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Pattern Drill | 수열 극한의 진위판정

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수열 극한의 진위판정

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수열 극한의 진위판정

① 수렴성의 연산 : 수렴하는 것끼리 더하기, 빼기, 곱하기는 되고 나누기는 조심

② 부정형의 이해 : [eqn: {inf} over {inf}]나 [eqn: inf-inf] 꼴은 어떻게 될지 몰라.

③ 샌드위치 정리 : 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} <b _{n}]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} le lim _{n -> INF } {} b _{n}]

④ 반례 찾기 : 일단 대충 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: cdots] 이런 것들로..?

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{2n} = alpha]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} = alpha]이다.

거짓

[eqn: lim_n->inf a_n = alpha]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{2n} =alpha]이다.

참

[eqn: lim_n->inf a_n+1 = alpha]이면 [eqn: lim_n->inf a_2n = lim_n->inf a_2n-1]이다.

참

[eqn: lim_n->inf `a_2n-1 =lim_n->inf `a_2n =alpha]이면 [eqn: lim_n->inf `a_3n =alpha]이다.

참

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{3n}} = alpha], [eqn: lim _{n -> inf} {a _{3n+1}} = alpha], [eqn: lim _{n -> inf} {a _{3n+2}} = alpha]이면 [eqn: lim _{n -> inf} {a _{n}} = alpha]이다.

참

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }]이 수렴한다.

참

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }]이 수렴한다.

참

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} over b _{n} RIGHT }]이 수렴한다. (단, [eqn: b_n !=0])

거짓

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { {b _{n}} over {a _{n}} RIGHT }]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 수렴한다. (단, [eqn: a _{n} != 0])

참

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: left {a_n b_n right }]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: left {b_n right }]이 수렴한다.

거짓

[eqn: lim _{n -> inf} {a _{n} b _{n}} =1]이고 [eqn: lim _{n -> inf} {a _{n}} =1]이면 [eqn: lim _{n -> inf} {b _{n}} =1]이다.

참

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} b _{n}} =0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =0] 또는 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} =0]이다.

거짓

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}]과 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}}]이 존재하는 것이 이 명제의 전제가 아니냐는 좋은 의견.

너무 파고들지 말자. 출제자는 의외로 별 생각이 없다. 생각할 수록 손해.

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 모두 수렴하고 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} b _{n}} =0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =0] 또는 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} =0]이다.

참

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]이 모두 발산하면 수열 [eqn: left{a_n b_n right}]이 발산한다.

거짓

수열 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }]이 수렴하면 수열 [eqn: left{a _{n} right}] 또는 수열 [eqn: left{b _{n} right}]이 수렴한다.

거짓

수열 [eqn: left{a _{n} b _{n} right}]이 발산하면 수열 [eqn: left{a _{n} right}] 또는 수열 [eqn: left{b _{n} right}]이 발산한다.

참

수열 [eqn: left{a _{n} b _{n} right}]이 수렴하면 두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}] 중 적어도 하나는 수렴한다.

거짓

수열 [eqn: LEFT { a _{n} over b _{n} RIGHT }]이 발산하면 수열 [eqn: left{a _{n} right}] 또는 수열 [eqn: left{b _{n} right}]이 발산한다.

거짓

수열 [eqn: left{a_n right}]이 수렴하고 수열 [eqn: left{b_n right]이 발산하면 수열 [eqn: left{a _{n} b _{n} right}]이 발산한다.

거짓

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: 0]이 아닌 값으로 수렴하고 수열 [eqn: left{b_n right]이 발산하면 수열 [eqn: left{a _{n} b _{n} right}]이 발산한다.

참

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{a_n -b_n right]이 같은 값으로 수렴하면 수열 [eqn: left{ b_n over a_n right}]은 [eqn: 0]으로 수렴한다.

거짓

[eqn: alpha!=0]이고 [eqn: lim_n->inf a_n =alpha], [eqn: lim _{n -> INF } {} left{a _{n} -b _{n} right}= alpha]이면 [eqn: lim _{n->inf} {b _{n}} over {a _{n}} =0]이다.

참

[eqn: lim _{n->inf} a _{n} =alpha]이면 [eqn: lim _{n->inf} a _{n} ^{```2} =alpha ^{2}]이다.

참

수열 [eqn: left{a _{n} ^{```2} right}]이 수렴하면 수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 수렴한다.

거짓

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} ^{```2}}= alpha]이면 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} = sqrt {alpha }}] 또는 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =- sqrt {alpha }}]이다.

거짓

수렴하는 수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n } ^{```2}= alpha]이면 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} = sqrt {alpha }}] 또는 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =- sqrt {alpha }}]이다.

참

수열 [eqn: LEFT{ | a _{n} | RIGHT }]이 수렴하면 [eqn: left{a _{n} right}]이 수렴한다.

거짓

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_2n-1 a_2n = 0]이면 [eqn: lim_n->inf a_n = 0]이다.

거짓

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT | `a _{n} ` RIGHT |} `=0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} `=0]이다.

참

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} `=0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT | `a _{n} ` RIGHT |} `=0]이다.

참

증명은 잘 안 됩니다. (입실론 어쩌고 필요)

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} ^{```2}} =0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =0]이다.

참

증명은 잘 안 됩니다.

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} ^{```2}} =1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =1] 또는 [eqn: lim _{n->inf} a _{n} =-1]이다.

거짓

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT | a _{n} RIGHT | LEQ M]이고 [eqn: lim _{n -> inf} {b _{n}} =0]이면 [eqn: lim _{n -> inf} {a _{n} b _{n}} =0]이다.

참

[eqn: -Mb _{n} LEQ a _{n} b _{n} LEQ Mb _{n}]에서 샌드위치

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} =- INF], [eqn: lim _{n -> INF } {} b _{n} =inf]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} b _{n} =-inf]이다.

참

[eqn: { lim _{ n-> inf}a_n = inf], [eqn: lim _{ n-> inf}b_n =0 }]이면 [eqn: { lim _{ n-> inf}a_n b_n =0 }]이다.

거짓

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} = INF], 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b_n >0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} b _{n} = INF]이다.

거짓

[eqn: lim_n->inf a_n = 0], [eqn: lim_n->inf a_n b_n = 1]이면 수열 [eqn: left{b_n right]이 발산한다.

참

[eqn: lim_n->inf a_n =0], [eqn: lim_n->inf a_n b_n = 1]이면 [eqn: lim_n->inf b_n =inf]이다.

거짓

[eqn: lim_n->inf a_n =0], [eqn: lim_n->inf a_n b_n = 1]이면 [eqn: lim_n->inf b_n =inf]이거나 [eqn: lim_n->inf b_n =-inf]이다.

거짓

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} =inf], [eqn: lim _{n -> INF } {} b _{n} =inf]이면 수열 [eqn: left{a _{n} -b _{n} right}]이 수렴한다.

거짓

[eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} -b _{n} )=alpha]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {} b _{n} =inf]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} =inf]이다.

참

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} =inf], [eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} -b _{n} )=alpha]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} {b _{n}} over {a _{n}} =1]이다.

참

[eqn: lim _{n -> INF } {} {b _{n}} over {a _{n}} =1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } (a _{n} -b _{n} )]이 수렴한다.

거짓

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n}} =0]이면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 수렴한다.

거짓

수렴하는 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에서 [eqn: a_n <b_n]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} a_n < lim_n->inf b_n]이다.

거짓

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n <c_n <b_n]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {} (b _{n} -a _{n} )=0]이면 수열 [eqn: left { c_n right }]이 수렴한다.

거짓

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 < a_n < b_n]이고 수열 [eqn: left { b_n right }]이 수렴하면 수열 [eqn: left { a_n right }]이 수렴한다.

거짓

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0<a _{n} <1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{1} a _{2} CDOTS a _{n} )=0]이다.

거짓

반례 : [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {n(n+1)}}]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 1<a _{n}]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{1} a _{2} CDOTS a _{n} )=inf]이다.

거짓

반례 : [eqn: 2 ^{{1} over {n(n+1)}}]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n <0<b _{n}]이고 [eqn: lim_n->inf (a_n -b_n )=0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {}a_n =0]이다.

참

[eqn: a _{n} -b _{n} <a _{n} <0]에서 샌드위치

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0<a_n+1 < { 1} over {2 }a_n]이면 [eqn: lim_n->inf a_n =0]이다.

참

[eqn: a _{2} < {1} over {2} a _{1}], [eqn: a _{3} < {1} over {2} a _{2}], [eqn: cdots], [eqn: a _{n} < {1} over {2} a _{n-1}]을 변변 곱하면 [eqn: 0<a _{n} <left( {1} over {2} right) ^{n-1} a _{1}]이다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} >0]이고 [eqn: a _{n+1} > {100} over {99} a _{n}]이면 [eqn: lim _{n -> inf} {a _{n}} =inf]이다.

참

[eqn: a _{n} >a _{1} LEFT ( {100} over {99} RIGHT ) ^{n-1}]에서

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 수렴하고 [eqn: LEFT | b _{n} RIGHT | < LEFT | c _{n} RIGHT |]일 때 수열 [eqn: LEFT { a _{n} `c _{n} RIGHT }]이 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} `b _{n} RIGHT }]도 수렴한다.

거짓

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} <0<b _{n}], [eqn: lim _{n->inf} a _{n} b _{n} =0]이고 [eqn: lim _{n->inf} a _{n} !=0]이면 [eqn: lim _{n->inf} b _{n} =0]이다.

거짓

반례 : [eqn: left{a _{n} right}] : [eqn: -1], [eqn: - {1} over {2}], [eqn: -1], [eqn: - {1} over {4}], [eqn: -1], [eqn: - {1} over {6}], [eqn: -1], [eqn: - {1} over {8}], [eqn: cdots]

[eqn: left{b _{n} right}] : [eqn: {1} over {1}], [eqn: 1], [eqn: {1} over {3}], [eqn: 1], [eqn: {1} over {5}], [eqn: 1], [eqn: {1} over {7}], [eqn: 1], [eqn: cdots]

급수의 극한 진위판정

① [eqn: sum_n=1 ^inf a_n =lim_n->inf sum_k=1 ^n a_k]

② 급수의 수렴과 수열의 수렴 : [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n->inf} a _{n} =0]이다. 역은 ㄴㄴ

③ [eqn: p]급수 : [eqn: sum _{n=1} ^{inf} x ^{p}]는 [eqn: p< -1]이면 수렴하고, [eqn: p ge -1]이면 발산한다.

④ 등비급수가 수렴하는 범위 : [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ar ^{n-1}]은 [eqn: a=0] 또는 [eqn: -1<r<1]이면 수렴한다.

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_k=1 ^n a_k =S_n]일 때, [eqn: left{S_n right]이 수렴하면 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n]이 수렴한다.

참

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a_n]이 수렴하면 [eqn: lim_n->inf a_n =0]이다.

참

[eqn: lim_n->inf a_n =0]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a_n]이 수렴한다.

거짓

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a_n]과 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 모두 수렴하면 [eqn: sum from{ n=1} to inf (a_n +b_n )]이 수렴한다.

참

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )]과 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -b _{n} )]이 모두 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴한다.

참

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =S]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n+1} =S]이다.

거짓

[eqn: lim _{n -> inf} {sum _{k=1} ^{n} a _{k}} =S]이면 [eqn: lim _{n -> inf} {sum _{k=1} ^{2n} a _{k}} =S]이다.

참

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =S]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{2n} =S]이다.

거짓

[eqn: sum_n=1 ^inf a_n], [eqn: sum_n=1 ^inf b_n]이 모두 수렴하면, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } a _{n} sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이다.

거짓

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n-1} = alpha], [eqn: sum from{ n=1} to inf a_2n = beta]이면 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n = alpha+beta]이다.

참

[eqn: sum_n=1 ^inf a_n = alpha], [eqn: sum_n=1 ^inf b_n = beta]이고 [eqn: alpha> beta]이면 [eqn: lim_n->inf a_n >lim_n->inf b_n]이다.

거짓

[eqn: sum_n=1 ^inf a_n]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(a _{n} -1 right)]이 발산한다.

참

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} b _{n}]이 수렴하고 [eqn: lim _{n->inf} a _{n} =1]이면 [eqn: lim _{n->inf} b _{n} =0]이다.

참

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} b _{n}]이 수렴하고 수열 [eqn: left{ a _{n} right}]이 발산하면 [eqn: lim _{n->inf} b _{n} =0]이다.

거짓

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n > b_n]이고 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n = alpha], [eqn: sum_n=1 ^inf b_n = beta]이면 [eqn: alpha> beta]이다.

참

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n > b_n]이고 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n = alpha], [eqn: sum_n=1 ^inf b_n = beta]이면 [eqn: alpha ge beta]이다.

참

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]이 [eqn: b_n =a_n+1 -a_n]일 때, [eqn: left{a_n right]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 수렴한다.

참

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]이 [eqn: b_n =a_n+1 -a_n]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 수렴한다.

참

[eqn: sum_n=1 ^inf a_n]과 [eqn: sum_n=1 ^inf b_n]이 모두 발산하면 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n b_n]이 발산한다.

거짓

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n}]이 수렴하고 [eqn: sum_n=1 ^inf b_n]이 발산하면 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {a _{n}} over {b _{n}}]이 수렴한다.

거짓

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +a _{n+1} )]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴한다.

거짓

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n+1]이 수렴한다.

참

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( a _{n} -a _{n+1} RIGHT )]이 수렴한다.

참

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n+1} -a _{n} )]이 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 수렴한다.

참

[eqn: sum_n=1 ^inf a_n]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}]이 수렴한다.

거짓

반례 : [eqn: left{a_n right}] : [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: - {1} over {sqrt {2}}], [eqn: {1} over {sqrt {2}}], [eqn: - {1} over {sqrt {2}}], [eqn: {1} over {sqrt {3}}], [eqn: cdots]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴한다.

거짓

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ^{```2}]이 수렴한다.

거짓

반례 : [eqn: left{a_n right}] : [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: -{ 1} over {2 }], [eqn: { 1} over { 2}], [eqn: -{ 1} over {3 }], [eqn: { 1} over {3 }], [eqn: cdots]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ^{```2}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴한다.

거짓

반례 : [eqn: a _{n} = {1} over {n}]

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n}], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 모두 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}b_n]이 수렴한다.

거짓

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0<a _{n} <b _{n}]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴한다.

참

[eqn: sum_n=1^inf `a_n b_n =sum_n=1^inf `2a_n =alpha]이면 [eqn: lim_n->inf `b_n =2]이다.

거짓

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } 2 ^{n} a _{n}]이 수렴한다.

거짓

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {2 ^{n}}]이 수렴한다.

참

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n]이 수렴하면 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_2n]이 수렴한다.

참

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n]이 발산하면 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_2n]이 발산한다.

참

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{3n}]이 수렴한다.

참

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{3n}]이 수렴하면 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n]이 수렴한다.

참

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: left{a_n right}]이 발산하면 [eqn: LEFT { a _{2n} RIGHT }]이 발산한다.

거짓

두 등비수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여, [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n ,] [eqn: sum from{ n=1} to inf b_n]이 모두 수렴하면 [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n b_n]이 수렴한다.

참

두 등비수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여, [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n ,] [eqn: sum from{ n=1} to inf b_n]이 모두 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {b _{n}}]이 수렴한다.

거짓

두 등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ^{```3}], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n^{```3}]이 모두 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf ( a_n + b_n `)]이 수렴한다.

참

두 등비수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여, [eqn: sum from{ n=1} to inf a_n b_n]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}], [eqn: sum from{ n=1} to inf b_n] 중 하나는 수렴한다.

참

두 등비수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -b _{n} ) =0]이면 [eqn: left{a_n right}]과 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비는 서로 같다.

거짓