SOOHAN

Pattern Drill | 극한의 연산과 미분법

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극한의 연산과 미분법

.    .

지수함수의 극한

밑이 큰 항을 중심으로

다음을 구하여라.

(1) [eqn: 4]	(2) [eqn: -1]	(3) [eqn: -1]

(4) [eqn: 1]	(5) [eqn: 4]	(6) [eqn: 4``]

(1) [eqn: lim _{x -> INF } {{4 ^{x+1} +3 ^{x}} over {2 ^{2x} -2 ^{x+4}} }]	(2) [eqn: lim _{x -> INF } {{2 ^{2x} +7 ^{x}} over {3 ^{x} -7 ^{x}} }]

(3) [eqn: lim _{x -> -INF } { {3 ^{x} -2 ^{-x}} over {3 ^{x} +2 ^{-x}} }]	(4) [eqn: lim _{x -> 0-} {{1} over {1+5 ^{{1} over {x}}} }]

(5) [eqn: lim _{x -> INF } {(3 ^{x} +4 ^{x} ) ^{{1} over {x}}}]	(6) [eqn: lim _{x -> INF } {(2 ^{2x+1} -3 ^{x} ) ^{{1} over {x}}}]

오일러 수

[eqn: lim _{x -> 0} { LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{{1} over {x}}} =e], [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x}} =e]

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: lim_x->a (1+f(x))^ {{ 1} over { f(x)}]꼴을 찾아준다.

다음을 구하여라.

(1) [eqn: e ^{6}]	(2) [eqn: e ^{-2}]	(3) [eqn: e]

(4) [eqn: e ^{- {2} over {3}}]	(5) [eqn: e ^{2}]	(6) [eqn: e ^{{3} over {2}}]

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {(1+2x) ^{{3} over {x}}}]	(2) [eqn: lim _{x -> 0} {(1-x) ^{{2} over {x}}}]

(3) [eqn: lim _{x -> 2} {`(x-1) ^{{1} over {x-2}}}]	(4) [eqn: lim _{x -> - INF } {left(1- {1} over {3x} right) ^{2x}}]

(5) [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( {x+1} over {x-1} RIGHT ) ^{x}}]	(6) [eqn: lim _{x-> INF } {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2x} RIGHT ) RIGHT } ^{x}}]

[eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( {x+a} over {x-a} RIGHT ) ^{x} =e ^{50}}]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 25]

지수함수를 포함한 0/0꼴

① [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{x} -1} over {x} =1}]	② [eqn: lim _{x -> 0} {{a ^{x} -1} over {x} =lna}]

③ [eqn: lim _{x -> 0} {{ln(1+x)} over {x} =1}]	④ [eqn: lim _{x -> 0} {{log _{a} (1+x)} over {x}= {1} over {lna}}]

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: lim_x->a {e^f(x) -1} over { f(x)}], [eqn: lim _{x -> a} {} {ln(1+f(x))} over {f(x)}]꼴을 찾아준다.

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: x->a]이면 [eqn: {e ^{f(x)} -1}], [eqn: ln(1+f(x))]는 대충 [eqn: f(x)]이다.

다음을 구하여라.

(1) [eqn: - {2} over {3}]	(2) [eqn: {5} over {2}]	(3) [eqn: -3]

(4) [eqn: 3]	(5) [eqn: 5]	(6) [eqn: {1} over {2}]

(7) [eqn: {1} over {3}]	(8) [eqn: 2]

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{-2x} -1} over {3x}}]	(2) [eqn: lim _{x -> 0} { {e ^{5x} -1} over {e ^{2x} -1}}]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} { {e ^{3x} -1} over {x ^{2} -x}}]	(4) [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{x ^{2} +3x} -1} over {x}}]

(5) [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{2x} -e ^{-3x}} over {x}}`]	(6) [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{2x} -1} over {ln(1+4x)}} `]

(7) [eqn: lim _{x -> 0} {{ln(1+x+x ^{2} )} over {ln(1+3x)}} `]	(8) [eqn: lim _{x -> 0} { {1} over {x} `ln {1+5x} over {1+3x}}]

[eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{-ax} -1} over {ln(1+a ^{2} x)} = {1} over {9}}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: -9]

[eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+cx)} over {e ^{ax+b} -1} =5]를 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: {b+c} over {a}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a ne0])

[eqn: 5`]

[eqn: lim _{x -> 1} {{ax+b} over {e ^{x-1} -1} =} 3]을 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: lim _{x -> 0} {{LEFT ( a+12 RIGHT ) ^{x} -a ^{x}} over {x} =ln3}]을 만족시키는 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 6]

삼각함수를 포함한 0/0꼴

① [eqn: lim _{x -> 0} {{sinx} over {x} =1}]      ② [eqn: lim _{x -> 0} {{tanx} over {x} =1}]      ③ [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cosx} over {x ^{2}} = {1} over {2}}]

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: lim _{x -> a} {} {sinf(x)} over {f(x)}], [eqn: lim _{x -> a} {} {tanf(x)} over {f(x)}], [eqn: lim _{x -> a} {} {1-cosf(x)} over {left{f(x)right} ^{2}}]꼴을 찾아준다.

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때, [eqn: x->a]이면 [eqn: sinf(x)], [eqn: tanf(x)]는 대충 [eqn: f(x)]이다.

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때, [eqn: x->a]이면 [eqn: 1-cosf(x)]는 대충 [eqn: { 1} over { 2}left{f(x)right}^2]이다.

다음을 구하여라.

(1) [eqn: {1} over {6}]	(2) [eqn: { {3} over {5}]	(3) [eqn: 2]

(4) [eqn: {{5} over {4}}]	(5) [eqn: { {1} over {2}]	(6) [eqn: { {7} over {3}]

(7) [eqn: {1} over {6}]	(8) [eqn: 1over4]	(9) [eqn: 5]

(10) [eqn: 1]

(1) [eqn: lim _{x` -> `0} {` {x} over {sin`6x}}]	(2) [eqn: lim _{x`-> `0} {` {e ^{3x} -1} over {tan`5x}}]

(3) [eqn: lim _{x-> 0} { {e ^{x tan2x} -1} over {x ln LEFT ( 1+x RIGHT )}}]	(4) [eqn: lim _{x-> 0} { {sin LEFT ( 3x ^{2} +5x RIGHT )} over {5x ^{2} +4x}}]

(5) [eqn: lim _{x`-> `0} {` {tan` LEFT ( 3x ^{2} +x RIGHT )} over {sin` LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT )}}]	(6) [eqn: lim _{x-> 0} { {tan2x+tan5x} over {3x}}]

(7) [eqn: lim _{x-> 0} { {1-cosx} over {x tan3x}}]	(8) [eqn: lim _{x-> 0} { {1-cosx} over {1-cos2x}}]

(9) [eqn: lim _{x-> INF } {x sin {5} over {x}}]	(10) [eqn: lim _{x -> 1} {} {sin(x-1)} over {lnx}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 0} { {f LEFT ( tanx RIGHT )} over {tan f LEFT ( x RIGHT )} }]의 값은?

③

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim _{x -> 0} { {bx LEFT ( 3 ^{x} -1 RIGHT )} over {2-a cosx} =-ln3}]을 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

[eqn: 1]

[eqn: lim _{x -> {pi } over {2} -} {LEFT ( {sinx+cosx} over {sinx} RIGHT ) ^{tanx}}]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: {e} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: {2} over {3} e]

미분법

유도하고 외워보자.

① [eqn: left{cf(x)right} prime =cf`'(x)]	② [eqn: LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } prime =f` prime (x)+g` prime (x)]

③ [eqn: LEFT { f(x)g(x) RIGHT } prime =f` prime (x)g(x)+f(x)g` prime (x)]	④ [eqn: left{f(g(x))right}'=f`'(g(x))g`'(x)]

⑤ [eqn: LEFT { {g(x)} over {f(x)} RIGHT } ` prime = {g` prime (x)f(x)-g(x)f` prime (x)} over {left{f(x)right} ^{2}}]	⑥ [eqn: (sinx)'=cosx]

⑦ [eqn: (cosx)'=-sinx]	⑧ [eqn: (tanx)'=sec ^{2} x]

⑨ [eqn: (cotx)'=-csc ^{2} x]	⑩ [eqn: (secx) prime =secx tanx]

⑪ [eqn: (cscx) prime =-cscx`cotx]	⑫ [eqn: (e ^{x} )'=e ^{x}]

⑬ [eqn: (a ^{x} )'=lna`cdota ^{x}]	⑭ [eqn: (lnx)'= {1} over {x}]

⑮ [eqn: (log _{a} x) prime = {1} over {lna`cdot x}]

다음 함수의 도함수를 구하여라.

(1) [eqn: 2x cos LEFT ( x ^{2} RIGHT )]	(2) [eqn: -sin LEFT ( sinx RIGHT ) CDOT cosx]

(3)	[eqn: (-x ^{2} +2x)e ^{-x}]	(4) [eqn: secx LEFT ( 2sec ^{2} x-1 RIGHT )]

(5)	[eqn: - {e ^{x}} over {LEFT ( e ^{x} -1 RIGHT ) ^{2}}]	(6) [eqn: {2sinx} over {LEFT ( 1+cosx RIGHT ) ^{2}}]

(1) [eqn: y=sin(x ^{2} )]	(2) [eqn: y=cos(sinx)]

(3) [eqn: y=x ^{2} e ^{-x}]	(4) [eqn: y=tanx secx]

(5) [eqn: y= e^x over{e^x -1}]	(6) [eqn: y= {1-cosx}over{1+cosx}]

다음 함수의 도함수를 구하여라.

(1)	[eqn: {1} over {x}]	(2) [eqn: {1} over {x}]

(3)	[eqn: { 1-lnx} over {x^2 }]	(4) [eqn: cosx times e^sinx]

(5) [eqn: e^x sin(e^x )]	(6) [eqn: {1-2x ^{2}} over {sqrt {1-x ^{2}}}]

(7)	[eqn: 2xe ^{sin(x ^{2} )} cos(x ^{2} )]	(8) [eqn: - {x sec ^{2} sqrt {1-x ^{2}}} over {sqrt {1-x ^{2}}}]

(1) [eqn: y= ln2x]	(2) [eqn: y=ln(-x)]

(3) [eqn: y= { lnx} over {x }]	(4) [eqn: y=e^sinx]

(5) [eqn: y=sin(e ^{x} )]	(6) [eqn: y=x sqrt {1-x ^{2}}]

(7) [eqn: y= e^{sin(x^2 )}]	(8) [eqn: y=tan root{1-x^2}]

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Pattern Drill | 극한값의 야매

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극한값의 야매

.    .

부정형 0/0꼴

[eqn: 0over0]꼴의 극한값은 뭐든지 될 수 있다.

[eqn: RARROW] [eqn: 0over0]꼴의 부정형의 극한값을 구할 때는 [eqn: 0]을 가지고 있는 인수를 파악한다.

[eqn: RARROW] 로피탈 때릴 때 유용하다.

[eqn: lim _{x -> pi } {} {sinx} over {tanx CDOT e^x}]의 값을 구하여라.

[eqn: -e ^{- pi }]

함수 [eqn: f(x) = x^2 - x-1]에 대하여 방정식 [eqn: f(x) = 0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,
[eqn: lim _{ x-> alpha} { { f(x)f(-x)} over x-alpha} + lim _{ x-> beta } { f(x)f(-x) over x-beta }]
의 값은?

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

다항함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: lim from {x -> 0 } x over { f(x) } = 1],   [eqn: lim from { x-> 1 } {x-1} over { f(x) } = 2]
를 만족시킬 때, [eqn: lim from { x->1 } { f(f(x)) } over { 2x^2 -x- 1}]의 값은?

①

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 6]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]인 부채꼴 [eqn: rm ABC]에서 호 [eqn: rm BC] 위를
움직이는 한 점을 [eqn: rm P], [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.
[eqn: rmanglePAB][eqn: =theta], [eqn: rm bar{HB} it =f(theta)], [eqn: rmtriangleAPH]의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 할 때,
[eqn: lim _{theta -> 0+} {} {f( theta )} over {g( theta ^{2} )}]의 값을 구하여라.

①

① [eqn: {1} over {r}]	② [eqn: {2} over {r}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: r]	⑤ [eqn: 2r]

0의 크기

[eqn: 0](무한소)이라고 다 같은 [eqn: 0]이 아니고 크기(차수)를 살펴봐야 한다.

[eqn: RARROW] [eqn: x->0]일 때 다항함수의 경우에는 최저차항이 극한값을 결정한다.

다음을 구하여라.

(1) [eqn: 1]	(2) [eqn: 0]

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} {x+x ^{2} +x ^{3}} over {x+2x ^{2} +3x ^{3}}]

(2) [eqn: lim_x->0+ { [x]} over {x }]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim _{x -> 0} {f(x)} =0],   [eqn: lim_ x->0 { {2x+3x^2 -f(x) } over {x+ 2x^2 + f(x) } } = 5``]
가 성립할 때, [eqn: lim _{x -> 0} {{5x+3x ^{2} -f(x)} over {x+2x ^{2} +f(x)}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 11]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {ln(1+x ^{2} )}} =1]을 만족시킬 때, 다음 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cosx} over {f(x)}} = { 1} over { 2}]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)+x ^{2}} over {x sinx}} =2]

ㄷ. [eqn: lim_x->0 { { LEFT { f(x) RIGHT }^2 } over {e^x -1 }= 0]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다항함수 [eqn: f(x)]와 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]이
[eqn: lim _{x-> INF } {{f(x)} over {x ^{m}}} =1],   [eqn: lim _{ x->inf} { {f'(x)} over {x^{m-1} } =a]
[eqn: lim _{ x->0} {{f (x)} over x^n } = b],   [eqn: lim _{ x->0} {{f'(x)} over {x^{n-1}} } =9]
를 모두 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

⑤

ㄱ. [eqn: m ge n]

ㄴ. [eqn: ab ge 9]

ㄷ. [eqn: f(x)]가 삼차함수이면 [eqn: am=bn]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

선형근사

[eqn: STAR->0]이면 아래와 비슷하게 처리하면 된다.

① [eqn: sin(STAR) =STAR]	② [eqn: tan(STAR) =STAR]	③ [eqn: 1-cos(STAR) = { 1} over {2 }( STAR)^2]

④ [eqn: e ^{STAR} -1=STAR]	⑤ [eqn: ln(1+STAR)=STAR]

다음을 구하여라.

(1) [eqn: { 3} over {2 }]	(2) [eqn: 1]

(3) [eqn: -1]	(4) [eqn: -{ 1} over { 2}]

(5) [eqn: 4]	(6) [eqn: 2]

(1) [eqn: lim_x->0 {{tan 3x} over {2x}}]	(2) [eqn: lim _{n -> INF } {} n`sin LEFT ( {1} over {n+1} RIGHT )]

(3) [eqn: lim_{x->0} {tan(2x^3 - x^2 +x ) }over {3x^3 +x^2 -x }]	(4) [eqn: lim _{x -> 0} {{sin ^{2} x} over {cosx-1}}]

(5) [eqn: lim _{theta -> 0} {{sin2 theta (1-cos2 theta )} over {theta ^{3}}}]	(6) [eqn: lim_{x->0} {6x over { ln(1+3x) }]

(7) [eqn: lim_{x-> 0} {e^-x - 1} over x]	(8) [eqn: lim_x->0 {{e^{x sin2x} -1} over {x ln(1+x)}}]

[eqn: lim _{x -> 0} {{ln(1+cx)} over {e ^{ax+b} -1}} =5]를 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: {b+c} over {a}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a != 0])

[eqn: 5`]

[eqn: lim _{x-> 0} {{cosax-cos(a+2)x} over {x sinx} =4}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 1]

선형근사로 풀 수 없는 경우

근사식들의 최저차항이 상쇄되는 경우 : 고차근사식이 필요하다.

공부할 필요는 없다. 선형근사가 적용되지 않는 이유를 이해하면 충분하다.

다음을 구하여라.

(1) [eqn: -1]	(2) [eqn: -{ 1} over { 2}]

(3) [eqn: 1]

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+x)+ln(1-x)} over {x ^{2}}]

(2) [eqn: lim_x->0 { sinx -tanx} over {x^3 }]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} {e ^{x} +e ^{-x} -2} over {x ^{2}}]

로피탈의 정리

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]의 근방에서 연속인 도함수를 가지고, [eqn: f(a)=g(a)=0]이면,

[eqn: lim_x->a { g(x)} over {f(x) }= lim_x->a{ g'(x)} over {f`'(x) }]

이다.

※ ‘연속인 도함수를 가짐.’, ‘[eqn: f(a)=g(a)=0]’은 대부분의 극한 문제에 적용된다.

※ 고등학교 수학에서 제대로 증명이 안 되지만, 개편하다.

[eqn: lim _{x-> pi over4 } {1-tan^2 x } over { sinx - cosx}]의 값은?

②

① [eqn: - 4 root 2]	② [eqn: -2root 2]	③ [eqn: - root 2]

④ [eqn: sqrt2]	⑤ [eqn: 2root 2]

[eqn: lim _{x -> - pi } {{1+cosx} over {(x+ pi )sinx}}]의 값은?

②

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

직선 [eqn: l:][eqn: x=a]에 대하여 [eqn: y=sin pi x]와 [eqn: l]의 교점을 [eqn: rmP], [eqn: y=e^-x -1]와 [eqn: l]의 교점을 [eqn: rmQ],
[eqn: l]의 [eqn: x]절편을 [eqn: rmH]라 하자. 또, 삼각형 [eqn: rmO{PH]의 넓이를 [eqn: f(a)], 삼각형 [eqn: rmOQH]의 넓이를
[eqn: g(a)]라 할 때, 극한 [eqn: lim _{a -> 0+} {} {g(a)} over {f(a)}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

①

① [eqn: { 1} over {pi }]	② [eqn: { 1} over {2 }]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: pi]

함수 [eqn: f(x)= sqrt { - 1 over 2 x+1}]의 역함수 [eqn: f^-1 (x)]와 일차함수 [eqn: g(x)=ax+b]에 대하여
보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

②

ㄱ. [eqn: lim _{x -> `0+} {`f` ^{-1} (x)} =2]

ㄴ. [eqn: lim _{ x->p } {` LEFT { f`^-1 (x) -f(x) RIGHT } }=0]인 실수 [eqn: p]가 존재한다.

ㄷ. [eqn: lim _{ x->1 } {`{f`^-1 (x) } over g(x) }=2]이면 [eqn: g(0)=1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

극한 좀 이상한 문제들.

지수함수의 극한

대충 밑이 큰 놈 중심으로

다음을 구하여라.

(1) [eqn: -inf]	(2) [eqn: 3]	(3) [eqn: 5]

(4) [eqn: 0]	(5) [eqn: 0]	(6) [eqn: -inf]

(7) [eqn: log _{3} 2]	(8) [eqn: log _{3} 5]	(9) [eqn: log _{3} 2]

(1) [eqn: lim _{x -> 0+} {} {logx} over {x}]	(2) [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 2 ^{x} +3 ^{x} RIGHT ) ^{{1} over {x}}}]

(3) [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 5 ^{x+1} -3 ^{x+2} RIGHT ) ^{{1} over {x}}}]	(4) [eqn: lim _{x -> - INF } {} (2 ^{x} x)]

(5) [eqn: lim _{x -> 0+} {} (x logx)]	(6) [eqn: lim _{x -> 0+} {} (2 ^{{1} over {x}} `logx)]

(7) [eqn: lim _{x -> inf} {} ` {log _{3} x+1} over {log _{2} x}]	(8) [eqn: lim _{x -> 0+} {} ` {log _{3} x+1} over {log _{5} x}]

(9) [eqn: lim _{x -> inf} {} ` {log _{3} (x+3)} over {log _{2} (3x)}]

대충

푸는 문제

다음 극한값을 구하여라.

(1) [eqn: {- root{3} over 18 }`]	(2) [eqn: 0`]	(3) [eqn: { 1} over {2 }]

(4) [eqn: 0]	(5) [eqn: 0]	(6) [eqn: 1]

(1) [eqn: lim_{x->0} 1 over x`left( 1 over root{x+3} - 1 over root{3} right)]	(2) [eqn: lim_{x`->`0}`{root{1+x^2 }-root{1-x^2 }} over {root{1+x}-root{1-x}}`]

(3) [eqn: lim_{x`->`-inf}`x^2`left( 1 + x over root{x^2 +1} right)`]	(4) [eqn: lim _{x-> 0} {tanx sin {1} over {x}}]

(5) [eqn: lim _{x -> 0} {} {x ^{2}} over {x+1} `sin {pi } over {3x}]	(6) [eqn: lim _{x-> INF } {sin{left(tan {1} over {x} right)cot {1} over {x}}]

삼각함수를 포함한 0/0꼴

① [eqn: lim _{x -> 0} {{sinx} over {x} =1}]      ② [eqn: lim _{x -> 0} {{tanx} over {x} =1}]      ③ [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cosx} over {x ^{2}} = {1} over {2}}]

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: lim _{x -> a} {} {sinf(x)} over {f(x)}], [eqn: lim _{x -> a} {} {tanf(x)} over {f(x)}], [eqn: lim _{x -> a} {} {1-cosf(x)} over {left{f(x)right} ^{2}}]꼴을 찾아준다.

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때, [eqn: x->a]이면 [eqn: sinf(x)], [eqn: tanf(x)]는 대충 [eqn: f(x)]이다.

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때, [eqn: x->a]이면 [eqn: 1-cosf(x)]는 대충 [eqn: { 1} over { 2}left{f(x)right}^2]이다.

다음을 구하여라.

(1) [eqn: -1]	(2) [eqn: 1overpi]	(3) [eqn: 1]

(4) [eqn: 2a]	(5) [eqn: 1]	(6) [eqn: 385]

(7) [eqn: 4]	(8) [eqn: sin2a]	(9) [eqn: -4]

(10) [eqn: - {pi} over {4}]	(11) [eqn: {1} over {8}]	(12) [eqn: - root2]

(13) [eqn: 1]	(14) [eqn: 1]	(15) [eqn: 1over2]

(1) [eqn: lim_{x-> pi over2 } left(x- piover2right) tanx]	(2) [eqn: lim_x->2 x-2 over{ sin pi x }]

(3) [eqn: lim _{x -> INF } {} {sec LEFT ( {pi } over {2} - {1} over {x} RIGHT ) - {pi } over {2}} over {x}]	(4) [eqn: lim_x->inf x sin 2a over x+a] (단, [eqn: a]는 상수)

(5) [eqn: lim _{x-> pi } {{sin LEFT ( sinx RIGHT )} over {sinx}}]	(6) [eqn: lim _{theta -> 0} {LEFT ( {sin theta tan theta +sin2 theta tan2 theta + CDOTS +sin10 theta tan10 theta } over {theta ^{2}} RIGHT )}]

(7) [eqn: lim _x->0 { {6x^2 } over {cos x- cos 2x}}]	(8) [eqn: lim _x->0 {{sin^2 (a+x)-sin^2 a} over x}]

(9) [eqn: lim_x->0 {sinx (cos4x - 1)}over { 2x^3 }]	(10) [eqn: lim _{x -> 2} {{sin LEFT ( cos {pi } over {4} x RIGHT )} over {x-2}}]

(11) [eqn: lim_x->0 { 1-cos( 1-cosx)} over x^4]	(12) [eqn: lim_{x->{ pi over4} } {1- tanx }over { sinx - cosx}]

(13) [eqn: lim _{x-> 0+} { {log sinx} over {log tanx}}]	(14) [eqn: lim _{x -> 0} {{2sinx-sin2x} over {x ^{3}}}]

(15) [eqn: lim _{x -> 0} {{tan`x-sin`x} over {x ^{3}}}]

오일러 수

[eqn: lim _{x -> 0} { LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{{1} over {x}}} =e], [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x}} =e]

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: lim_x->a (1+f(x))^ {{ 1} over { f(x)}]꼴을 찾아준다.

다음을 구하여라.

(1) [eqn: {1} over {root {3} of {e ^{5}}}]	(2) [eqn: e ^{6}]	(3) [eqn: e^2]

(4) [eqn: sqrt {e}]	(5) [eqn: 1 over e^2]	(6) [eqn: e]

(7) [eqn: e]

(1) [eqn: lim _{x -> - INF } {LEFT ( 1- {1} over {3x} RIGHT ) ^{5x}}]	(2) [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( {x} over {x-3} RIGHT ) ^{2x}}]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( {x+1} over {x-1} RIGHT ) ^{x}]	(4) [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( 1+sinx RIGHT )} ^{{1} over {e ^{2x} -1}}]

(5) [eqn: lim_x->inf left( cos 2 over x right)^{x^2 }]	(6) [eqn: lim _{x-> {pi } over {2} -} {LEFT ( {sinx+cosx} over {sinx} RIGHT ) ^{tanx}}]

(7) [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT { {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {n+1} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {n+2} RIGHT ) CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT ) RIGHT } ^{2n}]

지수함수를 포함한 0/0꼴

① [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{x} -1} over {x} =1}]	② [eqn: lim _{x -> 0} {{a ^{x} -1} over {x} =lna}]

③ [eqn: lim _{x -> 0} {{ln(1+x)} over {x} =1}]	④ [eqn: lim _{x -> 0} {{log _{a} (1+x)} over {x}= {1} over {lna}}]

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: lim_x->a {e^f(x) -1} over { f(x)}], [eqn: lim _{x -> a} {} {ln(1+f(x))} over {f(x)}]꼴을 찾아준다.

* [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: x->a]이면 [eqn: {e ^{f(x)} -1}], [eqn: ln(1+f(x))]는 대충 [eqn: f(x)]이다.

다음을 구하여라.

(1) [eqn: ln {a+12} over {a}]	(2) [eqn: ln2e]

(3)	[eqn: 2]	(4) [eqn: 1]	(5) [eqn: e]

(1) [eqn: lim _{x-> 0} {} {(a+12) ^{x} -a ^{x}} over {x}]	(2) [eqn: lim_x->0 {e^x - 2^-x} over x]

(3) [eqn: lim _{x -> 1} { {x ^{3} -e ^{x-1}} over {x-1}}]	(4) [eqn: lim_x->0 { e^x +e^-x -2} over {x^2 }]

(5) [eqn: lim_x->0 {e^{1-sinx}-e^{1-tanx}} over {tanx- sinx}]

다음을 구하여라.

(1) [eqn: 10]	(2) [eqn: ln 2]	(3) [eqn: -9]

(4)	[eqn: 1]	(5) [eqn: 1over2 ` lnab]	(6) [eqn: 2]

(7) [eqn: { 5} over {2 }]

(1) [eqn: lim _x->0 { 1over x} `ln(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x)]

(2) [eqn: lim _h->0 {{(ln 9)^h -(ln3)^h } over h]	(3) [eqn: lim _{x -> 0} {{ln(1+3x)+ln(1-3x)} over {x ^{2}}}]

(4) [eqn: lim _{x -> 0+} {} {ln(sinx)} over {lnx}]	(5) [eqn: lim_x->0 1over x `ln{a^x +b^x } over 2] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수)

(6) [eqn: lim _{x -> 1} {} {lnx ^{2}} over {ln(1+lnx)}]	(7) [eqn: lim_x->0 { 1} over {x }`ln { e^x +e^2x +e^3x +e^4x} over { 4}]

미지함수를 포함한 극한

① 꼴을 잘 맞춰준다.

③ 미분가능한 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x->a} {f(x)-b} over {x-a} =c]이면 [eqn: f(a)=b], [eqn: f'(a)=c]이다.

다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: 6]	(2) [eqn: 2]	(3) [eqn: 3]

(4) [eqn: 2]	(5) [eqn: -1]	(6) [eqn: 0]

(7) [eqn: {5} over {4}]	(8) [eqn: {1} over {8}]	(9) [eqn: 1 over 6]

(10) [eqn: 7]

(1) [eqn: lim _{x->inf} xf(x)=3], [eqn: lim_x->inf (x^2 +3x+2)g(x)=2]일 때, [eqn: lim_x->inf (x+1)^3 f(x)g(x)]의 값은?

(2) [eqn: lim_{x->inf}{f(x)} over x =alpha (!=0)]일 때, [eqn: lim_{x->inf}{2x^2 +f(x)} over {x^2 +2f(x)}]의 값은?

(3) [eqn: lim_{x->-inf}{2f(x)-1} over {root{x^2 -f(x)}+f(x)}=3]일 때, [eqn: lim_{x->-inf}{f(x)} over x]의 값은?

(4) [eqn: lim _{ x->a} { f LEFT ( x RIGHT ) }=inf], [eqn: lim _{ x->a} { { sqrt { g LEFT ( x RIGHT ) } } over { f LEFT ( x RIGHT ) } }=2]일 때, [eqn: lim _{ x->a} { { log g LEFT ( x RIGHT ) } over { log f LEFT ( x RIGHT ) } }]의 값은?

(5) [eqn: lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) +1} over {x-2} =4}]일 때, [eqn: lim _{x-> 2} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} +f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -4}}]의 값은?

(6) [eqn: lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} =3}], [eqn: lim _{x -> 1} {{x-1} over {g LEFT ( x RIGHT )} = {1} over {3}]일 때, [eqn: lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} }}]의 값은?

(7) [eqn: lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-2} =-1], [eqn: lim _{x -> 2} {{g(x)} over {x-2} =3]일 때, [eqn: lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) +2g LEFT ( x RIGHT )} over {-f(x)+g(x)} }}]의 값은?

(8) [eqn: lim _{x -> INF } {f LEFT ( x RIGHT ) = INF], [eqn: lim _{x-> INF } {LEFT { 2f LEFT ( x RIGHT ) -3g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } =2}}]일 때, [eqn: lim _{x-> INF } {{f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )} over {2f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )}}]의 값은?

(9) [eqn: lim from{ x-> 0} f(x) over x =1]일 때, [eqn: lim from{ x-> 3} {f(x-3)} over {x^2 -9}]의 값은?

(10) [eqn: lim _{x -> INF } { LEFT { 2x ^{2} -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } =2}]일 때, [eqn: lim _{x -> INF } {{x ^{2} +3f LEFT ( x RIGHT )} over {-x ^{2} +f(x)}}]의 값은?

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _x->0 {{f(x) } over {sinx }=1]을 만족시킬 때, 다음 보기 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cosx} over {f(x)} =0}]     ㄴ. [eqn: lim _x->0 {{f(x)+x } over ln(1+x)}=2]     ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {x} =0}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여
[eqn: lim _{x -> 0} {f(x)=0],   [eqn: lim _{x -> 0} {g(x)=0],   [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {g(x)} =1}}}]
이 성립할 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: lim _x->0 {tanf(x) over tang(x) =1]      ㄴ. [eqn: lim _x->0 {{e^f(x) } OVER e^g(x)} =1]      ㄷ. [eqn: lim _x->0 {{ln |`f(x)`| } over{ ln |`g(x)`| }=1]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ