[공간도형]

B19 | 평면의 결정조건

다음을 포함하는 평면은 유일하게 결정된다.

개념1

① 한 직선 상에 존재하지 않는 세 점

② 한 직선과 직선 밖의 한 점

③ 서로 만나는 두 직선

④ 평행한 두 직선

B20 | 직선과 평면의 위치관계

서로 다른 두 직선 사이의 위치관계

개념1

① 한 점에서 만난다.

② 평행하다.

③ 꼬인 위치에 있다.	- 안 신기

직선과 평면 사이의 위치관계

개념2

① 한 점에서 만난다.	- 안 신기

② 평행하다. (만나지 않는다.)	- 신기

③ 포함된다.	- 졸라 신기

[eqn: pile{##} right}] 한 평면 위에 - 신기

서로 다른 두 평면 사이의 위치관계

개념3

① 만난다. (교선을 가진다.)

② 평행하다. (만나지 않는다.)

※ 평면을 적당히 확장하여 두 평면의 교선을 작도할 수 있다.

B20E1 | 직선과 평면의 평행

다음 명제를 확인하여라.

개념1

① 직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha]가 평행하면 직선 [eqn: l]을 포함하는 평면 [eqn: beta]와

평면 [eqn: alpha]의 교선 [eqn: m]은 [eqn: l]과 평행하다.

② 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 한 점 [eqn: rmP]를 지나는 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 모두 [eqn: alpha]에

평행하면 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]을 포함하는 평면 [eqn: beta]는 [eqn: alpha]와 평행하다.

③ 두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]이 평행할 때, [eqn: m]을 포함하고 [eqn: l]을 포함하지 않는

평면 [eqn: alpha]는 직선 [eqn: l]과 평행하다.

④ 직선 [eqn: l]이 평면 [eqn: alpha]에 평행하면 직선 [eqn: l]을 포함하는 두 평면 [eqn: beta],

[eqn: gamma]와 평면 [eqn: alpha]의 교선을 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 할 때, 두 직선 [eqn: m], [eqn: n]은 평행하다.

⑤ 평면 [eqn: gamma]가 평행한 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]와 만날 때 생기는 두 교선은 평행하다.

⑥ 세 직선 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a]와 [eqn: b]가 평행하고 [eqn: b]와 [eqn: c]가 평행하면

[eqn: a]와 [eqn: c]가 평행하다.

B21 | 두 직선이 이루는 각

공간의 두 직선이 이루는 각은 적당한 평행이동으로 만나게 한 후 구한다.

개념1

[eqn: RARROW] 일반적으로(교과서에 따라 다름) 예각을 의미한다.

✔ 일반적으로 구하는 순서(원칙)는,

① 만나도록 평행이동 [eqn: RARROW] ② 각을 포함하는 삼각형 구성 [eqn: RARROW] ③ 코사인법칙

오른쪽의 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서

예제1

다음을 구하여라.

(1) 두 선분 [eqn: rm {AF}], [eqn: rmCD]가 이루는 각

(2) 두 선분 [eqn: rm {AF}], [eqn: rmBH]가 이루는 각

B22 | 직선과 평면이 이루는 각

직선 [eqn: l]이 평면 [eqn: alpha]와 점 [eqn: rmA]에서 만날 때,

개념1

직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmP]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린

수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면, [eqn: rm∠PAH]를 직선 [eqn: l]과

평면 [eqn: alpha]가 이루는 각이라 한다.

※ 이 각은 [eqn: alpha] 상의 직선들과 [eqn: l]이 이루는 각 중 최솟값이다.

오른쪽 정육면체에서 다음을 구하여라.

예제1

(1) 직선 [eqn: rm {AH}]와 평면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각

(2) 직선 [eqn: rm {BH}]와 평면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각

(3) 직선 [eqn: rm {DG}]와 평면 [eqn: rm ABGH]가 이루는 각

B23 | 직선과 평면의 수직성

직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha]가 서로 수직이다.

개념1

[eqn: LRARROW] [eqn: l]은 평면이 포함하는 모든 직선과 서로 수직이다. (정의)

[eqn: LRARROW] [eqn: alpha] 위의 서로 평행하지 않은 두 직선 [eqn: m], [eqn: n]이 [eqn: l]과 수직이다.

정사면체 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm AB BOT CD]임을 보여라.

예제1

정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 [eqn: rmAC botDF]임을 보여라.

예제2

B23E1 | 삼수선의 정리

오른쪽 그림에서

개념1

① [eqn: rmPA bot alpha], [eqn: rmAB bot it l] [eqn: RARROW] [eqn: rmPB bot it l]

② [eqn: rmPA bot alpha], [eqn: rmPB bot it l] [eqn: RARROW] [eqn: rmAB bot it l]

③ [eqn: rmPB bot it l], [eqn: rmAB bot it l], [eqn: rmPA bot AB] [eqn: RARROW] [eqn: rmPA bot alpha]

✔ 점에서 직선에 수선의 발을 내릴 때는 평면을 경유해서 내린다.

오른쪽 직육면체에서 [eqn: rm bar{AB} = bar{AE} =3], [eqn: rm bar{AD} =2]

예제1

이다. 점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rm EG]에 내린 수선의 발을

[eqn: rmI]라 할 때, 선분 [eqn: rmDI]의 길이를 구하여라.

오른쪽 그림에서 [eqn: rmO]는 [eqn: rmP]에서 [eqn: alpha]에 내린

예제2

수선의 발이다. 선분 [eqn: rmOH]의 길이를 구하여라.

오른쪽 그림에서 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]는

예제3

서로 수직이다. [eqn: cos( ANGLE rmCAD)]를 구하여라.

B24 | 이면각

공간의 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각은, 두 평면의 교선에 수직이며

개념1

각각의 평면에 포함되는 두 직선이 이루는 각을 의미한다.

이 각의 크기를 평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: beta]의 이면각의 크기라 한다.

✔ 이면각을 포함하는 삼각형을 만들고 코사인법칙을 사용한다.

✔ 교선, 한 평면 위의 점을 잡고 삼수선의 정리를 활용한다.

※ 이면각의 크기를 구할 때는,

두 평면의 교선이 점으로 보이는 쪽에서 째려보면 좋다. (단면화)

정사면체 [eqn: rm ABCD]에서 다음을 구하여라.

예제1

(1) 평면 [eqn: rm ABC]와 평면 [eqn: rmDBC]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]

(2) 선분 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: rmBCD]가 이루는 각을 [eqn: phi]라 할 때, [eqn: cosphi]

모든 변의 길이가 같은 정사각뿔 [eqn: rm A-BCDE]에서 다음을 구하여라.

예제2

(1) 선분 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: rm BCDE]가 이루는 각을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: cos alpha]

(2) 평면 [eqn: rm ABC]와 평면 [eqn: rm BCDE]가 이루는 각을 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: cos beta]

(3) 평면 [eqn: rm ABC]와 평면 [eqn: rm ACD]가 이루는 각을 [eqn: gamma]라 할 때, [eqn: cos gamma]

(4) 선분 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: rm ACD]가 이루는 각을 [eqn: delta]라 할 때, [eqn: cos delta]

다음 도형에서 색칠한 두 면이 이루는 이면각의 크기를 구하여라.

예제3

(1)                     (2)                     (3)

B24E1 | 정사면체

정사면체 [eqn: rmA-BCD]에서의 상식

개념1

① 이면각, 모서리와 면이 이루는 각, 높이

② [eqn: rmA]에서 [eqn: rmtriangleBCD]에 내린 수선의 발은 [eqn: rmtriangleBCD]의 무게중심 [eqn: rmG]이다.

③ 내접구의 중심을 [eqn: rmO]라 할 때, [eqn: rmbarAO`:barOG`=3:1]

④ 한 변을 수직이등분하는 단면

⑤ 마주보는 변 사이의 거리

⑥ 마주보는 변들과 평행한 단면 (고슈사변형의 중점연결정리)

⑦ 좌표공간의 사면체 : [eqn: (0,```0,```0)], [eqn: (a,```a,```0)], [eqn: (0,```a,```a)], [eqn: (a,```0,```a)]

B24E2 | 이면각과 선분

수선들을 열심히 내리는 보조선을 긋는다.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: l prime =l sin phi cos theta]

그림에서 선분 [eqn: rmPQ]의 평면 [eqn: beta] 위로의

예제1

정사영의 길이를 구하여라.

B24E3 | 삼면각

세 면의 교점에서 한 교선에 길이 [eqn: 1]을 빼서 각각 선분에 수선을 내린다.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: cos theta = {cos gamma -cos alpha cos beta } over {sin alpha sin beta }]

그림에서 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각이

예제1

[eqn: 60DEG]일 때, [eqn: rm cos( ANGLE CAB)]의 값을 구하여라.

B24E4 | 삼각형의 정사영

확인하세요.

개념1

① 옆면 위 세 개의 직각삼각형

② 정사영의 넓이와 이면각의 크기

③ 교선의 위치

B24E5 | 종이 접는 문제

종이를 접을 때 한 점은 접는 선에 대하여 수직인 평면 위에서 움직인다.

개념1

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rmABCD]를 선분 [eqn: rmAC]를 접는 선으로 하여

예제1

[eqn: rmANGLE B prime CD=30 DEG]가 되도록 접는다. 평면 [eqn: rmACB'], [eqn: rmACD]가 이루는 각의 크기를

[eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos theta]의 값을 구하여라.

B25 | 정사영

정사영 : 수선의 발들의 모임

개념1

[eqn: RARROW] 길이는 [eqn: costheta]배

[eqn: RARROW] 넓이도 [eqn: costheta]배

다음 도형에서 색칠한 두 면이 이루는 이면각의 크기를 구하여라.

예제1

(1)                     (2)                     (3)

한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정사면체 [eqn: \ABCD]에서 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC], [eqn: rm AD]를

예제2

각각 [eqn: 1:3], [eqn: 1:1], [eqn: 3:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라 하자.

평면 [eqn: \PQR]와 평면 [eqn: \BCD]가 이루는 예각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값을 구하여라.

B25E1 | 그림자

그림자는 정사영과 다르다. 그림자 문제를 풀 때는

개념1

① ‘그림자를 만드는 평면’을 찾는다. (태양광선과 수직인 평면?)

② 원상과 그림자의 길이비(넓이비)를 구한다.

그림의 풍선은 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구이다.

예제1

나타나는 그림자의 넓이를 구하여라.

그림의 구는 반지름의 길이가 [eqn: r]이다.

예제2

벽면과 지면에 나타나는 그림자의 넓이를 각각 구하여라.

[공간좌표]

B26 | 공간좌표의 설정

수선의 발, 대칭점 같은 것들

개념1

[eqn: RARROW] 정상작동하는 뇌가 있으면 할 수 있다.

점 [eqn: (2,``4,```3)]에 대하여 다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: xy]평면에 대한 수선의 발과 대칭점

(2) [eqn: yz]평면에 대한 수선의 발과 대칭점

(3) [eqn: x]축에 대한 수선의 발과 대칭점

B26E1 | 축과 수직인 도형의 방정식

축과 평행/수직인 도형의 방정식 : 잘 생각해본다.

개념1

다음 방정식이 나타내는 도형을 좌표공간에 도시하여라.

예제1

(1) [eqn: z=1]	(2) [eqn: x=3], [eqn: y=5]	(3) [eqn: y=x], [eqn: z=0]

(4) [eqn: x ^{2`} +y ^{2} =4], [eqn: z=0]	(5) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]	(6) [eqn: y=x ^{2}]

(7) [eqn: z=y ^{2}], [eqn: x=0]	(8) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =z]	(9) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =z ^{2}]

※ 원통 위의 점 “ [eqn: (cos alpha ,```sin alpha ,```z)] "

※ 구 위의 점 “ [eqn: (cos alpha `cos beta ,```sin alpha cos beta ,```sin beta )] "

B27 | 두 점 사이의 거리

평면좌표의 [eqn: (a,```b)][eqn: SIM(c,```d)] / 직육면체의 대각선

탐구

두 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} ,```z _{1} )]과 [eqn: (x _{2} ,```y _{2} ,```z _{2} )] 사이의 거리는

개념1

[eqn: sqrt {(x _{1} -x _{2} ) ^{2} +(y _{1} -y _{2} ) ^{2} +(z _{1} -z _{2} ) ^{2}}]이다.

✔ 최단거리 문제 : 일단 대칭시키는 게 기본인데 공간이다 보니 어려운 경우도..

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: rmA(2,``3,``1)], [eqn: rmB(4,``1,``3)], [eqn: xy]평면 위의 [eqn: rmP], [eqn: rm{barAP}+barBP]의 최솟값?

(2) [eqn: rmA(2,``1,``1)], [eqn: rmB(1,``2,``3)], [eqn: xy]평면 위 [eqn: rmP], [eqn: yz]평면 위 [eqn: rmQ], [eqn: rm{barAP}+{barPQ}+barQB]의 최솟값?

(3) [eqn: rmA(5,``6,``2)], 원 [eqn: (x-2) ^{2} +(y-2) ^{2} =1], [eqn: z=0] 위의 [eqn: rmP], [eqn: rmbarAP]의 최소/최댓값?

(4) [eqn: rmA(1,``1,``1)], [eqn: rmB(-4,``1,``1)], [eqn: x]축 위의 [eqn: rmP], [eqn: rm{barAP}+barBP]의 최솟값?

(5) [eqn: rm A(0,``1,``2)], [eqn: rm B(4,``2,``0)], [eqn: y]축 위의 [eqn: rmP], [eqn: rm{barAP}+barBP]의 최솟값?

B28 | 내분점과 외분점

수직선, 좌표평면 위의 내분점과 외분점

탐구

두 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} ,```z _{1} )]과 [eqn: (x _{2} ,```y _{2} ,```z _{2} )]의

개념1

① [eqn: m:n] 내분점은 [eqn: LEFT ( {mx _{2} +nx _{1}} over {m+n} ,``` {my _{2} +ny _{1}} over {m+n} ,``` {mz _{2} +nz _{1}} over {m+n} RIGHT )]이다.

② [eqn: m:n] 외분점은 [eqn: LEFT ( {mx _{2} -nx _{1}} over {m-n} ,``` {my _{2} -ny _{1}} over {m-n} ,``` {mz _{2} -nz _{1}} over {m-n} RIGHT )]이다.

무게중심은 [eqn: LEFT ( {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} ,``` {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3} ,``` {z _{1} +z _{2} +z _{3}} over {3} RIGHT )]이다.

개념2

두 점 [eqn: rmA(1,``-1,``3)], [eqn: rmB(4,``5,``0)]에 대하여 [eqn: rmAB]의 [eqn: 2:1] 내분점과 외분점을

예제1

각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하고, [eqn: rmPQ]의 중점을 [eqn: rmR]이라 할 때, [eqn: rmR]의 좌표를 구하여라.

두 점 [eqn: rmA(2,``-5,``1)], [eqn: rmB(-4,``1,``-5)]를 이은 선분이 [eqn: zx]평면과

예제2

만나는 점의 좌표를 구하여라.

두 점 [eqn: rmA(-7,``4,``5)], [eqn: {rm B}(a,``b,``c)]에 대하여 [eqn: rmAB]가 [eqn: yz]평면에 의해

예제3

[eqn: 7:4]로 내분되며 [eqn: x]축에 의해 [eqn: 2:1]로 외분된다. 이때, 점 [eqn: rmB]를 구하여라.

B29 | 구의 방정식

중심이 [eqn: (a,``b,``c)]이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구의 방정식은

개념1

[eqn: (x-a) ^{2} +(y-b) ^{2} +(z-c) ^{2} =r ^{2}]이다.

다음이 가질 수 있는 위치관계와 각각의 조건을 확인하자.

개념2

① 구와 직선      ② 구와 평면      ③ 두개의 구

점 [eqn: rm A(3,``2,``1)], 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -2x+6y-4z=0] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여,

예제1

(1) [eqn: rmbarAP]의 최소/최대	(2) [eqn: rm ANGLE OAP]가 최대일 때 [eqn: rm cos( ANGLE OAP)]

을 각각 구하여라. ([eqn: rmO]는 구의 중심이다.)

다음 물음에 답하여라.

예제2

(1) 두 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =4], [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +8x-6y=k]가 내접, 외접할 때 각각의 [eqn: k]값은?

(2) 구 [eqn: (x-2) ^{2} +(y-3) ^{2} +(z-4) ^{2} =k ^{2}]이 [eqn: xy]평면, [eqn: x]축에 접할 때 각각의 [eqn: k]값은?

(3) 구 [eqn: (x-3) ^{2} +(y+3) ^{2} +(z-4) ^{2} =4]의 [eqn: xy]평면에 대한 정사영의 방정식은?

(4) 구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 -8x-6y-2z-9=0]과 [eqn: x]축의 두 교점간의 거리는 얼마인가?

(5) 구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 -2x-4y+2z-4=0]과 [eqn: xy]평면의 교선의 길이는 얼마인가?

(6) 구 [eqn: (x+2)^2 +(y-3)^2 +(z-4)^2 =24]와 만나는 [eqn: 8]분 공간의 개수는 몇 개인가?