2]이다.

② 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2+- sqrt { 2}]이다.

③ 원점에서 그은 [eqn: x]축이 아닌 접선의 접점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]이다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

[eqn: f(x)=x ^{n} e ^{-x}] ([eqn: n]은 짝수)

[eqn: f(x)=x ^{n} e ^{-x}] ([eqn: n]은 [eqn: 3] 이상의 홀수)

※ 다음을 확인해보자.

① [eqn: n]이 짝수일 때 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

② [eqn: n]이 홀수일 때 [eqn: x=0]에서 극값을 갖지 않는다.

③ [eqn: x=n]에서 극댓값을 갖는다.

다음 함수의 그래프를 그려라. [이차함수와 지수함수의 곱]

(1) [eqn: f(x)=x(x-2)e ^{x}]

(2) [eqn: g(x)=x ^{2} e ^{x}]

(3) [eqn: h(x)=(x ^{2} +x+1)e ^{x}]

(4) [eqn: k(x)=(x ^{2} -2x+2)e ^{x}]

※ [eqn: f(x)]가 이차함수 [eqn: P(x)]와 지수함수 [eqn: e^ax]의 곱 [eqn: {P(x)e^ax]일 때,

도함수 [eqn: f`'(x)]는 [eqn: (P`'(x)+aP(x))e^ax]이다. 이차함수와 지수함수의 곱이네.

※ 위 함수들을 [eqn: P(x)e^x]라 할 때,

(1)은 [eqn: P(x)]의 판별식이 [eqn: 0]보다 클 때,

(2)는 [eqn: P(x)]의 판별식이 [eqn: 0]일 때,

(3)과 (4)는 [eqn: P(x)]의 판별식이 [eqn: 0]보다 작을 때

이다.

※ [eqn: f(x)=][eqn: P(x)e^ax]이고 [eqn: f`'(x)=][eqn: Q(x)e^ax]일 때, 즉, [eqn: Q(x)=P`'(x)+aP(x)]일 때,

[eqn: P(x)]의 판별식이 [eqn: 0] 이상이면 [eqn: Q(x)]의 판별식은 항상 [eqn: 0]보다 크다. 증명해봐.

※ 위 함수들의 도함수를 [eqn: Q(x)e ^{x}]라 할 때,

(1)과 (2)와 (3)은 [eqn: Q(x)]의 판별식이 [eqn: 0]보다 크고

(4)는 [eqn: Q(x)]의 판별식이 [eqn: 0]이다.

[eqn: Q(x)]의 판별식이 [eqn: 0]보다 작은 경우도 존재한다. 자리 없어서 안 넣었엉.

다음 함수의 그래프를 그려라.

(1) [eqn: f(x)= root {3} of {x}]

(2) [eqn: g(x)=x ^{n}] ([eqn: n]은 자연수)

(3) [eqn: h(x)=sin ^{2} x]

(4) [eqn: k(x)=sin ^{3} x]

※(1) [eqn: a>0]일 때 [eqn: y=x ^{a}]의 그래프의 일종이다.

① [eqn: x<0]일 때 정의가 되는지 아닌지를 꼼꼼하게 살펴라.

② [eqn: a>0]이면 [eqn: y=x ^{a}]는 증가한다. 미분해봐. [eqn: a<0]일 때 감소한다.

③ 두 번 미분하여 볼록성을 조사해보자. [eqn: a=1]일 때가 뭔가 변하겠군.

※(2) 다음을 확인해보자.

① [eqn: x<0]일 때는 [eqn: n]이 짝수냐 홀수냐에 따라서 위로 뻗거나 아래로 뻗는다.

② [eqn: 0<x<1]일 때는 [eqn: n]이 커질수록 작고, [eqn: 1<x]일 때는 [eqn: n]이 커질수록 크다.

※(3) 다음을 확인해보자.

① [eqn: sinx=0]이면 [eqn: sin^2 x=0]이고 [eqn: sinx=1]이면 [eqn: sin^2 x=1]이다.

② [eqn: 0<sinx<1]이면 [eqn: sin^2 x <sinx]이다. 약간 눌리겠군.

③ 함수 [eqn: h(x)]는 주기가 [eqn: pi]인 주기함수이다.

④ 함수의 그래프는 [eqn: x]축에 접한다.

※(4) 다음을 확인해보자.

① [eqn: 0<sinx<1]일 때 [eqn: sin^3 x <sin^2 x]이다. 더 눌리는군.

② [eqn: sinx<0]일 때 [eqn: sin^3 x<0]이다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

(1) [eqn: f(x)= {1} over {x ^{2} +a ^{2}}] ([eqn: a>0])

(2) [eqn: g(x)= {x} over {x ^{2} +a ^{2}}] ([eqn: a>0])

※(1) 다음을 확인해보자.

① [eqn: x=0]에서 극댓값을 가진다.

② [eqn: x]축을 점근선으로 가진다.

③ 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: ± {a} over {sqrt {3}}]이다.

※(2) 다음을 확인해보자.

① 극점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: ±a]이다.

② 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0], [eqn: ± sqrt {3} a]이다.

③ 함수 [eqn: {1} over {2} `ln(x ^{2} +a ^{2} )]의 도함수이다. 곡선 [eqn: y= {1} over {2} `ln(x ^{2} +a ^{2} )]을 그리고

극점과 변곡점을 [eqn: g(x)]의 그래프에서 읽어보자.

[eqn: h(x)= {1} over {2} `ln(x ^{2} +a ^{2} )] ([eqn: a>0])

다음 함수의 그래프를 그려라.

(1) [eqn: f(x)=e ^{-x ^{2}}]

(2) [eqn: g(x)=xe ^{-x ^{2}}]

※(1) 다음을 확인해보자.

① [eqn: y=-x ^{2}]이 [eqn: 0]일 때 [eqn: f(x)]가 [eqn: 1]이고 이 값이 [eqn: f(x)]의 최댓값이다.

② [eqn: y=-x ^{2}]이 [eqn: -inf]로 달리면 [eqn: f(x)]가 [eqn: 0]으로 수렴한다.

③ 변곡점이 느껴진다. [eqn: f '' (x)=0]을 풀면 [eqn: x=± {1} over {sqrt {2}}]이다.

※(2) 다음을 확인해보자.

① [eqn: x]축을 점근선으로 가진다.

② [eqn: x=+- {1} over {sqrt {2}}]에서 극값을 가진다.

③ 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - sqrt {{3} over {2}}], [eqn: 0], [eqn: sqrt {{3} over {2}}]이다.

④ 함수 [eqn: - {1} over {2} e ^{-x ^{2}}]의 도함수이다. 곡선 [eqn: y=- {1} over {2} e ^{-x ^{2}}]을 그려보자.

극점과 변곡점을 [eqn: g(x)]의 그래프에서 읽어보자.

[eqn: h(x)=- {1} over {2} e ^{-x ^{2}}]

다음 함수의 그래프를 그려라.

(1) [eqn: f(x)= {e ^{x} +e ^{-x}} over {2}]

(2) [eqn: g(x)= {e ^{x} -e ^{-x}} over {2}]

※(1) 다음을 확인해보자.

① 두 곡선 [eqn: y=e ^{x}], [eqn: y=e ^{-x}]를 더하고 [eqn: 2]로 나누어 그래프를 얻을 수 있다.

② 도함수를 이용할 수 있다. [eqn: f`'(x)=g(x)]이다.

※(2) 다음을 확인해보자.

① 곡선 [eqn: y=e ^{x}]에서, [eqn: y=e ^{-x}]를 빼고 [eqn: 2]로 나누어 그래프를 얻을 수 있다.

[eqn: RARROW] 빼는 것은 헷갈리고 두 곡선 [eqn: y=e ^{x}]와 [eqn: y=-e ^{-x}]를 더하는 것이 좀 낫다. 나만?

② 도함수를 이용할 수 있다. [eqn: g` prime (x)=f(x)]이다.

③ [eqn: x=0]에서 변곡점을 가진다.

※ [eqn: f(x)]를 쌍곡코사인함수라 하고 [eqn: coshx]로 나타내고,

[eqn: g(x)]를 쌍곡사인함수라 하고 [eqn: sinhx]로 나타낸다.

[eqn: RARROW] 다음을 확인해보자.

① [eqn: f(x)+g(x)=e ^{x}]이다.

[eqn: f(x)]는 [eqn: e ^{x}]의 우함수부분, [eqn: g(x)]는 [eqn: e ^{x}]의 기함수부분이다.

② [eqn: left{f(x)right} ^{2} -left{g(x)right} ^{2} =1]

③ [eqn: f`'(x)=g(x)], [eqn: g'(x)=f(x)]

④ [eqn: g(2x)=2f(x)g(x)], [eqn: f(2x)=2left{f(x)right} ^{2} -1]

기억할 필요는 없다. 재미로.

다음 함수의 그래프를 그려라.

(1) [eqn: f(x)= {1} over {1+e ^{x}}]

(2) [eqn: g(x)= {e^x} over {1+e ^{x}}]

※(1) 다음을 확인해보자.

① [eqn: f(x)]는 실수 전체에서 정의되는 함수이고 [eqn: lim _{x->-inf} f(x)=1], [eqn: lim _{x->inf} f(x)=0]이다.

[eqn: RARROW] 곡선 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: y=0]과 [eqn: y=1]을 점근선으로 가진다.

② [eqn: f`'(x)= {-e ^{x}} over {(1+e ^{x} ) ^{2}}]는 항상 음수이므로 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 감소한다.

[eqn: RARROW] 사실 미분해 봤으면 멍청한 것. [eqn: 1+e ^{x}]가 증가함수이므로 [eqn: f(x)]는 감소함수이다.

③ 구간 [eqn: (-inf,```0)]에서 위로 볼록, 구간 [eqn: (0,```inf)]일 때 아래로 볼록이다.

※(2) 다음을 확인해보자.

① [eqn: g(x)]는 실수 전체에서 정의되는 함수이고 [eqn: lim _{x -> - INF } {} g(x)=0], [eqn: lim _{x -> INF } {} g(x)=1]이다.

[eqn: RARROW] 곡선 [eqn: y=g(x)]는 [eqn: y=0]과 [eqn: y=1]을 점근선으로 가진다.

② [eqn: g prime (x)= {e ^{x}} over {(1+e ^{x} ) ^{2}}]는 항상 양수이므로 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가한다.

③ 구간 [eqn: (-inf,```0)]에서 아래로 볼록, 구간 [eqn: (0,```inf)]일 때 위로 볼록이다.

④ [eqn: g(x)= {1} over {1+e ^{-x}} =f(-x)]이다. 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]는 서로 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

⑤ [eqn: f(x)+g(x)=1]이다. 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]는 서로 [eqn: y= {1} over {2}]에 대하여 대칭이다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

(1) [eqn: f(x)= {lnx} over {x}]

(2) [eqn: g(x)=x`lnx]

(3) [eqn: h(x)=x(lnx) ^{2}]

(2) [eqn: k(x)=lnx(lnx-2)]

※(1) 다음을 확인해보자.

① 원점에서 그은 접선의 접점, 극대점, 변곡점의 [eqn: x]좌표는 등비수열을 이룬다.

② [eqn: f(x)]는 두 점 [eqn: (0,```0)], [eqn: (x,```lnx)] 사이의 기울기이다. [eqn: f(x)]의 극댓값을 읽어내 보자.

※(2) 다음을 확인해보자.

① 극점은 직선 [eqn: y=-x] 위의 점이다.

② 함수 [eqn: e^x]와 합성하여 [eqn: y=x^x]의 그래프를 개형을 잡을 수 있다.

※(3) 다음을 확인해보자.

① 두 곡선 [eqn: y=x]와 [eqn: y=(lnx)^2]을 곱해서 그려라.

② 극값의 [eqn: x]좌표는 [eqn: { 1} over {e^2 }]과 [eqn: 1], 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: { 1} over {e }]이다.

※(4) 다음을 확인해보자.

① 두 곡선 [eqn: y=lnx]와 [eqn: y=lnx-2]을 곱해서 그려라.

② 곡선 [eqn: y=x(x-2)]에 [eqn: lnx]를 넣어서 그려라.

③ 곡선 [eqn: y=k(x)]의 변곡점은 [eqn: x]축 위의 점이다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

[eqn: f(x)=sin {1} over {x}]

(2) [eqn: g(x)=x`sin {1} over {x}]

(3) [eqn: h(x)=x ^{2} sin {1} over {x}]

(4) [eqn: k(x)=e ^{x} sinx]

※(1) 다음을 확인해보자.

① 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -1 le f(x) le 1]이다.

② [eqn: x->0]일 때 [eqn: f(x)]는 [eqn: -1]과 [eqn: 1] 사이를 무한히 진동한다.

[eqn: x]의 값이 [eqn: 1][eqn: rarrow][eqn: 0.1][eqn: rarrow][eqn: 0.01][eqn: rarrow][eqn: 0.001][eqn: rarrow][eqn: cdots]로 변하면 [eqn: {1} over {x}]은 [eqn: 1][eqn: rarrow][eqn: 10][eqn: rarrow][eqn: 100][eqn: rarrow][eqn: cdots]가 된다.

이 때, [eqn: sin {1} over {x}]의 값은 [eqn: sin1][eqn: rarrow][eqn: sin10][eqn: rarrow][eqn: sin100][eqn: rarrow][eqn: cdots]가 되며 개흔들린다.

[eqn: RARROW] [eqn: lim_x->0 f(x)]의 값은 존재하지 않는다. 이런 극한을 병리적이라 한다.

※ (2)와 (3)

① [eqn: -|x| le g(x) le |x|], [eqn: -x ^{2} LEQ h(x) LEQ x ^{2}]이다.

② [eqn: g(x)]는 [eqn: -|x|]와 [eqn: |x|] 사이에서, [eqn: h(x)]는 [eqn: -x^2]과 [eqn: x^2] 사이에서 흔들린다.

③ [eqn: g(0)=0]으로 정의하면 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이고 미분 불가능이다.

③ [eqn: h(0)=0]으로 정의하면 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

※(4) [eqn: y=-e ^{x}]와 [eqn: y=e ^{x}] 사이에서 [eqn: sinx]처럼 흔들린다.

[eqn: k(n pi)=0]이다. (1), (2), (3)과 같이 무한진동 같은 형태가 아니다.