			원포인트 개념주입 C 공간도형

원포인트개념주입

개념1	✔ 공간에 기울어진 삼각형 ① 세 변의 길이와 높이 차를 포함한 직각 삼각형 ② 교선의 위치

공간도형

001. 그림과 같이 반지름의 길이가 모두 [eqn: SQRT { 3`}]이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있다. 평면 [eqn: alpha`]와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 [eqn: \P], [eqn: \Q], [eqn: \R]라 할 때, 삼각형 [eqn: \QPR]는 이등변삼각형이고, 평면 [eqn: \QPR]와 평면 [eqn: alpha`]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 60DEG]이다. 세 원기둥의 높이를 각각 [eqn: 8], [eqn: a], [eqn: b`]라 할 때, [eqn: a+ b`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 8＜a＜b`]) [eqn: 25]

	공간도형

002. 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 점 [eqn: rmA]가 있고, [eqn: alpha]로부터의 거리가 각각 [eqn: 1], [eqn: 3]인 두 점 [eqn: rmB,```C]가 있다. 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbar{BP} =4]이다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 9]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: S ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 45`]
003. 삼각형 [eqn: rmABC]를 그림과 같이 평면 [eqn: alpha]에 정사영시킨 도형을 삼각형 [eqn: rmA'B'C']이라 하자. 이때, 삼각형 [eqn: rmABC]와 삼각형 [eqn: rmA'B'C']이 다음 조건을 만족시킨다. 평면 [eqn: rmABC]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: { 1} over {cos^2 theta }]의 값을 구하여라. (가) 삼각형 [eqn: rmABC]는 정삼각형이다. (나) 삼각형 [eqn: rmA'B'C']은 [eqn: rmbarA'B' =barA'C' =2], [eqn: rmbarB'C' =1]인 이등변삼각형이다. [eqn: 5]

	공간도형

개념2	✔ 구가 외접하는 문제 : 중심하고 잇는당.

004. 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있는 서로 다른 네 구 [eqn: S], [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]이 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]의 중심을 각각 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2], [eqn: rm O _{3}]이라 하자. 두 점 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2]를 지나고 평면 [eqn: alpha]에 수직인 평면을 [eqn: beta], 두 점 [eqn: rmO_2], [eqn: rm O _{3}]를 지나고 평면 [eqn: alpha]에 수직인 평면이 [eqn: S _{3}]과 만나서 생기는 단면을 [eqn: D]라 하자. 단면 [eqn: D]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: {q} over {p} pi]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) (가) [eqn: S]의 반지름의 길이는 [eqn: 3]이고, [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3}]의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다. (나) [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]는 모두 [eqn: S]에 접한다. (다) [eqn: S _{1}]은 [eqn: S _{2}]와 접하고, [eqn: S _{2}]는 [eqn: S _{3}]과 접한다. [eqn: 11]

	공간도형

005. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구 [eqn: S_1]과 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 두 구 [eqn: S_2], [eqn: S_3]이 서로 외접하면서 모두 평면 [eqn: alpha]에 접하고 있다. 세 구 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]의 중심을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하고 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 하자. 직선 [eqn: rmAM]과 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos^2 theta= { q} over { p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 15]
006. 그림과 같이 중심이 같고 반지름의 길이가 [eqn: 1], [eqn: 3]인 두 원을 각각 밑면으로 하는 두 원기둥의 사이에 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구 [eqn: 12]개가 서로 외접하면서 들어 있다. 아래쪽에 있는 [eqn: 6]개의 구 중에서 서로 외접하는 두 구를 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 하고 위쪽에 있는 구 중에서 구 [eqn: S_1], [eqn: S_2]에 모두 접하는 구를 [eqn: S_3]이라고 하자. 세 구 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]의 중심을 각각 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2], [eqn: rmO_3]이라고 할 때, 평면 [eqn: rmO_1 O_2 O_3]과 원기둥의 밑면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하자. [eqn: costheta]의 값은? (단, 아래쪽에 있는 [eqn: 6]개의 구는 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원을 밑면으로 하는 원기둥의 밑면에 모두 접하고, 위쪽에 있는 구는 모두 아래쪽에 있는 구 [eqn: 2]개와 각각 외접하며, 두 원기둥의 높이는 모두 [eqn: 3] 이상이다.) ② ① [eqn: {2 sqrt { 3}-3 } over {4}] ② [eqn: {2 sqrt { 3}-3} over3] ③ [eqn: {2 sqrt {3} -3} over {2}] ④ [eqn: {sqrt {3} -1} over {2}] ⑤ [eqn: {2 sqrt {3} -2} over {3}]

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개념3	✔ 삼수선 : 평면을 경유해서 수선을 내린다.

007. 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 2], 높이가 [eqn: 4]인 원기둥의 아래쪽 밑면이 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있다. 평면 [eqn: alpha] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지나는 직선을 [eqn: l]이라 할 때, 직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 원기둥의 밑면 위의 점 [eqn: rmC]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: rm bar{AB} =2 sqrt { 3}] (나) 직선 [eqn: l]과 원기둥의 아래쪽 밑면은 점 [eqn: rmB]에서 접한다. (다) 평면 [eqn: rmABC]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각을 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tantheta= { 4} over { 3}]이다. 선분 [eqn: rmAC]의 길이는? (단, [eqn: rmbarAC >6]이다.) ④ ① [eqn: 2sqrt { 10}] ② [eqn: 2sqrt { 11}] ③ [eqn: 4sqrt { 3}] ④ [eqn: 2 sqrt {13}] ⑤ [eqn: 2 sqrt {14}]

	공간도형

008. 평면 [eqn: alpha] 위에 [eqn: rm bar{OA} = bar{OB} =4], [eqn: rmangleAOB = { pi} over { 2}]인 삼각형 [eqn: rmOAB]와 점 [eqn: rmO]를 지나고 평면 [eqn: alpha]와 수직인 직선 [eqn: l] 위에 길이가 [eqn: 3]인 선분 [eqn: rmCD]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 4sqrt { 6}]일 때, 점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: rmbarDH]의 길이는? ③ ① [eqn: 5] ② [eqn: sqrt { 30}] ③ [eqn: sqrt { 33}] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: sqrt { 40}]
009. 같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]이 있다. 직선 [eqn: l] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], 직선 [eqn: m] 위의 점 [eqn: rmC], 직선 [eqn: n] 위의 점 [eqn: rmD]가 다음 조건을 만족시킨다. 두 직선 [eqn: m], [eqn: n]을 포함하는 평면과 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 15tan ^{2} theta]의 값을 구하여라. [eqn: LEFT ( 단,```0< theta < {pi } over {2} RIGHT )] (가) [eqn: bar{rmAB} =2 sqrt {2}], [eqn: bar{rmCD}=3] (나) [eqn: bar{rmAC} BOT l], [eqn: bar{rmAC} =5] (다) [eqn: bar{rmBD} BOT l], [eqn: bar{rmBD} =4 sqrt {2}] [eqn: 30`]

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개념4	✔ 공간 상에서 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: l]에 수선의 발을 내릴 때는 ① 점 [eqn: rmP]에서 직선을 품는 ‘알기 쉬운’ 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발 [eqn: rmH]을 찾는다. ② 점 [eqn: rmH]에서 직선 [eqn: l]에 수선의 발을 내린다.

010. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구 [eqn: S]와 서로 다른 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 있다. 구 [eqn: S]와 직선 [eqn: l]이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], 구 [eqn: S]와 직선 [eqn: m]이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAPQ]는 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt {3}]인 정삼각형이고 [eqn: rm bar{AB}=2 sqrt { 2}], [eqn: rmangleABQ= piover2]일 때 평면 [eqn: rmAPB]와 평면 [eqn: rmAPQ]가 이루는 각의 크기 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: 100 cos^2 theta]의 값을 구하여라. [eqn: 60]

	공간도형

011. 좌표공간에 점 [eqn: rm A(9,```0,```5)]가 있고, [eqn: xy]평면 위에 타원 [eqn: x^2 over 9 + y^2 = 1]이 있다. 타원 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm bar AP]의 최댓값을 구하여라. [eqn: 13``]
012. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구 [eqn: S]가 평면 [eqn: alpha]와 점 [eqn: rmA]에서 접한다. 평면 [eqn: alpha] 위에 있고 [eqn: rmbarAB =2]인 정사각형 [eqn: rmABCD]에 대하여 구 [eqn: T]가 [eqn: S]와 정사각형 [eqn: rmABCD]의 모든 모서리에 접할 때, [eqn: T]의 반지름의 길이는? ③ ① [eqn: 3over2] ② [eqn: 4over3] ③ [eqn: 5over4] ④ [eqn: 6over5] ⑤ [eqn: 7over6]

	공간도형

개념5	✔ 이면각을 찾을 때 쓰는 도구 ① 직접 : 교선이 잘 보일 때 가능 ! ② 정사영 : 정사영이 눈에 띄는 경우

013. 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정사면체 [eqn: rmA-BCD]에서 [eqn: rmbar {AB}]의 중점을 [eqn: rmM], [eqn: rmbar {AD}]의 중점을 [eqn: rmN]이라 하자. 이 때, 면 [eqn: rmMCN]과 면 [eqn: rmBCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값을 구하여라. [eqn: { 5 root 33 } over 33]

	공간도형

014. 그림과 같이 직사각형 [eqn: rmABCD]를 대각선 [eqn: rmBD]를 접는 선으로 하여 꼭짓점 [eqn: rmA]의 평면 [eqn: rmBCD]를 위로의 정사영 [eqn: rmA']이 변 [eqn: rmCD] 위에 오도록 접었다. [eqn: rm barCA' :barA'D = 2:5]일 때, 평면 [eqn: rmABD]와 평면 [eqn: rmBCD]가 이루는 각의 크기 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos``theta]의 값을 구하여라. [eqn: { 5} over { 7}]
015. 아래의 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정사각뿔 [eqn: rmA-BCDE]에서 모서리 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]의 중점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 하고, 모서리 [eqn: rm AD], [eqn: rm AE]를 [eqn: 3:1]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 하자. 평면 [eqn: rmPQRS]와 평면 [eqn: rmBCDE]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? [eqn: LEFT( pile {`#`}]단, [eqn: 0< theta< pi over 2][eqn: pile{`#`} RIGHT )] ④ ① [eqn: {sqrt {3}} over {9}] ② [eqn: {2 sqrt {3}} over {9}] ③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}] ④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {9}] ⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

	공간도형

개념6	✔ 경사면과 선분 : 수선들 막 내리고..

016. 그림과 같이 직선 [eqn: l]을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi } over {4}]인 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 있고, 평면 [eqn: alpha] 위의 점 [eqn: rm A]와 평면 [eqn: beta] 위의 점 [eqn: rm B]가 있다. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmbarAB =2], [eqn: rm barAD = root 3]이고 직선 [eqn: rm AB]와 평면 [eqn: beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: pi over 6]일 때, 사면체 [eqn: rm ABCD]의 부피는 [eqn: a+b root2]이다. [eqn: 36(a+b)]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.) [eqn: 12]

	공간도형

017. 평면 [eqn: alpha] 위에 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: C]가 있다. 밑면이 원 [eqn: C]이고 모선의 길이가 [eqn: 4]인 원뿔의 꼭짓점을 [eqn: rmA]라 하자. 점 [eqn: rmA]를 지나고 평면 [eqn: alpha]와 이루는 각의 크기가 [eqn: 30DEG]인 평면을 [eqn: beta]라 하고, 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 교선을 [eqn: l]이라 하자. 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmOP]와 직선 [eqn: l]은 평행하다. 직선 [eqn: rmAP]와 평면 [eqn: beta]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos ^{2} theta = q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 23]
018. 공간상에 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]와 두 평면의 교선 [eqn: l]이 있다. 평면 [eqn: beta] 위에 있는 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 직선 [eqn: rmBC]가 교선 [eqn: l]과 수직이다. 점 [eqn: rmA]에서 교선 [eqn: l]까지의 거리와 점 [eqn: rmB]에서 평면 [eqn: alpha]까지의 거리가 모두 [eqn: 3]일 때, 정삼각형 [eqn: rmABC]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이는? ⑤ ① [eqn: {12sqrt {3}} over {5}] ② [eqn: {13 sqrt {3}} over {5}] ③ [eqn: {14 sqrt {3}} over {5}] ④ [eqn: 3sqrt { 3}] ⑤ [eqn: {16 sqrt {3}} over {5}]

	공간도형

개념7	✔ 삼면각 : 상황과 보조선 기억해둬

019. 아래의 그림과 같이 [eqn: ANGLE A = 105 DEG]인 [eqn: TRIANGLE \ABC]에서 변 [eqn: \BC] 위에 [eqn: ANGLE \BAD = 45DEG]가 되도록 점 [eqn: \D]를 잡는다. [eqn: BAR \AD]를 접는 선으로 하여 [eqn: TRIANGLE \ABD]와 [eqn: TRIANGLE \ADC]가 수직이 되도록 접었을 때, [eqn: BAR \AB]와 [eqn: BAR \AC]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. 이때 [eqn: cos theta]의 값은? ③ ① [eqn: root 2 over 5] ② [eqn: root 3 over 5] ③ [eqn: root 2 over 4] ④ [eqn: root 3 over 4] ⑤ [eqn: root 2 over 3]

	공간도형

020. 아래 그림과 같이 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]의 교선 [eqn: l] 위에 점 [eqn: rmA]가 있고 평면 [eqn: alpha] 위의 선분 [eqn: rmAP]와 평면 [eqn: beta] 위의 선분 [eqn: rmAQ]가 [eqn: l]과 이루는 각의 크기가 각각 [eqn: 45DEG], [eqn: 60DEG]이고 [eqn: rm bar{AP} = sqrt {6}], [eqn: rm bar{AQ} =1+ sqrt {3}], [eqn: rm bar{PQ} =2]일 때, 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? ③ ① [eqn: {sqrt {5}} over {5}] ② [eqn: {1} over {2}] ③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}] ④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}] ⑤ [eqn: 0]
021. 한 평면 위에 있지 않은 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 사면체 [eqn: rmABCD]의 부피는? ④ (가) [eqn: rm barAB = barAC = 1], [eqn: rm bar{AD} = sqrt {5}] (나) [eqn: cos (angle rmBAC)= 0] (다) [eqn: cos (angle rmCAD)= cos (angle rmDAB)= sqrt5 over5] ① [eqn: sqrt2 over5] ② [eqn: sqrt2 over6] ③ [eqn: sqrt3 over5] ④ [eqn: sqrt3 over6] ⑤ [eqn: sqrt5 over5]

	공간도형

개념8	✔ 적당한 한 면에 정사영시킨 그림을 생각해서 풀자. : 사실 그 적당한 면을 찾는 것이 어려울 수 있다. ✔ 구의 단면화 ① 구와 직선이 만나면 : 구의 중심과 직선을 포함하는 평면으로 단면화 ② 구와 평면이 만나면 : 구의 중심을 지나고 평면과 수직인 평면으로 단면화

022. 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 7]인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 5]이고 높이가 [eqn: 12]인 원뿔이 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 [eqn: alpha]와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 [eqn: rmO], 원뿔의 꼭짓점을 [eqn: rmA]라 하자. 중심이 [eqn: rmB]이고 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 구 [eqn: S]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 구 [eqn: S``]는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다. (나) 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영이 각각 [eqn: rmA'], [eqn: rmB']일 때, [eqn: rmangle A'OB'=180DEG]이다. 직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tantheta=p]이다. [eqn: 100p]의 값을 구하여라. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 [eqn: rmA']은 일치한다.) [eqn: 32]

	공간도형과 공간벡터

023. 좌표공간에서 구 [eqn: S:(x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} +(z-1) ^{2} =4] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]가 있다. 점 [eqn: rm P]에서 구 [eqn: S]에 접하는 평면이 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =16]과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 [eqn: (a+b sqrt {3} ) pi]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이다.) [eqn: 13``]
024. 좌표공간에 구 [eqn: S:x^2 +y^2 +z^2 =50]과 점 [eqn: rmP(0,``5,``5)]가 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 원 [eqn: C]에 대하여 [eqn: C]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값을 [eqn: { q} over {p }pi]라 하자. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 9] (가) 원 [eqn: C]는 점 [eqn: rmP]를 지나는 평면과 구 [eqn: S]가 만나서 생긴다. (나) 원 [eqn: C]의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.