			원포인트 개념주입 A 평면벡터

원포인트개념주입

개념1	✔ 벡터가 뭔지, 벡터의 크기가 뭔지, 실수배, 덧셈, 뺄셈 어떻게 하는지 아는 정도.

평면벡터

001. 그림의 정육각형에서 [eqn: vec { rmAB}= vec { a}], [eqn: vec{rmAF} = vec{b}]라 할 때, 벡터 [eqn: vec { rmDF}]를 [eqn: vec { a}], [eqn: vec { b}]로 나타내어라. [eqn: -2 vec { a}- vec { b}] 002. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형에 대하여 [eqn: rmLEFT | vec{AC} RIGHT |+ LEFT | vec { AD} RIGHT |]의 값을 구하여라. [eqn: 2+ sqrt { 3}]		003. 그림과 같이 두 개의 정육각형이 한 변을 공유하고 있다. [eqn: {rm vec OA}= veca], [eqn: { rm vec OB}= vecb]라 할 때, 벡터 [eqn: rm vecOC]를 [eqn: veca], [eqn: vecb]로 나타내면? ⑤ ① [eqn: - 5 over2 veca + 3 over2 vec b] ② [eqn: 3 over2 veca + 1 over2 vec b] ③ [eqn: 5 over2 veca - 3 over2 vec b] ④ [eqn: 5 over2 vec a + 1 over2 vec b] ⑤ [eqn: 5 over2 vec a + 3 over2 vec b]

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개념2	✔ 벡터 연산의 성질 : ① [eqn: {rmvecAB}+vec{rmBC}=vec{rmAC] ② [eqn: rmvecOB -vecOA =vecAB] ✏ 평행조건 : 두 벡터 [eqn: veca]와 [eqn: vecb]가 서로 평행하다. [eqn: LRARROW] [eqn: vec{a} =k vec{b}]인 실수 [eqn: k]가 존재한다.

004. 임의의 네 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR], [eqn: rmS]에 대하여 다음 중 [eqn: rmvecRQ +vecPS +vecSR +vecQS]와 같은 벡터는? ① [eqn: rmvecPS] ② [eqn: rmvecQS] ③ [eqn: rmvecRQ] ④ [eqn: rmvecRS] ⑤ [eqn: rmvecSR] ① 005. 사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: vec{rmAB}=veca], [eqn: vec{rmBC}=vecb]이고, 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmvecPA +vecPB +vecPC +vecPD =vecAD]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: rm2vecPA +vecPB +vecPC =vec0] ㄴ. [eqn: vec{rmPB} = 1over2 veca - 1over4 vecb] ㄷ. [eqn: vec{rmPC} = 1over2 veca + 3over4 vecb] ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ		006. 세 벡터 [eqn: vec{p} =3 vec{a} - vec{b}], [eqn: vec{q} = vec{a} +2 vec{b}], [eqn: vec{r} =2 vec{a} +k vec{b}]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{p} + vec{q}], [eqn: vec{q} - vec{r}]가 서로 평행하기 위한 실수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: veca], [eqn: vecb]는 영벡터가 아니고 평행하지 않다.) ⑤ ① [eqn: {5} over {4}] ② [eqn: {3} over {2}] ③ [eqn: {7} over {4}] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: {9} over {4}] 007. 영벡터가 아니고 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: vec{rmOA} =2 vec{a}], [eqn: vec{rmOB} =- vec{b], [eqn: vec{rmOC} =m vec{a} -2 vec{b}] 일 때, 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 한 직선 위에 있도록 하는 실수 [eqn: m]의 값은? ① ① [eqn: -2] ② [eqn: 0] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 6]

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개념3	✏ 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 두 벡터의 시점을 [eqn: rmO]로 일치시켰을 때, 두 벡터의 종점을 [eqn: m:n]으로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 이 때 [eqn: rmvecOP]를 [eqn: veca]와 [eqn: vecb]의 [eqn: m:n] 내분 벡터라 한다. [eqn: RARROW] 이 벡터는 [eqn: { n} over {m+n }veca + { m} over {m+n }vecb]로 나타난다.

008. [eqn: rm triangle ABC]에서 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:2]로 내분한 점을 [eqn: rm D], [eqn: rm BC]의 중점을 [eqn: rm E]라고 한다. [eqn: rm vec AB = it vec a], [eqn: rm vec AC = it vec b]라 할 때, [eqn: rm vec DE]를 [eqn: vec a], [eqn: vec b]로 나타내면? ④ ① [eqn: 1over2 vec a + 1over 6 vec b`] ② [eqn: 2over3 vec a + 1over3 vec b`] ③ [eqn: 1over3 vec a + 1over2 vec b`] ④ [eqn: 1over6 vec a + 1over2 vec b`] ⑤ [eqn: 1over6 vec a + 1over3 vec b`]		009. 그림과 같은 [eqn: TRIANGLE rmOAB]에서 변 [eqn: rmOA]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 변 [eqn: rmOB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라고 하자. [eqn: vec{rmOA} = vec{a}], [eqn: vec{rmOB} = vec{b}]라 하고, 선분 [eqn: rmPQ]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 할 때, [eqn: vec{rmOM}]을 [eqn: vec{a} ,~ vec{b}]로 나타내면? ④ ① [eqn: {1} over {4} vec{a} + {1} over {2} vec{b}] ② [eqn: {1} over {2} vec{a} + {1} over {4} vec{b}] ③ [eqn: {1} over {6} vec{a} + {1} over {3} vec{b}] ④ [eqn: {1} over {3} vec{a} + {1} over {6} vec{b}] ⑤ [eqn: {2} over {3} vec{a} + {1} over {3} vec{b}]

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개념4	✏ 평면상에서 서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 있으면 평면상의 임의의 벡터 [eqn: vecx]는 [eqn: vecx ``=][eqn: p veca + q vecb]로 나타낼 수 있다. ※ 두 위치벡터 [eqn: veca]와 [eqn: vecb]의 종점을 연결한 위치벡터 [eqn: vecx]는 [eqn: t veca +(1-t)vecb]로 나타낼 수 있다.

010. 그림과 같은 [eqn: rmTRIANGLE OAB]에 대하여 [eqn: rmbarOA], [eqn: rmbarOB]를 각각 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하고 [eqn: rmAD]와 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: vec{rmOP} =l vec{rmOA} +m vec{rmOB}]라 할 때, [eqn: l+m]의 값은? ④ ① [eqn: { 1} over { 8}] ② [eqn: { 1} over { 6}] ③ [eqn: { 1} over { 4}] ④ [eqn: { 1} over { 2}] ⑤ [eqn: { 3} over { 4}]		011. 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 변 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmE], 변 [eqn: rmCD]의 [eqn: 3]등분점 중에서 [eqn: rmC]에 가까운 점을 [eqn: rmF]라 하고, [eqn: rmAF], [eqn: rmBE]의 교점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: VEC {rmAD} = VECa], [eqn: VEC{rmAB} =VECb]라 할 때, [eqn: VEC{rmAP} = p VEC a + q VEC b]를 만족시키는 실수 [eqn: p], [eqn: q]의 합 [eqn: p+q]의 값을 구하여라. [eqn: 5over8]

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개념5	✏ 좌표평면의 원점 [eqn: rmO]로 모든 벡터의 시점을 고정하면 임의의 벡터 [eqn: veca]는 자신의 종점 [eqn: {rmA}(a_1 ,```a_2 )]와 일대일대응 된다. 이 때, [eqn: veca =(a_1 ,```a_2 )]라 쓴다.

012. 두 벡터 [eqn: vec a = (2,~5)], [eqn: vec b = (-1,~2)]에 대하여 [eqn: 2 vec{a} +3 vec{x}` =- vec{b}]인 벡터 [eqn: vec x]를 구하여라. [eqn: (-1,``-4)] 013. 세 벡터 [eqn: vec{a} =(-1,```0)], [eqn: vec{b} =(3,```1)], [eqn: vec{c} =(-2,```-3)]에 대하여, [eqn: | vec{b} -2 vec{a} - vec{c} | ^{2}]의 값은? [eqn: 65] 014. 세 벡터 [eqn: veca = (1,```2 )], [eqn: vec{b} =(3,```-2)], [eqn: vec c = (13,```10)]에 대하여 [eqn: vec c = m veca + n vec b]를 만족시키는 [eqn: m], [eqn: n]의 값을 구하여라. [eqn: m=7,~ n=2]		015. 세 점 [eqn: {\A}(-1,```1)], [eqn: {\B}(2,```-1)], [eqn: {\C} (0,```-2)]에 대하여 [eqn: vec{\AB} = vec {\CD}]를 만족시키는 점 [eqn: \D]에 대하여 [eqn: vec{ rmOD}]의 크기를 구하여라. [eqn: 5] 016. 세 점 [eqn: rmA(1,```1)], [eqn: rmB(0,```1)], [eqn: rmC(-1,```1)]에 대하여 [eqn: rm vecPA +2 vecPB +3vecPC =vec0] 를 만족시키는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라. [eqn: left(- {1} over {3} ,```1right)] 017. [eqn: vec{a} = LEFT ( 4,```4 RIGHT )], [eqn: vec{b}= LEFT ( 2,```-1 RIGHT )], [eqn: vec{c}= LEFT ( -1,```5 RIGHT )]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{a} +k`vecb]와 [eqn: vec{c}-vec{a}]가 서로 평행할 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 8]

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개념6	✏ 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 할 때, 내적 [eqn: veca cdot vecb]을 [eqn: |veca ||vecb |costheta]로 정의한다.

018. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형이 있다. [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rmBD}]의 값을 구하여라. [eqn: -1]		019. 그림과 같이 [eqn: rm bar AC =2]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC]에서 변 [eqn: rm BC]의 중점을 [eqn: rm M]이라 할 때, [eqn: rm vec AB cdot vec AM]의 값은? ⑤ ① [eqn: 2root2] ② [eqn: 2root3] ③ [eqn: 3root2] ④ [eqn: 3root3] ⑤ [eqn: 6]

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개념7	✏ 두 벡터 [eqn: veca ``=(a_1 ,```a_2 )], [eqn: vecb``=(b_1`,```b_2 )]에 대하여 [eqn: veca cdot vecb ``=a_1 b_1 +a_2 b_2]이다.

020. 두 벡터 [eqn: veca =(-1,```3)], [eqn: vecb =(2,```1 )]에 대하여 [eqn: veca cdot vecb]의 값은? ① ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9] 021. 두 벡터 [eqn: veca =(2,```1)], [eqn: vecb =(-2,```3)]에 대하여 [eqn: f(t)=(veca +t vecb ) cdot (t veca -vecb )] 일 때, [eqn: f(t)]의 최댓값은? ③ ① [eqn: 13] ② [eqn: 16] ③ [eqn: 17] ④ [eqn: 18] ⑤ [eqn: 19]		022. 세 벡터 [eqn: vec{a} =(2,```2)], [eqn: vec{b} =(4,```4)], [eqn: vec{rmOP} = vec{p}]에 대하여 [eqn: (vecp -veca )cdot(vecp -vecb )=0] 을 만족시키는 점 [eqn: rm { P }]가 나타내는 도형의 넓이는? ② ① [eqn: root2`pi] ② [eqn: 2pi] ③ [eqn: 2root{2}pi] ④ [eqn: 4root{2}pi] ⑤ [eqn: 8pi] 023. 좌표평면 위의 두 정점 [eqn: rmA(-1,``` 3)], [eqn: rmB(3,```4)]와 포물선 [eqn: y= 2x^2] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: vec{rmAB} CDOT vec{rmAP}]의 최솟값은? ⑤ ① [eqn: -5] ② [eqn: -4] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -1]

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개념8	✏ 내적의 성질 ① [eqn: veca`cdot`vecb`=vecb`cdot`veca] ② [eqn: (k veca )cdot vec b =veca cdot (k vecb )=k (veca cdot vecb )] ③ [eqn: ( vec{a} `+ vec{b}`)} cdot vec{c}``=`veca cdot vecc ``+vecb cdot vecc] ※ [eqn: vec{a} ` CDOT ` vec{a} `=| vec{a} `| ^{2}]

024. 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi } over {3}]이고 [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | =3], [eqn: LEFT | vec{b} RIGHT | =2]일 때, [eqn: (2 vec{a} +3 vec{b} ) cdot( vec{a} -2 vec{b} )]의 값은? ① ① [eqn: -9] ② [eqn: -5] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 5] 025. 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여 [eqn: |` vec a `| =1], [eqn: |`vec b `| =2], [eqn: |` vec a - vec b `|=sqrt3] 일 때, [eqn: (vec a - vec b )cdot ( vec a + 2 vec b )]의 값은? ② ① [eqn: -8] ② [eqn: -6] ③ [eqn: -4] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -1]		026. 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]의 크기가 각각 [eqn: 3], [eqn: 4]이고 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]일 때, [eqn: LEFT | vec{a} - vec{b} RIGHT |]의 값은? [eqn: sqrt {13} `] 027. 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여 [eqn: |veca |=2], [eqn: |vecb |=3], [eqn: LEFT | vec{a} + vec{b} RIGHT | =4] 일 때, [eqn: LEFT | vec{a} - vec{b} RIGHT |]의 값은? ⑤ ① [eqn: sqrt {5}] ② [eqn: sqrt {6}] ③ [eqn: 2 sqrt {2}] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: sqrt {10}]

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개념9	✔ [eqn: |veca |], [eqn: |vecb |], [eqn: veca cdot vecb]를 알면 [eqn: cos theta]를 알 수 있다. [eqn: RARROW] [eqn: theta]를 알 수 있다. ✏ [eqn: |veca |!=0], [eqn: |vecb |!=0]일 때, [eqn: veca cdot vecb =0]이면 [eqn: veca BOT vecb]이다.

028. 세 벡터 [eqn: vec{a} =(1,```0)], [eqn: vec{b} =(x,```-1)], [eqn: vec{c} =(2,```1)]에 대하여 두 벡터 [eqn: 2 vec a - vec b]와 [eqn: vec c]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 45DEG]일 때, [eqn: x]의 값을 구하여라. [eqn: 5over3] 029. 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여 [eqn: LEFT | ` vec{a} ` RIGHT | =2], [eqn: LEFT | ` vec{b} ` RIGHT | =3], [eqn: LEFT | `3 vec{a} + vec{b} ` RIGHT | =3 sqrt {3}] 일 때, [eqn: veca]와 [eqn: vecb]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하자. [eqn: cos theta]의 값을 구하여라. [eqn: -{1 } over {2 }]		030. [eqn: vec{a} =(2,```3)], [eqn: vec{b} =(x,```-2)]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{a} + vec{b}], [eqn: vec{a} - vec{b}]가 서로 수직일 때, 양수 [eqn: x]의 값은? ③ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 031. 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: vec a], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: vec a cdot ( vec a + vec b ) = 4]이고, 두 벡터 [eqn: vec a + vec b]와 [eqn: vec a - 2 vec b]가 서로 수직일 때, 내적 [eqn: vec b cdot( vec a + vec b )]의 값은? ③ ① [eqn: 0] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 8]

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개념10	✔ 방향벡터 : 직선과 평행한 방향을 가지는 벡터 ✏ 직선의 벡터방정식 : 점 [eqn: (x_1 ,```y_1 )]을 지나고, ① 방향벡터가 [eqn: (a,```b)]인 직선의 방정식은 [eqn: { x-x_1} over {a }= { y-y_1} over { b}]이다. ② 법선벡터가 [eqn: (a,```b)]인 직선의 방정식은 [eqn: a(x-x_1 )+b(y-y_1 )=0]

032. 직선 [eqn: {x-1}over 2 = {5-y} over3]에 평행하고 점 [eqn: (-2, ```5)]를 지나는 직선의 방정식을 구하여라. [eqn: {{x+2}over2 ={y-5}over-3 }] 033. 점 [eqn: (-3, ```2)]를 지나고 직선 [eqn: x=1-2t], [eqn: y=3t+2] (단，[eqn: t]는 실수) 에 평행한 직선을 [eqn: l]이라고 할 때, 다음 중 직선 [eqn: l] 위의 점은? ④ ① [eqn: (-3, ```-2)] ② [eqn: (-1, ``1)] ③ [eqn: (1,``` 4)] ④ [eqn: (`3, ```-7)] ⑤ [eqn: (`5,```` 8`)]		034. 점 [eqn: (3,```-4)]를 지나고 직선 [eqn: 3(x-3) =-2(y+1)]에 평행한 직선이 점 [eqn: (k,```-1)]을 지날 때, [eqn: k`]의 값은? ③ ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 5over3] ⑤ [eqn: 9over4] 035. 점 [eqn: (-4, ```3)]을 지나고 직선 [eqn: {x+1}over2 = 5-y]에 수직인 직선이 점 [eqn: (-1,``` k)]를 지날 때, 실수 [eqn: k`]의 값은? ④ ① [eqn: -13] ② [eqn: -11] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 11]

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개념11	✏ 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지름의 양 끝으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]의 자취는 [eqn: ( vec{p} - vec{a} ) CDOT ( vec{p} - vec{b} )=0]이다. ( [eqn: vec{rmOA}=veca], [eqn: vec{rm OB} = vec{b}], [eqn: vec{rmOP}=vecp] )

036. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(-3,```3)], [eqn: rm B(1,```-3)]과 한 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: vec { rmOA}= vec { a}], [eqn: vec{rm OB it} = vec{b}], [eqn: vec{rm OP it} = vec{p}]라고 할 때, [eqn: ( vec{p} - vec{a} ) cdot( vec{p} - vec{b} )=0] 을 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 넓이를 구하여라. [eqn: 13 pi]		037. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(2,```1)], [eqn: rmB(6,```1)]에 대하여 [eqn: rm vecAP cdot vecBP le 0] 을 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이를 구하여라. [eqn: 4 pi]