			원포인트 개념주입 C 평면벡터

원포인트개념주입

개념1	✔ 일차결합 : 평면에 서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 임의의 벡터 [eqn: vecx]는 [eqn: vec{x}=p veca +q vecb]로 나타낼 수 있다.

평면벡터

001. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmAC]를 삼등분하는 점을 점 [eqn: rmA]에 가까운 점부터 차례로 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라고 하자. [eqn: vec{rmCP}=m vec{rmBQ}+n vec{rmPR}]를 만족시키는 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은? ① ① [eqn: - {4} over {3}] ② [eqn: - {2} over {3}] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: {2} over {3}] ⑤ [eqn: {4} over {3}]

	평면벡터

002. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]를 지나는 직선이 [eqn: bar{rmAB}], [eqn: bar{rmBC}]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 한다. [eqn: bar{rmAP} : bar{rmPB} =1:5]일 때, [eqn: rm{bar{BQ}} over {bar{QC}}]의 값은? ④ ① [eqn: ` {3} over {2}] ② [eqn: 4over3] ③ [eqn: ` {5} over {3}] ④ [eqn: ` {5} over {4}] ⑤ [eqn: {6} over {5}]
003. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rmC]의 각각의 위치벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb], [eqn: vecc]가 다음 두 조건을 만족할 때, [eqn: rm TRIANGLEABC]의 넓이를 구하여라. ③ (가) [eqn: vec { a}+ vec { b}+ vec { c}= vec { 0}] (나) [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | =3], [eqn: LEFT | {vec{b}} RIGHT | =5], [eqn: LEFT | {vec{c}} RIGHT | =7] ① [eqn: {35 sqrt {3}} over {4}] ② [eqn: 10 sqrt {3}] ③ [eqn: {45 sqrt {3}} over {4}] ④ [eqn: {25 sqrt {3}} over {2}] ⑤ [eqn: {55 sqrt {3}} over {4}]

	평면벡터

개념2	✔ 내분벡터 : 할 줄 알지.

004. 그림과 같이 원에 내접하는 예각삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 점 [eqn: rmA]를 지나고 선분 [eqn: rmBC]와 수직인 직선이 원과 만나는 점을 [eqn: rmP]라고 할 때, 점 [eqn: rmP]는 [eqn: vec{rmAP}= {1} over {2} vec{rmAB}+vec{rmAC}] 를 만족시킨다. [eqn: rm bar{BC}=3]일 때, [eqn: |vec{rmAB}|^2 +|vec{rmAC}|^2]의 값을 구하여라. [eqn: 13]

	평면벡터

005. 그림과 같이 두 변 [eqn: RM AD]와 [eqn: RM BC]가 평행한 사각형 [eqn: RM ABCD]에 대하여 [eqn: rm {vec{AB}} it cdotrm {vec{AD}} it =24]이다. [eqn: rmbarAB =6], [eqn: rmbarAD =8], [eqn: rmbarBC =4]이고 점 [eqn: RM E]와 점 [eqn: RM F]는 각각 선분 [eqn: RM DC]를 [eqn: 1:1], 선분 [eqn: RM BC]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점일 때, 선분 [eqn: RM EF]의 길이는? ④ ① [eqn: 3 OVER 2] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 5 OVER 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 7 OVER 2]
006. 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =3], [eqn: rmbarBC =8], [eqn: rmbarCA =9]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 내접원의 중심을 [eqn: rmP]라고 하자. [eqn: vec{rmAP}=m {vec{rmAB}}+n vec{rmAC}]를 만족시키는 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m-n]의 값은? ③ ① [eqn: 1over10] ② [eqn: 1over5] ③ [eqn: 3over10] ④ [eqn: 2over5] ⑤ [eqn: 1over2]

	평면벡터

개념3	✔ 직선의 자취 : ① [eqn: {rmvecOP }={rmvecOA}+t {rmvecAB}]인 [eqn: rmP]의 자취는 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: rmbarAB]와 평행한 직선이다. ② [eqn: rm vec{OP} it =t rm vec{OA} it +(1-t) rm vec{AB} it]인 [eqn: rmP]의 자취는 직선 [eqn: rmAB]이다.

007. 삼각형 [eqn: rmABC]가 다음 조건을 만족시킨다. 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(t)=|rm vecAC it+t rm {vecAB}|]라 하면 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=alpha]일 때 최솟값 [eqn: m]을 갖는다. [eqn: m^2 over alpha^2]의 값을 구하여라. (가) 삼각형 [eqn: rmABC]는 둔각삼각형이다. (나) [eqn: rm barAB =6,```barBC =4]인 이등변삼각형이다. [eqn: 28]

	평면벡터

008. 한 평면 위에 서로 다른 네 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 있다. [eqn: left|`vec{rmCA}` right| = 3]이고 [eqn: 0 le t le 4over5]인 실수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t vec{rmOA} + (1-t) vec{rmOB} = t vec{rmOC} + (1-t) vec{rmOP}] 를 만족시킬 때, [eqn: left|`vec{rmBP}`right|]의 최댓값은? ④ ① [eqn: 9] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 11] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 13]
009. 세 점 [eqn: rm O,~A,~B]에 대하여 [eqn: rm vecOA]와 [eqn: rm vecOB]의 크기는 각각 [eqn: 2,~3]이고, 두 벡터가 이루는 각의 크기는 [eqn: { pi} over { 3}]이다. 다음 조건을 만족하는 점 [eqn: rm P]가 나타내는 도형의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S^2]의 값을 구하여라. [eqn: 243] [eqn: rm {vec{OP}} = it 3m rm {vec{OA}} -it2n rm {vec{OB}}] (단, [eqn: m,~n]은 [eqn: m+n le 1], [eqn: m ge 0], [eqn: n GEQ 0]인 실수)

	평면벡터

개념4	✔ 많이 쓰이는 벡터의 분해방법 ① 원의 중심을 이용한 분해 ② 중점을 이용한 분해 ③ 수직 성분으로 분해 (좌표화)

010. 그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =3], [eqn: rmbarBC =1]인 직사각형 [eqn: rmABCD]와 한 점 [eqn: rmC]에서 만나고 중심이 [eqn: rmO]인 원이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 [eqn: rmO]는 직선 [eqn: rmAC] 위에 있다. (나) [eqn: rmbarOB =barAB] 이 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm|vecAD cdot vecBP |]의 최댓값은? ① ① [eqn: { 9+4 sqrt { 10} } over { 5}] ② [eqn: {10+4 sqrt {10}} over {5}] ③ [eqn: {9+5 sqrt {10}} over {5}] ④ [eqn: 2+ sqrt {10}] ⑤ [eqn: {9+6 sqrt {10}} over {5}]

	평면벡터

011. 그림과 같이 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2]를 중심으로 하는 반지름의 길이가 각각 [eqn: 2], [eqn: 1]인 두 원이 내접하고, 큰 원의 지름 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rmO_1 O_2]가 수직이다. 점 [eqn: rmP]가 작은 원 위를 움직일 때, 두 벡터 [eqn: rmvec{O_1 P], [eqn: rmvec{O_2 A]의 내적 [eqn: rmvec{O_1 P}cdotrmvec{O_2 P]의 최댓값 [eqn: M]에 대하여 [eqn: 12(M+1)^2]의 값을 구하여라. [eqn: 60]
012. 그림과 같이 평면위에 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 두 원 [eqn: C _1]과 [eqn: C_2], 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: C]가 서로 외접하고 있다. 원 [eqn: C]의 중심 [eqn: rmO]와 원 [eqn: C_1] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: C_2] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: LEFT | vec { rm OP} + vec { rmOQ} RIGHT |]의 최댓값을 구하여라. [eqn: 14]

	평면벡터

개념5	✔ [eqn: p vec{rm PA it} +q vec{rm PB it} +r vec{rm PC it} =vec0]일 때, [eqn: rmP]의 위치를 정할 수 있다. ✔ [eqn: p vec{rm PA it} +q vec{rm PB it} +r vec{rm PC it} =vec0]일 때, [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 부호에 따라 [eqn: rmP]의 위치가 정해진다.

※ [eqn: rmvec{PA} +2 vec{PB} -4 vec{PC} = vec{0}]이면

※ [eqn: rmvec{PA} +2 vec{PB} -2 vec{PC} = vec{0}]이면

013. [eqn: rmTRIANGLE ABC]에서 [eqn: bar{rmAB} =4], [eqn: bar{rmBC} =5], [eqn: bar{rmCA} =6]이다. [eqn: rmTRIANGLE ABC]의 내심을 [eqn: rmI]라하고 [eqn: vec{rmAB} = vec{b}], [eqn: vec{rmAC} = vec{c}]라고 하자. [eqn: vec{rmAI} =p vec{b} +q vec{c}]로 나타낼 때, 실수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: 15(p+q)]의 값을 구하여라. [eqn: 10]

	평면벡터

014. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 있다. (가) [eqn: 2{rm vec PA} + {rm vec PB}+{rm vec PC}={rm vec BC}] (나) [eqn: rm {vec{QA}} it + rm {vec{QB}} it + rm {vec{QC}} it = rm {vec{CA}} it] 선분 [eqn: rm `PC]와 선분 [eqn: rm AQ]의 교점을 [eqn: rm F]라 할 때, [eqn: {사각형~ rm PBQF it 의~넓이} over {삼각형~ rm FQC it 의~넓이}]의 값은? ② ① [eqn: 9 over 2] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 11 over 2] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: {13} over {2}]
015. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 내부에 [eqn: rm triangle PAB], [eqn: rm triangle PBC], [eqn: rm triangle PAC]의 넓이의 비가 [eqn: 1:2:3]이 되도록 점 [eqn: rm P]를 잡을 때, [eqn: rm vec AP = {it m} vec AB + {it n} vec AC]를 만족하는 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: {1} over {mn}]의 값을 구하여라. [eqn: 12]

	평면벡터

개념6	✔ 내적의 의미 : [eqn: vec{a} cdot vecb =|veca |times(|vecb |costheta)]

016. 그림과 같이 평면 위에 정삼각형 [eqn: rmABC]와 선분 [eqn: rmAC]를 지름으로 하는 원 [eqn: O]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]를 [eqn: rmANGLE DAB= {pi } over {15}]가 되도록 정한다. 점 [eqn: rmX]가 원 [eqn: O] 위를 움직일 때, 두 벡터 [eqn: rmvecAD], [eqn: rmvecCX]의 내적 [eqn: rmvecAD cdot vecCX]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: rmX]를 점 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: ANGLE{rmACP}= {q} over {p} pi]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 17]

	평면벡터

017. 그림과 같이 변 [eqn: RM AB]의 길이가 [eqn: 2]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에 대하여 [eqn: rm {vec{BA}} it cdot rm {vec{BC}} it =8]이다. 점 [eqn: RM A]에서 변 [eqn: RM BC]에 내린 수선의 발 [eqn: RM D]가 선분 [eqn: RM BC]를 [eqn: 2:7]로 내분할 때, 선분 [eqn: RM AC]의 길이는? ① ① [eqn: 2sqrt { 6}] ② [eqn: 2 sqrt {7}] ③ [eqn: 4 sqrt {2}] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 2sqrt { 10}]
018. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원과 이 반원 외부의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmangleAPB= {pi} over {2}], [eqn: rm bar{AP}=1] 을 만족시킨다. 호 [eqn: rmAB] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmvecPA cdot vecPQ]의 최댓값은? ① ① [eqn: 3over2] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 5over2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 7over2]

	평면벡터

개념7	✔ 안 풀리면 일단 좌표잡자.

019. 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형 [eqn: \ABC]에서 변 [eqn: \AB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: \D]라 하고, 변 [eqn: \AC]를 [eqn: 3:1]과 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: rm {left|`vec{BF`}+vec{DE`}`right|}^2]의 값은? ③ ① [eqn: 17] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 19] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 21]

	평면벡터

020. 평면에서 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =1]이고 [eqn: rmbarBC =sqrt3]인 직사각형 [eqn: rmABCD]와 정삼각형 [eqn: rmEAD]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAE] 위를 움직일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: rmLEFT | vecCB`-vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: 1]이다. ㄴ. [eqn: rmvecCA cdot vecCP]의 값은 일정하다. ㄷ. [eqn: rmLEFT | vecDA`+vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: {7} over {2}]이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
021. 평면에서 오른쪽 그림의 오각형 [eqn: rmABCDE]가 [eqn: rmbar{AB } = bar {BC }], [eqn: rmbar{AE} = bar{DE}], [eqn: rmANGLE B= ANGLE E=90DEG]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. 선분 [eqn: rmBE]의 중점 [eqn: rmM]에 대하여 [eqn: rmvec AB + vec AE]와 [eqn: rmvecAM]은 서로 평행하다. ㄴ. [eqn: rmvec{AB} cdot vec{AE}][eqn: rm= - vec BC cdot vec ED] ㄷ. [eqn: rm| vec BC + vec ED | = | vec BE |] ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ