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Pattern Drill | 초월함수의 부정적분

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초월함수의 부정적분

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기본공식

Ⅰ) [eqn: x^a]의 적분

① [eqn: int _{} ^{} {x ^{a} dx= {1} over {a+1} x ^{a+1} +C}] ([eqn: a!=-1])	② [eqn: int _{} ^{} {} x ^{-1} dx=ln|x|+C]

Ⅱ) 삼각함수의 적분

① [eqn: int _{} ^{} {} sinxdx=-cosx+C]	② [eqn: int _{} ^{} {} cosxdx=sinx+C]

③ [eqn: int _{} ^{} {} sec ^{2} xdx=tanx+C]	④ [eqn: int _{} ^{} {} csc ^{2} xdx=-cotx+C]

⑤ [eqn: int _{} ^{} {} secx`tanxdx=secx+C]	⑥ [eqn: int _{} ^{} {} cscx`cotxdx=-cscx+C]

Ⅲ) 지수함수의 적분

① [eqn: integrale ^{x} dx=e ^{x} +C]	② [eqn: integrala ^{x} dx= {a ^{x}} over {lna} +C]

다음 부정적분을 구하여라.

(1) [eqn: { 1} over { 4}x^4 - {1 } over { 3}x^3 + { 1} over {2 }x^2 -x+C]	(2) [eqn: x^-1 +C]

(3) [eqn: { 1} over {3 }x^3 +2x-x^-1 +C]	(4) [eqn: { 1} over {2 }t^2 -t+C]

(5) [eqn: -2x^-1 +3lnx+C]	(6) [eqn: { 2} over { 3}x^ {{ 3} over {2 }} +2x^{ { 1} over { 2} }+C]

(1) [eqn: int(x-1)(x^2 +1) dx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} left(- {1} over {x ^{2}} right)dx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} left(x+ {1} over {x} right) ^{2} dx]	(4) [eqn: int t^2 over t+1 dt - int 1 over t+1 dt]

(5) [eqn: int _{} ^{} {} {2x+3x ^{2}} over {x ^{3}} dx]	(6) [eqn: int _{} ^{} {} {x+1} over {sqrt {x}}dx]

다음 부정적분을 구하여라.

(1) [eqn: -4cosx+sinx+C]	(2) [eqn: tanx+C]

(3) [eqn: { 2^x} over {ln2 }+ { 3^x} over { ln3}+C]	(4) [eqn: {2 ^{x+1}} over {ln2} + {3 ^{x+2}} over {ln3} +C]

(5) [eqn: x-3cotx+C]	(6) [eqn: sectheta+C]

(1) [eqn: int _{} ^{} {} (4sinx+cosx)dx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} sec ^{2} xdx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} (2 ^{x} +3 ^{x} )dx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} (2 ^{x+1} +3 ^{x+2} )dx]

(5) [eqn: int _{} ^{} {} {sin ^{2} x+3} over {sin ^{2} x} dx]	(6) [eqn: int _{} ^{} {} sec theta `tan theta d theta]

치환적분법

[eqn: x=g(t)]일 때,   [eqn: integralf(x)dx=integralf(g(t))g'(t)dt]

다음 부정적분을 구하여라.

(1) [eqn: {1} over {16} (4x-1) ^{4} +C]	(2) [eqn: - {1} over {12} (-2x+3) ^{6} `+C]

(3) [eqn: {1} over {2} `sin(2x-1)+C]	(4) [eqn: {1} over {4} `tan(4x)+C]

(5) [eqn: - {1} over {3} e ^{-3x+1} +C]	(6) [eqn: {1} over {2} `ln|2x+1|+C]

(1) [eqn: int _{} ^{} {} (4x-1) ^{3} dx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} (-2x+3) ^{5} dx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} cos(2x-1)dx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} sec ^{2} (4x)dx]

(5) [eqn: int _{} ^{} {} e ^{-3x+1} dx]	(6) [eqn: int _{} ^{} {} {1} over {2x+1} dx]

다음 부정적분을 구하여라.

(1) [eqn: {1} over {3} (x ^{2} +1) ^{3} +C]	(2) [eqn: 2 sqrt {x ^{2} -1} +C]

(3) [eqn: {1} over {4} `sin ^{4} x+C]	(4) [eqn: e ^{x ^{2}} +C]

(5) [eqn: -e ^{cosx} +C]	(6) [eqn: {1} over {2} (lnx) ^{2} +C]

(7) [eqn: sin(lnx)+C]	(8) [eqn: ln|e ^{x} -1|+C]

(9) [eqn: {1} over {3} `cos ^{3} x-cosx+C]	(10) [eqn: -ln|cosx|+C]

(1) [eqn: int _{} ^{} {} 2x(x ^{2} +1) ^{2} dx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {{2x} over {sqrt {x ^{2} -1}} dx}]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} sin ^{3} x cosxdx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} 2xe ^{x ^{2}} dx]

(5) [eqn: int _{} ^{} {} sinxe ^{cosx} dx]	(6) [eqn: int _{} ^{} {{lnx} over {x} dx}]

(7) [eqn: int _{} ^{} {{cos(lnx)} over {x} dx}]	(8) [eqn: int _{} ^{} {} {e ^{x}} over {e ^{x} -1} dx]

(9) [eqn: int _{} ^{} {} sin ^{3} xdx]	(10) [eqn: int _{} ^{} {} tanx dx]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x)=x sqrt { x^2 +1]일 때, [eqn: f(1)-f(0)]의 값을 구하여라.

[eqn: {2 sqrt {2} -1} over {3}]

치환정적분

구간도 바꿔줘 : [eqn: {cases{g(a)= alpha #g(b)= beta }}]이면 [eqn: int _{a} ^{b} f(g(x))g'(x)dx=int _{alpha} ^{beta} f(t)dt]

[eqn: int _{e} ^{e ^{3}} {{(lnx) ^{3}} over {x} dx}]의 값을 구하여라.

[eqn: 20]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +x ^{2}]에 대하여 정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi} over {2}} {f LEFT ( sinx RIGHT ) cosxdx}]의 값은?

③

① [eqn: e- {1} over {4}]	② [eqn: e- {1} over {2}]	③ [eqn: e-{2} over {3}]

④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: e-{5} over {4}]

함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {{1} over {1+t ^{6}}} `dt]에 대하여 상수 [eqn: a]가 [eqn: f(a)= {1} over {2}]을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{a} {{e ^{f(x)}} over {1+x ^{6}} `dx}]의 값은?

②

① [eqn: {sqrt {e} -1} over {2}]	② [eqn: sqrt {e} -1]　	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {sqrt {e} +1} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {e} +1]

부분적분법

[eqn: int _{} ^{} {} f(x)g(x)dx=f(x)G(x)- int _{} ^{} {} f`'(x)G(x)dx]

다음 부정적분을 구하여라.

(1) [eqn: xe ^{x} -e ^{x} +C]	(2) [eqn: x`sinx+cosx+C]

(3) [eqn: -(x+2)e ^{-x} +C]	(4) [eqn: - {1} over {2} x`cos2x+ {1} over {4} `sin2x+C]

(5) [eqn: { 1} over { 2}x^2 lnx- { 1} over { 4}x^2 +C]	(6) [eqn: x (lnx)^2 -2 x lnx+2x+C]

(1) [eqn: int x e^x `dx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} x cosxdx]

(3) [eqn: int (x+1)e^-x dx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} x sin2x dx]

(5) [eqn: int _{} ^{} {} x lnxdx]	(6) [eqn: int _{} ^{} {(ln`x) ^{2} dx}]

부정적분 [eqn: int _{} ^{} {} lnxdx]를 구하여라.

[eqn: x`lnx-x+C]

다음 부정적분을 구하여라.

(1)	[eqn: {e ^{x} (sinx-cosx)} over {2} +C]	(2) [eqn: { 1} over { 2} `sin^2 x+C]

(1) [eqn: int _{} ^{} {} e ^{x} sinxdx]

(2) [eqn: int _{} ^{} {} sinx cosxdx]

도표적분

[eqn: int _{} ^{} {} f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-f` prime (x) LEFT ( int _{} ^{} {} G(x)dx RIGHT ) +f`''(x) LEFT ( dint _{} ^{} {} G(x)dxdx RIGHT ) - CDOTS]

※ [eqn: (다항함수)times(지수함수)] 또는 [eqn: (다항함수)times(삼각함수)]일 때만 쓰자.

다음 부정적분을 구하여라.

(1) [eqn: x ^{2} e ^{x} -2xe ^{x} +2e ^{x} +C]	(2) [eqn: -x ^{2} `cosx+2x`sinx`+2cosx+C]

(3) [eqn: {1} over {2} x ^{2} e ^{2x} - {x} over {2} e ^{2x} + {1} over {4} e ^{2x} +C]	(4) [eqn: {1} over {2} x ^{2} `sin2x+ {1} over {2} x`cos2x- {1} over {4} `sin2x+C]

(1) [eqn: int _{} ^{} {} x ^{2} e ^{x} `dx]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} x ^{2} `sinx`dx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} x ^{2} e ^{2x} `dx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} x ^{2} cos2xdx]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,```y)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: (x-1)e^2x]이고 [eqn: f left( 1over 2 right) = - 1 over 4 e]일 때,
함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 구하여라.

[eqn: - 1 over 4 e^2 + 1 over 4 e]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)+xf`'(x)=(2x+3)e^x]를 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값은?

③

① [eqn: e^3 - { 1} over { 3}]	② [eqn: { 5} over {3 }e^3 - { 1} over {3 }]	③ [eqn: { 7} over {3 }e^3 - { 1} over {3 }]

④ [eqn: { 5} over {2 }e^3 - { 1} over { 3}]	⑤ [eqn: { 7} over { 2}e^3 - { 1} over {3 }]

부분적분을 이용한 정적분

그냥 구간 달아주면 된다.

[eqn: int _{1} ^{2} {x ^{3} e ^{x ^{2}} dx= {q} over {p} e ^{4}}]일 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 13]

이계도함수 [eqn: f`''(x)]가 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

이 때, 정적분 [eqn: int _{1} ^{2} xf`''(x)dx]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)-2} over {x-1}} =3]	(나) [eqn: lim _{x->2} {f(x)-3} over {x-2} =4]

[eqn: 4]

분수꼴의 처리

① [eqn: {f'(x)} over {f(x)}] 꼴이면 행복함

② 분모가 단항식이고 분자가 다항식이면 분수를 나눠서 각각 적분

③ [eqn: {(일차식)} over {(이차식)}] 꼴이면 부분분수로 분리

다음 부정적분을 구하여라.

(1) [eqn: ln|x ^{2} -x-2|+C]	(2) [eqn: -ln|cosx|+C]

(3) [eqn: {1} over {4} x ^{2} - {1} over {2} `ln|x|+C]	(4) [eqn: e ^{x} +2ln|x|+C]

(1) [eqn: int _{} ^{} {{2x-1} over {x ^{2} -x-2} dx}]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} tanxdx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {{x ^{2} -1} over {2x} dx}]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} {xe ^{x} +2} over {x} dx]

다음 부정적분을 구하여라.

(1) [eqn: ln|x|-ln|x+1|+C]	(2) [eqn: ln|x-2|-ln|x-1|+C]

(3) [eqn: 2ln|x-1|-ln|x+1|+C]	(4) [eqn: 2ln|x-1|+3ln|x-2|+C]

(1) [eqn: int _{} ^{} {{1} over {x(x+1)} dx}]	(2) [eqn: int _{} ^{} {} {1} over {(x-2)(x-1)} dx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} {x+3} over {x ^{2} -1} dx]	(4) [eqn: int _{} ^{} {} {5x-7} over {x ^{2} -3x+2} dx]

삼각함수의 제곱이 나왔을 때의 처리

① [eqn: sin ^{2} x+cos ^{2} =1], [eqn: 1+tan ^{2} x=sec ^{2} x]를 이용해 변형하고 약분되기를 기대

② 삼각함수의 반각공식을 이용하여 차수를 낮춤

다음 부정적분을 구하여라.

(1) [eqn: tanx+C]	(2) [eqn: x-sinx+C]

(3) [eqn: {1} over {2} x- {sinx} over {2} +C]	(4) [eqn: {1} over {2} x+ {sin2x} over {4} +C]

(5) [eqn: {1} over {4} x ^{2} - {1} over {4} x`sin2x- {1} over {8} `cos2x+C]	(6) [eqn: {1} over {2} `tanx+C]

(1) [eqn: int _{} ^{} {(1+tan ^{2} x)dx}]	(2) [eqn: int _{} ^{} {{sin ^{2} x} over {1+cosx} dx}]

(3) [eqn: int _{} ^{} {sin ^{2} {x} over {2} dx}]	(4) [eqn: int _{} ^{} {cos ^{2} xdx}]

(5) [eqn: int _{} ^{} {x`cos ^{2} xdx}]	(6) [eqn: int _{} ^{} {{1} over {1+cos2x} dx}]

부정적분 [eqn: int _{} ^{} {} secxdx]를 구하여라.

[eqn: {1} over {2} `ln` LEFT | secx+tanx RIGHT | +C]

삼각치환

대충 정적분 안에

① [eqn: sqrt { a^2 -x^2}]가 보이면 [eqn: x=a sintheta]([eqn: -{ pi} over { 2} le theta le { pi} over {2 }])로 치환하자.

② [eqn: a^2 +x^2]이 보이면 [eqn: x=a tantheta]([eqn: -{ pi} over { 2} < theta < { pi} over {2 }])로 치환하자.

[eqn: int _{0} ^{1} {} {1} over {1+x ^{2}} dx]의 값을 구하여라.

[eqn: {pi} over {4}]

[eqn: int _{0} ^{1} {} sqrt {4-x ^{2}} dx]의 값을 구하여라.

[eqn: {pi} over {3} + {sqrt {3}} over {2}]