			원포인트 개념주입 B 평면벡터

원포인트개념주입

평면벡터

개념1	✔ 벡터의 기본 연산

001. 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(4,```2)], [eqn: rmB(0,```2)], [eqn: rmC(2,```0)]에 대하여 [eqn: LEFT | rm vec{OA} - vec{BC} RIGHT |]의 값은? ③ ① [eqn: 2sqrt { 3}] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 2sqrt { 5}] ④ [eqn: 2sqrt { 6}] ⑤ [eqn: 2sqrt { 7}] 002. [eqn: rm bar{AB} =2], [eqn: rmangleB=90DEG], [eqn: rmangleC=30DEG]인 삼각형 [eqn: rmABC]와 점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm vec PB + vec PC = vec 0]를 만족시킬 때, [eqn: rm left|vec PA right|^2]의 값은? ③ ① [eqn: 5``] ② [eqn: 6``] ③ [eqn: 7``] ④ [eqn: 8``] ⑤ [eqn: 9``]		003. 타원 [eqn: { x^2} over {4 } + y^2 =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 이 타원 위의 점 [eqn: \P]가 [eqn: rmLEFT |vecOP + vecOF RIGHT | = 1]을 만족시킬 때, 선분 [eqn: \PF]의 길이는 [eqn: k]이다. [eqn: 5k]의 값을 구하여라. (단, [eqn: \O]는 원점이다.) [eqn: 15] 004. 좌표평면 위에 원점 [eqn: rm O]를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터 [eqn: vec{rm OP}], [eqn: vec{rm OQ}]가 있다. 두 벡터의 종점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동 시킨 점을 각각 [eqn: rm P prime], [eqn: rm Q prime]이라 할 때, 다음 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ③ ㄱ. [eqn: |` vec{rm OP it} - vec{rm OP prime it} `|= sqrt {10}] ㄴ. [eqn: |` vec{rm OP it} - vec{rm OQ it} `|=|` vec{rm OP prime it} - vec{rm OQ prime it} `|] ㄷ. [eqn: vec{rm OP it} + vec{rm OQ it} = vec{rm OP prime it} + vec{rm OQ prime it}] ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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개념2	✏ 원의 중심, 무게중심 등을 기준으로 벡터들을 재구성 해보자.

005. 그림과 같이 [eqn: rm bar AB =4], [eqn: rm bar AD =2]인 직사각형 [eqn: rm ABCD]에 내접하고 서로 외접하는 두 원 [eqn: O_1`], [eqn: O_2`]가 있다. 원 [eqn: O_1`] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: O_2`] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: LEFT | vec { rm AP} + vec { rmBQ} RIGHT |]의 최댓값을 구하여라. [eqn: 4]		006. 두 점 [eqn: rm { A(-2,```0) }], [eqn: rm { B(2,```0) }]과 곡선 [eqn: y = 2over x]([eqn: x>0]) 위를 움직이는 점 [eqn: rm { P }]에 대하여 [eqn: rm { | vecAP + vec BP | }]의 최솟값은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

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개념3	✔ 내분벡터, 평행조건을 이용한 벡터의 표현 : 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여, ① [eqn: rmO]와 [eqn: rmA]를 연결한 직선은 [eqn: t rmvecOA] ② [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]를 연결한 직선은 [eqn: t{rmvecOA}+(1-t)rmvecOB] 로 나타난다.

007. [eqn: rm TRIANGLE OAB]의 변 [eqn: rm OA]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rm M], 변 [eqn: rm OB]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점을 [eqn: rm N]이라 하고, 선분 [eqn: rm AN]과 선분 [eqn: rm BM]의 교점을 [eqn: rm P]라고 한다. [eqn: vec{rm OA} = vec{a}], [eqn: vec{rm OB} = vec{b}]라고 할 때, [eqn: vec { rm OP}]를 두 벡터 [eqn: vec{a], [eqn: vec{b}]를 이용하여 나타낸 것은? ① ① [eqn: {{1} over {6} vec{a} + {1} over {2} vec{b}}] ② [eqn: {1} over {3} vec{a} + {1} over {2} vec{b}] ③ [eqn: {1} over {2} vec{a} + {1} over {2} vec{b}] ④ [eqn: {1} over {2} vec{a} + {1} over {3} vec{b}] ⑤ [eqn: {1} over {2} vec{a} + {1} over {6} vec{b}]		008. 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 변 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmE], 변 [eqn: rmCD]의 [eqn: 3]등분점 중에서 [eqn: rmC]에 가까운 점을 [eqn: rmF]라 하고, [eqn: {rmAF}], [eqn: {rmBE}]의 교점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: VEC{rmAD} = VECa], [eqn: VEC{rmAB} =VECb]라 할 때, [eqn: VEC{rmAP} = p VEC a + q VEC b]이다. [eqn: 16(p+q)]의 값을 구하여라. [eqn: 10]

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개념4	✏ 방향벡터를 이용한 직선의 표현 : 점 [eqn: rmP]가 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지나는 직선 위의 점일 때, [eqn: vec{rmOP}=vec{rmOA} +t vec{rmAB}]이다.

009. 서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: |veca |=2]이고 [eqn: veca cdot vecb =2]일 때, 두 벡터 [eqn: veca]와 [eqn: veca -t vecb]가 서로 수직이 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 값은? ② ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]		010. 그림과 같이 한 평면 위에서 서로 평행한 세 직선 [eqn: l_1], [eqn: l_2], [eqn: l_3]이 서로 평행한 두 직선 [eqn: m_1], [eqn: m_2]와 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmX], [eqn: rmO], [eqn: rmY]에서 만나고 있다. [eqn: rm vec OA = it veca], [eqn: rm vecOB = it vecb], [eqn: rm vecOC = itvecc] 라고 할 때, [eqn: rm vecAP = (itvecc -vecb - veca ) t] (단, [eqn: t]는 실수) 를 만족시키는 점 [eqn: rm P]가 나타내는 도형은? ① ① 직선 [eqn: rm AY] ② 직선 [eqn: rm AO] ③ 직선 [eqn: rm AX] ④ 직선 [eqn: rm AB] ⑤ 직선 [eqn: rm CX]

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개념5	✏ 내분벡터를 이용한 직선의 표현 : 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: t`vec{rmOA}+s`vec{rmOB}] ([eqn: t+s=1])의 자취는 직선 [eqn: rmAB]가 된다.

011. 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmP]의 점 [eqn: rmO]에 대한 위치벡터가 각각 [eqn: vec a], [eqn: vec b], [eqn: vecp]이다. 세 벡터가 다음을 만족할 때, 점 [eqn: rmP]의 자취에 대하여 설명하여라. (1) [eqn: rmA], [eqn: 2rmB]를 지나는 직선 (2) [eqn: 2rmA]와 [eqn: 6rmB]를 지나는 직선 (3) [eqn: 2rmA]를 시점으로 하고 [eqn: vecb]와 같은 방향의 반직선 ([eqn: 2rmA]는 [eqn: rmO]에 대한 위치벡터가 [eqn: 2 vec{a}]인 점이다.) (1) [eqn: vec{p} =(1-t) vec{a} +2t vec{b}] ([eqn: t]는 실수) (2) [eqn: vec{p} =(2-t) vec{a} +3t vec{b}] ([eqn: t]는 실수) (3) [eqn: vec p = 2 vec a + 3 t vec b ````(t≥0)]		012. 좌표평면 위의 세 정점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: rm left |` vec OA ` right | = 2], [eqn: rm left |` vec OB ` right| = 6] 이다. [eqn: rm vec OP = it k `rm vec OA + it l` rm vec OB] ([eqn: k+3l=1,```k GEQ 0,```l GEQ 0]) 를 만족시키는 동점 [eqn: rm P]의 자취의 길이가 [eqn: 2]일 때, 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는? ③ ① [eqn: 3] ② [eqn: 3 sqrt 2] ③ [eqn: 3 sqrt 3] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 6 sqrt 3]

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개념6	✔ 삼각형 [eqn: rmABC]와 점 [eqn: rmP]가 어떤 세 실수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: p rm ` vec{PA} it +q` vec{rm PB it} it +r` vec{rm PC it} it `=0] 를 만족시킬 때, 점 [eqn: rmP]의 위치를 결정할 수 있다.

013. 평면 위의 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmTRIANGLE ABC]에 대하여 [eqn: rmvec{PA} +2 vec{PB} +3 vec{PC} = vec{0}] 을 만족시키고 [eqn: rmdyad{ PA}]와 [eqn: rmbarBC]의 교점을 [eqn: rmM]이라 하자. 다음 물음에 답하여라. (1) [eqn: 3:2] (2) [eqn: 5:1] (1) [eqn: rmM]은 [eqn: rmBC]를 몇 대 몇으로 내분하고 있는가? (2) [eqn: rmP]는 [eqn: rmAM]을 몇 대 몇으로 내분하고 있는가?		014. 삼각형 [eqn: rmABC]의 내부의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm4 vec{AP} +3 vec{BP} +2 vec{CP} = vec{0}] 이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 90]일 때, 삼각형 [eqn: rmBCP]의 넓이는? ③ ① [eqn: 30] ② [eqn: 35] ③ [eqn: 40] ④ [eqn: 45] ⑤ [eqn: 50]

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개념7	✔ 점 [eqn: rmP]의 점 [eqn: rmO]에 대한 위치벡터는 [eqn: vec{rmOP}]이다. [eqn: RARROW] 좌표평면 상의 원점 [eqn: rmO]에 대하여 점 [eqn: rmP]의 [eqn: rmO]에 대한 위치벡터 [eqn: vecp]를 점 [eqn: rmP]로 나타낸다. [eqn: RARROW] 합, 차, 실수배, 크기, 평행 등

015. 두 벡터 [eqn: vec{a} =(1,```-1)], [eqn: vec b = (2,```3)]에 대하여 벡터 [eqn: vec p = t vec a + vec b]일 때, [eqn: left | vec p right|]의 최솟값은? (단, [eqn: t]는 실수) ② ① [eqn: 2 root2] ② [eqn: {5 root 2 } over 2] ③ [eqn: 3 root 2] ④ [eqn: {7 sqrt { 2} } over {2 }] ⑤ [eqn: 4 sqrt { 2}] 016. 벡터 [eqn: (2,```a)]와 평행하며 크기가 [eqn: 6]인 벡터가 [eqn: (3,```b)]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a]는 양수) ⑤ ① [eqn: sqrt { 3}] ② [eqn: 2 sqrt {3}] ③ [eqn: 3sqrt { 3}] ④ [eqn: 4 sqrt {3}] ⑤ [eqn: 5sqrt { 3}]		017. 세 벡터 [eqn: veca =(2,```3)], [eqn: vecb =(4,```-2)], [eqn: vecc =(-2,```-2)]에 대하여 [eqn: 3veca + t vecb]와 [eqn: vecb + vec c]가 평행할 때, [eqn: t]의 값은? ② ① [eqn: -4] ② [eqn: - 7 over 2] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: - 5 over 2] ⑤ [eqn: -2] 018. 원점 [eqn: rm O]와 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rm vec OA = it 2 vec a + vec b], [eqn: rm vec OB = it vec a - vec b], [eqn: rm vec OC = it 4 vec a + m vec b]일 때, 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 일직선 위에 있도록 하는 실수 [eqn: m]의 값은? ⑤ ① [eqn: 1`] ② [eqn: 2`] ③ [eqn: 3`] ④ [eqn: 4`] ⑤ [eqn: 5`]

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개념8	✏ 두 벡터 [eqn: veca]와 [eqn: vecb]가 이루는 각이 [eqn: theta]일 때, [eqn: veca cdot vecb =|veca ||vecb |costheta] ✏ 두 벡터 [eqn: (a_1 ,```a_2 )], [eqn: (b_1 ,```b_2 )]에 대하여 [eqn: (a_1 ,```a_2 )cdot(b_1 ,```b_2 )=a_1 b_1 +a_2 b_2]

019. 그림과 같이 한 평면 위에 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 두 개의 정삼각형 [eqn: rmABD], [eqn: rmBCD]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 할 때, [eqn: rm vec{DM} cdot rm vec{BC} + rm vec{AC} cdot rm vec{MC}]의 값을 구하여라. [eqn: 6]		020. 세 벡터 [eqn: vec a ``=(3,```1)], [eqn: vec b ``=(1,```2)], [eqn: vec c ``=(4,```-2)]에 대하여 [eqn: veca - vec b`]와 [eqn: veca -vec c `]가 이루는 각의 크기를 구하여라. [eqn: {3 over4 pi] 021. 세 벡터 [eqn: veca =(2,```4)], [eqn: vecb =(4,```2)], [eqn: vecc =(n,```-2)]에 대하여 [eqn: LEFT ( t vec{a} + vec{b} RIGHT ) cdot LEFT ( t vec{b} + vec{c} RIGHT )]의 값이 실수 [eqn: t]의 값에 관계없이 항상 양수가 되도록 하는 정수 [eqn: n]의 개수는? ④ ① [eqn: 41] ② [eqn: 43] ③ [eqn: 45] ④ [eqn: 47] ⑤ [eqn: 49]

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개념9	✏ [eqn: vec{a} cdot vecb `=|veca |times |vecb |costheta] [eqn: RARROW] (기준벡터의 크기) [eqn: times] (다른 벡터를 정사영 시킨 벡터의 크기)

022. 원 [eqn: (x-3)^2 +(y-4)^2 =1] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmA(7,```0)]에 대하여 [eqn: rmvecOP cdot vecOA]의 최댓값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [eqn: 28] 023. 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]의 꼭짓점 [eqn: rm A]에서 변 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. 점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm AH] 위를 움직일 때, [eqn: rm LEFT | {vec{PA}} cdot {vec{PB}} RIGHT |]의 최댓값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단 [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 7]		024. 그림과 같이 평면 위에 정삼각형 [eqn: rmABC]와 선분 [eqn: rmAC]를 지름으로 하는 원 [eqn: O]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]를 [eqn: rm angleDAB= piover15]가 되도록 정한다. 점 [eqn: rmX]가 원 [eqn: O] 위를 움직일 때, 두 벡터 [eqn: rm vecAD ,~ vecCX]의 내적 [eqn: rm vecAD cdot vecCX]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: rmX]를 점 [eqn: rmP]라 하자. 이때 [eqn: rm angleACP it= q over p pi]이면, [eqn: p+ q]의 값을 구하여라. [eqn: 17] (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

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개념10	✏ [eqn: veca cdot vecx `=k]를 만족시키는 [eqn: vecx] 자취는 [eqn: veca]에 수직인 직선이다.

025. 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(2,```0)], [eqn: rmB(0,```2)], [eqn: {rmP}(x,```y)]에 대하여 두 조건 [eqn: rmvec PA cdot vecPB le 0], [eqn: rmvec OP cdot ( vec OA + vec OB ) le 4] 가 성립할 때, 점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이는? ① ① [eqn: pi] ② [eqn: root2 +pi] ③ [eqn: 2 +pi] ④ [eqn: 3 +pi] ⑤ [eqn: 2pi]		026. 아래 그림에서 두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2]는 각각 반지름의 길이가 [eqn: 1], [eqn: 2]인 동심원이고, 점 [eqn: rmA]는 원 [eqn: C_1] 위에 있다. 원 [eqn: C_2]의 내부의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmvec OA cdot vec OP ge 1]이 성립할 때, 점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이는? ③ ① [eqn: 2pi - root3] ② [eqn: 4 over 3 pi - root2] ③ [eqn: 4 over 3 pi - root3] ④ [eqn: 2 over 3 pi - root2] ⑤ [eqn: 2 over 3 pi - root3]

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개념11	✔ 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: | vec{a} |], [eqn: |vecb |], [eqn: veca cdot vecb]를 알면 [eqn: p veca + q vecb]의 크기를 알 수 있다.

027. 다음 물음에 답하여라. (1) [eqn: sqrt {37}] (2) [eqn: 60 DEG] (3) [eqn: 60 DEG] (4) [eqn: 60 DEG] (5) [eqn: 60 DEG] (1) [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | =2], [eqn: LEFT | vec{b} RIGHT | =1]이고 두 벡터가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]일 때, 벡터 [eqn: 2 vec{a} +3 vec{b}]의 크기는? (2) [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | =2], [eqn: LEFT | vec{b} RIGHT | =3]이고 [eqn: LEFT | vec{a} - vec{b} RIGHT | = sqrt {7}]일 때, 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각의 크기는? (3) [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | =3,```` LEFT | vec{b} RIGHT | =1]이고, [eqn: LEFT | vec{a} - vec{b} RIGHT | = sqrt {7}]일 때, 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각의 크기는? (4) [eqn: vec{a} + vec{b} + vec{c} = vec{0}]이고 [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | =6,``` LEFT | vec{b} RIGHT | =10,``` LEFT | vec{c} RIGHT | =14]일 때, 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각의 크기는? (5) [eqn: LEFT | vec{b} RIGHT | =2 LEFT | vec{a} RIGHT | != 0]이고 [eqn: vec{a} + vec{b}]와 [eqn: 10 vec{a} -4 vec{b}]가 수직일 때, 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각의 크기는?		028. 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: rmOAB]에서 변 [eqn: rmOA]의 중점을 [eqn: rmP], 변 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmbarPQ]의 값을 구하여라. [eqn: sqrt { 13}] 029. 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: left|vecb right|=sqrt3]이고 [eqn: left|veca -2vecb right|=3sqrt2]이다. (나) 두 벡터 [eqn: veca +vecb], [eqn: 2veca -vecb]가 서로 수직이다. 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값은? (단, [eqn: 0≤theta≤pi]) ① ① [eqn: - sqrt6 over6] ② [eqn: - sqrt5 over5] ③ [eqn: - 1over2] ④ [eqn: - sqrt3 over3] ⑤ [eqn: - sqrt2 over2]

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개념12	✔ 대충 좌표 잡을 수 있으면 일단 잡아보자.

030. 평면에서 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =1]이고 [eqn: rmbarBC =sqrt3]인 직사각형 [eqn: rmABCD]와 정삼각형 [eqn: rmEAD]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAE] 위를 움직일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: rmLEFT | vecCB`-vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: 1]이다. ㄴ. [eqn: rmvecCA cdot vecCP]의 값은 일정하다. ㄷ. [eqn: rmLEFT | vecDA`+vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: {7} over {2}]이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ		031. 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형 [eqn: \ABC]에서 변 [eqn: \AB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: \D]라 하고, 변 [eqn: \AC]를 [eqn: 3:1]과 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: rm {left|`vec{BF}+vec{DE}`right|}^2]의 값은? ③ ① [eqn: 17] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 19] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 21]