			원포인트 개념주입 A 공간도형

원포인트개념주입

개념1	✔ 평면의 결정 조건 ① 한 직선 위에 있지 않은 세 점 ② 한 직선과 직선 밖의 한 점 ③ 한 점에서 만나는 두 직선 ④ 평행한 두 직선 ✔ 서로 다른 두 직선의 위치관계 ① 한 점에서 만난다. ② 평행하다. ③ 꼬인 위치에 있다.

공간도형

001. 그림과 같은 삼각기둥에서 다음을 구하여라. (1) 선분 [eqn: rmAC], [eqn: rmAD], [eqn: rmBC], [eqn: rmBE] (2) 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmBE] (3) 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmDE], [eqn: rmDF] (1) 모서리 [eqn: rmAB]와 한 점에서 만나는 모서리 (2) 모서리 [eqn: rmCF]와 평행한 모서리 (3) 모서리 [eqn: rmBC]와 꼬인 위치에 있는 모서리		002. 그림과 같은 정팔면체에서 모서리 [eqn: rmAB]와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 [eqn: a], 면 [eqn: rmACD]와 평행한 모서리의 개수를 [eqn: b], 면 [eqn: rmCFD]와 평행한 면의 개수를 [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라. [eqn: 8]

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개념2	✔ 안 만나면 대충 평행이동 시켜서 만나게 한 다음에 잰다. [eqn: RARROW] 대충 (제[eqn: 2])코사인법칙 [eqn: costheta= { a^2 +b^2 -c^2} over { 2ab}]은 필요한 것으로 해 두자.

003. 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 두 선분 [eqn: {rmBE}]와 [eqn: rmDF}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos` theta]의 값은? [eqn: 0] 004. 그림과 같이 [eqn: bar{rmAD} =1], [eqn: rmbar{CD} = sqrt {2}], [eqn: rmbar{CG} = sqrt {5}]인 직육면체가 있다. 두 직선 [eqn: rmAE]와 [eqn: rmBH]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin` theta]의 값을 구하여라. [eqn: {sqrt {6}} over {4}]		005. 두 선분 [eqn: rmAC], [eqn: rmAD]가 각각 수직인 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta] 위에 있다. [eqn: rmangleBAC=60DEG], [eqn: rmangleDAB=45DEG], [eqn: rmangleDAC=theta]일 때, [eqn: cos theta]의 값을 구하여라. [eqn: { sqrt2 over4] 006. 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사각뿔 [eqn: rmA-BCDE]에서 선분 [eqn: rmDE]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 두 선분 [eqn: rmAM]과 [eqn: rmCE]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값을 구하여라. [eqn: root6 over6]

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개념3	✏ 직선 [eqn: l]이 평면 [eqn: alpha]와 점 [eqn: rmP]에서 만나고 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라 할 때, [eqn: anglermAOB]를 직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha]가 이루는 각이라 한다.

007. 그림과 같은 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 직선 [eqn: rmAH]와 평면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta_1], 직선 [eqn: rmBH]와 평면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta_2]라 할 때, [eqn: sintheta_1 + 1over{costheta_2}]의 값은? ② ① [eqn: {root3 + root6}over3] ② [eqn: {root2 +root6 } over2] ③ [eqn: root2] ④ [eqn: root6] ⑤ [eqn: root2 +root6]		008. 그림과 같은 정사면체 [eqn: rmA-BCD]에서 모서리 [eqn: rmAD]와 평면 [eqn: rmBCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값은? [eqn: root3 over3] 009. 그림과 같이 [eqn: rm angleBAC =90DEG], [eqn: rm angleABC=angleEBF=30DEG] 인 삼각기둥에서 선분 [eqn: rmBF]와 면 [eqn: rmABED]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값은? [eqn: root15 over4]

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개념4	✏ “직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha]가 수직이다.”는 “직선 [eqn: l]이 평면 [eqn: alpha]에 속하는 서로 평행하지 않은 두 직선과 수직이다.”와 동치이다. ✔ 삼수선의 정리는 이해는 하고 있어라.

010. 다음은 아래 그림과 같은 정사면체의 모서리 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때, [eqn: rm bar{BC} BOT triangleAMD]임을 증명하는 과정이다. (가), (나)에 알맞은 것을 써넣어라. (가) [eqn: rm{AM}] (나) [eqn: rm{DM}] 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmBCD]가 정삼각형이고 [eqn: rmbar{BM} `= bar{CM}]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm bar{BC} BOT (`````가`````)] 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 [eqn: rm bar{BC} BOT (`````나`````)] [eqn: THEREFORE ``` rm bar{BC} BOT TRIANGLE AMD]		011. 그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} = bar{AD} =2], [eqn: rm bar{AE} = sqrt {3}]인 직육면체의 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 [eqn: rm bar{EG}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 할 때, [eqn: rm DI}]의 길이를 구하여라. [eqn: sqrt {5}] 012. 평면 [eqn: alpha] 위에 [eqn: rm ANGLE B=90 DEG]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbarPC BOT alpha], [eqn: rmbarPA =4], [eqn: rmANGLE PAC=60DEG], [eqn: rmANGLE PAB= theta]라 할 때, [eqn: rm cos theta]의 값을 구하여라. [eqn: {sqrt {2}} over {4}]

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개념5	✏ 두 평면이 이루는 각을 이면각이라 한다. 이면각은 각각의 평면에 속하는 두 평면의 교선과 수직인 직선들이 이루는 각으로 정의한다.

013. 그림과 같은 정사면체 [eqn: rmA-BCD]에 대하여 평면 [eqn: rmABC]와 평면 [eqn: rmBCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos theta]의 값을 구하여라. [eqn: {{1} over {3}}] 014. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사각뿔에서 두 면 [eqn: rmABC]와 [eqn: rmACD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값을 구하여라. [eqn: - {1} over {3} `]		015. 그림과 같은 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 [eqn: triangle rmAFC]와 평면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값을 구하여라. [eqn: {sqrt {3}} over {3}] 016. 그림과 같은 직육면체에서 [eqn: rmbarAB =2], [eqn: rmbarAD =2], [eqn: rmbarDH =3]이다. [eqn: triangle rmFGH]의 평면 [eqn: rmCHF] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S^2]의 값을 구하여라. [eqn: {8 over 11]

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개념6	✔ 공간좌표 : [eqn: z]축 그거

017. 점 [eqn: (1,```-2,```4)]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP], 점 [eqn: rmP]를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: {rmQ} LEFT ( a,```b,```c RIGHT )]라 할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은? ② ① [eqn: -4] ② [eqn: -3] ③ [eqn: -2] ④ [eqn: -1] ⑤ [eqn: 0] 018. 점 [eqn: rm A it LEFT ( a,```b,```c RIGHT )]를 원점에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rm B]를 [eqn: y]축에 대하여 대칭한 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( -4,```-2,```1 RIGHT )]일 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라. [eqn: {-1}]		019. 좌표공간상의 점 [eqn: rm P LEFT ( ita,```b,```c RIGHT )]의 [eqn: x]축에 대칭점과 점 [eqn: {rmQ} LEFT ( a-2b,```4-2c,```3-a RIGHT )]의 [eqn: zx]평면에 대한 대칭점이 같을 때, [eqn: a+b+c]의 값은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9]

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개념7	✏ 좌표공간 상의 두 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} ,```z _{1} )], [eqn: (x _{2} ,```y _{2} ,```z _{2} )] 사이의 거리는 [eqn: sqrt {(x _{1} -x _{2} ) ^{2} +(y _{1} -y _{2} ) ^{2} +(z _{1} -z _{2} ) ^{2}}]이다.

020. 세 점 [eqn: rm A it (2a,```-1,```0)], [eqn: rm B it (0,```1,```2)], [eqn: {rmC}(-1,```2,```a+1)]에 대하여 [eqn: rmbarAB = 2barBC]일 때 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: 1over2`] 021. 두 점 [eqn: rm A(6,```1,```-1)], [eqn: rm B(5,```-1,```2)]에서 같은 거리에 있는 [eqn: x]축 위의 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: m], [eqn: y]축 위의 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: n]이라 할 때, [eqn: m+n]의 값을 구하여라. [eqn: 6`]		022. 두 점 [eqn: rm A(-1,```1,```1)], [eqn: rmB(-1,```0,```0)]과 [eqn: zx]평면 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rm△ABC]가 정삼각형일 때, 점 [eqn: rmC]의 좌표가 될 수 있는 것을 모두 구하여라. [eqn: rm C(-2,```0,```1)] 또는 [eqn: rmC(0,```0,```1)] 023. 두 점 [eqn: rmA(-1,```-4,```1)], [eqn: rmB(-2,```2,```-5)]와 [eqn: yz]평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbarAP +barBP]의 최솟값을 구하여라. [eqn: 9`]

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개념8	✏ 좌표공간 상의 두 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} ,```z _{1} )], [eqn: (x _{2} ,```y _{2} ,```z _{2} )]을 [eqn: m:n]으로 내분한 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {mx _{2} +nx _{1}} over {m+n} ,`` {my _{2} +ny _{1}} over {m+n} ,``` {mz _{2} +nz _{1}} over {m+n} right)` RIGHT .]이다. ✏ 외분점은 [eqn: LEFT . LEFT ( {mx _{2} -nx _{1}} over {m-n} ,`` {my _{2} -ny _{1}} over {m-n} ,``` {mz _{2} -nz _{1}} over {m-n} RIGHT )] ✏ 무게중심은 [eqn: LEFT ( {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} ,``` {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3} ,``` {z _{1} +z _{2} +z _{3}} over {3} RIGHT )]

024. 두 점 [eqn: rmA LEFT ( -5,```2,```-1 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 1,```-4,```5 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm {AB}]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: rmPQ}]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표는? [eqn: LEFT ( 3,``-6,``7 RIGHT )] 025. 세 점 [eqn: rmA LEFT ( 2,```3,```1 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( -1,```-1,```2 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( ita,```b,```c RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심이 [eqn: rmG LEFT ( 1,```-2,```2 RIGHT )]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? ① ① [eqn: -3] ② [eqn: -2] ③ [eqn: -1] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]		026. 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,```4,```7 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( -1,```-2,```3 RIGHT )]을 잇는 선분 [eqn: rmAB]가 [eqn: zx]평면에 의하여 [eqn: m:1]로 내분될 때, 상수 [eqn: m]의 값을 구하여라. [eqn: 2] 027. 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 5,```-2,```4 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( ita,```b,```c RIGHT )]를 잇는 선분 [eqn: rmAB]가 [eqn: xy]평면에 의하여 [eqn: 1:2]로 내분되고 [eqn: z]축에 의하여 [eqn: 3:2]로 외분될 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라. [eqn: -6]

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개념9	✏ 중심이 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} ,```z _{1} )]이고 반지름이 [eqn: r]인 구의 방정식은 [eqn: (x-x_1 )^2 +(y-y_1 )^2 +(z-z_1 )^2 =r^2]이다. ✔ [eqn: xy]평면에 내린 정사영은 [eqn: (z-z _{1`} ) ^{2}]을 제거한다. ✔ [eqn: xy]평면과의 교선은 [eqn: z=0]을 대입한다.

028. 두 점 [eqn: rm A(-2,```1,```3)], [eqn: rmB(4,```1,```-3)]을 지름의 양 끝점으로 하는 구의 방정식은? ② ① [eqn: (x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} +z ^{2} =14] ② [eqn: (x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} +z ^{2} =18] ③ [eqn: (x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} +z ^{2} =20] ④ [eqn: (x+1) ^{2} +(y+1) ^{2} +z ^{2} =14] ⑤ [eqn: (x+1) ^{2} +(y+1) ^{2} +z ^{2} =18]		029. 구 [eqn: x^2 + y^2 + z^2 - 2ax + 4y - 4bz + 20 = 0]이 [eqn: xy`]평면과 [eqn: yz `]평면에 동시에 접하도록 하는 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+2b]의 값을 구하여라. [eqn: 8] 030. 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 구를 [eqn: zx]평면으로 자른 단면이 원 [eqn: (x-2) ^{2} +(z-3) ^{2} =16]이다. 이 구의 중심의 [eqn: y]좌표는? (단, 구의 중심의 [eqn: y`]좌표는 양수이다.) ② ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]