SOOHAN

Pattern Drill | 극한값의 야매

Pattern Drill

극한값의 야매

.    .

부정형 0/0꼴

[eqn: 0over0]꼴의 극한값은 뭐든지 될 수 있다.

[eqn: RARROW] [eqn: 0over0]꼴의 부정형의 극한값을 구할 때는 [eqn: 0]을 가지고 있는 인수를 파악한다.

[eqn: RARROW] 로피탈 때릴 때 유용하다.

극한값 [eqn: lim _{x -> pi } {} {sinx} over {tanx CDOT e^x}]의 값을 구하여라.

[eqn: -e ^{- pi }]

함수 [eqn: f(x) = x^2 - x-1]에 대하여 방정식 [eqn: f(x) = 0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,
[eqn: lim _{ x-> alpha} { { f(x)f(-x)} over x-alpha} + lim _{ x-> beta } { f(x)f(-x) over x-beta }]
의 값은?

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

다항함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: lim from {x -> 0 } x over { f(x) } = 1],   [eqn: lim from { x-> 1 } {x-1} over { f(x) } = 2]
를 만족시킬 때, [eqn: lim from { x->1 } { f(f(x)) } over { 2x^2 -x- 1}]의 값은?

①

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 6]

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]인 부채꼴 [eqn: rm ABC]에서
호 [eqn: rm BC] 위를 움직이는 한 점을 [eqn: rm P], [eqn: rmP]에서 [eqn: rmbarAB]에 내린 수선의 발을
[eqn: rmH]라 하자. [eqn: rmanglePAB][eqn: =theta], [eqn: rm bar{HB} it =f(theta)], [eqn: rmtriangleAPH]의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 할 때,
극한 [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {f( theta )} over {g( theta ^{2} )}]의 값을 구하여라.

①

① [eqn: {1} over {r}]	② [eqn: {2} over {r}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: r]	⑤ [eqn: 2r]

0의 크기

[eqn: 0](무한소)이라고 다 같은 [eqn: 0]이 아니고 크기(차수)를 살펴봐야 한다.

[eqn: RARROW] [eqn: x->0]일 때 다항함수의 경우에는 최저차항이 극한값을 결정한다.

다음 극한값을 구하여라.

(1) [eqn: 1]	(2) [eqn: 0]

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} {x+x ^{2} +x ^{3}} over {x+2x ^{2} +3x ^{3}}]

(2) [eqn: lim_x->0+ { [x]} over {x }]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim _{x -> 0} {f(x)} =0],   [eqn: lim_ x->0 { {2x+3x^2 -f(x) } over {x+ 2x^2 + f(x) } } = 5``]
가 성립할 때, [eqn: lim _{x -> 0} {{5x+3x ^{2} -f(x)} over {x+2x ^{2} +f(x)}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 11]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {ln(1+x ^{2} )}} =1]을 만족시킬 때, 다음 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cosx} over {f(x)}} =0``]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)+x ^{2}} over {x`sinx}} =2``]

ㄷ. [eqn: lim_x->0 { { LEFT { f(x) RIGHT }^2 } over {ln(1+x) } }= 0 ``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다항함수 [eqn: f(x)]와 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]이
[eqn: lim _{x-> INF } {{f(x)} over {x ^{m}}} =1],   [eqn: lim _{ x->inf} { {f'(x)} over {x^{m-1} } =a]
[eqn: lim _{ x->0} {{f (x)} over x^n } = b],   [eqn: lim _{ x->0} {{f'(x)} over {x^{n-1}} } =9]
를 모두 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

⑤

ㄱ. [eqn: m ge n]

ㄴ. [eqn: ab ge 9]

ㄷ. [eqn: f(x)]가 삼차함수이면 [eqn: am=bn]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

선형근사

[eqn: x->0]이면 아래와 비슷하게 처리하면 된다.

① [eqn: sinx=x]	② [eqn: tanx=x]	③ [eqn: 1-cosx= {1} over {2} x ^{2}]

④ [eqn: e ^{x} -1=x]	⑤ [eqn: ln(1+x)=x]

다음 극한값을 구하여라.

(1) [eqn: { 3} over {2 }]	(2) [eqn: 1]

(3) [eqn: -1]	(4) [eqn: -{ 1} over { 2}]

(5) [eqn: 4]	(6) [eqn: 2]

(1) [eqn: lim_x->0 {{tan 3x} over {2x}}]	(2) [eqn: lim _{n -> INF } {} n`sin LEFT ( {1} over {n+1} RIGHT )]

(3) [eqn: lim_{x->0} {tan(2x^3 - x^2 +x ) }over {3x^3 +x^2 -x }]	(4) [eqn: lim _{x -> 0} {{sin ^{2} x} over {cosx-1}}]

(5) [eqn: lim _{theta -> 0} {{sin2 theta (1-cos2 theta )} over {theta ^{3}}}]	(6) [eqn: lim_{x->0} {6x over { ln(1+3x) }]

(7) [eqn: lim_{x-> 0} {e^-x - 1} over x]	(8) [eqn: lim_x->0 {{e^{x sin2x} -1} over {x ln(1+x)}}]

[eqn: lim _{x -> 0} {{ln(1+cx)} over {e ^{ax+b} -1}} =5]를 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: {b+c} over {a}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a != 0])

[eqn: 5`]

[eqn: lim _{x-> 0} {{cosax-cos(a+2)x} over {x sinx} =4}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 1]

선형근사로 풀 수 없는 경우

근사식들의 최저차항이 상쇄되는 경우 : 고차근사식이 필요하다.

공부할 필요는 없다. 선형근사가 적용되지 않는 이유를 이해하면 충분하다.

다음 극한값을 구하여라.

(1) [eqn: -1]	(2) [eqn: -{ 1} over { 2}]

(3) [eqn: 1]

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+x)+ln(1-x)} over {x ^{2}}]

(2) [eqn: lim_x->0 { sinx -tanx} over {x^3 }]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} {e ^{x} +e ^{-x} -2} over {x ^{2}}]

로피탈의 정리

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 연속인 도함수를 가지고, [eqn: f(a)=g(a)=0]이면,

[eqn: lim_x->a { g(x)} over {f(x) }= lim_x->a{ g'(x)} over {f`'(x) }]

이다.

※ ‘연속인 도함수’, ‘[eqn: f(a)=g(a)=0]’은 대부분의 극한 문제에 적용된다.

※ 고등학교 수학에서 제대로 증명이 안 되지만, 개편하다. 검산용으로 강추.

[eqn: lim _{x-> pi over4 } {1-tan^2 x } over { sinx - cosx}]의 값은?

②

① [eqn: - 4 root 2]	② [eqn: -2root 2]	③ [eqn: - root 2]

④ [eqn: sqrt2]	⑤ [eqn: 2root 2]

[eqn: lim _{x -> - pi } {{1+cosx} over {(x+ pi )sinx}}]의 값은?

②

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

직선 [eqn: l:][eqn: x=a]에 대하여 [eqn: y=sin pi x]와 [eqn: l]의 교점을 [eqn: rmP], [eqn: y=e^-x -1]와 [eqn: l]의 교점을 [eqn: rmQ],
[eqn: l]의 [eqn: x]절편을 [eqn: rmH]라 하자. 또, 삼각형 [eqn: rmO{PH]의 넓이를 [eqn: f(a)], 삼각형 [eqn: rmOQH]의 넓이를
[eqn: g(a)]라 할 때, 극한 [eqn: lim _{a -> 0+} {} {g(a)} over {f(a)}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

①

① [eqn: { 1} over {pi }]	② [eqn: { 1} over {2 }]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: pi]

함수 [eqn: f(x)= sqrt { - 1 over 2 x+1}]의 역함수 [eqn: f^-1 (x)]와 일차함수 [eqn: g(x)=ax+b]에 대하여
보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

②

ㄱ. [eqn: lim _{x -> `0+} {`f` ^{-1} (x)} =2]

ㄴ. [eqn: lim _{ x->p } {` LEFT { f`^-1 (x) -f(x) RIGHT } }=0]인 실수 [eqn: p]가 존재한다.

ㄷ. [eqn: lim _{ x->1 } {`{f`^-1 (x) } over g(x) }=2]이면 [eqn: g(0)=1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ